8.数学建模-变分法.
变分法——精选推荐
变分法综述1.变分法1.1.变分法起源变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。
20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。
[1]变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。
譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。
变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。
在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。
它对应于泛函的临界点。
在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。
变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。
它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。
而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
最优控制的理论是变分法的一个推广。
[2]同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。
变分一词用于所有极值泛函问题。
微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。
极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。
1.2变分问题类型固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。
[3]（1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。
这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。
建模常用方法
一、在数学建模中常用的方法：1.模糊评价方法2.层次分析法3.数据拟合法4.差分法5.变分法6.图论法7.二分法8.量纲分析法9.回归分析法10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划）11.机理分析12.排队方法13.对策方法14.决策方法15.类比法16.时间序列方法(指数平滑法、移动平均法、季节指数法等）17.灰色理论方法18.现代优化算法（禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、神经网络)二、用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
1.拟合与插值方法:（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。
2.优化方法：决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。
其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。
3.回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。
相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。
4.逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止（主要用SAS、SPSS来实现，也可以用matlab软件来实现）。
8.数学建模-变分法
如记泛函自变量在 x0( t ) 处的增量为： δx( t ) = x( t ) – x0( t ) ,
由它引起的泛函的增量记作 ΔJ = J ( x0( t ) + δx( t ) ) – J ( x0( t ) ) , 如果 ΔJ 可以表为：
若 J ( x ( t ) ) 在 “点 ” x ( t ) 处达到极大 (或极小 )值 , 则必 有 在该 “点 ” 处的变分为零 的 结论： J ( x(t )) 0
这是因为对任意的小参数 a ，总成立： J ( x(t ) a x(t )) J ( x(t ))
所以
= k( x( t ) ) · （a ∙ δx( t ) ）+ r ( x( t ) , a ∙δx( t ) )
2.设 S2 = { x ( t ) │ x ( t ) 为全体在区间 [ 0 ,1 ] 上可积的初等函数 } ，
G ( x (t )) x (t ) dt
0
1
即算出函数 x ( t ) 在区间 [ 0 ,1 ] 上的定积分之值。 例如，
