(计算机图形学)三维变换与投影汇编
计算机图形学-三维图形变换与投影

5.关于yoz面的反射
坐标表示为:
x' x y' y z' z
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 变换矩阵为: T 0 0
6.关于zox面的反射
坐标表示为:
x' x y' y z' z
J
z
x y
34
三维复合变换
步骤:
1。J轴绕Z轴转φ 角至yoz平面,成为J1。 2。J1轴绕X轴转γ 角后与z轴平行,成为J2。 3。立体绕J2轴转θ 角 4。从J2返回J1。 5。从J1返回J。
J2 J
J2
z
J1
z
J1
z
J1
x
y
x
y
x
y
35
投影变换
36
投影变换
显示器只能用二维图形表示三维物体,因此三维 物体就要靠投影来降低维数得到二维平面图形 把三维物体转变为二维图形的过程称为投影变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
错切变换
1 b d 1 T g h 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
三维错切变换中,一个坐标的变化受另外两个坐
标变化的影响。
如果变换矩阵第一列中元素d和g不为0,产生沿x
同理可得,绕y轴旋转变换:
x ' z sin x cos y' y z ' z cos x sin
z 绕y轴旋转 x
cos 0 T sin 0
0 sin 1 0 0 cos 0 0
计算机图形学(三维几何变换)

有些图形系统,对设备坐标系进行了规范化,将坐标 范围限定在区间{x, y, z | 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}内,称为 标准化设备坐标系
Y
P’(x’,y’,z’) P(x,y,z)
sin cos 0 0 x 0 y (3) 1 z
X
x cos y sin z 0
Z
旋转的图示
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以图形中心为中心进行缩放的步骤
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18
以图形中心为中心的缩放变换
以图形中心为中心的缩放 然后再对每一点按照式(*)作变换. 最后再沿x, y和z方向平移xp, yp和zp,把经过缩放 的图形移回原处.
(xp,yp,zp)
以图形中心为中心进行缩放的步骤
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A
放缩
17
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以图形中心为中心的缩放变换
为了使缩放变换后的图形仍在原位臵附近,可另 以图形中心为中心的缩放 外定义一个相似中心点(xp,yp,zp). 先把整个图形沿x, y和z方向平移–xp, –yp和–zp, 相似中心就移到了坐标原点.
(xp,yp,zp)
视口
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8
Yv
世界坐标系
Y
y2 o x y z x2
观察坐标系
y1
X
计算机形学中的几何变换与投影技术

计算机形学中的几何变换与投影技术计算机形学是计算机科学与计算机图形学中重要的一个领域,它研究如何在计算机上对图形进行表示、创建、编辑和呈现。
其中,几何变换和投影技术是计算机形学中常用且核心的技术之一,它们在计算机图形学领域中被广泛应用。
一、几何变换在计算机图形学中,几何变换是指对图形进行平移、旋转、缩放和扭曲等操作,从而改变图形的位置、形状和大小,以满足特定需求。
1. 平移变换平移变换是对图形进行沿着指定方向和距离的移动。
在二维空间中,平移变换可以表示为:x' = x + dxy' = y + dy其中,(x', y')是平移后的坐标,(x, y)是原始坐标,(dx, dy)是平移的向量。
2. 旋转变换旋转变换是对图形进行绕指定点或绕原点的旋转操作。
在二维空间中,旋转变换可以表示为:x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中,(x', y')是旋转后的坐标,(x, y)是原始坐标,θ是旋转角度。
3. 缩放变换缩放变换是对图形进行放大或缩小的操作。
