2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 平面向量基本定理及其坐标运算
B．(－3，－5) D．(2,4)
→ → → → → → → 解析：由题意得BD ＝AD －AB ＝BC －AB ＝(AC －AB )－ → → → AB＝AC－2AB＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
答案：B
考点三
平面向量共线的坐标运算
[例3]
已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得
解析：由已知，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝ (1,8)． (1)3a＋b－3c＝3· (5，－5)＋(－6，－3)－3· (1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
－6m＋n＝5， ∴ －3m＋8n＝－5， m＝－1， 解得 n＝－1.
(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 又∵(a＋kc)∥(2b－a)， ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0. 16 ∴k＝－13.
(3)设向量d坐标为(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b ＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 x－42＋y－12＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
→ → → 异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM ＝λAB ＋μAC ，则λ ＋μ＝__________.
→ → 解析：由B，H，C三点共线，可令 AH ＝x AB ＋(1－ 1→ 1 → 1 → → x) AC ，又M是AH的中点，所以 AM ＝ 2 AH ＝ 2 x AB ＋ 2 (1－ 1 1 1 → → → → x)AC，又AM＝λAB＋μAC，所以λ＋μ＝2x＋2(1－x)＝2.
●两个防范 (1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它 们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大 小的信息． (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能 x1 y1 表示成 ＝ ，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－ x2 y2 x2y1＝0.
基础自测 → → → 1.(2012· 广东)若向量 BA ＝(2,3)， CA ＝(4,7)，则 BC ＝ ( ) A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10)
→ → → 解析：BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案：A
2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
正解：∵a与b方向相反，∴可设a＝λb(λ＜0)，∴a＝ λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a|＝ 2(舍)， 故a＝(－4，－2)． 5λ2 ＝2 5 ，解得λ＝－2，或λ＝
(3)平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a 20 ＝λb⇔□____________.
1 答案： □ 非零
2 3 4 □ 0° ≤θ≤180° □ 0° □ 180°
5 6 7 8 9 □ 90° □ a⊥b □ 不共线 □ 有且只有 □ λ1e1＋λ2e2 10 11 12 13 14 15 □基底 □互相垂直 □(x，y) □(x，y) □x □y 16 17 18 19 20 □终点A的坐标 □ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx，y) □终点 □始点 □x1y2－ x2y1＝0
§5.2
平面向量基本定理及其坐标运算
[高考调研
明确考向]
考纲解读 •了解平面向量基本定理及其意义． •掌握平面向量的正交分解及坐标表示． •会用坐标表示平面向量的加法、减法与 数乘运算． •理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
考情分析 •平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条 件的应用是重点． •向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知 识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常 见． •常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档.
方法点睛
利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相
等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在 将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就 是要注意向量的方向，不要写错坐标．
变式训练2
在平行四边形ABCD中，AC为一条对角 )
→ → → 线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝( A．(－2，－4) C．(3,5)
ka＋b与a－3b共线，且方向相反？
解析：若存在实数k，则ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－ 3，2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 若这两个向量共线，则必有(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10 ＝0.
10 4 1 解得k＝－3.这时ka＋b＝－ 3 ，3，
)
x－y＝4， 解析：设c＝xa＋yb，则 x＋y＝2，
x＝3， ∴ y＝－1.
∴c＝
3a－b.
答案：B
3．(2013· 郑州月考)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a 与b共线且方向相反，则m的值为( A．－1 C．－2 B．1 D．2 )
解析：设a＝λb(λ＜0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝± 1，由 于λ＜0，∴m＝－1.
→ → → (3)设O(0,0)，∵CM＝OM－OC＝3c， → → ∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． → → → 又∵CN＝ON－OC＝－2b， → → ∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)． → ∴N(9,2)．∴MN＝(9，－18)．
→ → 16 ②设 OA ＝xi＋yj，则向量 OA 的坐标(x，y)就是 □ → 17 ______，即若OA ＝(x，y)，则A点坐标为 □ ________，反之 亦成立．(O是坐标原点)
3．平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算． (2)向量坐标的求法： → 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ＝(x2－x1，y2－y1)，即 18 19 一个向量的坐标等于该向量 □ __________的坐标减去 □ __________的坐标．
答案：C
5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)， 若(a＋b)∥c，则m＝__________.
