太原五中-学年度下学期高三阶段检测(校二模数学试题及答案)(理)
太原五中2014—2015学年度第二学期阶段检测(理) 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）．满分150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题共60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1. 已知集合则为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2. 甲乙两人从门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有门不相同．．．的选法共有（）A．30种B．36种C．60种D．72种3．已知向量则等于( ) A．3 B. C. D.4．的展开式中的系数是（）A.-3B.3C.-4D.45．实数满足，使取得最大值的最优解有2个，则的最小值为（）A.0B.-2C.1D.-16．已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝3，若三棱锥D－ABC体积的最，则球O的表面积为（）A．36π B．16π C．12π D．π7. 已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（）12{|||1},{|log0},M x x N x x=<=>M N⋂(1,1)-(0,1)1(0,)2∅41(cos,2),(sin,1),//a b a bαα=-=tan()4πα-3-1313-46)1()1(-+xx xyx,⎩⎨⎧≤+≥1||yxxyyaxz+=1++=yaxz163[1,10]x∈A. B.C. D.8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ ） A.2日和5日 B ．5日和6日 C ．6日和11日 D ．2日和11日9. 以下四个命题中,其中真命题的个数为( )①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题：使得. 则： 均有；③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1 ④命题是的充分不必要条件；A ．1B ．2C ．3D ．410．已知双曲线的两个焦点为、，其中一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且满足（其中为坐标原点），若、、成等比数列，则双曲线的方程为（ ）19294959:"3"p x >"5"x >22221(0,0)x y a b a b -=>>1F 2F (*)2by x b N =∈P 5OP <O 1PF 12F F 2PF CA. B. C. D. 11．已知一函数满足x>0时，有，则下列结论一定成立的是（ ） A ．B ．C.D ． 12．如图,在中, ,,是边上的高,当时,的最大值与最小值之差为（ ）．A. 1B.2C.3D.4第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22—24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题（本题共4个小题，每小5分，满分20分） 13．已知椭圆的离心率为,则实数等于14.若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为2214x y -=221x y -=22149x y -=221416x y -=2()'()2g x g x x x=>(2)(1)32g g -≤(2)(1)22g g -≥(2)(1)42g g -<(2)(1)42g g -≥ABC ∆2AB =ABC θ∠=AD BC [,]63ππθ∈AD AC⋅2241mx y +=2m ()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><15．三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是________．16．如图在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为，沿BE 方向前进15m ，至点C处测得顶端A 的仰角为2，再继续前进m至D 点，测得顶端A 的仰角为4，求建筑物AE 的高 。
三．解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．( 本小题满分12分) 已知数列满足,(其中是数列的前项和,且. (Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和.18. ( 本小题满分12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物次，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是、.35{}n a *()2n n nS a n N =∈n S {}n a n 22a ={}n a 2((n n n n a b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数））{}n b 2n 2n T 3A B 1323（Ⅰ）分别求出小球落入袋和袋中的概率；（Ⅱ）在容器的入口处依次放入个小球，记为落入袋中的小球个数，求的分布列和数学期望．19．(本题满分12分已知四棱锥A —BCED 的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V 的大小;（2）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （3）试探究在DE 上是否存在点Q ，使得AQ BQ ，并说明理由.20．(本题满分12分)给定椭圆，称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，且其短轴上的一个端点到的距离为.A B 4ξB ξ⊥)0(1:2222>>=+b a by a x C O 22b a +C C )0,2(F F 3(1)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；(2)点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线,，使得,与椭圆都只有一个交点，试判断,是否垂直，并说明理由．21.(本小题满分12分)已知函数. （Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若恒成立，证明：当时，.选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至,延长交的延长线于．（Ⅰ）求证：；P C P 1l 2l 1l 2l C 1l 2l ()2ln ()f x x ax a a R =-+∈()f x ()0f x ≤120x x <<21211()()12(1)f x f x x x x -<--,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为AC A C BD E AD BC F CDF EDF ∠=∠（Ⅱ）求证：．23.(本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l 经过定点P（2，3），倾斜角为．（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求｜PA ｜·｜PB ｜的值．24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数． (1)当m ＝5时，求函数f (x )的定义域；(2)若关于x 的不等式f (x )≥1的解集是R ，求m 的取值范围．AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅4cos 4sin x y θθ⎧⎨⎩＝＝3π)21(log )(2m x x x f --++=太原五中2014—2015年度高三年级阶段性检测参考答案一．选择题二．填空题13．2或8. 14.；15.或－1216. 5m23218. 解：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为事件. ………………………………………1分而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故, …………… …3分从而.………………………4分 （Ⅱ）显然，随机变量的所有可能取值为 .…… …5分且 .…………………………6分故， ，， ，.则的分布列为…………10分故的数学期望为. ………………12分 A M B N M N A 3312181()3327273P M ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12()1()133P N P M =-=-=ξ0,1,2,3,42(4,)3B ξ404211(0)3381P C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ1314218(1)3381P C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ2224218(2)3327P C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ31342132(3)3381P C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ4442116(4)3381P C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξξ28()433E =⨯=ξ19．