土力学3土中应力
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土力学
（2）土的非均质和非理想弹性的影响。土的各种结构构造使 土呈现非均质性，且土体也不是理想的弹性体，而是一种具有 弹塑性和粘滞性的介质。但实际工程中，土应力水平较低，土 的应力－应变曲线关系呈线性关系。因此，当土层间的性质差 异并不十分悬殊时，采用弹性理论计算土应力在实用上是允许 的。
（3）地基土可视为半无限体。地基土在水平和深度方向上相 对于建筑物基础的尺寸而言，可视为是无限延伸的，因此，地 基土符合半无限体的假设。
pmax
2P 3Kb
3(L
2P 2 e)b
e>b/6: 出现拉应力区
3.2.4 基底附加压力
p0 p ch p 0h
例题：某矩形基础底面尺寸l=2.4m， b=1.6m，埋深2.0m，所受荷载设计值 m=100kN·m，F=450kN，其他条件见图。 试求基底压力和基底附加压力。
z
3P
2
z3 R5
z
3P
2
(r 2
z3 z2 )5/2
3
2
1 [(r / z)2 1]5/ 2
P z2
z
P z2
查表3.1
3.3.2 竖向分布荷载地基附加应力
若在半无限体表面作用一分布荷载p(x,y)，如图所示。计 算土中某点M(x,y,z)的竖向应力σz。
在基底取微元面积dF=dξdη，则作 用在dF上的集中力:
a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点：z = 2 m，σcz=γz=19 ×2=38 kPa c 点：z = 5 m , σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3=68 kPa， d 点：z = 9 m，σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3＋7.1 ×4＝96.4 kPa
（3）地基土可视为半无限体。地基土在水平和深度方向上相 对于建筑物基础的尺寸而言，可视为是无限延伸的，因此，地 基土符合半无限体的假设。
pmax
2P 3Kb
3(L
2P 2 e)b
e>b/6: 出现拉应力区
3.2.4 基底附加压力
p0 p ch p 0h
例题：某矩形基础底面尺寸l=2.4m， b=1.6m，埋深2.0m，所受荷载设计值 m=100kN·m，F=450kN，其他条件见图。 试求基底压力和基底附加压力。
z
3P
2
z3 R5
z
3P
2
(r 2
z3 z2 )5/2
3
2
1 [(r / z)2 1]5/ 2
P z2
z
P z2
查表3.1
3.3.2 竖向分布荷载地基附加应力
若在半无限体表面作用一分布荷载p(x,y)，如图所示。计 算土中某点M(x,y,z)的竖向应力σz。
在基底取微元面积dF=dξdη，则作 用在dF上的集中力:
a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点：z = 2 m，σcz=γz=19 ×2=38 kPa c 点：z = 5 m , σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3=68 kPa， d 点：z = 9 m，σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3＋7.1 ×4＝96.4 kPa
土力学清华大学3
应力应变关系－以某种粘土为例
u
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
x
z
0
y x z
▪独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x, z)
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij=
x 0xy xz 0yx yy 0yz
zx 0zy z
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
0zx 0zy z
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
二. 地基中常见的应力状态 3. 平面应变条件——二维问题
垂直于y轴切出的任意断面的几 何形状均相同，其地基内的应力 状态也相同；
o x
沿长度方向有足够长度，
L/B≧10；
平面应变条件下，土体在x, z平 面内可以变形，但在y方向没有
zx zy z
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
一. 土力学中应力符号的规定
摩尔圆应力分析
- zx
z
+
材料力学
xz
x
z
- zx +
土力学
xz
x
正应力
剪应力
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
二. 地基中常见的应力状态
4.侧限应力状态——一维问题
