四川省成都市数学高二上学期文数10月月考试卷
四川省成都市数学高二上学期文数10月月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共13题；共26分)
1. （2分） (2019高二上·信丰月考) 下列关于命题的说法正确的是（）
A . 命题“若，则”的否命题是“若，则”
B . 命题“若，则互为相反数”的逆命题是真命题
C . 命题“ ”的否定是“ ”
D . 命题“若，则”的逆否命题是真命题
2. （2分）对于命题，使得，则是（）
A . ，
B . ，
C . ，
D . ,
3. （2分）(2020·宝鸡模拟) 已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2020高一下·上海期末) 设等比数列中，，公比为q，则“ ”是“ 是递增数列”的（）.
A . 充分非必要条件
B . 必要非充分条件
C . 充分必要条件
D . 既非充分又非必要条件
5. （2分）设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（）
A . 原命题真，逆命题假
B . 原命题假，逆命题真
C . 原命题与逆命题均为真命题
D . 原命题与逆命题均为假命题
6. （2分）已知椭圆 + =1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2 ，则椭圆的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2015高三上·保定期末) 下列四个判断：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为；
②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；
③设从总体中抽取的样本为（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），若记 = ， = yi ，则回归直线方程 =bx+a必过点（，）；
④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．
其中正确判断的个数有（）
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
8. （2分）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则
的面积为（）
A .
B .
C .
D . 或
9. （2分）实数，条件: ，条件:，则是的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
10. （2分）(2018·朝阳模拟) 庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖
品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:
甲说:“我或乙能中奖”；乙说:“丁能中奖”；
丙说:“我或乙能中奖”；丁说:“甲不能中奖”.
游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是（）
A . 甲
B . 乙
C . 丙
D . 丁
11. （2分）函数 f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）
A .
B . 1
C .
D . 2
12. （2分）已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（）
A . 3
B .
C .
D . 4
13. （2分） (2017高一下·包头期末) 已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交与A,B两点，连接若，则C的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共3题；共3分)
14. （1分）如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的________条件．
15. （1分） (2016高三上·虎林期中) 已知抛物线 y2=8x的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为________．
16. （1分）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是________ ．
三、解答题 (共6题；共40分)
17. （5分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
18. （5分）椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P(1,)且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
19. （10分）已知函数f（x）=x2+ax+6．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．
20. （10分）已知椭圆C：，右焦点，且离心率．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过F且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，求△OMN（O为坐标原点）的面积．
21. （5分）(2020·泰安模拟) 已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原原点，点O到直线AB的距离为，的面积为1．
（1）求榷圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于C，D两点，若直线直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为证明：
为定值．
22. （5分）(2017·自贡模拟) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率是，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点P（0，）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点），是否存在实数λ，使
+λ 为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
参考答案一、单选题 (共13题；共26分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
二、填空题 (共3题；共3分)
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共40分)
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、20-2、21-1、
21-2、
22-1、
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四川省成都2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
成都2024—2025学年度高二上期10月月考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第I 卷和第II 卷两部分；2．本堂考试120分钟，满分150分；3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂；4．考试结束后，将答题卡交回．第I 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A ．①随机数法，②抽签法B ．①随机数法，②分层抽样C ．①抽签法，②分层抽样D ．①抽签法，②随机数法2．已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y = ，且//a b r r，那么实数x y +等于（）A ．3B ．-3C ．9D ．-93．若,l n 是两条不相同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A ．若l n ⊥，n β⊥，则l //βB ．若αβ⊥，l α⊥，则l //βC ．若//αβ，l α⊂，则l //βD ．若//l α，//αβ，则l //β4．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA上，且2ON NA =，则MN =（）A ．121232a b c--+B ．211322a b c-++C ．211322a b c-- D ．111222a b c+-5．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）A ．58或64B ．59或64C ．58D ．596．已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，正数,x y 满足23DO xOA yOB OC =+- ，则yx 21+的最小值为（）A ．25B ．29C ．1D ．27．现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．C ．6D ．128．如图，四边形,4,ABCD AB BD DA BC CD =====ABD △沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小在[,63ππ时，直线AB 和CD 所成角为α，则cos α的最大值为（）A ．16B C ．16D ．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()2,0,1a =-，()4,0,2b =- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-，平面α的法向量是()6,4,1m =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,1,1d = ，平面α的法向量()1,0,1n =，则直线l 与平面α所成角的大小为π310．小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A ．娱乐开支比通信开支多5元B ．日常开支比食品中的肉类开支多100元C ．娱乐开支金额为100元D ．肉类开支占储蓄开支的1311．已知四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点.N M ,是该四面体内切球球面上的两点，P 是该四面体表面上的动点.则下列选项中正确的是（）A.DE 的长为44B.D 到平面ABC 的距离为66C.当线段MN 最长时，PN PM ⋅的最大值为31D.直线OE 与直线AB 所成角的余弦值为33第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是．13．已知(2,1,3),(1,4,2)a b =-=-- ，c (4,5,)λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为.14．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则平面BDP 与平面BDQ 所成角余弦值的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（满分13分）15．已知向量()6a m = ,，()1,0,2=b ，()()2R c m =∈ (1)求()a b c ⋅-的值；(2)求cos b c ,；(3)求a b - 的最小值.（满分15分）16．成都市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视台随机对该市1565～岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题的统计结果如表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第一组[15，25)500.5第二组[25，35)180a第三组[35，45)x0.9第四组[45，55)90b第五组[55，65)y0.6a b x y的值；（1）分别求出,,,（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人.-中，ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥（满分15分）17．如图，在四棱锥P ABCDPC=.平面ABCD，直线PA与平面PBC所成的角为45︒，2（1）若E，F分别为BC，CD的中点，求证：直线AC⊥平面PEF；（2）求二面角D PA B--的正弦值.（满分17分）18．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图,如图.(1)求a ；(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？（精确到小数点后2位）（满分17分）19．如图，四面体ABCD 中，2,AB BC BD AC AD DC ======(1)求证：平面ADC ⊥平面ABC ；(2)若(01)DP DB λλ=<<，①若直线AD 与平面APC 所成角为30°，求λ的值；②若PH ⊥平面,ABC H 为垂足，直线DH 与平面APC 的交点为G ．当三棱锥CHP A -体积最大时，求DGGH的值．高二上10月月考数学答案一、单选题：C D C C A B A B二、多选题：AC;BCD;BC3三、填空题：10；5；318:（1）由频率直方图可得，（2）由频率分布直方图可得样本中女性⨯=，所以全市女性50.020.1⨯=，10000000.1100000。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题解析
成都2023~2024学年度上期10月阶段性测试数学试题（答案在最后）考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知点(A，点(1,B -，则直线AB 的倾斜角为（）A.30B.45C.120D.135【答案】C 【解析】【分析】由斜率公式可求得直线AB 斜率，由斜率和倾斜角关系可得直线倾斜角.【详解】10AB k -==-- ，∴直线AB 的倾斜角为120 .故选：C.2.已知直线a ，b 的方向向量分别为()1,01a =- ,，()1,1,0b =-，且直线a ，b 均平行于平面α，平面α的单位法向量为（）A.,,333⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.,,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭C.()1,1,1D.,,333⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或,,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据平面法向量的性质进行求解即可.【详解】设平面α的单位法向量为()(),,11m x y z ==，因为直线a ，b 均平行于平面α，所以有()()002030m a x z x y m b ⋅=⎧⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩，由()()()123可得：3x y z ===或3x y z ===-，故选：D3.有2人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是A.16B.15C.45D.56【答案】C 【解析】【详解】试题分析：设2人为A 、B ，则2人自2至6层离开电梯的所有可能情况为：（A2，B2），（A2，B3）,（A2，B4），（A2，B5），（A2，B6）,（A3，B2）,（A3，B3），…，（A6，B6）．共25个基本事件，2人在相同层离开电梯共包含（A2，B2）,（A3，B3）,（A4，B4）,（A5，B5）,（A6，B6）共5个事件，所以2人在不同层离开电梯共包含20个基本事件，概率为．考点：古典概型4.如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a = ，AD b = ，1AA c = ，则1MC = （）A.1122a b c ++B.1122---a b cC.1122-++ a b cD.1122a b c--+ 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算用,,a b c 表示出1MC即可得．【详解】()1112C M AM AC AB AD =-=+ -()1AB BC CC ++ ＝1122---a b c ，111122MC C M a b c =-+=+ .故选：A ．5.某校高一年级15个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：85,85,86,87,88,89，90,91,91,91,92,93,94,96,98，则这组数据的80%分位数是（）A.90B.93.5C.86D.93【答案】B 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为1580%12⨯=，所以这组数据的80%分位数是第12个数和第13个数的平均数，即939493.52+=,故选：B6.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A.平均数为2，方差为2.4B.中位数为3，方差为1.6C.中位数为3，众数为2D.平均数为3，中位数为2【答案】A 【解析】【分析】A 选项，有平均数与方差间关系，可判断选项正误；BCD 选项，通过举反例可判断选项正误.【详解】A 选项，若5次结果中有6，因平均数为2，则方差()22126 3.25S >-=，因3.2 2.4>，则当平均数为2，方差为2.4时一定不会出现点数6，故A 正确；B 选项，取5个点数为3,3,3,5,6，则此时满足中位数为3，平均数为4，则方差()()()222213435464 1.65S ⎡⎤=-⨯+-+-=⎣⎦，故B 错误；C 选项，取5个点数为2,2,3,5,6，满足中位数为3，众数为2，故C 错误；D 选项，取5个点数为1,1,2,5,6，满足中位数为2，平均数为3，故D 错误.故选：A7.如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中SA =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是()A.3535B.66565C.1315D.35【答案】B 【解析】【分析】利用圆锥曲线的性质，以点O 为坐标原点，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求两异面直线的夹角．【详解】由圆锥的性质可知SO ⊥平面ABC ，故可以点O 为坐标原点，平面ABC 内过点O 且垂直于AC 的直线为x 轴，OC OS 、分别为y 、z轴建立空间直角坐标系，设1,5OA OB SA ===2OS =，易知1(0,1,0),(0,1,0),(0,0,2),0,,12A C S M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵2cos 3BOC ∠=，∴2sin 1c 35os BOC BOC ∠∠=-=，∴52,,033B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴52,,233SB ⎛⎫=-⎪⎝⎭，30,,12CM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴65cos ,65||||54941994SB CM SB CM SB CM ⋅〈〉==-⋅++⋅+，因此，异面直线SB 与CM 所成角的余弦值为66565．8.已知正方体1111ABCD A B C D -，设其棱长为1（单位：m ）．平面α与正方体的每条棱所成的角均相等，记为θ．平面α与正方体表面相交形成的多边形记为M ，下列结论正确的是（）A.M 可能为三角形，四边形或六边形B.cos 3θ=C.M 2D.正方体1111ABCD A B C D -内可以放下直径为1.2m 的圆【答案】D 【解析】【分析】A 选项，如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，利用向量知识可知平面α可为与1AC 垂直的平面，即可判断选项正误；B 选项，由A 选项分析及线面角计算公式可判断选项正误；C 选项，由A 选项分析可表示出两种情况下M 的面积表达式，即可判断选项正误；D 选项，问题等价于判断M 内部最大圆直径最大值是否大于1.2.【详解】A 选项，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0A B A D ，()()()11,0,0,0,0,1,0,1,0AB AA AD ===.设平面α法向量为(),,n x y z =，因平面α与正方体的每条棱所成的角均相等，则1sin cos ,cos ,cos ,n AB n AA n ADθ======⇒x y z ==.由对称性，不妨取1x y z ===，则法向量n 可为()1,1,1，又()11,1,1AC = ，则平面α可为与1AC 垂直的平面.如图，连接1111,,,,A B BD DA AC A B ，因1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1BD CC ⊥，又11,,,BD AC AC CC C AC CC ⊥=⊂ 平面1ACC ，则BD ⊥平面1ACC ，又1AC ⊂平面1ACC ，则1AC BD ⊥，同理可得11AC A B ⊥.又1,BD A B ⊂平面1A BD ，1A B BD B ⋂=，故1AC ⊥平面1A BD .即平面α可为与平面1A BD 平行的平面，当平面α与1AA （不含A ）相交时，M 为与1A BD 相似的正三角形；当平面α与11A B （不含11A B ，）相交时，M 为如图所示的六边形；当平面α与11B C 相交时（不含1C ），M 为与1A BD 相似的正三角形；则M 可能为三角形，六边形，故A 错误；B 选项，由A 选项分析可知，36sin cos 33θθ=⇒=，故B 错误.C 选项，由A 选项分析可知，当平面α过1,,A B D 或11,,B D C 时，，则相应面积为23342⨯=.