20．解：(1)由题意可知c ＝2，b 2＋c 2＝(3)2，则a ＝3，b ＝1，所以椭圆方程为x23＋y2＝1. 易知准圆半径为3＋12＝2，则准圆方程为x 2＋y 2＝4.(2)①当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，不妨设l 1的斜率不存在，因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x ＝±3，当l 1的方程为x ＝3时，此时l 1与准圆交于点(3，1)，(3，－1)，此时经过点(3，1)或(3，－1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y ＝1或y ＝－1， 即l 2为y ＝1或y ＝－1，显然直线l 1，l 2垂直；同理可证直线l 1的方程为x ＝－3时，直线l 1，l 2也垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，设点P (x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4.设经过点P (x 0，y 0)与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝t (x －x 0)＋y 0，联立方程消去y ，得(1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0.由Δ＝0化简整理得，(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋1－y 20＝0.因为x 20＋y 20＝4，所以有(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋x 20－3＝0.设直线l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，因为l 1，l 2与椭圆只有一个公共点，所以t 1，t 2满足方程(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋x 20－3＝0，所以t 1·t 2＝－1，即l 1，l 2垂直． 综合①②知，l 1，l 2垂直．21.当时，-1）-2（x 2-x ） 所以选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，-如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.22. 【解析】(Ⅰ)证明：、、、四点共圆．………………2分且,,……………4分）上单调递减，上单调递增，在（在时∞++-==1)1,0(22ln 2)(2x x x f a 21x x <12121212(2)-(2-ln 2)(-)(x x x x x x x f x f <=))(11(2121x x x --=)11(2)()(11212-<--x x x x f x f A B C D ∴CDF ABC ∠=∠AB AC =ABC ACB ∴∠=∠ADB ACB ∠=∠EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠．………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,所以与相似, ，…………7分 又, ， 根据割线定理得，……………9分．……………10分23.24．解：(1)由题意知，|x ＋1|＋|x －2|>5， 则或或 解得x <－2或x >3.∴函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)由对数函数的性质知，f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m )≥1＝log 22，不等式f (x )≥1等价于不等式|x ＋1|＋|x －2|≥2＋m ，∵当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，而不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ，∴m ＋2≤3，故m 的取值范围是(－∞，1]．∴CDF EDF ∠=∠ADB ABF ∠=∠BAD FAB ∠=∠BAD ∆FAB ∆AB AD AF AB ∴=2AB AD AF ∴=⋅AB AC =AB AC AD AF ∴⋅=⋅∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅DF AF FC FB ⋅=⋅AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅⎩⎨⎧>++52-12≥x x x ⎩⎨⎧>++<52-12≤1-x x x ⎩⎨⎧>+--<52-1-1x x x。
2021届山西省太原市第五中学高三下学期二模数学(理)试题(解析版)
2021届山西省太原市第五中学高三下学期二模数学（理）试题一、单选题1．设集合{}220M x x x =-≥，{}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a < B ．2a > C ．2a ≥ D ．2a ≤【答案】B【分析】求得集合M ，根据M N ⊆求得实数a 的取值范围. 【详解】()[]2220220,0,2x x x x x x M -≥⇔-=-≤=，由于{}N x x a =<，M N ⊆， 所以2a >. 故选：B2．若复数z 满足：3321iz i i-+=+（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A ．2i -B ．2+iC ．23i -D ．2+3i【答案】D【分析】求得z ，由此求得z .【详解】()()()()31342221112i i i iz i i i i i +-+-+====-++-， 所以23,23z i z i =-=+. 故选：D3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.【解析】函数的图象与性质．4．如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==,若OC OA OB λμ=+,且1λμ≥≥,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】试题分析：设向量(,)OC x y =.因为向量(3,1),(1,3)OA OB ==,若OC OA OB λμ=+,所以33x y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，所以3838y x x yλμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩1λμ≥≥,所以3388318x y y xy x --⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，即380x y x y ≥⎧⎨-+≤⎩，即D 选项的形式.故选D. 【解析】1.向量的加减法.2.向量的基本定理.3.分类探索的思想. 5．为了得到函数()11sin cos 33f x x x =+的图象，可以将函数()12cos 3g x x =的图象（ ）A ．向右平移34π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移34π个单位长度 D ．向左平移4π个单位长度 【答案】A【分析】通过辅助角公式化简，利用三角函数平移判断即可． 【详解】()11113sin cos 333434f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A.6．在等差数列{}n a 中，11826a a =+，则267a a a ++=（ ） A ．18- B ．6-C ．8D ．12【答案】A【分析】求出56a =-，利用等差数列的通项公式可求得267a a a ++的值. 【详解】118115266a a a a =+=++，所以，56a =-，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()()()111126575634318a d a d a a a a d a d a =++++=+=+=-++.故选：A.7．在2122nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，21x 的系数是14，则2x 的系数是（ ） A ．28 B ．56C ．112D ．224【答案】D 【分析】根据21x的系数求得1256n n C +=，由此求得2x 的系数. 【详解】2122nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()2222222222n rrrn r r n rn n C x x C x----⋅⋅=⋅⋅， 令222,1n r r n -=-=+，故()2211122214,56n n n n n n C C -+++⋅==， 令222,1n r r n -==-，故()221111222244456224n n n n n n n n C C C ----+⋅=⋅==⨯=. 