广东省深圳实验学校高中部2021-2021学年高一数学上学期期末考试试题(扫描版,无答案)
2021年广东省深圳市南山实验学校高一数学理上学期期末试题含解析
2021年广东省深圳市南山实验学校高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，周期为π，且在（，）上单调递减的是（）A．y=sinxcosx B．y=sinx+cosx C．y=tan（x+）D．y=2cos22x﹣1参考答案：A【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：由于y=sinxcosx=sin2x的周期为=π，且在（，）上单调递减，故满足条件．由于y=sinx+cosx=sin（x+）的周期为2π，故不满足条件．由于y=tan（x+）的周期为π，在（，）上，x+∈（，），故函数单调递增，故不满足条件．由于y=2cos22x﹣1=cos4x 的周期为=，故不满足条件，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．2. 下列函数中，与函数y=x相同的函数是 ( ) A． B．C． D．参考答案：C3. 一个三角形具有以下性质：（1）三边组成一个公差为1的等差数列；（2）最大角是最小角的2倍.则该三角形的最大边长为（）A．6 B．5 C. 4 D．3参考答案：A4. 已知，，则（）A． B． C．D．参考答案：D5. 若函数，则的值是（）．A．3 B．6 C．17 D ．32参考答案：A6. 一个三角形的两内角分别为45°和60°，如果45°角所对的边长是6，那么60°角所对的边长为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】HP：正弦定理．【分析】由45°和60°分别求出sin45°和sin60°的值，再根据45°角所对的边长是6，利用正弦定理即可求出60°角所对的边长．【解答】解：设60°角所对的边长为x，根据正弦定理得： =，解得x==3，则60°角所对的边长为3．故选A7. 中，三内角成等差数列，成等比数列，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C．等腰直角三角形 D. 等边三角形参考答案：D略8. 三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,已知下列条件：①b=3,c=4,; ②a=5,b=8,;③c=6,b=,; ④c=9,b=12,其中满足上述条件的三角形有两解的是：（）A.①②B.①④C.①②③D.③④参考答案：A略9. 阅读如图的程序框图，若输入的分别是，则输出的分别是（）A. B. C. D.参考答案：B考点：程序框图.【点睛】本题主要考查程序框图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. 过点且倾斜角为60°的直线方程为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】直线的点斜式方程． 【专题】直线与圆．【分析】由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化简即可． 【解答】解：由题意可得直线的斜率k=tan60°=，∴直线的点斜式方程为：y ﹣1=（x ﹣），化简可得y=x ﹣2故选：A ．【点评】本题考查直线的点斜式方程，涉及直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的频率为．参考答案：0.312. 设关于x 的方程x 2 – 2 xsin θ – ( 2 cos 2 θ + 3 ) = 0，其中θ∈[ 0，]，则该方程实根的最大值为 ，实根的最小值为 。
2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知角，则符合条件的最大负角为（ ）2022,Z 180k k α-⋅∈=A ．B ．C ．D ．–42–220–202–158【答案】A【分析】直接代入的值即可求解.k 【详解】依题意，，2022,Z 180k k α-⋅∈=取时，有最大负角.11k =01118420222α-=⋅=-故选：A.2．若函数（且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则243x y a +=+0a >1a ≠A A θ（ ）3πsin 2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C D 【答案】C【分析】求出点的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得的值.A 3πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】当，即时，，所以，240x +=2x =-4y =()2,4A -所以，由诱导公式可得cos θ==3πsin cos 2θθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭故选：C.3．已知，则的值为（ ）12cos(),cos()33αβαβ+=-=cos cos αβA ．0B ．12-C ．D ．0或±1212【答案】C【分析】利用两角和差的余弦公式结合条件即得.【详解】因为()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=两式相加可得，即.2cos cos 1αβ=1cos cos 2αβ=故选：C.4．设集合，，若，则的取值范围是{}2|42A y y x x a ==-+{}2|sin 2sin B y y x x ==-+A B A ⋃=a （ ）A ．B ．C ．D ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦7,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦(],1-∞[)7,+∞【答案】A【分析】分别求出集合、的范围，利用的性质即可求解.A B A B A ⋃=【详解】依题意，对于集合：A ，()224222424y x x a x a a =-+=-+-≥-所以；{}|24A y y a =≥-对于集合：B ，()22sin 2sin sin 11y x x x =-+=--+因为，所以，1sin 1x -≤≤31y -≤≤所以；{}|31B y y =-≤≤因为，所以，A B A ⋃=B A ⊆所以，解得，243a -≤-12a ≤故选：A.5．已知函数，，若，，使得，则()2log f x x=()2sin g x a x=-[]11,2x ∃∈[]20,2πx ∃∈()()12f x g x =实数的取值范围是（ ）a A ．B ．()(),23,-∞-⋃+∞(][),23,-∞-+∞ C ．D ．()2,3-[]2,3-【答案】D 【分析】求出函数在上的值域为，求出函数在上的值域为，()f x []1,2[]0,1()g x []0,2π[]2,2a a -+分析可知，，结合补集思想可求得实数的取值范围.[][]0,12,2a a -+≠∅ a 【详解】当时，，[]11,2x ∈()[]121log 0,1f x x =∈当时，，[]20,2πx ∈()[]222sin 2,2g x a x a a =-∈-+因为，，使得，[]11,2x ∃∈[]20,2πx ∃∈()()12f x g x =所以，，[][]0,12,2a a -+≠∅ 考查的情形，则或，解得或，[][]0,12,2a a -+=∅ 20a +<21a ->2a <-3a >故当时，.[][]0,12,2a a -+≠∅ 23a -≤≤故选：D.6．已知，则（ ）5πsi 2n 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫+=⎪⎝⎭A ．B ．C ．D2125-1725-【答案】B【分析】利用诱导公式和倍角公式即可求解.【详解】依题意，πππcos 2cos 2πcos 2333ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，22π21712135252sin α=⎛⎫⎛⎫--=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.7．函数对任意实数，都有，则的最小值为（ ）()()()sin 20f x x ϕϕ=+>x ()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ϕA ．B ．C ．D ．ππ3π4π6【答案】C【分析】由已知得是最大值或最小值，是函数图象的对称轴，利用正弦()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭π8x =函数的对称轴可得结论．【详解】解：由知是最大值或最小值，()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭π8f ⎛⎫⎪⎝⎭所以，是的一条对称轴的方程，π8x =()f x 所以，满足，，ππ2π82k ϕ⨯+=+Z k ∈所以，()ππZ 4k k ϕ=+∈因为，所以最小值为.0ϕ>π4故选：C.8．已知定义在R 上的奇函数，满足，当时，，若函数()()20f x f x -+=(]0,1x ∈()2log f x x=-，在区间上有10个零点，则m 的取值范围是（ ）()()()sin πF x f x x =-[]1,m -A ．B ．[)3.5,4(]3.5,4C ．D ．(]5,5.5[)5,5.5【答案】A【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将()f x ()sin πx 的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规()()()sin πF x f x x =-()f x ()sin πx 律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由得是一个周期为2的奇函数，当()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-()f x 时，，因此，(]0,1x ∈()2log f x x =-211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()10f =因为是奇函数，所以 ，，()f x ()00f =112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ()10f -=且的周期为，且，，，，()()sin πg x x =2π2πT ==()10g -=112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()00g =112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭()10g =求的零点，即是与的交点，如图：()()()sin πF x f x x =-()f x ()g x为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，因此交点也()f x ()g x []1,1-()f x ()g x 呈周期出现，由图可知的零点周期为，若在区间上有10个零点，则第10个零点坐()F x 12[]1,m -标为，第11个零点坐标为，因此()3.5,0()4,0 3.54m ≤<故选：A二、多选题9．下列函数中，既为偶函数又在上单调递减的是（ ）,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．sin y x=sin y x=πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭tan cos y x x=-【答案】AB【分析】逐项研究函数的奇偶性与单调性即可.【详解】对于A ，∵，且函数的定义域为，sin sin x x-=sin y x=R ∴函数为偶函数，又时，，且函数在sin y x =0x >sin sin x x =sin y x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴函数在上单调递减，故A 符合题意；sin y x =,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对于B ，∵，且函数定义域为，()sin sin x x-=sin y x=R ∴函数为偶函数，当时，，sin y x =π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin sin y x x ==-且函数在上单调递减，sin y x =-π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭∴函数在上单调递减，故B 符合题意；sin y x =π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ，∵，πcos sin 2y x x⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴函数在上单调递增，故C 不符合题意；πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对于D ，记，()tan cos y f x x x==-则，∴，()()()tan cos tan cos f x x x x x -=---=--()()f x f x -≠∴函数不是偶函数，故D 不符合题意.tan cos y x x =-故选：AB.10．已知，则下列说法正确的是（ ）0log 2022log 2022a b <<A ．B ．1b a >>22a b--<C ．D ．若，则222b a a b +>0m >b b ma a m +<+【答案】BCD【分析】根据题干条件得到判断A ；由在上单调性判断B ；由基本不等式得1a b >>2y x -=()0,∞+到判断C ；作差法比较出 D.222b a a b +>b b m a a m +<+【详解】解：因为，所以，0log 2022log 2022a b <<1,1a b >>不妨令，则，故，故A 错误，0log 2022log 2022a b m <<=2022,2022m m a b >=1a b >>因为在上单调递减，故，B 正确；2y x -=()0,∞+22a b --<因为，故C正确；22b a a b +>=2>若，因为，故，D 正确.0m >()()()()()0b a m a b m b a mb b m a a m a a m a a m +-+-+-==<+++b b ma a m +<+故选：BCD 11．若函数，分别是上的偶函数、奇函数，且，则()f x ()g x R ()()()2sin cos f x g x x x +=+（ ）A ．B ．()cos 2f x x=()sin 2g x x=C ．D ．()()()()f g x g f x <()()()()f g x g f x >【答案】BD【分析】根据函数的奇偶性列出方程组即可分别求出，即可求解.()f x ()g x 【详解】依题意，因为函数，分别是上的偶函数、奇函数，()f x ()g x R 所以，，()()=f x f x -()()g x g x -=-因为，()()()2sin cos 1sin 2f x g x x x x+=+=+所以，()()1sin 2f x g x x-+-=-所以，()()1sin 2f x g x x-=-由，()()()()1sin 21sin 2f x g x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩解得，，()1f x =()sin 2g x x=所以A 选项错误，B 选项正确；因为，，()()()sin 21f g x f x ==()()()1sin 21g f x g ==<所以，所以C 选项错误，D 选项正确；()()()()f g x g f x >故选：BD.12．下列说法正确的是（ ）A ．且则()lg ,f x x =()(),f m f n =10m n ⋅=B ．的大小关系为πcos 34πlog 3,sin ,23a b c -===b a c>>C ．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为13π8D ．函数，则使不等式成立的的取值范围是2()ln(1)22x xf x x -=-++(1)(2)f x f x +<x (,2)(1,)-∞-+∞ 【答案】BD 【分析】根据函数的图象性质可求解A ，根据对数函数的性质结合三角函数的定义可()lg ,f x x =比较B ，结合钟表图形可判断C ，利用函数的单调性和奇偶性解不等式可判断D.【详解】由可得，不妨设，()(),f m f n =lg lg m n=m n <则有，所以，A 错误；lg lg m n -=1⋅=m n所以，π1cos 32πsin 223b c --=====<b c >因为，3223<=<，所以，44log log 3=<c a<因为，所以，02<<2>所以，所以，2444log log log3b ==>=b a >所以，B 正确；b ac >>八点二十分，如图，,1812π25π32π,2π331218AOB AOC ∠=⨯=∠=⨯=所以，C 错误；25π2π13π18318BOC ∠=-=中，令解得或，2()ln(1)22x x f x x -=-++210x ->1x <-1x >所以定义域为，()(),11,-∞-⋃+∞，所以函数为偶函数，2()ln(1)22()x x f x x f x --=-++=当时，设，此时单调递增，1x >22xt =>122x x y t t -=+=+再结合复合函数单调性可知单调递增，2ln(1)y x =-所以在单调递增，2()ln(1)22x xf x x -=-++(1,)+∞则在单调递减，(),1-∞-所以由可得即，(1)(2)f x f x +<112x x <+<22321020x x x x ⎧-->⎨+>⎩解得或，故D 正确，<2x -1x >故选:BD.