人教A版高中数学必修五高一期末考试试卷
高中数学学习材料
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高一期末考试数学试卷
（满分：120分；考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题共12小题. 每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）
1．三角公式
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 均值不等式的应用 A ． B ． C ． D ． 3．设两向量()0,1=a
，⎪⎭
⎫
⎝⎛=21,21b ．则下列结论中正确的是（ Ｃ ）
A ．b
a =
B ．2
2
=
∙b a C ．b a -与b 垂直
D ．b a //
4．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪
+⎨⎪⎩
，，，≥≥≤则y x z 2+=的最小值是（ C ）
A ． 2
B ．
2
1 C ．0 D ．1
5．函数()cos223sin cos f x x x x =-的最小正周期是（C ）
A. 3π
B. 2π
C. π
D. 4π
6．A 为三角形ABC 的一个内角,若12
sin cos 25
A A +=
,则这个三角形的形状为 （ B ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
7. 要得到2sin(2)3
y x π
=-
的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( D ) A ．向左平移23π个单位 B ．向右平移23
π
个单位
C ．向左平移
3π个单位 D ．向右平移3
π
个单位 8. 已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4
π
α+的值为 ( C )
A ．16
B ．2213
C ．322
D ．1318
9. 已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且
P A P B P B
P C
P C P A ∙=
∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的 ( C )
A ．重心 外心 垂心
B ．重心 外心 内心
C ．外心 重心 垂心
D ．外心 重心 内心
10.函数)2(l og 2++=x y c 恒过定点A,若点A 在直线)0,0(022>>=+-b a bx ax 上,则b
a 1
1+的最小
值为 ( D )
A ．41
B ．2
1
C ．2
D ． 4
11. 如图，曲线对应的函数是 （ C ） A ．y=|sinx| B ．y=sin|x|
C ．y=－sin|x|
D ．y=－|sinx|
12. 已知数列{}n a 中，++∈++==N n a n na a n n ,2)1(,211 ,则11a 等于（ D ）
A ．36
B ．38
C ．40
D ．42
高一期末考试数学试卷
答案卡
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是 π3 .
14． 甲船在A 点发现乙船在北偏东 60的B 处，乙船以每小时3海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时
3海里，则甲船应沿着 北偏东︒30 方向前进，才能最快与乙船相遇。
15．当()2,1∈x 时，不等式mx x >+22恒成立，则m 的取值范围是 22<m . 16.数列{}n a 前n 项和为n S ，11=a ，n n S a 21=+，数列{}n a 的通项n a 为 ⎩⎨⎧≥⋅=-2
,321
,12
n n n 。
三、解答题：
17. (10分)已知等比数列{}n a 的公比q=3，前3项和3
133=S 。
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵若函数()()πϕϕ<<>+=0,02si n )(A x A x f 在6
π
=x 处取得最大值，且最大值为3a ，求函数)(x f 的解析
式。
解：⑴由313(13)13133,,3133a q S -===-得得311=a ，所以21333
1--=⨯=n n n a ⑵由⑴知33=a ，所以A=3
18.(10分) 解关于x 的不等式()0112
<++-x a ax 。
18.当0<a 时，解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧><11|x a x x 或；…………2分
当0=a 时，解集为{}1|>x x ；…………2分
当10<<a 时，解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
<
<a x x 11|；…………2分 当1=a 时，解集为φ；…………2分
当1>a 时，解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<11|x a x 。
…………2分
19. (10分) 设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+ 122n n b b +=+，
(1) 求证：数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比)， (2) 求数列}{n a 的通项公式．
19.解：(1)),2(222211+=+⇒+=++n n n n b b b b ,22
2
1=+++n n b b 又42121=-=+a a b ,
∴ 数列}2{+n b 是首项为4,公比为2的等比数列. (2)2224211-=⇒⋅=+∴+-n n n n b b .
.221-=-∴-n n n a a
令),1(,,2,1-=n n 叠加得)1(2)222(232--+++=-n a n n ,
22)2222(32+-++++=∴n a n n
.22221
2)12(21n n n n -=+---=+
20. (10分)已知ABC ∆的周长为12+，且C B A si n 2si n si n =+.
⑴求边AB 的长；
⑵若ABC ∆的面积为C si n 6
1
,求角C 的度数.
20.解：设角A 、B 、C 、所对边长分别为a,b,c. ⑴由题意及正弦定理得： 12+=++c b a ,c b a 2=+.
可解得c=1.
⑵ABC ∆的面积为C C ab sin 61sin 21=,得3
1
=ab ，
由余弦定理得：()C ab ab b a C ab b a c cos 22cos 22
222--+=-+=
C cos 32322--=；2
1
cos =C ，所以 60=C .。
高中数学 章末综合测评(五)三角函数(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
章末综合测评(五) 三角函数(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M ND ．M ∩N ＝∅C [M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．因为k ∈Z ，所以k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，所以M N ，故选C.]2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62B.32C.54D ．1＋34C [∵cos 75°＝sin 15°，∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋12×12＝54.]3．化简cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得()A ．sin 2αB ．－sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2αA [原式＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α.]4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为() A ．－47B.47C.18D ．－18A [tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47.]5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β在第三象限，则cos β2的值等于()A ．±55 B ．±255C ．－55D ．－255A [由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35，∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55.] 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于原点对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称B [因为当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3，当x ＝π6时，y ＝2sin 2π3＝3，当x ＝－π6时，y ＝2sin 0＝0.所以A 、C 、D 错误，B 正确．]7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6C [由图象知，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝4π＝2πω，∴ω＝12.又当x ＝2π3时，y ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2π3＋φ＝1， π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6.] 8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2＜α＜0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α等于( )A ．－435B ．－335C.335 D.435A [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－π2＝－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝－3×45＝－435.] 9．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( )A.3＋226 B.3－226 C.1＋266 D.1－266A [∵sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∵α∈(0，π)，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13， ∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－223.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π6＝13×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＝22＋36.] 10．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝abC [由根与系数的关系得：tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ca ，tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1－tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 1－c a＝1，得c ＝a ＋b .]11．函数f (x )＝A sin ωx (ω＞0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于()A ．aB ．2aC ．3aD ．4aA [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )， 即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .] 12．甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l 表示甲、乙两人的直线距离，则l ＝f (θ)的大致图象是( )B [由题意知θ＝π时，两人相遇排除A ，C ，两人的直线距离大于等于零，排除D ，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________． －1＋32 [因为tan α＝－3，π2＜α＜π，所以α＝2π3， 所以cos α＝－12，sin α＝32，cos α－sin α＝－1＋32.]14．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝________.247[因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0， 因为cos α＝x 5＝xx 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 15．已知α满足sin α＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．718 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝718.] 16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上) ①②③ [∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，即③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，所以④不正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)(n ∈Z )．