离散数学左孝凌共88页
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离散数学-命题逻辑-2-左孝凌
等价式和蕴含式有下面的关系
定理1-5.4 设A，B为任意两个命题公式，则AB的充分必要条件是 AB且BA 证明：设AB，下证AB且BA 因为AB，所以ABT 由双条件等价式得：(A→B)∧(B→A)ABT 因而A→B与B→A都是重言式，故有AB且BA。 设AB且BA，下证AB。 因为AB且BA，所以A→B与B→A都是重言式，重言 式的合取也是重言式，即 (A→B)∧(B→A)T 再由双条件等价式得：(AB)(A→B)∧(B→A)T 即AB为重言式，故有AB。
表1-4.4 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A∧B 1 0 0 0 A∨B 0 1 1 1 (A∨B) 1 0 0 0
等价置换
定义1.3.4如果X是合式公式A的一部分且X本身也是合式公 式，则称X为公式A的子公式。 例如，Aq→(p∨(p∧q))，Xp∧q，则X是A的子公式。 定理1.3.1设X是合式公式A的子公式，若XY，如果将A中的 X用Y来置换，得到的公式记为B，则B与A等价，即AB 证明：对A、B的任一赋值，X与Y的真值相同，而A、B的其它 部分完全相同，公式B与公式A的真值必相同，因此 AB。 满足此定理的置换叫做等价置换。
真值表
定义1-4.2 在命题公式A中，对 A的每一个赋值，就确定了A 的一个真值，把它们汇列成 表，称该表为命题公式A的 真值表。
表1-4.1 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0 p∨q 1 1 0 1
例1: 构造命题公式p∨q的真值表，并求成真赋值和成假 赋值。 解：命题公式p∨q的真值表如表1-4.1所示。00，01，11 是成真赋值，10是成假赋值。
蕴含式的性质
设A、B、C为合式公式。 ⑴ AA (即蕴含是自反的) ⑵ 若AB且A为重言式，则B必为重言式。 ⑶ 若AB且BC，则AC (即蕴含是传递的) ⑷ 若AB且AC，则AB∧C ⑸ 若AB且CB，则A∨CB ⑹ 若AB，C是任意公式，则 A∧CB∧C 证明：仅证明 ⑸。 因为AB，CB, 所以A→BT，C→BT (A∨C)→B(A∨C)∨B(A∧C)∨B (A∨B)∧(C∨B)(A→B)∧(C→B)T∧TT 由等价的传递性，(A∨C)→BT，故A∨CB
左孝凌离散数学课件
计算机科学
组合数学的应用实例
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组合公式
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表示阶乘。
组合数学的基本概念
C(n, k) = C(n, n-k)，C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k-1)等。
组合数的性质
∑(k=0~n) C(n, k)x^(n-k)y^k = (x+y)^n。
帕斯卡恒等式
详细描述
图的应用实例
04
离散概率论
在离散随机试验中，每个样本点发生的可能性可以用一个实数表示，这个实数就是离散概率。
离散概率
由样本空间和概率函数组成，描述离散随机试验的所有可能结果及其对应的概率。
离散概率空间
如果两个事件之间没有相互影响，则称这两个事件是独立的。
独立性
离散概率的基本概念
如果两个事件互斥，则它们同时发生的概率为各自概率的和。
02
集合论
总结词
详细描述
总结词
详细描述
总结词
详细描述
集合是离散数学中的基本概念，它是由确定的、不同的元素所组成的。
集合是由确定的、不同的元素所组成的，这些元素之间具有某种共同特征或属性。例如，所有自然数可以组成一个集合，所有三角形也可以组成一个集合。
集合的表示方法通常使用大括号 {} 或方括号 []，例如 A = {1, 2, 3} 表示一个包含三个元素的集合。
抽样调查
通过抽样调查来估计总体特征时，可以使用离散概率来计算样本的代表性。
赌博游戏
在赌博游戏中，庄家和玩家各自有赢的概率，这些概率可以用离散概率来表示。
组合数学的应用实例
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组合公式
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表示阶乘。
组合数学的基本概念
C(n, k) = C(n, n-k)，C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k-1)等。
组合数的性质
∑(k=0~n) C(n, k)x^(n-k)y^k = (x+y)^n。
帕斯卡恒等式
详细描述
图的应用实例
04
离散概率论
在离散随机试验中，每个样本点发生的可能性可以用一个实数表示，这个实数就是离散概率。
离散概率
由样本空间和概率函数组成，描述离散随机试验的所有可能结果及其对应的概率。
离散概率空间
如果两个事件之间没有相互影响，则称这两个事件是独立的。
独立性
离散概率的基本概念
如果两个事件互斥，则它们同时发生的概率为各自概率的和。
02
集合论
总结词
详细描述
总结词
详细描述
总结词
详细描述
集合是离散数学中的基本概念，它是由确定的、不同的元素所组成的。
集合是由确定的、不同的元素所组成的，这些元素之间具有某种共同特征或属性。例如，所有自然数可以组成一个集合，所有三角形也可以组成一个集合。
集合的表示方法通常使用大括号 {} 或方括号 []，例如 A = {1, 2, 3} 表示一个包含三个元素的集合。
抽样调查
通过抽样调查来估计总体特征时，可以使用离散概率来计算样本的代表性。
赌博游戏
在赌博游戏中，庄家和玩家各自有赢的概率，这些概率可以用离散概率来表示。
