1.大学生数学竞赛模拟题一2015.9.4
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
2015第七届全国大学生数学竞赛试卷-数学类
专业:
得分
评阅人
只有零解.
三、(本题 15 分) 设 A 为 n 阶实方阵，其 n 个特征 值皆为偶数. 试证明关于 X 的矩阵方程
X + AX − XA2 = 0
考生座位号:
密封线 答题时不要超过此线
所在院校:
准考证号:
姓名:
第 3 页（共 6 页）
得分 评阅人
2)求P 点和Q点坐标(用a, b, v, w表示).
密封线 答题时不要超过此线
所在院校:
准考证号:
姓名:
第 1 页（共 6 页）
得分 评阅人
二、 (本题 20 分) A为4阶复方阵，它满足关于迹的 关系式：trAi = i, i = 1, 2, 3, 4. 求A的行列式.
第 2 页（共 6 页）
四 、(本 题 15 分) 数 列 {an} 满 足 关 系 式 an+1 =
an
+
n an
,
a1
>
0.
求证
lim
n→+∞
n(an
−
n)
存在.
第 4 页（共 6 页）
专业:
得分
评阅人
五、 (本题 15 分)设 f (x) 是 [0, +∞) 上有界连续函
数, h(x) 是 [0, +∞) 上连续函数, 且
+∞ 0
|h(t)|
dt
=
a
<
1.
构造函数列如下: g0(x) = f (x),
x
gn(x) = f (x) + h(t)gn−1(t) dt, n = 1, 2, · · ·
大学生数学知识竞赛试题及答案【最新】
趣味数学知识竞赛复习题一、填空题1、（苏步青）是国际公认的几何学权威，我国微分几何派的创始人。
2、（华罗庚）是一个传奇式的人物，是一个自学成才的数学家。
3、编有《三角学》，被称为“李蕃三角”且自称为“三书子”的是（李锐夫）。
4、世界上攻克“哥德巴赫猜想”的第一个人是（陈景润）。
5、（姜立夫）是现代数学在中国最早而又最富成效的播种人”，这是《中国大百科全书》和《中国现代数学家传》对他的共同评价。
6. 设有n个实数,满足|xi|<1(I=1,2,3,…,n), |x1|+|x2|+…+|xn|=19+|x1+x2+…+xn| ,则n的最小值207. 三角形的一个顶点引出的角平分线,高线及中线恰将这个顶点的角四等分,则这个顶角的度数为___90° ___8. 某旅馆有2003个空房间,房间钥匙互不相同,来了2010们旅客,要分发钥匙,使得其中任何2003个人都能住进这2003个房间,而且每人一间(假定每间分出的钥匙数及每人分到的钥匙数都不限),最少得发出_16024______把钥匙.9. 在凸1900边形内取103个点,以这2003个点为顶点,可将原凸1900边形分割成小三角形的个数为______2104 _____.10. 若实数x满足x4+36<13x2,则f(x)=x3-3x的最大值为______18_____11 ."我买鸡蛋时，付给杂货店老板12美分，"一位厨师说道，"但是由于嫌它们太小，我又叫他无偿添加了2只鸡蛋给我。
这样一来，每打(12只)鸡蛋的价钱就比当初的要价降低了1美分。
" 厨师买了＿18只鸡蛋?12.已知f(x)∈[0,1],则y=f(x)+1的取值范围为 ___[7/9,7/8]____13. 已知函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的定义域均为非负实数集，对任意的ｘ≥0，规定ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝．若ｆ（ｘ）＝3－ｘ，ｇ（ｘ）＝，则ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）的最大值为____（2√3－1） _____ 14．已知a,b,cd∈N,且满足342(abcd+ab+ad+cd+1)=379(bcd+b+d),设M=a×103+b×102+c×10+d,则M的值为______ 1949 ___.15. 用E(n)表示可使5k是乘积112233…nn的约数为最大的整数k,则E(150)=__ 2975_________16. 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_2500________种不同的取法．17. 从正整数序列1,2,3,4,…中依次划去3的倍数和4的倍数,但是其中是5的倍数均保留,划完后剩下的数依次构成一个新的序列:A1=1,A2=2,A3=5,A4=7,…,则A2003的值为____3338 _____.18. .连接凸五边形的每两个顶点总共可得到十条线段(包括边在内),现将其中的几条线段着上着颜色,为了使得该五边形中任意三个顶点所构成的三角形都至少有一条边是有颜色的则n的最小值是＿419. 已知x0=2003,xn=xn-1+ (n>1,n∈N),则x2003的整数部分为_______2003___21. 已知ak≥0,k=1,2,…,2003,且a1+a2+…+a2003=1,则S=max{a1+a2+a3,a2+a3+a4,…, a2001+a2002+a2003}的最小值为________3/2007 _.22. 对于每一对实数x,y,函数f满足f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(1)=1,那么使f(n)=n(n≠1)的整数n共有＿1个.23.在棱长为a的正方体内容纳9个等球,八个角各放一个,则这些等球最大半径是____. (√3-3/2)a ___24.已知a,b,c都不为0,并且有sinx=asin(y-z),siny=bsin(z-x),sinz=csin(x-y).则有ab+bc+ca=__-1 _____.二、选择题1、被誉为中国现代数学祖师的是（1、C ）。
