量纲分析
建模 第九章量纲分析
五、大作业(以队为单位完成)
题目:每个队从2005或2006年竞赛题中任选一个题目,采取三人合作方 式完成一篇论文.成员之间要有效的分工和合作,队长要发挥核心领导 和组织作用.论文上注明三个成员的姓名. 在9月8日前交到我的邮箱 这次作业的目的: 熟悉赛题 熟悉论文写作格式 培养团队协作精神 熟悉建模的每个环节(选题-查阅文献资料-分析题意-做出模型假设建立模型和求解模型-改进模型-评价模型-(应用模型)等. 培养攻关意识 提示：可以参考参考甚至 模仿已有的论文。
其中k是常数,下面列出变量和对应的量纲 变量 | F k v A ρ -------------------------------------------------量纲 | MLT -2 M0L0T0 LT-1 L2 M L-3
就量纲而言,由假设(2)得, MLT 2 =(M 0 L0T 0 )(LT 1 ) a (L2 ) b (ML3 ) c ,
THE END
变量 | v r g ρ μ ----------------------------------------------------2 -1 -3 -1 -2 量纲 | LT L LT M L ML T
.
(3)确定无量纲乘积,由Buckingham（布金汉） 定理,列出线性方程组
在变量中间找出所有的无量纲乘积,其形式 必为va r b g c d e (1) 故量纲为(LT 1 )a (L) b (LT 2 )c (ML3 ) d (ML1T 1 ) e , 因为(1)式是无量纲的, 所以, a+b+c-3d-e=0 -a-2c-e=0 d+e=0
T M 1L 1 2T 2 1
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是科学研究和工程实践中一种常用的方法，用于简化和分析复杂的物理方程。
通过引入合适的量纲和无量纲量，可以减少物理方程的数量和复杂性，从而更容易理解和应用。
量纲是衡量物理量的属性，可以理解为物理量的尺度或单位。
常见的量纲有长度、质量、时间、温度等。
在科学领域，量纲的统一是一项基本原则，它要求所有参与物理方程运算的物理量必须具有相同的量纲。
例如，在牛顿定律中，质量的量纲是质量，加速度的量纲是长度除以时间的平方，力的量纲是质量乘以加速度。
无量纲量是指除去量纲后的物理量。
通过合适的变量代换和无量纲化操作，可以将含有多个物理量的复杂方程转化为只涉及少数几个无量纲量的简化形式。
这样做的好处是降低了方程的复杂性，使得我们可以更清晰地理解和研究方程的行为。
量纲分析法的基本思想是通过量纲的统一和无量纲化的技巧，将物理方程从具体的数值问题转化为一般的函数关系问题。
这样一来，可以用较少的实验和计算来研究和验证一类问题的特性，从而节省时间和资源。
量纲分析法在研究新领域的物理学问题、模拟和优化工程设计等方面发挥了重要作用。
量纲分析法的步骤通常包括以下几个方面：第一步是选择物理量，并通过其量纲建立物理方程。
在建立方程时，需要确保所选物理量之间的关系是正确的，并符合基本的物理定律。
第二步是确定主要影响因素，即哪些物理量对方程起主导作用。
对于复杂的问题，这一步可能会需要经验和专业知识的支持。
第三步是进行量纲分析，即将方程中的各个物理量转化为无量纲形式。
这一步需要根据物理量的量纲关系进行变量代换和无量纲化运算。
第四步是根据无量纲方程进行简化和分析。
通过缩小问题的数量级和去除复杂的单位，我们可以更容易地理解方程，并得到问题的一般解。
第五步是进行数值模拟和实验验证。
通过选择合适的数值和实验条件，我们可以验证和应用无量纲方程，并得到具体问题的解。
总的来说，量纲分析法是一种简化和分析物理方程的有效方法。
通过量纲的统一和无量纲化的技巧，我们可以将复杂的问题转化为一般的函数关系问题，从而更容易理解和应用。
第二章+量纲分析
1）Reynold 数：惯性力与粘性力之比， Re =
2
ρUL UL ； = μ υ
2）Froude 数：惯性力与重力之比， Fr = U ；
gL
3）Prandtl 数：动量扩散率与热扩散率之比， Pr = c p μ / k ； 4）Nuselt 数：总传热与导热传热之比，Nu＝hL/k；
首次提出量纲的科学概念 指出各物理量均可由量纲表示 建立量纲分析与相似理论的 Π 定理
（3） 基本概念 基本量：具有独立量纲的量 有量纲量：量值与度量时的单位有关的量 无量纲量：量值与度量时的单位无关的量 （4） 实质 量值取决于量纲，无量纲化后才可以进行各物理量之间相对大小的比较。物理 现象和规律与单位系统无关，从而经过无量纲化之后，可以揭示各物理量之间的 基本关系。 （5） 应用范围 量纲分析广泛应用于自然科学之中，尤其是在物理、工程、力学分支的分析和 模型实验和计算机模拟实验中的应用更加广泛。
§ 2.2 Π 定理和相似律
（1）量纲的表示 选定单位系统：公制（c g s；M K S；L-M-T 系统） ； 英制（in-lb-s，1in=2.54cm，1lb=253.6g） 。 选定基本量：基于 Maxwell 幂次关系。基本量不等于单位系统，而是可以 由单位系统表示的量纲独立的量。 （2）Bunkingham