离散数学课后习题答案左孝凌版
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q? (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P?Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
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第4页
§1 谓词概念与表示法
（1）谓词填式：谓词字母后填以客体所得式子。
例：H(a, b)
（2）若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词；若谓 词字母联系着二个客体，则称作二元谓词；若谓词字母联 系着n个客体，则称作n元谓词。
（3）客体顺序必须是有要求。 例：河南省北接河北省。
nL
b
写成二元谓词为：L(n,b)，但不能写成L(b,n) 。
例：P(x)表示x是质数。这是一个命题函数。 其值取决于个体域。 能够将命题函数命题，有两种办法：
第7页
§2 命题函数与量词
a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x) 个体域给定形式有二种： ①详细给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域任意域：所有个体从该域中取得。
第13页
§3谓词公式与翻译
写成符号形式：
x(M(x) D(x))， M(s) D(s)
2.因为对个体描述性质刻划深度不同，可翻译 成不同形式谓词公式。
第14页
§4变元约束
1.辖域：紧接在量词后面括号内谓词公式。 例： xP(x) , x(P(x) Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号能够省去。
第18页
§4变元约束
6.个体域（叙述域，客体域）:用特定集合表示 被约束变元取值范围。
(1)个体域不同，则表示同一命题谓词公式形 式不同。 例：“全部人必死。”令D(x)，x是要死。
下面给出不同个体域来讨论：
(ⅰ)个体域为：{人类}，
则可写成 xD(x)；
(ⅱ)个体域为任意域（全总个体域），则人必 须首先从任意域中分离出来，
(b)每一个自然数都是偶数 x(N(x) E(x))
§1 谓词概念与表示法
（1）谓词填式：谓词字母后填以客体所得式子。
例：H(a, b)
（2）若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词；若谓 词字母联系着二个客体，则称作二元谓词；若谓词字母联 系着n个客体，则称作n元谓词。
（3）客体顺序必须是有要求。 例：河南省北接河北省。
nL
b
写成二元谓词为：L(n,b)，但不能写成L(b,n) 。
例：P(x)表示x是质数。这是一个命题函数。 其值取决于个体域。 能够将命题函数命题，有两种办法：
第7页
§2 命题函数与量词
a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x) 个体域给定形式有二种： ①详细给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域任意域：所有个体从该域中取得。
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§3谓词公式与翻译
写成符号形式：
x(M(x) D(x))， M(s) D(s)
2.因为对个体描述性质刻划深度不同，可翻译 成不同形式谓词公式。
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§4变元约束
1.辖域：紧接在量词后面括号内谓词公式。 例： xP(x) , x(P(x) Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号能够省去。
第18页
§4变元约束
6.个体域（叙述域，客体域）:用特定集合表示 被约束变元取值范围。
(1)个体域不同，则表示同一命题谓词公式形 式不同。 例：“全部人必死。”令D(x)，x是要死。
下面给出不同个体域来讨论：
(ⅰ)个体域为：{人类}，
则可写成 xD(x)；
(ⅱ)个体域为任意域（全总个体域），则人必 须首先从任意域中分离出来，
(b)每一个自然数都是偶数 x(N(x) E(x))
左孝凌离散数学PPT课件
25
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
离散数学课后习题答案左孝凌版
所以， P∧(Q∧R) b)
(P∧Q)∧Ｒ
P: 它占据空间。 Q: 它有质量。 R: 它不断变化。 S: 它是物质。 这个人起初主： (P∧Q∧R) S 后来主： (P∧Ｑ S)∧(S→R) 这个人开头主与后来主的不同点在于：后来认为有 P∧Ｑ必同时有 R，
P
Q
R ∨R
P Q
∨ (Q ∨ ∨ Q R)
1.F
2. ┓(P∨ Q)
3. ┓(Q→
F
TT F T
T
F
F
P)
F
FT T T
T
T
T
4. ┓P 5. ┓(P → Q)
6. ┓Q
7. ┓
所以，┓ (P∧Q) ┓P∨┓ Q, ┓(P∨ Q) ┓P∧┓Ｑ
(P Q)
8. ┓(P ∧Q)
（ 5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式 F1～F6，可表达为
9.P ∧
F
T
F
F
F
T
F
A ∨ (A →┐ B)
┐A→(A →┐ B)
b) ┐ (A B) ┐((A ∧B) ∨( ┐A∧┐ B))
┐ ((A ∧ B)∨┐ (A∨ B))
(A ∨ B) ∧┐ (A ∧ B)
或 ┐ (A B) ┐((A →B) ∧（B→ A))
┐(( ┐ A∨ B) ∧ ( ┐B∨A))