o x
yz
•水平地基半无限空间体； •半无限弹性地基内的自重应力只与Z有关； •土质点或土单元不可能有侧向位移侧限应变条件； •任何竖直面都是对称面
u
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
x
z
0
y x z
▪独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x, z)
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij=
x 0xy xz 0yx yy 0yz
zx 0zy z
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
0zx 0zy z
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
二. 地基中常见的应力状态 3. 平面应变条件——二维问题
垂直于y轴切出的任意断面的几 何形状均相同，其地基内的应力 状态也相同；
o x
沿长度方向有足够长度，
L/B≧10；
平面应变条件下，土体在x, z平 面内可以变形，但在y方向没有
zx zy z
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
一. 土力学中应力符号的规定
摩尔圆应力分析
- zx
z
+
材料力学
xz
x
z
- zx +
土力学
xz
x
正应力
剪应力
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
二. 地基中常见的应力状态
4.侧限应力状态——一维问题
o x
yz
•水平地基半无限空间体； •半无限弹性地基内的自重应力只与Z有关； •土质点或土单元不可能有侧向位移侧限应变条件； •任何竖直面都是对称面
土力学：第三章土中应力计算
附加应力的分布规律
平面分布规律
附加应力在平面上的分布呈扩散状，随着深度的 增加而减小。
深度分布规律
在一定深度范围内，附加应力随深度的增加而增 大，达到一定深度后基本保持稳定。
方向分布规律
附加应力在不同方向上的分布不同，与外部荷载 的方向和土体的性质有关。
附加应力的影响因素
01
外部荷载
外部荷载的大小、分布和作用方 式直接影响附加应力的分布和大 小。
在水平方向上，自重应力 表现为均匀分布。
侧向应力
在土体边缘，自重应力表 现为侧向应力，对土体的 稳定性产生影响。
自重应力的影响因素
土的密度
土的密度越大，自重应力越大。
重力加速度
重力加速度越大，自重应力越大。
土体的几何形状和尺寸
土体的几何形状和尺寸对自重应力的分布和大小有显著影响。
04 土中附加应力计算
02
03
土体的性质
边界条件
土体的容重、压缩性、内摩擦角、 粘聚力等性质对附加应力的影响 较大。
土体的边界条件，如固定边界、 自由边界等，对附加应力的分布 和大小也有影响。
05 土中有效应力计算
CHAPTER
有效应力的概念与计算方法
有效应力的概念
有效应力是指土壤颗粒之间的法向应 力，是土壤保持其结构稳定和防止剪 切破坏的主要因素。
土中应力计算的重要性
01
02
03
工程安全
准确的土中应力计算是确 保工程安全的前提，能够 预测可能出现的危险和制 定应对措施。
设计优化
通过土中应力计算，可以 优化设计方案，提高工程 结构的稳定性和经济性。
科学研究
土中应力计算有助于深入 研究土力学性质和规律， 推动土力学学科的发展。
第三章土中的应力
2.偏心荷载下的基底压力 pmax
pm in
F G 6e (1 ) lb l
Dr. Han WX
当e<l/6时，基底压力分布图呈梯形,图(a) 当e=l/6时，则呈三角形，图(b) 当e>l/6时，距偏心荷载较远的基底边缘反力为负
基底边缘最大压力：
pmax
2( F G ) 3bk
矩形基础在双向偏心荷载作用下，如基底最小压力 pmin≥0，则矩形基底边缘四个角点处的压力可按下列公式计算：
土 力 学
第3章 土中的应力
Stress
1
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.1 概述
震等)的作用下，均可产生土中应力。
土中应力将引起土体或地基的变形，使土工建筑物(如路堤、土坝等)或建 筑物(如房屋、桥梁、涵洞等)发生沉降、倾斜以及水平位移。
Dr. Han WX
土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素(如地下水渗流、地
3
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.1 概述
Dr. Han WX
土中应力按其作用原理或传递方式可分为有效应力和孔隙应力两种。
土中有效应力是指土粒所传递的粒问应力，它是控制土的体积(或变形)和 强度两者变化的土中应力。
土中孔隙应力是指土中水和土中气所传递的应力，土中水传递的孔隙水应 力，即孔隙水压力；土中气传递的孔隙气应力，即孔隙气压力。 土是由三相所组成的非连续介质，受力后土 粒在其接触点处出现应力集中现象，即在研究土 体内部微观受力时，必须了解土粒之间的接触应