三、填空题13．______．πtan8=##1-1-【分析】利用同角三角函数的商数关系及二倍角的正弦余弦公式，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】.ππππsin2sin sin 1cos π8884tan 1ππππ8cos 2cos s 4in sin888⋅-=====⋅.114．为自然对数的底数，则____________．e 2.71828= 2lnsin30e︒=【答案】##140.25【分析】根据对数运算求解即可.【详解】解：.2111ln 2lnln2lnsin302241eeee4⎛⎫ ⎪︒⎝⎭====故答案为：1415．已知，且满足，则的值域为______.,αβ∈R 22sin 1αβ-=4sin αβ+【答案】1⎡-+⎣【分析】根据已知条件，运用三角函数的有界性，可得，再结合三角函数22sin 1αβ-=α的单调性，即可求解值域．【详解】解：，则22sin 1αβ-= 22si 1n αβ=-，可得，∴21112α--α，，2114sin 422αβαα+=+-α设，，211()422f ααα=+-α的对称轴为，()f α 4α=-在区间上单调递增，()fα∴⎡⎣∴()(1min f f α==-()1max f f α==+的值域为．4sin αβ∴+1⎡-+⎣故答案为：．1⎡-+⎣16．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.AB 2π【答案】(18π【分析】由弧长公式可求得等边的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面ABC 积减去2个的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.ABC 【详解】解：由题意可知，π3ABC ACB BAC ∠=∠=∠=设，AB r =则弧的长度为，所以，AB π2π3r =6r =设弧所对的扇形的面积为，AB S1πsin 23ABC S AB AC =⋅⋅⋅=则该鲁洛克斯三角形的面积为.(21π3236218π23ABC S S -=⨯⨯⨯-⨯=故答案为：.(18π四、解答题17．已知为斜三角形．ABC (1)证明：；tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=(2)若，求的值．1sin cos 2A A +=tan A 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）直接利用诱导公式与正切函数的和差公式即可求解.（2）式子两边同时平方，求出，再求出1sin cos 2A A +=3sin cos 8A A =-.sin cos A A -==【详解】（1）依题意，证明：，所以．180A B C +=- ()tan tan A B C +=-因为，所以，所以．90C ≠ tan tan 1A B ≠()tan tan tan 1tan tan A B A B A B ++=-由，可得．tan tan tan 1tan tan A B C A B +=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=（2）因为，1sin cos 2A A +=所以，221sin cos 2sin cos 4A A A A ++=则，3sin cos 8A A =-又，所以，0πA <<sin 0,cos 0A A ><所以sin cos A A -==则sin tan A A A ==⇒==18．已知函数，为自然对数的底数．()e cos 0x f x =-e e 2.71828= (1)写出的单调区间；()f x (2)若时，证明：．()()()1212f x f x x x =≠120x x +<【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为(,0)-∞(0,)+∞(2)证明见解析【分析】根据，结合指数函数单调性求解即可；()e 1,01e ,0x x x f x x ⎧-≥=⎨-<⎩（2）不妨设，进而根据，结合指对互化得，12x x <12e 1e 1x x t -=-=()()12ln 1,ln 1x t x t =-=+，再结合的范围即可得答案.01t <<t 【详解】（1）解：因为函数()e 1,0e cos 0e 11e ,0x x xx x f x x ⎧-≥=-=-=⎨-<⎩所以，根据指数函数的单调性得，当时，单调递增；当时，单调递减；0x ≥()f x 0x <()f x 所以，的单调减区间为，单调增区间为()f x (,0)-∞(0,)+∞（2）解：由（1）知，当时，，当时，0x <()()0,1f x ∈0x ≥()[)0,f x ∈+∞，不妨设，()()12f x f x = 12x x <∴120x x <<∴，，12e 1e 1x x t -=-=01t <<∴，即，121e e 1x x t -=-=12e 1,e 1x x t t =-=+∴两边取以为底的对数得，e ()()12ln 1,ln 1x t x t =-=+()212ln 1x x t ∴+=-，，01t << ()2ln 10t -<∴120x x +<19．已知函数，．()2ππ2cos cos 33f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R (1)求函数的最小正周期；()f x (2)若，求的最小值．12π,,,3x x m ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠m 【答案】(1)π(2)4π3【分析】（1）根据倍角公式、和差公式化简，代入周期公式即可求解.（2）利用整体换元思想，代入正弦函数最大值的相关性质即可求解.【详解】（1）依题意，由已知2π()cos 21)3f x x x =++2π2πcos 212cos cos 2sin )33x x x =++，1π2cos 21sin(2)126x x x =-+=-+所以最小正周期是；2ππ2T ==（2）时，， π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，12π,,,3x x m ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠等价于在区间上的有两最大值为，()f x π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2则， ππ22π62m -≥+，所以的最小值是．4π3m ≥m 4π320．已知函数()212xx f x a =++(1)若，证明为奇函数；()1cos10tan10sin 50a ︒=︒︒()f x (2)若在上恒成立，求的取值范围．()0f x ≥[]1,1x ∈-a 【答案】(1)证明见解析(2)1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据三角恒等变换得，，再判断函数奇偶性即可；12a =-()11212x f x =-+（2）由题知，再令，进而得，，再根据单调性求最值即()min 0f x ≥2x t =111y a t -=+++1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得答案.【详解】（1）解：()()a 1sin10cos10t n10tan 60sin 50sin n 5ta 100a ︒︒︒︒︒︒-⋅== sin10sin 60sin10cos10cos 60sin 50︒︒︒︒︒︒⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭sin10cos 60sin 60cos10cos10cos 60cos10sin 50︒︒︒︒︒︒︒︒-=⋅．sin(6010)cos1012cos 60cos10sin 50cos 60︒︒︒︒︒︒︒-=-⋅=-=-所以，，即，定义域为，12a =-()21211111122122212x x x x x f x +-=-=-=-+++R 所以，，()()2111122122x x x f x f x ---=-=-=-++所以，为奇函数.()f x （2）解：∵在上恒成立，()0f x ≥[]1,1x ∈-∴．()min 0f x ≥令，因为，所以， 2x t =[]1,1x ∈-1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，，，1111t y a a t t -=+=++++1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为 在单调递增，111y a t -=+++1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以， 即 ，min 1111312y a a -=++=++()min 13f x a =+所以，解得，103a +≥13a ≥-所以的取值范围是．a 1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭21．已知函数，且函数的图象与函数ππ()sin sin(π)4242x x f x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y g x =的图象关于直线对称．()y f x =π4x =(1)若，使得成立，求的集合；R θ∃∈()2cos g x θ<x (2)若存在，使等式成立，求实数m 的最大值和最小值π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2[()]()20g x mg x -+=【答案】(1)π|2π(Z)3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭(2)最小值为.3【分析】（1）根据对称性求得，进而将问题转化为求解即可；()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭πsin 16x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭（2）令，进而将问题转换为方程，有解,再结合基本不等()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭2m y y =+[]1,2y ∈式求解即可.【详解】（1）．π()sin 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin x x =+π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的图象上取点，其关于直线对称点的坐标为，()y g x =(,)x y π4x =π,2x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入，π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得， ()5πππ2sin 2sin π2sin 666y g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，使得成立，R θ∃∈()2cos g x θ<所以，，即，故，()2g x <πsin 16x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭πsin 16x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭所以，，解得ππ2π,Z 62x k k +≠+∈π2π(Z)3x k k ≠+∈所以，的集合为x π|2π(Z)3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭（2）解：因为，，()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以， ，ππ2π,,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦[]1,2y ∈所以，等式，可化为， ，2[()]()20g x mg x -+=2m y y =+[]1,2y ∈所以，存在，使等式成立时，方程，有解,π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2[()]()20g x mg x -+=2m y y =+[]1,2y ∈所以，由基本不等式的性质知，当时，m 的最小值为或2时，m 的最大值为y =1y =3；所以，实数m 的最大值为，最小值为322．已知函数，以下证明可能用到下列结论：时，①；②()ln f x x =(0,1)x ∈sin tan <<x x x ．ln 1x x <-(1)，求证：；(0,1)x ∈1ln 1x x <-(2)证明：．()111sin sin sin ln 2,N 23n n n n +++<≥∈ 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用时，，通过多次代换即可证明；(0,1)x ∈ln 1x x <-（2）首先（1）得，令，得到一系列不等式，相加即可.1sin ln 1x x x <<-12x =13x =1x n =【详解】（1）由已知时，，(0,1)x ∈ln 1x x <-用代换得，再以代换得， 1x +x ()ln 1x x +<x -x ()ln 1x x -<-即，即，得证()ln 1x x -->1ln 1x x >-1ln .1x x <-（2）由（1）可知时，(0,1)x ∈1sin ln 1x x x <<-则， 1sin ln ,1(0,1)x x x <-∈令得，12x =11sin ln ln 21212<=-令得，13x =113sin ln ln 13213<=-令得，x n =11sinln ln 111n n n n <=--相加得111111sin sin sin ln ln ln 1112311123n n +++<+++--- ，（）33ln 2ln ln ln 2ln 2121n n n n n =+++=⨯⨯⨯=-- 2,N n n ≥∈。
2020-2021学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.已知集合A ={x|(x −1)2<3x +7,x ∈R}，B ={x|xx+1≤0}，则A ∩B =( )A. [−1,0]B. (−1,0)C. (−1,0]D. [−1,0)2.已知函数f(x)={lgx,x >0x +11,x ≤0，则f(f(−1)=( )A. −2B. 0C. 1D. −13.设角α的终边经过点P(−1,y)，且tanα=12，则y 等于( )A. 2B. −2C. 12D. −124.已知偶函数f(x)在区间［0，+∞)单调增加，则满足f(2x −1)<f()的x 取值范围是( )A. ()B. ［)C. ()D. ［)5. 若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为M 和m ，则M −m =A. 8B. 7C. 6D. 56.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//， //，则// D.，使成立7.已知函数f(x)=2|cosx|sinx +sin2x ，给出下列四个命题：①函数f(x)的图象关于直线x =π4对称； ②函数f(x)在区间[−π4,π4]上单调递增； ③函数f(x)的最小正周期为π；④函数f(x)的值域为[−2,2].其中真命题的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.若一个函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，则称这个函数为偶函数，设偶函数y =f(x)的定义域为[−5,5]，若当x ∈[0,5]时，函数y =f(x)的图象如下图，则f(x)<0解集是( )A. (−2,0)∪(2,5]B. (−5,−2)∪(2,5)C. [−2,0]∪(2，5]D. [−5,−2)∪(2,5]9.sin(−1080°)=( )A. −12B. 1C. 0D. −110. 函数f(x)=(12)x −15x 的零点位于区间( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)11. 《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC =a ，BC =b ，其中a >b >0，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a+b 2>√abB. a 2+b 2>2abC. 2aba+b <√abD. a+b 2<√a2+b 2212. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )A. y =x 3B. y =−|x|C. y =−x 2+1D. y =2|x|二、单空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 不等式组{sinx ≥02cosx −1>0的解集为______ ．14. 已知tanα=2，则cos2α(sinα−cosα)2=______． 15. 下列命题正确的是______ (写序号)①命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x ”： ②函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为“π”是“a =1”的必要不充分条件； ③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2+2x)min ≥(ax)max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件．16. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−x +1，则当x >0，f(x)= ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知△ABC 的面积为1，且满足0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ (Ⅰ)求θ的取值范围；(Ⅱ)求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−cos(2θ+π6)的最大值及取得最大值时的θ值．18. (Ⅰ)设U =R ，A ={x|−2≤x <4}，B ={x|8−2x ≥3x −7}，求(∁U A)∩(∁U B)． (Ⅱ)已知集合A ={x|3x −4≤0}，B ={x|x −m <0}，且A ∩B =B ，求m 的取值范围．19. 已知函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω>0)图象中相邻两个最高点的距离是π． (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f(x)在区间[0,7π12]上的最大值和最小值．20. 已知函数f(x)=x 2+1x ．(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)当x ∈(1,+∞)时，判断f(x)的单调性并证明；(3)在(2)的条件下，若实数m 满足f(3m)>f(5−2m)，求m 的取值范围．21. 在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 且bcosC =√2acosB −ccosB ， (1)求角B 大小(2)设A =θ，求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−√3cos2θ−2的值域．22. 已知函数f(x)=ax 2+bx −ln x(a,b ∈R)．(1)当a =8，b =−6时，求f(x)的零点的个数；(2)设a >0，且x =1是f(x)的极小值点，试比较ln a 与−2b 的大小．参考答案及解析1.答案：C解析：解：由A 中不等式变形得：x 2−5x −6<0，即(x −6)(x +1)<0， 解得：−1<x <6，即A =(−1,6)，由B 中不等式变形得：x(x +1)≤0，且x +1≠0， 解得：−1<x ≤0，即B =(−1,0]， 则A ∩B =(−1,0]． 故选：C ．求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，求出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：解：∵函数f(x)={lgx,x >0x +11,x ≤0，∴f(−1)=−1+11=10， f(f(−1)=f(10)=lg10=1． 故选：C ．推导出f(−1)=−1+11=10，从而f(f(−1)=f(10)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：解：∵角α的终边经过点P(−1,y)，且tanα=12， ∴y−1=12， ∴y =−12， 故选：D ．由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切．本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律．4.答案：A解析：由题意需满足|2x−1|<，解得，故选A．5.答案：C解析：解：化目标函数z=2x+y为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过A(−1,−1)时目标函数有最小值为m=−3，当直线y=−2x+z过B(2,−1)时目标函数有最大值为M=2×2−1=3.∴M−m=6．故选：C．6.答案：C解析：故答案为C．7.答案：C解析：解：对于①，函数f(x)=2|cosx|sinx+sin2x，由于f(−π4)=−2，f(3π4)=0，∴f(−π4)≠f(3π4)，故f(x)的图象不关于直线x=π4对称，故①错误．对于②，区间[−π4,π4]上，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2x单调递增，故②正确．对于③，函数f(π3)=√3，f(4π3)=0，∴f(π3)≠f(4π3)，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误．对于④，当cosx≥0时，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=2sin2x，故它的最大值为2，最小值为−2；当cosx<0时，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=−2sinxcosx+sin2x=0，综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为−2，故④正确．故选：C．利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题．8.答案：D解析：解：∵函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当x∈[0,5]时，若函数y=f(x)<0，则x∈(2,5]，故当x∈[−5,0]时，若函数y=f(x)<0，则x∈[−5,−2)，综上f(x)<0的解集是[−5,−2)∪(2,5]，故选：D由当x∈[0,5]时，函数y=f(x)的图象，先求出当x∈[0,5]时，f(x)<0的解集，再根据函数图象的对称性，求出当x∈[−5,0]时，f(x)<0的解集，综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，难度不大，属于基础题．9.答案：C解析：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．利用诱导公式即可求解．解：sin(−1080°)=−sin(3×360°+0°)=0．故选：C．10.答案：B解析：本题考查函数零点存在性定理的运用，属于基础题．由f(1)⋅f(2)<0结合零点存在性定理即可得解．解：函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条不间断的曲线，又f(1)=12−15=310>0,f(2)=14−25=−320<0，∴f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1,2)．故选：B．11.答案：D解析：解：由图形可知，OF=a+b2，OC=AC−OA=a−a+b2=a−b2，(a>b>0)，所以CF=√OF2+OC2=√(a+b2)2−(a−b2)2=√a2+b22，Rt△ACF中，由OF<CF可得，a+b2<√a2+b22．故选：D．计算出CF，OF，由OF<CF即可求解．本题主要考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题．12.答案：D解析：解：对于A，函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，是奇函数，不满足条件；对于B，函数y=−|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，不满足条件；对于C，函数y=−x2+1是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，不满足条件；对于D，函数y=2|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故选：D．根据基本初等函数的单调性奇偶性，分析选项中四个函数在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，即可得出答案．本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，熟练掌握常见的基本初等函数的性质是解题的关键．13.答案：{x|2kπ≤x ≤2kπ+π3,k ∈Z}解析：解：因为{sinx ≥02cosx −1>0，可得{sinx ≥0cosx >12，在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合， 如图所示， 由三角函数线，可得{2kπ≤x ≤2kπ+π, k ∈Z,2kπ−π3<x <2kπ+π3,k ∈Z,解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式的解集为{x|2kπ≤x <2kπ+π3,k ∈Z}.故答案为：{x|2kπ≤x <2kπ+π3,k ∈Z}.原不等式组可化为{sinx ≥0cosx >12，在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，由三角函数线，可得{2kπ≤x ≤2kπ+π, k ∈Z,2kπ−π3<x <2kπ+π3,k ∈Z,解集为图中阴影重叠的部分，即可得解原不等式的解集．本题主要考查了不等式组的解法，考查了正弦函数，余弦函数的图像和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．14.答案：−3解析：解：tanα=2，则cos2α(sinα−cosα)2=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α −2sinαcosα=1−tan 2αtan 2α+1 −2tanα=1−44+1−4=−3． 故答案为：−3．利用二倍角的余弦函数化简所求表达式，弦切互化，得到正切函数的形式，求解即可． 本题考查二倍角公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．15.答案：①②④解析：解：对于①：先将量词变为∀x ∈R ，结论x 02+1>3x 0变成x 2+1≤3x ，可见①为真命题；对于②：f(x)=cos2ax，其最小正周期的计算方法是2π|ω|，故本题最小正周期为π时，a=±1，此时不一定有a=1成立，而反之，a=1必有a=≠±1成立，故前者是后者的必要而不充分条件，故②为真命题．对于③：x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔x2+2x−ax≥0在[1,2]上恒成立，所以③为假命题；对于④：由正弦定理知asinA =bsinB=2R，∵sinA>sinB，∴a>b，∴A>B．反之，∵A>B，∴a>b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA>sinB，故④是真命题．故答案为：①②④．对于①：根据特称命题的否定方法判断；对于②：先将f(x)=cos2ax−sin2ax化成：f(x)=cos2ax，再结合周期计算公式进行判断；对于③：x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立，前后是同一个变量，因此应作差后，再将差函数的最值求出来即可；对于④：由正弦定理知asinA =bsinB，由sinA>sinB，知a>b，所以A>B，反之亦然，故可得结论．本题中的②是容易出错的，学生往往记成T=2πω，而忽视了绝对值，对于第四个，属于常考的易错题，需引起重视．16.答案：−2x2−x−1解析：解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，x<0时，f(x)=2x2−x+1，∴x>0时，−x<0；∴f(−x)=2(−x)2−(−x)+1=2x2+x+1，又f(−x)=−f(x)，∴f(x)=−f(−x)=−(2x2+x+1)=−2x2−x−1；故答案为：−2x2−x−1由x<0时f(x)的解析式，结合函数的奇偶性求出x>0时f(x)的解析式．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，∵△ABC 的面积为1，且满足0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ， ∴12bcsinθ=1，即bc =2sinθ，0<bccosθ≤2， ∴0<2tanθ≤2，即tanθ≥1，∵θ∈(0,π)，∴θ∈[π4,π2)；(Ⅱ)f(θ)=[1−cos(π2+2θ)]−[√32cos2θ−12sin2θ] =1+sin2θ−√32cos2θ+12sin2θ=√3sin(2θ−π6)+1， ∵θ∈[π4,π2)，2θ−π6∈[π3,5π6) ∴当θ=π3时，f(θ)max =√3+1．解析：(Ⅰ)设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，利用三角形的面积公式表示出面积，令面积为1列出关系式12bcsinθ=1，表示出bc ，且得到bccosθ的范围，将表示出的bc 代入求出的范围中，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后求出tanθ的范围，由θ∈(0,π)，利用正切函数的图象与性质即可求出θ的范围；(Ⅱ)将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由第一问求出的θ的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出函数的最大值及取得最大值时的θ值． 此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，以及平面向量的数量积运算，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正切函数的图象与性质，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 18.答案：解：(Ⅰ)B ={x|8−2x ≥3x −7}={x|x ≤3}，则∁U B ={x|x >3}．∵A ={x|−2≤x <4}，∴∁U A ={x|x <−2或x ≥4}．∴(∁U A)∩(∁U B)={x|x ≥4}；(Ⅱ)A ={x|x ≤43},B ={x|x <m}，∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ，∴m ≤43．解析：(Ⅰ)求解一次不等式化简集合B，然后分别求出∁U A和∁U B，取交集得答案；(Ⅱ)分别求解一元一次不等式化简两集合，由A∩B=B得B⊆A，再结合两集合端点值间的关系得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，考查了集合间的关系的判断与运用，是基础题．19.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)图象中相邻两个最高点的距离是π，∴T=2πω=2，即ω=2，(Ⅱ)∵0≤x7π12，∴−π3≤2x−π3≤5π6，当2x−π3=−π3，即x=0时，f(x)有最小值−√32，当2x−π3=π2，即x=5π12时，f(x)有最小值1．解析：(Ⅰ)根据图象中相邻两个最高点的距离是π，利用T=2πω=2；即可求出(Ⅱ)根据三角函数的单调性即可求出函数的最值．本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．20.答案：证明：(1)f(x)=x2+1x为奇函数，利用如下：f(−x)=(−x)2+1−x =−1+x2x=−f(x)，故f(x)为奇函数，(2)x∈(1,+∞)时，f(x)的单调性递增，利用如下：设1<x1<x2，f(x)=x+1x，则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)+x2−x1x1x2，=(x1−x2)(1−1x1x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，(3)解：由f(3m)>f(5−2m)可得3m>5−2m>1，解得，1<m<2．故m的范围(1,2)解析：(1)检验f(−x)与f(x)的关系即可判断，(2)先设1<x1<x2，然后利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及利用单调性及奇偶性求解不等式，属于中档试题．21.答案：解：(1)∵bcosC=√2acosB−ccosB，∴由正弦定理得，sinBcosC=√2sinAcosB−sinCcosB，则sin(B+C)=√2sinAcosB，又sin(B+C)=sinA≠0，∴cosB=√22，由0<B<π得，B=π4；(2)由(1)得，C=π−A−B=3π4−θ，∵△ABC是锐角三角形，∴{0<3π4−θ<π20<θ<π2，解得π4<θ<π2，∵f(θ)=2sin2(π4+θ)−√3cos2θ−2=1−cos(π2+2θ)−√3cos2θ−2=sin2θ−√3cos2θ−1=2sin(2θ−π3)−1，由π4<θ<π2得，π6<2θ−π3<2π3，∴12<sin(2θ−π3)≤1，则0<2sin(2θ−π3)−1≤1，即函数f(x)的值域是(0,1]．解析：(1)由正弦定理化简已知的式子，由两角和的正弦公式、诱导公式化简后求出cosB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；(2)由(1)和内角和定理求出C，根据△ABC是锐角三角形列出不等式求出θ的范围，由二倍角公式及变形、两角差的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出函数的值域．本题考查了正弦定理，两角和(差)的正弦公式、诱导公式，三角形的面积公式，以及正弦函数的性质的综合应用，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)∵a=8，b=−6，∴f ′(x)=(2x −1)(8x +1)x (x >0) 当0<x <12时，f′(x)<0，当x >12时，f′(x)>0，故f(x)在(0,12)递减，在(12,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(12)，又∵f(12)=−1+ln2<0，∴f(x)有两个零点；(Ⅱ)依题有f′(1)=0，∴2a +b =1即b =1−2a ，∴lna −(−2b)=lna +2−4a ，令g(a)=lna +2−4a ，(a >0)则g′(a)=1a −4=1−4a a ， 当0<a <14时，g′(a)>0，g(a)单调递增；当a >14时，g′(a)<0，g(a)单调递减．因此g(a)<g(14)=1−ln4<0，故lna <−2b ．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值小于0，从而判断出函数的零点个数；(Ⅱ)求出b =1−2a ，作差lna −(−2b)=lna +2−4a ，根据函数的单调性求出g(a)的最大值，从而判断出lna 和−2b 的大小即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道偏难题．。