当M 为六边形时，如下图所示，因//RS 11B D ，1//RT D C ，又o1160B D C ∠=，结合图形可知o 120SRT ∠=，又由题可知六边形RSUVWT 为中心对称图形，取其对称中心为O ，则四边形RSOT ≅四边形WTOV ≅四边形UVOS ，则六边形面积为相应四边形面积的3倍.取RS ，RT 中点分别为F ，E ，连接EF ，OE ，OF ，因OS OR OT ==，则o 90OER OFR ∠=∠=，四边形RSOT 面积为四边形REOF 面积2倍，则六边形面积为四边形REOF 面积6倍.设()11,1,0,1A R x B R x x ==-∈，由题结合图形可知，),1RS RT x ==-，则)1,22x RF RE -==在EFR 中，由余弦定理，2EF ==.注意到o o 90,180REO RFO REO RFO ∠=∠=∠+∠=，则,,,R E O F 四点共圆，则REF 外接圆直径等于OR ，由正弦定理，可得osin1203EF OR ==.则()16OE x ==+，()26OF x ==-.则六边形面积S ()2116221222OE RE OF FR x x ⎛⎫=⨯⋅+⋅=-++⎪⎝⎭23133322224x ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当12x =时取等号.2>，则M 2，故C 错误；D 选项，先判断M 内部的最大圆直径最大值是否超过1.2m .当M 为正三角形时，M 内部的最大圆为三角形内切圆，易知当平面α过1,,A B D 或11,,B D C 时，所得内切圆半径最大，设此时内切圆半径为r ，三角形面积为S ，周长为C ，则内切圆直径344223S r C ⨯===.当M 为六边形时，M 内部的最大圆半径1r 满足{}1min ,r OE OF =，由C选项分析，可知()()111,62612,62x x r x x +≤⎪=->⎩，则当12x =时，1r取最大值4，则此时M 内部的最大圆直径的最大值为62，因22.4 5.766=<，则61.22>，即正方体1111ABCD A B C D -内可以放下直径为1.2m 的圆，故D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：本题首先需要通过向量方法，得到满足题意的平面α的具体特征，后利用几何知识，结合正余弦定理可得图形M 的面积最大值及其内部最大圆直径.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题中是真命题的为（）A.若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb=+B.若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+ ，则p 与,a b共面C.若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB=+D.若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面【答案】BD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B 、D 项正确；若,a b共线，则A 结论不恒成立；若,,M A B 三点共线，则C 项结论不恒成立.【详解】对于A 项，如果,a b 共线，则xa yb + 只能表示与a共线的向量.若p 与,a b不共线，则不能表示，故A 项错误；对于B 项，根据平面向量基本定理知，若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+ ，则p 与,a b共面，故B 项正确；对于C 项，如果,,M A B 三点共线，则不论,x y 取何值，xMA yMB + 只能表示与MA共线的向量.若点P 不在,,M A B 所在的直线上，则无法表示，故C 项错误；对于D 项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则,,MP MA MB uuu r uuu r uuu r共面，所以点,,,P M A B 四点共面，故D 项正确.故选：BD.10.已知e为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量(,αβ不重合），并且直线l 均不在平面,αβ内，那么下列说法中正确的有（）A.1e n l α⊥⇔∥B.12n n αβ⊥⇔⊥C.12n n αβ⇔∥∥D.1e n l α⊥⇔⊥【答案】ABC 【解析】【分析】由空间向量的位置关系对选项逐一判断，【详解】已知直线l 不在平面α内，则1e n l α⊥⇔∥ ，故A 正确，D 错误，由空间向量的位置关系得12n n αβ⊥⇔⊥，12n n αβ⇔∥∥ ，故B ，C 正确，故选：ABC11.以下结论正确的是（）A.“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的充分不必要条件．B.假设()()0.7,0.8P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()0.56P A B ⋃=C.若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与事件,A B 互斥不能同时成立D.6个相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，设A =“第一次取出球的数字是1”，B =“两次取出的球的数字之和是7”，则A 与B 相互独立【答案】CD 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义得到A 错误，计算()0.94P A B = 得到B 错误，根据互斥事件和独立事件的定义得到C 正确，计算得到()()()P AB P A P B =，D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的必要不充分条件，错误；对选项B ：()()()0.56P AB P A P B ==，()()()()0.94P A B P A P B P AB ⋃=+-=，错误；对选项C ：假设事件,A B 互斥且独立，则()()()0P AB P A P B ==，这与()0P A >，()0P B >矛盾，假设不成立，正确；对选项D ：()16P A =，()61666P B ==⨯，()136P AB =，故()()()P AB P A P B =，A 与B 相互独立，正确.故选：CD.12.如图，已知矩形,4,2,ABCD A AD E B ==为AB 中点，F 为线段EB （端点除外）上某一点．沿直线DF 沿ADF △翻折成PDF △，则下列结论正确的是（）A.翻折过程中，动点P 在圆弧上运动B.翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段圆弧C.翻折过程中，二面角P DF B --的平面角记为α，直线PA 与平面BCDF 所成角记为β，则2a b >．D.当平面PDC ⊥平面BCDF 时，在平面PDC 内过点P 作,PK DC K ⊥为垂足，则DK 的范围为()1,2【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，由题可知点P 为以D 为顶点的圆锥底面圆周上的点，即可判断选项正误；B 选项，如图，可证动点P 在平面BCDF 的射影在过A 点且与DF 垂直的线段上，即可判断选项正误；C 选项，结合B 选项分析，可知α与β为同一等腰三角形的顶角和底角，即可判断选项正误；D 选项，由题可得K 点为P 在平面BCDF 的射影轨迹与DC 交点，如图建立平面直角坐标系，表示出K 点坐标，即可判断选项正误.【详解】A 选项，注意到翻折过程中，点P 到D 点距离不变，则P 为以D 为顶点，DP 为母线的圆锥底面圆周上的点，即动点P 在圆弧上运动，故A 正确；B 选项，如图，作AH DF ⊥，连接PH ，则PH DF ⊥，因,,PH AH H PH AH =⊂ 平面PHA ，则DF ⊥平面PHA .作PI AH ⊥，又PI ⊂平面PHA ，则DF ⊥PI ，又AH DF H = ，,AH DF ⊂平面BCDF ，则PI ⊥平面BCDF .则在翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影在过A 点且与DF 垂直的直线上，即动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段线段，故B 错误；C 选项，由B 选项分析可知，二面角P DF B --的平面角为PHA ∠，直线PA 与平面BCDF 所成角为PAH ∠，则可知α与β为同一等腰三角形的顶角和底角，则o 2180αβ+=.则当o 90α<时，2a b <，故C 错误；D 选项，结合B 选项分析，当平面PDC ⊥平面BCDF 时，点P 在线段DC 正上方.则K 点为P 在平面BCDF 的射影轨迹与DC 交点，即为DF 过A 点垂线与DC 交点.如图，建立以D 为原点的平面直角坐标系，则()()0,0,0,2D A .又由题设(),2F m ，其中24m <<，则2:DF l y x m=，因AK DF ⊥，则:22AK m l y x =-+，令440,0y x K m m ⎛⎫=⇒=⇒ ⎪⎝⎭，则()41,2DK m=∈，故D 正确.故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.正方体各面所在的平面将空间分成__________个部分.【答案】27【解析】【详解】分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分14.某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________.【答案】13【解析】【分析】分析试验过程，利用概率的乘法公式即可求出概率.【详解】记事件A ：第二次才能打开门.因为3把钥匙中有2把能打开门，而第一次没有打开，第二次必然能打开.所以()121323P A =⨯=.故答案为：13.15.如图，两条异面直线,a b 所成的角为π3，在直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b'⊥（AA '称为异面直线,a b 的公垂线）．已知，1,2A E AF ='=，5EF =，则公垂线AA '=__________．【答案】或【解析】【分析】如图，构造符合题意的直三棱锥，结合题意及余弦定理可得答案.【详解】如图构造一直三棱锥，使π3EA H GAF '∠=∠=，则由题有：1AG A E '==.在GAF 中，由余弦定理，可得GF ==，则EG AA '===；如图构造一直三棱锥，使2π3EA H GAF '∠=∠=，则由题有：1AG A E '==.在GAF 中，由余弦定理，可得222π2cos 73GF AG AF AG GF =+-⋅⋅=，则2232EG AA EF GF '==-=.22或32.16.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为__________．【答案】16π【解析】【分析】利用正方体的性质，结合球的表面积公式进行求解即可.【详解】把该几何体放在正方体中，设正方体的棱长为a ，显然面对角线为2a ，因为该几何体的所有棱的长都为2，所以122222a a ⨯=⇒=，显然22=PC ，22AC =，所以22884PA PC AC =+=+=，设该该二十四等边体的外接球的半径为r ，则122r PA ==所以该该二十四等边体的外接球的表面积为24π16πr =，故答案为：16π【点睛】关键点睛：本题的关键是把该几何体放在正方体中，利用正方体的性质进行求解.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式.某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a 的值；（2）估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数．【答案】（1）0.015a =（2）72，2203【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质计算即可；（2）利用频率分布直方图求平均数及中位数的公式计算即可.【小问1详解】由题意知：()0.0050.0200.0300.0250.005101a +++++⨯=，即0.0850.1,0.015a a +==．【小问2详解】由频率分布直方图可知：平均数为：450.05550.15650.20750.30850.25950.0572⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=前3组的频率为0.050.150.20.4++=，所以中位数为0.50.4102207010700.333-+⨯=+=．18.用向量的方法证明：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（三垂线定理的逆定理）【答案】证明见解析.【解析】【分析】先把定理用符号语言表示，然后利用向量的数量积为0证明垂直即可.【详解】已知：如图，PO ，PA 分别是平面α的垂线、斜线，OA 是PA 在平面α上的射影，a α⊂，且a AP ⊥.求证：a OA ⊥.证明：如图示，取直线a 的方向向量a，同时取AP ，PO .l a ⊥ ，0AP α∴⋅= 又PO α⊥ 且a α⊂ PO a ∴⊥ ，0PO a ∴= =()=0AO a AP PO a AP a PO a ∴⋅+⋅⋅+⋅= AO a∴⊥ 即证.19.一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.（1）求第二次取到红球的概率；（2）求两次取到的球颜色相同的概率；（3）如果袋中装的是4个红球，n 个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为25，那么n 是多少？【答案】（1）25（2）715（3）2n =【解析】【分析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可；（2）结合（1）求解即可；（3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可.【小问1详解】从10个球中不放回地随机取出2个共有10990⨯=（种）可能，即()90n Ω=，设事件A =“两次取出的都是红球”，则()4312n A =⨯=，设事件B =“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则()4624n B =⨯=，设事件C =“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则()6424n C =⨯=，设事件D =“两次取出的都是绿球”，则()6530n D =⨯=，因为事件,,,A B C D 两两互斥，所以P （第二次取到红球）()12242905P A C +=== .【小问2详解】由（1）得，P （两次取到的球颜色相同）()123079015P A D +=== ；【小问3详解】结合（1）中事件，可得()4312n A =⨯=，()()()43n n n Ω=++，因为()()()25n A P A n ==Ω，所以()()55123022n n A Ω=⨯=⨯=，即()()4330n n ++=，解得2n =（负值舍去），故2n =.20.如图，正四面体1234A A A A ，（1）找出依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，使得()1,2,3,4i i A i α∈=，且其中每相邻两个平面间的距离都相等．请在答卷上作出满足题意的四个平面，并简要说明并证明作图过程；（2）若满足（1）的平面1α，2α，3α，4α中，每相邻两个平面间的距离都为1，求该正四面体1234A A A A 的体积．【答案】（1）答案见详解（2【解析】【分析】（1）根据题意要作出相互平行且相邻距离相等的平面，所以先作直线平行，且取等分点，例如可取41A A 的三等分点2P ，3P ，13A A 的中点M ，24A A 的中点N ，则有223//A P NP ，332//A P MP ，从而可得面面平行；（2）解法一：设正四面体的棱长为a ，根据题意建立合适的建立空间直角坐标系，再利用空间向量等得到点4A 到平面33A P N 的距离，从而求得a 的值，进而即可求得正四面体1234AA A A 的体积；解法二：先将正四面体补形为正方体，结合条件确定正方体的棱长，即可求得正四面体1234A A A A 的体积．【小问1详解】如图所示，取41A A 的三等分点2P ，3P ，13A A 的中点M ，24A A 的中点N ，过三点2A ，2P ，M 作平面2α，过三点3A ，3P ，N 作平面3α，因为223A P NP ，332A P MP ，所以平面23αα∥，再过点1A ，4A 分别作平面1α，4α与平面2α平行，那么四个平面1α，2α，3α，4α依次相互平行，由线段41A A 被平行平面1α，2α，3α，4α截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故1α，2α，3α，4α为所求平面．（注：也可将正四面体放入正方体内说明）【小问2详解】解法一：设正四面体的棱长为a ，结合（1）有24A A 的中点N ，再取23A A 的中点Q ，连接4A Q 交3A N 于O ，则由等边三角形的性质可知O 为234A A A △的中心，且4:2:1A O OQ =，则以O 为坐标原点，以平行于直线23A A 且过点O 的直线为x 轴，直线4A O 为y 轴，直线1OA 为z 轴建立空间直角坐标系，则13A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,026a A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,026a A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，40,,03A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，令2P ，3P 为41A A 的三等分点，N 为24A A的中点，30,,99P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,,0412a N a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3,,4369a P N a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,,044NA a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，41,,044A N a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面33A P N 的法向量(),,n x y z = ，则有3300n P N n NA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即9030x x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取1x =，则y =，z =(1,n = ．又1α，2α，3α，4α相邻平面之间的距离为1，所以点4A 到平面33A P N1=，解得a =．由此可得，边长为的正四面体1234A A AA 满足条件．所以所求正四面体的体积2311362334312V Sh a a a ==⨯⨯==解法二：放入正方体，转化为平几问题．如图，将此正四面体补形为正方体1111ABCD A B C D -，分别取AB ，CD ，11A B ，11C D 的中点E ，F ，1E ，1F ，平面11DEE D 与11BFF B 是分别过点2A ，3A 的两平行平面，若其距离为1，则正四面体1234A A A A 满足条件，右图为正方体的下底面，设正方体的棱长为a ，若1AM MN ==，因为12AE a =，2DE a =，在直角三角形ADE 中，AM DE ⊥，所以51122a a a ⋅=⋅，所以a =，=，所以此正四面体的体积为3311432V a a =-⋅⋅=．21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,AD BC AD AB ⊥∥，侧面PAB ⊥底面1,22ABCD PA PB AD BC ====，且,E F 分别为,PC CD 的中点．（1）证明：//DE 平面PAB ；（2）若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）取PB 中点M ，连接,AM EM ，通过证明四边形ADEM 为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，可得,,,,GF PG AG BG AB ，建立以G 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】证明：取PB 中点M ，连接,AM EM ，E 为PC 的中点，1,2ME BC ME BC ∴=∥，又1,2AD BC AD BC = ∥，,ME AD ME AD ∴=∥，∴四边形ADEM 为平行四边形：DE AM ∴∥，DE ⊄ 平面,PAB AM ⊂平面PAB ，DE ∴ 平面PAB ；【小问2详解】平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面ABCD ，,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ，取AB 中点G ，连接FG ，则,FG BC FG ∴⊥∥平面PAB ，()160,32GPF GF AD BC ∴∠=︒=+=，3tan60,PG PG∴︒=∴=2,1,2PA PB AG GB AB ==∴===，如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z轴建立空间直角坐标系，(()(),1,4,0,1,2,0P C D ∴-，(()1,4,2,2,0PC CD ∴=-=-- ，设平面PCD 的一个法向量，()1,,n x y z = ，则1140220n PC x y n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1y =，则(1n =- ，平面PAB 的一个法向量可取()20,1,0n =u u r ，设平面PAB 与平面PCD 所成的夹角为θ，1212cos 5n n n n θ⋅∴=== ,平面PAB 与平面PCD所成的夹角的余弦为522.