[解] 因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)] ＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)＝sin (α＋2n π＋π)－sin αsin αcos α＝sin (π＋α)－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2)求cos β的值．[解] (1)∵α为锐角，sin α＝17，∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314. (2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335. 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ [解] (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2x ――――――――――――→向左平移π12个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12―――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值． [解] (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足sin 2(A ＋C )＝3sinB cos B ，cos(C －A )＝－2cos 2A .(1)试判断△ABC 的形状；(2)已知函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )，求f (A ＋45°)的值． [解] (1)∵sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ， ∴sin 2B ＝3sin B cos B ，∵sin B ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3， ∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°， 又cos(C －A )＝－2cos 2A ， 得cos(120°－2A )＝－2cos 2A ，化简得sin 2A ＝－3cos 2A ，解得tan 2A ＝－3， 又0°＜A ＜120°，∴0°＜2A ＜240°， ∴2A ＝120°，∴A ＝60°，∴C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． (2)∵f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2(sin x cos 60°－cos x sin 60°) ＝2sin(x －60°)，∴f (A ＋45°)＝2sin 45°＝ 2.22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．[解] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ，AH ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ， ∴B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.。
人教A版高中数学必修5数学试卷(含答案)
------------------------:--号---考------------------------------------------A．--------:---号---学----------------------------------------:----名---姓-----------------------------------------------:---级---班---------------座号2014—2015 学年度第二学期高一必修 5 期末数学试卷一．选择题（每题 5 分，共60 分，答案涂在答题卡内）1.以下结论正确的选项是（）A．若 ac>bc，则 a>b B．若 a2>b2，则 a>bC．若 a>b,c<0，则 a+c<b+c D．若a < b ，则a<b2.在数列{ a n}中，a1 =1，a n 1a n 2 ，则 a51的值为（）A． 99B．49C． 101D． 1023. ABC中，若a 1, c2, B60，则ABC 的面积为（）13D.3B．224．在等比数列 { a n }中 ,已知a11, a59 ，则 a3()9A． 1B． 34C．1D．± 35.已知x x 的最小值是（）0 ，函数 yxA． 5B． 4C．8D． 6x y16.设x, y知足拘束条件y x,则z3x y 的最大值为（）y2A． 5 B. 3 C. 7 D. -87.已知数列{ a n } 的前n项和 S n2n( n1)，则 a5的值为（）A． 80B． 40C． 20D． 108.在△ ABC 中，假如sin A :sin B :sin C2:3: 4 ，那么cosC等于（）A.2B. -2C. -1D. -133349.已知等差数列{ a n}的前 n 项和S n，且S25100，则a12a14=（）A、 16B、 4C、 8D、不确立10.一个等比数列{ a n } 的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n 项和为（）A、63B、 108C、 75D、8311．△ ABC中， a、 b、 c 分别为∠ A、∠ B、∠ C 的对边 .假如 a、 b、 c 成等差数列，∠B=30°，△ ABC的面积为3，那么 b=（）213B．1323D．23A．2C．212．当x R 时，不等式kx2kx10 恒建立，则k之的取值范围是（）A．(0, )B．0,C．0,4D．（ 0，4）二．填空题 (每题5分，共 20 分。
2023-2024学年全国高中高一上数学人教A版(2019)期末试卷(含解析)
2023-2024学年全国高一上数学期末试卷考试总分：141 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设集合，是自然数集，则( )A.B.C.D.2. 已知均为正实数，则“”是“”的 A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3. 已知是第二象限角，若，则＝（ ）A.B.C.D.4. 下列命题中，真命题是（ ）A ={x|−2≤x <3}N A ∩N ={−2,−1,0,1,2}{0,1,2,3}{0,1,2}{1,2}()αsin(−α)=−π213sin α−22–√3−131322–√3∀x ∈R ln ≥02A.，B.，C.，D.，5. 为了得到函数的图像，可将函数的图像( )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度6. 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：在四个函数模型（，为待定系数）中，最能反映，函数关系的是（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝7. 不等式有且只有一个整数解，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.8.根据表格中的数据，可以断定：方程的一个根所在的区间是( )∀x ∈R ln ≥0x 2∀x ∈R −1≤≤11sin x ∃∈R x 0≤1e x 0∃∈R x 0cos =2x 0y =cos 2x y =sin(2x −)π6π6π3π6π3x 123458y 0.51.52.082.52.823.5a b x y y a +bxy a +b xy a +xlog b y a+x ln x ++(a −2)x ≤2a x 2a [−1,+∞)(−∞,−4−4ln 2)∪[−1,+∞)(−∞,−3−3ln 3)∪[−1,+∞)(−4−4ln 2,−3−3ln 3)∪[−1,+∞)−x −2=0e x x −10123A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）9. 下列四个等式其中正确的是（ ）A.B.C.D.10. 某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如下图所示：则下列结论中正确的有A.调整后房地产业的利润有所下降B.调整后医疗器械的利润增长量最大C.调整后生物制药的利润增长率最高D.调整后金融产业的利润占比最低11. 在同一直角坐标系中，与的图象如图，则下列关系不正确的是( )e x0.371 2.727.3920.09x +212345(1，2)(0，1)(2，3)(−1，0)=1tan 22.5∘1−tan 222.5∘tan +tan +tan tan =25∘35∘3–√25∘35∘3–√−=cos 2π8sin 2π82–√2−=41sin 10∘3–√cos 10∘f (x)=kx +b g(x)=x log bA.B.C.D.时，卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12. 求值：________．13. 已知扇形的圆心角的弧度数为，其弧长也是，则该扇形的面积为________．14. 函数，的单调递减区间是________．15. 函数的最小值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16. 已知集合＝，＝．（1）若＝，求、；（2）若＝，求实数的取值范围．17. 已知（，且为常数）．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在区间内，存在，且时，使不等式成立，求的取值范围．18. 已知函数＝．k <0,0<b <1k >0,b >1f ()g(1)>0(x >0)1xx >1f (x)−g(x)>0lo 15−lo 25=g 312g 322y =sin(−x)π6x ∈[0,]3π2f (x)=2x −x +1−−−−−√A {x |−2<x <7}B {x |a ≤x ≤3a −2}a 4A ∪B (A)∩B ∁R A ∪B A a f(x)=1+ln xax a ≠0a f(x)(1,+∞)，x 1x 2≠x 1x 2|f()−f()|x 1x 2≥k|ln −ln |x 1x 2k f(x)（1）求函数的最小正周期，以及在，]上的单调性．（2）已知，，分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，＝，＝，且恰是函数在，]上的最大值，求和．19. 年，随着中国第一款手机投入市场，技术已经进入高速发展阶段．已知某手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机万台，其成本为，其中固定成本为万元，并且每生产万台的生产成本为万元（总成本＝固定成本+生产成本），销售收入万元满足，（1）将利润表示为产量万台的函数；（2）当产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？20. 在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？ 21. 设，函数；（1）求的值，使得为奇函数；（2）若对任意成立，求的取值范围．f(x)f(x)[0a b c ABC A a 1c f(A)f(x)[0A b 20195G 5G 5G x(0≤x ≤10)G(x)80011000R(x)R(x)={ −400+4200x,0≤x ≤5x 22000x −3800,5<x ≤10f(x)x x S a ∈R f(x)=+a 2x +12x a f(x)f(x)a +22x ∈R a参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为集合，是自然数集，所以.故选.2.【答案】C【考点】由基本不等式证明不等关系【解析】代入特殊值，判断不是充分条件，再根据基本不等式判断必要条件．【解答】取，则，但，所以由推不出；若，则，当且仅当时取等号，所以由能推出，所以“”是“的必要不充分条件．故选：．3.A ={x|−2≤x <3}N A ∩N ={0,1,2}C a =100,b =2=<2ab a +b 200102ab =200>16≤2ab a +bab ≤16ab ≤16≤=≤2ab a +b ab 2ab −−√ab −−√2a =b =4ab ≤16≤2ab a +b ≤2ab a +b ab ≤16C【答案】D【考点】同角三角函数间的基本关系运用诱导公式化简求值【解析】直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可．【解答】是第二象限角，若可得，所以．4.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用全称命题与特称命题【解析】根据含有量词的命题的判断方法即可得到结论．【解答】解：，当时，，故错误；，当时，无意义，故错误；，当时，显然成立，故正确；，，故错误.故选.5.【答案】D【考点】αsin(−α)=−π213cos α=−13sin α==1−co αs 2−−−−−−−−√22–√3A x =12ln <0x 2A B x =01sin x B C =0x 0≤1e x 0C D cos ∈[−1,1]x 0D C函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】利用诱导公式将函数名化相同，根据三角函数图象平移变换规律可得答案．【解答】解：∵，∴将函数的图象向左平移个单位可得．故选．6.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由表格中的数据作出散点图，结合图象得答案．【解答】由表格中数据作出散点图：由图可知，是关于的增函数，且递增的比较缓慢，7.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由题意可得，，由题意可得函数的图象在的图象下方，有且只有一个横坐标为整数的点，讨论，，，可得方程的解为和，可得的不等式，解不等式即可得到所求范围．y =cos 2x =sin(2x +)=sin[2(x +)−]π2π3π6y =sin(2x −)π6π3D y x x ln x ≤−+(2−a)x +2a x 2x >0y =x ln x y =−+(2−a)x +2a x 2a <2a =2a >213a【解答】不等式，即为，，由题意可得函数的图象在的图象下方，有且只有一个横坐标为整数的点，由函数的图象恒过点，又过，当时，横坐标为的点满足题意，可得，解得；当，两图象无交点；当时，横坐标为的点满足题意，可得：，且，解得，则的范围是，8.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：令，由表知，，∴方程的一个根所在的区间为．故选．二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）9.