圆心角定理

圆心角定理

(弧、弦、圆心角关系定理)

基本内容:

1、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。

2、在同圆或等圆中,如果两条弧相等,则它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。

3、在同圆或等圆中,如果两条弦相等,则它们所对的圆心角相等,所对的弧相等。

在理解时要注意:

⑴前提:在同圆或等圆中;

⑵条件与结论:在①两条弧相等;②两条弦相等;③两个圆心角相等中,只要有一个成立,则有另外两个成立。

基本概念理解:

1.在同圆或等圆中,若的长度＝的长度,则下列说法正确的个数就是( )

①的度数等于

;②

所对的圆心角等于所对的圆心角;③

与

就是等弧;

④

所对的弦心距等于

所对的弦心距。

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.如图,在两半径不同的同心圆中,?=''∠=∠60B O A AOB ,则( )

A.

B.

C.

的度数=

的度数 D.

的长度=

的长度

3.下列语句中,正确的有( )

(1)相等的圆心角所对的弧相等;(2)平分弦的直径垂直于弦;

(3)长度相等的两条弧就是等弧; (4)经过圆心的每一条直线都就是圆的对称轴. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

4.已知弦AB 把圆周分成1:5的两部分,这弦AB 所对应的圆心角的度数为

. 5.在⊙O 中,

的度数240°,则

的长就是圆周的 份.

概念的延伸及其基本应用:

1.在同圆或等圆中,如果圆心角BOA ∠等于另一圆心角COD ∠的2倍,则下列式子中能成立的就是( )

2.在同圆或等圆中,如果

,则AB 与CD 的关系就是( )

A.CD AB 2>

B.CD AB 2=

C.CD AB 2<

D.CD AB =

3.在⊙O 中,圆心角?=∠90AOB ,点O 到弦AB 的距离为4,则⊙O 的直径的长为( )

(2题图)

(例题6图)

(例题7图)

A.24

B.28

C.24 D .16

4.在⊙O 中,两弦CD AB <,OM ,ON 分别为这两条弦的弦心距,则OM ,ON 的关系就是( )

A.ON OM >

B.ON OM =

C.ON OM < D .无法确定 5.已知:⊙O 的半径为4cm,弦AB 所对的劣弧为圆的3

1

,则弦AB 的长为 cm,AB 的弦心距为 cm. 6.如图,在⊙O 中,AB ∥CD,

的度数为45°,

则∠COD 的度数为 .

典型例题精析:

例题1、如图,已知:在⊙O 中,OA ⊥OB,∠A=35°,求与

的度数、

例题2、如图,已知:在⊙O 中,

=2

,试判断∠AOB 与∠COD,AB 与2CD 之间的关系

,并说明理由、 例题3、如图,已知:AB 就是⊙O 直径,M 、N 分别就是AO 、BO 的中点,CM ⊥AB,DN ⊥AB,求证:

=

、

例题4、如图,C 就是⊙O 直径AB 上一点,过C 点作弦DE,使CD ＝CO,若

的度数为40°,求

的度数.

例题5、如图,在⊙O 中,直径AB 垂直于CD 并交CD 于E ;直径

MN 交CD 于F ,且OE FD FO 2==,求

的度数、

例题6、已知:如图,M 、N 分别就是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,CD AB =,求证:CNM AMN ∠=∠、

例题7、如图,已知⊙O 中,

,OB 、OC 分别交AC 、

DB 于点M ,N ,求证:OMN ?就是等腰三角形、

例题8、如图,已知AB 为⊙O 的弦,从圆上任一点引弦AB CD ⊥,作

OCD ∠的平分线交⊙O 于P 点,连接PB PA ,、

A B

C

D

M N

O A B C

O

D

(6题图)

O A B C

D

(例题1图) A B C D

C'O

(例题2图)

(例题3图)

A

B C

O

D E

F

(例题4图) (例题5图)

求证:PB PA =、

作业:

1.已知⊙O 的半径为R ,弦AB 的长也为R ,则AOB ∠=_________,弦心距就是_______

2. 在⊙O 中,弦AB 所对的劣弧为圆的3

1

,圆的半径为cm 2,则AB =_________ 3.圆的一条弦把圆分为度数的比为5:1的两条弧,如果圆的半径为R ,则弦长为______,该弦的

弦心距为__________

4.如图,直径CD AB ⊥,垂足为E ,?=∠130AOC ,则的度数为

_______,

的度数为________

5.在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中,只有一条对称轴的几何图形就是________

6.⊙O 中弦AB 就是半径OC 的垂直平分线,则的度数为_______

7.已知⊙O 的半径为cm 5,

的度数就是?120,则弦AB 的长就是________

8.如果一条弦将圆周分成两段弧,它们的度数之比为1:3,那么此弦的弦心距的长度与此弦的长度的比就是________ 9.已知:在直径就是10的⊙O 中,

的度数就是60°.求弦AB 的弦心距.

10.如图,⊙O 内两条相等的弦AB 与CD 相交于P ,求证:PD PB = 11.如图,⊙1O 与⊙2O 就是等圆,M 就是两圆心21O O 的中点,过M 任作一直线分别交⊙1O 于A ,B ,交⊙2O 于C ,D ,求证:=

12.如图,已知⊙O 的直径AC 为cm 20,的度数为?60,

求弦AB 的弦心距的长。