广东省深圳市高级中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
广东省深圳市高级中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集U =R ，{}220A x x x =-<，{}10B x x =-≥，则A B =（ ）．A ．{}1x x ≥B ．{}1x x ≤C ．{}01x x <≤D ．{}12x x ≤<2．已知角α的终边过点()sin1,cos1P ，则α是第（ ）象限角． A ．一 B ．二C ．三D ．四3．“6x π=”是“1sin 2x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知12sin cos 25αα=-，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos sin αα-=（ ）．A ．15-B ．15C ．75-D ．755．已知函数()f x 是定义在[)2,∞+的单调递增函数，若()()222544f a a f a a -+<++，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．[)2,6C ．[)10,2,62⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．()0,66．素数也叫质数，部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．2018年底发现的第51个梅森素数是8258993321P =-，它是目前最大的梅森素数．已知第8个梅森素数为3121P =-，第9个梅森素数为6121Q =-，则lg QP约等于（参考：在Q ，P 很大的条件下11Q Q P P +≈+；lg 20.3≈）（ ）． A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为A ．12B ．1C ．2D ．48．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x ---是函数() f x 的一对“隐对称点”．若函数22,0 ()2,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2-B ．(,2-∞-C ．(,2-∞+D ．(0,2+二、多选题9．下列选项中，与11sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值相等的是（ ） A ．2sin15sin 75︒︒ B ．cos18cos42sin18sin 42︒︒-︒︒ C ．22cos 151︒-D ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒10．关于函数()sin 2cos 2f x x x =-，下列命题中为真命题的是（ ）． A ．函数()y f x =的最小正周期为π B ．直线π4x =是()y f x =的一条对称轴 C ．点π,08⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的图象的一个对称中心D ．()y f x =11．下列说法正确的是（ ）A ．若,0x y >，满足2x y +=，则22x y +的最大值为4；B ．若12x <，则函数1221y x x =+-的最小值为3 C ．若,0x y >，满足3x y xy ++=，则x y +的最小值为2 D ．函数2214sin cos y x x=+的最小值为9 12．已知函数()22cos 22f x x =-，下列命题中的真命题有（ ）A ．R β∃∈，()f x β+为奇函数B ．30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立 C ．1x ∀，2x R ∈，若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为4π D ．1x ∀，2x R ∈，若()()120f x f x ==，则()12x x k k Z π-=∈三、填空题13．函数lg(2)y x =-的定义域是______．14．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是__________． 15．()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调区间是__________．16．已知函数()4,44,4x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩．若存在正实数k ，使得方程()kf x x =有三个互不相等的实根1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是__________．四、解答题 17．已知2sin cos 33sin 2cos 8θθθθ-=+．（1）求tan θ的值； （2）求222sin cos sin cos θθθθ-的值．18．已知函数()()121x f x m m =+∈+R 是奇函数． （1）求实数m 的值；（2）判断()f x 的单调性（不用证明）；（3）求不等式()()220f x x f -+-<的解集．19．已知tan )ααβ=-=且0.2πβα<<<（1）求sin α和cos α； （2）求β的值.20．已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里／小时）（0≤v ≤3）的以下数据：为描述该超级快艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q ＝av 3＋bv 2＋cv ，Q ＝0．5v ＋a ，Q ＝klogav ＋b ．（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少？并求出最少航行费用． 2160的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y ．（1）设PN x =，将y 表示成x 的函数关系式；（2）设POB θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；并求出y 的最大值． 22．已知定义在区间()0,∞+上的函数()45f x x x=+-． （1）求函数()f x 的零点；（2）若方程()()0f x m m =>有四个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，证明123416x x x x ⋅⋅⋅=； （3）在区间[]1,4上是否存在实数(),a b a b <，使得函数()f x 在区间[],a b 上单调，且()f x 的值域为[],ma mb ，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：1．C【解析】化简集合A,B ，根据交集运算求解.【详解】因为{}()2200,2A x x x =-<=，{}10(,1]B x x =-≥=-∞，所以A B ={}01x x <≤ 故选：C 2．A【解析】分析()sin1,cos1P 横纵坐标的符号即可求解. 【详解】因为角α的终边过点()sin1,cos1P ， 且sin10,cos10>>， 所以α是第一象限角. 故选：A 3．A 【分析】若6x π=，则1sin 2x =成立，逆命题不成立，可得出结论. 【详解】当6x π=时，1sin 2x =， 所以“6x π=”是“1sin 2x =”的充分条件， 当1sin 2x =时，26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈， 所以“6x π=”是“1sin 2x =”的不必要条件， 即“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件， 故选：A. 4．D【解析】求出()2cos sin 4925αα-=，根据π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭判断cos sin 0αα->，从而可得答案.【详解】因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos 0,sin 0αα><，则cos sin 0αα->，又因为12sin cos 25αα=-， 所以()2cos sin 121249sin cos 122525αααα⎛⎫=-⨯-= ⎪=-⎭-⎝，所以cos sin αα-=75， 故选：D. 5．C【解析】根据函数的定义域以及单调性可得22222542422544a a a a a a a a ⎧-+≥⎪++≥⎨⎪-+<++⎩，解不等式组即可．【详解】因为函数()f x 是定义在[)2,∞+的单调递增函数，且()()222544f a a f a a -+<++，所以2222122542242254406a a a a a a a R a a a a a ⎧≤≥⎪⎧-+≥⎪⎪++≥⇒∈⎨⎨⎪⎪-+<++<<⎩⎪⎩或，解得102a <≤或26a ≤<． 故选：C ． 6．C【解析】由Q P的值约等于613031222≈，令302k =，化指数式为对数式求解即可．【详解】因为3121P =-， 6121Q =-，P ，Q 两数远远大于1， 所以Q P 的值约等于613122，设613122k =，则302k =，即30lg 2lg k =，因此有30lg 2lg k =，因为lg 20.3≈， 以lg 9k ≈，即lg QP约等于9． 故选：C ． 7．C【分析】由0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得,4484x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，利用842πππω+≤可得结果.【详解】当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,4484x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，正弦函数在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以可得842πππω+≤，解得2ω≤，即ω的最大值为2，故选C ．【点睛】本题主要考查正弦函数单调性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 8．B【分析】由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程222(0)mx x x x +=-+>的零点问题，再结合基本不等式得出实数m 的取值范围．【详解】解：由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点 设()g x 的图象与函数22y x x =+，0x <的图象关于原点对称 令0x >，则0x -<，22()()2()2f x x x x x ∴-=-+-=-2()2g x x x ∴=-+故原题义等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有零点，解得22m x x=--+又因为2222xx --+≤-=-x(,2m ∞∴∈--．故选：B ． 9．ABD【解析】求出11sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A ；利用两角和的余弦求值判断B ；利用二倍角的余弦求值判断C ；利用两角和的正切求值判断D.【详解】111sin sin 2sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于A ，12sin15sin 752sin15cos15sin 302︒︒=︒︒=︒=； 对于B ，()cos18cos 42sin18sin 42cos 1842︒︒-︒︒=︒+︒1cos602=︒=；对于C ，22cos 151cos30︒-=︒=对于D ，因为22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒︒==-︒，可得2tan 22.511tan 22.52︒=-︒.∴与11sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值相等的是ABD.故选：ABD. 10．ACD【分析】化简()24f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的周期公式判断A ；根据正弦函数的对称性判断BC ，根据三角函数的有界性判断D ．【详解】()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以最小正22T ππ==，故A 为真命题；当4x π=时，14f π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭4x π=不是()y f x =的一条对称轴，故B 为假命题；当8x π=时，08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故点π,08⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的图象的一个对称中心，故C 为真命题；()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭()y f x =D 为真命题；故选：ACD ．【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的周期性、对称性以及三角函数的有界性，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 11．CD【解析】A ，22x y +没有最大值，故A 错误；B ，函数12111121y x x =-++-=--…，故B 错误； C ，x y +的最小值为2，故C 正确；D ，22149sin cos y x x=+≥，当且仅当222sin cos x x =时等号成立，故D 正确.【详解】A ，若x ，0y >，2x y +=，则22224x y +⨯=…，当且仅当1x y ==时等号成立，没有最大值，故A 错误；B ，若12x <，即210x -<，则函数12111121y x x =-++-=--…，当且仅当0x =等号成立，故B 错误；C ，若x ，0y >，2()3(),4x y xy x y +=-+≤所以2()4()120x y x y +++-≥，所以(6)(2)0x y x y +++-≥，所以2x y +≥，（当且仅当1x y ==时取等），所以x y +的最小值为2. 