【答案】B,C,D【考点】二倍角的三角函数两角和与差的三角函数三角函数的恒等变换及化简求值【解析】x ln x ++(a −2)x ≤2a x 2x ln x ≤−+(2−a)x +2a x 2x >0y =x ln x y =−+(2−a)x +2a x 2y =−+(2−a)x +2a x 2(2,0)(−a,0)a <21ln 1≤−1+(2−a)+2a a ≥−1a =2a >234ln 4>−+4(2−a)+2a 423ln 3<−+3(2−a)+2a 32−4−4ln 2<a <−3−3ln 3a (−4−4ln 2,−3−3ln 3)∪[−1,+∞)f(x)=−x −2e x f(1)=2.72−3<0f(2)=7.39−4>0−x −2=0e x (1，2)A利用三角恒等变换逐项判断即可．【解答】解：，，故，故错误；，，故，故正确；，，故正确；，，故正确．故选.10.【答案】B,C,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】略11.【答案】A,B,C【考点】对数函数的图象与性质一次函数的性质与图象【解析】由的图象可得故不正确，再由故不正确，则答案可求．【解答】解：由直线方程可知，，故不正确；而，故不正确；A =tan tan 22.5∘1−tan 222.5∘1245∘=12=tan 22.5∘1−tan 222.5∘12B tan 60∘=tan(+)==25∘35∘tan +tan 25∘35∘1−tan tan 25∘35∘3–√tan +tan +tan tan =25∘35∘3–√25∘35∘3–√C −=cos =cos 2π8sin 2π8π42–√2D −=1sin 10∘3–√cos 10∘cos −sin 10∘3–√10∘sin cos 10∘10∘===42cos(+)60∘10∘sin 1220∘2sin 20∘sin 1220∘BCD f (x)k >0,0<b <1A ，B g(1)=0C k >0，0<b <1A ，B g(1)=0C f(x)>g(x)由图象可知，当时，，，故正确.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12.【答案】【考点】对数的运算性质【解析】直接利用对数的运算性质即可求解．【解答】＝＝．13.【答案】【考点】扇形面积公式【解析】利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出．【解答】由弧长公式可得＝，解得＝．∴扇形的面积＝．14.【答案】【考点】正弦函数的单调性x >1f(x)>g(x)f (x)−g(x)>0D ABC 1lo 15−lo 25=15−5g 312g 3log 3log 33log 31122r r 1S =lr =×2×112121[0,π]23【解析】函数，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】由函数，令，得：，∵，当＝时，可得单调递减区间为．15.【答案】【考点】函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：令，则，利用换元法可将函数的解析式换元为： .结合二次函数的性质可知当 时函数取得最小值.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16.【答案】＝时，集合＝＝，＝＝＝，所以＝；又＝，所以＝；y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6x ∈[0,]3π2y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6−+2kπ≤x −≤+2kππ2π6π2k ∈Z −+2kπ≤x ≤+2kππ32π3x ∈[0,]3π2k 0[0,π]23−178t =，t >0x +1−−−−−√x =−1t 2g(t)=2(−1)−t =2−t −2(t >0)t 2t 2t =14g()=−−2=−141814178−178a 4A {x |−2<x <2}(−2B {x |a ≤x ≤3a −3}{x |4≤x ≤10}[4,10]A ∪B (−2,10]A ∁R (−∞,−2]∪[7A ∩B ∁R [8,10]A ∪B A B ⊆A由＝，得，①当＝时，；②时，应满足，解得，即；综上知，实数的取值范围是．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】解：（Ⅰ）（，且为常数），．①若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．②若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，取，则在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，即，令，则在区间上存在单调递减区间，又有解，即，有解，令，则，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．，故．A ∪B A B ⊆A B ∅a >3a −2B ≠∅4≤a <3a a <3∵f(x)=1+ln x ax a ≠0a ∴(x)=f ′−a ln x (ax)2=−ln x ax 2a >0，0<x <1(x)>0f ′x >1(x)<0f ′a >0f(x)(0,1)(1,+∞)a <0，0<x <1(x)<0f ′x >1(x)>0f ′a <0f(x)(1,+∞)(0,1)a =1f(x)=1+ln x x (1,+∞)>>1x 2x 1f()>f()x 1x 2|f()−f()|≥k|ln −ln |x 1x 2x 1x 2f()−f()≥k(ln −ln )x 1x 2x 2x 1f()+k ln ≥f()+k ln x 1x 1x 2x 2F(x)=f(x)+k ln x F(x)(1,+∞)(x)=(x)F ′f ′+=k x −ln x x 2+=k x −ln x +kx x 2<0kx <ln x(x >1)∴k <ln x x G(x)=ln x x (x)=G ′1−ln x x 2(x)=0G ′x =e x ∈(1,e)(x)>0G ′G(x)x ∈(e,+∞)(x)<0G ′G(x)∴G(x =G(e))max =1e k <1e【考点】函数奇偶性的性质与判断不等式的证明利用导数研究函数的单调性【解析】本题考查函数的性质、导数的应用、不等式的证明．【解答】解：（Ⅰ）（，且为常数），．①若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．②若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，取，则在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，即，令，则在区间上存在单调递减区间，又有解，即，有解，令，则，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．，故．18.【答案】由题意可得：＝＝+＝），所以函数的周期为＝＝，∵f(x)=1+ln x ax a ≠0a ∴(x)=f ′−a ln x (ax)2=−ln x ax 2a >0，0<x <1(x)>0f ′x >1(x)<0f ′a >0f(x)(0,1)(1,+∞)a <0，0<x <1(x)<0f ′x >1(x)>0f ′a <0f(x)(1,+∞)(0,1)a =1f(x)=1+ln x x (1,+∞)>>1x 2x 1f()>f()x 1x 2|f()−f()|≥k|ln −ln |x 1x 2x 1x 2f()−f()≥k(ln −ln )x 1x 2x 2x 1f()+k ln ≥f()+k ln x 1x 1x 2x 2F(x)=f(x)+k ln x F(x)(1,+∞)(x)=(x)F ′f ′+=k x −ln x x 2+=k x −ln x +kx x 2<0kx <ln x(x >1)∴k <ln x x G(x)=ln x x (x)=G ′1−ln x x 2(x)=0G ′x =e x ∈(1,e)(x)>0G ′G(x)x ∈(e,+∞)(x)<0G ′G(x)∴G(x =G(e))max =1e k <1e f(x)x+cos 2sin x cos x+sin 2x+sin(2x++3f(x)T π令，解得，，因为，]，则令＝可得，]，故函数在区间，]上单调递增]上单调递减；由（1）知：＝），又恰是函数在，]上的最大值，所以＝，解得＝，则在三角形中，由余弦定理可得：＝，即＝，解得＝或，故＝，＝或．【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】＝，∴＝．当时，＝，故当＝时，取得最大值；当时，＝为增函数，故当＝时，取得最大值＝．综上，当产量为万台时，公司利润最大，最大利润为万元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】7kπ−≤2x+k k ∈Z x ∈[0k 0x ∈[0f(x)[0f(x)sin(2x++2f(A)f(x)[02A+A ABC a 2+−2bc cos A b 4c 252+8−2b×b 2b 17A b 13G(x)1000x +800f(x)R(x)−G(x)={ −400+3200x −800,0≤x ≤5x 21000x −4600,5<x ≤100≤x ≤5f(x)−400(x −4+5600)2x 4f(x)56005<x ≤10f(x)1000x −4600x 10f(x)1000×10−4600540045600f(x)R(x)−G(x)（1）根据＝得出解析式；（2）分段求出函数的最大值，从而得出利润的最大值．【解答】＝，∴＝．当时，＝，故当＝时，取得最大值；当时，＝为增函数，故当＝时，取得最大值＝．综上，当产量为万台时，公司利润最大，最大利润为万元．20.【答案】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为，解得；又扇形的周长为＝＝，当且仅当，即时扇形的周长最小．【考点】扇形面积公式【解析】设出扇形的半径与圆心角，由此表示出扇形的面积，再利用基本不等式求出扇形周长的最小值；【解答】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为，解得；又扇形的周长为＝＝，当且仅当，即时扇形的周长最小．21.【答案】由的定义域为，且为奇函数，可得＝，即有，解得＝．则，，则＝满足题意；f(x)R(x)−G(x)G(x)1000x +800f(x)R(x)−G(x)={ −400+3200x −800,0≤x ≤5x 21000x −4600,5<x ≤100≤x ≤5f(x)−400(x −4+5600)2x 4f(x)56005<x ≤10f(x)1000x −4600x 10f(x)1000×10−4600540045600θr S =θ12r 2θ=2S r 2P 2r +θr 2(r +)≥4⋅=4S r r ⋅S r −−−−√S −−√r =S rr =S −−√θr S =θ12r 2θ=2S r 2P 2r +θr 2(r +)≥4⋅=4S r r ⋅S r −−−−√S −−√r =S r r =S −−√f(x)R f(x)f(0)0=01+a 2a −1f(x)=−12x +12x f(−x)===−f(x)−12−x +12−x 1−2x1+2xa −1(x)a +2对任意成立，即为恒成立，等价为，即有，当＝时，恒成立；当时，，由，可得，解得；当时，不恒成立．综上可得，的取值范围是．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）由在上为奇函数，可得＝，解方程可得的值，检验即可；（2）由题意可得即为恒成立，等价为，即有，讨论＝，，，由参数分离，求得右边的范围，运用恒成立思想即可得到的范围．【解答】由的定义域为，且为奇函数，可得＝，即有，解得＝．则，，则＝满足题意；对任意成立，即为恒成立，等价为，即有，当＝时，恒成立；当时，，由，可得，解得；当时，不恒成立．综上可得，的取值范围是．f(x)a +22x ∈R +a 2x+12x a +22a −1+12xa 22(a −1)<a(+1)2x a 0−1<0a >0+12(a −1)a 2x +1>12x ≤12(a −1)a0<a ≤2a <0+12(a −1)a 2x a [0,2]f(x)R f(0)0a +a 2x +12x a +22a −1+12x a 22(a −1)<a(+1)2xa 0a >0a <0a f(x)R f(x)f(0)0=01+a 2a −1f(x)=−12x +12x f(−x)===−f(x)−12−x +12−x 1−2x1+2x a −1f(x)a +22x ∈R +a 2x +12x a +22a −1+12xa 22(a −1)<a(+1)2x a 0−1<0a >0+12(a −1)a 2x +1>12x ≤12(a −1)a 0<a ≤2a <0+12(a −1)a 2x a [0,2]。