┐(( ┐ A∧┐ B)∨ ( ┐ A∧A) ∨(B∧┐ B) ∨ (B∧A))
( ┐(A∧ B∧ C)∨ D)∧( ┐C∨(A∨B∨D))
( ┐(A∧ B∧ C)∨ D)∧( ┐( ┐A∧┐ B∧C)∨ D)
( ┐ (A∧B∧C) ∧┐ ( ┐A∧┐ B∧C)) ∨ D
左孝凌离散数学
第七章 图论 7.1 图的基本概念
图7.1.1
第七章 图论 7.1 图的基本概念
如果图7.1.1中的４个结点a，b，c，d分别表示４个人， 当某两个人互相认识时，则将其对应点之间用边连接起 来。这时的图又反映了这４个人之间的认识关系。
我们也可以点代表工厂,以连接两点的连线表示这两 工厂间有业务往来关系。这样便可用图形表示某一城市 中各工厂间的业务往来关系。这种用图形来表示事物之 间的某种关系的方法我们也曾经在第三章中使用过。对 于这种图形,我们的兴趣在于有多少个点和哪些点对间有 线连接,至于连线的长短曲直和点的位置都无关紧要。对 它们进行数学抽象我们就得到以下作为数学概念的图的 定义。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
第七章 图论 7.1 图的基本概念
定义7.1.1一个图G是一个序偶〈V(G),E(G)〉，记 为G＝〈V(G),E(G)〉。其中V(G)是非空结点集合， E(G)是边集合，对E(G)中的每条边，有V(G)中的结 点的有序偶或无序偶与之对应。
若边e所对应的结点对是有序偶<a,b>,则称e是有向 边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。若 边e所对应的结点对是无序偶(a,b),则称e是无向边。 这时统称e与两个结点a和b互相关联。我们将结点a、 b的无序结点对记为(a，b)，有序结点对记为<a，b〉。
离散数学课堂PPT(左孝凌版)
P T T F F Q T F T F ᄀP F F T T ᄀP∨Q T F T T P→Q T F T T
（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）与P⇄Q对应的真值相同。
定义1－4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元,若给P1， P2，…，Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,则 称A和B是等价的或逻辑相等。记作A⇔B。
P T T
Q ᄀP ᄀQ T F F F F T
P∧Q ᄀP∧ᄀQ （P∧Q）∨ （ᄀP∧ᄀQ） T F T F F F
F
F
T T
F T
F
T
F
F
F
T
F
T
例4 给出ᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）的真值表。
P Q P∧Q ᄀ（P∧Q） ᄀP ᄀQ ᄀP∨ᄀQ ᄀ（P∧Q）⇄ （ᄀP∨ᄀQ）
T T T T F F
定义1－2.3 设P、Q为两命题，复合命题“P或Q” 称为 P与Q的析取式，记作P∨Q，∨为析取联结 词。 P Q P ∨Q T T T T F T F T T F F F
析取式P∨Q表示的是一种相容性或，即允许P 和Q同时为真。 例：“王燕学过英语或日语” P∨Q 自然语言中的“或”具有二义性，有时表示 不相容的或。 例：“派小王或小李中的一人去开会” 。为排斥 性的或。 P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q） ， （P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）
其中P、Q和R代表任意的命题公式。
例6 验证吸收律
P∨（P∧Q）⇔P和 P∧（P∨Q）⇔P
P T T F F
Q T F T F
P∧Q T F F F
P∨（P∧Q）P∨Q T T T T F T F F
（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）与P⇄Q对应的真值相同。
定义1－4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元,若给P1， P2，…，Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,则 称A和B是等价的或逻辑相等。记作A⇔B。
P T T
Q ᄀP ᄀQ T F F F F T
P∧Q ᄀP∧ᄀQ （P∧Q）∨ （ᄀP∧ᄀQ） T F T F F F
F
F
T T
F T
F
T
F
F
F
T
F
T
例4 给出ᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）的真值表。
P Q P∧Q ᄀ（P∧Q） ᄀP ᄀQ ᄀP∨ᄀQ ᄀ（P∧Q）⇄ （ᄀP∨ᄀQ）
T T T T F F
定义1－2.3 设P、Q为两命题，复合命题“P或Q” 称为 P与Q的析取式，记作P∨Q，∨为析取联结 词。 P Q P ∨Q T T T T F T F T T F F F
析取式P∨Q表示的是一种相容性或，即允许P 和Q同时为真。 例：“王燕学过英语或日语” P∨Q 自然语言中的“或”具有二义性，有时表示 不相容的或。 例：“派小王或小李中的一人去开会” 。为排斥 性的或。 P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q） ， （P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）
其中P、Q和R代表任意的命题公式。
例6 验证吸收律
P∨（P∧Q）⇔P和 P∧（P∨Q）⇔P
P T T F F
Q T F T F
P∧Q T F F F
P∨（P∧Q）P∨Q T T T T F T F F