G(e t ) e t dt e 1 , G(ln(t 1)) ln(1 t )dt 2 ln 2 1
一般而言，单位时间的生产费用应是生产率的函数，可以记作 f ( x’( t ) )；
而单位时间的储存费用是产品累积数的函数，可以记为 g(x(t))。
于是从 t = 0 到 t = T 的总费用是：
C ( x(t )) [ f ( x' (t )) g ( x(t ))]dt
0
变分法模型概要
1 变分法简介
• 变分法是研究泛函极值问题的数学方法。 本节就变分法的基础知识作简要介绍，需 要深入了解的读者可阅读有关专著。
变分法的基本概念
1．泛函的定义
设 D 为一个函数集合，若对于每一个函数 y(x) D 都 有一个确定的实数 J 与之对应，则称 J 为定义在 D 上的一个 泛函，记作 J[( y(x)] 。D 称为泛函 J 的定义域。
(1)
3。泛函的极值
设 y(x) , y1(x) 为 [a , b] 上 的 连 续 函 数 ， 则 称
max |
x[a , b]
y1 ( x)
y(x)
|
为函数
y(x)
与
y1 ( x)
的距离。而与
y(x)
的距离小于 的连续函数的全体称为函数 y(x) 的 邻域，即
U (y,)
{y1(x) |
（2） 用适当方式引入参数求解，可得极值曲线的参
数形式 x x(t) ， y y(t) 。
情形 C 若函数 F 中不含 x ，则由欧拉方程(2)式及
d
dx
(
F
Fy' y')
y'
d dx
Fy '
Fy
0，
有 F y' Fy' C1 为一阶微分方程。如情形 B 的两种
解法即可得到极值曲线。
x0
（7）
这样就把条件极值的变分问题化成了无条件极值的变分
问题。对于泛函 v * 来说，其欧拉方程组为
F* yi
F d *
dx y ' j
0
( j 1,2, , n)
(8)
i 0
(i 1,2, , m)
变分法
寻求最优性能指标（目标函数）J (u(t)) (t f , x(t f ))
tf F(t, x(t),u(t))dt
t0
u(t) S 控制函数 f ,, F C1
x(t)
状态函数 t0固定，t f 、x(t f )自由
下面推导取得目标函数极值的最优控制策略u* (t) 和最优轨线 x* (t) 的必要条件。
变分法的基本引理 (x) C[x1, x2 ], (x) C1[x1, x2 ], (x1) (x2 ) 0, 则
x2 (x)(x)dx 0 x1
(x) 0,
x [x1, x2]
泛函极值的必要条件
F C(2) , 容许函数类S取为满足端点条件的二阶可微函数集合。
最优控制问题求解
J1 0
dt f , x(t f ), x, u,任意
x* , * 必满足正则方程：
x
H H
x
状态方程 协态方程
H (t, x*, u, * ) 满足 Hu 0
利用边界条件（端点条件）
x(t0 ) x0
(t f
)
x(t f
)
t2
J (x(t),u(t)) F(t, x(t), x' (t),u(t),u' (t))dt
t1
其欧拉方程为
Fx
Fu
d
dt d
dt
Fx' Fu '
0 0
端点变动的情况（横截条件）
在考虑泛函极值时，如果容许函数 x(t) 的一个端点不固定，而是在一条曲线
x (t) 上变动，于是端点条件可以表示为
变分模型
变分模型变分法基本引理引理1. 若)(x f 在[x 1，x 2]上分段连续，0d )()(21≡⎰x x x x x f η，)}(0)(|)),((]),([{2121210x x x x C x x C C ηηηη==⋂∈=∈∀∞∞则 0)(≡x f .证：用反证法，设)(x f 不恒等于零，由)(x f 的分段连续性，存在),(21x x 的开子区间I ，使得在I 上 f 不变号，取在I 上为正，在I 的余集上等于零的函数∞∈0C η 积分得0d )()(21≠⎰x x x x x f η，矛盾。
引理2. 若)(x g 在[x 1，x 2]上分段连续，0d )()(21≡'⎰x x x x x g η，∞∈∀0C η 则 .const )(≡x g .证明: 用反证法，不然， 则存在常数C 及),(21x x 的两个距离大于零的开子区间I 1，I 2，使得， )()(21x g C x g >>， 11I x ∈∀，22I x ∈∀，取在21I I ⋃的余集上等于零的函数∞∈0C η且)(0)(21x x ηη'>>'，11I x ∈∀，22I x ∈∀，则[]0d )()(021>'-≡⎰x x x x C x g η，矛盾.引理3. 