2019-2020学年人教A版辽宁省重点高中协作校高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．设集合U＝R，A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x2﹣2x＞0}．则阴影部分表示的集合为（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．[1，2]C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）2．假设要考察某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将500袋牛奶按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第4列的数开始，按三位数连续向右读取．到达行末后，接着从下一行第一个数继续，则最先检验的5袋牛奶的号码是（）（下面摘取了某随机数表第7行至第9行）84421 75331 57245 50688 77047 44767 2176335025 83921 20676 63016 47859 16955 5671998105 07185 12867 35807 44395 23879 33211A．206 301 169 105 071B．164 199 105 071 286C．478 169 071 128 358D．258 392 120 164 1993．已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“lga＜lgb”的（）A．．充分不必要条件B．.必要不充分条件C．充分且必要条件D．．既不充分也不必要条件4．下列三个不等式中（）①；②；③恒成立的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．05．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b ＞a的概率是（）A．B．C．D．6．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+5）•x m+1为奇函数，则m＝（）A．1 B．4 C．1或4 D．27．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（）A．46，45 B．45，46 C．45，45 D．47，458．函数y＝xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．9．若log4（3a+4b）＝log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+410．函数f（x）＝3x|log2x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，若，点O在线段CD上，若，则实数t的取值范围（）A．B．C．D．12．设f（x）＝||x﹣1|﹣1|，关于x的方程[f（x）]2+k•f（x）+1＝0，给出下列四个命题，其中假命题的个数是（）①存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题13．已知：5a＝3，log54＝b，用a，b表示log12536＝．14．某次调查的200个数据的频率分布直方图如图所示，则在[50，70）内的数据大约有个．15．如图，已知||＝1，||＝2，||＝，⊥，∠AOC＝30°，若＝x+y，则x+y＝．16．已知实数a，b，c满足a+b+c＝9，ab+bc+ca＝24，则b的取值范围是．三、解答题17．已知集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a+1）≤0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}．（1）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（2）设命题p：∃x∈B，x2+（2m+1）x+m2﹣m＞8，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．18．地震是一种自然现象，地震的震级是震波最大振幅来确定的震级单位是“里氏”，通常用字母M表示，其计算公式为：M＝lg，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差），例如：用A8.0和A9.0分别表示震级为8.0和9.0的最大振幅．（1）若一次地震中的最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）2008年5月12日，我国汶川发生了8.0级地震；2011年3月11日在日本东北部太平洋海城发生了9.0级地震．试计算9.0级地震的最大振幅是8.0级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据供参考：lg2≈0.3010）19．平面内给定三个向量（1）求满足的实数m、n；（2）设满足且，求．20．某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为．且各场比赛互不影响．（1）若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；（2）若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．21．已知函数．（1）若f（x）＝2，求x的值；（2）若f（2x）+mf（x）≥0对于x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．22．已知y＝f（x）是y＝2x的反函数．（1）若在区间[1，2]上存在x0使得方程成立，求实数a的取值范围；（2）设b＞0，若对，函数g（x）＝f（bx+1）﹣f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求b的取值范围．参考答案一、选择题1．设集合U＝R，A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x2﹣2x＞0}．则阴影部分表示的集合为（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．[1，2]C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）解：A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x＜0或x＞2}，阴影部分表示的是∁R（A∪B），而A∪B＝{x|x＜1或x＞2}，故∁R（A∪B）＝{x|1≤x≤2}．故选：B．2．假设要考察某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将500袋牛奶按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第4列的数开始，按三位数连续向右读取．到达行末后，接着从下一行第一个数继续，则最先检验的5袋牛奶的号码是（）（下面摘取了某随机数表第7行至第9行）84421 75331 57245 50688 77047 44767 2176335025 83921 20676 63016 47859 16955 5671998105 07185 12867 35807 44395 23879 33211A．206 301 169 105 071B．164 199 105 071 286C．478 169 071 128 358D．258 392 120 164 199解：找到第8行第4列的数开始向右读，第一个符合条件的是258，第二个数392，第三个数120，第四个数676大于499要舍去，第五个数630大于499要舍去，第六个数164符合条件，第七个数785，第八个数916第九个数955，第十个数567大于499要舍去，第十一个数199，符合条件故答案为：258，392，120，164，199．故选：D．3．已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“lga＜lgb”的（）A．．充分不必要条件B．.必要不充分条件C．充分且必要条件D．．既不充分也不必要条件解：∵a3＜b3是⇔a＜b；lga＜lgb⇔0＜a＜b．∴“a3＜b3”是“lga＜lgb”的必要不充分条件．故选：B．4．下列三个不等式中（）①；②；③恒成立的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0解：①＝＝，∵a，b，m＞0，b＞a，∴，∴①正确；②∵x≠0，显然当x＜0时，不等式不成立，故②不正确；③∵a＞b＞0，d＞c＞0，∴ad＞bc，∴，∴③正确．故选：B．5．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b ＞a的概率是（）A．B．C．D．解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a＝1，b＝2；a＝1，b＝3；a＝2，b＝3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P＝＝，故选：D．6．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+5）•x m+1为奇函数，则m＝（）A．1 B．4 C．1或4 D．2解：∵函数f（x）＝（m2﹣5m+5）•x m+1为幂函数，∴m2﹣5m+5＝1，解得：m＝1或4，又∵函数f（x）为奇函数，∴m＝4，故选：B．7．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（）A．46，45 B．45，46 C．45，45 D．47，45解：根据茎叶图知，样本中的30个数据从小到大排列，位于中间的两个数据是45，47，∴该样本的中位数为：＝46；出现次数最多的数据是45，∴该样本的众数是45．故选：A．8．函数y＝xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．解：令f（x）＝xln|x|，易知f（﹣x）＝﹣xln|﹣x|＝﹣xln|x|＝﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）＝xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；令f（x）＝0，得xlnx＝0，所以x＝1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．故选：C．9．若log4（3a+4b）＝log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）＝log2，∴log4（3a+4b）＝log4（ab）∴3a+4b＝ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b＝a+＝a+＝a+3+＝（a﹣4）++7+7＝4+7，当且仅当a＝4+2取等号．故选：D．10．函数f（x）＝3x|log2x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由f（x）＝3x|log2x|﹣1＝0，得3﹣x＝|log2x|，设y＝3﹣x和y＝|log2x|，作出两个函数的图象如图：由图象可知，两个函数图象有两个交点，即函数f（x）＝3x|log2x|﹣1的零点个数为2个．故选：B．11．已知在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，若，点O在线段CD上，若，则实数t的取值范围（）A．B．C．D．解：∵＝+＝+y＝+y（﹣）＝﹣y+（1+y）；∵，点O在线段CD上（与点C、D不重合），∴y∈（0，），∵，∴t∈（﹣．故选：A．12．设f（x）＝||x﹣1|﹣1|，关于x的方程[f（x）]2+k•f（x）+1＝0，给出下列四个命题，其中假命题的个数是（）①存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根．A．0 B．1 C．2 D．3解：令t＝f（x），则t≥0，则方程可化为t2+kt+1＝0，所以△＝k2﹣4，当﹣2＜k＜2时，△＜0，方程无解；当k＝±2时，△＝0，方程有一根，即f（x）＝1或﹣1（舍）；当k＜﹣2或k＞2时，△＞0，方程有2根，x＝，或x＝．作出函数f（x）的图象如图：当t＝1时，根据图象可知，x有3个不同的实根；这时k＝﹣2，所以存在k值恰好有3个不同的实数根，所以①正确；当t＝0时，方程无解，当t＞0且t1•t2＝1，所以t≠0，设t1∈（0，1），则t2∈（1，+∞），所以0＜＜1，且＞1，解得k＜﹣2，所以④正确，所以不正确的②③，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知：5a＝3，log54＝b，用a，b表示log12536＝（b+2a）．解：由5a＝3，∴a＝log53＝，由log54＝b，∴b＝，∵log12536＝＝＝＝（+2）＝（b+2a），故答案为：（b+2a）．14．某次调查的200个数据的频率分布直方图如图所示，则在[50，70）内的数据大约有140 个．解：根据频率分布直方图，[50，70）的频率为（0.03+0.04）×10＝0.7，由200×0.7＝140，故答案为：14015．如图，已知||＝1，||＝2，||＝，⊥，∠AOC＝30°，若＝x+y，则x+y＝．解：如图，连接CA，延长CA交BO的延长线于点D，∵，∴AC2＝OA2+OC2﹣2OA•OC•cos30°＝，∴∠ACO＝30°，∠OAC＝120°，且，∴∠AOB＝120°，∴∠DOA＝∠DAO＝60°，∴△DAO为等边三角形，∴OD＝AD＝AC＝1，即A为边CD的中点，且，∴，∴，又，∴．故答案为：．16．已知实数a，b，c满足a+b+c＝9，ab+bc+ca＝24，则b的取值范围是[1，5] ．解：∵a+b+c＝9，∴a+c＝9﹣b，∵ab+ac+bc＝（a+c）b+ac＝24，得ac＝24﹣（a+c）b；又∵ac，∴24﹣（a+c）b，即24﹣（9﹣b）b，整理得b2﹣6b+5≤0，∴1≤b≤5；故答案为[1，5]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a+1）≤0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}．（1）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（2）设命题p：∃x∈B，x2+（2m+1）x+m2﹣m＞8，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|（x﹣a）（x﹣a+1）≤0}＝{x|a﹣1≤x≤a}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，∴，解得a∈（﹣1，1）；（2）由题知：￢p：∀x∈B，x2+（2m+1）x+m2﹣m≤8为真命题，设g（x）＝x2+（2m+1）x+m2﹣m﹣8，则，解得，∴m∈[﹣1，2]．18．地震是一种自然现象，地震的震级是震波最大振幅来确定的震级单位是“里氏”，通常用字母M表示，其计算公式为：M＝lg，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差），例如：用A8.0和A9.0分别表示震级为8.0和9.0的最大振幅．（1）若一次地震中的最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）2008年5月12日，我国汶川发生了8.0级地震；2011年3月11日在日本东北部太平洋海城发生了9.0级地震．试计算9.0级地震的最大振幅是8.0级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据供参考：lg2≈0.3010）解：（1）因此，这次地震的震级约为里氏4.7级．（2）由可得，当M＝8.0时，地震的最大振幅为当M＝9.0时，地震的最大振幅为所以，两次地震的最大振幅之比是：答：9.0级地震的最大振幅约为8.0级地震的最大振幅的10倍．19．平面内给定三个向量（1）求满足的实数m、n；（2）设满足且，求．解：（1）∵，∴（3，2）＝m（﹣1，2）+n（4，1），即，解得；（2）∵，，又，且，∴；解得，或；∴，或．20．某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为．且各场比赛互不影响．（1）若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；（2）若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．解：设A i（i＝1，2，3，4，5）表示甲队在第i场比赛获胜，（1）所求概率为：P（A1A2）+P（）+P（）＝＝，（2）所求概率为：．21．已知函数．（1）若f（x）＝2，求x的值；（2）若f（2x）+mf（x）≥0对于x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）∵，f（x）＝2，∴，解得．（2）当x∈[1，2]时，，且，∴f（2x）+mf（x）≥0⇔⇔⇔，设，任取x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2，则＝，∵y＝2x是增函数，∴，又∵x1，x2∈[1，2]，∴，，∴，∴在区间[1，2]上单调递增，∴，∵f（2x）+mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，∴．22．已知y＝f（x）是y＝2x的反函数．（1）若在区间[1，2]上存在x0使得方程成立，求实数a的取值范围；（2）设b＞0，若对，函数g（x）＝f（bx+1）﹣f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求b的取值范围．解：（1）由题知f（x）＝log2x，由得，所以，，∵x o∈[1，2]，∴a∈[3，8]．（2）当0＜x1＜x2时，，所以，，因为，所以，y＝g（x）在（0，+∞）上单调递减．∴，即bt2+（b+1）t﹣1≥0，对任意恒成立．∵b＞0，y＝bt2+（b+1）t﹣1的图象为开口向上，且对称轴为的抛物线．∴y＝bt2+（b+1）t﹣1在区间上单调递增．∴时，，由，得．。
