圆心角定理
初中数学 什么是圆心角
初中数学什么是圆心角圆心角是指以圆心为顶点的角。
下面我将详细介绍什么是圆心角，并提供相关的定义、性质和应用：1. 圆心角的定义：圆心角是以圆心为顶点的角，它的两条边分别是从圆心出发的两条射线，这两条射线与圆上的两点相交。
圆心角通常用大写字母表示，如∠AOB。
2. 圆心角的性质：-圆心角的度数等于所对弧的度数：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
例如，如果圆上的弧AB的度数为x度，那么以圆心为顶点的圆心角∠AOB的度数也为x度。
-圆心角的度数范围：圆心角的度数范围是0度到360度（或0到2π弧度）。
-圆心角的度数与弧长的关系：圆心角的度数与所对弧的弧长有一定的比例关系。
具体关系是：圆心角的度数等于所对弧的弧长与圆的半径的比值乘以360度（或2π弧度）。
-圆心角的特殊情况：如果圆心角的度数为90度（或π/2弧度），那么这个圆心角称为直角；如果圆心角的度数为180度（或π弧度），那么这个圆心角称为半圆；如果圆心角的度数为360度（或2π弧度），那么这个圆心角称为整圆。
3. 圆心角的应用：圆心角在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如：-圆心角可用于计算弧长：通过圆心角的度数和所对弧的半径，可以计算出所对弧的弧长。
-圆心角可用于解决几何问题：通过圆心角的性质，可以解决与圆相关的角度、长度及面积等问题。
-圆心角可用于描述物理现象：在物理学中，圆心角可用于描述物体在圆周运动中所转过的角度。
需要注意的是，圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于所对弧的度数。
圆心角的度数范围是0度到360度，它与所对弧的弧长有一定的比例关系。
圆心角在几何学和物理学中有广泛的应用。
以上是关于圆心角的定义、性质和应用的介绍。
希望以上内容能够满足你对圆心角的了解。
4弧、弦、圆心角定理
BAEDCBAOE DC BA（二）弧、弦、圆心角一、知识回顾1．定义： 叫做圆心角．2．定理：在 中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ．3．推论1：在 中，相等的弧所对的 相等，所对的 相等．4．推论2：在 中，相等的弦所对的 相等，所对的 相等．5．定理及推论的综合运用：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中 相等，那么 也相等． 二、例题讲解1、如图（1），弦AD=BC ，E 是CD 上任一点（C ，D 除外），则下列结论不一定成立的是（ ）A ．»»ADBC =； B ．AB=CD ； C ．∠ AED=∠CEB ； D ．¼»A B BC = 2、如图（2），AB 是 ⊙O 的直径，C ，D 是»BE 上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE 是（ ）A ．40°；B ．60°；C ．80°；D ．120°．3、如图（3），AB 是 ⊙O 的直径，»»BC =BD ,∠A=25°，则∠BOD= °．4、如图（4），在⊙O 中，»»AB =AC ，∠A=40°，则∠C= °5、在⊙O 中，»»AB =AC ，∠ACB=60°．求证：∠AOB = ∠BOC = ∠AOC ．三、达标练习1、如果两个圆心角相等，那么（ ） A ．这两个圆心角所对的弦相等； BC ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等；D ．以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则»AB与»CD 的关系是（ ） A ．»»AB=2CD ； B ．»»AB CD >； C ．»»AB 2CD <； D ．不能确定 3．在同圆中，¼»AB BC =，则（ ） A ．AB+BC=AC ； B ．AB+BC ＞AC ； C AB+BC ＜AC ；D ． 不能确定4．下列说法正确的是（ ）A ．等弦所对的圆心角相等；B ．等弦所对的弧相等；C ．等弧所对的圆心角相等；D ．相等的圆心角所对的弧相等． 5．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上．求证：¼»AM=BN四、课堂小结在运用定理及推论时易漏条件“在同圆或等圆中”，导致推理不严密，如半径不等的两个同心图，显然相等的圆心角所对的弧、弦均不等．ODCB A图（3）A图（4）A第5题图图（1）图（2）五、课后作业1、如图，已知OA 、OB 是⊙O 的半径，点C 为AB 的中点，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，求证：MC=NC2、如图，AB 是⊙O 的弦，»»AE=BF ，半径OE ，OF 分别交AB 于C ，D ．求证：△OCD 是等腰三角形．3、如图，在圆O 中，弦AB 、CD 相交于E ，且AB=CD ，求证：CE=BE4、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF ． 求证：PA=PC ．OA BEFCDONMAC BA B DC E OPAD E FCB。
圆的有关定理暨图示
圆形的几何定理角
弦
定理一、【圆心角两倍于圆周角】
定理二、【半圆上的圆周角】