如图，在八面体PABCDQ 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面//PAD 平面QBC ，二面角P AB C --与二面角Q CD A --的大小都是30︒，3AP CQ ==，PD AB ⊥．（1）证明：平面//PCD 平面QAB ；（2）设G 为QBC △的重心，是否在棱PA 上存在点S ，使得SG 与平面ABCD 所成角的正弦值为3020，若存在，求S 到平面ABCD 的距离，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，36【解析】【分析】（1）依题意可得AB ⊥平面PAD ，再由面面平行及//AB CD ，可得CD ⊥平面QBC ，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明//PC AQ ，即可得到//PC 平面QAB ，再证明//CD 平面QAB ，即可得证；（2）设点()0,33S m m ，其中102m <<，利用空间向量法得到方程，求出m 的值，即可得解.【小问1详解】因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，又PD AB ⊥，AD PD D =I ，,AD PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以PAD ∠为二面角P AB C --的平面角，即30PAD ∠=︒，又平面//PAD 平面QBC ，//AB CD ，所以CD ⊥平面QBC ，即QCB ∠为二面角Q CD A --的平面角，即30QCB ∠=︒，如图建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,2,0C，30,,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，12,,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以12,,22PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，12,,22AQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，即PC AQ = ，所以//PC AQ ，因为PC ⊄平面QAB ，AC ⊂平面QAB ，所以//PC 平面QAB ，又//AB CD ，CD ⊄平面QAB ，AB ⊂平面QAB ，所以//CD 平面QAB ，因为PC CD C ⋂=，,PC CD ⊂平面PCD ，所以平面//PCD 平面QAB .【小问2详解】由点S 在AP上，设点()0,3S m ，其中102m <<，点52,,66G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以52,366GS m ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，平面ABCD 的法向量可以为()0,0,1n = ，设SG 与平面ABCD 所成角为θ，则30sin 20GS n GS n θ+⋅==⋅ ，即2221534043666m m⎛⎫⎛⎫+=+-++⎪⎝⎭⎝⎭⎭，化简得28452110m m+-=，解得16m=或1114m=-（舍去），所以存在点10,,26S⎛⎫⎪⎪⎝⎭满足条件，且点S到平面ABCD的距离为6.。
四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案
高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。
2021学年四川省成都市某校高二(上)10月测验数学(文)试卷(有答案)
2019-2020学年四川省成都市某校高二（上）10月测验数学（文）试卷一、选择题1. 已知点A(0, 1, 2)，B(2, 3, 4)，|AB|=()A.2√3B.3√2C.√56D.122. 下列命题是真命题的是()A.“若x=2，则(x−2)(x−1)=0”B.“若x=0，则xy=0”的否命题C.“若x=0，则xy=0”的逆命题D.“若x>1，则x>2”的逆否命题3. 若A(4, −7, 1)，B(6, 2, z)，|AB|=11，则z=()A.−5B.7C.6D.−5或74. 直线x−√3y+1=0的倾斜角为()A.2π3B.5π6C.π3D.π65. 已知集合A={x|log2x≤1}, B={x|1x>1}，则A∩(∁R B)=()A.(−∞，2]B.(0,1]C.[1,2]D.(2，+∞)6. “a+b>2”的一个充分条件是()A.a>1或b>1B.a>1且b<1C.a>1且b>1D.a>1或b<17. 在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=5，b=3，A=2π3，则sin Asin C=()A.7 5B.57C.37D.738. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m // α，n⊥β，则( )A.m // lB.m // nC.n⊥lD.m⊥n9. 数列{√n+1+√n}的前2017项的和为()A.√2018+1B.√2018−1C.√2017+1D. √2017−110. 已知△ABC的顶点分别是A(3, 1, 1)，B(−5, 2, 1)，C(−83, 2, 3)，则它在yOz平面上射影的面积是()A.4B.3C.2D.111. 圆x2+y2−2x−5=0与圆x2+y2+2x−4y−4=0的交点为A，B，则线段AB 的垂直平分线的方程是()A.x+y−1=0B.2x−y+1=0C.x−2y+1=0D.x−y+1=012. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，则直线OA1与平面ADD1A1所成角的余弦值为()A.√66B.√55C.√33D.√306二、填空题当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时，直线y=(k−1)x+2的倾斜角α=________.设M(−5, 0)，N(5, 0)，△MNP的周长是36，则△MNP的顶点P的轨迹方程为________．已知等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a2=2，a5+a6=6a4，则a5=________.下列四种说法：①命题“∃x∈R，使得x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；②设p，q是简单命题，若“p∨q”为假命题，则“¬p∧¬q”为真命题；③若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；④把函数y=sin(−2x)(x∈R)的图象上所有的点向右平移π8个单位即可得到函数y=sin(−2x+π4)(x∈R)的图象．其中所有正确说法的序号是________．三、解答题已知直线l1:ax+3y+1=0，l2:x+(a−2)y+a=0．(1)若l1⊥l2，求实数a的值；(2)若l1 // l2，求实数a的值．已知p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：关于x的方程4x2+ 4(m−2)x+1=0无实根．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5=35，且a1,a4,a13构成公比不等于1的等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1S n，求数列{b n}的前n项和T n．已知函数f(x)=√3(sin2x−cos2x)+2sin x cos x．(1)求f(x)的最小正周期；(2)设x∈[−π3，π3]，求f(x)的值域.已知点M(3，3)，圆C:(x−1)2+(y−2)2=4．(1)求过点M且与圆C相切的直线方程；(2)若直线ax−y+4=0(a∈R)与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为2√3，求实数a 的值．如图，在三棱锥S−ABC中，AC⊥BC,SA⊥BC,SC⊥AC.SC=6,M,N分别为线段AB,BC上的点，且CM=MN=2√2,BC=3BN=6.(1)证明：MN⊥SM；(2)若AC=3，求三棱锥S−ABC的体积.参考答案与试题解析2019-2020学年四川省成都市某校高二（上）10月测验数学（文）试卷一、选择题1.【答案】A【考点】空间两点间的距离公式【解析】利用空间两点间距离公式求解．【解答】解：∵点A(0, 1, 2)，B(2, 3, 4)，∴|AB|=√(2−0)2+(3−1)2+(4−2)2=2√3．故选A．2.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用四种命题的真假关系【解析】利用函数的零点判断A的正误；通过命题的否命题，判断B的正误；判断命题的逆命题的真假判断C的正误；利用原命题的真假与逆否命题的真假相同判断D的正误；【解答】解：对于A，若x=2，则(x−2)(x−1)=0显然成立，A正确；对于B，“若x=0，则xy=0”的否命题是：“若x≠0，则xy≠0”，当y=0时，xy=0，∴B不正确；对于C，“若x=0，则xy=0”的逆命题：“若xy=0，则x=0”，也可能是y=0，∴C不正确；对于D，“若x>1，则x>2”的逆否命题，∵原命题与逆否命题有相同的真假性，原命题显然不正确，∴D不正确.故选A．3.【答案】D【考点】空间两点间的距离公式【解析】根据空间两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：由于|AB|=11，即√(6−4)2+[2−(−7)]2+(z−1)2=11，则(z−1)2=36，解得z=7或z=−5．故选D.4.【答案】D【考点】直线的倾斜角【解析】求出直线的斜率，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可得到所求值．【解答】解：直线x−√3y+1=0的斜率为k=√3，3，设倾斜角为α，可得tanα=√33由0≤α<π，.可得α=π6故选D.5.【答案】C【考点】分式不等式的解法指、对数不等式的解法交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，A=(0,2]，B=(0,1)，∁R B=(−∞，0]∪[1，+∞)，则A∩(∁R B)=[1,2].故选C.6.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A，a>1或b>1，不能保证a+b>2成立；对于B，a>1且b<1，不能保证a+b>2成立；对于C，a>1且b>1，由不等式的性质知，a+b>2，故C正确；对于D，a>1或b<1，不能保证a+b>2成立.故选C．7.【答案】A【考点】余弦定理正弦定理【解析】根据余弦定理求出a，然后用正弦定理即可求得【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bc cos A得a=7,由正弦定理:sin Asin C =ac=75.故选A.8.【答案】C【考点】直线与平面垂直的判定【解析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．【解答】解：∵平面α∩β=l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l．故选C.9.【答案】B【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：∵√n+1+√n=√n+1−√n，∴√2+√1√3+√2+⋯√2018+√2017=√2−√1+√3−√2+⋯+√2018−√2017=√2018−1，故选B.10.【答案】D【考点】直角三角形的射影定理空间两点间的距离公式【解析】先求出三个顶点在yOz平面上的射影分别，再由空间两点距离公式求出射影三角形三角长，由此能求出它在yOz平面上射影图形的面积．【解答】解：A(3, 1, 1)，B(−5, 2, 1)，C(−83, 2, 3)，三个顶点在yOz平面上的射影分别为A′(0, 1, 1)，B′=(0, 2, 1)，C′=(0, 2, 3)，则|A′B′|=1，|B′C′|=2，|A′C′|=√1+4=√5，即有△A′B′C′为直角三角形，A′C′为斜边，则面积为S=12×1×2=1．故选D．11.【答案】A【考点】圆的一般方程直线的两点式方程【解析】求出圆的圆心坐标，利用两个圆的方程公共弦的性质，求出满足题意的直线方程即可．【解答】解：因为两圆的圆心坐标分别为(1, 0)，(−1, 2)，那么过两圆圆心的直线为：y−0x−1=0−21+1，即：x+y−1=0，与公共弦垂直且平分．故选A．12.【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】利用正方体的性质、线面垂直的性质及线面角的定义即可得出．【解答】解：取线段AD的中点M，连接OM，MA1，如图，由正方体的性质可得OM⊥平面ADD1A1，∴∠MA1O为直线OA1与平面ADD1A1所成的角．不妨令棱长AB=2，则OM=1，MA1=√22+12=√5，∴OA1=√(√5)2+12=√6．在Rt△OMA1，cos∠OA1M=MA1OA1=√5√6=√306．故选D．二、填空题【答案】3π4【考点】圆的一般方程直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，圆的半径r=12√k2+4−4k2=12√4−3k2≤1．因为当半径r取最大值时，圆的面积最大，所以k=0，r=1，所以直线方程为y=−x+2．则有tanα=−1，又α∈[0,π)，故α=3π4．故答案为：3π4．【答案】x2 169+y2144=1(y≠0)【考点】轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设P(x, y)(y≠0)，由M(−5, 0)，N(5, 0)知|MN|=10，|MP|=√(x+5)2+y2，|NP|=√(x−5)2+y2，因为△MNP的周长是36,所以√(x+5)2+y2+√(x−5)2+y2+10=36，所以√(x+5)2+y2+√(x−5)2+y2=26，所以(√(x+5)2+y2+√(x−5)2+y2)(√(x+5)2+y2−√(x−5)2+y2) =26(√(x+5)2+y2−√(x−5)2+y2)，20x=26(√(x+5)2+y2−√(x−5)2+y2)，所以√(x+5)2+y2−√(x−5)2+y2=1013x，因为√(x+5)2+y2+√(x−5)2+y2=26，所以2√(x+5)2+y2=1013x+26，所以√(x+5)2+y2=513x+13，所以(x+5)2+y2=25169x2+169+10x，所以x 2169+y2144=1(y≠0)，故答案为：x 2169+y2144=1(y≠0).【答案】16【考点】等比数列的通项公式【解析】本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式等知识.【解答】解：由a6+a5=6a4，得a4(q2+q−6)=0，又a4≠0，所以q2+q−6=0，解得q=2或q=−3(舍去)，从而a5=a2×23=2×23=16．故答案为：16.【答案】①②③④【考点】全称命题与特称命题逻辑联结词“或”“且”“非”必要条件、充分条件与充要条件的判断函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用命题的否定判断①的正误；复合命题的真假判断②的正误；充要条件判断③的正误；三角函数图象的平移判断④的正误；【解答】解：对于①，命题“∃x∈R，使得x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”，满足命题的否定形式，所以①正确；对于②，设p，q是简单命题，若“p∨q”为假命题，说明两个命题都是假命题，命题的否定是真命题，则“¬p ∧¬q ”为真命题，所以②正确；对于③，若p 是q 的充分不必要条件，则¬p 是¬q 的必要不充分条件，满足充要条件的关系，所以③正确；对于④，把函数y =sin (−2x)(x ∈R )的图象上所有的点向右平移π8个单位即可得到函数y =sin (−2x +π4)(x ∈R )的图象，符合平移原则，所以④正确； 故答案为：①②③④．三、解答题【答案】解：(1)由l 1⊥l 2可得：a +3(a −2)=0，解得a =32；(2)由l 1 // l 2，可得a(a −2)−3=0且a 2−1≠0，解得a =3.【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】（1）由垂直可得a +3(a −2)=0，解之即可；（2）由平行可得a =3，进而可得直线方程，代入距离公式可得答案．【解答】解：(1)由l 1⊥l 2可得：a +3(a −2)=0，解得a =32； (2)由l 1 // l 2，可得a(a −2)−3=0且a 2−1≠0，解得a =3.【答案】解：若方程x 2+mx +1=0有两个不相等的负根，则{Δ=m 2−4>0，−m <0，解得m >2，即p ：m >2.若方程4x 2+4(m −2)x +1=0无实根，则Δ=16(m −2)2−16=16(m 2−4m +3)<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因为p ∨q 为真，所以p ，q 至少有一个为真，又因为p ∧q 为假，所以p ，q 至少有一个为假，因此，p ，q 应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真，所以{m >2，m ≤1或m ≥3或{m ≤2,1<m <3, 解得m ≥3或1<m ≤2.综上，m 的取值范围是{m|m ≥3或1<m ≤2}.【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”二次函数的性质一元二次不等式的解法【解析】根据韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）我们可以求出命题p 和命题q 为真是参数m 的范围，根据p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p ，q 一真一假，构造不等式组，即可求出满足条件的m 的取值范围．【解答】解：若方程x 2+mx +1=0有两个不相等的负根，则{Δ=m 2−4>0，−m <0，解得m >2，即p ：m >2.若方程4x 2+4(m −2)x +1=0无实根，则Δ=16(m −2)2−16=16(m 2−4m +3)<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因为p ∨q 为真，所以p ，q 至少有一个为真，又因为p ∧q 为假，所以p ，q 至少有一个为假，因此，p ，q 应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真，所以{m >2，m ≤1或m ≥3或{m ≤2,1<m <3, 解得m ≥3或1<m ≤2.综上，m 的取值范围是{m|m ≥3或1<m ≤2}.【答案】解：(1)∵ a 1,a 4,a 13构成公比不等于1的等比数列，∴ a 42=a 1⋅a 13，设数列{a n }的公差为d ，由题意得{5a 1+10d =35，(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d )，解得{a 1=3，d =2，或{a 1=7,d =0, 当d =0时，a 1=a 4=a 13，数列a 1,a 4,a 13的公比为1，不合题意，舍去，∴ a 1=3,d =2，即a n =3+(n −1)×2=2n +1．故{a n }的通项公式a n =2n +1．(2)由(1)得S n=na1+n(n−1)2d=n(n+2)，∴b n=1n(n+2)=12(1n−1n+2)．∴T n=b1+b2+⋯+b n−1+b n=12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−12(1n+1+1n+2)．【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解析】本题考查等差数列．【解答】解：(1)∵a1,a4,a13构成公比不等于1的等比数列，∴a42=a1⋅a13，设数列{a n}的公差为d，由题意得{5a1+10d=35，(a1+3d)2=a1(a1+12d)，解得{a1=3，d=2，或{a1=7,d=0,当d=0时，a1=a4=a13，数列a1,a4,a13的公比为1，不合题意，舍去，∴a1=3,d=2，即a n=3+(n−1)×2=2n+1．故{a n}的通项公式a n=2n+1．(2)由(1)得S n=na1+n(n−1)2d=n(n+2)，∴b n=1n(n+2)=12(1n−1n+2)．∴T n=b1+b2+⋯+b n−1+b n=12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−12(1n+1+1n+2)．【答案】解：(1)∵函数f(x)=√3(sin2x−cos2x)+2sin x cos x =−√3cos2x+sin2x=2sin(2x−π3)，∴f(x)的最小正周期为2π2=π．(2)∵x∈[−π3，π3]，∴2x−π3∈[−π, π3]，∴sin(2x−π3)∈[−1, √32]，∴2sin(2x−π3)∈[−2，√3]，即f(x)的值域为[−2, √3]．【考点】两角和与差的正弦公式正弦函数的定义域和值域三角函数的周期性及其求法【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f(x)最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)的值域，再利用正弦函数的单调性，求得f(x)的增区间．【解答】解：(1)∵函数f(x)=√3(sin2x−cos2x)+2sin x cos x=−√3cos2x+sin2x=2sin(2x−π3)，∴f(x)的最小正周期为2π2=π．(2)∵x∈[−π3，π3]，∴2x−π3∈[−π, π3]，∴sin(2x−π3)∈[−1, √32]，∴2sin(2x−π3)∈[−2，√3]，即f(x)的值域为[−2, √3]．【答案】解：(1)由圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=4知，圆心C(1, 2)，半径是2．①当切线斜率存在时，设所求直线方程为y−3=k(x−3)，即kx−y−3k+3=0，设圆心到直线的距离为d，因为d=√k2+1=√k2+1=2，所以k=−34，此时，方程为y−3=−34(x−3)，即3x+4y−21=0；②当切线斜率不存在时，直线方程为x=3，与圆C相切．所以过点M(3, 3)且与圆C相切的直线方程为x=3或3x+4y−21=0．(2)因为弦AB的长为2√3，圆心C(1, 2)，半径是2，所以圆心到直线ax−y+4=0的距离为：d1=√r2−(|AB|2)2=1．因为d1=√a2+1=1，所以a=−34．【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点M(3, 1)的圆C的切线方程；（2）因为弦AB的长为2√3，所以点C到直线l的距离为1，即可求a的值．【解答】解：(1)由圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=4知，圆心C(1, 2)，半径是2．①当切线斜率存在时，设所求直线方程为y−3=k(x−3)，即kx−y−3k+3=0，设圆心到直线的距离为d，因为d=√k2+1=√k2+1=2，所以k=−34，此时，方程为y−3=−34(x−3)，即3x+4y−21=0；②当切线斜率不存在时，直线方程为x=3，与圆C相切．所以过点M(3, 3)且与圆C相切的直线方程为x=3或3x+4y−21=0．(2)因为弦AB的长为2√3，圆心C(1, 2)，半径是2，所以圆心到直线ax−y+4=0的距离为：d1=√r2−(|AB|2)2=1．因为d1=√a2+1=1，所以a=−34．【答案】(1)证明：由AC⊥BC，SA⊥BC，且SA∩AC=A，则BC⊥平面SAC.SC⊂平面SAC，故BC⊥SC，又SC⊥AC，BC∩AC=C，则SC⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，故SC⊥MN.因为NC=4，CM=MN=2√2，所以CN2=CM2+NM2，故CM⊥MN.又因为CM∩SC=C，所以MN⊥平面SCM,又SM⊂平面SCM，则MN⊥SM.(2)V三棱锥S−ABC =13×12AC×BC×SC=18.【考点】两条直线垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）由已知条件推导出MN⊥平面SCM,又SM⊂平面SCM,则MN⊥SM．【解答】(1)证明：由AC⊥BC，SA⊥BC，且SA∩AC=A，则BC⊥平面SAC.SC⊂平面SAC，故BC⊥SC，又SC⊥AC，BC∩AC=C，则SC⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，故SC⊥MN.因为NC=4，CM=MN=2√2，所以CN2=CM2+NM2，故CM⊥MN.又因为CM∩SC=C，所以MN⊥平面SCM,又SM⊂平面SCM，则MN⊥SM.(2)V三棱锥S−ABC =13×12AC×BC×SC=18.。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
