空间任意力系
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第五章 空间任意力系
z B x
F
C β
α
y
A x1
y1
第五章 空间任意力系
例题6-2
§5–2 力对轴的矩
解： 1.力对轴AB的矩。
M ′ AB (F ) = M B (F )
z B x
例题 5-2 F
C β
α
y
F′
= − F cos β cos α ⋅ BC
= −3.18 N ⋅ m
应用解析式求解力对点B的矩。
M x (F ) = yFx − zFy
第五章 空间任意力系
例题6-1
§5–2 力对轴的矩
例题 5-1
由图示可以求出力F 解： 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点C 的坐标分别 为：
Fx = F cos αcos β
Fy = F cos α sin β
Fz = F sin α
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦
cos( MO , i ) = Mx = 0.845 MO
cos( MO , j ) =
cos( MO , k ) =
My MO
= −0.531
Mz = 0.064 MO
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
例题 5-2
例5-2 在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴 AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50 N ，且α=45°，β=60°。
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
由
例题 5-1
M x (F ) = yFx − zFy
My (F ) = zFx − xFz
F
C β
α
y
A x1
y1
第五章 空间任意力系
例题6-2
§5–2 力对轴的矩
解： 1.力对轴AB的矩。
M ′ AB (F ) = M B (F )
z B x
例题 5-2 F
C β
α
y
F′
= − F cos β cos α ⋅ BC
= −3.18 N ⋅ m
应用解析式求解力对点B的矩。
M x (F ) = yFx − zFy
第五章 空间任意力系
例题6-1
§5–2 力对轴的矩
例题 5-1
由图示可以求出力F 解： 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点C 的坐标分别 为：
Fx = F cos αcos β
Fy = F cos α sin β
Fz = F sin α
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦
cos( MO , i ) = Mx = 0.845 MO
cos( MO , j ) =
cos( MO , k ) =
My MO
= −0.531
Mz = 0.064 MO
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
例题 5-2
例5-2 在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴 AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50 N ，且α=45°，β=60°。
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
由
例题 5-1
M x (F ) = yFx − zFy
My (F ) = zFx − xFz
空间任意力系
2
所以空间任意力系的平衡方程为：
F F F
x y
0, M x F 0 0, M z F 0
0, M y F 0
8
z
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。 因为
F 0 M (F ) 0 M (F ) 0
z x y
M F
z
MO
MO
7
§4-2
空间任意力系的条件
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
FR
F 0
i
2 2 x y
MO
z
M
2
2
Oi
0
根据：
FR
MO
F F F
M
x (F )
M
2
y (F )
M
z (F )
O x x O y y O z z
大小：
MO
M
x
(F )
M
2
y
(F )
M2zຫໍສະໝຸດ (F )2
6
方向：
M Ox cosM O , i MO cosM O , j M Oy MO
M F
x
M F
y
MO
M Oz cosM O , k MO
空间任意力系的简化
把研究平面任意力系的简化方法拿来研究空间任意力系的
简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有
空间一般力系
F1 , F2 , F3 Fn
向O点简化 （O点任选）
4
根据力线平移定理：空间任意力系＝＞空间汇交力系+空间
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
理论力学-空间任意力系
F1 3000N, F2 6000N, FAx 1004N, FAz 9397N, FBx 3348N, FBz 1799N,
例3-10
已知： Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N,
Fr 0.36F , R 50mm, r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , F（2）A、B处约束力 （3）O 处约束力
空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不 改变力偶对刚体的作用效果.
只要保持力偶矩不变，力偶 可在其作用面内任意移转，且可 以同时改变力偶中力的大小与力 偶臂的长短，对刚体的作用效果 不变.
力偶矩矢是自由矢量
三．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2,......, Mn rn Fn
FR 0, MO 0
力螺旋
一个合力偶，此时与简化中心无关。
FR ' 0, M O 0, FR ' // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
FR 0, MO 0, FR, MO 既不平行也不垂直
力螺旋中心轴距简化中心为
d M O sin
FR
平衡
FR 0, MO 0
平衡
§3–5 空间任意力系的平衡方程
M y Miy M 2 80N m M z Miz M1 M 4 cos 45 M5 cos 45 193.1N m
例3-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于 z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解： 取整体，受力图如图所示.