故C 正确；D ，222222222222141444(sin cos )()559sin cos cos x sin x x sin x y x x x x sin x cos x sin x cos x x cos x=+=++=+++=…，当且仅当222sin cos x x =时等号成立，故D 正确； 故选：CD【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．BC【分析】先化简函数()22cos 22cos 41f x x x =-=-；作出函数()cos41f x x =-的图象，再逐项判断，；由函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误； 由()()2f x f x α=+，得()co s 41c o s 481x x α-=+-，82k απ=，4k πα=，Z k ∈；又30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，取4πα=或2π时成立B 正确； 由()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，得 12x x -的最小值为22244T ππ==⨯，所以C 正确；当()()120f x f x ==时， ()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈，所以D 错误. 【详解】由题意()22cos 22cos 41f x x x =-=-；∵()cos41f x x =-的图象如图所示；函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位， 它不会是奇函数的，故A 错误； 若 ()()2f x f x α=+， ∴()cos 41cos 481x x α-=+-， ∴82k απ=， ∴4k πα=，Z k ∈； 又30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，∴取4πα=或2π时， ∴()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立，故B 正确； ()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，12x x -的最小值为22244T ππ==⨯，故C 正确； 当()()120f x f x ==时， ()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈ 故D 错误； 故选:BC.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 13．(,2)-∞【详解】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2∞-，填(),2∞-．14．πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，先放缩变换，再平移变换，从而可得答案．【详解】将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得函数1sin 2y x =的图象；再将1sin 2y x =的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是1sin sin 2326x y x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故答案为：πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．15．512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z【解析】根据正切函数的单调性求解即可.【详解】()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∴令ππ,2232Z k x k k ππππ-<+<+∈，解得1,35232k x k k Z -+<<+∈,所以函数的单调递增区间为512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z .故答案为：512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z16．(8,6+【解析】分离参数可得()k xf x =，做出()y xf x =的函数图象，根据二次函数的对称性求出12x x +的值，并求出3x 的范围即可得出答案．【详解】由()0kf x x -=可看到()224,44,40x x x k xf x x x x x ⎧-==⎨-+<≠⎩且…，令()224,44,40x x x g x x x x x ⎧-=⎨-+<≠⎩且…，作出()y g x =的函数图象如图所示：()0kf x x-=有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ， ∴直线y k =与()y g x =的图象有三个交点，设三个交点的横坐标从小到大分别为1x ，2x ，3x ， 由二次函数的对称性可知124x x +=，令244x x -=可得2x =+2x =-)，342x ∴<<+12386x x x ∴<++<+即123x x x ++的取值范围是(8,6+，故答案为：(8,6+．【点睛】结论点睛：函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.17．（1）2；（2）43.【解析】（1）原式分子分母同时除以cos θ可得关于tan θ的方程，解方程即可得答案； （2）原式分子分母同时除以2cos θ，可得关于tan θ的代数式，再将tan θ的值代入即可. 【详解】（1）因为2sin cos 33sin 2cos 8θθθθ-=+所以2tan 13tan 23tan 28θθθ-=⇒=+．（2）222sin cos sin cos θθθθ-22tan 224tan 1413θθ⨯===--． 18．（1）12m =-；（2）()f x 在(),-∞+∞上为减函数；（3）()(),12,-∞-+∞.【解析】（1）由()1002f m =+=，可得12m =-，再验证()11212x f x =-+是奇函数即可； （2）由21x +为增函数，可得121x +为减函数，进而可得结论． （3）由奇偶性可得()()22f x x f -<，再由单调性可得22x x ->，进而可得答案.【详解】（1）因为()()121x f x m m =+∈+R 是奇函数， 且()121x f x m =++的定义域为(),-∞+∞， 所以()1002f m =+=，可得12m =-． 此时()11212x f x =-+，()1121212212x x x f x --=-=-++()211121211221x x x f x =-=-++=--+， 所以()11212xf x =-+是奇函数， 12m =-符合题意．∴12m =-．（2）由2x 为增函数，所以21x +为增函数，且211x +>， 所以121x +为减函数，可得()11212xf x =-+在(),-∞+∞上为减函数． （3）由()()220f x x f -+-<，可得()()22f x x f -<--， 即()()22f x x f -<，因为()11212xf x =-+在(),-∞+∞上为减函数， 所以22x x ->，即220x x -->，所以1x <-或2x >， 故解集为()(),12,-∞-+∞．【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.19．(1) sin α=,1cos 7α= (2) 3πβ=【解析】（1）由02πα<<，则s i n 0α>，cos 0α>，根据tan α=sin αα=，结合平方关系可求解.(2)先求出cos()αβ-，然后由()βααβ=--，求出cos β的值，可得答案. 【详解】(1)由02πα<<，则sin 0α>，cos 0α>由tan α=sin cos αα= 即sin αα= 由2221sin cos 49cos ααα=+=，则1cos 7α=，所以sin αα==（2）sin()αβ-0.2πβα<<<所以02παβ<-<，所以13cos(),14αβ-=()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦11317142=⨯= 又02βπ<<，所以3πβ=【点睛】关键点睛：本题考查已知三角函数值求三角函数值和求角，解答本题的关键是弄清楚角的范围，在利用平方关系求正弦和余弦时的符号，利用角的变换关系()βααβ=--得到()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦，从而求出cos β的值，属于中档题.20．（1）选择函数模型32Q av bv cv =++，函数解析式为320.10.20.8(03)Q v v v v =-+≤≤；（2）以1百公里/小时航行时可使AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.【分析】（1）对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果； （2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果. 【详解】（1）若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[0,3]v ∈上为单调减函数， 这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．若选择函数模型log a Q k v b =+，须0v >，这与试验数据在0v =时有意义矛盾， 所以不选择该函数模型．从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由试验数据得，0.7,842 1.6,2793 3.3,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，即0.7,420.8,93 1.1,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.1,0.2,0.8,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 故所求函数解析式为：320.10.20.8(03)Q v v v v =-+≤≤． （2）设超级快艇在AB 段的航行费用为y （万元）， 则所需时间为3v（小时），其中03v <≤，结合（1）知，()3230.10.20.8y v v v v=-+ ()20.317v ⎡⎤=-+⎣⎦所以当1v =时，min 2.1y =．答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元．【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目. 21．（1）2302y x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；（2）π2)63y πθθ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭，max y =【分析】（1）将MN 用x 加以表示，再利用矩形的面积公式可求得y 表示成x 的函数关系式；（2）将PN 、MN 利用θ加以表示，并利用三角恒等变换思想化简函数解析式，由π0θ3<<求出26πθ+的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得y 的最大值.【详解】（1）因为QM PN x ==，由tan3QMOM π==OM ∴=，由勾股定理可得ON所以MN ON OM =-=所以2302y MN PN x x ⎛⎫=⋅=<< ⎪⎝⎭； （2）当POB θ∠=时，QM PN θ==，则sin tan3QM OM θπ==，又ON θ，所以sin MN ON OM θθ=--，所以)21cos 233sin cos sin 222y MN PN θθθθθ-=⋅==-3sin 2220263ππθθθθ⎛⎫⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 03πθ<<Q ，则52666πππθ<+<，故当262ππθ+=时，即当6πθ=时，函数26y πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭max y =【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.22．（1）1x =或4x =；（2）证明见解析；（3）存在，1919,,325216⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.【解析】（1）令()0f x =，求x 的值；（2）如有画出函数()y f x =的图象，()f x m =有四个根，则01m <<，设()45g x x x=+-，由()g x m =或()g x m =-，化简后，分别求两根之积；（3）由函数图象可得分[][],1,2a b ⊆时，()()f a f b m a b==，变形后求m 的取值范围，或[][],2,4a b ⊆时，()f a mb =，()f b ma =可得5a b +=，由()f a m b=求m 的取值范围.【详解】解：（1）令()0f x =，解得1x =或4x =． （2）如图，要使()f x m =有四个根，则01m <<， 令()45g x x x=+-，当()g x m =，则()2540x m x -++=，∴144x x ⋅=，当()g x m =-，则()2540x m x --+=，∴234x x ⋅=，∴123416x x x x ⋅⋅⋅=．（3）当[][],1,2a b ⊆时，()45f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()45f a a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()45f b b b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()()f a f b m a b==得，4455b ab ab a ab a b --=--， 即()540ab a b -+=，∴454ab a =-，由(]1,2b ∈，解得443a ≤<， 由[)1,2a ∈，423a ≤<， ∵b a >，∴85a <，∴4835a ≤<，由()245451a f a a m aa a a--===-+-，可得19216m ≤<． ②当[][],2,4a b ⊆，()45f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()f a mb =，()f b ma =可得5a b +=，再由()f a mb =，得254a a m ab --=，把5b a =-代入得2415m a a =--，∵24a ≤<，24b <≤且b a >，∴522a ≤<，∴19,325m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 综上，m 的范围是1919,,325216⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭．【点睛】关键点点睛：本题主要考查对勾函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于难题，本题的第三问的关键是分类讨论，得到a 与b 的关系，然后再代入()f a m a =或()f a m b=求取值范围.。
广东省实验中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题及答案
14. 某些三角形没有内切圆（或：至少有一个(或存在)三角形没有内切圆...）
-1 15. 2
16. （0,9）, 由函数 f (x) 的图像可知
a d 2, b c 2, 5 e 6, M (a b c d e) f (e)
(4 e) f (e) (4 e)(6 e) e2 2e 24 (e 1)2 25 可得 0 M 9.
12
63
2
25
且α为锐角，所以 cosα＝ ，sinα＝ ，
8分
因为 sin（α+β）＝ ，所以 cos（α+β）＝± ，
10 分
当 cos（α+β）＝ 时，cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝
+
＝；
当 cos（α+β）＝﹣ 时，cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣
17.解：（1）原式＝
﹣1﹣
+ ＝ ﹣1﹣ + ＝ ．
（2）原式＝3+2lg5+2lg2+2＝5+2（lg5+lg2）＝5+2＝7．
评分标准:每一个问 5 分.每个数计算正确各给 1 分,最后结果 1 分
18.解：（1）∵函数是幂函数，
∴m2+2m﹣2＝1，即 m2+2m﹣3＝0，解得 m＝1 或 m＝﹣3，
2分 4分
5分
由（1）知 f（x）＝
＝﹣ +
，；
x1, x2 R, 设x1 x2 f (x2 ) f
x1
11
广东省深圳市高级中学2020_2021学年高一数学上学期期末测试试题PDF202101300312
目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9. 下列选项中，与 sin( 11 ) 的值相等的是（ ）.