在二维空间中,缩放变换可以表示为:x' = x * sxy' = y * sy其中,(x', y')是缩放后的坐标,(x, y)是原始坐标,(sx, sy)是缩放因子。
4. 扭曲变换扭曲变换是对图形进行形状的变换,使得某些部分被拉伸或收缩。
扭曲变换可以通过矩阵运算进行表示,具体操作较为复杂。
二、投影技术在计算机图形学中,投影技术是指将三维空间中的图形映射到二维平面上的过程。
常见的投影技术包括平行投影和透视投影。
1. 平行投影平行投影是一种保持图形中平行线在投影后保持平行的投影方式。
在三维空间中,平行投影可以表示为:x' = xy' = y其中,(x', y')是投影平面上的坐标,(x, y)是三维空间中的坐标。
计算机图形学第六章三维变换与投影.ppt

1 0
0 0 1 0
Tx Ty Tz 1
Tx,Ty,Tz是平移参数。
P’
(6-3)
6.2.2 比例变换
比例变换的坐标表示为:
x'
y'
xSx yS y
z' zS z
因此,三维比例变换矩阵为:
Sx 0 0 0
T
0
Sy
0
0
0
0
0 0
Sz 0
0 1
Sx,Sy,Sz是比例系数
A’ A
(6-4)
6.2.3 旋转变换
三维基本几何变换是指将 P(x, y点, z) 从一个坐标 位置变换到另一个坐标位置 P'(的x, y过, z'程) 。三维基 本几何变换和二维基本几何变换一样是相对于坐 标原点和坐标轴进行的几何变换,包括平移、比 例、旋转、反射和错切5种变换。因为三维变换 矩阵的推导过程和二维变换矩阵的推导过程类似, 这里只给出结论。
关于y轴反射变换的坐标表示为:
xy''
x y
z' z
因此,关于y轴的三维反射变换矩阵为:
1 0 0 0
T
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
(6-9)
3、关于z轴的反射
关于z轴反射变换的坐标表示为:
x' y'
x y
z' z
因此,关于z轴的三维反射变换矩阵为:
1 0 0 0
T
0
1 0 0
0 0 1 0
(6-7)
6.2.4 反射变换
三维反射可以分为:关于坐标轴的反射和 关于坐标平面的反射两类。
计算机形学三维几何变换

计算机形学三维几何变换计算机形学是计算机科学中的一个重要分支,主要研究计算机图形学中的各类图形的数学描述方法和计算机图形学技术的应用。
其中,三维几何变换是计算机形学中的一项重要内容。
本文将介绍三维几何变换的概念、常见的三维几何变换操作以及其在计算机图形学中的应用。
一、概述三维几何变换是指对三维空间中的图形进行平移、旋转、缩放等操作,从而改变图形的位置和形状的过程。
三维几何变换是计算机图形学中非常常用的操作,可以实现物体的移动、旋转、缩放等效果。
二、三维几何变换的操作1. 平移(Translation)平移是指将图形沿指定的轴方向移动一定距离。
平移操作可以简单地理解为将图形的每一个顶点坐标向指定方向移动相同距离。
平移操作的数学表达式为:\[T(x,y,z) = (x + dx, y + dy, z + dz)\]其中,(x,y,z)表示原始顶点坐标,(dx,dy,dz)表示沿(x,y,z)轴平移的距离。
2. 旋转(Rotation)旋转是指将图形绕指定轴进行旋转。
旋转操作可以用欧拉角、四元数、矩阵等多种方式进行计算。
旋转操作的数学表达式为:\[R(x,y,z) = M(x,y,z)\]其中,(x,y,z)表示旋转前的坐标,M表示旋转变换矩阵。
旋转变换矩阵的计算方式有很多,最常见的是使用旋转角度和旋转轴来计算旋转矩阵。
3. 缩放(Scaling)缩放是指将图形沿各个轴向相应的方向按比例进行扩大或缩小。
缩放操作可以用不同的比例因子对每个顶点坐标进行缩放计算。
缩放操作的数学表达式为:\[S(x,y,z) = (sx, sy, sz)(x,y,z)\]其中,(x,y,z)表示原始顶点坐标,(sx,sy,sz)表示在x轴、y轴和z轴方向的缩放比例。
4. 其他变换操作除了平移、旋转和缩放之外,三维几何变换还可以包括倾斜、翻转、剪切等其他操作。
这些操作都是通过对图形的顶点坐标进行适当的数学计算而实现。
三、三维几何变换的应用三维几何变换在计算机图形学中有广泛的应用。
投影变换(计算机图形学)资料

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10
正投影之三视图
当投影面与某个坐标轴垂直 时,得到的空间物体的投影 为正投影(三视图)
1. 三视图分为正视图、侧视图
和俯视图.