【人教版】高中数学必修五期末试题(附答案)(1)
一、选择题1．若正数x，y满足21yx+=，则2xy+的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知正数x，y满足1431x y+=+，则x y+的最小值为（）A．53B．2 C．73D．63．设变量,x y、满足约束条件236y xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．94．如图，地面四个5G中继站A、B、C、D ，已知()62kmCD=+，30ADB CDB∠=∠=︒，45DCA∠=︒，60ACB∠=︒，则A、B两个中继站的距离是（）A．3km B．10km C10km D．62km 5．ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b=，6Bπ=，4Cπ，则ABC∆的面积为（）A．223+B31C．232D316．设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2cos0b a C-=，()sin3sinA A C=+，则2bca=（）A7B14C．23D67．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若22tan tanB Cb c=，则ABC的形状为（）A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．139．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D．25910．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－212．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n -二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.14．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________. 15．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续自然数，且2C A =，则a =_______．17．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．19．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．20．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．三、解答题21．已知函数()()()23f x x a x =-+. （1）当72a >-时，解关于x 的不等式()46f x x >+； （2）若关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 22．已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.23．在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若()()2sin 2sin sin 2sin sin a A B C b C B c =+++.（1）求A 的大小； （2）求sin sin B C +的最大值.24．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且AD =3CD ，BD，求AD 的值和sin ∠ABD 的值25．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，②数列{}n a 满足122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2221log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知等比数列{}n a 的公比3q =，并且满足2a ，318a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足31log n n nb a a =+，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使2220n S n ->成立的正整数n 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等.所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.3．D解析：D 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC 中，由正弦定理得()362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC+⨯⋅∠===∠︒， 在BDC 中，由正弦定理得()162sin 231sin 22CD BDC BC DBC+⨯⋅∠===+∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠()()()22123312233112=++-⨯⨯+⨯=，所以10km AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．6．D解析：D 【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得6c b =，最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中，sin sin a b A B=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，由①②可知：2cos 3C =，又2222cos 23a b c C ab +-==③，把①代入③化简可得：c =，则()2293bc b a b ==， 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B Cb c =， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b cb Bc C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．C解析：C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．11．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.12．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.二、填空题13．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线 解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=.故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
人教A版高中数学必修五下学期期末考试高一数学试题.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作下学期期末考试高一数学试题注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间100分钟．2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．3.选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．5.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共70分）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或02．已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a << 3．函数22cos ()sin ()44y x x ππ=+-+的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．πD ．2π4．一个圆台的正视图如图所示，则其体积．．等于( ) 第4题图A ．6πB ．65πC ．143πD ．14π 5．已知函数)3log 2(.4),1(,4,)21()(2+⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=f x x f x x f x则的值为（ ）A ．31B ．61 C ．121 D ．2416．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A ．3324R πB ．338R πC ．3524R πD ．358R π7．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 8．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆， 则该几何体的体积是 （ ）A ．36πB ．12πC ．33πD ． 433π9．圆222210x y x y +--+=上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( ) A ．2B. 12+C ．222+D. 122+10．已知直线βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面，给出下列四个命题： ①若;,//m l ⊥则βα②若;//,βα则m l ⊥ ③若;//,m l 则βα⊥④若.,//βα⊥则m l正视图 俯视图侧视图其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,012.已知图1是函数()y f x =的图象，则图2中的图象对应的函数可能是A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--13.在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将一根锁定在（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ）A.（1.4，2）B.（1，1.4）C.(1,1.5)D.(1.5,2)14. 函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数②存在D b a ⊆],[使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称)(x f y =为“成功函数”，若函数)1,0)((log )(≠>+=a a t a x f x a 是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ）A.()+∞,0B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41,C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 第Ⅱ卷 （非选择题 共80分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
人教A版高中数学必修5：终结性评价笔试试题(3)【含答案解析】