故选：D8．地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M 用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：maxlgA M A =（其中常数0A 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；max A 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E 是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． 4.8 1.51010M E =⨯（单位：焦耳），其中M 为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的310倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A ，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（ ） A ．2A B ．10AC ．100AD ．1000A【答案】C【分析】设甲地地震震级为1M ，乙地地震震级为2M ，首先根据题意求得122M M -=，代入里氏震级的计算公式为：maxlgA M A =求出max 100A A =即可. 【详解】设甲地地震震级为1M ，乙地地震震级为2M ， 因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的310倍，所以11221.54.8 1.5()31.54.8101010101010M M M M -⨯==⨯,故122M M -=， 又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A 因为max 0lgA M A =，所以max max 1200lg lg lg 2A A AM M A A A -=-==， 解得：max 100A A =，甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为max 100A A =. 故选：C.【点睛】本题主要考查指数对数的运算，掌握指对数的运算规则是高中数学的最基本的要求，需要熟练掌握，是解决问题必要的技能.9．A 同学和B 同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A 同学每局获胜的概率均为23，且每局比赛相互独立，则在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜的概率是（ ） A ．34B ．89C ．79D ．56【答案】B【分析】先分析A 最终能获胜有两种情况，分别计算概率，再相加即得结果. 【详解】在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜有两种情况： （1）第二局甲再次取胜，概率为23； （2）第二局甲败，第三局甲胜，概率为122339⨯=， 故A 最终能获胜的概率为228399+=. 故选：B.【点睛】方法点睛:计算条件概率通常有两种方法; (1)利用条件概率公式()()()P AB P A B P B =；(2)在事件B 已经发生的前提下，相当于缩小了总事件的空间容量，再计算()()()n AB P A B n B =，或利用独立关系直接计算事件B 发生后的概率情况.10．已知正四棱锥P ABCD -的高为2，AB =面ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为1111D C B A ，若底面ABCD 与截面1111D C B A 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．203πC ．4πD ．43π 【答案】A【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面P AC 是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O ，在两个直角三角形△OAM ，△A 1ON 利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R ，则表面积可求.【详解】解：因为正四棱锥P ﹣ABCD ，所以底面是正方形，结合高为2，AB = 设底面对角线交点为M ，所以AC ＝4，AM ＝2，故PM ＝AM ＝CM ＝2， 所以△P AC 是等腰直角三角形.因为截面A 1B 1C 1D 1过PM 的中点N ，所以N 为截面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，且PM ⊥截面A 1B 1C 1D 1.∴PN ＝MN ＝A 1N ＝1，设球心为O ，球的半径为R ，则A 1O ＝AO ＝R .在直角三角形A 1ON 中，222111ON A AO N R =-=-， ∴2111OM ON R =-=--.在直角三角形AOM 中，OA 2＝AM 2+OM 2，即2224(11)R R =+--， 解得R 2＝5，故S ＝4πR 2＝20π. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有R 的两个直角三角形列方程是本题的关键.属于中档题.11．在ABC 中，D 是BC 的中点，已知2AD =，22AC =3cos 4B =，则ABC 的面积为（ ）A ．3B 5C 6D 7【答案】D【分析】设AB c =，BC a =，在ABC 和ABD △中利用余弦定理可求出,a c ，即可求出面积.【详解】设AB c =，BC a =， 在ABC 中，222cos 8+-=a c ac B ，在ABD △中，222cos 222⎛⎫+-⋅⋅= ⎪⎝⎭a a c c B ， 解得4a =，2c =， ∴1sin 72==ABC S ac B △故选：D.12．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ，已知O 为坐标原点，若OAB ∆的内切圆的半径为312a -，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．233B ．31+C ．433D ．233或2 【答案】D【分析】分,A B 在y 轴同侧和,A B 在y 轴异侧两种情况进行求解：不妨设A 在第一象限，根据题意作出图形，利用图形中的几何关系求出tan bAOF a=∠的值，再由离心率21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求解即可.【详解】有两种情况：（1）若,A B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限.如图，设OAB ∆内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上， 过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，利用点到直线的距离公式可得，焦点F 到渐近线by x a=的距离为21b c a FA b b a ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又||OF c =，所以||OA a =，又31||||2NA MN a -==， 所以33||2NO a -=， 所以||3tan ||3b MN AOF a NO =∠==， 从而可得离心率22313b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（2）若,A B 在y 轴异侧，不妨设A 在第一象限如图，易知||FA b =，||OF c =，||OA a =， 因为OAB ∆的内切圆半径为||||||312AB OA OB +--=，所以||||23OB AB a a -=， 又因为222||||OB AB a =+， 所以||3AB a =，||2OB a =， 所以60BOA ∠=︒，60AOF ∠=︒， 则tan 603ba=︒= 从而可得离心率212b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 综上，双曲线C 的离心率为33或2. 故选：D【点睛】本题考查利用双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系求离心率；考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力；利用数形结合思想，正确求解图形中的几何关系和线段长度是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点()2,4P ，则该抛物线的方程是______.【答案】28y x =【分析】分析可知，抛物线的焦点在x 轴上，可设抛物线的方程为2y mx =，将点P 的坐标代入抛物线方程，求出m 的值，即可得出抛物线的方程.【详解】由题意可知，抛物线的焦点在x 轴上，可设抛物线的方程为2y mx =， 将点P 的坐标代入抛物线方程，可得216m =，解得8m =， 因此，该抛物线的方程为28y x =. 故答案为：28y x =.14．