9
Dr. Han WX
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.2 土中自重应力
3.2.1 均质土中的自重力
[例题4-1]某建 筑场地的地质柱 状图和土的有关 指标列于图4-5中。 试计算地面下深
pm in
F G 6e (1 ) lb l
Dr. Han WX
当e<l/6时，基底压力分布图呈梯形,图(a) 当e=l/6时，则呈三角形，图(b) 当e>l/6时，距偏心荷载较远的基底边缘反力为负
基底边缘最大压力：
pmax
2( F G ) 3bk
矩形基础在双向偏心荷载作用下，如基底最小压力 pmin≥0，则矩形基底边缘四个角点处的压力可按下列公式计算：
土 力 学
第3章 土中的应力
Stress
1
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.1 概述
震等)的作用下，均可产生土中应力。
土中应力将引起土体或地基的变形，使土工建筑物(如路堤、土坝等)或建 筑物(如房屋、桥梁、涵洞等)发生沉降、倾斜以及水平位移。
Dr. Han WX
土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素(如地下水渗流、地
3
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.1 概述
Dr. Han WX
土中应力按其作用原理或传递方式可分为有效应力和孔隙应力两种。
土中有效应力是指土粒所传递的粒问应力，它是控制土的体积(或变形)和 强度两者变化的土中应力。
土中孔隙应力是指土中水和土中气所传递的应力，土中水传递的孔隙水应 力，即孔隙水压力；土中气传递的孔隙气应力，即孔隙气压力。 土是由三相所组成的非连续介质，受力后土 粒在其接触点处出现应力集中现象，即在研究土 体内部微观受力时，必须了解土粒之间的接触应
9
Dr. Han WX
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.2 土中自重应力
3.2.1 均质土中的自重力
[例题4-1]某建 筑场地的地质柱 状图和土的有关 指标列于图4-5中。 试计算地面下深
土力学课件 第3章 土中应力分布及计算.
计算如图所示水下地基土中的自重应力分布
水面 a 8m
粗砂 r=19KN/m3 rsat=19.5KN/m3
黏土r=19.３KN/m3 4m rsat=19.４KN/m3 W=20%,WL=55%,WP=24%
b 76KPa 176KPa c 253.2KPa
解：水下的粗砂层受到 水的浮力作用， 其有效重度： r , rsat rw 19.5 10 9.5 KN / m 3 粘土层因为W WP , 所以I L 0, 故认为土层 不受到水的浮力作用， 土层面上还受到 上面的静水压力作用。 a点：Z 0， CZ 0 KPa； b点：Z 8m, 该点位于粗砂层中，
应力符号规定
法向应力以压为正，剪应力方向的符号规定则与材料力 学相反。材料力学中规定剪应力以顺时针方向为正，土力学 中则规定剪应力以逆时针方向为正。
压为正，拉为负，剪应力以逆时针为正
土中的自重应力计算
土中应力按其起因可分为自重应力和附加应力两种。
自重应力是土受到重力作用产生的应力，自重应力一般是自 土体形成之日起就产生于土中。
二.成层土自重应力计算 地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层 的厚度为hi，重度为ri，则在深度z处土的自重应力计算公 式为：
cz i hi
i 1
n
z hi
i 1
n
n—从地面到深度z处的土层数； hi—第i层土的厚度，m。 成层土的自重应力沿深度呈折线分布，转折点位于r值 发生变化的土层界面上。
◇若0＜IL＜1，土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的 浮力作用就较难肯定，在工程实践中一般均按土体受 到水浮力作用来考虑。
四．存在隔水层时土的自重应力计算
当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重应力应 考虑其上的静水压力作用。
土力学与地基基础(土中的应力计算)
此时基底平均压力按下式计算： 此时基底平均压力按下式计算：
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
土力学第三章
向下渗流
z z u H w h
存在向下渗流，有效自重应力增大γw⊿h
A点的有效自重应力：
3.4 基底压力计算
上部结构
建筑物设计
基础 地基
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