数学必修5终结性评价笔试试题(三)本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页．满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．考生应在开始答题之前将自己的姓名、考生好和座位号填写在答题卷指定的位置上．2．应在答题卷上作答，答在试卷上的答案无效．3．选择题每小题选出答案后，应将对应题目的答案标号填涂在答题卷指定的位置上． 4．非选择题的答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．5．本次考试不允许使用函数计算器．6．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．一、选择题（本题共8个小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共40分） 1、设,0<<b a 则下列不等式中不．成立的是 Ab a 11> B ab a 11>- C b a -> D b a ->- 2、原点O 和点A （1，1）在直线x+y=a 两侧，则a 的取值范围是A a ＜0或 a ＞2B 0＜a ＜2C a=0或 a=2D 0≤a ≤23、在⊿ABC 中，已知ba c b a 2222+=+，则∠C= A 300 B 1500 C 450 D 13504、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于 A245 B 12 C 445 D 6 5、若a,b,c 成等比数列，m 是a,b 的等差中项，n 是b,c 的等差中项，则=+ncm a A 4 B 3 C 2 D 16、等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于A 2)12(-nB )12(31-nC 14-nD )14(31-n7、若c b a 、、成等比数列，则关于x 的方程02=++c bx ax A 必有两个不等实根B 必有两个相等实根C 必无实根D 以上三种情况均有可能8、下列结论正确的是A 当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B 21,≥+>x x x 时当C 21,2的最小值为时当x x x +≥ D 无最大值时当xx x 1,20-≤<二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9、若0＜a ＜b 且a +b=1则21， a ， 2a b ， 22b a +，中的最大的是 ． 10、若x 、y ∈R +, x +4y =20,则xy 的最大值为 ．11、实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤--≥+-1012012y x y x y x ，则目标函数y x z -=取得最大值时的最优解为 ．12、实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥02200y x y x y ，则13+-=x y k 的取值范围为 ．13、数列 121, 241, 381, 4161, 5321, …, n n 21, 的前n 项之和等于 ． 14、设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ．三、解答题（本大题共6个小题，共80分）15、在⊿ABC 中，已知030,1,3===B b c .（Ⅰ）求出角C 和A ；（6分） （Ⅱ）求⊿ABC 的面积S ；（4分）16、已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，且不等式2)6x 3ax (log 22>+-的解集为{}b x or 1x |x >< ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S 公式 ；（8分） （Ⅱ）求数列{11+⋅n n a a }的前n 项和T n （6分）17、解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4＜0． （14分）18、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大? （14分）19、设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+ .221+=+n n b b（Ⅰ）求证数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比), （6分） （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式. （8分）20、（Ⅰ）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足22≤≤-m 的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围；（7分）（Ⅱ）是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足22≤≤-x 的实数x 的取值都成立．（7分）数学必修5终结性评价笔试试题（三）答案二、填空题：（每小题5分，共30分）9、 22b a + 10、 25 11、 （1，0）12、-3≤K ≤31- 13、n n n 21222-++ 14、3+22三、解答题（本大题共6个小题，共80分） 15、（1）b c B C =sin sin，23sin =C 3分 000030,120,90,60,,====∴>>A C A C B C b c 此时或者此时 6分（2）S=0.5bcsinA=43,23 10分 16、解 ：（Ⅰ）∵不等式2)6x 3ax (log 22>+-可转化为02x 3ax 2>+-， 2分 所给条件表明：02x 3ax 2>+-的解集为{}b x or 1x |x ><，根据不等式解集的意义 可知：方程02x 3ax 2=+-的两根为1x 1=、b x 2=．利用韦达定理不难得出2b ,1a ==． 6分 由此知1n 2)1n (21a n -=-+=，2n s n = 8分 （Ⅱ）令)121121(21)12()12(111+--=+⋅-=⋅=+n n n n a a b n n n 2分则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++++=12112171515131)3111(21321n n b b b b T n n =⎪⎭⎫⎝⎛+-121121n 6分 17、解：当a ＝0时，不等式的解为x ＞2； 3分 当a ≠0时，分解因式a (x －a2)(x －2)＜0当a ＜0时，原不等式等价于(x －a2)(x －2)＞0，不等式的解为x ＞2或x ＜a2； 6分当0＜a ＜1时，2＜a2，不等式的解为2＜x ＜a2； 9分当a ＞1时，a2＜2，不等式的解为a2＜x ＜2； 12分当a ＝1时，不等式的解为 Φ 。
人教A版高中数学必修5单元提分试卷等比数列
单元提分卷（6）等比数列1、等比数列,33,66x x x ++,…的第四项等于( ) A.-24 B.0C.12D.242、已知等比数列{}n a 中, 13a =,且1234,2,a a a 成等差数列,则345a a a ++=( ) A.33B. 72C. 84D. 1893、等比数列{}n a 的各项为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=L ( ) A.12B.10C.8D.32log 5+4、若等比数列的首项为98,末项为13,公比为23,则这个数列的项数为( )A.3B.4C.5D.65、在等比数列{}n a 中，n T 表示前n 项的积，若51T =，则下列一定正确的是（ ） A. 11a = B. 31a = C. 41a = D. 51a =6、设数列{}n a ,( ).A.若2*4,,n n a n N =∈则{}n a 为等比数列. B.若2*21,n n n a a a n N ++⋅=∈,则{}n a 为等比数列. C.若*2,,m n m n a a m n N +⋅=∈,则{}n a 为等比数列. D.若*312,n n n n a a a a n N +++⋅=⋅∈,则{}n a 为等比数列.7、三个数,,a b c 既是等差数列，又是等比数列，则,,a b c 间的关系为( ). A. b a c b -=-B. 2b ac =C. a b c ==D. 0a b c ==≠8、如果1,,,,9a b c --成等比数列,那么( )A. 3,9b ac ==B. 3,9b ac =-=C. 3,9b ac ==-D. 3,9b ac =-=-9、在等比数列{}n a 满足135a a +=,且公比2q =,则35a a +等于( ). A.10 B.13 C.20 D.25 10、在等比数列{}n a 中，首项10a <,要使数列{}n a 对任意正整数n 都有1n n a a +>,则公比q 应满足( ). A. 1q > B. 01q << C.112q << D. 10q -<<11、已知等比数列{}n a 中, 12451,8a a a a +=+=-则公比q 等于( ). A.-2 B.2 C. 23- D.3212、设等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=,则12n a a a L 的最大值为__________13、若三个正数,,a b c 成等比数列,其中5a =+5c =-则b =__________. 14、已知数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q =__________15、三个互不相等的实数,1,a b 依次成等差数列,且22,1,a b 依次成等比数列,则11a b+=__________ 16、首项为3的等比数列的第n 项是48,第23n -项是192,则n =__________答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：由题意知()()23366x x x +=+,即2430x x ++=,解得3x =-或1x =- (舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.2答案及解析： 答案：C解析：由题意可设公比为q ，则21344a a a =+， 又13a =，∴2q =.∴223451134124()(84)a a a a q q q ++⨯⨯++++===.3答案及解析： 答案：B解析：564756189a a a a a a +=∴=,()313231031210log log log log a a a a a a +++=L L()53563log 5log 910a a ===.4答案及解析： 答案：B解析：111192,(),383n n n a a q --=∴=⋅Q 则128()327n -=，13n ∴-=，即4n =.5答案及解析： 答案：B解析：由题意,可得123451a a a a a ⋅⋅⋅⋅=, 即15243()()1a a a a a ⋅⋅⋅⋅=,又215243()()a a a a a ⋅=⋅=,所以531a =,得31a =6答案及解析： 答案：C 解析：7答案及解析： 答案：D解析：一个数列既是等差数列又是等比数列，那它一定是常熟数列，但要注意的是等比数列中不能有0.8答案及解析： 答案：B 解析：9答案及解析： 答案：C 解析：10答案及解析： 答案：B解析：()11110n n n a a a q q -+-=->对任意正整数n 都成立,而10a <只能01q <<11答案及解析： 答案：A 解析：12答案及解析：答案：64 解析：13答案及解析： 答案：1解析：∵,,a b c 成等比数列,∴((25525241b ac ==+⋅-=-=. ∵ b 为正数,∴1b =.14答案及解析： 答案：1 解析：15答案及解析： 答案：2± 解析：16答案及解析： 答案：5 解析： 设公比为q ,则1212424348163192644n n n n q q qq q ----⎧⎧==⎪⇒⇒=⎨⎨==⎪⎩⎩,得2q =±.由()1216n -±=,得5n =.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：综合质量测评(一) Word版含解析
姓名，年级：时间：综合质量测评(一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式错误!〈错误!的解集是( )A．（－∞，2）B．（2，＋∞）C．（0，2）D．（－∞，0）∪(2，＋∞）答案D解析错误!<错误!⇔错误!－错误!<0⇔错误!<0⇔错误!〉0⇔x〈0或x〉2．2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为( )A．钝角B．直角C．锐角D．60°答案C解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2，即a2＋b2－c2＝c2〉0，cos C>0．故角C为锐角．3．在△ABC中，a＝20,b＝10,B＝29°,则此三角形解的情况是（）A．无解B．有一解C．有两解D．有无数个解答案C解析a sin B＝a sin29°〈a sin30°＝20×错误!＝10＝b<a，所以有两解．故选C．4．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝2x＋5y的最小值为（)A．－4 B．6 C．10 D．17答案B解析 由题意知，约束条件错误!所表示的三角形区域的顶点分别为A(0，2），B(3，0），C （1，3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10,6，17，故z 的最小值为6．5．已知△ABC 的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为错误!，则这个三角形的周长为( )A ．15B ．18C ．21D ．24答案 A解析 根据题意，设△ABC 的三边长为a,a ＋2，a ＋4，且a ＋4所对的角为最大角α，∵sin α＝错误!，∴cos α＝错误!或－错误!，当cos α＝错误!时,α＝60°，不符合题意，舍去； 当cos α＝－12时,α＝120°，由余弦定理得:cos α＝cos 120°＝错误!＝－错误!，解得a ＝3或a ＝－2(不符合题意，舍去），则这个三角形周长为a ＋a ＋2＋a ＋4＝3a ＋6＝9＋6＝15．故选A ．6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若内角A ，B,C 依次成等差数列,且不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为｛x ｜a ＜x ＜c}，则S △ABC ＝（ )A ． 3B ．2错误!C ．3错误!D ．4错误!答案 B解析 不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为｛x ｜2＜x ＜4｝，由此可知a ＝2,c ＝4．又由A ，B ，C 依次成等差数列，知2B ＝A ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝错误!．于是S △ABC ＝错误!ac sin B ＝错误!×2×4×错误!＝2错误!．故选B ．7．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝200，则4a 5－2a 3的值为( )A ．80B ．60C ．40D ．20答案 A解析 ∵a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝200，∴5a7＝200，a7＝40．又4a5＝2(a3＋a7)＝2a3＋2a7，∴4a5－2a3＝2a7＝80．故选A．8．已知S n和T n分别为数列｛a n｝与数列{b n｝的前n项和，且a1＝e4，S n＝e S n＋1－e5，a n＝e b n，则当T n取得最大值时n的值为（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6答案C解析由S n＝e S n＋1－e5，得S n－1＝e S n－e5(n≥2），两式相减，得a n＝e a n＋1（n≥2），易知a2＝e3，错误!