c = f ( ρ , g , a, λ , h) ；
选取基本量： ρ , g , h ； 无量纲组合： Π =
c a λ ， Π1 = ， Π 2 = h h gh c h a = f ( , )。 λ h gh
由 Π 定理（隐函数形式） ，可得：
从而可得结论：a. 由于相速度与波长有关，水波是色散波； b. 速度与密度无关。 如：在湖面上丢下石子，水波很快消散。整个过程出现色散，能量消耗和驻面波 能量分散三种现象。 两种极限情况： h h a. 浅水长波（ 1, → 0 ）
量纲分析
一、瑞利法
瑞利法的基本原理是某一物理过程同几个物理量有关：
f (q1 , q2 , q3 ,qn ) 0
其中的某个物理量
qi
可表示为其他物理量的指数乘积：
a b p
qi Kq1 q 2 q n 1
（5—2）
写出量纲式：
[qi ] [q1 ]a [q2 ]b [qn1 ] p
L T
3
1
(M L T ) (L) (M L T )
b 1
1 c
（5）根据量纲和谐求量纲指数 0 ac [M]: 3 2a b c [L]: [T]: 1 2a c 得：a 1 ， b 4 ， c 1
[Re] [
d (L T )L ] 1 2 1 L T
Re 是由3个有量纲乘除组合得到的无量纲量， 称为雷诺（Reynolds number）数。
依据无量纲数的定义和构成，可归纳出无量纲量具有以下特 点。
1.客观性
正如前面指出，凡有量纲的物理量，都有单位。同一物 理量，因选取的度量单位不同，数值也不同。如果用有量纲 量作过程的自变量，计算出的因变量数值，将随自变量选取 单位的不同而不同。因此，要使运动方程式的计算结果不受 人主观选取单位的影响，就需要把方程中各项物理量组合成 无量纲项。从这个意义上说，真正客观的方程式应是由无量 纲项组成的方程式。
V2 W p1V1 ln V I
其中压缩后与压缩前的体积比 V2 成无量纲项，才 V1 能进行对数运算。
三、量纲和谐原理
量纲和谐原理是量纲分析的基础原理。凡正确反映客 观规律的物理方程，其各项的量纲一定是一致的，这是被 无数事实证实了的客观原理。例如粘性流体运动微分方程 式在x方向的公式:
水力学第六章 量纲分析和相似原理
任何一物理过程，包括有量纲物理量 k+1 个： x1, x2 ,, xk1 ；
而在这些物理量中的基本物理量为 m 个，于是就可以把这些量排
列成 k+1—m 个独立的无因次参数 1, 2 ,, k1m 。 f (x1, x2 , x3, xk1) f1(1, 2 , 3, k1m ) 定理应用依赖于理论分析和实验研究。
流动的动力相似，要求同名力作用，相应的同名力成比例。 同名力成比例
Fp Gp Tp Pp S p E p I p Fm Gm Tm Pm Sm Em I m
在水流实验中主要有
Fp Fm
Gp Gm
Tp Tm
Pp Pm
Ip Im
或 F
G
T
P
I
§6-2 相似原理 • 2运动相似
要求两流动的相应流线几何相似，或相应点的流速大小成比例，方向相同。
时间比尺
t
tp tm
速度比尺
up um
lp /tp lm / tm
l t
u
加速度比尺
a
up /tp um / tm
u t
l t2
§6-2 相似原理 • 3动力相似
• ②糙率相似；
• ③流动尽可能处于阻力平方区；
• ④模型对最小水深的要求(表面张力影响)；
• ⑤模型应遵守的规范。
hm0.05m
本章小结： 1量纲和谐原理。 2流动相似概念，几何、运动、动力相似。 3相似准数，雷诺准数，弗汝德准数。 本章无习题，熟悉基本概念 例6－1的推导过程。
以压力表示
Fp Fm
Ep Em
第五章量纲分析和相似原理
Ρ ρ,ρ rho 电阻系数（小写）
∑ ζ,s sigma 总和（大写），表面密度；跨导（小写） Φ φ phi 磁通；角 Ψ ψ psi 角速；介质电通量（静电力线）；角 Ω ω omega 欧姆（大写）；角速（小写）；角
补充资料
A α 阿尔法 B β 贝塔 Γ γ 伽玛 Δ δ 德尔塔 Ε ε 伊普西隆 Ζ δ 泽塔 Μ κ 米欧 Νλ纽 Ξ μ 克西 Ο ν 欧米克隆 ∏π派 Ρξ柔 ∑ ζ 西格玛 Τη陶
对于不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其 他物理量量纲均为导出量纲。 速度 dimv=LT-1； 力 dimF=MLT-2； 加速度 dima=LT-2 动力粘度 dimκ=ML-1T-1
综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量纲dimq都可用3
个基本量纲的指数乘积形式表示。
补充资料
1
2
n
据量纲和谐原理 [L]: 有: [T]: [M]: a = a1 1 ＋ a2 2 +……+an n b = b1 1 ＋ b2 2 +……+bn n c = c1 1 ＋ c2 2 +……+cn n
解出： 1 ， 2 ， 3 ， …….. n