基础结构的外荷载 基底反力 基底压力 基底附加压力 地基附加应力 地基沉降变形 基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。 暂不考虑上部结构的影响， 使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
Aw 1 A
PSi
PaVi
有效应力σ′
'u
3.2 有效应力原理
2. 有效应力原理
'u
σ：作用在饱和土中任意面上的总应力 σ′：作用在同一平面土骨架上的有效应力 u：作用于同一平面上孔隙水压力 土的变形和强度变化只取 决于有效应力的变化
3.2 有效应力原理
①变形的原因 颗粒间克服摩擦相对滑移、滚动—与 σ’ 有关； 接触点处应力过大而破碎—与 σ’ 有关。
②强度的成因 凝聚力和摩擦—与σ’ 有关 ③孔隙水压力的作用 对土颗粒间摩擦、土粒的破碎没有贡献， 并且水不能承受剪应力，因而孔隙水压力 对土的强度没有直接的影响； 它在各个方向相等，只能使土颗粒本身 受到等向压力，由于颗粒本身压缩模量很 大，故土粒本身压缩变形极小。因而孔隙 水压力对变形也没有直接的影响，土体不 会因为受到水压力的作用而变得密实。
pmax
min
y
P 6e 1 A b
3.5.2 基础底面接触压力
2、偏心荷载作用——单向偏心荷载 P b e x y
p max
pmax
min
土力学——3 土中应力
土力学王丽琴西安理工大学土建学院岩土工程研究所第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算卓越班作业：P 124，1～4，6，7；水工班作业：P 67-68，1，2，4，5本课程中所有计算均可取g=10m/s 2土中应力第三章强度问题变形问题地基中的应力状态应力应变关系土力学中应力符号的规定应力状态自重应力附加应力基底压力计算有效应力原理建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力。
所谓的“附加”是指在原来自重应力基础上增加的应力。
建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重量所产生的应力。
本章问题：如何计算地基中的应力？第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算一、土力学中应力符号的规定xσzσxzτz xτxσzσxzτz xτ材料力学+-+-土力学正应力剪应力拉为正压为负顺时针为正逆时针为负压为正拉为负逆时针为正顺时针为负③均匀、各向同性体（土层性质变化不大时）②线弹性体（应力较小时）①连续介质（宏观平均）ν、E 与(x, y, z)无关与方向无关碎散体非线性弹塑性成层土各向异性Δσεe p e e线弹性体加载卸载二、土的应力-应变关系的假定理论方法——弹性力学解→求解“弹性”土体中的应力——解析方法→优点：简单，易于绘成图表等三、地基中常见的应力状态yzxo1.空间应力状态——三维问题x e y e xy γyz γγxzγγyxγe ij e =x σy σxy τyz ττxzττyxτσij σ=xσy σxyτyzτz xτzσ王丽琴主讲2. 轴对称三维问题▪应变条件▪应力条件▪独立变量：x y z;e =e e x y z;σ=σσxy yz zx ,,0τττ=xy z x y z,;,σ=σσe =e e x e y e xy γyzγγxz γzy γyx γz e ij e =x σy σxy τyzττxzτzy τyx τzσij σ=000000000y xy yz zx ,,0γγγ=000xσy σxyτyzτz xτzσyσxσzσ一般三维应力状态:三轴应力状态：123σ≥σ≥σ123σ≥σ=σ忽略中主应力的影响理论研究和工程实践中广泛应用zxo3. 平面应变条件——二维问题xσy σxyττz xτzσxσzσxzτz xτ;0y =e 0;0zx yz yx ≠γ=γ=γ●沿长度方向有足够长度，L/B≥10；●垂直于y 轴切出的任意断面的几何形状均相同，其地基内的应力状态也相同；●平面应变条件下，土体在x,z 平面内可以变形，但在y 方向没有变形。
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（土层性质变化不大时）
加 载
E、
与(x, y, z)无关 与方向无关
卸 载
εp εe
ε
§3.2 土体自重应力的计算
一、水平地基中的自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而 产生的应力。
目的：确定土体的初始应力状态
假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 （同一深 度应力 状态相同，水平垂直主应力面）
根据圣维南原理，基底压力的具体分布 形式对地基应力计算的影响仅局限于一定深 度范围；超出此范围以后，地基中附加应力 的分布将与基底压力的分布关系不大，而只 取决于荷载的大小、方向和合力的位置。
简化计算方法：
假定基底压力按直线分布的材料力学方法
基础形状与荷载条件的组合
