第3章地基应力计算
地基中的应力计算详解
γw h 2
γh1+γ'h 2
静水条件下各应力的分布
§3.3 有效应力原理
2.毛细水上升时土中有效自重应力的变化 毛细水上升区由于表面张力的作用使孔隙水压力为
负值，u=－γwhc，使有效应力增加。 在地下水位以下，由于水对土粒的浮力作用，使有
效应力减小。
毛细水上升时土中总应力、孔隙水压力及有效应力计算
有效应力原理示意图
§3.3 有效应力原理
根据平衡条件：
σA=σsＡs+ uwAw+ uaAa 对于饱和土体：Aa＝０ 则 σA=σsＡs+ uwAw 式中，σ－作用于截面上的总 应力。
变换得：σ=σsＡs／A + uw(A –As)／A
或
σ=σsＡs／A + uw(１
–As／Ａ)
又已知σsＡs／A为σ'，As／Ａ 很小，可忽略。
(ａ) 材料力学
(ｂ) 土力学
§3.2 地基中的自重应力
3.2.1 竖向自重应力
①均质土层：设地基中某单元
体离地面的距离h，则单元体
上竖向自重应力为：
h
cz h
式中 γ—土的天然重度，kN/m3 h—计算应力点3.2 地基中的自重应力
②成层土层：自重应力是由多层土
天然地面
γ1
γ1h1
γ
2
γ1h1+ γ2 h 2
γ3sat
γ1h1+γ2h2+γ3' h3
§3.2 地基中的自重应力
计算时应注意： 地下水位以上用天然容重；当地下水位以下为砂土
时，土中水为自由水，计算时用浮重度γ’，对粘性土： 当水下为坚硬粘土时（不透水层，即液性指数IL<0，即 w <wp），在饱和坚硬粘土中只含有结合水，计算时采 用饱和重度γsat，若粘性土液性指数IL>1时，为流动状 态，考虑水浮力作用，用γ’。
地基应力计算
根据标准贯入试验锤击数测定各类砂的地基承载力（公斤/平方厘米），一般为：①当击数大于30时，密实的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均小于）为4公斤/平方厘米；②当击数小于或等于30而大于15时，中密的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均大于而小于）为3公斤/平方厘米，细砂、粉砂（孔隙比均大于而小于）为—2公斤/平方厘米；③当击数小于或等于15而大于或等于10时，稍密的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均大于而小于）为2，细砂、粉砂（孔隙比均大于而小于）为1—。
对于老和一般粘性土的容许承载力，当锤击数分别为3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23时，则其相应的容许承载力分别为、、、、、、、、、、公斤/平方厘米。
第三章地基应力计算第一节概述建（构）筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生了变化，如同其它材料一样，地基土受力后也要产生应力和变形。
在地基土层上建造建（构）筑物，基础将建（构）筑物的荷载传递给地基，使地基中原有的应力状态发生变化，从而引起地基变形，其垂向变形即为沉降。
如果地基应力变化引起的变形量在建（构）筑物容许范围以内，则不致对建（构）筑物的使用和安全造成危害；但是，当外荷载在地基土中引起过大的应力时，过大的地基变形会使建（构）筑物产生过量的沉降，影响建（构）筑物的正常使用，甚至可以使土体发生整体破坏而失去稳定。
因此，研究地基土中应力的分布规律是研究地基和土工建（构）筑物变形和稳定问题的理论依据，它是地基基础设计中的一个十分重要的问题。
地基中的应力按其产生的原因不同，可分为自重应力和附加应力。
二者合起来构成土体中的总应力。
由土的自重在地基内所产生的应力称为自重应力；由建筑物的荷载或其它外荷载(如车辆、堆放在地面的材料重量等)在地基内所产生的应力称为附加应力。
因地震而引起的惯性力也属于外荷载的范围。
对于形成年代比较久远的土，在自重应力的长期作用下，其变形已经稳定，因此，除了新填土外，一般来说，土的自重不再会引起地基土的变形。
第三章土中应力计算习的题目与问题解释
第三章土中应力计算一、填空题1.由土筑成的梯形断面路堤，因自重引起的基底压力分布图形是梯形，桥梁墩台等刚性基础在中心荷载作用下，基底的沉降是相同的。
2.地基中附加应力分布随深度增加呈曲线减小，同一深度处，在基底中心点下，附加应力最大。
3.单向偏心荷载作用下的矩形基础，当偏心距e > l/6时，基底与地基局部脱开，产生应力重分部。
4.在地基中，矩形荷载所引起的附加应力，其影响深度比相同宽度的条形基础浅，比相同宽度的方形基础深。
5.上层坚硬、下层软弱的双层地基，在荷载作用下，将发生应力扩散现象，反之，将发生应力集中现象。
6.土中应力按成因可分为自重应力和附加应力。