（4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的
2、量纲的分类：
（1）基本量纲（独立量纲） ——不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。 长度量纲： [L] 如： 质量量纲： [M] 时间量纲： [T] 温度量纲： [Θ] （2）导出量纲（非独立量纲）
如： 速度量纲： [ L T –1] ； 流量量纲： [ L3 T –1] 。
——可由基本量纲导出的量纲。
2
1 =1
第9章 量纲分析
量纲的分类：基本量纲 导出量纲
基本量纲是一组具有独立性的量纲。在 水力学领域中有三个基本量纲：[ L ] ， [ T ]， [ M ]。
导出量纲由基本量纲组合或推导出来的 量纲。如加速度的量纲 [a]=LT-2 ；力的量 纲 [F]=[ma]=MLT-2
可知p / v2与其余三个无量纲数有关，那么
p/v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re)
p/g= p/= (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re)
令= F2( /d, 1/Re) p/= (l/d)(v2/2g)
这就是达西公式， 为沿程阻力系数， 表示了等直圆管中流动流体的压降与 沿程阻力系数、管长、速度水头成
1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4
将上述表达式写成量纲形式 [1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T （1） [2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0
（2） [3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0
（3） [4]=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0
所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 → 4= -1
T: -2-4=0 → 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 → 4= 0 所以 4= p / v2 因此，所解问题用无量纲数表示的方程为
F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0
至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。 由上式
有量纲量和无量纲量
水力学中任何物理量C的量纲可写成 [C]=[ M ][ L ][ T ]
量纲分析
第一节量纲分析方法1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J 速度v = ds/dt 量纲： = 加速度a = dv/dt 量纲： 力F = ma 量纲： 压强P = F/S 量纲：实际中，也有些量是无量纲的，比如等，此时记为。
有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。
模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。
机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。
使用无量纲量来描述客观规律。
在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。
1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。
2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。
即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。
当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。
②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。
③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。
要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。
量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。
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1．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.