2. 对应的投影平面分别与x轴, y 轴,z轴垂直。
三视图
三视图常用于工程制图,因为在其上可以测量距离和
角度。但一个方向上的视图只反映物体的一个侧面,只有 将三个方向上的视图结合起来,才能综合出物体的空间结 构和形状。
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4
投影变换的概念
近平面
远平面 Z
X
投影平面 V′ U′
窗口 X′ Y′
Y 投影线
视点
透视投影
视点:三维空间中任意选择的一个点,亦称为投影中心 投影平面:不经过视点的任意一个平面 投影线:从视点向投影平面的引出的任意一条射线
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x
xq zc
yq
0
0 zc
xc yc
0 0
y z
xp
xq q
,
yp
yq q
q 0
0
1
zc
1
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8
平行投影
平行投影可以看成投影中心移向无穷远时的极限情况。
设给定的投影方向为( xd , yd , zd )。在要投影的对象附近任取一点
(xs , ys , zs),以此点为起点作一射线,其指向是投影方向的反方向,
oz 和 轴的单位方向向量为 (a11, a12 , a13 ) 、 (a21, a22 , a23 ) 和
(a31, a32 , a33 ) ,那么从坐标系oxyz到 o xyz 的变换是
第六章 三维变换与投影

0 1 0 y0
0 0 1 z0
0 0 0 1
(6-18)
(2)将P0 P1 绕y轴顺时针旋转y角,与yoz平面重合
cos y 0 T2 sin y 0 0 sin y 1 0 0 cos y 0 0 0 0 0 1
。
(6-26) (6-27)
n3 cos cos y cos x cos2 cos2
(6-28)
将式(6-25)~(6-28)代入(6-19)、(6-20)、
(6-22)和(6-23)中,即可计算出T2、T3、T5和T6。
复合变换矩阵
T T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
第六章
本章学习目标
三维几何变换矩阵 正交投影 斜投影 透视投影
本章内容
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
三维图形几何变换 三维基本几何变换矩阵 三维复合变换 坐标系变换 平行投影 透视投影 本章小结
6.1 三维图形几何变换
6.1.1三维几何变换矩阵
sin( ) 0 cos cos sin T sin( ) cos 0 0 0 1 0 sin cos 0 0 0 1
(6-30)
坐标系反射变换相当于坐标系不动,点进行反射, 二者效果一致,坐标系变换的反射变换矩阵保持不 变。
6.3.1相对于任一参考点的三维几何变换
在三维基本几何变换中,比例变换和旋转变换是与参 考点相关的。相对于任一参考点Q(x,y,z)的比例变换 和旋转变换应表达为复合变换形式。变换方法是首先 将参考点平移到坐标原点,相对于坐标原点作比例变 换或旋转变换,然后再进行反平移将参考点平移回原 位置。
计算机形学中的几何变换与投影算法基础

计算机形学中的几何变换与投影算法基础在计算机图形学中,几何变换与投影算法是实现三维对象表示、变换和可视化的基础。
通过对三维空间中的对象进行变换和投影,可以将其呈现在二维平面上,从而实现更直观的可视化效果。
本文将介绍计算机形学中的几何变换和投影算法的基本概念和应用。
一、几何变换几何变换是指通过对三维对象进行平移、旋转、缩放等操作,改变其在空间中的位置和形状。
在计算机图形学中,常用的几何变换包括平移、旋转、缩放和剪切。
1. 平移平移是指将对象沿着指定方向移动一定的距离。
在计算机图形学中,平移变换可以通过将对象的每个顶点坐标增加一个平移向量来实现。
平移变换公式如下:[x'] = [1 0 0 tx] [x][y'] [0 1 0 ty] [y][z'] [0 0 1 tz] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中,(tx, ty, tz)表示平移向量。
