一元二次不等式及其解法ppt课件(自制)
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一元二次不等式及其解法 课件
研一研·问题探究、课堂更高效
S 甲＝0.1x＋0.01x2，S 乙＝0.05x＋0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？ 一元二次不等式在实际生活实践中有着广泛的应用．这节课 我们将研究一元二次不等式的实际应用．
探究点一 一元二次不等式恒成立问题
问题 解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用，一
解析 当 a＝0 时，－2≥0 解集为 ∅ ；
当 a≠0 时，a 满足条件：aΔ<＝04a2＋4aa＋2<0 ，
解得－1<a<0.
综上可知，－1<a≤0.
例 2 关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k－1)x＋k＝0 有两个正 实数根，求实数 k 的取值范围．
解 方法一 设 f(x)＝kx2＋(k－1)x＋k，由题意，
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
3．不等式xx－＋23>0 的解集是 A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
(C )
4．若不等式 x2＋mx＋1≥0 的解集为 R，则实数 m 的取值范
围是
(D )
A．m≥2
B．m≤－2
跟踪训练 3 某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x 件 与单价 P 元之间的关系为 P＝160－2x，生产 x 件所需成本 为 C＝500＋30x 元，该厂日产量多大时，每天获利不少于 1 300 元？ 解 由题意得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300， 化简得 x2－65x＋900≤0
解得 0<k≤31.
小结 解一元二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二
次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等
一元二次不等式及其解法课件
2
小结
1.一元二次不等式的定义与一般形式. 2.三个“二次”的关系. 3.一元二次不等式的解法及其步骤. 4.数学思想：数形结合的思想.
本节内容结束
。
a＞ 0
函数： 不等式的解集 方程： ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c 的图象 ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c＜0 的解情况 y 当⊿＞0 时， {x∣x＜x1 方程有两不 {x∣x1＜x＜x2 } 或 x＞ x 2 } 等的根： x1 o x2 x x1 ， x2 y 当⊿＝0 时，
解：原不等式等价于 (2 x 1)(x 2) 0
方程 2x 3x 2 0 的解是 x1 1 ，x2 2 . 2 原不等式的解集是
2
x
x 1 ，或 x 2 . 2
典例剖析 规范步骤
例2 解不等式 4x 4x 1 0 .
2
解： 0， 方程 4 x 4 x 1 0 1 的解是 x1 x2 . 2 原不等式的解集是 x x 1 . 2
一元二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ不等式及其 解法
学习内容
1.一元二次不等式的定义； 2.根据二次函数图象解一元二次不等式； 3.解一元二次不等式的例题讲解；
4.归纳一元二次不等式的解法；
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式：
ax bx c 0 或 ax bx c （ 0 a 0)
方程有一 根： x0 当⊿＜0 时， 方程无解
{ x∣x≠x0}
o x0 y x
小结
1.一元二次不等式的定义与一般形式. 2.三个“二次”的关系. 3.一元二次不等式的解法及其步骤. 4.数学思想：数形结合的思想.
本节内容结束
。
a＞ 0
函数： 不等式的解集 方程： ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c 的图象 ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c＜0 的解情况 y 当⊿＞0 时， {x∣x＜x1 方程有两不 {x∣x1＜x＜x2 } 或 x＞ x 2 } 等的根： x1 o x2 x x1 ， x2 y 当⊿＝0 时，
解：原不等式等价于 (2 x 1)(x 2) 0
方程 2x 3x 2 0 的解是 x1 1 ，x2 2 . 2 原不等式的解集是
2
x
x 1 ，或 x 2 . 2
典例剖析 规范步骤
例2 解不等式 4x 4x 1 0 .
2
解： 0， 方程 4 x 4 x 1 0 1 的解是 x1 x2 . 2 原不等式的解集是 x x 1 . 2
一元二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ不等式及其 解法
学习内容
1.一元二次不等式的定义； 2.根据二次函数图象解一元二次不等式； 3.解一元二次不等式的例题讲解；
4.归纳一元二次不等式的解法；
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式：
ax bx c 0 或 ax bx c （ 0 a 0)
方程有一 根： x0 当⊿＜0 时， 方程无解
{ x∣x≠x0}
o x0 y x
一元二次不等式及其解法ppt课件
∵f(x)图象的对称轴为直线 x=2,∴f(x) 在(0,1)上单调递减，
∴当x=1 时 ，f(x)取到最小值，为一3,∴实数m 的取值范围
是[一0, — 3],故选A.
答案： A
2.若不等式 x²+mx—1<0对于任意x∈[m,m+1] 都成立，则 实数m 的取值范围是 解析：由题意，得函数f(x)=x²+mx—1在[m,m+1] 上的 最大值小于0,又抛物线f(x)=x²+mx—1开口向上，
(3)若a 可以为0,需要分类讨论， 一般优先考虑a=0 的 情形.