7.计算土的自重应力时，地下水位以下的重度应取有效重度（浮重度）。
8.长期抽取地下水位，导致地下水位大幅度下降，从而使原水位以下土的有效自重应力增加，而造成地基沉降的严重后果。
9.饱和土体所受到的总应力为有效应力与孔隙水压力之和。
二、名词解释1.基底附加应力：基底压应力与基底标高处原土层自重应力之差。
2.自重应力：由土层自身重力引起的土中应力。
3.基底压力：建筑物荷载通过基础传给地基，在基础底面与地基之间的接触应力。
三、选择题1.成层土中竖向自重应力沿深度的增大而发生的变化为：（B ）（A）折线减小（B）折线增大（C）斜线减小（D）斜线增大2.宽度均为b，基底附加应力均为P0的基础，同一深度处，附加应力数值最大的是：（C ）（A）方形基础（B）矩形基础（C）条形基础（D）圆形基础（b为直径）3.可按平面问题求解地基中附加应力的基础是：（B ）（A）柱下独立基础（B）墙下条形基础（C）片筏基础（D）箱形基础4.基底附加应力P0作用下，地基中附加应力随深度Z增大而减小，Z的起算点为：（A ）（A）基础底面（B）天然地面（C）室内设计地面（D）室外设计地面5.土中自重应力起算点位置为：（B ）（A）基础底面（B）天然地面（C）室内设计地面（D）室外设计地面6.地下水位下降，土中有效自重应力发生的变化是：（A ）（A）原水位以上不变，原水位以下增大（B）原水位以上不变，原水位以下减小（C）变动后水位以上不变，变动后水位以下减小（D）变动后水位以上不变，变动后水位以下增大7.深度相同时，随着离基础中心点距离的增大，地基中竖向附加应力：（D ）（A）斜线增大（B）斜线减小（C）曲线增大（D）曲线减小8.单向偏心的矩形基础，当偏心距e < l/6（l为偏心一侧基底边长）时，基底压应力分布图简化为：（B ）（A）矩形（B）梯形（C）三角形（D）抛物线形9.宽度为3m的条形基础，作用在基础底面的竖向荷载N＝1000kN/m ，偏心距e＝0.7m，基底最大压应力为：（C ）（A）800 kPa （B）417 kPa （C）833 kPa （D）400 kPa10.矩形面积上作用三角形分布荷载时，地基中竖向附加应力系数K t是l/b、z/b的函数，b指的是：（D ）（A）矩形的长边（B）矩形的短边（C）矩形的短边与长边的平均值（D）三角形分布荷载方向基础底面的边长11.某砂土地基，天然重度γ＝18 kN/m3，饱和重度γsat＝20 kN/m3，地下水位距地表2m，地表下深度为4m处的竖向自重应力为：（A ）（A）56kPa （B）76kPa （C）72kPa （D）80kPa12.均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数当l/b＝1、Z/b＝1时，K C＝0.1752；当l/b＝1、Z/b＝2时，K C＝0.084。
土力学与地基基础-(第三章-土的自重应力计算)
3.2 土的自重应力计算
在荷载作用之前，地基中存在初始应力场。初始应力场常与土体自重、 地基土地质历史以及地下水位有关。在工程应用上，计算初始应力场时常 假设天然地基为水平、均质、各向同性的半无限空间，土层界面为水平面。 于是在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。 假设前提： 假设土（岩）体为均匀连续介质，并为半无限空间弹性体。 地面
应力泡
一、竖向集中力下的地基附加应力
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
z
F
d
z
3z3
2
p(x, y)dd F ((x )2 ( y )2 z 2 )5/ 2
二、均布矩形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
p c ——均布矩形荷载角点下的竖向附加应力
/
2
p0
[1
(r02
z3 z
2
)3
/
2
p 0 [1
(
p0[1 (
1
1
z
] r p0
z3 R5
1
R (r 2 z2 )2 整理得：
z
3P
2 z2
1
1
r z
5
2 2
则：
z
P z2
z
tzyபைடு நூலகம்
tzx txz
tyz
y
tyx
txy
x
M点处的微单元体
令α为附加应力系数,计算时查表
3
2
1
1 r z
2
5
2
一、竖向集中力下的地基附加应力 2、多个竖向集中力下的地基附加应 力
一、竖向集中力下的地基附加应力
土力学与地基基础(土中的应力计算)
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
土力学第三章
向下渗流
z z u H w h
存在向下渗流，有效自重应力增大γw⊿h
A点的有效自重应力：
3.4 基底压力计算
上部结构
建筑物设计
基础 地基