定理三、【同弓形内的圆周角】
定理四、【圆内接四边形对角】
定理五、【圆内接四边形外角】
定理六、【圆心至弦的垂线平分弦】
定理七、【圆心至弦中点的联机垂直弦】定理八、【等弦与圆心等距】
定理九、【与圆心等距的弦等长】
定理十、【等角对等弦】
定理十一、【等弧对等角】
定理十二、【等弦对等弧】
定理十三、【弧长与圆心角成比例】
定理十四、【切线⊥半径】
定理十五、【切线⊥半径的逆定理】
定理十六、【切线性质】
定理十七、【交错弓形的圆周角】。
圆周角弧长公式
圆周角弧长公式
弧长计算公式是一个数学公式，为L=n×π×r/180，L=α×r。
其中n是圆心角度数（角度制），r是半径，L是圆心角弧长，α是圆心角度数（弧度制）。
与圆心角有关的定理圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等。
理解：
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。
（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧。
（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等。
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
圆心角是圆周角的2倍 三个证明过程
圆心角是圆周角的2倍，这个几何定理是我们在学习圆的时候经常会遇到的概念。
它的证明过程有很多种，接下来我将针对这个主题从三个不同的角度来进行详细的阐述和解释。
一、几何图示证明1. 在平面直角坐标系中，以原点为中心画一个单位圆，并且假设有一个角度为θ的圆心角。
2. 在圆的周长上标记出θ和2θ的弧度，根据圆的定义和弧度的概念，我们可以知道θ和2θ所对到的弧长分别为L=θ和L=2θ。
3. 然后我们可以利用三角函数的定义和性质，通过计算sin(θ)和sin(2θ)的关系，可以得出sin(2θ)=2sin(θ)。
4. 结合三角函数和几何图示的知识，我们可以得出圆心角2θ所对到的圆弧长度是θ的两倍，也就是圆周角的两倍。
二、三角函数证明1. 我们知道，在任意角度θ下，sinθ=a/c，cosθ=b/c，其中a、b、c是直角三角形的三边长度。
2. 我们构造一个任意三角形ABC，其中∠B为顶点的圆心角，∠ACB为对应的圆周角。
3. 根据正弦定理sin(∠B) = AB/AC，sin(∠ACB) = AC/AB，由于∠ACB=2∠B，所以sin(2∠B) = 2sin(∠B)cos(∠B)。
4. 通过代入正弦定理得到的等式和sinθ=a/c，cosθ=b/c的关系，并结合∠ACB=2∠B，我们可以推导出sin(2θ) = 2sinθcosθ。
5. 我们可以得出结论：圆心角是圆周角的2倍。
三、向量法证明1. 我们知道向量的模长和方向可以对应到平面上的直角坐标系，而向量的夹角对应于直角坐标系中两个向量夹角的余弦值。
2. 对于圆心角和圆周角来说，我们可以利用向量的性质和定义，来分别表示圆心角和圆周角所对应的向量。
3. 圆平面上两个点A和B分别表示圆心角和圆周角所对应的弧度，我们可以得到两个向量OA和OB。
4. 我们知道两个向量的夹角余弦值等于向量的点积除以模长的乘积，即cosθ=(OA*OB)/(|OA|*|OB|)。
5. 通过计算得到cos(2θ)=(OA*OB)/(|OA|*|OB|)，又因为|OB|=2|OA|，所以我们可以得出cos(2θ)=2cosθ。
[初中教育][初三数学]圆心角和圆周角
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小班辅导教案知识点一圆心角定理1.概念填空：（1）把圆绕旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合.圆是中心对称图形，就是它的对称中心.（2）顶点在的角叫做圆心角.（3）圆心角定理：在同圆会等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等.（4）我们把1°圆心角所对的弧叫做，则n°的圆心角所对的弧就是 .2.把一个圆分成相等的6段弧，每段弧所对的圆心角的度数是 >3.如图，MN为⊙○的弦，∠M=50°，则圆心角∠MON等于（）A.50°B.55°C.65°D.80°̂= .4.如图，在⊙○中，∠AOB=∠COD，则AC= ，AĈ的度数5.如图，两个同心圆的圆心为O，大圆半径OA,OB分别交小圆于A′,B′两点，如果AB̂的度数是60°，那么A′B′为（）A.60°B.大于60°C.小于60°D.不能确定题型一利用圆心角定理证明角（弧）度、线段间的等量关系例1：如图，O为等腰三角形ABC的底边AB上的中点，以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E，连结OD,OE.求证：（1）∠AOE=∠BOD；̂=BÊ.（2）AD巩固练习1：如图，在⊙○中，弦AB=CD.求证：AC=BD.题型二利用圆心角定理计算弧的度数̂的度数为40°，例2：如图，AB,DF是⊙○的两条直径，C是⊙○的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO.若AD̂的度数.求BE巩固练习2：如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若∠C=31°，̂的度数.