解析：a＋b＝(1, m－1)． ∵(a＋b)∥c，∴2－(－1)(m－1)＝0，∴m＝－1.
答案：－1
考点一
平面向量基本定理的应用
[例1]
(2013· 南京质检)如图所示，在△ABC中，H为BC上
(3)向量垂直： 5 若向量a与b的夹角是 □ ________，则a与b垂直，记作 6 □__________.
2．平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理： 7 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 □ __________向 8 量，那么对于这一平面内的任意向量a， □ __________一对 9 实数λ1，λ2，使a＝□______________.
1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题： (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (3)若向量d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求d.
解析：(1)由题意，得 (3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)， 5 －m＋4n＝3， m＝9， ∴ 得 2m＋n＝2， n＝8. 9
解析：以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐 标系如图．
→ → 令AB＝2，则 AB ＝(2,0)， AC ＝(0,2)，过D作DF⊥AB交 → AB的延长线于F，由已知得DF＝BF＝ 3，则AD ＝(2＋ 3， 3)． → → → ∵AD＝xAB＋yAC， ∴(2＋ 3， 3)＝(2x,2y)． x＝1＋ 3， 2＋ 3＝2x， 2 即有 解得 3＝2y， 3 y＝ 2 .
名 师 微 博 ●一个区别 向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以 → 原点为起点的向量 OA ＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此 时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式 → → 的区别，如点A(x，y)，向量a＝ OA ＝(x，y)．当平面向量 OA → → → 平行移动到 O1A1 时，向量不变，即 O1A1 ＝ OA ＝(x，y)，但 → O1A1的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量 10 的一组□______.
(2)平面向量的正交分解： 11 把一个向量分解为两个 □ __________的向量，叫做把 向量正交分解．
(3)平面向量的坐标表示： ①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的 两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且 12 只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对 □ ______叫 13 14 做向量a的坐标，记作a＝ □ ________，其中 □ ________叫 15 a在x轴上的坐标，□________叫a在y轴上的坐标．
1 所以ka＋b＝－3(a－3b)． 即两个向量恰好方向相反，则题设的实数k存在．
方法点睛
向量共线问题中，一般是根据其中的一些关
系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个 向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其 中的参数值．
变式训练3
平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－
∴向量d的坐标为(3，－1)或(5,3).
易错矫正(十六) [试题]
忽视向量平行的充要条件致误 5 ，b＝
(2011· 湖南)设向量a，b满足|a|＝2
(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为__________．
错解：∵a与b方向相反，∴a∥b. ∴可设a＝λb(λ∈R)，∴a＝λ(2,1)＝(2λ，λ)． 由|a|＝ 5λ2＝2 5，解得λ＝－2或λ＝2. 故a＝(－4，－2)或a＝(4,2)． 错因：误认为“a与b的方向相反⇔a∥b”致使设a＝λb 出现增解．
(江西专用)2014年高考数学一轮复习 5.2 平面向量的基本定理与坐标运算课件 文 新人教A版
【正解】(1)当∠A=90°时,∵
A·B AC=0,
∴2×1+3k=0,∴k=- 2.
3
(2)当∠B=90°时,BC=AC-AB=(-1,k-3),
∵AB
·BC=0,
∴2×(-1)+3(k-3)=0,∴k= 11.
3
(3)当∠C=90°时,∵AC·BC =0,
∴-1+k(k-3)=0,
∴k= 3 . 13
∴
m 2m
4n 3,得
n2
m
5 9
,
n
8 9
.
(2)∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
又∵(a+kc)∥(2b-a),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,
∴k=- 16 .
13
(3)设向量d的坐标为(x,y),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).
(B)(0,-2). (D)(0,2).
【解析】由已知得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设a=λm+μn=
λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),
λ μ 2,
则由
λ
2
μ
4
⇒
λ 0,
μ
2,
所以a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下
的坐标为(0,2).
(2)设OA=xi+yj,则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若
OA
=(x,y),则点A的坐标为(x,y),反之亦成立(O是坐标原点).