2015全国大学生数学建模C题答案
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
本题目希望学生借助于欧阳修的名句“月上柳梢头，人约黄昏后”来了解天体（太阳和月亮）的运动规律，用天文学的观点来解释它发生的日期与时间。
问题1
(1)需要给出“柳梢头”和“黄昏后”的定义，即月亮的高度角是多少时为“月上柳梢头”，
日落后的多长时间为“黄昏后”。
这两个概念应与月亮和太阳有关，如果只用某个固定的时间定义黄昏是不可取的。
(2)计算黄昏时间需要用到日落时间，而日落时间需要用到太阳高度角的计算公式（自己
推导与查找资料均可）。
希望由公式导出黄昏时间，仅给出定性说明是不可取的。
(3)利用月亮高度角的计算公式（自己推导与查找资料均可）导出“月上柳梢头”的时间，
计算时一般需要对公式及其参数作适当简化，仅给出定性说明是不可取的。
(4)利用已有的知识，如日出、日落、月出、月落时刻（这些内容能在教科书上或网上查
到），验证模型的正确性。
问题2
在完成问题1的基础之上，需将题目所给城市的地理数据（经度与纬度）代入，推算同时发生“月上柳梢头，人约黄昏后”的日期和时间。
这里需注意“当地时间”与“北京时间”的差异。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1.计算 $\iint_D \frac{y}{x+y-1} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中区域$D$ 由直线$x+y=1$ 与两坐标轴所围成三角形区域。
2.设 $f(x)$ 是连续函数，且满足 $f(x)=3x^2-\intf(x)\mathrm{d}x-2$，则 $f(x)=\underline{\hspace{2em}}$。
3.曲面 $z=\frac{x^2+y^2-2}{2}$ 平行于平面 $2x+2y-z=$ 的切平面方程是 $\underline{\hspace{2em}}$。
4.设函数 $y=y(x)$ 由方程 $xe^{f(y)}=\ln 29$ 确定，其中$f$ 具有二阶导数，且 $f'\neq 1$，则$y''=\underline{\hspace{2em}}$。
二、（5分）求极限 $\lim\limits_{x\to n}\frac{e^{ex+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}}{x}$。
三、（15分）设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\intf(xt)\mathrm{d}t$，且 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=A$，$A$ 为常数，求 $g'(x)$ 并讨论 $g'(x)$ 在 $x=1$ 处的连续性。
四、（15分）已知平面区域 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq\pi,0\leq y\leq\pi\}$，$L$ 为 $D$ 的正向边界，试证：1）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x=\int_L xe^{-\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x$；2）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x\geq \frac{\pi^2}{2}$。
15年10月第七届全国大学生数学竞赛预赛答案(数学类专业答案)
只有零解。 专业: 证 明 设C = I + A, B = A2 , A的n个特征值为 λ1 , λ2 , . . . , λn , 则B 的n个特征值为
2 2 λ2 1 , λ2 , . . . , λn ; C 的n个特征值为 µ1 = λ1 + 1, µ2 = λ2 + 1, . . . , µn = λn + 1; C 的特征
1 n −n (1+ ana − na )bn n n 1 ) an n an
− n − 1) 从而 bn = b2
n−1 k=2 (1+ Rk ).
= (1 +
1 )(1 n
= (1+ Rn )bn , 其中
− a1 )bn n 1 n −n Rn = ana − na . n n
......(10分) 考察Rn . |Rn | 结果由lim
函数, 且
+∞ 0
|h(t)| dt = a < 1. 构造函数列如下: g0 (x) = f (x),
x
gn (x) = f (x) +
0
h(t)gn−1 (t) dt,
n = 1, 2, · · ·
(1)
专业:
求证 {gn (x)} 收敛于一个连续函数, 并求其极限函数. 证 明 记 M = sup |f (x)|. 因而 |g0 (x)| 由 (1) 可得
B − µ1 I, · · · , B − µn I 皆为可逆矩阵，结果由 0 = X (B − µ1 I ) · · · (B − µn I )立得 ......(15分)
X = 0.