求AD知识点二圆心角定理的逆定理1.在同圆或等圆中，如果、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.2.下列命题中，真命题是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弦所对的弧相等C.度数相等的弧是等弧D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等3.在⊙○中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙○的直径为 cm.4.已知AB,CD是⊙○的两条弦，且AB=CD,OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.若OE=3，则OF= .̂=BĈ.若AB=3,则CD= .5.如图，在⊙○中，AD题型一：利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行相关证明例1：如图，⊙○的弦AB,CD相交于点P，PO平分∠APD.求证：AB=CD.̂=BD̂.求巩固练习1：如图所示，⊙○的两条弦AB,CD互相垂直且相交于点P,OE⊥AB,OF⊥CD，垂足分别为E,F,AC证：四边形OEPF是正方形.例2：如图，P为⊙○的直径EF延长线上一点，PA交⊙○于点B，A,PC交⊙○于点D,C,∠1=∠2.求证：PB=PD.巩固练习2：如图，P为⊙○外一点，∠APC的两边分别交⊙○于点A,B和点C,D.如果PA=PC,求证：AB=CD.知识点三圆周角定理及其推论1.顶点在圆上，的角，叫做圆周角.2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的度数的一半.圆周角定理的推论1：半径（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是 .3.如图，A,C,B是⊙○上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是 .4.已知一条弧的度数为80°，则这条弧所对的圆心角和圆周角分别是和 .5.在⊙○中，一条6cm长的弦所对的圆周角为90°，则⊙○的直径是 cm.6.已知Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，则它的外接圆的半径为 cm.题型一与圆周角定理有关的计算例1：如图，A,B,C,D四个点均在⊙○上，∠AOD=70°，AO//DC，求∠B的度数.巩固练习1：如图，A,B,C是⊙○上三点，AB=2,∠ACB=30°，求⊙○的半径.题型二利用圆周角定理的推理1进行计算与证明例2：如图AB,AC是⊙○的两条弦，且AB=AC.延长CA到点D，使AD=AC，连结DB并延长，交⊙○于点E.求证：CE是⊙○的直径.巩固练习2：如图，△ABC是⊙○的内接三角形，AD是⊙○的直径.若∠ABC=50°，求∠CAD的度数.知识点四圆周角定理的推理21.圆周角定理的推理2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；的圆周角所对的弧也相等.2.如图，点A,B,C,D在⊙○上，若∠BDC=30°，则∠BAC= .3.如图，∠DBC=20°，∠APB=80°，则∠D= .4.若⊙○的弦AB所对的弧的度数是180°，则AB必是⊙○.5.如图，AB是⊙○的直径，∠CAB=60°，则∠D= .题型一：利用圆周角定理及其推论进行计算例1：如图，已知在⊙○中，直径AB=10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙○于点D，求BC,AD,BD的长.巩固练习1：如图，点A,B,C,D都在⊙○上，AD是⊙○的直径，且AD=6cm.若∠ABC=∠CAD，求弦AC的长.题型二：利用圆周角定理及其推论进行证明例2：如图，已知在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE,BE交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连结BD,CD,CE且∠BDA=60°.（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°，猜想四边形BDCE是怎样的四边形？并证明你的猜想.巩固练习2：如图，过圆内一点P作弦AB和CD，且AP=CP.求证：PB=PD.1.如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆半径OA,OB 交小圆于点C,D ，下列结论中正确的个数有（ ）①∠OCD=∠OAB ；②AB=CD;③AB̂=CD ̂. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.如图，BE 是半径为6的⊙D 的14圆周，C 点是BÊ上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ）A.12<P ≤18B. 18<P ≤24C. 18<P ≤18+6√2D. 12<P ≤12+6√23.已知AB 是⊙○的直径，AC,AD 是弦，且AB=2，AC=√2，AD=1，则圆周角∠CAD 的度数是（ ）A.45°和60°B.60°C.105°D.15°或105°4.