成都七中2023~2024学年度上期10月阶段性测试数学试题考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知点()0,3A ，点()1,23B -，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30︒B ．45︒C ．120︒D ．135︒2．已知直线,a b 的方向向量分别为()()1,0,1,1,1,0a b =-=-，且直线,a b 均平行于平面α，平面α的单位法向量为（）A ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭B ．333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．()1,1,1D ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭或333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．有2位同学在游艺楼的底层进入电梯，电梯共6层。
假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（）A ．15B ．45C ．56D ．164．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点,,M AB a AD b == ，1AA c = ，则1MC =（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c---C ．1122a b c-++D ．1122a b c--+5．成都七中高二年级15个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：85，85，86，87，88，89，90，91，91，91，92，93，94，96，98，则这组数据的80%分位数是（）A ．90B ．93.5C ．86D ．936．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A ．平均数为2，方差为2.4B ．中位数为3，方差为1.6C ．中位数为3，众数为2D ．平均数为3，中位数为27．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中5SA AO =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是（）A ．23535B ．66565C ．1315D ．358．已知正方体1111ABCD A B C D -，设其棱长为1（单位：m ）．平面α与正方体的每条棱所成的角均相等，记为θ．平面α与正方体表面相交形成的多边形记为M ，下列结论正确的是（）A ．M 可能为三角形，四边形或六边形B ．3cos 3θ=C ．M 235m 4D ．正方体1111ABCD A B C D -内可以放下直径为1.2m 的圆二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列命题中是真命题的为（）A ．若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+，则p 与,a b 共面C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+D ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面10.已知e为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），并且直线l 均不在平面,αβ内，那么下列说法中正确的有（）A ．1e n l α⊥⇔∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．12n n αβ⇔∥∥D ．1e n l α⊥⇔⊥11．以下结论正确的是（）A ．“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的充分不必要条件．B ．假设()()0.7,0.8P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()0.56P A B =C ．若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与事件,A B 互斥不能同时成立D ．6个相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，设A =“第一次取出球的数字是1”，B =“两次取出的球的数字之和是7”，则A 与B 相互独立12．如图，已知矩形,4,2,ABCD AB AD E ==为AB 中点，F 为线段EB （端点除外）上某一点．沿直线DF 沿ADF △翻折成PDF △，则下列结论正确的是（）A ．翻折过程中，动点P 在圆弧上运动B ．翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段圆弧C ．翻折过程中，二面角P DF B --的平面角记为α，直线PA 与平面BCDF 所成角记为β，则2αβ>．D ．当平面PDC ⊥平面BCDF 时，在平面PDC 内过点P 作,PK DC K ⊥为垂足，则DK 的取值范围为()1,2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体各面所在平面将空间分成________部分．14．某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________．15．如图，两条异面直线,a b 所成的角为3π，在直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b '⊥（AA '称为异面直线,a b 的公垂线）．已知，1,2A E AF ='=，5EF =，则公垂线AA '=__________．16．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式。
四川省成都市高二上学期数学10月月考试卷
四川省成都市高二上学期数学 10 月月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)1. （2 分） 设 α、β 为两个不同平面，若直线 l 在平面 α 内，则“α⊥β”是“l⊥β”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2 分） (2017 高一上·辽源月考) 已知=,则的值为（ ）A.2B.5C.4D.33. （2 分） (2016 高二下·福建期末) 如图所示的分数三角形，称为“莱布尼茨三角形”．这个三角形的规 律是：各行中的每一个数，都等于后面一行中与它相邻的两个数之和（例如第 4 行第 2 个数 等于第 5 行中的 第 2 个数 与第 3 个数 之和）．则在“莱布尼茨三角形”中，第 10 行从左到右第 2 个数到第 8 个数中各数的倒数之和为（ ）第1页共9页A . 5010 B . 5020 C . 10120 D . 101304. （2 分） (2017 高一上·广东月考) 已知 A.2 B.3 C.4 D.5二、 填空题 (共 12 题；共 12 分)，则为（ ）5. （1 分） (2018 高一下·湖州期末) 已知数列 的前 n 项和则________．6. （1 分） (2020·贵州模拟) 已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且满足，则________．7. （1 分） (2018 高一下·栖霞期末) 给出以下三个结论：①函数与的图象只有一个交点；②函数与正确结论的序号为________．的图象有无数个交点；③函数第2页共9页与的图象有三个交点，其中所有8. （1 分） (2017 高二下·延安期中) 观察下列不等式 1+ ＜ ，1+ + ＜ ，1+ + + ＜ ，…照此规律，第五个不等式为________． 9. （1 分） (2020 高二上·林芝期末) 一个等差数列的第 项为 ，第 项为 ，则此数列的第 项 为________.10. （1 分） (2018 高一下·黑龙江期末) 已知数列 满足，前 n 项和________ ．，则数列 的11. （1 分） (2015 高一下·万全期中) 如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么 S7=________．12. （1 分） (2019 高一下·上海月考) 若数列 满足，公式________．，，则该数列的通项13. （1 分） (2016 高三上·桓台期中) 已知奇函数 f（x）满足对任意 x∈R 都有 f（x+6）=f（x）成立，且 f （1）=1，则 f（2015）+f（2016）=________．14. （1 分） 用数学归纳法证明“ 应取________．对于的自然数 都成立”时，第一步证明中的起始值15.（1 分）(2017·西城模拟) 已知等差数列{an}的公差为 2，且 a1 ，a2 ，a4 成等比数列，则 a1=________； 数列{an}的前 n 项和 Sn=________．16. （1 分） (2020 高三上·静安期末) 设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则 小时后， 个此种细胞将分裂为________个.三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)17. （5 分） (2016·嘉兴模拟) 已知数列（1） 若，对于任意，不等式恒成立，求 的取值范围（2） 求证：（）18. （10 分） (2016 高一下·宜春期中) 已知等差数列{an}的公差 d＞0，设{an}的前 n 项和为 Sn ， a1=1， S2•S3=36．第3页共9页（1） 求 d 及 Sn； （2） 求 m，k（m，k∈N*）的值，使得 am+am+1+am+2+…+am+k=65．19. （5 分） (2019 高一上·利辛月考) 已知数列 中，满足．，其前 项的和为 ，且当时，（1） 求证：数列是等差数列；（2） 证明：．20. （15 分） (2017 高一下·黄冈期末) 已知曲线 f（x）=（x＞0）上有一点列 Pn（xn ， yn）（n∈N*），过点 Pn 在 x 轴上的射影是 Qn（xn ， 0），且 x1+x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2．（n∈N*）（1） 求数列{xn}的通项公式；（2） 设四边形 PnQnQn+1Pn+1 的面积是 Sn，求 Sn；（3） 在（2）条件下，求证： ++…+＜4．21. （10 分） (2019 高一下·三水月考) 解不等式第4页共9页一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、二、 填空题 (共 12 题；共 12 分)5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、参考答案15-1、第5页共9页16-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)17-1、17-2、 18-1、第6页共9页18-2、 19-1、19-2、第7页共9页20-1、 20-2、 20-3、第8页共9页21-1、第9页共9页。
2020-2021学年四川省成都市某校高二(上)10月月考数学(文)试卷(有答案) (2)
2020-2021学年四川省成都市某校高二（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1. 在直角坐标系中，直线2x−1=0的倾斜角是( )A.π3B.π2C.2π3D. 不存在2. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是( )A.空间任意三点B.空间两条直线C.空间两条平行直线D.一条直线和一个点3. 已知椭圆C：x28+y212=1，则C的长轴长为( )A.4√2B.4√3C.2√2D.2√34. 在空间直角坐标系中，点(−2,1,9)关于x轴的对称点的坐标是( )A.(−2,1,9)B.(2,1,−9)C.(2,−1,9)D.(−2,−1,−9)5. 圆x2+y2−2x−3=0的圆心到直线y=x距离为( )A.1 2B.√22C.√2D.26. 双曲线x2b2−y2a2=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A.2B.√3C.√2D.327. 椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )A.1 2B.13C.14D.√228. 已知两个不同的平面α，β和两个不重合的直线m，n，有下列四个命题：①若m // n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α // β；③若m⊥α，m // n，n⊂β，则α⊥β；④若m // α，α∩β=n，则m // n，其中真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.09. 设θ∈(3π4, π)，则关于x，y的方程x2sinθ−y2cosθ=1所表示的曲线是( )A.焦点在y轴上的双曲线B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的椭圆10. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=π2，D是棱AC的中点，且AB=BC= BB1=2.求异面直线AB1与BC1所成的角( )A.π6B.π4C.π3D.π211. 设e是椭圆x28+y2k=1的离心率，且e∈(12,1)，则实数k的取值范围为( )A.(0,6)B.(0,6)∪(323,+∞) C.(0,3)∪(163,+∞) D.(0,2)12. 已知动直线l：ax+by+c−2=0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线的最大距离为3，则12a +2c的最小值为( )A.1B.92C.94D.9二、填空题与椭圆x29+y24=1有相同的焦点，且离心率为2的双曲线标准方程是________.空间直角坐标系中，点A(−3，4，0)与点B(x，−1，6)的距离为√86，则x等于________.设点P是双曲线x29−y216=1上任意一点，F1，F2分别是其左，右焦点，若|PF1|=10，则|PF2|=________.已知点P是椭圆x24+y23=1上任一点，则点P到直线l:x+2y−12=0的距离的最小值为________．三、解答题(1)求经过点P(3,0)，且离心率为√55的椭圆的标准方程；(2)经过两点A(7,6√2)，B(2√7,−3)的双曲线标准方程.已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0.(1)求AC边所在直线方程；(2)求过顶点C且与BH平行的直线．已知动圆C经过点A(2, −3)和B(−2, −5).(1)当圆C面积最小时，求圆C的方程；(2)若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上，求圆C的方程．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点，AB=BC=AA1=1.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求BE与平面BCC1B1所成角的正弦值．已知圆M:x2+(y−2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为12，点M为椭圆上的动点，△F1MF2面积最大值为√3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)M，N是椭圆C上的动点，且直线MN经过定点(0,12)，问在y轴上是否存在定点Q，使得k MQ+k NQ=0？若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高二（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1.【答案】B【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：设直线2x−1=0，即为x=12的倾斜角是θ，θ∈[0, π)．∵x=12这条直线与x轴垂直，∴直线2x−1=0的倾斜角是π2，即θ=π2．故选B．2.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】此题暂无解析【解答】解：A，空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故A选项不正确；B，空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故B选项不正确；C，根据立体几何公理的推论可知，空间中两条平行直线能够确定一个平面，故C选项正确；D，一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故D选项不正确.故选C.3.【答案】B【考点】椭圆的标准方程【解析】由题意得到椭圆x 28+y212=1的焦点在y轴上，且a2=12，求解即可.解：∵椭圆x 28+y212=1的焦点在y轴上，∴a2=12，解得a=2√3，2a=4√3.故选B.4.【答案】D【考点】空间直角坐标系【解析】根据空间直角坐标系中，点(x，y，z)关于x轴的对称点坐标是(x，−y，−z)，据此求解.【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点(x,y,z)关于x轴的对称点坐标是(x,−y,−z)，∴点(−2,1,9)关于x轴的对称点坐标是(−2,−1,−9).故选D.5.【答案】B【考点】圆的一般方程点到直线的距离公式【解析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式即可求出圆心到已知直线的距离．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：(x−1)2+y2=4，∴圆心坐标为(1, 0)，则圆心到直线y=x的距离d=√12+(−1)2=√22.故选B.6.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线，由a=b，c=√2a，可求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线x 2b2−y2a2=1的两条渐近线互相垂直，∴双曲线x2b2−y2a2=1是等轴双曲线，∴c=√a2+b2=√2b，∴e=cb =√2bb=√2．故选C.7.【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】【解答】解：依题意可知：等边三角形的三边分别为a，a和2c，∴a=2c，∴e=ca =12，即离心率为12.故选A.8.【答案】A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】根据空间直线，平面间的位置关系的判定定理和性质定理，结合选项进行逐个判断即可．同时利用反例的应用．【解答】解：对于①：若m // n，m⊥α，则n⊥α，故该命题为真命题；对于②：若m⊥α，m⊥β，则α // β，故该命题为真命题；对于③：若m⊥α，m // n，则n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，故该命题为真命题；对于④：如图，若m // α，α∩β=n，则m // n不成立，故该命题为假命题；综上所述，正确命题的个数为3.