黑龙江省高考数学试题及答案

2012年黑龙江省数学（理科）

本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 10

2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种

3. 下面是关于复数i

z +-=

12

的四个命题： :3P z 的共轭复数为i +1

:4P z 的虚部为1-

其中的真命题为

A. 2P ，3P

B. 1P ，2P

C. 2P ，4P

D. 3P ，4P

4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a

x =上的一点，

12PF F △是底角为?30的等腰三角形，则E 的离心率为

A.

2

1

B.

3

2 C.

4

3 D.

5

4 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a

A.7

B. 5

C.5-

D. 7-

6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则

A. B A +为N a a a ,,,21 的和

B.

2

B

A +为N a a a ,,,21 的算术平均数

C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数

D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数

7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18

8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，

两点，34||=AB ，则的实轴长为

A.2

B. 22

C. 4

D. 8

9. 已知0>ω，函数)4

sin()(π

ω+

=x x f 在),2(ππ

单调递减，则ω的取值范围是

A. ]4

5

,21[

B. ]43,21[

C. ]2

1,0(

D. ]2,0(

10. 已知函数x

x x f -+=

)1ln(1

)(，则)(x f y =的图像大致为

11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为

A.

6

2 B.

6

3 C.

3

2 D.

2

2 12. 设点P 在曲线x

e y 2

1=

上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为

A. 2ln 1-

B.

)2ln 1(2- C. 2ln 1+

D.

)2ln 1(2+

二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.

13.已知向量a ，b 夹角为?45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .

14. 设y x ,满足约束条件????

???≥≥≤+-≥-0

031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .

15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的

使用寿命（单位：小时）服从正态分布

)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .

16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n

n ，则}{n a 的前60项和为 .

三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，

0sin 3cos =--+c b C a C a .

(Ⅰ) 求A ；

(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .

18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式； 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数

10

20

16

16

15

13

10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

19. （本小题满分12分）

如图，直三棱柱111C B A ABC -中，

12

1

AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1

(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.

20. （本小题满分12分）

设抛物线:C py x 22

=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆

心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点 (Ⅰ) 若90BFD ∠=?，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；

(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，

求坐标原点到m ，n 的距离的比值. 21. （本小题满分12分） 已知函数1

21

()(1)(0)2

x f x f e

f x x -'=-+.

(Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；

(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥

2

2

1)(，求b a )1(+的最大值 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；

(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ?

?=??

=?

（?为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3

,2(π.

(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；

(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2

2

2

2

||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .

(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；

(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.

2012年全国卷新课标——数学理科答案

（1）【解析】选D.

法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；

法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2

510C =种选

法. （2）【解析】选A.

只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1

2

24C C 种安排方案.

（3）【解析】选C.

经计算， 2

2

1,21 z i z i i =

=--=-+.

（4）【解析】选C.

画图易得,21F PF △是底角为30的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ??

-= ???

, 所以3

4

c e a =

=. （5）【解析】选D.

472a a +=,

56478a a a a ==-,

474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,

14710,,,a a a a 成等

比数列，1107a a ∴+=-.

（6）【解析】选C. （7） 【解析】选B.

由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，

11

3932

V =??=.

（8） 【解析】选C.

易知点(-在222

x y a -=上，得2

4a =，24a =.

（9）【解析】选A. 由

322,2

2

4

4

2Z k k k π

π

π

π

ππωπωπ+≤+

<+

≤

+∈得，15

42,24

Z k k k ω+≤≤+∈， 1

502

4

ωω>∴≤≤.

(10) 【解析】选B.

易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号.

(11) 【解析】选A.

易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O ABC -是棱长为1

的正四面体，其高为3

134312O ABC V -=?=

，26

S ABC O ABC V V --==

(12) 【解析】选B.

12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，曲线1

2x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x =对称，

只需求曲线12x y e =

上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ??

???

，点

P 到直线y x =

距离d =

. 令()12

x f x e x

=-，则()112

x

f x e '=

-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <，故当ln 2x =时，()f x 取最小值1ln 2-.所

以d

=

1x e x -=

，min d =

所以)min min ||21ln 2PQ d ==-. (13) 【

解析】由已知得，()2

2

2

2

2244||-=-=-a b a b a a b+b 2

2

44cos 45=-a a b +b

2

410=-=b +b

，解得=b (14) 【解析】[]3,3-.

画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点()1,2时，Z 取最小值3-；当直线

2Z x y =-经过点()3,0时，Z 取最大值3.故2Z x y =-的取值范围为[]3,3-.

(15) 【解析】

38

. 由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为

1

2

，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2113

11228

????--?=?? ???????.

(16) 【解析】1830.

由1(1)21n

n n a a n ++-=-得，

22143k k a a k --=-……① 21241k k a a k +-=-……②,

再由②-①得,

21212k k a a +-+=……③

由①得, ()()()214365S S a a a a a a -=-+-+-+奇偶…()6059a a +-

159=+++…117+()11173017702

+?=

=

由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++ 所以, ()

217702301830S S S S S S =+=-+=+?=60奇奇奇偶偶.

