排列组合典型题解

排列组合典型题解“十法”
一、特殊元素（位置）——“优先法”
把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1、6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
解法1：（元素分析法）：
解法2：（位置分析法）：
例2、用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）
A.24
B.30
C.40
D.60
例3、在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数共有_____个．
例4、将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有种？
练习：（1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数？
（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的五位奇数？
（3）五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有种。

二、相邻问题——“捆绑法”
对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。

例5、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？
例6、5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
练习：求不同的排法种数：
（1）6男2女排成一排，2女相邻；
（2）4男4女排成一排，同性者相邻；
三、不相邻问题——“插空法”
元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例7、7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
引申：
（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？
（2）三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？
例8、（熄灯问题）某城市新建的一条道路上有12只路灯，为节约用电而不影响照明，可以熄灭其中三盏灯，但是两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，熄灯方法共有 种。

A. 312C
B. 38C
C. 39C
D. 311C
例9、用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___个．（用数字作答） 练习：求不同的排法种数：
（1）6男2女排成一排，2女不能相邻；
（2）4男4女排成一排，同性者不能相邻．
四、 定序问题——“除法”
对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。

解题方法是：先将n 个元素进行全排列有A n n 种，m m n ()≤个元素的全排列有A m m
种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，则有A A n n m
m 种排列方法。

例10、有4名男生，3名女生。

3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？
例11、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？
例12、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？
例13、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前有增加了2个新节目,如果将这两节目插入节目单中,那么不同的插法种数为______.
点评： 排列与组合的根本区别是元素之间有否顺序.若元素之间交换次序后是两种不同的情形,则是排列问题;若元素之间交换次序后是相同的情形,则是组合问题;另外若元素之间已经规定了顺序,则仍是组合问题。

练习：三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？
五、 指标问题——“隔板法”
解决指标分配、相同的元素分割、不定方程的正整数解的个数等. 如n 个相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从n-1个间隙里选m-1个结点剪成m 段（或者看作插入m －1块隔板），有1
1--m n C 种方法.
例14、有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？
例15、方程12=+++w z y x 有多少组正整数解？
引申：（1）求不等式10<++z y x 的正整数解的个数。

（2）方程84321=+++x x x x 的非负整数解的组数是多少？
例16、把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有______种.
例17、某校准备参加2005年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.
练习：（1）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有 种。

（2）不定方程107321=++++x x x x 的正整数解共有 组
六、 分排问题——“直排法”
对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。

例17、9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？ 例18、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？
七、 重复问题——“求幂法”
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。

例19、七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（ ）
A. 57
B. 75
C. 57A
D. 57C
练习：在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.
（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）
34C
八、 复杂问题——“排除法”
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。

在应用此法时要注意做到不重不漏。

例20、某班里有43位同学，从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
例21、四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有
A. 150种
B. 147种
C. 144种
D. 141种
点评：为求完成某件事的方法种数,如果我们分步考虑时,会出现某一步的方法种数不确定或
计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题的有效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数.
例22、将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路,如果元件A 不排在始端,元件B 不排在末端,那么这六个电子元件组成不同的电路的种数是_ . 练习：（1） 五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有
（2） 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？
九、 分配问题——“分组法”
关于将n 个元素分成m 个组的分法种数，我们有下面的结论：
（1）若k 1+ k 2+ k 3+ ……+k m =n 且k 1，k 2，k 3， ……k m 互不相等，
则将n 个元素分成m 个组（其中第一个组k 1个元素，第二个组k 2个元素，第n 个组k m 个元
素）的不同分法种数为m m k
k k k k n k k n k n C C C C 321211--- （2）若将n 个元素平均分成m 个组，每组k 个元素（n=mk ），则所有不同的分法种数为k k k
k k k m k km A C C C )1(- （注：关于部分平均分组问题的分组方法数，要视具体要求而定。

）
例23、将6本不同的书分别按下面的方式分配，共有多少种不同的分配方法？
⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；
⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；
⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；
⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；
⑸分成3堆，每堆2 本。

⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；
⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本。

十、 探寻规律——“枚举法”
题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。

把符合条件的安排不重复、不遗漏的一一列举出来，是最简单、最原始但也是最基本的计数方法．教材中多次应用到，高考中也常用枚举法解决问题．
例24、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（ ）
A ．5种
B ．6种
C ．7种
D ．8种
例25、将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（ ）
A.6
B.9
C.11
D.23
例26、从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和大于100，这样的取法共有多少种？。