故选A.9.【答案】C椭圆的定义【解析】利用θ∈(3π4, π)，可定−cosθ>sinθ>0，即可得出结论．【解答】解：∵θ∈(3π4, π)，∴−cosθ>sinθ>0，∴关于x，y的方程x2sinθ−y2cosθ=1所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆.故选C.10.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】通过空间直角坐标系求解.【解答】解：如图，连接CB1交BC1于点O，作AC的中点D，连接BD，OD，C1D，由题意，得AB1//OD，∴∠DOB为异面直线AB1与BC1所成的角或其补角 .∵∠ ABC=π2，AB=BC=BB1=2，∴AC=√AB2+BC2=2√2，AB1=BC1=2√2，∴BD=12AC=√2，∴OD=12AB1=√2，OB=12BC1=√2，∴△ OBD是等边三角形，∴∠ DOB=60∘，∴异面直线AB1与BC1所成的角为60∘.故选C．11.B【考点】椭圆的离心率【解析】由题意和椭圆性质可得当k>8时，12<√k−8k<1；当0<k<8时，12<√8−k8<1，解不等式后即可得解．【解答】解：由e∈(12,1)，e=ca=√c2a2，c2=a2−b2，可得：当k>8时，c2=k−8，由条件知12<√k−8k<1，解得k>323；当0<k<8时，c2=8−k，由条件知12<√8−k8<1，解得0<k<6.综上所述：实数k的取值范围为(0,6)∪(323,+∞).故选B．12.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用两点间的距离公式【解析】由题意可得：可得a+bm+c−2＝0．又Q(4, 0)到动直线l0的最大距离为3，可得√(4−1)2+m2=3，解得m＝0．a+c＝2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵动直线l：ax+by+c−2=0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a+bm+c−2=0.又∵Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，∴√(4−1)2+m2=3，解得m=0，∴a+c=2.则12a +2c=12(a+c)(12a+2c)=12(52+c2a+2ac)≥12(52+2√c2a⋅2ac)=94，当且仅当c=2a=43时取等号. 故选C.【答案】4x 25−4y 215=1 【考点】双曲线的标准方程【解析】由题意设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，得到c =√5，e =c a =2，又b 2=c 2−a 2，求出a ，b 即可.【解答】解：∵ 椭圆x 29+y 24=1的焦点坐标为(±√5,0)，∴ 所求双曲线的焦点在x 轴上.设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，由题意可得：c =√5，e =c a =2. 又∵ b 2=c 2−a 2，∴ a =√52，b =√152， ∴ 双曲线的标准方程为x 254−y 2154=1，即4x 25−4y 215=1. 故答案为：4x 25−4y 215=1.【答案】2或−8【考点】空间两点间的距离公式【解析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A(−3，4，0)与点B(x ，−1，6)的距离为√86， 所以√(x +3)2+(−1−4)2+(6−0)2=√86，所以(x +3)2=25，解得x =2或x =−8．故答案为：2或−8.【答案】4或16【考点】双曲线的定义【解析】由双曲线的定义得，||PF 1|−|PF 2||=2a =6，求解即可.【解答】解：由双曲线的标准方程得，a 2=9，∴ a =3，由双曲线的定义得，||PF1|−|PF2||=2a=6.∵|PF1|=10，∴|PF2|=4或16.故答案为：4或16.【答案】8√55【考点】直线与椭圆结合的最值问题两条平行直线间的距离【解析】运用椭圆的参数方程，设出点P，再由点到直线的距离公式及两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到最小值．【解答】解：设与直线l平行且与椭圆相切的直线方程为x+2y+m=0，联立新的直线方程与椭圆方程{x24+y23=1,x+2y+m=0,整理并消去x，得16y2+12my+3m2−12=0，由题意，得Δ=−48m2+768=0，解得m=±4，所以当m=−4时，点P到直线l的距离最小，此时点P到直线l的距离为√12+22=8√55.故答案为：8√55．三、解答题【答案】解：(1)当焦点在x轴上时，{a=3,ca=√55,b2=a2−c2,解得b2=365，此时椭圆的标准方程为：x 29+5y236=1.当焦点在y轴上时，{b=3,ca=√55,b2=a2−c2,解得a2=454，此时椭圆的标准方程为：x 29+4y245=1.(2)设双曲线方程为mx2+ny2=1. ∵双曲线过A(7,6√2)，B(2√7,−3)，∴{49m+72n=1,28m+9n=1,解得{m =125,n =−175, ∴ 双曲线的标准方程为x 225−y 275=1.【考点】双曲线的标准方程椭圆的标准方程【解析】【解答】 解：(1)当焦点在x 轴上时，{a =3,c a =√55,b 2=a 2−c 2,解得b 2=365，此时椭圆的标准方程为：x 29+5y 236=1. 当焦点在y 轴上时，{b =3,c a =√55,b 2=a 2−c 2,解得a 2=454，此时椭圆的标准方程为：x 29+4y 245=1.(2)设双曲线方程为mx 2+ny 2=1.∵ 双曲线过A(7,6√2)，B(2√7,−3)，∴ {49m +72n =1,28m +9n =1,解得{m =125,n =−175, ∴ 双曲线的标准方程为x 225−y 275=1.【答案】解：(1)由AC 边上的高BH 所在直线方程为x −2y −5=0，可知k AC =−2.又A(5，1)，故AC 边所在直线方程为y −1=−2(x −5)，即AC 边所在直线方程为2x +y −11=0．(2)联立{2x +y −11=0,2x −y −5=0,解得{x =4,y =3,所以顶点C 的坐标为(4，3).又因为BH 所在直线的斜率为12， 故所求直线方程为y −3=12(x −4)，即x −2y +2=0．【考点】两条直线的交点坐标直线的点斜式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】解：(1)由AC 边上的高BH 所在直线方程为x −2y −5=0，可知k AC =−2.又A(5，1)，故AC 边所在直线方程为y −1=−2(x −5)，即AC 边所在直线方程为2x +y −11=0．(2)联立{2x +y −11=0,2x −y −5=0,解得{x =4,y =3,所以顶点C 的坐标为(4，3).又因为BH 所在直线的斜率为12，故所求直线方程为y −3=12(x −4)， 即x −2y +2=0．【答案】解：(1)要使圆C 的面积最小，则AB 为圆C 的直径，故圆心C(0, −4)，半径r =12|AB|=√5， 所以所求圆C 的方程为：x 2+(y +4)2=5．(2)∵ k AB =12，AB 中点为(0, −4)，∴ AB 中垂线方程为y +4=−2x ，即2x +y +4=0，解方程组{2x +y +4=0,3x +y +5=0,得{x =−1y =−2， 所以圆心C 为(−1, −2)．根据两点间的距离公式，得半径r =√10，因此，所求的圆C 的方程为(x +1)2+(y +2)2=10．【考点】直线与圆相交的性质圆的标准方程两点间的距离公式直线的一般式方程与直线的垂直关系中点坐标公式【解析】（1）以AB 为直径的圆即为面积最小的圆．由此算出线段AB 的中点坐标和AB 长，即可写出所求圆C 的方程；（2）由圆的性质，AB 的中垂线与直线3x +y +5=0的交点即为圆C 的圆心，由此联解直线方程得圆心C(−1, −2)，再由两点的距离公式算出半径r =√10，即可得到所求的圆C 的方程．【解答】解：(1)要使圆C 的面积最小，则AB 为圆C 的直径，故圆心C(0, −4)，半径r =12|AB|=√5， 所以所求圆C 的方程为：x 2+(y +4)2=5．(2)∵ k AB =12，AB 中点为(0, −4)， ∴ AB 中垂线方程为y +4=−2x ，即2x +y +4=0，解方程组{2x +y +4=0,3x +y +5=0,得{x =−1y =−2， 所以圆心C 为(−1, −2)．根据两点间的距离公式，得半径r =√10，因此，所求的圆C 的方程为(x +1)2+(y +2)2=10．【答案】(1)证明：∵ BB 1⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴ BB 1⊥AB .∵ AB ⊥BC ，BC ∩BB 1=B ，∴ AB ⊥平面B 1BCC 1.∵ AB ⊂平面ABE ，∴ 平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)解：取B 1C 1中点为G ，连结EG ，BG ．∵ 点E 为A 1C 1的中点，∴ EG//A 1B 1//AB .∵ AB ⊥平面B 1BCC 1，∴ EG ⊥平面B 1BCC 1，∴ BE 与平面BCC 1B 1所成角的平面角为∠EBG .∵ EG =12A 1B 1=12，BG =√BB 12+B 1G 2=√12+(12)2=√52， ∴ BE =√BG 2+EG 2=√(12)2+(√52)2=√62， ∴ sin ∠EBG =12√62=√66， ∴ BE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√66.【考点】直线与平面所成的角平面与平面垂直的判定【解析】【解答】(1)证明：∵ BB 1⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴ BB 1⊥AB .∵ AB ⊥BC ，BC ∩BB 1=B ，∴ AB ⊥平面B 1BCC 1.∵ AB ⊂平面ABE ，∴ 平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)解：取B 1C 1中点为G ，连结EG ，BG ．∵ 点E 为A 1C 1的中点，∴ EG//A 1B 1//AB .∵ AB ⊥平面B 1BCC 1，∴ EG ⊥平面B 1BCC 1，∴ BE 与平面BCC 1B 1所成角的平面角为∠EBG . ∵ EG =12A 1B 1=12， BG =√BB 12+B 1G 2=√12+(12)2=√52，∴ BE =√BG 2+EG 2=√(12)2+(√52)2=√62， ∴ sin ∠EBG =12√62=√66， ∴ BE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√66.【答案】解：连接MB ，MQ ，如图.设P(x, y)，Q(a, 0).由点M ，P ，Q 在一条直线上，得2−a =y−2x ．① 由射影定理，有|MB|2=|MP|⋅|MQ|， 即√x 2+(y −2)2⋅√a 2+4=1．②由①及②消去a ，可得x 2+(y −74)2=116和x 2+(y −94)2=116．由图形可知y <2，因此x 2+(y −94)2=116舍去．因此所求的轨迹方程为x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)．【考点】直线与圆的位置关系轨迹方程直线的一般式方程【解析】（2）连接MB ，MQ ，设P(x, y)，Q(|a|, 0)，点M 、P 、Q 在一条直线上，利用斜率相等建立等式，进而利用射影定理|MB|2=|MP|⋅|MQ|，联立消去a ，求得x 和y 的关系式，根据图形可知y <2，排除x 2+(y −94)2=116．进而可求得动弦AB 的中点P 的轨迹方程．【解答】解：连接MB ，MQ ，如图.设P(x, y)，Q(a, 0).由点M ，P ，Q 在一条直线上，得2−a =y−2x ．①由射影定理，有|MB|2=|MP|⋅|MQ|，即√x 2+(y −2)2⋅√a 2+4=1．②由①及②消去a ，可得x 2+(y −74)2=116和x 2+(y −94)2=116．由图形可知y <2，因此x 2+(y −94)2=116舍去．因此所求的轨迹方程为x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)． 【答案】解：(1)由题意，得 △F 1MF 2面积最大值为S △ F 1MF 2 =12|F 1F 2|⋅b =12⋅2c ⋅b =bc =√3， 又∵ e =c a =12，a 2=b 2+c 2， ∴ b =√3c ，解得{b =√3，c =1，∴ a =2，∴ 椭圆C 得方程为 x 24+y 23=1.(2)假设存在满足题意的定点Q ，设Q (0,m ).设直线l 的方程为 y =kx +12, M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)， 由{x 24+y 23=1，y =kx +12， 消去x ，得(3+4k 2)x 2+4kx −11=0，由根与系数得关系，得x 1+x 2=−4k 3+4k 2， x 1⋅x 2=−113+4k 2.由k MQ +k NQ =0得：y 1−mx 1+y 2−m x 2=kx 1+12−m x 1+kx 2+12−m x 2 =2kx 1x 2+(12−m)(x 1+x 2)x 1x 2=0， 即2kx 1x 2+(12−m)(x 1+x 2)=2k ⋅(−11)3+4k 2+(12−m)⋅(−4k)3+4k 2 =4k(m−6)3+4k 2=0， 解得m =6，∴ 存在定点(0,6)，当斜率不存在时定点(0,6)也符合题意.【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意，得 △F 1MF 2面积最大值为S △ F 1MF 2 =12|F 1F 2|⋅b =12⋅2c ⋅b =bc =√3， 又∵ e =c a =12，a 2=b 2+c 2，∴ b =√3c ，解得{b =√3，c =1， ∴ a =2，∴ 椭圆C 得方程为 x 24+y 23=1.(2)假设存在满足题意的定点Q ，设Q (0,m ).设直线l 的方程为 y =kx +12, M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，由{x 24+y 23=1，y =kx +12，消去x ，得(3+4k 2)x 2+4kx −11=0，由根与系数得关系，得x 1+x 2=−4k3+4k 2， x 1⋅x 2=−113+4k 2.由k MQ +k NQ =0得：y 1−mx 1+y 2−m x 2=kx 1+12−m x 1+kx 2+12−m x 2 =2kx 1x 2+(12−m)(x 1+x 2)x 1x 2=0， 即2kx 1x 2+(12−m)(x 1+x 2)=2k ⋅(−11)3+4k 2+(12−m)⋅(−4k)3+4k 2 =4k(m−6)3+4k 2=0， 解得m =6，∴ 存在定点(0,6)，当斜率不存在时定点(0,6)也符合题意.。
四川省成都市2023-2024学年高二上期10月月考数学试题含解析
成都高2022级高二上期学科素养测试数学试卷（答案在最后）总分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.直线112y x =-+的一个方向向量是（）A.()1,2- B.()2,1- C.()1,2 D.()2,1【答案】B 【解析】【分析】直接根据方向向量的定义解答即可．【详解】直线112y x =-+的斜率为12-，则选项中()2,1-是直线的一个方向向量，即B 正确．故选：B ．2.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果错误的是（）A.()P B =710B.()0P A B = C.()7100P B C ⋂= D.()910P A B ⋃=【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，结合互斥事件的定义，以及频率与频数的关系，即可求解．【详解】解：由题意可知，A ，B ，C 为互斥事件，()0P A B = ，()0P B C ⋂=，故B 正确，C 错误，抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，则()2011005P A ==，()70710010P B ==，故A 正确，()()()()179051010P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，故D 正确．故选：C ．3.一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为（）A.14，14B.12，14C.14，15.5D.12，15.5【答案】A 【解析】【分析】把给定数据按由小到大排列，再结合众数、中位数的定义求解作答.【详解】把这组数据按由小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，所以其众数为14，中位数为14.故选：A4.{},,a b c为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）A.a ，a b + ，a b -B.b ，a b + ，a b- C.c ，a b + ，a b- D.2a b + ，a b + ，a b- 【答案】C 【解析】【分析】确定()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，()()12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ ，()()31222a b a b a b +=+--排除ABD ，得到答案.【详解】对选项A ：()()12a ab a b ⎡⎤=++-⎣⎦，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项B ：()()12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项C ：假设()()c a b a b λμ=++- ，即()()c a b λμλμ=++-，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对选项D ：()()31222a b a b a b +=+--，向量共面，故不能构成基底，错误；故选：C5.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD 上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离（）A.等于55a B.和EF 的长度有关C.等于23a D.和点Q 的位置有关【答案】A 【解析】【分析】取11B C 的中点G ，连接,,PG CG DP ，利用线面平行判断出选项B,D 错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.【详解】取11B C 的中点G ，连接,,PG CG DP ，则//PG CD ，所以点Q 到平面PEF 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，与EF 的长度无关，B 错．又11//A B 平面PGCD ，所以点1A 到平面PGCD 的距离即点Q到平面PGCD 的距离，即点Q 到平面PEF 的距离，与点Q 的位置无关，D 错．如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则1(0,,0),(0,0,0),(,0,),,0,2a C a D A a a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴(0,,0)DC a = ，1(,0,)DA a a = ，,0,2a DP a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设(,,)n x y z =是平面PGCD 的法向量，则由0,0,n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0,20,ax az ay ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1z =，则2,0x y =-=，所以(2,0,1)n =-是平面PGCD 的一个法向量．设点Q 到平面PEF 的距离为d ，则1255||5DA n a a a d n ⋅-+===，A 对，C 错．故选：A ．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.6.设直线l 的方程为66cos 130x y β-+=，则直线l 的倾斜角α的范围是（）A.[]0,π B.ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.πππ3π,4224⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭， D.π4,3π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】当cos 0β=时，可得倾斜角π2α=，当cos 0β≠时，由直线方程可得斜率1tan cos αβ==k ，然后由余弦函数和正切函数的性质求解．【详解】当cos 0β=时，方程为6130+=x ，直线的倾斜角π2α=，当cos 0β≠时，由直线方程可得斜率1tan cos αβ==k ，[]cos 1,1β∈- ，且cos 0β≠，),1(1,[]k ∴∈-∞-+∞ ，即)tan ,1]1,([α∈-∞-+∞ ，又[0,π)α∈，ππ[,)(,]422π3π4α∴∈ ，综上，倾斜角α的范围是3π[,4π4故选：D ．7.投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（）A.事件A 与事件B 互斥B.事件A 与事件B 对立C.事件A 与事件B 相互独立D.()56P A B +=【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A 与事件B 的基本事件可判断A ，B ；根据独立事件的概率公式可判断C ；求出事件A B +的概率可判断D.