通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵,可以实现平移效果。
2. 旋转旋转是指将对象绕指定轴进行旋转。
在计算机图形学中,常用的旋转有绕X轴、Y轴和Z轴旋转。
旋转变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个旋转矩阵来实现。
旋转变换矩阵的形式如下:[x'] = [1 0 0 0] [x][y'] [0 cosθ -sinθ 0] [y][z'] [0 sinθ cosθ 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中,θ表示旋转角度。
通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵,可以实现旋转效果。
3. 缩放缩放是指改变对象的尺寸大小。
在计算机图形学中,缩放变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个缩放因子来实现。
缩放因子分别作用于X、Y和Z轴的坐标,从而改变对象在各个轴上的尺寸。
缩放变换公式如下:[x'] = [sx 0 0 0] [x][y'] [0 sy 0 0] [y][z'] [0 0 sz 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中,(sx, sy, sz)表示缩放因子。
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⑹ 沿z含y错切
1 0 0 0
变换矩阵:
T sh, z(y) 0 1 f 0 0 0 1 0
0 0 0 1
错切变换:
[x y z 1]Tsh,z(y) = [x y z+fy 1] = [x' y' z' 1]
•.5旋转变换
与二维旋转变换类似,三维旋转变换可分为绕坐标轴 旋转变换和绕任意轴的旋转变换,这里我们先讨论前者。
绕Z轴旋转
对点进行比例变换: [x y z 1]·Ts = [Sx Sy Sz 1] = [x' y' z' 1]
注意:针对原点的比例变换
(6-5)
•6.2.3对称(反射)变换
三维对称变换包括对坐标轴和对坐标平面的对称: ⑴ 对x轴的对称变换
x' x
y
'
y
z ' z
(2)对y轴的对称变换
x' x
旋转、比例、错 切、对称
平移
a b c p
T = d
e
f
q
h i j r
k
m
n
s
透视投 影 (6-1)
总体比 例
6.1.2 三维几何变换
P' P T
x1' x2'
y1' y2'
z1'
z
' 2
1 x1
1
x2
y1
y2
z1 1 a
z2
1
d g
b e h
c f i
p
q
r
xn'
yn'
y'
y
z ' z
1 0 0 0
T 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0
T
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
(3)对z轴的对称变换
x' x
y
'
y
z ' z
1 0 0 0
T
0
1 0 0
0 0 1 0
0
0
0 1
(4) 对xoy平面的对称变换
x' x
y'
y
x
z
(y',z')
α
(y,z)
θ
z
o
y
x' = x
y' = ρcos(α+θ) = y*cosα- z*sinα z' = ρsin(α+θ) = y*sinα+z*cosα
1 0
0 0
Trx 0 cos sin 0 0 sin cos 0
0 0
0 1
y (x’, y’, z’) α
z
(x, y, z)
三维旋转变换可以看作是三个二维旋转变换,且旋转
轴分别为x,y,z轴。
旋转角度为θ时,点的旋转方向:
旋转轴 相应的旋转方向
x轴
从y轴到z轴
y轴
从z轴到x轴
z轴
从x轴到y轴
y (x’, y’, z’)
α
绕X轴变换
