2019-2020年高一上学期期末统考数学试题 含答案

2019-2020年高一上学期期末统考数学试题 含答案2017．1（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．4tan3π= ▲ ． 2．计算：2lg 2lg 25+= ▲ ．3．若幂函数()f x x α=的图象过点(4,2)，则(9)f = ▲ ． 4．已知角α的终边经过点(2,)(0)P m m >，且cos α=，则m = ▲ ． 5．在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将一根确定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ ．6．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4 cm ，则该扇形面积为 ▲ cm 2． 7．若3a b +=，则代数式339a b ab ++的值为 ▲ ．8．已知0.6log 5a =，452b =，sin1c =，将,,a b c 按从小到大的顺序用不等号“<”连接为 ▲ ．9．将正弦曲线sin y x =上所有的点向右平移23π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式y = ▲ ．10．已知函数()f x 为偶函数，且(2)()f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，1()()2x f x =，则7()2f =▲ ．11．已知21()ax x f x x++=在[2,)+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．12．如图所示，在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 是边CD 的中点，13D F D A=，若4A E B F ⋅=-，则EF DCBA（第12题）sin BAD ∠= ▲ ．13．已知12(1)()32(1)x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩，若对任意[0,]2πθ∈，不等式211(cos sin )032f θλθ+-+>恒成立，整数λ的最小值为 ▲ ．14．已知函数1()ln()f x a x =-（a R ∈）．若关于x 的方程ln[(4)25]()0a x a f x -+--=的解集中恰好有一个元素，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知全集U R =，集合{|27}A x x =≤<，3{|0log 2}B x x =<<，{|1}C x a x a =<<+． （1）求AB ，()U C A B ；（2）如果A C =∅，求实数a 的取值范围．16．（本题满分14分）已知：θ为第一象限角，(sin(),1)a θπ=-，1(sin(),)22b πθ=--．（1）若//a b ，求sin 3cos sin cos θθθθ+-的值；（2）若||1a b +=，求sin cos θθ+的值．17．（本题满分14分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P 和Q （万元），它们与投入资金m （万150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲，乙两种产品的投资金额不低于25万元．（1）设对乙产品投入资金x 万元，求总利润y （万元）关于x 的函数关系式及其定义域； （2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？18．（本题满分16分）已知函数)(0)4y x πωω=+>．（1）若4πω=，求函数的单调增区间和对称中心；（2）函数的图象上有如图所示的,,A B C 三点，且满足AB BC ⊥． ①求ω的值；②求函数在[0,2]x ∈上的最大值，并求此时x 的值．19．（本题满分16分）已知函数1()1x x e f x e -=+（e 为自然对数的底数，2,71828e =）．（1）证明：函数()f x 为奇函数；（2）判断并证明函数()f x 的单调性，再根据结论确定23(1)()4f m m f -++-与0的大小关系；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在定义域[,]a b 上的值域为[,]a b ke ke ．若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数2()||2f x ax x b=-+（a，b R∈）．（1）当152,2a b=-=-时，解方程(2)0xf=；（2）当0b=时，若不等式()2f x x≤在[0,2]x∈上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a为常数，且函数()f x在区间[0,2]上存在零点，求实数b的取值范围．扬州市2016—2017学年度第一学期期末调研测试试题高 一 数 学 参 考 答 案 2017．11 2．2 3．3 4．1 5．3(,2)2 6． 1 7．278． a c b << 9．2sin(3)3πy x =- 10 11．1[,)4+∞ 12．4 13．1 14．(1,2]{3,4}15．解：（1）由30log 2x <<，得19x << ∴{|19}B x x =<<， ∴(1,9)AB =， ............4分(,2)[7,)U C A =-∞+∞，()(1,2)[7,9)U C A B =； ............8分（2）A C =∅ ∴12a +≤或7a ≥，解得：1a ≤或7a ≥． ............14分16．解：（1）(sin(),1)(sin ,1)a θπθ=-=-，1(cos ,)2b θ=-//a b ∴1cos sin 02θθ-=， 化简得：tan 2θ=（不求也可以）， ...........4分∴sin 3cos tan 35sin cos tan 1θθθθθθ++==-- ...........7分（2）||1a b += ∴21(sin cos )14θθ-++=，则1sin cos 8θθ= ............11分25(sin cos )12sin cos 4θθθθ∴+=+=θ为第一象限角 sin 0,cos 0θθ∴>>，则sin cos θθ+=............14分 17．