若)(x g 在[x 1，x 2]上分段连续，)(x f 在[x 1，x 2]上可积[]0d )()()()(21≡'+⎰x x x x x g x x f ηη，∞∈∀0Cη则.const d )()(1⎰+=xx t t f x g证明: 令⎰=xx t t f x h 1d )()(, 则由分部积分得[][]⎰⎰'-='+≡2121d )()()(d )()()()(0x x x x x x x h x g x x x g x x f ηηη由引理2, .const )()(+=x h x g定理： 设F (x , y , z )是一阶连续可微函数，若有在[x 1，x 2]上连续且在(x 1，x 2)上分段一阶可微的函数y =y (x ), ],[21x x x ∈,使泛函(以函数y 为自变量的函数)⎰'=21d ),,(:)(x x x y y x F y G (1)达到极小(称这函数为极小函数)，则y 必须满足方程：.const ))(),(,(d ))(),(,(1='-''⎰x y x y x F t t y t y t F y y xx (2)从而在y =y (x )的一阶导数的间断点，))(),(,(x y x y x F y ''也必须保持连续. 证明：设∞∈=0)(C x ηη,ε是任意实数，设y =y (x )是极小函数，考虑ε的函数：)(:)(εηε+=y G g =⎰'+'+21d ))()(),()(,(x x x x x y x x y x F ηεεη (3)(3)应在0=ε时达到极小值，由函数达到极值的必要条件，应成立0)0(='g (4) 在积分号内关于ε对(3)式求导，并取0=ε得⎰''+'=''21d ))](),(,()())(),(,([)0(x x y y x x y x y x F x x y x y x F g ηη由变分学基本引理3, 即得(2)式，证毕若))(),(,(x y x y x F y ''关于x 可微，求导得二阶常微分方程(称为Euler方程)：0=''-'--''''y F y F F F y y y y x y y , (5)当 F 不显含x 时，方程为0=''-'-'''y F y F F y y y y y (6)两边乘上y '得02='''-'-''''y y F y F y F y y y y y关于x 积分一次得Euler 方程的初积分，.const ='-'y F F y (7)这只要对(7)式关于x 求导即可验证. 应用三例1. 最速下降线问题问题：设有不在同一铅垂线上的两点， M 1(0,0)和M 2(a ,b ), a >0, b ≥0, 取 y 轴方向向下. 建立这两点间的光滑轨道y =y (x )，],0[a x ∈. 要使光滑小块在M 1点从静止开始滑到M 2点所需的时间最少.建立数学模型：设速度为v ，小块下降的距离为y ，弧长为s , 时间为τ, 则有关系gy v 22=，τd d sv =，222(d )(1)(d )s y x '=+ (8) 其中g 为重力加速度常数.所需的时间T 与y 有关，由(8)得：x x gy x y v s d )(2)(1d d 2'+==τ 积分得x x gy x y y T ad )(2)(1)(02⎰'+=, 0)0(=y , b a y =)( (9)问题就是求)(min y T , st 0)0(=y , b a y =)( (10)这就是最速下降线的数学模型.应用(7)式于最速下降线模型，（因g 是非零常数可以去掉）得Euler 方程的初积分：c y y 2)1(2='+ (11)它是一阶隐方程，引入参数t , 设 )2/cot(t y ='，得 )2/(sin 22t c y ==c (1- cos t )，所以，x t x y t t t c y d )2/cot(d d )2/cos()2/sin(2d ='== 消去y 得微分方程 t t c t t c x d )cos 1(d )2/(sin 2d 2-==, 积分得：1)sin (c t t c x +-=，)cos 1(t c y -=，它是旋轮线又称摆线，是以 c 为半径的圆周沿一直线滚动时，圆周上一点所描成的曲线. 见下图(取c 为单位) :在(0,0)点物体的速度是0, 因此，(0,0)点对应于t = 0，方程为)sin (t t c x -=，)cos 1(t c y -=，]2,0[π∈t (12)由曲线通过(a , b )可以确定c 的值，这可通过解方程组：)sin (t t c a -=，)cos 1(t c b -= (13)得到. 即先从tt tabsin cos 1--=解出t=t 0]2,0(π∈，再由(13)中第一式解出c . 由(8)，(12)得t gc d d =τ, 所以最短时间为Tmin= t 0g c. 012345621.510.5例: 当b=0 时, gcπ2Tmin =.正好等于摆长为c 的单摆的周期. 2. 悬链线问题问题：设有长度为L 的，线密度为常数的柔软细线悬挂在不在同一铅垂线的两点上，问此线呈何形状.建立数学模型：设线所在平面为(x , y )平面，x 轴为水平方向，y 轴的方向朝上.设线的方程为y =y (x ), 悬挂点为M 1=(x 1,y 1), M 2=(x 2,y 2), 根据最小位能原理，线在平衡态时的形状应使得线的位能(不妨设线密度为1)x y y s y y U x x M M d 1d :)(21212⎰⎰'+==， (14)最小，其中线的长度等于L 是约束条件：L x y x x ='+⎰d 1212, (15)所以问题的数学模型为条件极值问题：min U (y ), st (15) 成立， (16) 如同求函数的条件极值问题一样，我们可以应用Lagrange 乘子法， 作辅助泛函.