【详解】对于A ，B ，事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A 与事件B 不互斥，也不对立，A ，B 错误；对于C ，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，事件A ：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为1()2P A =,B ：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为1()3P B =,事件AB 包含的基本事件个数有1个，其概率为1()6P AB =,由于()()()P AB P A P B =,故事件A 与事件B 相互独立，C 正确；对于D ，事件A B +包含的基本事件个数有朝上的点数为2,4,5,6共4个，故()4263P A B +==，D 错误，故选：C8.在正四棱锥P ABCD -中，若23PE PB = ，13PF PC =，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为（）A.746B.845 C.745D.445【答案】B 【解析】【分析】利用A 、E 、F 、G 四点共面，25PG PD = ，由锥体体积公式，求出P AEFP ABCD V V --和P AGF P ABCD V V --的值，即可得P AEFGP ABCDV V --的值.【详解】如图所示，设PG PD λ=，由A 、E 、F 、G 四点共面，设AF xAE y AG =+ ，则()()AP PF x AP PE y AP PG +=+++ ，即()12()()33x AP AB AD AP xAP AB AP y AP y AD AP λλ++-=+-++- ，得2120133333x x y y AP AB y AD λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又AP ，AB ，AD 不共面，则203312033103x y y xy λλ⎧--+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得：2=5λ，即25PG PD = ，设1h ，2h 分别是点F 到平面PAE 和点C 到平面PAB 的距离，则12h PF h PC=，所以1229P AEF F PAE PAE PAE P ABC C PAB PAB PAB V S PF PA h P S E V V V S h S P C A PB PF PE P PB F PC P PC ----⋅===⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅ ，12P ABC P ABCD V V --=，19P AEF P ABCD V V --=，同理，215P AGF F PAG P ADC C PAD PA V PG PF PG PF PC P V V V PA P C D PD ----=⋅=⋅=⋅⋅=，12P ADC P ABCD V --=，115P AGF P ABCD V V --=，11891545P AEFG P AGF P AEF P ABCD P ABCD V V V V V -----+=+==则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为845.故选：B【点睛】方法点睛：点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.[多选题]下列命题是真命题的是（）．A.若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则AB 与CD是共线向量B.若A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB 与CD不是共线向量C.若向量AB 与CD是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上D.若向量AB 与AC是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上【答案】AD【解析】【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可．【详解】A 项为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，则向量AB ，CD 的方向相同或相反，因此AB 与CD是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB ，CD 的方向不确定，不能判断AB 与CD是否共线；C 项为假命题，因为AB ，CD两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB ，AC两个向量所在的直线有公共点A ，且AB 与AC是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线．故选：AD ．10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 、O 分别是11A B 、11A C 的中点，P 在正方体内部且满足1312423AP AB AD AA =++uu u r uu u r uuu r uuu r ，则下列说法正确的是（）A.点A 到直线BEB.点O 到平面11ABC D 的距离为4C.平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为3D.点P 到直线AB 的距离为3536【答案】BC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用向量法直接求解可得．【详解】如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则(0A ,0,0)，(1B ,0,0)，(0D ,1,0)，1(0A ,0,1)，1(1C ,1,1)，1(0D ,1,1)，1(,0,1)2E ．所以(1,0,0)BA =-uu r，1(,0,1)2BE =- ，则A 到直线BE 的距离15d =，故A 不正确；易知111111(,,0)222C O C A ==-- ，又1(0,1,1)DA =-uuu r ，()()11,0,0,1,1,1AB AC == ，所以1110,0DA AB DA AC ⋅=⋅= ，则平面11ABC D 的一个法向量为1(0,1,1)DA =-uuu r，则点O 到平面11ABC D 的距离1121124DA C O d DA ⋅==，故B 正确；1(1,0,1)A B =-uuu r ，1(0,1,1)A D =-uuu r ，11(0,1,0)A D =uuuu r ．设平面1A BD 的法向量为()n x y z =++ ，则1100n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1z =，得1y =，1x =，所以(1,1,1)n =，所以点1D 到平面1A BD 的距离1133A D n d n ⋅=== ．因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD的距离，即为3，故C 正确；因为1312423AP AB AD AA =++uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以312(,,423AP = ，(1,0,0)AB = ，则34||AP AB AB ⋅=uu u r uu u ruu ur ，所以点P 到AB 的距离56d =，故D 不正确．故选：BC ．11.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，π3DAB ∠=，22AB AD PD ==，PD ⊥底面ABCD ，则（）A.PA BD⊥B.PB与平面ABCD所成角为π6C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为D.平面PAB与平面PBC 夹角的余弦值为7 7【答案】ABC【解析】【分析】由线面垂直的判定定理及异面直线所成角的求法，结合空间向量的应用逐一判断即可得解．【详解】对于选项A，因为π3DAB∠=，2AB AD=，由余弦定理可得BD==，从而222BD AD AB+=，即BD AD⊥，由PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，可得BD PD⊥，又,,AD PD D AD PD⋂=⊂面PAD，即BD⊥面PAD，又PA⊂面PAD，即PA BD⊥，故选项A正确；对于选项B，因为PD⊥底面ABCD，所以PBD∠就是PB与平面ABCD所成的角，又tan3PDPBDBD∠==，即π6PBD∠=，故选项B正确；对于选项C，显然PCD∠为异面直线AB与PC 所成的角，易得25cos5CDPCDPC∠==，故选项C正确；对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD=，则(0D,0,0)，(1A,0,0)，(0B0)，(1C-0)，(0P,0,1)，设平面PAB的一个法向量为111(,,)n x y z= ，则n ABn PB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111xz⎧-+=⎪-=，令11y=，则11x z==即n =，设平面PBC 的一个法向量为222(,,)m x y z = ，则0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则22200z x -=-=⎪⎩，令21y =，则20x =，2z =m =，则cos ,7m n m n m n ⋅==，即平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为7，故选项D 不正确.故选：ABC ．12.如图，在正四面体ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，CD （不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A.对任意点M ，N ，都有MN 与AD 异面B.存在点M ，N ，使得MN 与BC 垂直C.对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC共面D.对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，首先MN 不可能与AD 相交，其次证明AD 与MN 不可能平行，故A 正确；B 选项，证明出BC ⊥平面ADF ，因为直线AB 与CD 分别与平面ADF 的交点为A ，D ，但M ，N 与A ，D 不会重合，故B 错误；C 选项，作出辅助线，得到存在0λ≠，使得()1MN AD BC λλ=+-，由空间向量性质可知C 正确；D 选项，作出辅助线，对于任意点M ，找到点N ，得到MN 与AD ，BC 所成的角，利用相似和余弦定理得到MN 与AD ，BC 所成的角相等.【详解】A 选项，M ，N 分别是线段AB ，CD （不含端点）上的动点，故MN 不可能与AD 相交，过点M 作ME ∥AD 交BD 于点E ，MN 与ME 相交，故AD 与MN 不可能平行，综上：对任意点M ，N ，都有MN 与AD 异面，A 正确；B 选项，取BC 中点F ，连接AF ，DF ，因为四面体ABCD 为正四面体，所以AF ⊥BC ，DF ⊥BC ，因为AF DF F ⋂=，所以BC ⊥平面ADF ，因为直线AB 与CD 分别与平面ADF 的交点为A ，D ，但M ，N 与A ，D 不会重合，故BC 不可能与MN 垂直，B 错误；C 选项，对于任意点M ，作ME ∥AD 交BD 于点E ，过点E 作EN ∥BC 交CD 于点N ，连接MN ，此时MN ME EN =+u u u u r u u u r u u u r，故存在0λ≠，使得()1MN AD BC λλ=+- ，所以对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC共面，C 正确；D 选项，对任意的点M ，在CD 上取点N ，使得CN =AM ，则BM DN =，过点M 作ME ∥AD 交BD 于点E ，过点N 作NF ∥BC 交BD 于点F ，则NME ∠为MN 与AD 形成的角，∠MNF 为MN 与BC 形成的角，且FN =EM ，DE =BF ，由BM =DN ，∠ABD =∠CDB =60°，DE =BF 得：△BMF ≌△DNE ，所以MF =EN ，由余弦定理得：222cos 2MN NF MF MNF MN NF +-∠=⋅，222cos 2MN ME EN NME MN ME+-∠=⋅，由于三边对应相等，故∠MNF =∠NMF ，对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等，D 正确.故选：ACD【点睛】立体几何中动点问题，在点运动过程中求解垂直或平行关系或角度或长度的最值等，需要把点运动到特殊位置或抓住运动过程中的不动量作为解题的突破口.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.点(1,2,5)P -到xOy 平面的距离______.【答案】5【解析】【分析】根据空间点的坐标的含义，即可得答案.【详解】点(1,2,5)P -在平面xOy 上的射影是(1,2,0)P '-，则点(1,2,5)P -在平面xOy 距离为5PP '=.故答案为：514.已知过点()2,A m -和点(),4B m 的直线为1l ，2l ：21y x =-+，3l ：11y x n n=--，若12l l ∥，23l l ⊥，则m n +的值为______.【答案】10-【解析】【分析】由平行、垂直直线的斜率关系求解即可.【详解】因为12l l ∥，所以422AB mk m -==-+，解得8m =-，又23l l ⊥，所以1((2)1n-⨯-=-，解得2n =-，所以10m n +=-.故答案为：10-.15.在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则二面角P BD Q --余弦值的取值范围是__________．【答案】31,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】连接AC 、BD 、AD '、A D '，设AC BD O = ，连接OC '、OP ，证明出A D '⊥平面ABC D ''，可知点Q 的轨迹为线段BC '，由二面角的定义可知二面角P BD Q --的平面角为POC '∠，求出cos POC '∠的最小值和最大值，即可得解.【详解】连接AC 、BD 、AD '、A D '，设AC BD O = ，连接OC '、OP ，如下图所示：因为//AB C D ''且AB C D ''=，则四边形ABC D ''为平行四边形，因为四边形AA D D ''为正方形，则AD A D '⊥'，因为AB ⊥平面AA D D ''，A D '⊂平面AA D D ''，则AD A B '⊥，因为AB AD A ⋂'=，AB 、AD '⊂平面ABC D ''，所以，A D '⊥平面ABC D ''，因为BC '⊂平面ABC D ''，所以，BC A D ''⊥，因为Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，所以，点Q 的轨迹为线段BC '，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，则BC BD C D ''===，因为四边形ABCD 为正方形，AC BD O = ，则O 为BD 的中点，且OC BD '⊥，由勾股定理可得PB PD ===，则OP BD ⊥，所以，二面角P BD Q --的平面角为POC '∠，由图可知，当点P 与点A 重合时，POC '∠最大，sin 602OC BC ''=== 1122OC AC ==⨯=，因为CC '⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则CC AC '⊥，此时，()cos cos πcos3OCPOC COC COC OC'''∠=-∠=-∠=-=--'；当P 与点A '重合时，POC '∠最小，此时，()221cos cos π2cos 212cos 1233POC COC COC COC ⎛''''∠=-∠=-∠=-∠=-⨯= ⎝⎭，又因为函数cos y x =在[]0,π上单调递减，所以，1cos 33POC '-≤∠≤，因此，二面角P BD Q --的余弦值的取值范围1,33⎡⎤-⎢⎣⎦.故答案为：1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.16.已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，3AB AD CD ===，π3ABC ∠=，PA =，M 是线段AB 上一点，且AM AB λ=．过点M 作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则λ＝___．【答案】13或23【解析】【分析】根据给定的几何体，确定球心O 的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答.【详解】在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，如图，因为//AD BC ，3AB AD CD ===，π3ABC ∠=，则2π3BAD ADC ∠=∠=，π6CAD ∠=，于是π2BAC ∠=，取BC 中点1O ，连接11,O A O D ，则111O A O B O C ==，得11,AO B CO D 均为正三角形，即有1111O A O B O C O D ===，即1O 是梯形ABCD 外接圆圆心，而O 为四棱锥P ABCD -的外接球球心，因此1O O ⊥平面ABCD ，又PA ⊥平面ABCD ，则1//O O PA ，而PA 为球O 的弦，则过点O 垂直于PA 的平面必过PA 的中点E ，连接,OE OA ，于是OE PA ⊥，而1O A PA ⊥，即有1//O A OE ，四边形1O AEO 为矩形，1122O O AE PA ===，因此球O 的半径221111R OA O A O O ==+=，过点M 的球O 的最小截面圆所在平面必垂直于OM ，而此截面圆半径为2，则22(2)3OM R =-=，连接1O M ，在1Rt O OM △中，22117O M OM O O =-=，在1AMO 中，1π3BAO ∠=，22211112cos AM O A AM O A BAO O M +-⋅∠=，即有2937AM AM +-=，解得1AM =或2AM =，所以13λ=或23λ=.故答案为：13或23【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面,,1,2,3ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．（1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】【分析】（1）作DE AB ⊥于E ，CFAB ⊥于F ，利用勾股定理证明AD BD ⊥，根据线面垂直的性质可得PD BD ⊥，从而可得BD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以12AE BF ==，故32DE =，223BD DE BE =+=所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，因为PD⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，又=PD AD D ⋂，所以BD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥；【小问2详解】解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，3BD =，则()()(1,0,0,3,0,0,0,3A B P ，则(((3,0,3,3,0,0,3AP BP DP =-==，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则有30{330n AP x n BP z ⋅=-+=⋅==，可取)3,1,1n = ，则5cos ,5n DP n DP n DP⋅==，所以PD 与平面PAB 518.（1）已知(3,3)A ，(4,2)B -，(0,2)C -，若点D 在线段AB （包括端点）上移动时，求直线CD 的斜率k 的取值范围；（2）求函数sin cos 2y θθ=+，θ∈R 的值域.【答案】【小问1】1k ≤-或53k ≥【小问2】33⎡-⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）求出直线AC ，BC 的斜率，数形结合可得答案；（2）利用辅助角公式，结合三角函数的性质求解.【详解】（1）直线AC 的斜率235033AC k --==-，直线BC 的斜率2210(4)BC k --==---，如图所示，点D 在线段AB （包括端点）上移动时，BC k k ≤或AC k k ≤，故直线CD 的斜率的取值范围是：1k ≤-或53k ≥.（2）由sin cos 2y θθ=+，得2cos sin y y θθ+=，所以2sin cos )y y θθθϕ=-=-，其中cos ϕϕ==则sin()θϕ-=由|sin 1()|θϕ≤-1≤，即231y ≤，解得33y -≤≤，所以函数sin cos 2y θθ=+，θ∈R 的值域为,33⎡-⎢⎣⎦.19.如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60︒.（1）证明：1AC BD ⊥；（2）求1BD 与AC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算和数量积的运算性质，得到10AC BD ⋅=，即可得证；（2）求出11||,||,BD AC BD AC ⋅，再利用向量夹角公式即可求解.