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
基础结构的外荷载 基底反力 基底压力 基底附加压力 地基附加应力 地基沉降变形 基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。 暂不考虑上部结构的影响， 使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
Aw 1 A
PSi
PaVi
有效应力σ′
'u
3.2 有效应力原理
2. 有效应力原理
'u
σ：作用在饱和土中任意面上的总应力 σ′：作用在同一平面土骨架上的有效应力 u：作用于同一平面上孔隙水压力 土的变形和强度变化只取 决于有效应力的变化
3.2 有效应力原理
①变形的原因 颗粒间克服摩擦相对滑移、滚动—与 σ’ 有关； 接触点处应力过大而破碎—与 σ’ 有关。
②强度的成因 凝聚力和摩擦—与σ’ 有关 ③孔隙水压力的作用 对土颗粒间摩擦、土粒的破碎没有贡献， 并且水不能承受剪应力，因而孔隙水压力 对土的强度没有直接的影响； 它在各个方向相等，只能使土颗粒本身 受到等向压力，由于颗粒本身压缩模量很 大，故土粒本身压缩变形极小。因而孔隙 水压力对变形也没有直接的影响，土体不 会因为受到水压力的作用而变得密实。
pmax
min
y
P 6e 1 A b
3.5.2 基础底面接触压力
2、偏心荷载作用——单向偏心荷载 P b e x y
p max
pmax
min
地基中的应力计算
地基中的应力计算地基是地下工程中最基本的构造部分，承受着上部结构的重量和荷载，承担着巨大的压力作用。
在地基设计中，应力计算是非常重要的一部分，它能够提供地基承载力和安全性的评估。
本文将介绍地基中应力计算的方法和计算公式。
首先，需要了解地基中的应力是如何形成的。
地基承受的主要应力有自重应力、活载荷载应力和附加应力。
自重应力是由于地基材料本身的重量所引起的应力，可以通过材料的密度和重力加速度计算得到。
活载荷载应力是由上部结构的荷载所引起的应力，可以根据上部结构的设计荷载计算得到。
附加应力是由于地基中存在的其他因素所引起的应力，比如建筑物的自身形变引起的应力。
接下来，我们介绍如何计算地基中的应力。
地基中的应力计算可以根据不同的地基类型和荷载情况采用不同的方法。
下面以均质土壤的地基为例，介绍几种常用的应力计算方法。
1.利用铁索计算应力：铁索是一种常用的应力计算工具，可以通过测量铁索的伸长量来计算地基中的应力。
首先，在地基中铺设一根长度合适的铁索，然后测量并记录铁索的伸长量。
根据该伸长量和铁索的初始长度，可以通过应力-应变关系计算得到地基中的应力。
2.利用试孔计算应力：试孔是另一种用于计算地基中应力的方法。
首先，在地基中进行试孔，并记录试孔的深度和直径。
然后，根据试孔的直径和土壤的剪切强度，可以计算得到地基中的应力分布情况。
3.利用数值模拟计算应力：数值模拟是一种常用的计算地基应力的方法，它可以通过建立地基的有限元模型来模拟地基的应力分布情况。
首先，需要根据地基的实际情况建立有限元模型，然后通过数值计算方法求解得到地基中的应力。
综上所述，地基中的应力计算是地基设计的重要环节，可以通过铁索、试孔和数值模拟等多种方法进行计算。
在进行应力计算时，需要考虑地基的类型、荷载情况和材料特性等因素，确保计算结果的准确性和可靠性。
地基中的应力计算对于确保地基的稳定性和安全性具有重要意义，是地基设计中不可或缺的一环。
土力学与地基基础-第三章.土中应力分布及计算解析
从上式可知，自重应力随深度z线性增
加，呈三角形分布图形。
2019/8/25
土中自重应力的计算
8
3.2 土中自重应力的计算
2. 成层土的压力计算
地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层
的厚度为hi，重度为 ，则在i 深度z处土的自重应力计算公式 为：
n
cz ihi i 1
剪应力
xy
yx
3Q xyz
2
R5
1 2 3
xy(2R z)
R3
(
R
z)2
yz
zy
3Q 2
yz 2 R5
ZX
XZ
3Q 2
xz 2 R5
3.4 集中力作用下土中应力计算
X、Y、Z轴方向的位移
分别为：
刚性基础在中心载荷作用下，地基反力呈马鞍形，随着外 力的增大，其形状相应改变。如下图
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
15
3.3 基础底面压力的分布和计算
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
16
3.3 基础底面压力的分布和计算
2. 地基反力的简化计算方法