Fy 0 0 0
Fz 0
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
第5章 空间任意力系
求： （5）O 处约束力
研究对象2：工件受力图如图,列平衡方程
F
x
0
FOx Fx 0
F
F
y
0
FOy Fy 0
z
x
0
FOz Fz 0
100FZ M x 0
30 FZ M y 0
100Fx 30 Fy M z 0
M F 0 M F 0
y
M F 0
z
FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN
M x 1.7kN m, M y 0.51kN m, M z 0.22kN m
例5-5
已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力
解：研究对象，长方板,列平衡方程
M 0
平衡
§5-2 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零.
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴 中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一 个坐标轴的矩的代数和也等于零.
列平衡方程
F 0 P P1 FA FB FD 0 M F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0
z
x
M F 0
y
0.8P 1 0.6 P 1.2 FB 0.6 FD 0
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
空间任意力系
′ FR = 0, M O = 0
{
∑ X = 0, ∑ Y = 0, ∑ Z = 0 ∑ M ( F ) = 0, ∑ M ( F ) = 0, ∑ M ( F ) = 0
x y z
对于空间平行力系，
z
∑Z =0 ∑ M (F ) = 0 ∑ M (F ) = 0
x y
O
y
x
6.5.3 重心 刚体在地表面无论如何放置，其平行分布重力的 合力的作用线都过此物体上一个确定的点，该点称为 物体的重心。 均质物体的重心位置只取决于其体积和形状,与 物体的几何中心重合，也称为形心，形心坐标的计 算公式为，
FCy
FCx
− FAy • 5 + FAx • 5 = 0
C
FAy
5
FAx
FAx = 0
A
5
∑ X = 0, ∑ Y = 0,
FCx + F1 + FAx = 0
FAy + FCy = 0
FCx = −50kN
FCy = 0
对整体：∑ X = 0,
− FBx + F1 = 0
FBx = 50kN
4-16（b）：求A、B、C约束反力。
i =1 i =1 i =1
n
n
n
合力矩定理：
若空间任意力系可以合成为一个合力，则其 合力对于任一点（或轴）之矩等于力系中各力对 于同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）。 表示为，
M O ( FR ) = ∑ M O ( Fi )
n
M e ( FR ) = ∑ M e ( Fi )
i =1
i =1 n
(2) 负面积法 将图形补足成一 规则的矩形，则：
空间任意力系
mO ( F ) r F i x X j k y z Y Z
z
mo ( F )
F
B
r
O
x
h
A
y
( yZ Yz)i ( zX Zx) j ( xY Xy)k
15
三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系
[mo ( F )]z mo ( F ) cos 2AOB cos 2aob mo ( Fxy ) mz ( F )
30
⑶ FR '与 M o 斜交；力系最终简化为力螺旋，但中心轴 不过简化中心。
M o FR '
FR '
· o
=
Mo"
·
o
Mo '
=
FR
o
·d · o'
Mo '
M o " M o sin d FR ' FR '
31
4、 FR ' 0, M o 0; 力系平衡。 三、空间任意力系的平衡方程
1、一次投影法（直接投影法）
Fx F cos Fy F cos F F cos z
4
2、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴间夹角不易确定
时，可先将力投影到坐标面内，
（力在坐标面内的投影为矢量） 然后再将力在坐标面内的投影向 坐标轴上投影，即
Fxy F sin
繁杂，列方程时可以不去考虑，只需保证所列方程独立即 可。
32
四、空间平行力系的平衡方程 若力系中各力的作用线互相平 行，称为空间平行力系。 设力系中各力作用线与z轴平行 F3
z
O
Fn F1 y
z
mo ( F )
F
B
r
O
x
h
A
y
( yZ Yz)i ( zX Zx) j ( xY Xy)k
15
三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系
[mo ( F )]z mo ( F ) cos 2AOB cos 2aob mo ( Fxy ) mz ( F )
30
⑶ FR '与 M o 斜交；力系最终简化为力螺旋，但中心轴 不过简化中心。
M o FR '
FR '
· o
=
Mo"
·
o
Mo '
=
FR
o
·d · o'
Mo '
M o " M o sin d FR ' FR '
31
4、 FR ' 0, M o 0; 力系平衡。 三、空间任意力系的平衡方程
1、一次投影法（直接投影法）
Fx F cos Fy F cos F F cos z
4
2、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴间夹角不易确定