在某市2020年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布()98,100N .已知参加本次考试的全市理科学生约100000人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第______名.（参考数值：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=）【答案】15870【分析】分析可得108μσ=+，计算得出()P X μσ≥+的概率，乘以100000可得结果. 【详解】考试的成绩X 服从正态分布()98,100N ，所以，98μ=，10σ=，所以，108μσ=+，则()()()11080.15872P X X P X P μσμσμσ-≥=≥+==-<≤+，数学成绩为108分的学生大约排在全市第1000000.158715870⨯=名. 故答案为：15870.15．已知函数()2,01ln ,1x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩，若存在实数1x ，2x 满足120x x ≤<，且()()12f x f x =，则214x x -的最小值为________．【答案】22ln 2-【分析】作出()f x 的图象，由()()12f x f x =，可知122ln x x =，从而212242ln x x x x -=-，221e x <≤，构造函数()()22ln 1e g t t t t =-<≤，求出最小值即可.【详解】作出()f x 的图象，如下图所示，当01x ≤≤时，()[]0,2f x ∈；当1x >时，()()0,f x ∈+∞， 因为()()12f x f x =，所以122ln x x =， 令ln 2x =，得2e x =，则221e x <≤，故212242ln x x x x -=-，令()()22ln 1e g t t t t =-<≤．则()221t g t t t-'=-=，易知函数()2ln g t t t =-在(]1,2上单调递减，在(22,e ⎤⎦上单调递增，所以()()min 222ln2g t g ==-． 故答案为：22ln 2-.【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数单调性及最值的应用，利用构造函数是解决本题的关键，属于中档题.三、双空题16．任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的所有可能取值组成的集合为________．【答案】5 {}4,5,32【分析】根据“冰雹猜想”进行计算，由此确定正确结论.【详解】5m =时，各步的结果为168421→→→→，即5次步骤后变成1.4m =时，各步的结果为21421→→→→，即5次步骤后变成1. 32m =时，各步的结果为168421→→→→，即5次步骤后变成1.其它正整数不符合题意，故若第5次步骤后变成1，则m 的所有可能取值组成的集合为{}4,5,32.故答案为：5；{}4,5,32四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，39S =.数列{}n b 满足121221n n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证163n T <. 【答案】（1）21n a n =-，11,1321,22n n n b n n -⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩；（2）证明见解析.【分析】（1）设数列{}n a 公差为d ，求出d 的值，可得出数列{}n a 的通项公式，令1n =可求得1b 的值，令2n ≥，由121221n n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=+可得111212121n n n a a a b b b ---++⋅⋅⋅+=+，两式作差可得n b 的表达式，再验证1b 是否满足()2n b n ≥的表达式，由此可得出数列{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求出n T ，即可证得163n T <. 【详解】（1）设数列{}n a 公差为d ，由题可知：1131113392a a S a d d ==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩，21n a n ∴=-，当1n =时，113a b =，113b ∴=； 当2n ≥时，由121221nn n a a a b b b ++⋅⋅⋅+=+可得111212121n n n a a a b b b ---++⋅⋅⋅+=+， 两式作差得()1121212n n n n n a b --=+-+=，所以，112122n n n n a n b ---==. 113b =不满足1212n n n b --=，11,1321,22n n n b n n -⎧=⎪⎪∴=⎨-⎪≥⎪⎩；（2）32112135213222n n n T b b b n b --=++++⋅=++⋅⋅⋅+⋅⋅+， 21113232126222n n n n n T ---∴=++⋅⋅⋅++， 22311111522221521823221232222323212n n n n n nn n n T --⎛⎫- ⎪--+⎝⎭∴=++++-=+-=--， 1162316323n n n T -+∴=-<. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 18．叙述并证明两个平面垂直的性质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.【答案】答案见解析.【分析】（1）根据定理叙述即可，再将文字语言转化为符号语言，并论证即可； （2）写出符号语言，并根据面面垂直的性质定理证明即可.【详解】（1）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.如图，已知αβ⊥，CD αβ=，AB α⊂，AB CD ⊥于点B ，求证：AB β⊥.证明：在β内引直线BE CD ⊥， 则ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角. 由αβ⊥可知：AB BE ⊥又AB CD ⊥，BE β⊂，CD β⊂，BE CD B ⋂= AB β∴⊥（2）已知αβ⊥，βγ⊥，γα⊥，a αβ⋂=，b βγ=，c αγ⋂=，求证：a b ⊥，a c ⊥，bc ⊥.证明：如图，在γ内任取一点(,)P P b P c ∉∉， 过P 在γ内作PA c ⊥于A ，PB b ⊥于B 由上述定理可知：PA PA a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭，PB PB a a ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭，PA γ⊂，PB γ⊂，PA PB P = a γ∴⊥a c ∴⊥，ab ⊥同理可得b c ⊥.【点睛】本题考查面面垂直的性质，线线垂直的证明，考查逻辑推理能力，运算求解能力，空间想象能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练掌握面面垂直的性质定理，并能够证明.这要求考生需要注重教材结论的识记与证明.19．团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量.最近，某研究性学习小组就是否观过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查，调查数据如表（单位：人）.是否合计青年401050中年302050合计7030100（1）是否有95%的把握认为看此电影与年龄有关？（2）现从样本中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影《夺冠（中国女排）》的概率；（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影《夺冠（中国女排）》的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中.n a b c d=+++()2P K k≥0.0500.0100.001 0k 3.841 6.63510.828【答案】（1）有；（2）710；（3）数学期望为7，方差为2.1. 【分析】（1）由公式计算2K 可得结论；（2）从样本的中年人中按分层抽样方法求得观看过电影和没观看过的人数，由古典概率公式分别求得抽取的3人中有2人和有3人观看过电影的概率，再由概率加法公式求得答案；（3）由题意知，观看过该电影的频率为710，将频率视为概率，可得出随机变量ξ服从二项分布710,10B ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的数学期望、方差公式求得答案. 【详解】解：（1）()22100800300 4.762 3.84170305050K ⨯-==>⨯⨯⨯ 所以有95%的把握认为看此电影与年龄有关.（2）依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的5人中， 观看过电影的有305350⨯=（人），没观看过的有2人， 记抽取的3人中有i 人观看过电影为事件(1,2,3)i A i =.