根据弹性理论的圣维南原理及土中实测结果，当作用在 基础上的总载荷为定值时，地基反力分布的形状对土中 应力分布的影响，只在一定深度范围内，当基底的深度 超过基础宽度的1.5-2.0倍时，它的影响已不显著。因此， 在实用上采用材料力学方法，即将地基反力分布认为是 线性分布的简化计算方法。
因此，基底附加压力p0是上部结构和基础传到基底的地基反力 与基底处原先存在于土中的自重应力之差(新增加的应力)(如图)
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理论研究和工程实践中广泛应用
9
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态
二. 地基中常见的应力状态 3. 平面应变条件——二维问题
沿长度方向有足够长度， L/B≧10；
垂直于y轴切出的任意断面的几 何形状均相同，其地基内的应力 状态也相同；
o x
平面应变条件下，土体在x, z平
面内可以变形，但在y方向没有
b
c e 28
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
y
BL
z 0 0 dz z (pt ,m,n)
dP
pt
B
z Ktpt
z
L为不一定为长边，B不一定为短边 M
Kt
F(B,L, z)
F( L B
,
z) B
F(m, n)
z
L
x
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数
23
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算
P
－布辛内斯克课题
P z K z2
o αr
y
x
x
M’
R βz
3
1
y
K 2 [1 (r / z)2]5 / 2
0.5
M
z
特点
0.4
1.σz与α无关，应力呈轴对称分布
0.3
2.σz:τzy:τzx= z:y:x,
卸载
E、 与(x, y, z)无关
与方向无关
εp
ε
e
理论 ——弹性力学解求解“弹性”土体中的应
力
方法 ——解析方法优点：简单，易于绘成图表等
加载
ε
14
§3 土体中的应力计算
√3.1 应力状态 ➢3.2 地基中自重应力的计算 ? 3.3 地基中附加应力的计算 ? 3.4 基底压力计算 ? 3.5 有效应力原理 ? 3.6 应力路径
o x
•水平地基半无限空间体；
yz
•半无限弹性地基内的自重应力只与Z有关；
•土质点或土单元不可能有侧向位移侧限应变条件；
•任何竖直面都是对称面,X,Y平面处于同等地位
A
B
sA sB
▪应变条件 y x 0;
xy yz zx 0
12
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态
二. 地基中常见的应力状态 4.侧限应力状态——一维问题
中国水利水电出版社，2001年
2
§3 土体中的应力计算
地基中的应力状态 应力应变关系 土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
应力状态 自重应力 附加应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
基底压力计算
建筑物修建以后，建筑物
有效应力原理
重量等外荷载在地基中引 起的应力，所谓的“附加”
任意点下的附加应力—F氏解的应用
p
z Kszp
x Ksxp
x
xz
K
s xz
p
y
K
s z
,
K
s x
,
K
s xz
F(B, x, z)
F( x B
,
z) B
F(m, n)
z
B
x
M
z
条形面积竖直均布荷载作用时的应力分布系数
查表3-5
32
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
x
z Ksp
dP
p
y
L
B
z
M
m=L/B, n=z/B （3－11）74页 L为长边，B为短边 z
Lz
Ks
F(B, L, z)
F( B
,
) B
F(m, n)
查表3-2
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数Ks
27
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
六. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－弗拉曼解
--B氏解的应用
z
2pz3 (x2 z2 )2
x
2px2z (x2 z2 )2
zx
2pxz2 (x2 z2 )2
y x z
p
x
z
y
xM
z
31
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
▪独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x, z)