时，可先将力投影到坐标面内，
（力在坐标面内的投影为矢量） 然后再将力在坐标面内的投影向 坐标轴上投影，即
Fxy F sin
繁杂，列方程时可以不去考虑，只需保证所列方程独立即 可。
32
四、空间平行力系的平衡方程 若力系中各力的作用线互相平 行，称为空间平行力系。 设力系中各力作用线与z轴平行 F3
z
O
Fn F1 y
5 理论力学--空间任意力系
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
z z
F
O
F A
B
d
A x
x
O d
y a F x
y
y
Fy
b
Fx
图5-2
力F对z轴的矩，就等于力F在垂直于z轴的Oxy平面 上的投影Fxy对z轴与该平面的交点O的矩(见图5-2)
M z ( F ) M O (Fxy ) Fxy d 2Oab
力对轴的矩是一个代数量。 正负号规定：右手螺旋规则。
z
任选O点为简化中心,将各力
平行搬移到O点(见图5-4)。 根据力线平移定理，将各力 平行搬移到O点，得到一空间汇 交力系；和一附加力偶系。
F1 ' F1 , F2 ' F2 , , Fn ' Fn ;
M1 M O (F1 ), M 2 M O (F2 ), , M n M O (Fn ) .
x 2 Ax
y 1 Ay
C
F2
x 0
z
1
Az
FAy
1
2
y
x
z
1
2
z
图5-9
解得
FAx 100kN FAy 200kN FAz 400kN M x 600kN m M y 500kN m M z 400kN m
例5-3 如图5-10(a)所示板ABCDEF由六根链杆支承，正方形 ABCD位于水平面内，EF平行于CD。试求沿AD方向作用有力F时， 六根杆的内力。 B 4 C 3 a 解： 取悬臂刚架ABCDEFG为研究 F 5 2 对象，受力如图5-10(b)所示。 D a
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M z F xFy yFx 0 l bF sin Fl bsin
22
例题
例题2
在直角弯杆的C端作用着力F，试求这力对坐标轴以及坐 标原点O的矩。已知OA =a = 6 m，AB=b=4 m，BC=c=3 m， α=30º,β=60º。
23
例题
例题2
解：由图示可以求出力F 在 各坐标轴上的投影和力F 作 用点C 的坐标分别为：
25
例题
例题2
力F 对原点O之矩方向余弦：
cos( MO , i)
Mx MO
0.845
cos( MO ,
j)
My MO
0.531
cos( MO , k)
Mz MO
0.064
26
§6–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
第6章 空间任意力系
§6–1 空间汇交力系 §6–2 力对点的矩和力对轴的矩 §6–3 空间力偶 §6–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩 §6–5 空间任意力系的平衡方程 §6–6 重 心 例 题
1
桅杆起重机
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脚拉杆
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手摇钻
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果 CD=b ， 杆 BC 平 行 于 x 轴 ,
杆CE平行于y轴，AB和BC的 长度都等于l。试求力F 对x， y和z三轴的矩。
20
例题
解： 方法1 应用合力矩定理求解。
力F 沿坐标轴的投影分别为：
Fx F sin
Fy 0
Fz F cos
由于力与轴平行或相交 时力对该轴的矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD F l bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD F l bsin
例题1
21
例题
例题1
方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。
M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
2.力对轴的矩
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h （6–6） 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平 面内），力对该轴的矩为零.
16
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
如图：力 F ,力 F 在三根轴上的分力 Fx ，Fy ，Fz ，
力 F 作用点的坐标 x, y, z 则：力 F 对 x, y, z轴的矩
Fx F coscos
Fy F cos sin
Fz F sin
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
则可求得力F 对坐标轴之矩以及对原点O之矩的大小和方向。
24
例题
例题2
力F 对坐标轴之矩为：
M x aF sin cF cos sin 105 N m
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1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积
(2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面.