则()2132235323105C C P A C ⋅⨯===，()33335110C P A C ==， 从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人看过该电影的概率为：()()23317.51010P P A P A =+=+= （3）由题意知，观看过该电影的频率为710，将频率视为概率，则随机变量ξ服从二项分布710,10B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以随机变量ξ的数学期望为7()10710E ξ=⨯=， 方差为77()101 2.11010D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：求随机变量概率分布列的步骤： (1)找出随机变量的所有可能取值； (2)求出取各值时的概率； (3)列成表格；(4)检验分布列.注意分析随机变量是否满足特殊的分布列，如：两点分布，超几何分布，二项分布，正态分布.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=()3,0A -，(3,0)B .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆上除A ，B 外的任意一点，直线AP 交直线4x =于点E ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BE 垂直的直线记为l ，直线BP 交y 轴于点M ，交直线l 于点N ，求N 点的轨迹方程，并探究BMO 与NMO △的面积之比是否为定值.【答案】（1）22193x y +=；（2）214x =，是定值4:7. 【分析】（1）由题知3a =，c e a ==c =b = （2）设()()000,0P x y y ≠，依次求得直线AP 方程，E 点坐标，直线BE 斜率，直线l方程，直线PB 方程，N 点坐标（P 点在椭圆，适合椭圆方程，得00,x y 关系代入可得）．然后可计算三角形面积比．【详解】解：（1）由题意，3a =，又c e a ==，c ∴=则b ==.∴椭圆C 的方程为22193x y +=.（2）设()()000,0P x y y ≠，则2200193x y +=.∴直线AP 的方程为00(3)3y y x x =++，取4x =，可得点0074,3y E x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ∵直线BE 的斜率为0000737433y x y x +=-+，∴直线l 的方程为0037x y x y +=-， 又直线PB 的方程为00(3)3y y x x =--， 联立直线l 与PB 的方程，消去y 得()00003373x yx x y x +-=--， ()22000000793733y x y x y x x +-∴⋅=--，① 2002193x y +=，220093x y ∴-=-， 代入①解得点N 的横坐标214N x =，即N 点轨迹方程为：214x =1||3421217||24BB BMONMON N OM x x S S x OM x ⋅∴====⋅△△.故BMO 与NMO △的面积之比为4:7.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：求直线方程，求交点坐标，计算三角形面积，考查了运算求解能力．关键是设出点P 坐标为00(,)x y ，然后依次求解．21．已知函数2()()4xa f x x ae a =-+∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设21()()(1)2xg x f x e a x =++-，若()g x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且()()()1212g x g x x x λ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2,4ln 2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦. 【分析】（1）求出函数的导数，分0a ≤、0a >两种情况讨论即可；（2）首先求出()g x '，然后可得4a >，1212x x x x e e e e a +=⋅=，12ln x x a +=，()()12g x g x +ln a a a =-，然后可得ln aa aλ<-，然后利用导数求出右边对应函数的单调性，然后可得答案.【详解】（1）因为2()4xa f x x ae =-+，所以()1x f x ae '=-.当0a ≤时，因为0x e >，所以()0f x '>，此时()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 当0a >时，令()0f x '=，得1ln x a=. 当1lnx a <时，()0f x '>，当1ln x a>时，()0f x '<. 此时，()f x 的单调递增区间为1,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）因为221()24x xa g x e ae ax =-++，所以2()x x g x e ae a '=-+.依题意，240a a a >⎧⎨->⎩，解得4a >. 因为1x ，2x 是()g x 的极值点，所以1212x x x x e e e e a +=⋅=，则12ln x x a +=.()()12g x g x +1122222212112424x x x x a a e ae ax e ae ax ⎛⎫⎛⎫=-+++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()121222212122x x x x a e e a e e a x x =+-++++ ()()()()12121222121222x x x x x x a e e e e a e e a x x =+--++++ ()22212ln 22a a a a a a =--++ ln a a a =-.所以，由()()()1212g x g x x x λ+>+，可得ln ln a a a a λ->.① 因为4a >，ln 0a >，所以①等价于ln aa aλ<-. 令()ln x x x x ϕ=-，则222ln 1(ln )ln 1()1(ln )(ln )x x x x x x ϕ--+'=-=，(4,)x ∈+∞ 因为2213(ln )ln 1ln 024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ'>.所以()ϕx 在(0,)+∞单调递增，且2(4)4ln 2ϕ=-.所以，2()4,ln ln 2a a a a ϕ⎛⎫=-∈-+∞ ⎪⎝⎭. 所以λ的取值范围是2,4ln 2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【点睛】方法点睛：（1）对于双变量问题，常用方法是通过消元转化为单变量问题；（2）对于恒成立问题，首选方法是分离参数法.22．平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是：222123cos 4sin ρθθ=+. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程和l 的普通方程；（Ⅱ）设()0,1P ，l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，求PM .【答案】（Ⅰ）22143x y +=，1x y +=；（Ⅱ）7. 【分析】（Ⅰ）根据公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；直线l 的参数方程消去参数t ，即可求出直线l 的普通方程； （Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆方程得27802t +-=，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，利用韦达定理及直线参数方程中t 的几何意义即可求PM . 【详解】解：（Ⅰ）∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，2223cos 4sin 12ρθρθ+=，223412x y +=，∴C ：22143x y +=又11x y +=++=， ∴直线的普通方程为1x y +=；（Ⅱ）把直线参数方程与椭圆联立223411222t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，27802t +-= 设A ，B 对应的参数分别为12,t t，则12t t +=12167t t =-，(()274814402∆=-⨯-⨯-=>122M PM t t t +∴====， ∴PM的长为7. 23．已知函数())||2|1|(f x x a x a R =-++∈. （1）当4a =时，解不等式()8f x <；（2）记关于x 的不等式()2|3|f x x ≤-的解集为M ，若[4,1]M --⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）()2,2-；（2）[]9,4-.【分析】（1）当4a =时23,1()6,1432,4x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪->⎩，进而分类讨论求解即可；（2）根据题意得当[4,1]x ∈--时，2123x a x x -++≤-恒成立，进而得||8x a -≤恒成立，再结合[4,1]x ∈--即可得答案.【详解】解：（1）当4a =时，()421f x x x =-++，不等式可转化为23,1()6,1432,4x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪->⎩，若()8f x <，1238x x <-⎧⎨-<⎩或1468x x -≤≤⎧⎨+<⎩或4328x x >⎧⎨-<⎩ 解得：21x -<<-或12x -≤<或x ∈∅， 综上，不等式的解集是()2,2-.第 21 页 共 21 页 （2）若[]4,1M --⊆，()23f x x ≤-，即当[]4,1x ∈--时，2123x a x x -++≤-恒成立，在[4,1]--上，10x +≤，30x -≤， |1|1x x ∴+=--，|3|3x x -=-，()23f x x ∴≤-等价于8x a -≤，即88x a -≤-≤，当[]4,1x ∈--时该不等式恒成立， 1848a a --≤⎧∴⎨--≥-⎩，解得94a -≤≤. 即a 的范围是[]9,4-.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，根据解集求参数，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将解不等式转化为恒成立问题求解.。