二、平面向量坐标运算
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
人教版高中数学课件：高三数学第一轮复习的课件 平面向量坐标运算
k＜
2 3
思考2：△ABC为钝角三角形，求k的范围？
k＜
或
3 2 13
＜k＜
3 2
或
3
＜k ＜ 2
3 2
13
或k＞
11 3
思考3：△ABC为锐角三角形，求k的范围？
让我们共同来提高！ 问题2已知向量 u ( x , y ) 与 v ( y , 2 y x ) 的对应关系用 v f (u ) 表示． （1）设a (1,1), b (1, 0 ) ，求向量 f ( a )及 f (b ) 的坐标； （2）证明：对于任意向量 a , b 及常数m，n恒有： f ( m a n b ) mf ( a ) nf ( b ) 成立； （3）求使 f ( c ) ( p , q )（p，q为常数）的向量 c 的坐标． 解：⑴ 由题意，知：
五、作业布置：
苏大《自我测试》B册 P179 §32 作业部分及例题2
△ABC为钝角三角形，求k的范围？
AB AC
y C4 C2 B
＜0且
AB 、 AC
不共线；
k＜
2 3
即 2 3 k ＜0
或
BA BC
BC ＜0且 BA、 不共线. 即 1 ( 2 ) 3 ( k 3 )＜0
又 mf ( a ) nf ( b ) m ( a 2 , 2 a 2 a 1 ) n ( b 2 , 2 b 2 b1 ),
( ma 2 nb 2 , 2 ma 2 2 nb 2 ma 1 nb 1 )
f ( m a n b ) mf ( a ) nf ( b ).
若u
( x , y ),
高考理科第一轮复习课件(4.2平面向量的坐标运算)
（λ x,λ y） 设a=（x,y）,λ ∈R，则λ a=____________
标
(x2－x1，y2－y1) _______________
4．向量平行的坐标表示 设a,b是非零向量且a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,y1,y2≠0，则 x1y2-x2y1=0 a∥b⇔__________. 定理1：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的 成比例 坐标_______.
【互动探究】在本例题（2）图中，连接CD交AM于点P，若
AP AM,CP CD 求λ ,μ 的值． ，
【解析】CD AD AC 2 AB AC 2 a b，
3 3 1 1 AM （AB AC） （a b）． 2 2 AC AP PC AP CP AM CD
则向量 MN =______. CM 3CA CN 2CB ， ，
【思路点拨】（1）利用向量坐标运算的法则求解即可.
（2）根据向量的共线及向量坐标运算的法则逐一验证即可.
（3）利用平面向量的基本概念及其坐标表示求解.
【规范解答】（1）选B.设b=(x,y),则2b-a=(2x-3,2y-3)= (-1,1), 故
)
（4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任 何一个向量都可被这组基底唯一表示.( )
（5）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示 成 x1 ＝ y1 . (
x2 y2
)
【解析】（1）错误.只有不共线的两个向量才能作为平面的一 组基底.
高三理科数学一轮复习 第四章 平面向量 第二节 平面向量的基本定理与坐标表示课件
构建坐标系解决平面向量问题 向量融“数”、“形”于一体,具有几何、代数的“双重身份”,我们在研究向量问题时,巧妙 构造平面直角坐标系,可以将复杂问题简单化,抽象问题直观化.
19
典例 (2013·重庆高考)在平面上,������������1 ⊥ ������������2,|������������1|=|������������2|=1,������������ = ������������1 + ������������2.若|������������|<12,则|������������|的取值范围是 ( )
2
1 ������������, 又������为������������的中点, 所以������������ = 1 ������������, 因此������������ = 1 ������������ + 1 ������������, 又
2
2
4
4
������������ = ������������������ + ������������������, 故������ = 1 , ������ = 1 ⇒ ������ + ������ = 1.
1 ������������ = ������������ + ������������ + 1 (������������ − ������������) = 2 ������������ + 4 ������������,
3
3
3
3
即得������������ = 1 ������������ + 2 ������������, 所以������ = 2.