⎰'++=21d 1)()(2x x x y y y G λ (17)它不显含x , 由(7)式得它的Euler 方程的初积分是:21y C y '+=+λ (18)引入参数t , 使得 t y sinh =', 于是 t y cosh 12='+, 从而得参数化的方程: t C y cosh =+λ, t y sinh ='; 消去y : 得 x t t t C d sinh d sinh =, 积分得:x =Ct +C 1, 消去t 得悬链线方程: CC x C y 1cosh-=+λ, 其中的常数由线长度L , 两个端点的位置(x 1, y 1), (x 2, y 2), 其中设x 2>x 1, (要求两点间的直线距离大于曲线长度L )所决定:Cx x C C x x C C C x C C x C L 2sinh 22cosh 2)sinh (sinh121211112--+=---= (18) Cx x C C x x C C C x C C x C y y 2sinh 22sinh 2)cosh (cosh12121111212--+=---=- (19) 可得 212212)(2sinh2y y L Cx x C --=-，用数值方法解出C , 代入(18)式 求出1C 就确定了悬链线(λ的作用只是在y 方向作一平移，若取C =λ，则由倍角公式, 得CC x C y 2sinh 212-=. C 1是最低点的横坐标. 3 最小曲面问题求曲线y =y (x ), 满足条件y (-L )=1, y (L )=1且使它绕x 轴旋转而成的曲面面积S 最小.不难得到这问题就是求以下目标泛函的最小问题.xx y x y y S LLd )(1)(2)(2⎰-'+=π (20)1)(,1)(==-L y L y解: 因(20)是(17)式中0=λ的特例, 故解为CC x C y 1cosh-=，由对称性, 01=C , 其中常数C 由边值条件得1cosh=CLC ， 即 )1arccosh(CC L =， )1,0(∈C (21)从(21)的图像:得知，C 不是L 的单值函数, 经计算得知, 当C =Cm ≈0.55243412453088321725321729790124时，L 达到最大值Lmax ≈0.66274341934918158097474209710922，而当 L 在0和Lmax 之间时有两个C 值满足(21)式， 到底应取哪个C 值？ 让我们根据(20)来计算旋转曲面面积：)2sinh 2(2C L C L C S +=π=)sinh cosh (2CLC L C L C +π)11(22C L -+=πL π4<(圆柱侧面积)，可见应取较大的C 时面积S 较小， 所以得C x C y cosh=，)1arccosh(CC L =， 1>C ≥Cm 当L =Lmax 时的最小曲线的图像如下:0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1同时我们也得知，当L >Lmax 时，不存在连接(-L ,1), (L ,1) 两点的光滑曲线使得曲面面积最小， 实际上这时最小曲面由以下三段直线组成的折线绕x 轴旋转而成⎩⎨⎧∈=-=]1,0[,t t y Lx ⎩⎨⎧=-∈=0],[,y L L t t x ，⎩⎨⎧∈==]1,0[,t t y Lx 即最小曲面蜕化为两个圆和一条连接这两个圆的线段.可以通过肥皂膜的实验证实这个现象: 当两个直径相同平行放置的圆环之间距离大于直径的Lmax 倍时, 不存在连接两环的肥皂膜.另外, 从这个例子说明，Euler 方程的解不一定就是变分问题的解， 变分问题的解不一定是光滑函数.以下带* 号的是选用材料* 推广到多个未知函数的情况；设y =y (x ), z =z (x )是未知函数，现要求-0.6-0.4-0.20.20.40.61泛函：21(,)(,,)d x x G y z F x y z x =⎰的极小，同样我们可以考虑求二元函数：(,)(,)g G y z εδεηδκ=++的极小值问题， 其中∞∈==0)(),(C x x κκηη，如果y =y (x ), z =z (x )是使得泛函取得极小的函数，那么，(0,0)0,(0,0)0g g εκ==，类似的推导和计算得到Euler 方程组：* 推广到被积函数内含有高阶导数的情况； 21()(,,,)d x x G y F x y y y x '''=⎰这时，同样考虑ε的函数的极值问题()()g G y εεη=+可得21(0)[]d x y y y x g F F F x ηηη'''''''=++⎰用分部积分法得，x F xF x F F F g y y x x y x x y y d ]d dd d [|)()0(2121'''''''--+'+='⎰ηηηηη 