【太原五中4月检测】太原五中2019届高三第二学期阶段性检测 数学(理)(含答案)(2019.4)
第 1 页 共 11 页密学校 班级姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题太原五中2018-2019学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学（理）2019.4.11一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项) 1．设集合}052|{<-=x xx A ，集合(){}2lg 2B x y x x ==--，则集合A ∪B （ ）A ．(-∞,-1)∪(2,+∞)B ．),2(+∞C ．(-1,0)D ．()(),10,-∞-+∞2.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A.23,p p B. 12,p p C. ,p p 24 D. ,p p 343.下列函数中，与函数y ＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－||1x B ．xx y --=33 C ．||log 5.0x y = D ．||sin x y =4.若1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，27log 9c =，则( )A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“18-=a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.若(1－2x )n x 的展开式中x 3的系数为80，其中n 为正整数，则(1－2x )n x的展开式中各项系数的绝对值之和为( )A ．32B ．81C ．243D ．2567.若7)4tan(=+πα，则=+αα2sin 2cos 2( )A ．6425B ．4825C ．1D ．16258.已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ． f (x )＝222x x -B ． f (x )＝2cos x x C ． f (x )＝－2cos x x D ． f (x )＝cos xx9．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C. 12 D ．－1210.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1 11.已知点G FE 、、分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱111DD CC AA 、、的中点，点P Q N M 、、、分别在线段11B C BE AG DF 、、、上. 以P Q N M 、、、为顶点的三棱锥P MNQ -的俯视图不可能是（ ）A.B.C. D.F E D 1 C 1 B 1 A 1 DC B AN M Q P G第 2 页 共 11 页12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ）（1）2x =是()f x 的极大值点（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点 （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立（4）对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>A. (1)(2)(3)(4)B. (2)(4)C. (2)(3)D. (3)(4)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13.已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为_____ _14. 曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆(()2211x y +-=相切，则此双曲线的离心率为_____ _15.利用随机模拟方法可估计某无理数m 的值，为此设计如图所示的程序框图，其中rand （）表示产生区间（0，1）上的随机数，P 为s 与n 之比值，执行此程序框图，输出结果P 是m 的估计值，则m 是_____ _16.设锐角ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，)cos cos 2sin a B b A c C +=，1b =，则c的取值范围为______ ．三、解答题(本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（12分）已知数列{}n a 满足2312232222nn a a a a n n ++++=+ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若数列n n a b 2log =，求数列}{n b 的前n 项和n S18. （12分）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率.(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X 表示乙车间的零件个数，求X 的分布列与数学期望．。
太原五中—第二学期阶段性检测.docx
高中数学学习材料唐玲出品太原五中2015—2016学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学(理)命题： 刘洪柱 薛亚云 (2016.5)一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ） A ．{2,1,1}-- B ．{1,1,2}- C ．{1,1}- D ．{2,1}-- 2．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知函数(5)2()e 22()2x f x x f x a x f x x ->⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，若(2016)e f -=，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 4．以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件5.自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．1310 B ．3 C ．4 D ．21106．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π-7.执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．10928. ,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且AD 与BE 的夹角为120，则AB AC ⋅=（ ） A.13 B.49 C.23 D.899. 用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（ ） A ．18B ．108C ．216D ．43210．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为24316π同一球面上，则PA =（ ） A ．3 B ．72 C ．23 D ．9211.已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A ．522-B ．522-C ．632-D ．632-12.已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()10f x af x a -+-=（a R ∈）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21(,)21e e -+∞-B ． 