2.平面向量的坐标表示
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：5.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算
第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算【2014年高考会这样考】1．考查应用向量的坐标运算求向量的模．2．考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算． 3．考查应用向量的垂直与共线条件，求解参数．对应学生72考点梳理1．平面向量基本定理前提：e 1，e 2是同一个平面内的两个不共线向量．条件：对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2满足a ＝λ1e 1＋λ2e 2.结论：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示(1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a 和b ，如右图，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a 与b 的夹角． ②当θ＝0°时，a 与b 共线同向． 当θ＝180°时，a 与b 共线反向． 当θ＝90°时，a 与b 互相垂直． (2)平面向量的正交分解向量正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量． (3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .这样，a 可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a＝(x ，y )．其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标． (4)规定①相等的向量坐标相等，坐标相等的向量是相等的向量；②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系． 3．平面向量运算的坐标表示(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【助学·微博】 两点提醒(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 三个结论(1)若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.(3)平面向量的基底中一定不含零向量．考点自测1．(2012·广东)若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)解析 由于BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，那么BC →＝BA →＋AC →＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)． 答案 A2．(2013·湘潭调研)已知向量a ＝(4，x )，b ＝(－4,4)，若a ∥b ，则x 的值为( )． A ．0 B ．4 C ．－4 D ．±4解析 若a ∥b ，则有4×4＋4x ＝0，解得x ＝－4. 答案 C3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)解析 设D (x ，y )，AD→＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)， 又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝72.故选A.答案 A4．(2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )． A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10解析 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故a ＋b ＝(3，－1)，|a＋b |＝10，选B. 答案 B5．(2011·北京)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.解析 a －2b ＝(3，3)，因为a －2b 与c 共线，所以k 3＝33，k ＝1.答案 1对应学生73考向一 平面向量基本定理及其应用【例1】►如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN→＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. [审题视点] 直接用c ，d 表示AB →，AD →有难度，可换一个角度，由AB →，AD →表示AN→，AM →，进而求AB →，AD →. 解 法一 设AB→＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN→＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ，① b ＝AM→＋MD →＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a .② 将②代入①得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，代入② 得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×23(2d －c )＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )． 法二 设AB→＝a ，AD →＝b .因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ， 因而⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的． 【训练1】如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 解析如图，以OA→，OB →为一组基底，将OC →在OA →，OB →方向上分解，得Rt △OCA ′，其中OC ＝23，∠OCA ′为直角，∠COA ＝30°，则OA ′＝4OA ，OB ′＝2OB ，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.答案 6 考向二 平面向量的坐标运算【例2】►已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN→. [审题视点] 求CA→，CB →的坐标，根据已知条件列方程组求M ，N 的坐标．解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA→＝(1,8)，CB →＝(6,3)． ∴CM→＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)． 设M (x ，y )，则CM→＝(x ＋3，y ＋4)．∴⎩⎨⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)． 同理可得N (9,2)，∴MN→＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想．【训练2】 (1)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )． A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)(2)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)解析 (1)12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，故12a －32b ＝(－1,2)．(2)由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案 (1)D (2)B考向三 平面向量共线的坐标运算【例3】►平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[审题视点] (1)向量相等对应坐标相等，列方程解之；(2)由两向量平行的条件列方程解之．解 (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， 所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(1)一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．【训练3】 (1)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________． (2)已知向量a ＝(m ，－1)，b ＝(－1，－2)，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.解析 (1)由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB→＝DC →， 即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)，即D 点的坐标为(0，－2)．