(17) 解：(Ⅰ)法一:由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得

sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,

()

sin cos sin sin sin 0A C A C A C C -+-=,

sin cos sin sin 0A C A C C --=,

sin 0C >,cos 10A A --=,

2sin 106A π??∴--= ???,1sin 62A π?

?-= ???,

0A π<<，56

6

6A π

π

π

∴-

<-

<

，

法二:由正弦定理可得sin sin a C c A =，由余弦定理可得 222

cos 2a b c C ab +-=.

再由cos sin 0a C C b c +--=可得，222

sin 02a b c a A b c ab

+-?

--=，

即2222

sin 220a b c A b bc +-+--=，

222

12b c a A bc +--+=cos 1A A -=，2sin 16A π??-= ??

?，

1sin 62A π?

?-= ??

?，

0A π<<，56

6

6A π

π

π

∴-

<-

<

，

(Ⅱ)

ABC S =△1sin 24

bc A bc ∴=

=4bc ∴=， 2,3

a A π

==

， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 22

8b c ∴+=.

解得2b c ==.

(18) 解：(Ⅰ) ()()

1080,1580,16 n n y n -≤??=?

≥??（n N ∈）；

X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，

X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.

X 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，

因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花. (19) (Ⅰ) 证明：设11

2

AC BC AA a ==

=， 直三棱柱111C B A ABC -，

1DC DC ∴=， 12CC a =，2

2211DC DC CC ∴+=

，1DC DC ∴⊥.

又

1DC BD ⊥，1DC

DC D =，1DC ∴⊥平面BDC .

BC ?平面

BDC ,1DC BC ∴⊥.

(Ⅱ)由 (Ⅰ)

知，1DC =，1BC ，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =

=∠=， AB ∴=.

2

2

2

AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.

法一：取11A B 的中点E ，则易证

1C E ⊥平面1

BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，

1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.

在1Rt C DE △中，1111sin 2

C E

C DE C D

∠=

==，1

30C DE ∴∠=.

即二面角11C BD A --的大小为30.

法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系

C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B a

D a a C a .

()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=-，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，

则11111100

n DB ax ay az n DC ax az ?=-+-=??=-+=??,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n =. 同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =. 设1n 与2n 的夹角为θ,则

1212

cos 26n n n n θ?=

=

= 30θ∴=. 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30.

(20) 解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p

,斜边长

2BD p =.

点A 到准线l

的距离d FB FD ==.

由ABD S =△,

11

222

BD d p ??=?=2p ∴=.

圆F 的方程为()2

2

18x y +-=.

(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,

90o ADB ∠=,2BD p ∴=,

3

2

A y p ∴=

,代入抛物线:C py x 22

=

得A x . 直线m

的斜率为

AF k =

=

.直线m 的方程为02x +=. 由py x 22

= 得

2

2x y p

=,x y p '=.

由x y p '==

, 3x p =.故直线n 与抛物线C 的切点坐标为

,36p

?? ? ???

, 直线n 的方程为06

x --

=.

所以坐标原点到m ，n

3=.

(21) 解: (Ⅰ) 1

()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,

再由1

21

()(1)(0)2

x f x f e

f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=.

所以)(x f 的解析式为21()2

x

f x e x x =-+.

()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.

所以()00,()00,f x x f x x ''>?>

(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥

2

21)(恒成立, 即()()21()102

x

h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，

()()1x h x e a '=-+,

(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;

(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;

(3)当10a +>时, ()()1x

h x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,

故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>?>+

当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()

()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()

()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥, 即()()11ln 1b a a a ≤+-++,

10a +>,()()()()22

111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,

令()()2

2

ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-

,

()00()0u x x u x x ''>?<<

所以当x =

, ()u x 取最大值2

e u

=

.

故当1a b +==

, ()1a b +取最大值2

e . 综上, 若b ax x x

f ++≥

2

21)(，则 b a )1(+的最大值为2

e . (22) 证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点， ∴//DE BC .

//CF AB ,//DF BC ,CF

BD ∴且 =CF BD ，

又∵D 为AB 的中点，CF

AD ∴且 =CF AD ，CD AF ∴=.

//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC

GF ，GB CF BD ∴==， BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠

BCD GBD ∴△∽△.

(23) 解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.

所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ??，则 2

2

2

2

||||||||PD PC PB PA +++

2216cos 36sin 16??=++[]23220sin 32,52?=+∈.

所以2

2

2

2

||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.

(24) 解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ? |3||2|3x x -+-≥

? ()()2323x x x ≤???

----≥??或()()23323x x x <

323

x x x ≥???-+-≥?? ?或4x ≥.

所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{

1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，

即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立， 即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立， 即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立，

所以21

22

a a --≤??

-≥?，即30a -≤≤.

所以a 的取值范围为[]3,0-.