21(,)21e e --∞-C ．21(0,)21e e -- D ． 2121e e ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a ，则直线x a y 6=与曲线2x y =所围成的封闭区域面积为 .14.设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数a =______．15.已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +<恒成立，则m 的取值范围是_______．16. 已知函数()e sin xf x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．当(0,]2x π∈时，直线y kx =在函数()y f x =的图象的下方，则实数k 的取值范围____三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 在平面ABC 内，且为△ABC外一点,∠BPC=90°. (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=30°,求tan∠PBA .18.（本小题满分12分)如图甲,设正方形ABCD 的边长为3,点E F 、分别在AB CD 、上,并且满足22AE EB CF FD ==，,如图乙,将直角梯形AEFD 沿EF 折到11A EFD 的位置,使点1A 在平面EBCF 上的射影G 恰好在BC 上.M 点为1EA 的中点.(1)证明: BM平面1CD F ;(2)求二面角M BF C --的余弦值.BE CD F图甲1AEFBC1DG图乙AA BCP19.(本小题满分12分)某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类可得：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望()E X ．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.010 0.005 0.001 0k6.6357.87910.82820.(本小题满分12分)已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）经过点()22,2，且离心率为22，1F ，2F 是椭圆的左右焦点.（1）求椭圆的方程E ；（2）若点A ，B 是椭圆上关于y 轴对称的两点（A ，B 不是长轴的端点），P 点是椭圆E 上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N ，探究：直线1MF 与直线2NF 的交点是否在某定圆上，并说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数()2ln ,f x x ax x a R =+-∈．（1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； （3）当(]0,x e ∈时，证明：()2251ln 2e x x x x ->+．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2．（1）求证：P EDF ∠=∠；（2）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ-=，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)p p ρθθ=>．（1）设t 为参数，若222x t =-+，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于,P Q ，设(2,4)M --，且2||||||PQ MP MQ =⋅，求实数p 的值．24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 24. 选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．（1）若不等式1()21(0)2f x m m +≤+>的解集为[]2,2-，求实数m 的值； （2）若不等式()2|23|2y y af x x ≤+++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值． 选择：CDBDD DDCDB BD填空：13. 32314. 2±15. 1544m -<<16. (,1]-∞ 解答题： 17.193;22- 18.（1）证明略（2）3919. （1）由题意得列联表：语文优秀语文不优秀总计 外语优秀 60 100 160 外语不优秀 140 500 640 总计200600800因为()228006050010014016.66710.828160640200600k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．（2）分布列 X 0123P125512225512135512275129()8E X =20.(1)221168x y += (2)21. （1）()212120x ax f x x a x x+-'=+-=≤在[]1,2上恒成立， 令()2 21h x x ax =+-，有()()1020h h ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩得1,72a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得72a ≤-． (3)分选做：22. （Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠． （Ⅱ）由（Ⅰ）得P EDF ∠=∠，又PEA DEF ∠=∠，∴EDF ∆∽EPA ∆，∴EDEPEF EA =，∴EP EF ED EA ⋅=⋅，又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE ，∴ 29=EC ，∵2:3:=BE CE ，∴3=BE ，解得427=EP .∴415=-=EB EP BP ．∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2∴)29427(4152+⨯=PA ，解得4315=PA ．22.23.。
山西省太原市第五中学高三数学第二次模拟考试试题 理(
太原五中2016-2017学年度第二学期阶段性检测高三数学(理)一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）1. 已知全集，，，则A. B. C. D. （0,1）【答案】C【解析】由题意得，集合，，所以，所以，故选C.2. 如果复数，则A. 的共轭复数为B. 的实部为1C. D. 的虚部为【答案】D【解析】 ,因此的共轭复数为 ,实部为,虚部为,模为,选D. 点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表：对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为A. a=45，c=15B. a=40，c=20C. a=35，c=25D. a=30，c=30【答案】A结合选项计算可得A选项符合题意.本题选择A选项.4. 正项等比数列中的是函数的极值点，则A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】由函数的解析式可得：f′(x)=x2−8x+6，∵正项等比数列{a n}中的a1,a4033是函数f(x)的极值点，∴a1×a4033=6，∴，∴ .本题选择C选项.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．5. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上一个动点，则的最大值为A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】由题意可得：，绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.6. 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为，则由此可估计π的近似值为A. 3.119B. 3.126C. 3.132D. 3.151【答案】B【解析】发生的概率为，当输出结果为时，，发生的概率为，所以，即故选B.7. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率为A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】由题意，知，则设直线的的方程为，代入抛物线消去，得．设，则①，②．因为，所以③．联立①②③解得，所以直线的斜率为，故选C．8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 5B.C.D.【答案】D【解析】几何体如下图，几何体为底面为直角梯形的直四棱柱，截去阴影表示的三棱锥，所以体积为 ,故选D.9. 小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为A. 60B. 72C. 84D. 96【答案】C【解析】根据题意，可分三种情况讨论：①若小明的父母只有一人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有种情况，将小明与选出的家长看出一个整体，考虑其顺序种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有种安排方法，此时有种不同坐法；②若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有种情况，考虑父母之间的顺序，有种情况，则这个整体内部有种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时有种不同坐法；③小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将人看成一个整体，考虑父母的顺序，有种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时，共有种不同坐法；综上所述，共有种不同的坐法，故选C.点睛：本题考查了排列、组合的综合应用问题，关键是根据题意，认真审题，进行不重不漏的分类讨论，本题的解答中，分三种情况：①小明的父母中只有一个人与小明相邻且父母不相邻；②小明的父母有一个人与小明相邻且父母相邻；③小明的父母都与小明相邻，分别求解每一种情况的排法，即可得到答案。
