概率论期中考试试卷及答案

将 个不同的球随机地放在 个不同的盒子里，求下列事件的概率 个球全在一个盒子里 恰有一个盒子有 个球

解

把 个球随机放入 个盒子中共有45 种等可能结果 （ ） 个球全在一个盒子里 共有 种等可能结果 故

个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有

30

2

415=C C 种方法

个球中取 个放在一个盒子里，其他 个各放在一个盒子里有 种方法 因此， 恰有一个盒子有 个球 共有 × 种等可能结果

故

12572

625360)(=

=

B P

某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为 小时和 小时，设甲、乙在 小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。

解：

设 分别为两船到达码头的时刻。

由于两船随时可以到达，故 分别等可能地在 上取值，如

厦门大学概统课程期中试卷

＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业

考试时间

右图

方形区域，记为Ω。设 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。

222024,024024,024,2111

()24576,()2322506.522

()

()0.8793

()x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===⨯+⨯===Ω={(x,y)},

A={(x,y)或},有所以，

设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是 ： ： ，且第一、二、三厂家的正品率依次为 、 、 ，若在该商场随机购买一件商品，求：

该件商品是次品的概率。

该件次品是由第一厂家生产的概率。

解

1231122331,

(1)

()()(|)()(|)()(|)

=60%*(1-98%)+20%*(1-98%)+20%*(1-96%) =0.024

(2) (|)A B B B P A P B P A B P B P A B P B P A B P B A =++=

设为该产品为次品，,分别为三个厂家产品，则由全概率公式可知由贝叶斯公式可知

111()()(|)60%*(1-98%)

()()0.024

=0.5P AB P B P A B P A P A ==

甲乙丙三台机床独立工作，在同一时间内他们不需要工人照顾的概率分别为 ，求在这段时间内，最多只有一台机床需人照顾的概率。

解：

设123A A A 、、分别代表这段时间内甲、乙、丙机床需要照管，i B 代表这段时

间内恰有 台机床需要照管， 、

显然，0B 与1B 互斥，123A A A 、、相互独立。并且：

123012312311231231230101(=(=(=(=((((=(=(+(+(=+(=((P A P A P A P B P A A A P A P A P A P B P A A A P A A A P A A A P B B P B P B ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋃+）0.3、）0.2、）0.1

））=）））=0.70.80.90.504，））））

0.30.80.90.70.20.9+0.70.80.1=0.398故最多只有一台机床需要照顾的概率为：）））=0.902

设顾客在某银行的窗口等候服务的时间 （以分钟计）服从参数为 的指数分布，某顾客在窗口等候服务，若超过 分钟，他就离开．他一月内要到银行 次，以 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试计算

≥ ．

解：

1

5125

10

20202551,0()5

0,015(10),

5~(5,)

(1)1(0)1()(1-)=1-0.4833=0.5167x x e x X f x x Y n p P X e dx e Y B e P Y P Y C e e -+∞

-----⎧>⎪

=⎨⎪≤⎩

==>==≥=-==-⨯⎰的密度函数为为伯努利概型，其中，，即

某种电池的寿命 （单位：小时）是一个随机变量，服从μ ，σ 的正态分布，求这样的电池寿命在 小时以上的概率，并求一允许限 ，使得电池寿命在 ， 内的概率不小于 ．

(1.4286)0.9236;(1.65)0.95Φ=Φ=

解：

22~()=(30035)250300

(250)1(250)1()1( 1.4286)35

(1.4286)0.9236

(300300)(300)(300)(

)()2()10.9353535()0.95351.6557.7535X N N P X F P x X x F x F x x x x

x

x

x μσ-≥=-=-Φ=-Φ-=Φ=-<<+=+--=Φ-Φ-=Φ-≥Φ≥≥≥因，，故又即；

故，

设随机变量 在区间 − 上服从均匀分布，求2x Y e = 的密度函数

解：

2-24-2

4

-241

,12

~(12)()3

0,1

,,

2111(),3261,6()0,X x Y Y x X U X f x dx Y e e y e dy y f y e y e y y e y e

y

Y f y ⎧-<<⎪-=⎨⎪⎩==<<==<<⎧<<⎪=⎨⎪⎩

因，，有的密度函数为其他

又因为严格单增，且-1

假定某人浏览网站时独立且随机点击任意网站，点击甲网站概率为 。浏览进行到点击甲网站两次为止，用 表示直至第一次点击甲网站为止所点击的次数，以 表示此次浏览点击网站的总次数，试求（ ）的联合分布律及 与 的条件分布律。

解：

各次点击是独立的，对任意的 ，有