所在院校: 准考证号: 姓名:
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
数学建模历年竞赛试题
目录前言................................................................................................. 错误!未定义书签。
目录........................................................................................................................... - 0 - 一、什么是数学模型............................................................................................... - 3 -2001年B题……公交车调度......................................................................... - 4 - 2001年C题……基金使用计划..................................................................... - 9 - 2002年A题……车灯线光源的优化设计................................................... - 10 - 2002年B题……彩票中的数学................................................................... - 11 - 2003年A题……SARS的传播.................................................................... - 15 - 2003年B题……露天矿生产的车辆安排................................................... - 26 - 2003年D题……抢渡长江........................................................................... - 29 - 2004年C题……饮酒驾车........................................................................... - 32 - 2004年B题……电力市场的输电阻塞管理............................................... - 34 - 电力市场交易规则：............................................................................. - 35 -输电阻塞管理原则：............................................................................. - 36 -表1各机组出力方案（单位：兆瓦，记作MW） ............................ - 39 -表2各线路的潮流值（各方案与表1相对应，单位：MW） ......... - 41 -表3各机组的段容量（单位：MW） ................................................. - 42 -表4各机组的段价（单位：元/兆瓦小时，记作元/MWh）............. - 42 -表5各机组的爬坡速率（单位：MW/分钟） .................................... - 43 -表6各线路的潮流限值（单位：MW）和相对安全裕度 ................. - 43 -2008年B题……高等教育学费标准探讨................................................... - 43 - 2008年D题……NBA赛程的分析与评价 ................................................. - 45 - 2009年A题……制动器试验台的控制方法分析....................................... - 47 - 2009年B题……眼科病床的合理安排....................................................... - 50 - 【附录】2008-07-13到2008-09-11的病人信息 ................................ - 51 - 2009年D题……会议筹备........................................................................... - 77 - 附表1……10家备选宾馆的有关数据................................................. - 78 -附表2……本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）- 79 -附表3……以往几届会议代表回执和与会情况.................................. - 80 -附图（其中500等数字是两宾馆间距，单位为米）......................... - 81 -二、为什么要学习数学模型................................................................................. - 83 -1、数学模型无处不在，我们的生活、工作、学习都离不开它............... - 83 -例1买房贷款问题................................................................................. - 83 -例2物体冷却过程的数学模型............................................................. - 84 -2、是学好数学用好数学的必经之路........................................................... - 86 -3、是数学教学改革的重要手段和有效路径............................................... - 88 -4、数学建模竞赛所提唱的团队精神是现代大学生必须具备素质........... - 91 -5、数学建模竞赛鼓励学生用跳跃式的、发散式的形象思维方法，这有利于培养学生的创新意识。
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一、填空题(共有 5 小题，每小题 6 分，共 30 分) 1.
e e 求极限： lim x 0 n 2.
x 2x
e ，其中 n 是给定的正整数.
nx
e x
若曲线 y x 2 ax b 与 2 y xy 3 1 在点 (1, 1)处相切，求常数 a, b.
1 dx (b a) 2 . f ( x)
四、(本题满分 14 分)
(1) 验证函数 y ( x) 1 x3 x 6 x9 3! 6! 9!
x 3n (3n)!
( x ) 满足
微分方程：y '' y ' y e x； (2) 利用 (1) 的结果求幂级数 x 3n 的和函数. n 0 (3n)!
二、(本题满分 12 分)
证明：奇数次多项式 p( x) a0 x 2 n 1 a1 x 2 n 至少存在一个零点. a2 n 1 (a0 0)
三、(本题满分 14 分)
设在区间[a, b]上f ( x)连续且恒大于零，试用二重积分证明不等式：
b a b 分 15 分) ( x y )dx ( x y )dy 计算 ，其中 L 是 L x2 y2
(1) 不包围也不通过原点的任意闭曲线； (2) 以原点为中心的正向的单位圆； (3) 包围原点的任意正向闭曲线.
2
3. 设可微函数 f ( x) 满足： f (t )d t
0 x x x2 tf ( x t )d t ，求 f ( x) . 0 2
4.
设 f ( x) lim x 2 n 1 ax 2 bx 为连续函数，试确定 a 和 b 的值. n x2n 1
5.
x2 y 2 z 2 设 ( x, y, z ) 为原点到椭球面 ： 2 2 2 1 (a 0，b 0，c 0) 上 a b c 点 ( x, y, z ) 处的切平面的距离，求 ( x, y, z )dS .
1
五、(本题满分 15 分)
1 1 设 z z ( x, y ) 是由方程 F ( z ，z ) 0 确定的隐函数， x y 且具有连续的二阶偏导数. 求证：
2 2 z 2 z 2 z 3 z 3 z x y 1 和 x xy ( x y ) y 20 x y xy x 2 y 2 2