【小问1详解】以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60︒，1166cos 6018AA AB AA AD AD AB ∴⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，1111111()()())(AC BD AA A B B C AD AB AA AB AD AD AB ∴⋅=++⋅-=++⋅- 2211AA AD AA AB AB AD AB AD AD AB =⋅-⋅+⋅+--⋅181836360=--+=，1.AC BD ∴⊥【小问2详解】111BD AD DD AB AD AA AB =+-=+- ，AC AB BC AB AD =+=+ ，211||()BD AD AA AB ∴=+- 222111222AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+++-⋅⋅⋅- 3636363636362=+++--，222||()23636363AC AB AD AB AD AB AD =+=++⋅=++=11()()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 22113636181836AD AB AA AB AA AD =-+⋅+⋅=-++=，111cos,6||||BD ACBD ACBD AC⋅∴==⋅，则异面直线1BD与AC所成角的余弦值为620.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．【答案】（1）（2）25【解析】【详解】甲校的男教师用A、B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用E、F表示，（1）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，有（AD），（AE），（AF），（BD），（BE），（BF），（CD），（CE），（CF），共9种；其中性别相同的有（AD）（BD）（CE）（CF）四种；则选出的2名教师性别相同的概率为P=；（2）若从报名的6名教师中任选2名，有（AB）（AC）（AD）（AE）（AF）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF）（DE）（DF）（EF）共15种；其中选出的教师来自同一个学校的有6种；则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=．21.从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[]86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]30,40将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为2211Y Y T T Y Y T T --=--，其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T ，2T 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y 表示考生的原始分，Γ表示考生的等级分，规定原始分为1Y 时，等级分为1T ，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：（1）根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A 等级的原始分区间；（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分.【答案】（1）73（2）[85,98]（3）91分【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出a ，由频率分布直方图中平均数的概念求解平均数；（2）求出等级A 的原始分区间的最低分，又最高分为98，即可得解；（3）利用给定转换公式求出等级分作答．【小问1详解】由10(0.020.030.04)1a a ++++=，可得0.005a =，此次化学考试成绩的平均值为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分．【小问2详解】由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[90,100]的占比为5%，位于区间[80,90)的占比为20%，因为成绩A 等级占比为15%，所以等级A 的原始分区间的最低分位于区间[80,90)，估计等级A 的原始分区间的最低分为15%5%90108520%--⨯=，已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩A 等级的原始分区间为[85,98]．【小问3详解】由9890100908586T T --=--，解得11889113T =≈，该学生的等级分为91分．22.如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点.（1）求证：OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =.①求二面角C AE B --所成平面角的正弦值；②在线段CE 上是否存在一点M ，使得直线MO 与平面BCP 所成角为30︒？【答案】（1）证明见解析（2）①1113；②存在【解析】【分析】（1）取AB 的中点D ，可证得OD 面PAC ,DE 面PAC ,从而面ODE 面PAC ,进而得结论；（2）①以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AEB 和平面AEC 的法向量，利用向量夹角公式求解；②设(1)OM OC OE λλ=+- ，（01λ<<），则33,111,22OM λλ⎫=---⎪⎭ ，求出平面BCE 的法向量，利用向量夹解公式列出方程求解λ即可.【小问1详解】如图，取AB 的中点D ，连接,OA OB ,∵PO ⊥面ABC ,PA PB =,∴OA OB =,则OD AB ⊥,又AC AB ⊥,∴OD AC ∥,OD ⊄面PAC ,AC ⊂面PAC ,∴OD 面PAC ,∵,D E 分别为,AB PB 的中点，∴DE PA ∥,DE ⊄面PAC ,PA ⊂面PAC ,∴DE 面PAC ,DE OD D = ,,DE OD ⊂面ODE ,∴面ODE 面PAC ,又OE ⊂平面ODE ，所以OE 平面PAC .【小问2详解】①以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为3,5PO AP ==，所以224OA AP PO =-=，又30ABO CBO ∠=∠=︒，4OA OB ==，所以cos303AD BD OB ==︒=则243,312AB BD AC ====，则(0,0,0)A ，()3,0,0B ，(0,12,0)C ，()3,2,3P ，333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3(33,1,3,0,0),(0,12,0)2AE AB AC === ，设平面AEB 的法向量为(),,m x y z = ，则33302430m AE x y z m AB x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令2z =，则3,0y x =-=，所以()0,3,2m =- ，设平面AEC 的法向量(,,)n a b c = ，则33302120m AE a b c m AB b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令1a =-，则0c b ==，所以(1,0,n =- ，所以cos ,13n m n m n m ⋅〈〉== .设二面角C AE B --的大小为θ，则11sin 13θ==.②()2,0O ，设(1)OM OC OE λλ=+- ，（01λ<<），则33,111,22OM λλ⎫=--⎪⎭，()3,2BC BE ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，设平面BCE 的法向量(),,r d e f =，则120302r BC e r BE e f ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令d =，则41,3e f ==，所以43r ⎫=⎪⎭，r = ，4r OM ⋅= ，因为sin 30r OM r OM ⋅︒=，所以OM = 26018925104252λλ--=，解得λ=，1λ-=因为222260125160125189(60189)895121313⨯⨯+--=-+60125125142360160142301313⨯⎛⎫=-⨯+=-< ⎪⎝⎭，。
四川省数学高二上学期文数10月月考试卷
四川省数学高二上学期文数10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·南充期末) 设a＞b，c＞d，则有（）A . a﹣c＞b﹣dB . ac＞bdC .D . a+c＞b+d2. （2分）在等差数列中，首项，公差≠0，若，则（）A . 22B . 23C . 24D . 253. （2分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A . 钝角三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 不能确定4. （2分）中，,,则A .B .C .D .5. （2分）若的内角满足，则（）A .B .C .D .6. （2分）若数列｛an｝是公差为的等差数列，它的前100项和为145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值是（）A . 60B . 72.5C . 85D . 1207. （2分） (2019高三上·西城月考) 等差数列的前n项和为Sn ，若，，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一下·重庆期末) 已知各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分）首项为-24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（）A . d＞B . d＞3C . ≤d＜3D . ＜d≤310. （2分）在等差数列中，，则的前5项和=（）A . 7B . 15C . 20D . 2511. （2分）(2017·青岛模拟) 已知 x＞1，y＞1，且 lg x，，lg y 成等比数列，则 xy 有（）A . 最小值10B . 最小值C . 最大值10D . 最大值12. （2分） (2020高一下·吉林期中) 已知等差数列满足，则前12项之和为（）A . -144B . 80C . 144D . 304二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高一下·天门期中) 已知第一象限的点（a，b）在直线2x+3y﹣1=0上，则的最小值为________14. （1分）已知函数f（x）=2x﹣1，则f[f（x）]≥1的解集为________．15. （1分）已知常数a＞1，实数x，y满足，则z=ax+y的最大值为________．16. （1分） (2019高三上·长沙月考) 已知点列P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），…，Pn＋1（n＋1，yn＋1）在x轴的投影为Q1 ， Q2 ，…，Qn＋1 ，且点Pn＋1满足y1＝1，直线PnPn＋1的斜率k ＝2n ．则多边形P1Q1Qn＋1Pn＋1的面积为________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （10分） (2020高一上·温州期中) 已知关于的不等式 .（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，且不等式对都成立，求实数的取值范围.18. （5分）(2018·凯里模拟) 已知在中，角、、的对边分别是、、，，，且 .（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求周长的最大值.19. （5分）(2019·内蒙古模拟) 已知数列满足，，数列满足（Ⅰ）证明：数列为等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和.20. （5分） (2016高一下·黄冈期末) 某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？21. （5分）已知α，β满足，试求α+3β的取值范围．22. （10分） (2019高二下·吉林期末) 已知函数f(x)=x2+2x+a.（1）当a= 时,求不等式f(x)>1的解集.（2）若对于任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共40分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
四川省成都学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题含解析
成都2023~2024学年度上期10月学月考试高二（上）数学试卷（答案在最后）考试时间120分钟；满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，已知直线PM 、QP 、QM 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则1k 、2k 、3k 的大小关系为（）A.123k k k <<B.132k k k <<C.213k k k <<D.321k k k <<【答案】B 【解析】【分析】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..【详解】由于直线PM 的倾斜角为钝角，QP 、QM 的倾斜角为锐角，当倾斜角为锐角时，斜率为正，即320,0k k >>，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即10k <，又因为倾斜角为0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，倾斜角越大，斜率越大，即32k k <；所以132k k k <<.故选：B.2.缙云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数：926446072021392077663817325615405858776631700259305311589258据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（）A.0.45 B.0.5C.0.55D.0.6【答案】B 【解析】【分析】根据给定数据，求出三天中至少有两天下雨的随机数组数即可计算作答.【详解】依题意，20组随机数中，表示三天中至少有两天下雨的随机数有：446，072，021，392，325，405，631，700，305，311，共10组，所以三天中至少有两天下雨的概率约为101202=.故选：B3.已知直线260ax y ++=与直线2(1)10x a y a +-+-=互相平行，则实数a 的值为()A.2-B.2或1- C.2D.1-【答案】D 【解析】【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a 的值，再排除使两直线重合的a 的值即可﹒【详解】直线260ax y ++=斜率必存在，故两直线平行，则112a a =---，即220a a --=，解得21a =-或，当2a =时，两直线重合，∴1a =-．故选：D ．4.现从2个男生2个女生共4人中任意选出2人参加巴蜀中学高三年级的百日誓师大会，已知选出的2人中有一个是男生，则另一个是女生的概率为（）A.12B.23C.45D.56【答案】C 【解析】【分析】列举法求古典概型概率.【详解】假设两名男生为1A ，2A ，两名女生为1B ，2B ，从中任选两人有男生的情况有：12A A ，11A B ，21A B ，12A B ，22A B 共5种情况，其中一男一女的情况有4种，故所求概率为45，故选：C5.△ABC 中，D 为AB 上一点且满足12AD DB = ，若P 为线段CD 上一点，且满足AP AB AC λμ=+（λ，μ为正实数），则113λμ+的最小值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合三点共线的结论可得31λμ+=，再根据基本不等式运算求解.【详解】因为P 为线段CD 上一点，则3AP xAD y AC C x AB y A =++=uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r，且1x y +=，又因为AP AB AC λμ=+ ，可得3x yλμ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3x y λμ=⎧⎨=⎩，所以31λμ+=，可得()111133224333μλλμλμλμλμ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当33μλλμ=，即132μλ==时，等号成立，所以113λμ+的最小值为4.故选：B.6.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知ABC 的顶点()()2,0,0,1A B ，且AC BC =，则ABC 的欧拉线的方程为（）A.2430x y +-=B.230x y --=C.230x y --=D.4230--=x y 【答案】D 【解析】【分析】因为AC BC =，结合题意可知ABC 的欧拉线即为线段AB 的垂直平分线，利用点斜式求方程．【详解】∵AC BC =，结合题意可知ABC 的欧拉线即为线段AB 的垂直平分线AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，斜率12AB k =-，则AB 垂直平分线的斜率2k =则ABC 的欧拉线的方程为()1212y x -=-，即4230--=x y 故选：D ．7.在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子被断开分别为事件A ，B ，C ，D ，E .盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（）A.A ，B 两个盒子串联后畅通的概率为16B.D ，E 两个盒子并联后畅通的概率为115C.A ，B ，C 三个盒子混联后畅通的概率为12D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为79【答案】D 【解析】【分析】串联电路中，同时畅通电路才畅通；并联电路中，同时断电才断电；故利用对立事件，相互独立事件同时发生的概率判断选项．【详解】对于A ：A ，B 两个盒子串联后畅通的概率为111211123233⎛⎫⎛⎫-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误．对于B ：D ，E 两个盒子并联后畅通的概率为111415315-⨯=，故B 错误．对于C ，A ，B 两个盒子串联后不畅通的概率为12133-=，所以A ，B ，C 三个盒子混联后畅通的概率为2151346-⨯=，故C 错误；对于D ：当开关合上时，整个电路畅通的概率为91157456⨯=，故D 正确．故选：D ．8.++的最小值所属区间为（）A.[10,11]B.(11,12]C.(12,13]D.前三个答案都不对【答案】C 【解析】【分析】利用代数式的几何意义可求最小值.【详解】如图，设(,0),(0,),(9,2),(3,3)P x Q y A B --．根据题意，设题中代数式为M ，则||||||||13M AP PQ QB AB =++≥=，等号当P ，Q 分别为直线AB 与x 轴，y 轴交点时取得．因此所求最小值为13．故选：C .二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（）A.54周岁以上参保人数最少B.18～29周岁人群参保总费用最少C.丁险种更受参保人青睐D.30周岁以上的人群约占参保人群20%【答案】AC 【解析】【分析】A 选项，根据扇形统计图可得A 正确；B 选项，从扇形统计图和折线统计图计算出54周岁以上人群参保总费用比18～29周岁人群参保总费用低，B 错误；C 选项，从条形统计图可得C 正确；D 选项，从扇形统计图可得到D 错误.【详解】设抽查的5个险种参保客户的总人数为a ，A 选项，从扇形图可得到54周岁以上参保人数占比为008，人数最少，A 正确；B 选项，18～29周岁人群人均参保费用高于3500元，故参保总费用高于00350020700a a ⨯=，54周岁以上人群人均参保费用为6000元，故参保总费用为0060008480a a ⨯=，由于700480a a >，故18～29周岁人群参保总费用不是最少的，B 错误；C 选项，从条形统计图可看出丁险种所占比例为0.55，比其他险种均高，故更受参保人青睐，C 正确；D 选项，30周岁以上的人群约占参保人群为000000003933880++=，D 错误.故选：AC10.下列结论错误的是（）A.过()()1122,,,x y x y 两点的所有直线，其方程均可写为112121y y x x y y x x --=--B.已知点()()3,1,2,3A B ，点P 在y 轴上，则PA PB +C.直线220x y --=与直线2410x y -+=D.已知两点()()3,4,3,2A B -，过点()1,0P 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是(][),11,-∞-⋃+∞【答案】AC 【解析】【分析】利用直线的两点式方程的意义判断A ；利用对称思想求出PA PB +的最小值判断B ；求出平行线间距离判断C ；求出直线斜率范围判断D.【详解】对于A ，当12x x =或12y y =时，过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程不能用112121y y x x y y x x --=--表示，A 错误；对于B ，作点B 关于y 轴的对称点(2,3)B '-，连接AB '交y 轴于点P '，连接P B '，对于y 轴上任意点P ，连接PB '，则||PA PB PA PB AB P A P B P A P B '''''''+=+≥=+=+，当且仅当点P 与点P '重合时取等号，因此min ()||PA PB AB '+==，B 正确；对于C ，直线220x y --=化为：2440x y --=，所求距离为2=，C 错误；对于D ，直线,PA PB 的斜率40201,13131P PA B k k --==-==---，由直线l 与线段AB 有公共点，得直线l 的斜率k 满足：PA k k ≤或PB k k ≥，所以直线l 的斜率的取值范围是(,1][1,)∞∞--⋃+，D 正确.