竖直中心
荷载条件 竖直偏心
倾斜偏心
本章重点
1、应力状态及应力应变关系
地基中的应力状态
应力应变关系
土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
2、自重应力
建筑物修建以前，地基中由土体 本身的有效重量所产生的应力。
3、附加应力 4、基底压力计算
建筑物修建以后，建筑物重量等 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。
▽平面应变条件下，土体在x, z平面内可以变形， 但在y方向没有变形。
y 0;
yx yz 0; zx 0
zx z
xz
x
▪应变条件 ▪应力条件 ▪独立变量
y 0;
xy yz 0;
zx 0
y
y E
E
x
z
0
y x z
h
z
(K
A s
K
B s
K
C s
K
D s
)p
a
b.矩形面积外
z
(K
begh s
K
afgh s
K cegi s
K
df s
gi
)p
b
A D
ig df
ce
三、矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
y
BL
z 0 0 dz z (pt ,m,n)
dP
pt
z Kt1 pt
z Ksp
L
B
z
M
m=L/B, n=z/B
z
s
F
(B,
L,
z)
F
(
L B
,
z B
)
F
(m,
n)
Ks为矩形竖直向均布荷载角点下的附加应力系数
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
荷载与应力间
满足线性关系
B
角点下垂直附加
角点法
叠加原理 应力的计算公式
C
地基中任意点的附加应力
两种情况：
a.矩形面积内
P B
e
x
L
y
pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
P B
e
x
L
pmax
y
pmin 0
e=B/6: 三角形
pmax
min
P A
1
6e B
P B
Ke
x
L
K=B/2-
e
3K y pmin 0
pmax
pmax
2P 3KL
3(B
2P 2 e)L
e>B/6: 出现拉应力区
3）矩形面积双向偏心荷载
P B
Mx Pey; My Pex
e
x
ex y
y
pmax
P 1 A
6e B
L
p(x, y) P Mxy Myx
A Ix
Iy
pmin
P A
1
6e B
当ey 0, ex e
pmax
min
P A
1
R2 r2 z2 x2 y2 z2
z
3P 2
z3 R5
3
1
2 [1 (r / z)2 ]5/ 2
P z2
K 3
1
3
1
2 [1 (r / z)2 ]5/2 2 [1 tg 2 ]5/2
z
K
P z2
K为集中力作用下的应力分布系数 r / z tg
m----基底以上土层的加权平均重度
P0：用来计算地基附加应力
§3.4 地基中附加应力的计算
1.竖直集中力 2.矩形面积竖直均布荷载 3.矩形面积竖直三角形荷载 4.圆形面积竖直均布荷载
5.竖直线布荷载 6.条形面积竖直均布荷载
特殊荷载：将荷载和面积进行分解， 利用已知解和叠加原理求解
一、竖直集中力作用下的附加应力计算
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x, z)
4.侧限应力状态——一维问题
水平地基半无限空间体；
半无限弹性地基内的自重应 力只与Z有关；
土质点或土单元不可能有侧 向位移侧限应变条件；
o x
y
A
z
B
sA sB
任何竖直面都是对称面
▪应变条件
▪应力条件
▪独立变量
x y; z xy , yz , zx 0
x y; z xy , yz , zx 0
x y , z; x y , z
3.平面应变条件——二维问题
▽垂直于y轴切出的任意断面的几何形状均相同， 其地基内的应力状态也相同；
▽沿长度方向有足够长度，L/B≧10；
z
2pz3 (x2 z2 )2
p
x
2px2z x (x2 z2 )2
zx
2pxz2 (x2 z2 )2
z
y
xM
z
y x z
六、条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
z Kszp
x Ksxp
xz
K
z
K
P z2
K 3
1
P
o αr
x
M’y
x
R βz
2 [1 (r / z)2]5 / 2
y
M
z
特点及分布规律：
1.σz与α无关，应力呈轴对称分布 2.σz:τzy:τzx= z:y:x,
合力过原点，与R同向
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞， z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const， r=0, K最大，r↑，K减小，σz 减小 5.在某一圆柱面上r=const， z=0, σz=0，z↑，σz先增加后 减小 6.σz 等值线－应力泡
第三章 土体中的应力计算
