北师大版七年级数学下册 第1章 整式的乘除 第一章 回顾与思考(1)
本章知识结构
同底数幂的运算法则
单项式的乘法
单项式与多项式的乘法
单项式的除法
多项式与单项式的除法
多项式的乘法
乘法公式
运算法则
1 同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加
am · an=a m + n (m、n都是正整数) 。
2 幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 。
(a m ) n=a m n (m、n都是正整数) 3 积的乘方等于 每一个因数乘方的积 。 (a b)n =an bn (n是正整数)
作业
给出下列算式: 32 – 12=8 =8×1；
52 – 32=16=8×2；
72 – 52=24=8×3；
92 – 72=32=8×4。
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？ 用含n的式子表示出来（n为正整数）。 （2）计算 20112 – 20092 = ，
此时 n =
。
探索拓广
1、用小数或分数表示2.47×10-5= 2-5= 。 ，
2、探索规律：下列单项式 x ,2 x 2 ,3 x 3 ,4 x 4 则第 n 项是 。
3、若 a 3, a 5, 则a
m n
2m n
。
探索拓广
比较2100与375的大小
2
100 4
(2 ) ， 3 (3 )
a
b
探索拓广
在一次数学兴趣活动中，同学们做了一 个找朋友的游戏。游戏规定：所持算式相 等的两个人是朋友。 有五个同学A、B、C、D、E所持纸牌 前面分别写有五个算式：5a×7b， 5c×7d， 5×7，( a – 1 )( d – 1 )，( b - 1)( c -1 )。主持 人宣布A、B、C两两是朋友，请大家想一想 D、E是否为朋友。
多项式除以单项式，就是多项式的每 一项去除单项式，再把所得的商相加。
14
巩固基础
1.a a 2a
3 3 2 3 m
3
×
ห้องสมุดไป่ตู้2 3
2. x ( x ) x 3. x ( x ) x 4. ( b )
x
×
24
5
√
m 1
2 3 4
b
234
b
√
5.(a ) (a ) (a
乘法公式
10 平方差公式：
(a b)(a b) a b
2
2
11 完全平方公式： ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
12
( a – b )2 = a2 - 2ab + b2
公式中的a、b不仅 可以是数与字母， 还可以是多项式！
除法法则
13
单项式除以单项式，把它们的系数、 相同字母的幂分别相除后，作为商的一个 因式，对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数一起作为商的一个因式。
2 2
2
(6) (2 x y ) 4( x y )( x 2 y )
归纳法则
1、首项为负时，注意符号的变化。 2、运用交换律、结合律调整因式 或因式中各项的排列顺序，可以使 公式的特征更加明显。 3、乘法运算前面是负号时，乘积 的展开式要用括号括起来。
探索拓广
如图，一块直径为a + b的圆形钢板， 从中挖去直径分别为a与b的两个圆，求剩 下的钢板的面积.
4 25 3 75 3 25 100
3 25
2 16， 3 27，且16 27 (2 ) (3 ) ，即2
4 25
3
75
拓展：比较8131,2741,961的大小。
提示：当几个数的底数相同时， 决定它们大小的是它们的指数
当几个 数的指 数相同 时，决 定它们 大小的 是它们 的底数
运算法则
4 同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 。
am ÷ an = a m - n (a≠0，m、n都是正整数， m>n) 5 规定：a0 =1，（a≠0），
a-p=
6
1 ap
（ a≠0 ，且 p为正整数）
n
科学计数法：a 10 (1 a 10)
乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系 7 数、相同字母的幂分别相乘，其余字母 连同它的指数不变作为积的因式。 单项式与多项式相乘，就是根据分 8 配律用单项式去乘多项式的每一项，再 把所得的积相加。 多项式与多项式相乘，先用一个多 9 项式的每一项分别乘以另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加。
2
巩固基础
(1) ( 2ab) ( a c ) 1 1 3 0 ( 2) ( ) 2 ( 2010) 3
2 2
(3) 2ab 3a 2ab 4b
2
1 2 (4) 3a 6a 9a a 3
4 3 2
2
(5) (2a b)(4a b )(b 2a )
4 m m 4
2m 2
√
)
巩固基础
6.( 2 x ) 6 x
3 3 2
6 3
×
5
7.( x y ) ( y x ) ( x y ) × 6 3 63 2 8.a a a a × 20 × 5 3 2 10.( m ) ( m ) m × 9.10
北师大版七年级数学下册_第1章_整式的乘除_第一章_回顾与思考
1. a a
3
× 2 3 23 5 2. x (x ) x x √
m m 1
3
2a
3
3. x (x ) x 4. (b )
2 3 4 4 m
×
24 2m
b
2 3 4
b
√
×
(1) (2ab ) (a c ) 1 1 3 0 (2) ( ) 2 ( 2010 ) 3 (3) 2ab 3a 2 2ab 4b 2
2 2
(4) 3a 6a 9a
4 3
2
(5) (2a b )(4a b )(b 2a )
。
3 积的乘方等于 每一个因数乘方的积 。
(a b)n =an bn (n是正整数)
4 同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 。 am ÷ an = a m - n (a≠0，m、n都是正整数，m>n) 5 规定：a0 =1，（a≠0），
1 p a = p a
（ a≠0 ，且 p为正整数）
n 6 科学计数法： a 10 (1 a 10)
本章知识结构
同底数幂的运算法则 单项式的乘法
单项式与多项式的乘法
单项式的除法
多项式与单项式的除法
多项式的乘法
乘法公式
1 同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 am · an=a m + n (m、n都是正整数) 2 幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 。 (a m ) n=a m n (m、n都是正整数)
2 2
1 2 3 a
2019七年级数学下册 第一章 整式的乘除回顾与思考教案 (新版)北师大版
师：出示如图，一块直径为 a+b 的圆形钢板，
从中挖去 直径分别为 a 与 b 的两个圆，求剩下 的
钢板的面积.
生：板演
通过本节课的学习，我 进一步掌握了
法则，能比较熟
小结 练 地 进 行
运算，同时，进一步学会了用
思想方法进行解题
作业 知识技能 1、
布置 板书
第一章回顾与思考
设计
知识框架图
典型题目
课后 反思
生：动手写，一优秀生板演
二次备课
复习
有关幂的运算 性质
单项式的乘 法
单项式与多项式的 乘法
多项式的乘 法
乘法公 式
单项式的除 法
多项式与单项式的 除法
幂的运算性质
（1）同底数幂相乘法则：______________字母表达：
（2） 幂的乘方法则：_________________字母表达：
（3）积的乘方法则：____________字母表达：
第一章
课题
第一章 回顾与思考
教学
灵活运用整式乘法公式进行运算，综合运用整式运算的知识解决问题.
目标 重点 幂的运算法则及整式乘除法的计算
难点 灵活运用整式乘法公式进行运算，综合运用整式运算的知识解决问题
教学
用具 教学
多媒体
环节
说
明
师：同学们第一章我们全部学习完了，这一章你学习了哪些知识？哪些
方法？ 能否构建知识网络图？
师：他们说的非常好，你选择一种你喜欢的方法把这题解出来.
生：板书.
师：巡视，指导.