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij=
x 0xy xz 0yx yy 0yz
zx 0zy z
11
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态
二. 地基中常见的应力状态
4.侧限应力状态——一维问题
M
xy y yz
z
z
3Ph 2
xz2 R5
x
26
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
1. 角点下的垂直附加应力 ——B氏解的应用
dP pdxdy
dz
3dP 2
z3 R5
3p 2
z3 R5
dxdy
BL
z 0 0 dz z (p,m,n)
第三章
土体中的应力计算
本课程中所有计算均可取 g=10m/s2
§3 土体中的应力计算
本章特点
• 有较严格的理论 • 内容较细
学习要点
• 充分利用连续介质力学的基本知识 • 紧密联系土的特点 • 实际应用中进行合理假定
主要难点
• 有效应力原理 • 有渗流时土中应力计算 • 孔压系数
图书推荐 松岡元，《土力学》，罗汀、姚仰平译，
K
竖直面上合力过原点，与R同向
0.2
0.1
0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
r/z
24
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
K
P z2
特点
K
3 2
[1
(r
1 / z)2 ]5 /
2
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
荷载与应力间 满足线性关系
角点下垂直附加 叠加原理 应力的计算公式
地基中任意点的附加应力
角点法 叠加法
BA CD
两种情况：
a.矩形面积内
z
(K
A s
K
B s
Kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C s
K
D s
)p
b.矩形面积外
h
ig
a
df
z
(K
begh s
K
afgh s
K cegi s
K
df s
gi
)p
P
o
αr
x R
y M’
βz
x
z
zx
y
xy
x
M
y yz
z R2 r2 z2 x2 y2 z2
x y z xy yz zx（P；x,y,z；R, α, β）
22
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
3P 2
z3 R5
矩形面积竖直三角形荷载 矩形面积竖直均布荷载
圆内积 分
竖直线布荷载 宽度积分 圆形面积竖直均布荷载
条形面积竖直均布荷载
水平集中力 矩形内积分
矩形面积水平均布荷载
其他：表3－6
特殊荷载：将荷载和面积进行分 解，利用已知解和叠加原理求解
21
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
y
变形。
y 0;
yx yz 0;
zx z
z
z
zx
zx 0
x xz
y yz
xy
x
10
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态
二. 地基中常见的应力状态 3. 平面应变条件——二维问题
▪应变条件
y 0; xy yz 0; zx 0
▪应力条件
y
y E
E
x
z
0
y x z
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
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§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态
二. 地基中常见的应力状态 1.一般应力状态——三维问题
z
zx
xy
x
y yz
o x
z y
ij=
x xy xz yx y yz
zx zy z
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
查表33
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§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
五. 矩形面积水平均布荷载作用下的附加应力计算
角点下的垂直附加应力 ——C氏解的应用
z Khph
B
ph
L
Kh
F(B,L, z)
F( L B
,
z) B
F(m, n)
z
z z
矩形面积作用水平均布荷载时角点下的应力分布系数