6
A． 2sin15 sin 75
B． cos18 cos 42 sin18 sin 42
C． 2cos2 15 1
D．
1
tan 22.5 tan2 22.5
10. 关于函数 f (x) sin 2x cos 2x ，下列命题中为真命题的是( ).
（2）求 的值.
【答案】(1)
sin 4 3 7
, cos 1 7
(2) 3
【详解】
(1)由 0 ，则 sin 0 ， cos 0 2
由 tan 4
3
，即
sin cos
4
3,
即 sin 4
3 cos
由1
sin 2
cos2
49 cos2
，则 cos
1 7
，
所以 sin 4 3 cos 4 3 7
（2） sin(
)
33 14
,
0
2
.
所以 0 ，所以 cos( ) 1 sin2 ( ) 13 ,
2
14
cos cos cos cos sin sin
1 13 4 3 3 3 1 7 14 7 14 2
又 0 ，所以
v
0
1
2
3
Q
0
0.7
1.6
3.3
为描述该超级快艇每小时航行费用 Q 与速度 v 的关系，现有以下三种函数模型供选择：
Q av3 bv2 cv ， Q 0.5v a ， Q k loga v b ．
（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）该超级快艇应以多大速度航行才能使 AB 段的航行费用最少？并求出最少航行费用．
广东省深圳市南山实验学校2021-2022学年高一数学文上学期期末试卷含解析
广东省深圳市南山实验学校2021-2022学年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，，，则△ABC周长的最大值为（）A. 8B. 7C. 6D. 5参考答案：C【分析】先由得到A=,再利用基本不等式求b+c的最大值，即得三角形周长的最大值.【详解】由题得所以所以,因为所以.由余弦定理得,所以，当且仅当b=c=2时取等.所以.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2. 已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2] B．[1，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．3. 已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是（）A、相交B、相切C、相离D、相切或相交参考答案：B4. 若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，从而确定关于x的方程f（x）=x的解的个数．【解答】解：∵a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，∴a，b分别为函数y=4﹣x与函数y=lgx，y=10x图象交点的横坐标由于y=x与y=4﹣x图象交点的横坐标为2，函数y=lgx，y=10x的图象关于y=x对称∴a+b=4∴函数f（x）=当x≤0时，关于x的方程f（x）=x，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0，∴x=﹣2或x=﹣1，满足题意当x＞0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意∴关于x的方程f（x）=x的解的个数是3故选C．5. 已知A＝{x|x<1}，B＝{x|x<a}.若B A,则a的取值范围是（）A. a＜1B. a≤1C. a﹥1D. a≥1参考答案：B略6. 有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为 ( )A.18B.36C.54D.72参考答案：B样本数据落在区间[10,12)内的频率为：，所以样本数据落在区间[10,12)内的频数为。
2021-2022学年广东省深圳市南山区高一上学期期末数学试题
2021-2022学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题2022.01注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔在答题卡上填写自己的姓名､班级､学校，并把条形码粘贴在指定位置.2.请按照要求答题，必须用黑色宇迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答，视为无效.3.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}22,0,1,1A B xx =-=≤∣，则A B = （）A ．∅B ．{}2,1,0,1--C ．{}1,0,1-D ．{}0,12．若110a b<<，则下列不等式中，正确的是（）A ．a b <B ．22a b >C ．a b ab+<D ．11a b a b-<-3．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a<<D ．c a b <<4．已知0x >，则242x x--的最大值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．25．已知函数()f x 为偶函数，且在(],0-∞上单调递增，()12f -=，则不等式()212f x +<的解集为（）A ．()(),10,-∞-⋃+∞B ．()0,∞+C ．()1,0-D ．(),1-∞-6．函数()32cos 1x xf x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．设()ln 2f x x x =+-，则函数()f x 的零点所在的区间为（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)8．如图是函数()()sin (0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（）A ．22,3πωϕ==B ．21,3πωϕ==C ．2,3πωϕ==D ．2,6πωϕ==二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．()f x x =与()g x =B ．()2ln f x x =与()2ln g x x=C ．()21f x x =-与()()2(1)21g x x x =+-+D ．()f x =()g x 10．设0a >且1a ≠，m ，n 是正整数，则（）A ．log ()log log a a a mn m n =+B ．log log (log a a a m m nn=C ．log log n a a m n m =D ．log log na a m n m=11．下列命题为真命题的有（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则11a b<D ．若0,0a b c >><则c c a b>12．（多选）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.11=．已知()211x f x x -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，()(),32,x ∈-∞-⋃+∞，则函数()f x 的值可能为（）A ．0B ．1C ．2D ．3三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f (x )12x -的定义域为____________14．已知函数21(10)()3(03)x x x f x x ⎧+-≤≤=⎨<≤⎩，则[(1)]f f -=_________．15．在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =______________．16．已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则1234s x x x x =++值为__________.四､解答题：本题共6小页，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤17．已知2sin cos 0αα+=，求4sin 3cos 2sin 5cos αααα-+的值.18．已知全集U R =，集合[){}2,1,23A B x a x a =-=<<+．(1)若12a =-，求()U A B ⋃ð．(2):,:p x A q x B ∈∈．若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．19．（1）化简：1sin10cos10-.（2）已知,αβ都是锐角，()45sin ,cos 513ααβ=+=，求sin β的值.20．已知函数()21cos sin (02),26f x x x x x πωωωω⋅+-<<=-是函数()f x 图象的一条对称轴.(1)求()f x 的最大值，并写出()f x 取得最大值时自变量x 的取值集合；(2)求()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间.21．已知定义域为R 的函数()122x x af x b+-+=+是奇函数.(1)求,a b 的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性；(3)若对任意的[]1,1t ∈-不等式()()2220f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.22．已知二次函数()2f x ax bx c =++.(1)若函数满足()()122f x f x x +-=+，且()01f =.求()f x 的解析式；(2)若对任意x ∈R ，不等式()2f x ax b ≥+恒成立，求()2224b a c +的最大值.【分析】根据元素与集合的关系求解A B .【详解】因为()22221,01,11-><=，所以{}0,1A B = .故选：D.2．C 【分析】利用不等式的基本性质判断.【详解】由110a b <<，得110,0,0a b a b abb a <<--=<，即0b a <<，故A 错误；则0b a ->->，则()()22b a ->-，即22a b <，故B 错误；则0a b +<，0ab >，所以a b ab +<，故C 正确；则11b a -<-，所以11b a b a-<-，故D 错误；故选：C 3．A 【分析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小．【详解】0.200.30.31c =<=；22log 7log 42>=；331log 8log 92<<=．故c b a <<．故选A ．【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．【分析】把所求代数式242x x--变形，转化成142(x x -+，再对其中1x x +部分以基本不等式求最值即可解决.【详解】0x >时，12x x +≥=（当且仅当1x =时等号成立）则214242()0x x x x --=-+≤，即242x x--的最大值为0.故选：C 5．A 【分析】由题可得函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，()12f =，且()()2121f x f x +=+，再利用函数单调性即得.【详解】因为函数()f x 为偶函数且在(],0-∞上单调逆增，()12f -=，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，()12f =，且()()2121f x f x +=+，所以()()211f x f +<，所以211x +>，解得1x <-或0x >，即x 的取值范围是()(),10,-∞-⋃+∞.故选：A.6．A 【分析】以函数奇偶性排除部分选项，再以特殊值排除部分选项即可解决.【详解】函数()32cos 1x xf x x =+定义域为R ，()()3322()cos()cos ()11x x x xf x f x x x ---==---++，则()f x 为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除BD ；又()322cos28cos 22125f ==+，由22ππ<<可知，()8co 2s 205f =<，排除C.故选：A 7．B 【分析】根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.【详解】()ln 2f x x x =+-在(0,)+∞单调递增，且(1)10,(2)ln 20f f =-<=>，根据零点存在性定理，得()f x 存在唯一的零点在区间(1,2)上.故选：B 【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题.8．A 【分析】先通过观察图像可得A 和周期，根据周期公式可求出ω，再代入最高点坐标可得ϕ.【详解】由图像得2A =，11521212T ππ=-，则T π=，2ππω∴=，2ω∴=，()()2sin 2f x x ϕ∴=+11112sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得234,k k Z πϕπ=-+∈，又ϕπ<，23πϕ∴=.故选：A.9．AC 【分析】判断函数是否是同一个函数就要看两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.【详解】对于A 选项，()f x x =与()g x x ==,两个函数的定义域为R ,对应法则也一样，则A 正确；对于B 选项，()2ln f x x =的定义域为{}0x x ≠，()2ln g x x =的定义域为{}0x x >，则这两个函数不是同一个函数，则B 不选；对于C 选项，()21f x x =-与()()22(1)211g x x x x =+-+=-，两个函数的定义域为R ,对应法则也一样，则C 正确；对于D 选项，()f x ={}1x x >，()g x =的定义域为{}1x x ≥，则这两个函数不是同一个函数，则D 不选.故选：AC .10．AD 【分析】利用对数的运算性质逐一判断即可.【详解】A ，由对数的运算性质可得log ()log log a a a mn m n =+，故A 正确；B ，log (log log a a a mm n n=-，故B 错误;C ，1log log n a a m m n=，故C 错误；D ，log log na a m n m =，故D 正确.故选：AD 11．BD 【分析】以不等式性质4判断选项A ；以不等式性质7判断选项B ；以求差法判断选项C 、D.【详解】选项A:当0c =时，22ac bc =，判断错误；选项B:推导符合不等式性质，判断正确；选项C:11b a a b ab--=，由0a b <<，可知0ab >,0b a ->，则0b a ab ->，即11a b>.