（三）乘法公式用公式对数进行简来自运算师：出示计算 ① 102 2 ②401×309+1
生：计算，两生板演
北师大版七年级数学下册《一章 整式的乘除 回顾与思考》公开课教案_3
第一章整式的乘除回顾与思考一、概述教科书根据整式乘除的知识体系特征和学生的认知基础，提出了复习课的具体学习任务：梳理全章内容，建立知识体系；熟练运用幂的运算法则、整式乘除法进行运算；综合运用这些知识解决稍复杂的问题.上一课时学生已经完成了对本章知识体系的整体认知，进行了幂的运算和简单的整式乘除运算的练习，因此本节课主要任务是复习容易混淆的乘法公式和综合运用知识解决问题.二、教学目标分析1、对本章知识进行归纳总结，并展示；2、对典型例题进行分析，并加以拓展延伸；3、在活动过程中，培养学生归纳总结、合作学习的能力三、学习者特征分析学生的知识技能基础：学生在这一章中学习了幂的运算、整式的乘除法等知识，还运用这些知识解决了一些相关的实际问题，在第一课时的复习中，学生已经完成了对本章知识体系的整体认知，进行了幂的运算和简单的整式乘除运算的练习，但容易混淆的乘法公式、稍复杂的综合题目还未进行复习与练习。
学生活动经验基础：在学习整式乘除法的过程中，学生经历了许多数学活动，积累了一定的经验.但是学生有条理的思考和表达能力还比较薄弱，缺乏综合运用知识解决较复杂问题的经验，需要进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。
四、教学重点、难点对典型例题进行分析，并加以拓展延伸；五、教学过程本课共分为四个部分，第一部分是要求学生展示课前所准备的知识网络图，第二部分是有学生进行典型例题的讲解，第三部分是根据典型例题进行联系，最后一部分是对本节课的总结以及拓展延伸。
一、本章知识网络课前要求学生准备好本章知识网络图。
1、学生在本组内展示自己所准备的知识网络图，小组同学互相观摩；2、组内推荐一名同学进行展示。
3、教师总结分析二、典型例题分析课前要求学生每小组准备一个典型例题由小组成员到黑板为大家讲解本组所准备的典型例题三、练习小组成员讲解典型例题后，展示本小组关于此种例题的联系，全班同学思考完成四、小结学生谈一谈本节课的收货与体会。
新版北师大七年级数学下册第一章《整式的乘除运算》知识点总结及习题
第一章整式的乘除知识点总结一、单项式：数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
注意：π是数字，而不是字母，它的系数是π，次数是0. 二、多项式几个单项式的代数和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：),(都是正整数n m aa a nm nm+=∙2、幂的乘方：),(都是正整数）（n m a a mnn m =3、积的乘方：)()(都是正整数n b a ab nnn= 4、同底数幂的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a nm nm都是正整数六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：);0(10≠=a a 2、负整数指数幂：),0(1是正整数p a aa p p≠=- 七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
八、整式乘法公式：1、平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+2、完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、 知识点：1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。
北师大版七年级数学下册《一章 整式的乘除 回顾与思考》公开课教案_19
北师大版义务教育教科书七年级下册第一章《整式的乘除》回顾与思考（第一课时）教学设计与说明一、教材分析（一）教学内容的地位和作用本章内容是学生在学习了七年级上册整式的加减运算，已初步体会了整式运算在解决“具有一般性”的问题中的作用之后，对整式运算学习的一个延续，代数本身是一门具有丰富内容并且与现实世界、学生生活、其他学科联系十分密切的学科，它为数学本身和其他学科的研究提供了语言、方法和手段，是研究数学本身和其他学科的基础。
而本章内容注重数与式的类比，数与形的结合，发展学生的数感、符号意识及运算能力，本节课从章标题“整式的乘除”开始，乘法学了什么？除法又学了什么？他们之间又有什么联系？让学生展示自己课前设计的思维导图，最后全班对本章内容形成知识结构图。
因此，本堂课不仅是发展学生原有的认知结构，形成新的整体的知识体系的主要通道，而且是渗透数形结合思想，进一步感受整式运算的价值以及增强学生符号感的有效载体，为学生后续学习分式、方程、函数等内容奠定了基石，积累了学习方法、经验。
因此，本章内容在教材中处于十分重要的地位。
（二）教学目标1．整式的乘除相关法则中算理的理解与应用，能熟练运用幂的运算法则、整式乘除法则进行运算.2．回顾与反思本章所学内容,梳理本章知识脉络,建立知识间的联系,渗透分类思想。