故选：AC11.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D.当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD 【解析】【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB ；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C ；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D 作答.【详解】对于A ，依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ---=--，A 正确；对于B ，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l ，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为2(1)(1)(1)βββββ-⋅⋅-=-，B 正确；对于C ，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B 知，所以所求的概率为22323C (1)(1)(1)(12)βββββ-+-=-+，C 错误；对于D ，由选项C 知，三次传输，发送0，则译码为0的概率2(1)(12)P αα=-+，单次传输发送0，则译码为0的概率1P α'=-，而00.5α<<，因此2(1)(12)(1)(1)(12)0P P αααααα'-=-+--=-->，即P P '>，D 正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.12.如图；正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界）；点P 在棱CC '上；则下列结论正确的有（）A.若1PC '=；沿正方体的表面从点A 到点P 的最短距离为B.若1PC '=，三棱锥B ABP '-的外接球表面积为41π4C.若12PC '=；BD PM '⊥，则点M 的运动轨迹长度为2D.若12PC '=；平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得截面面积为8【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，将正方体的下面和侧面展开，连接AP ，计算即可判断；对于B 正弦定理知外接圆半径54r =，又AB ⊥平面BPB '，设三棱锥B ABP '-的外接球半径为R ，求得R 即可判断；对于C ，由线面垂直和面面平行的判定定理，设平面PEF 交平面ADD A ''于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ，求得EF 即可判断；对于D ，延长DC ，D P '交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，则平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得的截面为AIPD '，利用三角形相似即可判断．【详解】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则||AP =，故A 错误；对于B ，当||1PC '=，所以BPB ' 中，2PB BP BB ''===，则sinPBB '∠==，设BPB ' 外接圆半径为r ，则由正弦定理知：52sin 2PB r PBB '=='∠，则54r =，又AB ⊥平面BPB '，设三棱锥B ABP '-的外接球半径为R ，则2222541()121616AB R r =+=+=，所以三棱锥B ABP '-的外接球表面积2414ππ4S R ==，故B 正确；对于C ，如图：因为DD '⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DD AC '⊥，又AC BD ⊥，DD BD D '= ，DD '，BD ⊂平面DD B '，所以AC ⊥平面DD B '，BD '⊂平面DD B '，所以AC BD '⊥，同理可得BD AB ''⊥，AC AC A '= ，AC ，AB '⊂平面ACB '．所以BD '⊥平面ACB '，所以过点P 作//PG C D '交CD 交于G ，过G 作//GF AC 交AD 交于F ，所以//PG 平面ACB '，同理可得//GF 平面ACB '，,,GF PG G GF PG ⋂=⊂平面PFG ，所以平面//PGF 平面ACB '，所以BD '⊥平面PFG ,取1,2A E A Q C K '''===连接,,,EQ QK KP EF ,则,,,,,E Q K P E F 均在平面PGF 上，则M 的运动轨迹为线段EF ，由于BD '⊥平面PFG ,PM ⊂平面PFG ,所以BD PM '⊥,由点P 在棱CC '上，且1||2PC '=，可得13||||,||||22DG DF AF AE ====，所以332||||42EF A D '==，故C 正确；对于D，如图：延长DC ，D P '交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，所以平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得的截面为AIPD '．PCH ∽D DH ' ，所以||||||3,||||||4PH PC HC ICH ADH D H DD DH ==='' ∽，所以||||||3||||||4CI HC IH DA DH AH ===，所以||||||3||||||4PH IH PI D H AH AD ===''，所以//PI AD '，且||||PI AD '≠，所以截面AIPD '为梯形，||||AI PD '===AIPD '为等腰梯形，设梯形的高为h，则h =,所以11()2228AIPD S AD IP h ''=⨯+=⨯，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为______.【答案】39【解析】【分析】根据第75百分位数的定义计算可得答案.【详解】8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，因为875%6⨯=，所以第75百分位数为3840392+=.故答案为：3914.直线l 过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l 的方程是___________.【答案】20x y -=或240x y +-=【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点()1,2，由点斜式方程即可得出答案.②直线不过原点，设其方程为12x y a a+=，又由直线经过点()1,2，代入求出a ，即可求出直线l 的方程.【详解】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点()1,2，此时直线的方程为2y x =，即20x y -=；②直线不过原点，设其方程为12x y a a +=，又由直线经过点()1,2，则有1212a a+=，解可得2a =，此时直线的方程为240x y +-=，故直线l 的方程为20x y -=或240x y +-=.故答案为：20x y -=或240x y +-=.15.正四棱锥S ABCD -的底面边长为，侧棱长为，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球的球面上，则该球的表面积为____________．【答案】100π【解析】【分析】根据正四棱锥的性质，结合勾股定理即可求解球半径,由球的表面积公式即可求解.【详解】如图所示，设球半径为R ，底面中心为O '且球心为O ，正四棱锥P ABCD -中AB =，PA =42AO AB '∴==，可得8PO '==，8OO PO PO R ''=-=-． 在Rt BOO '△中，222O BO B OO =''+，2224(8)R R ∴=+-，解得5R =，因此可得外接球的表面积为：224π4π5100πR =⨯=．故答案为：100π．16.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小π6cm,10cm,3AB AC BCM ==∠=，则tan θ的最大值是______.（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）【答案】3【解析】【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答.【详解】过点P 在平面BCM 内作直线BC 的垂线，垂足为点D ，如图，则由仰角的定义得PAD θ∠=，由题意22221068BC AC AB =-=-，设CD x =()0x >，则tan 3PD CD BCM x =∠=，当点D 与B 不重合时，在Rt △ABD 中，()222268AD AB BD x =+=+-，当点D 与B 重合时，上式也成立，在Rt APD 中，()223tan 68PD xAD x θ==+-23100161x x =-+231049525x =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当252x =时，tan θ取最大值533，综上，tan θ的最大值为533.故答案为：533.四、解答题：第17题10分，第18~22题每道题12分，共计70分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或者演算步骤.17.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．18.已知直线l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．(1)求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程，并求l2与l3的交点P；(2)求过点P且与原点O（0，0）距离等于2的直线m的方程．【答案】(1)2x﹣y+3＝0，P（﹣2，﹣1）；(2)3x+4y+10＝0或x＝﹣2.【解析】【分析】(1)由对称关系求直线l3的方程，联立l2与l3的方程，求点P的坐标，(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m的方程，再检验过点P的斜率不存在的直线是否满足要求.【详解】(1)由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3必过x轴上相同点3 (,0) 2 ，∴直线l3的方程为2x﹣y+3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2），即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意，综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．19.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i ）35；（ii ）10.【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这m 人的平均年龄；设第80百分位数为a ，计算从左到右频率和为0.8或计算从右到左频率和为0.2，即可求出a ；(2)（i ）由题意可得，第四组应抽取4人，记为A ，B ，C ，甲，第五组抽取2人，记为D ，乙，根据古典概型计算方法求解即可；（ii ）根据方差的计算原理计算合并后方差即可.【详解】解：（1）设这m 人的平均年龄为x ，则22.50.0527.50.3532.50.337.50.242.50.132.25x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）.设第80百分位数为a ，方法一：由50.02(40)0.040.2a ⨯+-⨯=，解得37.5a =.方法二：由0.050.350.3(35)0.040.8a +++-⨯=，解得37.5a =.（2）（i ）由题意得，第四组应抽取4人，记为A ，B ，C ，甲，第五组抽取2人，记为D ，乙，对应的样本空间为：{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A A A D B C B B B D C C Ω=甲乙甲乙甲乙(,),(,),(,),(,)}C D D D 甲乙甲乙，共15个样本点.设事件M =“甲、乙两人至少一人被选上”，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}M A A B B C C D D =甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙，共有9个样本点.所以，()3()()5n M P M n ==Ω.（ii ）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ，则437x =，543x =，2452s =，251s =，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s .则4542396x x z +==，()(){}222224545142106s s x z s x z ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m 人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.20.为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试.试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p ，乙同学答对每题的概率都为()q p q >，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同时答对的概率为13，恰有一人答对的概率为12.（1）求p 和q 的值；（2）试求两人共答对3道题的概率.【答案】（1）21,;32p q ==（2）13.【解析】【分析】（1）利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解；（2）先求出甲、乙答对题目数为0、1、2的概率，再由甲乙总共答对3道题，等价于甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得.【小问1详解】由题意可得()()1,3111,2pq p q q p ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩即1,37,6pq p q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1223p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,31,2p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于p q >，所以21,;32p q ==【小问2详解】设{i A =甲同学答对了i 道题},{i B =乙同学答对了i 道题},0,1,2i =.由题意得，()()1221124224,33339339P A P A =⨯+⨯==⨯=，()()1211111111,22222224P B P B =⨯+⨯==⨯=，设{E =甲乙二人共答对3道题}，则1221E A B A B =+，由于i A 和i B 相互独立，12A B 与21A B 相互互斥，所以()()()()()()()12211221P E P A B P A B P A P B P A P B =+=+4141194923=⨯+⨯=，所以甲乙二人共答对3道题的概率为13.21.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin tan cos 2sin b A a A B a C +=.（1）求A ；（2）若D 为BC 延长线上一点，且π4CAD ∠=，求BC CD的取值范围.【答案】（1）π3；（2）(.【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换化简求值即可；（2）分别在ABD △和ACD 中利用正弦定理表示出AD ，进而表示出BDCD，根据ABC 为锐角三角形求出π5π612B <<，从而求出BC CD的取值范围.【小问1详解】角A ，B ，C 是ABC 的内角，故sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>.在锐角ABC 中,由正弦定理得，sin sin sin tan cos 2sin sin B A A A B A C +=，即sin sin cos 2sin cos AB BC A+=，所以sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，故1cos 2A =，又(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】在ABD △中，sin ,7π7πsin sin sin 1212BD AD BD BAD B ´=\=，在ACD 中，πsin(3,πππsin sin()sin 434CD B CD AD AD B ´+=\=+，所以πsin()sin 37ππsin sin 124CD B BD B ´+´=故7πππsinsin()sin()11233π2sin sin sin 4B B BDCDBB ´++==´´1sin 31222sin B BB+=´31131222tan B 骣琪琪=´+琪琪桫.因为ABC 为锐角三角形，π4ACD ∠=,所以π02πππ23ππ3π234B B B ⎧<<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，解得π5π612B <<，所以3tan 23B <<+，所以12tan B -<<，从而11111222tan B ⎛⎫+<⨯+<+ ⎪ ⎪⎝⎭故BCCD的取值范围为(.22.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，2AB =，π3DAB ∠=，FA FC ==，记平面AEF 与平面ABCD 的交线为l．（1）证明：//BD l ；（2）证明：平面BDEF ⊥平面ABCD ；（3）记平面AEF 与平面ABCD 夹角为α，若正实数m ，n 满足22cos sin cos sin cos sin m t n t θθθθθθ⎧=-⎨=+⎩，π02θ<<，证明：33tan 2m n α+>．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）通过线面平行的性质定理进行转化求解即可；（2）通过图形关系证明AC BD ⊥，FO AC ⊥，然后得到线面垂直，再证明面面垂直即可；（3）首先通过几何图形关系得到FAO ∠即为平面AEF 与平面ABCD 的夹角，得到角度后，通过基本不等式或三元均值不等式转化证明即可.【小问1详解】因为BDEF 为菱形，所以//BD EF ，因为BD ⊂/平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//BD 平面AEF ，又因为BD ⊂平面ABCD ，平面AEF ⋂平面ABCD l =，所以//BD l .【小问2详解】连接AC 交BD 于点O ，连接FO ，因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，O 为AC 中点，因为FA FC =，所以FO AC ⊥，又因为,BD FO ⊂平面BDEF ，BD FO O ⋂=，所以AC ⊥平面BDEF ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以平面BDEF ⊥平面ABCD 【小问3详解】因为ABCD 为菱形，2AB =，π3BAD ∠=，所以2BD =，1OB =，3OA =又因为BDEF 为菱形，所以2BF BD ==，因为FA =FO AC ⊥，所以OF ==，所以2224OB OF BF +==，所以⊥OF OB ，即BD OF ⊥，又因为BD OA ⊥，,OA OF ⊂平面FOA ，OA OF O = ，所以BD ⊥平面FOA ，又由（1）知//BD l ，所以l ⊥平面FOA ，所以FAO ∠即为平面AEF 与平面ABCD 的夹角，在直角FOA中，OF OA ==π4FAO ∠=，所以平面AEF 与平面ABCD 夹角的大小为π4，因为22cos sin cos sin cos sin m t n t θθθθθθ⎧=-⎨=+⎩，所以2222cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos m t n t θθθθθθθθθθ⎧=-⎨=+⎩，两式相加得，22cos sin sin cos 1m n θθθθ+=，下面证明：223cos sin 9θθ≤①；223sin cos 9θθ≤②；且等号不同时取；法一：基本不等式因为()()22222222222211sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()32222242222tan 1tan 1tan 1tan 1tan 2tan 1tan tan tan θθθθθθθθθ++++++===6424222tan 3tan 3tan 11tan 3tan 3tan tan θθθθθθθ+++==+++222211111127tan 4tan 2tan 444θθθ⎛⎫=-+++= ⎪⎝⎭≥当且仅当21tan 2θ=时取等号，所以223cos sin 9θθ≤，同理223sin cos 9θθ≤（当且仅当2tan 2θ=取等号）所以()221cos sin sin cos 9m n m n θθθθ=+<+，即2m n +>，所以tan 2m n α+>法二：三元均值不等式()322222222cos cos 2sin 3cos cos 2sin 4cos sin 2227θθθθθθθθ⎛⎫++ ⎪⋅⋅⎝⎭==≤当且仅当21tan 2θ=时取等号，所以2cos sin 9θθ≤，同理2sin cos 9θθ≤（当且仅当2tan 2θ=取等号）所以()221cos sin sin cos 9m n m n θθθθ=+<+，即332m n +>，所以33tan 2m n α+>.。