如图，AB 是⊙○的直径，点C 在⊙○上，弦BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是（ ）A.AD=DCB.AD̂=DC ̂ C.∠ADB=∠ACB D.∠DAB=∠CBA5.如图，已知AB 是⊙○的直径，PA=PB ，∠P=60°，则CD̂所对的圆心角等于 度.6.如图，AB,CD 是⊙○的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC=130°，AD,CB 的延长线相交于点P ，则∠P 的度数为 .7.如图，∠A 的两边交⊙○于点B,C,D,E ，若BD̂:BC ̂:CE ̂:DE ̂=1:3:4:4，则∠A 的度数为 .8.如图为⊙○的部分图形，OA,OB 是⊙○的两条互相垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过点M 作MC//OA ，交AB̂于点C.求证：AC ̂=13AB ̂.9.已知：如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN̂的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙○的半径为1，则AP+BP 的最小值为多少？1.若⊙○内的一条弦与直径相交成30°的角，并把直径分成2cm 和6cm 两端，则这条弦的弦心距为（ ）A.1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm2.如图，用四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A,B,O是小正方形的顶点，⊙○的半径为1，P是⊙○上的一点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.15°或105°3.如图，MN是半圆O的直径，点A是MN延长线上一点，AP交半圆于点Q,P.若∠A=20°，∠PMQ=40°，则∠MQP等于（）A.30°B.35°C.40°D.50°4.如图，AB为⊙○的一固定直径，它把⊙○分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙○于点P，当点C在上半圆（不包括A,B两点）上移动时，点P（）A.到CD的距离保持不变B.位置不变̂ D.随C点移动而移动C.等分BD（第4题）（第5题）（第7题）5.如图，已知A,B,C三点在⊙○上，AC⊥BO于点D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 .6.圆内的一条弦把圆分成5:1两部分，如果圆的半径是2cm，那么这条弦的长是 cm.7.如图，CD是半圆的直径，点O是圆心，点A在CD的延长线上，点E在半圆上，EA与半圆相交于点B.若AB=OC,̂的度数为 .∠DAE=15°，则DE8.如图，在⊙○中，AB是直角，CD是弦，AB⊥CD.̂上一点（不与C,D重合）.求证：∠CPD=∠COB.（1）P是CAD̂上（不与C,D重合）时，∠C P′D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论.（2）点P′在CD9.如图，AB ̂是⊙○的14圆周，半径OA ⊥OB ，C,D 是AB ̂的三等分点，AB 分别交OC,OD 于点E,F.求证：AE=BF=CD.。
圆心角--知识讲解(基础)
圆心角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角的概念；2.掌握弧、弦和圆心角定理及其推论，并能解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、圆心角与弧的定义1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2．1°的弧的定义.如下图，1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角的概念1. 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.【思路点拨】根据圆心角的定义进行判断．【答案与解析】解：①不是，因为顶点在圆内非圆心的位置;②不是，因为顶点在圆外，没有在圆心;③不是，因为顶点在圆上，而不是在圆心;④是，满足圆心角定义.【总结升华】掌握与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、圆心角等. 类型二、圆心角定理及推论2.（2016•台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（）A．25 B．40 C．50 D．55【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【答案】B【解析】解：连接OB、OC，∵OA=OB=OC=OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A=65°，∠D=60°，∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，∵=150°，∴∠AOD=150°，∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，则=40°．