(x, y, z) 空间上的立体绕X轴旋 转时,立体上各点的X坐标 不变,只是Y、Z坐标发生 相应的变化。
第六章
本章内容
▪ 6.1 三维图形几何变换 ▪ 6.2 三维基本几何变换矩阵 ▪ 6.3 三维复合变换 ▪ 6.4 坐标系变换 ▪ 6.5 平行投影 ▪ 6.6 透视投影 ▪ 6.7 本章小结
三维几何变换算法
6.1 三维图形几何变换
6.1.1三维几何变换矩阵
同二维变换类似,三维变换同样引入了齐次坐标技术,在四维 空间(x,y,z,w)内进行讨论。定义了规范化齐次坐标以后,三维图 形几何变换就可以表示为物体顶点集合的规范化齐次坐标矩阵与某 一变换矩阵相乘的形式。用规范化齐次坐标表示的三维图形几何变 换矩阵是一个4×4方阵,简称为三维几何变换矩阵。
y
z ' z
变换矩阵为:
1 0 0 0
Tm,yozz
0
0
1 0 0 0 1 0
0
0 0 1
上述的对称变换结果如图所示。
Z
Z
Z
Y
Y
Y
X
X
X
图 分别对XOY(左)、XOZ(中)和YOZ(右)平面对称变换结果
•6.2.4 错切变换
错切变换是指三维立体沿x,y,z三个方向产生错切,错切变换 是画斜轴测图的基础,其变换矩阵为:
绕Y轴旋转
此时,Y坐标不变,X,Z坐 标相应变化。
x x
z
θ α
o
x' = ρsin(α+θ) = x*cosα + z*sinα y' = y z' = ρcos(α+θ) = z*cosα- x*sinα
cos 0 sin 0
Try
0
1
0
0
sin 0 cos 0
0
0
0
1
(x’, y’, z’)
1 b c 0 Tsh d 1 f 0
h i 1 0 0 0 0 1
[x y z 1]Tsh = [x+dy+hz bx+y+iz cx+fy+z 1] = [x' y' z 1] 由变换结果看出,一个坐标的变化受另外两个坐标变化的影响。
⑴ 沿x含y错切
1 0 0 0
变换矩阵:
Tsh, x( y) d 1 0 0 0 0 1 0
⑶ 沿y含x错切 变换矩阵:
1 b 0 0
Tsh, y( x) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
错切变换:
[x y z 1]Tsh,y(x) = [x y+bx z 1] = [x' y' z' 1]
⑷ 沿y含z错切 变换矩阵:
错切变换:
1 0 0 0
Tsh, y(z) 0 1 0 0 0 i 1 0 0 0 0 1
z ' z
变换矩阵:
1 0 0 0
Tm, xoy 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
(5) 对xoz平面的对称变换
x' x
y
'
y
z ' z
变换矩阵为:
(6) 对yoz平面的对称变换
1 0 0 0
Tm,xoz 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
x' x
y'
z
' n
1
xn
yn
zn
1
l
m
n
s
(6-2)
6.2 三维基本几何变换矩阵
6.2.1 平移变换
1 0 0 0
T
0
0
1 0
0 0 1 0
Tx Ty Tz 1
(6-3)
6.2.2 比例变换
(6-4)
Sx 0 0 0
T
0
Sy
0
0
0
0
0 0
Sz 0
0 1
其中Sx,Sy,Sz分别为沿x,y,z轴方向的比例因子。
[x y z 1]Tsh,y(z) = [x y+iz z 1] = [x' y' z' 1]
⑸ 沿z含x错切 1 0 c 0
变换矩阵: T sh, z(x) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
错切变换:
[x y z 1]Tsh,z(x) = [x y z+cx 1] = [x' y' z' 1]
0 0 0 1
错切变换:
[x y z 1]Tsh,x(y) = [x+dy y z 1] = [x' y' z 1]
⑵ 沿x含z错切
变换矩阵: 错切变换:
1 0 0 0
T sh, x(z) 0 1 0 0 h 0 1 0 0 0 0 1
[x y z 1]Tsh,x(z) = [x+hz y z 1] = [x' y' z' 1]