(2)由题意知a ＋b ＝(m －1，－3)，c ＝(－1,2)，由(a ＋b )∥c ，得(－3)×(－1)－(m －1)×2＝0，所以m ＝52. 答案 (1)(0，－2) (2)52对应学生74方法优化7——“多想少算”解决平面向量运算问题【命题研究】 通过近三年高考试题分析，可以看出高考对本部分内容的考查主要是向量的运算，意在考查考生计算能力和利用化归思想解决问题的能力．以选择、填空题的形式出现，一般难度不大，属容易题．【真题探究】► (2012·安徽)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )． A ．(－72，－2) B ．(－72，2) C ．(－46，－2) D ．(－46，2)[教你审题] 思路1 利用向量的夹角公式和模长公式结合待定系数法求解． 思路2 利用旋转角求解．思路3 排除法、验证法相结合求解．[一般解法] 法一 设点Q 的坐标为(x ，y )，由题意知：|OQ →|＝|OP →|＝36＋64＝10.又∵|OQ →|＝x 2＋y 2＝10， ∴x 2＋y 2＝100.①∵向量OQ →与OP →的夹角为34π，且点Q 在第三象限， ∴cos 34π＝OP →·OQ →|OP →|·|OQ→|＝(x ，y )·(6，8)10×10＝6x ＋8y 100＝－22.∴6x ＋8y ＝－50 2.②由①②得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－72或⎩⎨⎧x ＝－72，y ＝－ 2.又∵点Q 在第三象限，∴点Q 的坐标为(－72，－2)． 法二设∠xOP ＝θ，则由题意知：∠xOQ ＝34π＋θ(如图所示)，设点Q 的坐标为(x ，y )．∵点P 的坐标为(6,8)， ∴OP→＝(6,8)，且|OP →|＝10， ∴cos θ＝610＝35，sin θ＝810＝45.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋34π＝cos θ·cos 34π－sin θsin 34π＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－7102，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋34π＝sin θcos 34π＋cos θsin 34π＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋35×22＝－210. 又∵|OQ→|＝|OP →|＝10， ∴x ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋34π＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7102＝－72，y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋34π＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝－ 2.∴点Q 的坐标为(－72，－2)． [答案] A[优美解法] 画出草图，可知点Q 落在第三象限，则可排除B 、D ，代入A ，cos ∠QOP ＝6×(－72)＋8×(－2)62＋82＝－502100＝－22，所以∠QOP ＝3π4.代入C ，cos ∠QOP ＝6×(－46)＋8×(－2)62＋82＝－246－16100≠－22，故选A.[答案] A[反思] 本题学生容易列二元二次方程求解，陷入繁杂的运算，优美解法中体现了“多想少算”的命题原则，因此在解题前一定要注意审题．【试一试】 (2011·上海)设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是空间中给定的5个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5＝0成立的点M 的个数为( )． A ．0 B ．1 C ．5 D ．10解析 法一 (特值法)：不妨取A 1、A 2、A 3、A 4分别是正方形的顶点，A 5为正方形对角线的交点．仅当M 为A 5时满足MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5→＝0.故选B.法二 设M (x ，y )，A i (x i ，y i )(i ＝1,2,3,4,5)，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5－5x ＝0，y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5－5y ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)，y ＝15(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5).故点M 的个数为1.选B. 答案 B对应学生267A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( )．A ．(6,3)B ．(7,3)C ．(2,1)D ．(7,2)解析 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)． 答案 B2．已知平面内任一点O 满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则“x ＋y ＝1”是“点P在直线AB 上”的( )．A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 根据平面向量基本定理知：OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )且x ＋y ＝1等价于P 在直线AB 上． 答案 C3．(2013·金华模拟)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D. 答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝ ( )． A.14B.12C ．1D ．2解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)， 由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·杭州模拟)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 126．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a＝________.解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上， ∴3＝12a ·3，∴a ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)7．(12分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )． ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行 ∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13， 此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 8．(13分)已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP→＝OA →＋tAB →，求：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP→＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23； 若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13； 若P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13.(2)因为OA→＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，无解． 所以四边形OABP 不能成为平行四边形．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )， 整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 B2．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2012·扬州质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为________．解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8.当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b 的最小值是8. 答案 84.(2013·青岛期末)设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．解析 由题意得点A 的坐标为(－2,1)，点B 的坐标为(4,3)，|OA →|＝5，|OB →|＝5.sin ∠AOB ＝sin(∠AOy ＋∠BOy )＝sin ∠AOy cos ∠BOy ＋cos ∠AOy sin ∠BOy ＝255×35＋55×45＝255.故S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×5×5×255＝5. 