3．培养学生自主探究归纳概括、运用知识解决问题的能力，提高学生对知识整合与分析的能力，发展几何直观。
（三）重点与难点教学重点:在幂的运算，整式的乘、除法则等知识的复习过程中,进一步感受数(有理数)与式(整式)的类比、式（整式）与形（图形面积）的结合这些重要的数学思想。
教学难点:在对所学法则公式总结、归纳的过程中,认识到各知识之间的紧密联系,从而积累回顾与思考的经验和能力。
二、学情分析学生在这一章中了解了整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质，经历了探索整式乘除法法则的过程，理解了整式乘除的算理，运用这些知识解决了一些相关的实际问题。
【最新北师大版精选】北师大初中数学七下《1.0第一章 整式的乘除》word教案 (2).doc
精品【初中语文试题】 第一章 回顾与思考一、教学目标：1．知识与技能：灵活运用整式乘法公式进行运算，综合运用整式运算的知识解决问题.2．过程与方法：在解决综合题目的过程中，让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，发展学生的符号感和应用意识，提高应用代数意识及方法解决问题的能力， 进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。
3．情感与态度：在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，了解数学的价值，发展“用数学”的信心。
二、 教学过程（一）知识梳理 回顾本章知识结构图.（二）热身锻炼1．巧用公式计算2、互帮互助3、灵活运用同底数幂的运算性质单项式的乘单项式的除法 单项式与多项式的乘法 多项式与单项式的除法多项式的乘法 乘法公式 22222(32)(32)(94)x y x y x y -++xy)21()2y x ()2y x ((4)22-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--（3）)232)(223()1(n m n m --++2)12()2(-+b a 1a 1、运用乘法公式计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222220001119991-1411311211的值.a 求,1a 1a :己知2、22+=-20072008)41()4()3(-⨯-20042003)2()2()4(-+-1)399(401)1(--⨯201220102011)2(2⨯-精品【初中语文试题】 EB ACD GFH P （三）综合提升1．思维拓广：用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用x ，y 表示矩形的长和宽(x ＞y )，则下列关系式中不正确的是（ ）A. x +y =12B. x －y =2C. xy =35D. x 2＋y 2=144 2、层层递进：观察下列等式： （x －1）（x ＋1）＝ x 2 －1,（x －1）（x 2 ＋x ＋1）＝ x 3 －1,（x －1）（x 3＋x 2 ＋x ＋1）＝_________,………（1）猜想规律（x －1）（x n ＋x n －1＋…+x 2 ＋x ＋1）＝_________,（2）有以上情形，你能求出下面式子的结果吗？（x 20 －1）÷（x －1）＝_______ __,（3）已知x 3＋x 2 ＋x ＋1=0，求x 2012的值.（四）拓展延伸 阅读材料并回答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图1或图2等图形的面积表示.（1）请写出图3中所表示的代数恒等式____________；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：()()2237232b ab a b a b a ++=++（3）请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形.（五）课堂小结畅谈这节课的收获和体会 （六）布置作业1、基础作业：课本P33页，复习题4、5、62、拓展作业：如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上一点，过P 点作直线GH ，EF 分别平行于AB ，BC ，交两组对边于点G ，H ，E ，F .四边形PFDH ，PEBG 都是正方形，四边形PHAE ，PGCF 都是矩形，设正方形PEBG 的边长为a ，正方形PFDH 的边长为b .(1)请你测量一下边长a 、b ，计算正方形PEBG 与正方形PFDH 的面积之和以及矩形PHAE 与矩形PGCF 的面积之和. (2)你能根据（1）的结果判断a 2+b 2与2a b 的大小吗？(3)当P 点在什么位置时，有a 2+b 2=2ab ？图1 图3 图2三、教学反思本节课给学生提供了大量综合性、灵活性较强的题目，对基础较好的学生而言，这是难得的开拓视野、锻炼思维、提升自我的机会，可以放手让他们自主探究；对基础薄弱的学生而言，通过铺设一些问题串，减小思维难度，帮助他们加入到探索的行列中。