取∞∈=0)(C x ηη,由引理3, 得Euler 方程0d d d d 22=+-'''y y y F xF x F*推广到被积函数内含有多个自变量的情况将得到偏微分方程设u =u (x ,y )是两个自变量的函数考虑有界区域D 上的积分⎰⎰=y x u u u y x F u G y x d d ),,,,()(的极小，同样设)(),(0D C y x ∞∈=ηη，ε是任意实数，固定y 和η，考虑ε的函数：)()(εηε+=u G g令0)0(='g ，即0d d )()0(=++='⎰⎰y x F F F g y x u y u x u ηηη变形为，y x F yF x y x F y F x F g y x y x u u u u u d d )]()([d d ][)0(⎰⎰⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-='ηηη 由散度定理，上式右边第二项积分可化为边界上的积分，由于η在边界上为零， 边界上的积分等于零， 因此由η的任意性，得Euler 方程： 0=∂∂-∂∂-y x u u u F yF x F 实验题1：设在相距L 米的两电线杆之间架设直径为d 毫米的裸铜线， 问电线在无拉力的情况下长度应为多少可保证电线所受的拉力是安全的（自己选取适当的数据进行数值计算).若考虑到铜的弹性和温度的影响又该如何处理？实验题2(渡江问题) ：设一条河为带状，y =0, y =1为河的两岸，河水的流动沿x 轴的正向，速度为y 的函数:v =v (y )=6y (1-y ), (河流的平均速度为1)现有人以匀速v 0从(0,0) 点出发游泳到达对岸(L ,1)点，L ≥0. 问游泳者在游泳中应如何调整游泳方向)(y θ，使得到达(L ,1)点的时间最短？( 对不同的L 和不同的 v 0讨论)，最短时间为何? 用数值方法求解一些具体的例子.。
第八章变分法
u d, vd,wd
(X,Y,Z)
s
d ij
ij
Su
Su (ud=u,v d=v,wd=w)
X ud Yvd W wd d X ud Y vd W wd dQ
S Su
Q
Q
s x
dx
sy
s y
s z
s z
s xy
d xy
syz
d yz
s zx
d zx
dQ
证明:
d 3w dx3
w
l 0
EI
l 0
d 4w dx4
wdx
EI
d 4w dx4
q
0
EI
d 2w dx2
ddwx
d 3w dx3
w
l 0
0
由于在支承点x=0，x=l上的虚位移为零，即w=0，
EI
d 2w dx2
dw dx xl
EI
d 2w dx2
dw dx x0
0
dw dx
S X u Yv W wd Q X u Y v W wdQ
V
V
S
X u
Yv
W
wd
Q X
u
Yv
W
wdQ
外力虚功＝外力势能因虚位移而引起的改变
将上述结果代入虚功原理，得位移变分原理 U V 0
(U V ) 0
QWdQ S X u Yv W wd Q X u Y v W wdQ
V
ck
uzk Fz d
S
u zk Tz d
U ck
例题6-3 用变分方法求简支梁在均布荷载作用下的挠度
解： （1）设位移函数为
变分法模型
欧拉方程中计算出对时间的导数时还可写为
证明
最近
证明
欧拉
例1、最速降线问题：设A,B是铅直平面上不在同一铅直线上的两 、最速降线问题：设A,B是铅直平面上不在同一铅直线上的两 点，求一曲线，当质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A滑行至B时，所需时间最短。 滑行至B
x
A y=y(x)
B y
欧拉公式
这就是一个需要利用变分法解决的最优控制问题！
1、基础知识介绍
1.1、控制系统（疾病的控制、机器的运转、人类的活动）： x′ = f ( x, u , t ) 状态空间表达式 , y = g ( x, u , t ) x′ = Ax + Bu 线性系统状态空间表达式 y = Cx + Du
(2)、泛函的变分：泛函J ( x(t ))的自变量在x0 (t )处取得增量δ x(t ) = x(t ) − x0 (t )时 泛函的增量∆J =J ( x0 (t )+δ x(t )) − J ( x0 (t )) = L( x0 , δ x) + r ( x0 , δ x)=L( x0 , δ x) + o(δ x) 则泛函J ( x(t ))在x0 (t )处的变分为δ J ( x0 (t )) = L( x0 , δ x). (3)变分的性质 ∂ J ( x(t ) + αδ x(t )) |α =0 ∂α ii)若泛函J ( x(t ))的自变量在x0 (t )处取得极值，则δ J ( x0 (t ))=0 i)δ J ( x(t )) =
思考题
u∈W
1.3、设计最优控制系统常用的方法： 变分法：开集上泛函极值的必要条件 δ J=0 极小值原理：（1956年Pontryagin由变分法引申而来） 动态规划：50年代Bellman由分段决策研究而来，为分段（步）最优化