答案 5三、解答题(共25分)5．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )，(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB→，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB→＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0. ∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB→|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1. 当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)， 当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14 ＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.6．(13分)已知向量v ＝(x ，y )与向量d ＝(y,2y －x )的对应关系用d ＝f (v )表示． (1)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (2)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 为常数)的向量c 的坐标；(3)证明：对任意的向量a ，b 及常数m ，n 恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )． (1)解 f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)解 设c ＝(x ，y )，则由f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )， 得⎩⎨⎧ y ＝p ，2y －x ＝q ，所以⎩⎨⎧x ＝2p －q ，y ＝p ， 所以c ＝(2p －q ，p )．(3)证明 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a＋n b＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，所以f(m a＋n b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)又mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，所以mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．故f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b).。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案平面向量的基本定理及坐标表示1
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及向量的坐标运算 (1)了解平面向量基本定理及其意义． (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． (3)能用坐标对向量进行线性运算． (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 知识点一 平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2是表示这一平面内所有向量的一组基底．易误提醒 平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的．这一点是易忽视的．[自测练习]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1解析：选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．答案：D2.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .答案：A知识点二 平面向量的坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝ x 21＋y 21.2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A B →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |A B →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 易误提醒1．向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系． 2．向量平移后坐标不变．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[自测练习]3．(2015·西宁期末)若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →＝( ) A ．(2,2) B ．(－2，－2) C ．(4,6)D ．(－4，－6)解析：本题考查向量的坐标运算.AC →＝AB →＋BC →＝(4,6)，故选C. 答案：C4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－2，－4) C ．(－3，－6)D ．(－4，－8)解析：由a ∥b 得m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．答案：D考点一 平面向量基本定理及应用|1．(2015·杭州质检)设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO →＝13AB →＋13AC →，则∠BAC 的度数等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：本题考查平面向量加法的几何意义、平面向量共线．取BC 的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2AD →.由题意得3AO →＝2AD →，又∵AD 为BC 的中线，∴O 为△ABC 的重心．又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°，故选C.答案：C2．(2016·南昌模拟)如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，即λ＋μ的值为________．解析：如图，构成平行四边形，∵∠OCD ＝90°，|OC |＝23，∠COD ＝30°，∴|CD |＝23×33＝2＝|OE |＝|μ|，|OD |＝23cos 30°＝|λ|＝4，注意共线的条件和单位向量有λ＋μ＝6.答案：6应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．考点二 平面向量的坐标运算|(1)(2015·广东六校联考)已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a－2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)[解析] 由题意可得3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)，故选A. [答案] A(2)(2015·贵阳期末)已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________.[解析] 如图，建立平面直角坐标系， 则A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)， ∴AB →＝a ＝(0，－1)，BC →＝b ＝(1,0)，AC →＝c ＝(1，－1)， ∴a ＋b ＋c ＝(2，－2)，|a ＋b ＋c |＝2 2.[答案] 2 2平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．1．(2015·高考江苏卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：由向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3. 答案：－3考点三 平面向量共线的坐标表示|(1)在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1[解析] 本题考查向量的坐标运算．依题意得b ＝2⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫a －12b ＝(－4,2)，2a ＋b ＝(－2,6)，6x ＝－2×3＝－6，x ＝－1，故选D.[答案] D(2)(2015·东营模拟)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于________．[解析] AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.[答案] 12平面向量共线的坐标表示问题的常见三种类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．2．