§3.1 概述 §3.2 自重应力 §3.3 基底压力计算 §3.4 附加应力
§3.1 概述--应力状态及应力应变关系
一、土力学中应力符号的规定
地基：半无限空间
∞
o
∞
x
∞
y z
二、地基中常见的应力状态
1.一般应力状态——三维问题
2. 轴对称三维问题
▪应变条件
▪应力条件
▪独立变量：
6e B
4）条形基础竖直偏心荷载
令L=1，即可由矩形基础竖直偏心 荷载公式得出相应条形基础公式：
e P
pmax
min
P 1 B
6e B
B
p(x) P Mx BI
五、基底附加压力 p0计算
1、基底附加压力 p0的概念 2、计算公式 ：p0 = p - md
1(1 2 )
2
2
均质地 基
成层地基
§3.3 基底压力计算
一、概念
上部结构
基础
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
地基
基础结构的外荷载
基底反力
基底压力
基底压力：基础底面传递给地基 表面的压力，也称基底接触压力。
附加应力 地基沉降变形
二、影响基底压力因素
有侧限应变条件一维问题
计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重
1.计算公式ຫໍສະໝຸດ γ1Z γ2γ3
竖直向： cz z cz W A zA A z
水平向： cx cy K0 cz
K0 1
竖直向： cz i Hi cz 1H1 2H2 3H3;
3）弹性地基，绝对刚性基础
▪抗弯刚度EI=∞ → M≠0； ▪反证法: 假设基底压力与荷载分布相同，则地 基变形与柔性基础情况必然一致； ▪分布: 中间小, 两端无穷大。
4）弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
粘性土地基
四、基底压力实用简化计算
s xz
p
y
K
s z
,
K
s x
,
K
s xz
F(B, x, z)
F( x B
, z) B
F(m, n)
B
x
z
p
x z
M
Kzs为条形面积竖直均布荷载作用时的附加应力分布系数
z
加 载
E、
与(x, y, z)无关 与方向无关
卸 载
εp εe
ε
§3.2 土体自重应力的计算
一、水平地基中的自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而 产生的应力。
目的：确定土体的初始应力状态
假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 （同一深 度应力 状态相同，水平垂直主应力面）
根据圣维南原理，基底压力的具体分布 形式对地基应力计算的影响仅局限于一定深 度范围；超出此范围以后，地基中附加应力 的分布将与基底压力的分布关系不大，而只 取决于荷载的大小、方向和合力的位置。
简化计算方法：
假定基底压力按直线分布的材料力学方法
基础形状与荷载条件的组合
竖直中心
荷载条件 竖直偏心
倾斜偏心
本章重点
1、应力状态及应力应变关系
地基中的应力状态
应力应变关系
土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
2、自重应力
建筑物修建以前，地基中由土体 本身的有效重量所产生的应力。
3、附加应力 4、基底压力计算
建筑物修建以后，建筑物重量等 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。
▽平面应变条件下，土体在x, z平面内可以变形， 但在y方向没有变形。
y 0;
yx yz 0; zx 0
zx z
xz
x
▪应变条件 ▪应力条件 ▪独立变量
y 0;
xy yz 0;
zx 0
y
y E
E
x
z
0
y x z
h
z
(K
A s
K
B s
K
C s
K
D s
)p
a
b.矩形面积外
z
(K
begh s
K
afgh s
K cegi s
K
df s
gi
)p
b
A D
ig df
ce
三、矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
y
BL
z 0 0 dz z (pt ,m,n)
dP
pt
z Kt1 pt
z Ksp
L
B
z
M
m=L/B, n=z/B
z
s
F
(B,
L,
z)
F
(
L B
,
z B
)
F
(m,
n)
Ks为矩形竖直向均布荷载角点下的附加应力系数
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
荷载与应力间
满足线性关系
B
角点下垂直附加
角点法
叠加原理 应力的计算公式
C
地基中任意点的附加应力
两种情况：
a.矩形面积内
P B
e
x
L
y
pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
P B
e
x
L
pmax
y
pmin 0
e=B/6: 三角形
pmax
min
P A
1
6e B
P B
Ke
x
L
K=B/2-
e