＝错误!＝错误!，所以｛a n｝是首项为e4，公比为错误!的等比数列，所以a n＝e5－n．因为a n＝e b n,所以b n＝5－n．由错误!即错误!解得4≤n≤5,所以当n＝4或n＝5时，T n取得最大值．故选C．9．已知△ABC的周长为2，角A，B，C的对边分别为a,b，c,且满足错误!＝3c,则c等于（)A．错误!B．1 C．1或错误!D．错误!答案D解析由正弦定理得:错误!＝错误!＝3c，即3c2＝b＋a，又∵a＋b＋c＝2，∴3c2＋c＝2．解得c＝错误!．故选D．10．某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备管理费用为9千元,这种生产设备的维护费用：第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用________年报废最划算( )A．3 B．5 C．7 D．10答案D解析设使用x年，年平均费用为y万元，则y＝错误!＝错误!＝1＋x10＋错误!≥3，当且仅当x＝10时等号成立．故选D．11．设{a n｝是正数等差数列，｛b n}是正数等比数列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，则（）A．a n＋1〉b n＋1B．a n＋1≥b n＋1C．a n＋1<b n＋1D．a n＋1＝b n＋1答案B解析a n＋1＝错误!≥错误!＝错误!＝b n＋1．12．如图,一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C（)A．北偏东60°；10错误!B．北偏东40°；10错误!C．北偏东30°;10错误!D．北偏东20°;10错误!答案B解析由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°,AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°．所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°．由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC＝102＋102－2×10×10×－错误!＝300，所以AC＝10 3．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．在△ABC中,内角A,B，C所对的边分别为a，b，c,已知a＝3，b＝4,c＝6，则bc cos A＋ca cos B＋ab cos C＝________．答案61 2解析由余弦定理得bc cos A＋ca cos B＋ab cos C＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＝错误!．14．已知数列｛a n}是各项为正数，首项为1的等差数列，S n为其前n项和,若数列｛错误!｝也为等差数列，则错误!的最小值是________．答案错误!解析设数列{a n}的公差为d（d＞0），即有a n＝1＋（n－1)d，S n＝n＋错误!n(n－1)d，错误!＝错误!，由于数列{错误!｝也为等差数列,可得d＝2，即有a n＝2n－1，S n＝n2，则错误!＝错误!＝错误!错误!≥错误!·2错误!＝2错误!，当且仅当n＝2错误!取得等号，由于n为正整数,即有n＝2或3取得最小值．当n＝2时，取得3；n＝3时，取得错误!,故最小值为错误!．15．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下,最少要花费________元．答案500解析设购买35 kg的x袋，24 kg的y袋,则35x＋24y≥106，x∈N＊，y∈N*，共花费z＝140x＋120y．作出由35x＋24y≥106，x∈N*，y∈N＊对应的平面区域，再作出目标函数z＝140x＋120y对应的一组平行线，观察在点（1，3）处z最小,为500元．16．如果a〉b，给出下列不等式：①1a〈错误!；②a3>b3；③错误!〉错误!;④2ac2〉2bc2；⑤错误!>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b．其中一定成立的不等式的序号是________．答案②⑥解析①若a>0，b〈0，则错误!>错误!，故①不成立；②∵y＝x3在x∈R上单调递增，且a〉b．∴a3〉b3，故②成立；③取a＝0，b＝－1,知③不成立；④当c＝0时,ac2＝bc2＝0，2ac2＝2bc2，故④不成立；⑤取a＝1，b＝－1,知⑤不成立;⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b）＝错误!［（a－b)2＋（a－1）2＋(b－1）2］〉0，∴a2＋b2＋1〉ab＋a＋b，故⑥成立．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分）在△ABC中,角A，B,C的对边分别为a，b,c，已知b cos2错误!＋a cos2错误!＝错误!c．(1）求证：a，c，b成等差数列；(2)若C＝π3，△ABC的面积为2错误!,求c．解(1)证明:由正弦定理得：sin B cos2A2＋sin A cos2错误!＝错误!sin C，即sin B·错误!＋sin A·错误!＝错误!sin C,∴sin B＋sin A＋sin B cos A＋cos B sin A＝3sin C，∴sin B＋sin A＋sin(A＋B)＝3sin C，∴sin B＋sin A＋sin C＝3sin C，∴sin B＋sin A＝2sin C，∴a＋b＝2c，∴a，c，b成等差数列．(2）S＝错误!ab sin C＝错误!ab＝2错误!，∴ab＝8，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝4c2－24．∴c2＝8，得c＝2错误!．18．（本小题满分12分)已知｛a n｝是公差不为零的等差数列，｛b n}是各项都是正数的等比数列．(1）若a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列，求数列{a n}的通项公式；(2)若b1＝1，且b2,错误!b3，2b1成等差数列，求数列{b n｝的通项公式．解（1)由题意可设公差为d,则d≠0．由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列,得错误!＝错误!，解得d＝1或d＝0（舍去)．故数列｛a n｝的通项公式为a n＝1＋(n－1）×1＝n．(2）由题意可设公比为q，则q＞0．由b1＝1，且b2,错误!b3，2b1成等差数列，得b3＝b2＋2b1，∴q2＝2＋q，解得q＝2或q＝－1(舍去）．故数列｛b n｝的通项公式为b n＝1×2n－1＝2n－1．19．(本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2－bx＋1．(1)是否存在实数a,b使不等式f(x)〉0的解集是｛x|3<x<4},若存在，求实数a，b的值，若不存在，请说明理由；(2)若a为整数,b＝a＋2，且函数f（x)在(－2,－1)上恰有一个零点,求a的值．解（1）∵不等式ax2－bx＋1>0的解集是｛x｜3<x〈4}，∴方程ax2－bx＋1＝0的两根是3和4，∴错误!解得a＝错误!，b＝错误!．而当a＝错误!>0时,不等式ax2－bx＋1〉0的解集不可能是{x｜3<x〈4｝，故不存在实数a，b使不等式f（x)〉0的解集是｛x|3<x<4}．（2）∵b＝a＋2，∴f(x）＝ax2－(a＋2）x＋1．∵Δ＝（a＋2）2－4a＝a2＋4>0，∴函数f(x）＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个零点．又函数f(x）在(－2,－1）上恰有一个零点，∴f（－2)·f(－1）〈0，∴（6a＋5）(2a＋3）<0，解得－错误!<a〈－错误!．∵a∈Z，∴a＝－1．20．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c,已知2c－a ＝2b cos A．（1)求角B的大小；（2)若b＝2错误!，求a＋c的最大值．解（1)∵2c－a＝2b cos A,∴根据正弦定理，得2sin C－sin A＝2sin B cos A，∵A＋B＝π－C,可得sin C＝sin（A＋B）＝sin B cos A＋cos B sin A，∴代入上式，得2sin B cos A＝2sin B cos A＋2cos B sin A－sin A，化简得(2cos B－1)sin A＝0，∵A是三角形的内角，可得sin A＞0,∴2cos B－1＝0，解得cos B＝错误!，∵B∈(0，π)，∴B＝错误!．(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得12＝a2＋c2－ac．∴(a＋c)2－3ac＝12，∴12≥（a＋c）2－3错误!2,即（a＋c）2≤48(当且仅当a＝c＝2错误!时等号成立），∵a＋c>0，∴a＋c≤43，∴a＋c的最大值为43．21．（本小题满分12分）因发生交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一池塘中,为了治污,根据环保部门的建议,现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放a（1≤a≤4，a∈R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天)变化的函数关系式近似为y＝a·f(x）,其中f(x)＝错误!若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升）时,它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值．(精确到0．1，参考数据：错误!取1．4)解（1）因为a＝4，所以y＝错误!①当0≤x≤4时，由648－x－4≥4,解得x≥0，所以此时0≤x≤4．②当4＜x≤10时，由20－2x≥4,解得x≤8，所以此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，即若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达8天．（2）当6≤x≤10时，y＝2·错误!＋a错误!－1＝10－x＋错误!－a＝（14－x）＋错误!－a－4，由题意知,y≥4对于x∈[6，10］恒成立．因为14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以4错误!∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4错误!时，y有最小值为8错误!－a－4，令8错误!－a－4≥4，解得24－162≤a≤4,所以a的最小值为24－16错误!．又24－16错误!≈1．6，所以a的最小值约为1．6．22．（本小题满分12分）已知f（x)＝错误!sin x·cos x＋cos2x，锐角△ABC的三个角A，B,C所对的边分别为a，b，c．(1）求函数f(x）的最小正周期和单调递增区间；(2）若f（C)＝1，求m＝a2＋b2＋c2ab的取值范围．解（1)f(x）＝错误!sin x·cos x＋cos2x＝错误!sin2x＋错误!cos2x＋错误!＝sin错误!＋错误!．∴函数f（x）的最小正周期T＝错误!＝π．由2kπ－错误!≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!，解得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!．∴函数f(x）的单调递增区间错误!,k∈Z，最小正周期为π．(2)由(1)可得,f(C)＝sin错误!＋错误!＝1，∴sin错误!＝错误!，2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：综合质量测评（一） Word版含解析∵△ABC是锐角三角形，∴错误!〈2C＋错误!<错误!,∴2C＋错误!＝错误!，即C＝错误!．由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，可得c2＝a2＋b2－ab,∴m＝错误!＝错误!－1＝2错误!－1．①∵△ABC为锐角三角形，∴错误!∴错误!＜A＜错误!．由正弦正理得错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!∈错误!．②由②式设t＝错误!,则t∈错误!,那么①式化简为m＝2错误!－1．由y＝t＋错误!≥2,t＝1时取等号．∴m≥3．根据对勾函数的性质可得错误!是单调递减，（1，2)是单调递增,∴m＜4，故得m＝错误!∈［3，4）．。
高中数学 期末检测试卷(B)精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