判断错误；选项D:()c c c b a a b ab--=由0a b >>，可知0ab >,0b a -<又有0c <则()0c b a ab ->，即c c a b>，判断正确.故选：BD 12．BCD 【分析】利用常数分离法知213211x x x -=-++，根据x 的取值范围结合不等式的性质求出321x -+的取值范围，进而得到函数()f x 的值.【详解】()2132132111x x x x x +--==-+++Q，()(),32,x ∈-∞-⋃+∞当2x >时，13x +>，113001131x x ∴<<⇒<<++，31221x ∴<-<+，此时()f x 的取值为1；当3x <-时，12x +<-，1133002121x x ∴-<<⇒-<<++，372212x ∴<-<+，此时()f x 的取值为2，3．综上，函数()f x 的值可能为1,2,3．故选：BCD ．13．[)()0,22,+∞ 【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】根据题意，由2102x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x ≥且2x ≠，因此定义域为[)()0,22,+∞ .故答案为：[)()0,22,+∞ .14．9【分析】运用代入法进行求解即可.【详解】2[(1)](2)39f f f -===，故答案为：915．10.【分析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，求出AC，AB =．再利用余弦定理求出cos A .【详解】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以AC =，AB =．由余弦定理，知222222cos 210AB AC BC A AB AC +-==-⋅．故答案为10-【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．11【分析】画出函数图像，利用对数运算及二次函数的对称性可得答案.【详解】函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图像如图：若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则必有313234log log 52x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得1234110x x x x =⎧⎨+=⎩，123411s x x x x +==+.故答案为：11.17．54-【分析】先根据条件求出tan α，再将目标式转化为用tan α表示，然后代入tan α的值即可.【详解】由已知cos 0α≠，所以由2sin cos 0αα+=得1tan 2α=-,434sin 3cos 4tan 352sin 5cos 2tan 22415251αααααα⎛⎫⨯- ⎪--⎝⎭∴===-++⎛⎫+⎪⎭- ⎝-⨯18．(1){ 2.5x x ≥或}1x <；(2)[2,1)--【分析】（1）根据集合的补集和并集的定义进行求解即可；（2）由充分不必要条件确定集合AB 、之间的关系，根据真子集的性质进行求解即可.(1)因为12a =-，所以512B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，因此{ 2.5U B x x =≥ð或}1x ≤-，而[)2,1A =-，所以()U A B ⋃ð{ 2.5x x =≥或}1x <；(2)因为p 是q 的充分不必要条件，所以A ÜB ，因此有：23132122a a a a a <+⎧⎪≤+⇒-≤<-⎨⎪->⎩，故a 的取值范围为[2,1)--.19．（1）4；（2）1665【分析】（1）通分，然后用辅助角公式计算即可；（2）先通过角的范围求出()cos ,sin ααβ+，再通过()sin sin βαβα=+-，利用两角差的正弦公式计算即可.【详解】（1）()()2sin30cos1030sin102sin 3010141sin10sin10cos10c sin 20o 2s --== ；（2）因为,αβ都是锐角，则0αβ<+<π，又()5cos 013αβ+=>，02παβ∴<+<，()cos ,sin 312513ααβ∴==+==，()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα∴=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=20．(1)()max 1f x =，|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；()min 1f x =-，|,6x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭(2),63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）化简得()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据对称轴可得ω的值，进而根据正弦函数的性质可得最值；（2）根据正弦函数的性质可得()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间(1)由已知()211cos sin cos2sin 2226f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=⋅+--=- ⎪⎝⎭又6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，所以2662k πππωπ⎛⎫⨯--=+ ⎪⎝⎭，得23k ω=--，02ω<< ，1ω∴=即()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1max f x ∴=，此时22,62x k k Z πππ-=+∈，即|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，()min1f x =-，此时22,62x k k Z πππ-=-+∈，即|,6x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭，(2),22x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则752666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴当2,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦时，即,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递增，()f x ∴在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.21．(1)1a =，2b =；(2)()f x 为定义在R 上的减函数，证明见解析；(3)()2,+∞.【分析】（1）由()00f =可求得1a =；根据奇函数定义知()()f x f x -=-，由此构造方程求得b ；（2）将函数整理为()11212x f x =-+，设21x x >，可证得()()210f x f x -<，由此可得结论；（3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为2k t >，结合t 的范围可求得()max 2t ，由此可得结果.(1)()122x x a f x b+-+=+ 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-且()00f =，()1002a f b -==+ ，解得：1a =，()1122x x f x b+-∴=+，()11121222x xx x f x b b--+--∴-==-++，解得：2b =；当1a =，2b =时，()11222x x f x +-=+，()()1112212222x x x x f x f x --+--∴-===-++，满足()f x 为奇函数；综上所述：1a =，2b =；(2)由（1）得：()()()1221121122212221x x x x x f x +-+-===-+++；设21x x >，则()()()()11222121112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，21220x x >> ，2121211x x ∴+>+>，12220x x -<，()()210f x f x ∴-<，()f x ∴是定义在R 上的减函数；(3)由()()2220f t t f k t -+-<得：()()222f t t f k t -<--，又()f x 为R 上的奇函数，()()22f k t f t k ∴--=-，()()222f t t f t k ∴-<-，由（2）知：()f x 是定义在R 上的减函数，222t t t k ∴->-，即2k t >，当[]1,1t ∈-时，[]22,2t ∈-，2k ∴>，即实数k 的取值范围为()2,+∞.22．(1)()21f x x x =++【分析】（1）利用待定系数的方法确定二次函数解析式（2）由二次不等式恒成立，转化参数关系，代入()2224b a c +通过讨论特殊情况后配合基本不等式求出最值(1)设()()2,0f x ax bx c a =++≠，由已知代入()()122f x f x x +-=+，得222ax a b x ++=+，对于x ∈R 恒成立，故222a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==，又由()01f =，得1c =，所以()21f x x x =++；(2)若对任意x ∈R ，不等式()2f x ax b +恒成立，整理得：()220ax b a x c b +-+-恒成立，因为a 不为0，所以20Δ(2)4()0a b a a c b >⎧⎨=---⎩，所以()204b a c a - ，所以()2222222141c b ac a a a c a c c a --=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，令1c t a=-，因为()204b a c a - ，所以00c a t >⇒ ，若0=t 时，此时()22222221=041c b ac a a a c a c c a --=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，若0t >时，()()222211224112b t a c t t t =+++++ ，当t =时，即(1c a =时，上式取得等号，综上()2224b a c +。
2021-2022学年广东省深圳市南山区高一(上)期末数学试卷
2021-2021学年广东省深圳市南山区高一〔上〕期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中．有且只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={0，2，4}，那么〔∁U A〕∩B等于〔〕A．{0，4}B．{0，3，4}C．{0，2，3，4}D．{2}2．〔5分〕函数y=1﹣2x的值域为〔〕A．[1，+∞〕B．〔1，+∞〕C．〔﹣∞，1]D．〔﹣∞，1〕3．〔5分〕直线3x+y+1=0的倾斜角是〔〕A．30°B．60°C．120° D．150°4．〔5分〕如图是一个几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A．9πB．18πC．27πD．54π5．〔5分〕以下函数中既是偶函数，又在〔0，+∞〕上单调递减的为〔〕A．B．y=x﹣2C．D．y=x26．〔5分〕直线l1：3x+2y+1=0，l2：x﹣2y﹣5=0，设直线l1，l2的交点为A，那么点A到直线的间隔为〔〕A．1 B．3 C．D．7．〔5分〕方程的实数根的所在区间为〔〕A．〔3，4〕 B．〔2，3〕 C．〔1，2〕 D．〔0，1〕8．〔5分〕计算其结果是〔〕A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．39．〔5分〕b＞0，log3b=a，log6b=c，3d=6，那么以下等式成立的是〔〕A．a=2c B．d=ac C．a=cd D．c=ad10．〔5分〕α，β是两个不同的平面，给出以下四个条件：①存在一条直线a，使得a⊥α，a⊥β；②存在两条平行直线a，b，使得a∥α，a∥β，b∥α，b∥β；③存在两条异面直线a，b，使得a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在一个平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β．其中可以推出α∥β的条件个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．411．〔5分〕设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，假设A∪B=A，那么实数m 的取值范围为．〔〕A．[﹣2，1〕B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1〕D．[﹣1，1〕12．〔5分〕定义函数序列：，f2〔x〕=f〔f1〔x〕〕，f3〔x〕=f〔f2〔x〕〕，…，f n〔x〕=f〔f n﹣1〔x〕〕，那么函数y=f2021〔x〕的图象与曲线的交点坐标为〔〕A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．〔5分〕函数y=+1g〔x﹣1〕的定义域是．14．〔5分〕设函数f〔x〕=，那么方程f〔x〕=2的所有实数根之和为．15．〔5分〕设点A〔﹣5，2〕，B〔1，4〕，点M为线段AB的中点．那么过点M，且与直线3x+y﹣2=0平行的直线方程为．16．〔5分〕以下命题中①假设log a3＞log b3，那么a＞b；②函数f〔x〕=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞〕的值域为[2，+∞〕；③设g〔x〕是定义在区间[a，b]上的连续函数．假设g〔a〕=g〔b〕＞0，那么函数g〔x〕无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔10分〕在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中：〔Ⅰ〕求证：AC∥平面A1BC1；〔Ⅱ〕求证：平面A1BC1⊥平面BB1D1D．18．〔12分〕过点P〔m，n〕的直线l与直线l0：x+2y+4=0垂直．