三、典型例题分析 考点一一元二次不等式的解法
考法(一)不含参数的一元二次不等式
[典例] 解下列不等式：(1)—3x²—2x+8≥0;
(2)0<x²—x—2≤4; [解]( 1)原不等式可化为3x²+2x—8≤0,
即(3x—4)(x+2)≤0, 解 得
考法(二)含参数的一元二次不等式 [典例] 解不等式ax²—(a+1)x+1<0(a>0). [解] 原不等式变为(ax—1)(x—1)<0,
因 为a>0, 所 以
所以当a>1,
时，解
当 a=1 时，解集为o; 当 0<a<1, 艮 时，解为
综上，当0<a<1 时，不等式的解集 当a=1 时，不等式的解集为o; 当a>1 时，不等式的解集为
[解题技法] 1. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0,小于 0 , 还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式△与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要 讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.
3.2《一元二次不等式及其解法》PPT课件
2
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) x 5 x
方程
x 5x 0
2
不等式
x 5x 0
2
y
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x2 5 x 0
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
总结
【典型例题】
例4. 解不等式：
2 x 2 5 x 6 x2 x6
1 2
1 2
二、简单的一元二次含参不等式
常见含参不等式题型： 1).讨论参数，解含参不等式； 2).已知含参不等式解集，求参数的范围。
• 常见可利用的入手知识点： 1、一元二次不等式的解集端点与相应方程根的关系 （结合韦达定理）。 2、一元二次不等式与对应函数的图象关系。
【解析】 2)≤0，
(1)原不等式等价于(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋
如下图所示的阴影区域：
∴原不等式的解集是 x|－2≤x≤－1或1≤x≤2 .
(2)原不等式等价于(x＋1)2(x＋2)(x－3)≥0，如图所示的 阴影区域：
∴不等式的解集是 x|x≤－2或x≥3或x＝－1 .
-2<a<2
a 2, 2
对一切
x R恒成立
不等式的恒成立问题 含参数的不等式恒成立问题的一般处理思路是： • 1、带参函数分析：将不等式化为f(x)>0（或<0） 的形式，然后构造函数f(x)，求函数的最小值 （或最大值），再令fmin(x)>0（或fmax(x)<0）
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) x 5 x
方程
x 5x 0
2
不等式
x 5x 0
2
y
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x2 5 x 0
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
总结
【典型例题】
例4. 解不等式：
2 x 2 5 x 6 x2 x6
1 2
1 2
二、简单的一元二次含参不等式
常见含参不等式题型： 1).讨论参数，解含参不等式； 2).已知含参不等式解集，求参数的范围。
• 常见可利用的入手知识点： 1、一元二次不等式的解集端点与相应方程根的关系 （结合韦达定理）。 2、一元二次不等式与对应函数的图象关系。
【解析】 2)≤0，
(1)原不等式等价于(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋
如下图所示的阴影区域：
∴原不等式的解集是 x|－2≤x≤－1或1≤x≤2 .
(2)原不等式等价于(x＋1)2(x＋2)(x－3)≥0，如图所示的 阴影区域：
∴不等式的解集是 x|x≤－2或x≥3或x＝－1 .
-2<a<2
a 2, 2
对一切
x R恒成立
不等式的恒成立问题 含参数的不等式恒成立问题的一般处理思路是： • 1、带参函数分析：将不等式化为f(x)>0（或<0） 的形式，然后构造函数f(x)，求函数的最小值 （或最大值），再令fmin(x)>0（或fmax(x)<0）
一元二次不等式及其解法课件
一元二次不等式及其解法
1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的_根__是二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的_零__点__．___
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴 方程是 x＝－2ba，顶点坐标是(－2ba，4ac4－a b2)．当 a＞0 时，图象的开口方向向上；当 a＜0 时，图象 的开口方向向下．
(2)若a＜0，则2a＜x＜－a， 此时不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}； (3)若a＝0，则原不等式即为x2＜0，此时解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为 当a＞0时，{x|－a＜x＜2a}； 当a＜0时，{x|2a＜x＜－a}； 当a＝0时，∅.