解：（1）对乙产品投入资金x 万元，则对甲产品投入资金（150x -）万元；所以11(150)657619133y P Q x x =+=-+++-+， ............5分2515015025150x x ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，解得：25125x ≤≤，∴其定义域为[25,125]； ............7分（2）令t 则[5,5]t ∈，则原函数化为关于t 的函数：21()41913h t t t =-++，t ∈ .............10分 所以当6t =，即36x =时，max max ()(6)203y h t h ===（万元）答：当对甲产品投入资金114万元，对乙产品投入资金36万元时，所得总利润最大，最大利润为203万元． .............14分 18．解：（1）3sin()44y x ππ=+．22,2442k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，解得：3818,k x k k Z -+≤≤+∈∴函数的单调增区间为[38,18]()k k k Z -++∈； .............4分,44x k k Z πππ+=∈ 14,x k k Z ∴=-+∈ ∴函数的对称中心为(14,0)()k k Z -+∈.............8分（2）①由图知：点B 是函数图象的最高点，设0(B x ，函数最小正周期为T ，则003(,0),(,0)44T T A x C x -+ 3(,3),(3)44TTAB BC ∴==， ............10分 AB BC ⊥ 233016AB BC T ∴⋅=-=，解得：4T = 242ππω∴==． ............12分②[0,2]x ∈ 5[,]2444x ππππ∴+∈ s i n (),1]24x ππ∴+∈∴函数在[0,2] ............14分 此时2,242x k k Z ππππ+=+∈，则14,2x k k Z =+∈； [0,2]x ∈ 12x ∴=............16分 19．解：（1）函数()f x 定义域为R ， .............1分对于任意的x R ∈，都有11()()11x x x xe ef x f x e e -----===-++，所以函数()f x 为奇函数． .............4分 （2）在R 上任取12,x x ，且12x x <， 1212121212112()()()11(1)(1)x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----=-=++++12x x < 120x x e e ∴<<12120,10,10x x x x e e e e ∴-<+>+>12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x < ()f x ∴为R 上的增函数 .............7分221331()244m m m -+=-+≥23(1)()4f m m f ∴-+≥223333(1)()(1)()()()04444f m m f f m m f f f ∴-++-=-+-≥-=. ............10分（3）()f x 为R 上的增函数且函数()f x 在定义域[,]a b 上的值域[,]a b ke ke∴0k >且()()a bf a ke f b ke⎧=⎨=⎩ 11x x x e ke e -∴=+在R 上有两个不等实根； .............12分 令,(0,)x t e t =∈+∞且单调增，问题即为方程2(1)10kt k t +-+=在(0,)+∞上有两个不等实根， 设2()(1)1h t kt k t =+-+，则2(1)4010(0)10k k k k h ⎧-->⎪-⎪->⎨⎪=>⎪⎩，解得：03k <<-． .............16分 20．解：（1）当152,2a b =-=-时，2()|2|15f x x x =+-，所以方程即为：|2(22)|150x x +-= 解得：23x =或25x =-（舍），所以2log 3x =； .............3分 （2）当0b =时，若不等式||2x a x x -≤在[0,2]x ∈上恒成立；当0x =时，不等式恒成立，则a R ∈； .............5分 当02x <≤时，则||2a x -≤在(0,2]上恒成立，即22x a -≤-≤在(0,2]上恒成立， 因为y x a =-在(0,2]上单调增，max 2y a =-，min y a >-，则222a a -≤⎧⎨-≥-⎩，解得：02a ≤≤；则实数a 的取值范围为[0,2]； .............8分 （3）函数()f x 在[0,2]上存在零点，即方程||2x a x b -=-在[0,2]上有解； 设22()()()x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩当0a ≤时，则2(),[0,2]h x x ax x =-∈，且()h x 在[0,2]上单调增，所以min ()(0)0h x h ==，max ()(2)42h x h a ==-，则当0242b a ≤-≤-时，原方程有解，则20a b -≤≤；............10分当0a >时，22()()()x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩，()h x 在[0,]2a 上单调增，在[,]2aa 上单调减，在[,)a +∞上单调增； ① 当22a≥，即4a ≥时，max min ()(2)24,()(0)0h x h a h x h ==-==，则当0224b a ≤-≤-时，原方程有解，则20a b -≤≤；② 当22a a <≤，即24a ≤<时，2max min ()(),()(0)024a a h x h h x h ====，则当2024a b ≤-≤时，原方程有解，则208a b -≤≤；③当02a<<时，2max min()max{(),(2)}max{,42},()(0)024a ah x h h a h x h==-==，当2424aa≥-，即则42a-+<时，2max()4ah x=，则当2024ab≤-≤时，原方程有解，则28ab-≤≤；当2424aa<-，即则04a<<-+max()42h x a=-，则当0242b a≤-≤-时，原方程有解，则20a b-≤≤；...........14分综上，当4a<-+b的取值范围为[2,0]a-；当44a-+≤<时，实数b的取值范围为2[,0]8a-；当4a≥时，实数b的取值范围为[2,0]a-．.....................................16 分。