故选B【总结升华】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．举一反三：【变式】如图，AB是⊙O的直径，BC CD DE==，∠COD＝35°，求∠AOE的度数．【答案】解：∵BC CD DE==，∠COD＝35°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=35°，∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=75°．3.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知AD=BC，AD⊥CB．（1）求证：AB=CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．【答案与解析】（1）证明：如图，∵AD=BC，∴=，∴﹣=﹣，即=∴AB=CD；（2）解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF=FD，BG=CG．∵AD=BC，∴AF=CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF=OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF=EF．设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，解得x=3．则AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．【总结升华】本题考查了勾股定理，垂径定理以及圆心角、弧、弦间的关系．注意过圆心作弦的垂线是圆中常见的辅助线．举一反三：【变式】已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ A B C D =．∴ A B B D C D B D -=-，即AD BC =，∴ AD ＝BC ．证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ．∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ，即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．4.如图所示，AB 是⊙O 的弦，C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD ，分别交⊙O 于点E 、F. 试证: =A E B F .【思路点拨】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE ＝∠BOF.【答案与解析】证明： ∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC.∵AO ＝OB ，∴∠A ＝∠B.∴∠OCD －∠A ＝∠ODC －∠B ，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.AE BF.∴=【总结升华】本题利用了在同圆或等圆中，等弧对等弦及等弦对等弧求解．举一反三：=. 【变式】如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA. 求证：AC AEA【答案】证明：连接OE，∵BE∥OA，∴∠B=∠COA，∠E=∠AOE，∵OE=OB，∴∠B=∠E，∴∠COA=∠AOE，=.∴AC AE。
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圆心角定理
(弧、弦、圆心角关系定理)
基本内容:
1、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
2、在同圆或等圆中,如果两条弧相等,则它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。
3、在同圆或等圆中,如果两条弦相等,则它们所对的圆心角相等,所对的弧相等。
在理解时要注意:
⑴前提:在同圆或等圆中;
⑵条件与结论:在①两条弧相等;②两条弦相等;③两个圆心角相等中,只要有一个成立,则有另外两个成立。
基本概念理解:
1.在同圆或等圆中,若的长度＝的长度,则下列说法正确的个数就是( )
①的度数等于
;②
所对的圆心角等于所对的圆心角;③
与
就是等弧;
④
所对的弦心距等于
所对的弦心距。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图,在两半径不同的同心圆中,︒=''∠=∠60B O A AOB ,则( )
A.
B.
C.
的度数=
的度数 D.
的长度=
的长度
3.下列语句中,正确的有( )
(1)相等的圆心角所对的弧相等;(2)平分弦的直径垂直于弦;
(3)长度相等的两条弧就是等弧; (4)经过圆心的每一条直线都就是圆的对称轴. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4.已知弦AB 把圆周分成1:5的两部分,这弦AB 所对应的圆心角的度数为
. 5.在⊙O 中,
的度数240°,则
的长就是圆周的 份.