3K y pmin 0
pmax
pmax
2P 3KL
3(B
2P 2 e)L
e>B/6: 出现拉应力区
3）矩形面积双向偏心荷载
P B
Mx Pey; My Pex
e
x
ex y
y
pmax
P 1 A
6e B
L
p(x, y) P Mxy Myx
A Ix
Iy
pmin
P A
1
6e B
当ey 0, ex e
pmax
min
P A
1
R2 r2 z2 x2 y2 z2
z
3P 2
z3 R5
3
1
2 [1 (r / z)2 ]5/ 2
P z2
K 3
1
3
1
2 [1 (r / z)2 ]5/2 2 [1 tg 2 ]5/2
z
K
P z2
K为集中力作用下的应力分布系数 r / z tg
m----基底以上土层的加权平均重度
P0：用来计算地基附加应力
§3.4 地基中附加应力的计算
1.竖直集中力 2.矩形面积竖直均布荷载 3.矩形面积竖直三角形荷载 4.圆形面积竖直均布荷载
5.竖直线布荷载 6.条形面积竖直均布荷载
特殊荷载：将荷载和面积进行分解， 利用已知解和叠加原理求解
一、竖直集中力作用下的附加应力计算
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x, z)
4.侧限应力状态——一维问题
水平地基半无限空间体；
半无限弹性地基内的自重应 力只与Z有关；
土质点或土单元不可能有侧 向位移侧限应变条件；
o x
y
A
z
B
sA sB
任何竖直面都是对称面
▪应变条件
▪应力条件
▪独立变量
x y; z xy , yz , zx 0
x y; z xy , yz , zx 0
x y , z; x y , z
3.平面应变条件——二维问题
▽垂直于y轴切出的任意断面的几何形状均相同， 其地基内的应力状态也相同；
▽沿长度方向有足够长度，L/B≧10；
z
2pz3 (x2 z2 )2
p
x
2px2z x (x2 z2 )2
zx
2pxz2 (x2 z2 )2
z
y
xM
z
y x z
六、条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
z Kszp
x Ksxp
xz
K
z
K
P z2
K 3
1
P
o αr
x
M’y
x
R βz
2 [1 (r / z)2]5 / 2
y
M
z
特点及分布规律：
1.σz与α无关，应力呈轴对称分布 2.σz:τzy:τzx= z:y:x,
合力过原点，与R同向
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞， z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const， r=0, K最大，r↑，K减小，σz 减小 5.在某一圆柱面上r=const， z=0, σz=0，z↑，σz先增加后 减小 6.σz 等值线－应力泡
第三章 土体中的应力计算
§3.1 概述 §3.2 自重应力 §3.3 基底压力计算 §3.4 附加应力
§3.1 概述--应力状态及应力应变关系
一、土力学中应力符号的规定
地基：半无限空间
∞
o
∞
x
∞
y z
二、地基中常见的应力状态
1.一般应力状态——三维问题
2. 轴对称三维问题
▪应变条件
▪应力条件
▪独立变量：
6e B
4）条形基础竖直偏心荷载
令L=1，即可由矩形基础竖直偏心 荷载公式得出相应条形基础公式：
e P
pmax
min
P 1 B
6e B
B
p(x) P Mx BI
五、基底附加压力 p0计算
1、基底附加压力 p0的概念 2、计算公式 ：p0 = p - md
1(1 2 )
2
2
均质地 基
成层地基
§3.3 基底压力计算
一、概念
上部结构
基础
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
地基
基础结构的外荷载
基底反力
基底压力
基底压力：基础底面传递给地基 表面的压力，也称基底接触压力。
附加应力 地基沉降变形
二、影响基底压力因素
有侧限应变条件一维问题
计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重
1.计算公式ຫໍສະໝຸດ γ1Z γ2γ3
竖直向： cz z cz W A zA A z
水平向： cx cy K0 cz
K0 1
竖直向： cz i Hi cz 1H1 2H2 3H3;
3）弹性地基，绝对刚性基础
▪抗弯刚度EI=∞ → M≠0； ▪反证法: 假设基底压力与荷载分布相同，则地 基变形与柔性基础情况必然一致； ▪分布: 中间小, 两端无穷大。
4）弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
粘性土地基
四、基底压力实用简化计算
s xz
p
y
K
s z
,
K
s x
,
K
s xz
F(B, x, z)
F( x B
, z) B
F(m, n)
B
x
z
p
x z
M
Kzs为条形面积竖直均布荷载作用时的附加应力分布系数
z