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：∵A (1,3)，B (4，－1)， ∴AB →＝(3，－4)，又∵|AB →|＝5，∴与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A14.坐标法在向量问题中的应用【典例】 给定两个长度为1的平面向量 OA → 和 OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心，1为半径的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．[思路点拨] 建立平面直角坐标系，求出A ，B 的坐标，用三角函数表示出C 的坐标，最后转化为三角函数求最值．[解] 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32. 设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以⎩⎨⎧x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6. 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2. [方法点评] 对于有些向量的应用问题，如果能够具备建系的条件，可适当建立坐标系，问题转化为向量的坐标运算更加简便．[跟踪练习] 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.答案：4A 组 考点能力演练1．(2015·郑州一模)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值是( ) A ．0 B ．±2 C ．2D ．－2解析：由题意可得a ∥b ，所以x 2＝4，解得x ＝－2或2，又a ，b 方向相反，所以x ＝－2，故选D.答案：D2．(2015·抚顺二模)若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( )A.12a ＋b B ．－12a －bC.32a ＋12b D.32a －12b 解析：设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b ，故选A. 答案：A3．在△ABC 中，O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝xAM →，AC →＝yAN →，则x ＋y ＝( )A ．2B ．1C ．3D.52解析：因为M ，O ，N 三点共线，所以存在常数λ(λ≠0，且λ≠－1)，使得MO →＝λON →，即AO →－AM →＝λ(AN →－AO →)，所以AO →＝11＋λAM →＋λ1＋λAN →，又O 是BC 的中点，所以AO →＝12AB →＋12AC →＝x 2AM →＋y 2AN →，又AM →，AN →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝11＋λ，y 2＝λ1＋λ，得x 2＋y 2＝11＋λ＋λ1＋λ＝1，即x ＋y ＝2.答案：A4．已知△ABC 是边长为4的正三角形，D ，P 是△ABC 内的两点，且满足AD →＝14(AB →＋AC →)，AP →＝AD →＋18BC →，则△APD 的面积为( )A.34B.32C. 3 D ．2 3解析：取BC 的中点E ，连接AE ，由于△ABC 是边长为4的正三角形，则AE ⊥BC ，AE →＝12(AB →＋AC →)，又AD →＝14(AB →＋AC →)，所以点D 是AE 的中点，AD ＝ 3.取AF →＝18BC →，以AD ，AF 为邻边作平行四边形，可知AP →＝AD →＋18BC →＝AD →＋AF →.而△APD 是直角三角形，AF ＝12，所以△APD 的面积为12×12×3＝34.答案：A5．(2015·怀化一模)如图所示，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋2y的最小值为( )A ．8＋2 2B ．8C ．6D ．6＋2 2解析：因为D 为AB 的中点，所以AB →＝2AD →，因为AF →＝x a ＋y b ，所以AF →＝2xAD →＋yAC →，因为F 在线段CD 上，所以2x ＋y ＝1，又x ，y >0，所以1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝2x ＝12时取等号，所以1x ＋2y 的最小值为8. 答案：B6．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD →＝xAB →＋yAC →＋zAS →，则x ＋y ＋z ＝________.解析：依题意得BD →＝AD →－AB →＝12(AS →＋AC →)－AB →＝－AB →＋12AC →＋12AS →，因此x ＋y ＋z ＝－1＋12＋12＝0. 答案：07．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1,1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是________． 解析：设a ＝(x ，y )．∵平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1,1)，且a ∥b ， ∴x 2＋y 2＝1，x ·y ＝0.解得x ＝y ＝±22.∴a ＝⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22. 答案：⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22 8．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°，知∠xOC ＝150°， ∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.答案：19．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，有CM →＝3c ，CN →＝－2b ，求：(1)3a ＋b －3c ；(2)满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)， (1)3a ＋b －3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M 的坐标为(0,20)． 又CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N 的坐标为(9,2)．故MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．10.(2015·皖南八校模拟)如图，∠AOB ＝π3，动点A 1，A 2与B 1，B 2分别在射线OA ，OB 上，且线段A 1A 2的长为1，线段B 1，B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点．(1)用向量A 1A 2→与B 1B 2→表示向量MN →；(2)求向量MN →的模．解：(1)MN →＝MA 1→＋A 1A 2→＋A 2N →，MN →＝MB 1→＋B 1B 2→＋B 2N →两式相加，并注意到点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点，得MN →＝12()A 1A 2→＋B 1B 2→. (2)由已知可得向量A 1A 2→与B 1B 2→的模分别为1与2，夹角为π3， 所以A 1A 2→·B 1B 2→＝1，由MN →＝12(A 1A 2→＋B 1B 2→)得 |MN →|＝14(A 1A 2→＋B 1B 2→)2 ＝12A 1A 2→2＋B 1B 2→2＋2A 1A 2→·B 1B 2→＝72. B 组 高考题型专练1．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0解析：由a ∥b ⇒m 2＝1×2⇒m ＝2或m ＝－ 2.答案：C2．(2015·高考四川卷)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：由向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，可得4x ＝2×6，解得x ＝3.答案：B3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：设C (x ，y )，∵A (0,1)，AC →＝(－4，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，∴C (－4，－2)，又B (3,2)，∴BC →＝(－7，－4)，选A.答案：A4．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.解析：由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16. 答案：12 －165．(2015·高考湖北卷)已知向量 OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.解析：因为OA →⊥AB →，|OA →|＝3，所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝|OA →|2＋OA →·AB →＝|OA →|2＝32＝9.答案：9。
2014届步步高高三数学一轮复习备考 5.2 平面向量基本定理及坐标表示课件
x2－x12＋y2－y12 .