期末检测试卷(B)C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．设f (x )为偶函数，且x ∈(0,1)时，f (x )＝－x ＋2，则下列说法正确的是( )A ．f (0.5)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6>f (sin 0.5)C ．f (sin 1)<f (cos 1)D ．f (sin 2)>f (cos 2)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下面各式中，正确的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋32cos π4B ．cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos π4cos π3＋64D ．cos π12＝cos π3－cos π4 10．函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么( ) A ．f (x )在(1，＋∞)上递增且无最大值 B ．f (x )在(1，＋∞)上递减且无最小值 C ．f (x )在定义域内是偶函数 D ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称 11．下面选项正确的有( ) A ．存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝π3B ．α，β是锐角△ABC 的内角，是sin α>cos β的充分不必要条件C ．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2是偶函数D ．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象12．若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象不可以是( )三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为________．14．设x >0，y >0，x ＋y ＝4，则1x ＋4y的最小值为________．15．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝3x －1(－3<x ≤0)，f (x )＝f (x ＋3)，则f (2 019)＝________.16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0－x 2－2x ＋1，x <0，函数f (x )有________个零点，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值X 围是________．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)设函数f (x )＝6＋x ＋ln(2－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |2x＞1}． (1)求A ∪B ；(2)若集合{x |a ＜x ＜a ＋1}是A ∩B 的子集，求a 的取值X 围．18.(12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝15，cos (α＋β)＝－13，其中0<α<π2，0<β<π2. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．19．(12分)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≤0，log 2x ＋1，x >0.(1)作出函数f (x )的图象，并写出单调区间；(2)若函数y ＝f (x )－m 有两个零点，某某数m 的取值X 围．期末检测试卷(B)1．解析：因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2xx －2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －2>0＝{x |x <－2或x >2}，B ＝{x |1<2x <8}＝{x |0<x <3}，因此A ∩B ＝{x |2<x <3}．故选A.答案：A2．解析：要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋1≠0，解得x ≥－3，且x ≠－1，∴f (x )的定义域为{x |x ≥－3，且x ≠－1}． 答案：A3．解析：sin 140°cos 10°＋cos 40°sin 350° ＝sin 40°cos 10°－cos 40°sin 10° ＝sin (40°－10°)＝sin 30°＝12.答案：C4．解析：∵f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋27－9＝19>0，∴f (2)·f (3)<0，∴函数在区间(2,3)上存在零点． 答案：C5．解析：若命题p 是假命题，则“不存在x 0∈R ，使得x 20＋2ax 0＋a ＋2≤0”成立， 即“∀x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋a ＋2>0”成立，所以Δ＝(2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)＝4(a ＋1)(a －2)<0，解得－1<a <2， 所以实数a 的取值X 围是(－1,2)，故选B. 答案：B6．解析：x ＝ln π>ln e＝1，y ＝log 52<log 55＝12，z ＝1e >14＝12，且z <1，故y <z <x . 答案：C7．解析：因为函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3， 因为g (x )为偶函数，所以φ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，因为φ＝π6可以推导出函数g (x )为偶函数，而函数g (x )为偶函数不能推导出φ＝π6，所以“φ＝π6”是“g (x )为偶函数”的充分不必要条件．答案：A8．解析：x ∈(0,1)时，f (x )＝－x ＋2，则f (x )在(0,1)上单调递减，A ：0.5<π6，所以f (0.5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，A 错误；B ：0.5<π6，∴0<sin 0.5<sin π6<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f (sin 0.5)，B 错误；C ：∵0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，C 正确；D ：－1<cos2<0，f (cos 2)＝f (－cos 2)，sin 2－(－cos 2)＝sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2＋π4>0，所以1>sin2>(－cos 2)>0，所以f (sin 2)<f (－cos 2)＝f (cos 2)，D 错误．故选C.答案：C9．解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝sin π4cos π3＋32cos π4，∴A 正确；∵cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝22sin π3－cos π4cos π3，∴B 正确；∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3＝cos π4cos π3＋64，∴C 正确；∵cos π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4≠cos π3－cos π4，∴D 不正确．故选ABC.答案：ABC10．解析：由|x －1|>0得，函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >1－x ＋1，x <1，则g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，D 正确；因为f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，所以a >1，所以f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A 正确，B 错误； 又f (－x )＝log a |－x －1|＝log a |x ＋1|≠f (x )，所以C 错误．故选AD. 答案：AD11．解析：A 选项：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则sin x ＋cos x ∈[－2， 2 ]．又－2<π3<2，∴存在x ，使得sin x ＋cos x ＝π3，可知A 正确； B 选项：∵△ABC 为锐角三角形，∴α＋β>π2，即α>π2－β∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，可知B 正确；C 选项：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2＝cos 2x 3，则cos2－x 3＝cos 2x 3，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2为偶函数，可知C 正确；D 选项：y ＝sin 2x 向右平移π4个单位得：y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ，可知D 错误．本题正确选项ABC.答案：ABC12．解析：函数y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 由函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数， 得0<a <1.当x >1时，函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以通过函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到，结合各选项可知只有D 选项符合题意．故选ABC.答案：ABC13．解析：设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为3π8，半径为1，∴3π8＝12·α·12，∴α＝3π4. 答案：3π414．解析：∵x ＋y ＝4，∴1x ＋4y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ，又x >0，y >0，则y x＋4xy≥2y x ·4x y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝43，y ＝83时取等号， 则1x ＋4y ≥14×(5＋4)＝94. 答案：9415．解析：∵f (x )＝f (x ＋3)， ∴y ＝f (x )表示周期为3的函数， ∴f (2 019)＝f (0)＝3－1＝13.答案：1316．解析：作出函数f (x )的图象如下图所示，由图象可知，函数f (x )有且仅有一个零点，要使函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象有且仅有三个交点，则1＜m ＜2.答案：1 (1,2)17．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧6＋x ≥02－x >0得，－6≤x ＜2；由2x＞1得，x ＞0；∴A ＝[－6,2)，B ＝(0，＋∞)；∴A ∪B ＝[－6，＋∞)； (2)A ∩B ＝(0,2)；∵集合{x |a ＜x ＜a ＋1}是A ∩B 的子集； ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0a ＋1≤2；解得0≤a ≤1；∴a 的取值X 围是[0,1]．18．解析：(1)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝22(sin β－cos β)＝15，所以sin β－cos β＝25， 所以(sin β－cos β)2＝sin 2β＋cos 2β－2sin βcos β＝1－sin 2β＝225，所以sin 2β＝2325.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝15，cos(α＋β)＝－13， 其中0<α<π2，0<β<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝265，sin(α＋β)＝223， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×265＋223×15＝22－615.19．解析：(1)画出函数f (x )的图象，如图所示：由图象得f (x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增． (2)若函数y ＝f (x )－m 有两个零点， 则f (x )和y ＝m 有2个交点，结合图象得1<m ≤2. 20．解析：(1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－12.21．解析：(1)由题意可得处理污染项目投放资金为(100－x )百万元， 所以N (x )＝0.2(100－x )，所以y ＝50x10＋x ＋0.2(100－x )，x ∈[0,100]．(2)由(1)可得，y ＝50x 10＋x ＋0.2(100－x )＝70－⎝ ⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋x 5＝72－⎝⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋10＋x 5≤72－20＝52，当且仅当50010＋x ＝10＋x5，即x ＝40时等号成立．此时100－x ＝100－40＝60.∴y 的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元．22．解析：(1)若y ＝f k (x )是偶函数，则f k (－x )＝f k (x )，即2－x＋(k －1)·2x ＝2x＋(k －1)·2－x即2－x －2x ＝(k －1)·2－x －(k －1)·2x ＝(k －1)(2－x －2x)，则k －1＝1，即k ＝2； (2)∵f 0(x )＋mf 1(x )≤4，即2x －2－x ＋m ·2x ≤4，即m 2x ≤4－2x ＋2－x， 则m ≤4－2x＋2－x2x＝4·2－x ＋(2－x )2－1，设t ＝2－x， ∵1≤x ≤2，∴14≤t ≤12.word- 11 - / 11 设4·2－x ＋(2－x )2－1＝t 2＋4t －1，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5， 则函数y ＝t 2＋4t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为增函数， ∴当t ＝12时，函数取得最大值y max ＝14＋2－1＝54，∴m ≤54. 因此，实数m 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54； (3)f 0(x )＝2x －2－x ，f 2(x )＝2x ＋2－x ，则f 2(2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2， 则g (x )＝λf 0(x )－f 2(2x )＋4＝λ(2x －2－x )－(2x －2－x )2＋2，设t ＝2x －2－x ，当x ≥1时，函数t ＝2x －2－x 为增函数，则t ≥2－12＝32， 若y ＝g (x )在[1，＋∞)有零点，即g (x )＝λ(2x －2－x )－(2x －2－x )2＋2＝λt －t 2＋2＝0在t ≥32上有解，即λt ＝t 2－2，即λ＝t －2t， ∵函数y ＝t －2t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，则y min ＝32－2×23＝16，即y ≥16.∴λ≥16，因此，实数λ的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，＋∞.。