MO(F) r F （6–3）
14
又 r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
则 MO (F) (r F) (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk )
因为力在坐标轴上的投影分别为：
Fx F sin , Fy 0, Fz F cos
力作用点D 的坐标为：
x l, y l b, z 0
则 M x F yFz zFy l b F cos 0 Fl bcos M y F zFx xFz 0 l F cos Fl cos
1．空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，各 Mi Mo(Fi ) 一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
35
空间汇交力系的合力
FR Fi Fixi Fiy j Fixk
称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
Mo Mi Mo (Fi )
称为主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
Mo M x (F)i M y (F) j M z (F)k
式中 M x (F ), M y (F ), M z (F ) 分别表示各力
对 x，y ，z ,轴的矩。
36
2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
1） 合力
当 FR 0, MO 0 最后结果为一个合力
合力作用点过简化中心.
即：力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩.
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩
的矢量和. MO d FR MO (FR ) MO (F)
合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.
19
例题
例题1
手柄ABCE在平面Axy内, 在D处作用一个力F，如图所 示，它在垂直于y轴的平面内， 偏离铅直线的角度为α。如
rBA F1 rBA F2 rBA F1 M (F1, F1)
30
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的 作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
=
F2 F3 F3
=
31
自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
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已知：Fn=1410N，=20，=25 。试计算 Ft，Fa ，Fr。
Fn在Oxy平面上的分力Fxy，其大小为
Fxy Fn cos 1410 cos 20N 1325 N
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Fr 482 N
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已知：Fn=1410N，=20，=25 。试计算 Ft，Fa ，Fr。
i jk x y z
Fx Fx Fx
( yFx zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k （6–4） 力对点O的矩 MO (F) 在 三个坐标轴上的投影为
Mo (F)x yFz zFy Mo (F) y zFx xFz
Mo (F)z xFy yFz （6–5） 15
然后再把Fxy投影到轴x、y，得
Fx Fn Fxy sin Fn cos sin 1410cos20sin 25N 560N
Fy Ft Fxy cos Fn cos cos 1410cos20cos25N 1201N
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Fr 482 N Fxy 1325 N
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已知圆柱斜齿轮所受的齿合力Fn=1410N，齿轮压力角=20，螺旋角 =25 。试计算斜齿轮所受的圆周力Ft、轴向力Fa和径向力Fr。
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解 取坐标系如图，使x、y、z分别沿齿轮的轴向、圆周的切线方向和径向。 先把齿合力Fn向Z轴和Oxy坐标平面投影，得
Fz Fr Fn sin 1410 sin 20N 482 N
32
3．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2,......, Mn rn Fn
有 M Mi
M x Mix , M y Miy , M z Miz
M 为合力偶矩矢，等于各分 力偶矩矢的矢量和.
33
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
返回
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
8
间接（二次）投影法
Fxy F sin Fx F sin cos
Fy F sin sin Fz F cos
9
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力
FR
F i
合矢量（力）投影定理
M x (F) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz )
=0 Fy z Fy x = Fz y Fy z （6-7）
17
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz )
= Fx z +0 - Fz x = Fx z Fz x （6-8）
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 （6–1）
方向余弦
cos(FR , i )
Fx
FR
cos(FR ,
j)
Fy FR
cos(FR , k )
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的 作用线通过汇交点.
10
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即 FR 0 由式（6–1）
Fx 0 Fy 0
(6-2)
称为空间汇交力系的平衡方程.
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
11
有一空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由 垂直于两墙的铵接二力杆OA、OB和钢绳OC组成。已 知＝30，＝60，点O处吊一重力G＝1.2kN的重 物。试求两杆和钢绳所受的力。图中O、A、B、D四 点都在同一水平面上，杆和绳的重力均略去不计。
M z (F) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) = - Fx y Fy x +0
= Fy x Fx y （6-9）
18
比较（6-5）、（6-7）、（6-8）、（6-9）式可得
Mo (F)x yFz zFy M x (F )