〔Ⅰ〕假设，且点P在函数的图象上，求直线l的一般式方程；〔Ⅱ〕假设点P〔m，n〕在直线l0上，判断直线mx+〔n﹣1〕y+n+5=0是否经过定点？假设是，求出该定点的坐标；否那么，请说明理由．19．〔12分〕函数〔其中a为非零实数〕，且方程有且仅有一个实数根．〔Ⅰ〕务实数a的值；〔Ⅱ〕证明：函数f〔x〕在区间〔0，+∞〕上单调递减．20．〔12分〕研究函数的性质，并作出其图象．21．〔12分〕矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点．如图将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．〔Ⅰ〕求证：BM⊥平面ADM；〔Ⅱ〕假设点E是线段DB上的中点，求三棱锥E﹣ABM的体积V1与四棱锥D﹣ABCM的体积V2之比．22．〔12分〕函数f〔x〕=x2+2bx+c，且f〔1〕=f〔3〕=﹣1．设a＞0，将函数f 〔x〕的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移a2个单位长度，得到函数g 〔x〕的图象．〔Ⅰ〕假设函数g〔x〕有两个零点x1，x2，且x1＜4＜x2，务实数a的取值范围；〔Ⅱ〕设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，假设有，那么称该函数为“陡峭函数〞．假设函数g〔x〕在区间[a，2a]上为“陡峭函数〞，务实数a的取值范围．2021-2021学年广东省深圳市南山区高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中．有且只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={0，2，4}，那么〔∁U A〕∩B等于〔〕A．{0，4}B．{0，3，4}C．{0，2，3，4}D．{2}【解答】解：∵∁U A={0，3，4}，∴〔∁U A〕∩B={0，4}，应选：A2．〔5分〕函数y=1﹣2x的值域为〔〕A．[1，+∞〕B．〔1，+∞〕C．〔﹣∞，1]D．〔﹣∞，1〕【解答】解：函数y=1﹣2x，其定义域为R．∵2x的值域为〔0，+∞〕，∴函数y=1﹣2x的值域为〔﹣∞，1〕，应选D．3．〔5分〕直线3x+y+1=0的倾斜角是〔〕A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：直线3x+y+1=0的斜率为：，直线的倾斜角为：θ，tan，可得θ=120°．应选：C．4．〔5分〕如图是一个几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A．9πB．18πC．27πD．54π【解答】解：由中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的圆锥，圆锥的底面直径为6，故底面半径r=3，圆锥的高h=6，故圆锥的体积V==18π，应选：B5．〔5分〕以下函数中既是偶函数，又在〔0，+∞〕上单调递减的为〔〕A．B．y=x﹣2C．D．y=x2【解答】解：对于A：y=，函数在〔0，+∞〕递增，不合题意；对于B：y=是偶函数，在〔0，+∞〕递减，符合题意；对于C：y=，不是偶函数，不合题意；对于D：y=x2在〔0，+∞〕递增，不合题意；应选：B．6．〔5分〕直线l1：3x+2y+1=0，l2：x﹣2y﹣5=0，设直线l1，l2的交点为A，那么点A到直线的间隔为〔〕A．1 B．3 C．D．【解答】解：联立，得，∴A〔1，﹣2〕，∴点A到直线的间隔为d==1．应选：A．7．〔5分〕方程的实数根的所在区间为〔〕A．〔3，4〕 B．〔2，3〕 C．〔1，2〕 D．〔0，1〕【解答】解：令f〔x〕=lnx﹣，易知f〔x〕在其定义域上连续，f〔2〕=ln2﹣=ln2﹣ln＞0，f〔1〕=ln1﹣1=﹣1＜0，故f〔x〕=lnx﹣，在〔1，2〕上有零点，故方程方程的根所在的区间是〔1，2〕；应选：C．8．〔5分〕计算其结果是〔〕A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【解答】解：原式=+﹣lg5+|lg2﹣1|=+﹣lg5﹣lg1+1=1，应选：B9．〔5分〕b＞0，log3b=a，log6b=c，3d=6，那么以下等式成立的是〔〕A．a=2c B．d=ac C．a=cd D．c=ad【解答】解：b＞0，3d=6，∴d=log36，∴log36•log6b=log3b，∴a=cd应选：C10．〔5分〕α，β是两个不同的平面，给出以下四个条件：①存在一条直线a，使得a⊥α，a⊥β；②存在两条平行直线a，b，使得a∥α，a∥β，b∥α，b∥β；③存在两条异面直线a，b，使得a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在一个平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β．其中可以推出α∥β的条件个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：当α、β不平行时，不存在直线a与α、β都垂直，∴a⊥α，a⊥β⇒α∥β，故①正确；对②，∵a∥b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α时，α、β位置关系不确定②不正确；对③，异面直线a，b．∴a过上一点作c∥b；过b上一点作d∥a，那么a与c 相交；b与d相交，根据线线平行⇒线面平行⇒面面平行，正确对④，∵γ⊥α，γ⊥β，α、β可以相交也可以平行，∴不正确．应选B．11．〔5分〕设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，假设A∪B=A，那么实数m 的取值范围为．〔〕A．[﹣2，1〕B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1〕D．[﹣1，1〕【解答】解：集合A={x|2x≤8}={x|x≤3}，因为A∪B=A，所以B⊆A，所以m2+m+1≤3，解得﹣2≤m≤1，即m∈[﹣2，1]．应选：B．12．〔5分〕定义函数序列：，f2〔x〕=f〔f1〔x〕〕，f3〔x〕=f〔f2〔x〕〕，…，f n〔x〕=f〔f n﹣1〔x〕〕，那么函数y=f2021〔x〕的图象与曲线的交点坐标为〔〕A．B．C．D．【解答】解：由题意f1〔x〕=f〔x〕=．f2〔x〕=f〔f1〔x〕〕==，f3〔x〕=f〔f2〔x〕〕==，…f n〔x〕=f〔f n﹣1〔x〕〕=，∴f2021〔x〕=，由得：，或，由中x≠1得：函数y=f2021〔x〕的图象与曲线的交点坐标为，应选：A二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．〔5分〕函数y=+1g〔x﹣1〕的定义域是〔1，2] ．【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得：x∈〔1，2]．函数y=+1g〔x﹣1〕的定义域是〔1，2]．故答案为：〔1，2]．14．〔5分〕设函数f〔x〕=，那么方程f〔x〕=2的所有实数根之和为．【解答】解：∵f〔x〕=，那么方程f〔x〕=2∴x＞0时，x=2，x=3，x≤0时，x2=2，x=，∴+3=故答案为：15．〔5分〕设点A〔﹣5，2〕，B〔1，4〕，点M为线段AB的中点．那么过点M，且与直线3x+y﹣2=0平行的直线方程为3x+y+3=0．【解答】解：M〔﹣2，3〕，设与直线3x+y﹣2=0平行的直线方程为：3x+y+m=0，把点M的坐标代入可得：﹣6+3+m=0，解得m=3．故所求的直线方程为：3x+y+3=0．故答案为：3x+y+3=0．16．〔5分〕以下命题中①假设log a3＞log b3，那么a＞b；②函数f〔x〕=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞〕的值域为[2，+∞〕；③设g〔x〕是定义在区间[a，b]上的连续函数．假设g〔a〕=g〔b〕＞0，那么函数g〔x〕无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有②④．【解答】解：假设log a3＞log b3＞0，那么a＜b，故①错误；函数f〔x〕=x2﹣2x+3的图象开口朝上，且以直线x=1为对称轴，当x=1时，函数取最小值2，无最大值，故函数f〔x〕=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞〕的值域为[2，+∞〕；故②正确；g〔x〕是定义在区间[a，b]上的连续函数．假设g〔a〕=g〔b〕＞0，那么函数g〔x〕可能存在零点；故③错误；数满足h〔﹣x〕=﹣h〔x〕，故h〔x〕为奇函数，又由=﹣e x＜0恒成立，故h〔x〕为减函数故④正确；故答案为：②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔10分〕在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中：〔Ⅰ〕求证：AC∥平面A1BC1；〔Ⅱ〕求证：平面A1BC1⊥平面BB1D1D．【解答】证明：〔Ⅰ〕因为AA1∥CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形，…〔2分〕所以AC∥A1C1，又A1C1⊂平面A1BC1，AC⊄平面A1BC1，AC∥平面A1BC1；…〔5分〕〔Ⅱ〕易知A1C1⊥B1D1，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，…〔7分〕因为BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，因为A1C1⊂平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面BB1D1D．…〔10分〕18．〔12分〕过点P〔m，n〕的直线l与直线l0：x+2y+4=0垂直．〔Ⅰ〕假设，且点P在函数的图象上，求直线l的一般式方程；〔Ⅱ〕假设点P〔m，n〕在直线l0上，判断直线mx+〔n﹣1〕y+n+5=0是否经过定点？假设是，求出该定点的坐标；否那么，请说明理由．【解答】解：〔Ⅰ〕点P在函数的图象上，，即点…〔2分〕由x+2y+4=0，得，即直线l0的斜率为，又直线l与直线l0垂直，那么直线l的斜率k满足：，即k=2，…〔4分〕所以直线l的方程为，一般式方程为：2x﹣y+1=0．…〔6分〕〔Ⅱ〕点P〔m，n〕在直线l0上，所以m+2n+4=0，即m=﹣2n﹣4，…〔8分〕代入mx+〔n﹣1〕y+n+5=0中，整理得n〔﹣2x+y+1〕﹣〔4x+y﹣5〕=0，…〔10分〕由，解得，故直线mx+〔n﹣1〕y+n+5=0必经过定点，其坐标为〔1，1〕．…〔12分〕19．〔12分〕函数〔其中a为非零实数〕，且方程有且仅有一个实数根．〔Ⅰ〕务实数a的值；〔Ⅱ〕证明：函数f〔x〕在区间〔0，+∞〕上单调递减．【解答】解：〔Ⅰ〕由，得，又a≠0，即二次方程ax2﹣4x+4﹣a=0有且仅有一个实数根〔且该实数根非零〕，所以△=〔﹣4〕2﹣4a〔4﹣a〕=0，解得a=2〔此时实数根非零〕．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得：函数解析式，任取0＜x1＜x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕==，∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，2+x1x2＞0，x1x2＞0，∴f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0，即f〔x1〕＞f〔x2〕，∴函数f〔x〕在区间〔0，+∞〕上单调递减．20．〔12分〕研究函数的性质，并作出其图象．【解答】〔本小题总分值12分〕解：〔1〕函数的定义域为{x/x∈R，x≠±2}…〔1分〕〔2〕函数的奇偶性：∵∴f〔x〕是偶函数…〔3分〕〔3〕∵，当x∈[0，2〕时，且递减；当x∈〔2，+∞〕时，f〔x〕＞1，递减且以直线x=2，y=1为渐近线；又f〔x〕是偶函数∴f〔x〕当x∈〔﹣2，0]时，且递增；当x∈〔﹣∞，﹣2〕时，f〔x〕＞1，递增且以直线x=﹣2，y=1为渐近线；…〔8分〕〔4〕函数f〔x〕的图象如以下图．…〔12分〕21．〔12分〕矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点．如图将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．〔Ⅰ〕求证：BM⊥平面ADM；〔Ⅱ〕假设点E是线段DB上的中点，求三棱锥E﹣ABM的体积V1与四棱锥D﹣ABCM的体积V2之比．【解答】〔本小题总分值12分〕证明：〔Ⅰ〕因为矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点，所以，所以AM2+BM2=AB2，所以BM⊥AM．…〔3分〕因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，又BM⊂平面ABCM，且BM⊥AM，∴BM⊥平面ADM．…〔6分〕解：〔Ⅱ〕因为E为DB的中点，所以，…〔8分〕又直角三角形ABM的面积，梯形ABCM的面积，所以，且，…〔11分〕所以．…〔12分〕22．〔12分〕函数f〔x〕=x2+2bx+c，且f〔1〕=f〔3〕=﹣1．设a＞0，将函数f 〔x〕的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移a2个单位长度，得到函数g 〔x〕的图象．〔Ⅰ〕假设函数g〔x〕有两个零点x1，x2，且x1＜4＜x2，务实数a的取值范围；〔Ⅱ〕设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，假设有，那么称该函数为“陡峭函数〞．假设函数g〔x〕在区间[a，2a]上为“陡峭函数〞，务实数a的取值范围．【解答】〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕由，即f〔x〕=x2﹣4x+2，…〔1分〕由题设可知g〔x〕=〔x﹣a〕2﹣4〔x﹣a〕+2﹣a2=x2﹣〔2a+4〕x+4a+2，…〔2分〕因为g〔x〕有两个零点x1，x2，且x1＜4＜x2，∴g〔4〕=16﹣4〔2a+4〕+4a+2＜0，，又a＞0，于是实数a的取值范围为．…〔5分〕〔Ⅱ〕由g〔x〕=x2﹣〔2a+4〕x+4a+2可知，其对称轴为x=a+2，…〔6分〕①当0＜a≤2时，a+2≥2a，函数g〔x〕在区间[a，2a]上单调递减，最小值λ=g〔2a〕=﹣4a+2，最大值μ=g〔a〕=﹣a2+2，那么，显然此时a不存在，…〔8分〕②当2＜a≤4时，a＜a+2＜2a，最小值λ=g〔a+2〕=﹣a2﹣2，又，最大值μ=g〔a〕=﹣a2+2，那么，，又2＜a≤4，此时a亦不存在，…〔10分〕③当a＞4时，a＜a+2＜2a，最小值λ=g〔a+2〕=﹣a2﹣2，又，故最大值μ=g〔2a〕=﹣4a+2，那么，，即，综上可知，实数a的取值范围为．…〔12分〕。