三个“二次”之间的关系 一元二次不等式解集的端点，即对应二次方程的 根，也是对应二次函数的零点．
一元二次不等式的解法
一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标 准形式： (1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)； (2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)． 上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过 方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设Δ＝b2－4ac，则： ①Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个_不__同__的解x1、 x_2_，_{x_设|_x_>x_x1_<2_或x_2_x，_<_则x_1}_不__等__式_，(1)不的等解式集(为2)的解集为 _{_x_|_x_1<_x_<_x_2_}____；
解含参数的一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类 讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次 项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根 的讨论，即判别式为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层 次是根的大小的讨论．
例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0. 【思路点拨】 解答本题通过因式分解，结合二 次函数图象分类讨论求解． 【解】 方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2 ＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a. (1)若a＞0，则－a＜x＜2a， 此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；
1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的_根__是二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的_零__点__．___
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴 方程是 x＝－2ba，顶点坐标是(－2ba，4ac4－a b2)．当 a＞0 时，图象的开口方向向上；当 a＜0 时，图象 的开口方向向下．
(2)若a＜0，则2a＜x＜－a， 此时不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}； (3)若a＝0，则原不等式即为x2＜0，此时解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为 当a＞0时，{x|－a＜x＜2a}； 当a＜0时，{x|2a＜x＜－a}； 当a＝0时，∅.
三个“二次”之间的关系 一元二次不等式解集的端点，即对应二次方程的 根，也是对应二次函数的零点．
一元二次不等式的解法
一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标 准形式： (1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)； (2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)． 上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过 方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设Δ＝b2－4ac，则： ①Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个_不__同__的解x1、 x_2_，_{x_设|_x_>x_x1_<2_或x_2_x，_<_则x_1}_不__等__式_，(1)不的等解式集(为2)的解集为 _{_x_|_x_1<_x_<_x_2_}____；
解含参数的一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类 讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次 项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根 的讨论，即判别式为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层 次是根的大小的讨论．
例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0. 【思路点拨】 解答本题通过因式分解，结合二 次函数图象分类讨论求解． 【解】 方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2 ＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a. (1)若a＞0，则－a＜x＜2a， 此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；
3.2一元二次不等式及其解法(共35张PPT)
31
1 1 x|－ <x< 【例 3】 已知 x2＋px＋q<0 的解集为 2 3， 求解不等式 qx2＋px＋1>0.
即x2－x－6<0， 解得－2<x<3.
所以不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2<x<3}．
23:16
32
5.a为何值时，不等式 (a 2 3a 2) x 2 (a 1) x 2 0 的解为一切实数？
不等式的解集即函数图象在x 轴下方或上方图象所对应x的范 围。
23:16 8
思考
对二次函数 y=x2-x-6，当x为何值时， y=0？当x为何值时，y<0？ 当x为何值时， y>0 ? 当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2x6=0 y -2 O 3 x
23:16
9
思考：对二次函数 y=x2-x-6，当x为何值时， y=0？当x为何值时，y<0？ 当x为何值时，y>0 ?
利用二次函数图象能解一元二次不等式！
23:16 11
利用二次函数图象能解一元二次不等式！
一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)
一元二次不等式 ax2 bx c 0(a 0) 一元二次函数
y
f (x)=ax 2 bx c(a 0)
0
0
{R x |xx x } 1 x 或 x x2 1 ax bx c 0的解
△<0 y
y=ax2+bx+c ( a> 0 ) 的图 x1 O 象
O 没有实根
x
ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2) ax2+bx+c>0 ( a > 0 ) 的 解 {x|x<x1,或 x>x2} 集 ax2+bx+c<0 ( a > 0 ) 的 解 {x|x1< x <x2 } 集 23:16
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下面我们通过实例，研究一元二次不等 式的解法，以及它与相应的方程、函数之 间的关系。 例如解不等式：
（1）x2－x－6>0；（2）x2－x－6<0.
我们来考察二次函数f(x)=x2－x－6 = (x 1 )2 25 的图象和性质。
24
方程x2－x－6=0的判别式 1 4 1 ( 6 ) 2 5 0
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《数学》
必修5
3.3 《一元二次 不等式及其解法》
教学目标
▪ 掌握一元二次不等式的解法 ▪ 教学重点： 一元二次不等式的解法
考察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x－1>0 和 3x2+6x－1≤0. 这两个不等式有两个共同特点： （1）含有一个未知数x； （2）未知数的最高次数为2.
1
实数x，都有x2－2x+3>0。
x
-1 O 1 2 3
-1
解：对于任意实数x，
x2－2x+3=(x－1)2+2>0，
因此不等式（1）的解集为
实数集R，
y
3
不等式（2）无解，或说它 2
的解集为空集.
1
x
-1 O 1 2 3 -1
通过以上两例，我们不难对一元二次 不等式ax2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 (a>0)解集的形式作一般性的分析。 设方程ax2+bx+c=0 (a>0)的判别式为△。 （1）当△>0时，二次方程ax2+bx+c=0有两 个不等的实数根x1，x2，（设x1<x2）.