新北师大版七年级数学下册《一章 整式的乘除 回顾与思考》教案_21
四、巩固提升
归纳第一章《整式的乘除》中出现的三类典型的蕴含重要数学思想的题型，让学生对知识的运用形成体系，明确在具体题目当中出现的数学方式，并能较好的进行分析和解
决。
1.公式的灵活应用
将多项式4x2+1加上一个单项式后，
使它能成为一个形如（a+b）的完全平方，
则添加单项式的方法共有多少种
2.数形结合思想
我们知道，有些代数恒等式可以用平面图形的面积来表示，例如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，
就可以用如图所示的面积关系来说明。
（1）根据图形请你写出一个等式：
（2）根据等式请你画出一个能说明等式成立的图形：（2a+b）（a+3b）=2a2+7ab+3b2从代数到图形，从图形到代数，彼此是互相支撑互相补充的关系。
对于给出的代数恒等式（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，可以用同一个图形的面积相等去解释等号左右相等，所谓“以形助数”使代数问题几何化。
另外一方面，给出一个图形，学生也可以根据面积相等列出一个代数恒等式，所谓的“以数辅形”，使几何问题代数化。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，初中数学中实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系。
北师大版七年级下册数学教案：第一章整式的乘除回顾与思考-
在今天的课堂中，我带领学生们回顾了整式的乘除这一章节。通过导入新课时的生活实例，我发现学生们对于整式乘除在实际中的应用产生了浓厚的兴趣。这样的引入方式既激发了学生的学习热情，也让他们意识到数学知识在生活中的重要性。
在新课讲授环节，我注意到学生们对整式乘除的基本概念掌握得相对较好，但在案例分析过程中，一些学生在运用法则进行计算时仍显得有些吃力。为此，我特别强调了单项式乘除和多项式乘除的运算步骤，并通过对比和举例来帮助他们理解和记忆。
此外，学生在进行整式乘除运算时，仍然存在一些常见的错误，如符号错误、漏项等。这提醒我在今后的课堂中，要加强对这些易错点的强调和练习，帮助学生建立起正确的运算习惯。
在总结回顾环节，我鼓励学生们提出疑问，很高兴看到他们勇于提问。为了更好地解答这些问题，我计划在下一节课前预留出更多的时间，专门针对学生的疑问进行解答和巩固。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调单项式乘除法则和多项式乘除法则这两个重点。对于难点部分，如多项式乘多项式的运算步骤和整式的除法运算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整式乘除相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示整式乘除在几何图形中的应用。
6.应用题：实际情境下的整式乘除问题。
二、核心素养目标
北师大版七年级下册数学教案：第一章整式的乘除回顾与思考-
1.培养学生运用符号意识，熟练掌握整式乘除的基本法则，提高运算能力；
2.培养学生的空间观念和逻辑推理能力，能够将整式乘除应用于解决实际问题；
3.培养学生的数据分析观念，通过整式乘除的运算，对数据进行整理和分析，提高解决问题的能力；
北师大版七年级下册 第一章整式乘除 回顾与思考(第1课时) 示范课课件
第一章 整式乘除 回顾与思考
教学目标
①梳理本章内容，建构知识体系。 ②熟练运用幂的运算法则、整式乘除法则进行 运算，落实数学运算能力的提升。 ③本章数学思想方法的总结和应用，提升应用 能力，促进数学思维发展。
一.知识结构
用字母表示数
单
Байду номын сангаас代数式
项
式
整式
多
概
项
念
式
加减
运算
乘除
二.易错点巩固
(x 2y)2
解：( x 2 y)2 ( y x)(x y) 5 y2 2x x2 4xy 4 y2 (x2 y2 ) 5 y2 2x
x2 4xy 4 y2 x2 y2 5 y2 2x
4xy 2x 2y
注意事项
1.认准底数，明辨运算，用对法则。 2.明确乘法公式特征，用对公式。 3.符号处理，小心翼翼。 4.逆用公式，化繁为简。 5.减去一个多项式要带括号。 6.混合运算时，一要注意运算顺序； 二要熟练正确地运用运算法则.
(1) a2 (a)3 _a_5__ . (3)(2x2 y)3 __8_x_6 y_3.
(2)
33
1
___2_7__ .
(4)(8)2017 (0.125)2016 __8__ .
(5)(x y)2 ( y x)3 (_y__x_)_5 或 ___（_x. y)5
(6)计算：(x 2 y)2 ( y x)(x y) 5y2 2x
—————————————————
你还能画出上面 等式对应的几何 图形吗？
思考：小明要拼一个长为（2a+b）,宽为（a+2b） 的长方形，需要A卡片_____张，B卡片______张， C卡片______张。