解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.
量纲矩阵为：
A=)
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡---ρ()()
()()()()(001310013212s v P T M L
齐次线性方程组为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=+=-++0
30
32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y
由量纲i P 定理得 1
1
31ρπs v P -=， 1
1
3ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 2．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞
系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.
解：设v ,
ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，
[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.
量纲矩阵为
A=)
()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即
⎪⎩⎪
⎨⎧==+=+0
2y -y - y -0
y y 0y y -3y -y 431
324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
由量纲i P 定理 得 g v μρπ1
3--=. 3
ρ
μλg
v =∴，其中λ是无量纲常数.
3.用量纲分析法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量，记水的流速ν，密度ρ，比热c ，粘性系数μ，热传导系数k ，人体尺寸d ，证明人体与水的热交换系数h 与上述各物理量的关系可表为⎪⎭
⎫
⎝⎛ψ=
k c d v d k h μμρ,，ψ是末定函数，h 定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温度为1℃时的热量交换。
证明：
设)(0,,,,,,=d k c v h f μρ，有长度量纲L,质量量纲M,时间量纲T,加入温度量纲
θ，有
[]13--=θMT h ,[]1-=LT v ,[]M L 3-=ρ,[]122--=θT L c ,[]11--=MT L μ,[]13--=θLMT k ,
[]L d =.
A=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----------010100
1031201301101011112310[][][][]
θT M L
d k c v h μρ
得：()0321=πππ，，F ,c v h ρπ11-=，k v h 112--=ρμπ，d v 13-=ρμπ （其中321,,πππ都是无量量纲）
化简后为：d hk 11-=π，12-=ck μπ，d v 13-=ρμπ 因为)(0,,,,,,=d k c v h f μρ与()0321=πππ，，F 等价 而()0321=πππ，，F ⇒()321ππψπ，=⇒⎪⎭
⎫ ⎝⎛ψ=
k c d v d k h μμρ, 于是有⎪⎭
⎫
⎝⎛ψ=
k c d v d k h μμρ,，证明完毕。
5.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期
的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.
解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为
0),,,,(=k g m l t f
其量纲表达式为：
1
12120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t
10-=MT L ， 其中L ，M ，T 是基本量纲.
量纲矩阵为
A=)
()()()()()()()(120011010001
010k g m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- 齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨
⎧=--=+=+0
200541
5342y y y y y y y 的基本解为
⎪⎩
⎪⎨⎧
--=-=)
1,21
,1,21,0()0,21,0,21,1(21
Y Y 得到两个相互独立的无量纲量
∴g
l
t =
1π, )(21πϕπ=, 2
/12
/12mg
kl =π ∴)(2
/12/1mg kl g l t ϕ=
，其中ϕ是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t ,'
t ；l ,'
l ;m ,'
m . 又)(2
/12/1g m l k g l t '''=
'ϕ 当无量纲量l l m m '='
时， 就有 l
l l g g l t
t '
=
⋅'='.
⎩⎨⎧==---2
2
/112/11
2/12/1ππk g m l g tl。