3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其 中 b≠0.a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
被向量 a 唯一确定，此时点 A 的 坐标与 a 的坐标统一为(x， 但 y)， 应注意其表示形式的区别，如点 → A(x，y)，向量 a＝OA＝(x，y)． → → 当平面向量OA 平行移动到O1A1 → → 时，向量不变即O1A1＝OA＝(x， → y)，但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 向量坐标的基本运算
解 析 探 究 提 高 【例 2】 已知 A(－2,4)，B(3，－1)， → → → (3)设 O 为坐标原点， C(－3， －4)． 设AB＝a， ＝b， BC CA → → → → → ∵CM＝OM－OC＝3c， ＝c，且CM＝3c，CN＝－2b， → → (1)求 3a＋b－3c； ∴OM＝3c＋OC＝ (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m， n； (3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
数学
北(理)
§5.2 平面向量基本定理及 坐标表示
第五章 平面向量
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线， 就 可以作为平面的一组基 底，对基底的选取不唯 一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组 基底 e1， 2 线性表示， e 且 在基底确定后， 这样的表 示是唯一的．
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB、 两边分别交于 M、 AC → → → N 两点， 且AM＝xAB， AN 1 1 → ＝yAC，求 ＋ 的值． x y
高考数学一轮复习 4.2平面向量的基本定理及坐标运算课件 文
完整版ppt
11
1．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于( )
答案：B
完整版ppt
13
3．(2015·南京模拟)已知A(－3,0)，B(0， 3 )，O为坐标原
点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，
→ OC
＝λ
→ OA
＋
→ OB
，则实数λ
的值为__________．
完整版ppt
14
解析：∵∠AOC＝30°，设C(x0，－ 33x0)，其中x0<0. 又O→C＝λO→A＋O→B，
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能 作基底．
问题探究2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标 是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的 向量O→A的坐标与点A的坐标相同．
完整版ppt
8
2．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
叫做 a 在 y 轴上的坐标．
完整版ppt
6
②设O→A＝x i＋yj，则__向__量__O→_A_的__坐__标___(x_，__y_)_就是终点 A 的坐 标，即若O→A＝(x，y)，则 A 点坐标为__(x_，__y_)___，反之亦成立(O 是坐标原点)．
完整版ppt
7
问题探究1：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底 吗？
2014高考一轮复习课件4.2平面向量的基本定理及坐标运算
•【解析】 若a与b共线，则有a⊙b＝mq－ np＝0，故①正确；因为b⊙a＝pn－qm，而 a⊙b＝mq－np，所以有a⊙b≠b⊙a，故选项 ②错误； •同样可知③④正确，故选A. •【答案】 A
→ → 已知向量AB＝(3，1)，AC＝(－1，a)，a∈R. → (1)若D为BC中点，AD＝(m，2)，求a、m的值； (2)若△ABC是以A为直角顶点，求a的值．
【解】 → → (1)因为AB＝(3，1)，AC＝(－1，a)，
→ ＝1(AB＋AC)＝(1，1＋a)＝(m，2)， → → 所以AD 2 2
【思路点拨】 (1)根据a与b的关系，设出a的坐标，再 根据|a|＝2 5求解； (2)直接设出a的坐标，根据条件列方程组求解．
【尝试解答】 (1)∵a与b的方向相反且b＝(2，1)， ∴设a＝λb＝(2λ，λ)，λ＜0， 又|a|＝2 5， ∴4λ 2＋λ2＝20，即λ2＝4，∴λ＝－2. 因此a＝(－4，－2)． (2)设向量a＝(m，n)，则a＋b＝(m＋2，n－1)， ∵|a＋b|＝1，且a＋b平行于x轴，
•【答案】 1
(2013·梅州模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分 → → → 别是边CD和BC的中点．若 AC ＝λ AE ＋μ AF ，其中λ， μ∈R，则λ＋μ＝________．
→ → → → 【思路点拨】 以AD ，AB 为基底分别表示AC ，AE ， → AF，根据平面向量基本定理列方程组求解．
•1．向量的坐标运算主要是利用向量加减、 数乘运算的法则进行．若已知有向线段两端 点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程 思想的应用． •2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供 了新的语言——“坐标语言”，实质是“形” 化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的 线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运 算完全代数化，将数与形紧密结合起来．