概念的延伸及其基本应用:
1.在同圆或等圆中,如果圆心角BOA ∠等于另一圆心角COD ∠的2倍,则下列式子中能成立的就是( )
2.在同圆或等圆中,如果
,则AB 与CD 的关系就是( )
A.CD AB 2>
B.CD AB 2=
C.CD AB 2<
D.CD AB =
3.在⊙O 中,圆心角︒=∠90AOB ,点O 到弦AB 的距离为4,则⊙O 的直径的长为( )
(2题图)
(例题6图)
(例题7图)
A.24
B.28
C.24 D .16
4.在⊙O 中,两弦CD AB <,OM ,ON 分别为这两条弦的弦心距,则OM ,ON 的关系就是( )
A.ON OM >
B.ON OM =
C.ON OM < D .无法确定 5.已知:⊙O 的半径为4cm,弦AB 所对的劣弧为圆的3
1
,则弦AB 的长为 cm,AB 的弦心距为 cm. 6.如图,在⊙O 中,AB ∥CD,
的度数为45°,
则∠COD 的度数为 .
典型例题精析:
例题1、如图,已知:在⊙O 中,OA ⊥OB,∠A=35°,求与
的度数、
例题2、如图,已知:在⊙O 中,
=2
,试判断∠AOB 与∠COD,AB 与2CD 之间的关系
,并说明理由、 例题3、如图,已知:AB 就是⊙O 直径,M 、N 分别就是AO 、BO 的中点,CM ⊥AB,DN ⊥AB,求证:
=
、
例题4、如图,C 就是⊙O 直径AB 上一点,过C 点作弦DE,使CD ＝CO,若
的度数为40°,求
的度数.
例题5、如图,在⊙O 中,直径AB 垂直于CD 并交CD 于E ;直径
MN 交CD 于F ,且OE FD FO 2==,求
的度数、
例题6、已知:如图,M 、N 分别就是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,CD AB =,求证:CNM AMN ∠=∠、
例题7、如图,已知⊙O 中,
,OB 、OC 分别交AC 、
DB 于点M ,N ,求证:OMN ∆就是等腰三角形、
例题8、如图,已知AB 为⊙O 的弦,从圆上任一点引弦AB CD ⊥,作
OCD ∠的平分线交⊙O 于P 点,连接PB PA ,、
A B
C
D
M N
O A B C
O
D
(6题图)
O A B C
D
(例题1图) A B C D
C'O
(例题2图)
(例题3图)
A
B C
O
D E
F
(例题4图) (例题5图)
求证:PB PA =、
作业:
1.已知⊙O 的半径为R ,弦AB 的长也为R ,则AOB ∠=_________,弦心距就是_______
2. 在⊙O 中,弦AB 所对的劣弧为圆的3
1
,圆的半径为cm 2,则AB =_________ 3.圆的一条弦把圆分为度数的比为5:1的两条弧,如果圆的半径为R ,则弦长为______,该弦的
弦心距为__________
4.如图,直径CD AB ⊥,垂足为E ,︒=∠130AOC ,则的度数为
_______,
的度数为________
5.在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中,只有一条对称轴的几何图形就是________
6.⊙O 中弦AB 就是半径OC 的垂直平分线,则的度数为_______
7.已知⊙O 的半径为cm 5,
的度数就是︒120,则弦AB 的长就是________
8.如果一条弦将圆周分成两段弧,它们的度数之比为1:3,那么此弦的弦心距的长度与此弦的长度的比就是________ 9.已知:在直径就是10的⊙O 中,
的度数就是60°.求弦AB 的弦心距.
10.如图,⊙O 内两条相等的弦AB 与CD 相交于P ,求证:PD PB = 11.如图,⊙1O 与⊙2O 就是等圆,M 就是两圆心21O O 的中点,过M 任作一直线分别交⊙1O 于A ,B ,交⊙2O 于C ,D ,求证:=
12.如图,已知⊙O 的直径AC 为cm 20,的度数为︒60,
求弦AB 的弦心距的长。