3
2x
x2
0
即
(2x3)(x1)≥0
(x
3)(x1)
0
解得
x
≤
3 2
或
x
≥
1
1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
再见
人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自 己不奋 斗，终 归是摆 设。无 论你是 谁，宁 可做拼 搏的失 败者， 也不要 做安于 现状的 平凡人 。 18、过自己喜欢的生活，成为自己喜 欢的样 子，其 实很简 单，就 是把无 数个"今 天"过 好，这 就意味 着不辜 负不蹉 跎时光 ，以饱 满的热 情迎接 每一件 事，让 生命的 每一天 都有滋 有味。
一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的 解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为 正值或负值时自变量x的取值的集合。
一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，就是使 二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。
因此二次函数，一元二次方程，一元二 次不等式之间有非常密切的联系。
例4．解不等式－2x2+4x－3>0. 解：原不等式化为2x2－4x+3<0， 因为2x2－4x+3=2(x－1)2+1>0，
所以原不等式的解集是
例5．求函数 f(x )2 x 2 x 3 lo g 3 (3 2 x x 2 )
的定义域。
解：由函数f(x)的解析式有意义得
2x2 x 3≥ 0
考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象， 这时，函数的零点把x轴分成三个区间
(－∞，x1)，(x1，x2)，(x2，+∞)，
不等式ax2+bx+c>0的解集
是(－∞，x1)∪ (x2，+∞)， y 不等式ax2+bx+c<0的解集
是(x1，x2). 简单的说是：
x
O x1
x2
大于在两边，小于在中间。
轴上方的点的纵坐标大于零，因此这些点
的横坐标的集合
y
A={x| x<－2或x>3}是一元二
32次不等式x2－－6>0的解集。1
x
抛物线位于x轴下方的点
-2 -1 O 1 2 3 -1
的纵坐标小于零，因此这些
-2
点的横坐标的集合B={x| －
-3
2<x<3}是一元二次不等式x2
－x－6<0的解集。
1 25 ( ,- )
比较上面的两种解法，可以明显地体 会到，作出相应的二次函数的图象，并由 图象直接写出解集的方法更简便一些。
例1．解不等式：（1）x2－2x+3>0；
（2）x2－2x+3<0.
分析：考察方程x2－2x+3=0的
判别式△=(－2)2－4×1×3<0, y
二次函数的图象位于x轴的上 3
方（如图），这时对于任意的 2
于是可知这个方程有两个不相等的实数根,
y
解此方程得x1=－2，x2=3.
3
2
建立直角坐标系xOy，画出
1 x
-2 -1 O 1 2 3
f(x)的图象，它是一条开口向
-1 -2
上的抛物线，与x轴的交点是
-3
M(－2，0)，N(3，0)， 1 25 ( ,- ) 24
观察这个图象，可以看出，抛物线位于x
例2．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
方程4x2+x－1=0的根是
x11817,x2
1 17 8
所以不等式的解集是
{x|1 17x1 17}
8
8
例3．解不等式x2+4x+4>0.
解：因为△=42－4×1×4=0， 原不等式化为(x+2)2>0， 所以不等式的解集是{x∈R| x≠－2}.
（2）当△=0时，通过配方得，
ya(xb)24acb2a(xb)2
2a 4a
2a
由图可知，ax2+bx+c>0
y
的解集是 x b 的全体实
2a
数，即 (,b) (b,)
2a 2a
x
ax2+bx+c<0的解集是空 集，即不等式无解。
Ob - 2a
（3）当△<0时，二次函数
f(x)=ax2+bx+c的图象在x轴上方，由此可 知，不等式ax2+bx+c>0的解集是实数集 R，不等式ax2+bx+c<0的解集是空集。
一般地，含有一个未知数，且未知 数的最高次数为2的整式不等式，叫做一 元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边，恰 是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，
即 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，
相对于解不等式组
x x
2 3
0 0
或
x x
2 3
0 0
，
解这两个不等式组得x>3或x<－2.
（2）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)，所以解
x2－x－6<0，就是解(x+2)(x－3)<0，
相对于解不等式组
x
x
2 3
0 0
或
x x
2 3
0 0
，
解这两个不等式组得－2<x<3.
24
事实上，当x∈A时，若x<－2，则 x+2<0，且x－3<0，由此可推知 (x+2)(x－3)>0；
若x>3，同样可推知(x+2)(x－3)>0。
当x∈B时，即－2<x<3时，x+2>0， x－3<0，因此(x+2)(x－3)<0，
不等式（1）和（2）还可以通过下述方 法求解：
（1）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)， 所以解x2－x－6>0，就是解(x+2)(x－3)>0,