山西省太原市第五中学高三第二次模拟考试(5月)数学(理)Word版含答案
太原五中2017—2018学年度第二学期模拟高三数学(理)出题人、校对人：王文杰、郭舒平、刘锦屏、李廷秀、凌河、闫晓婷（2018.5.25）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1）2（）3、是的（）必要不充分条件既不充分也不必要条件4）5）66，则判断框中的条件可以是（）70～11）8）9、已知某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等边三角形，则该几何体的最长棱长（）10、某人根据自己的爱好，希望从｛T，Y，W，Z｝中选两个不同的字母，从｛0，2，6，8｝中选三个不同的数字编拟车牌号，要求前两位是字母，后三位是数字，且数字2不能排在末位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（）个个个个11），12、已知定义在上的函数满足f x，设与图象的交点坐标为4 6第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、成区域内的概率为________.14、已知正方棱长是底的动点，则的最大值为.15________.16,的取值范围是________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分）（1（2.18、（本小题满分12分）.求证：（1（2.19、（本小题满分12分）某高校在2017年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：（1考生的平均成绩；（2）为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名考生进入第二轮面试.①求第3、4、5组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试；②从上述进入二轮面试的学生中任意抽取2名学生，记X表示来自第四组的学生人数，求X 的分布列和数学期望；③若该高校有三位面试官各自独立地从这12名考生中随机抽取2名考生进行面试，设其中甲考生被抽到的次数为Y，求Y的数学期望.20、（本小题满分12分）（1（2.21、（本小题满分12分）（1（2.请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】，以原点为.（1（2）面积的最小值.23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】（1（2高三二模答案1、2、3、解析：要条件.4、解析()55、解析：，所以6、解析：，7、解：0～1相应平面区域面积为1，两个数能与18、解析：由条件知，，所以，由正弦定理可得，故的面积故选9、解析：10、解析：（1）不含Z不含2（2）含Z不含2（3）不含Z含2（4）含Z也含2所以共有36+36+72+54=19811、解析：设，则由可知：且，所以12、解析：(a,b)对称,又因为,的图象关于(a,b)对称,当且仅当a=b=1时,2.13、 曲线围成区域面积为：14、解析：以原点建立空间直角坐标系，则，设,，其中，则15、解析：2，16、内有两个极值点,,可转换为函数1与g(x)=a(x-1)的图象在内有两个交点.由,,为减函数,上为增函数,当直线g(x)=a(x-1),由导数的几何意义可以得到，可知a=1,17、解析：（1.（218、解（1（2角坐标系。
山西省太原五中高三数学2月月考试题 理
太 原 五 中—第二学期月考(2月) 高 三 数 学（理）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的)1. 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N AC B =（ ）A }{1,5,7 B }{3,5,7 C }{1,3,9 D }{1,2,32. 复数212ii+-的共轭复数是（ ） A 35i - B 35i C i - D i3. 执行右面的框图，若输出结果为21， 则输入的实数x 的值是（ ） A ．23 B ．41C ．22D ．2 4. 已知平面向量a =(1,1),b =(，则向量 12 - 32 = ( ) Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)-， 5.已知F １、F ２是椭圆的两个焦点，满足1⋅2MF =0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A. (0 , 1)B. (0,12 ]C. (0 ,22 )D. [22,1)6. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥243x y x xy ,则y x z 3-=的最大值为（ ）A.10B.8C.6D.47. 若O 为∆ABC 所在平面内一点，且3OA +4OB +7OC = 0,则∆O AB 和 ∆ABC 的面积之比为（ ）A. 14B. 13C. 12D. 258.若函数y=Asin(ωx+ϕ)+ m(A>0, ω>0)的最大值为4, 最小值为0，最小正周期为π2 ,直线x = π3 是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( ) A. y = 4sin(4x+ π6 ) B. y = 2sin(2x+ π3 )+ 2C. y = 2sin(4x+ π3 )+ 2D. y = 2sin(4x+ π6)+ 29.已数列{a n }满足a n+1+a n-1 = 2a n (n ≥2),点O 是平面上不在直线L 上的任意一点，L 上有不重合的三点A 、B 、C ，且a 2+a =OB ,则S= ( ) A ． 1004 B ． C ． D ．100510. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（ ）A. 72B. 1C. 252D. 11211. 设定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0,x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =（ ）A ．6B ．4或6C ．6或2D ．212. 已知球直径SC = 4，A 、B 是该球面上的两点，AB = 3 ,∠ASC =∠BSC=300,则三棱锥S —ABC 的体积为（ ）A ． 3 3B ．2 3C ． 3D ．1二.填空题(本题共4小题，每题5分，共13.已知随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2),且P(μ-2σ < X ≤ μ+2σ) =0.9544, P(μ-σ < X ≤ μ+σ)=0.6826,若μ=4, σ=1,则P(5<X<6)=14.若二项式(a x - 1x )6的展开式中的常数项为-160,则⎰-a dx x 02)13(=15. 如右图，一个简单空间几何体的三视图 其主视图与左视图都是边长为2的正三角形, 其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 16.给出下列命题：存在x ∈(0,π2 ),使sinx+cosx= 13;存在区间(a,b),使y=cosx 为减函数而sinx<0;● y =tanx 在其定义域内为增函数;俯视图❍ y = cos 2x+sin( π2 - x)既有最大值和最小值，又是偶函数;⏹ y = sin |2x+ π6|的最小正周期为π.其中错误的命题为 ;三.解答题（本题共5小题，每小题12分，共60分） 17.若数列{a n }是等比数列，a 1>0,公比q ≠1,已知lna 1和2+ lna 5的等差中项为lna 2,且a 1a 2 = e .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n = 1n(4-lna n )(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和.18.设不等式x 2+y 2≤ 4确定的平面区域为U ，⎪x ⎪+⎪y ⎪≤ 1确定的平面区域为V. (1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；(2)在区域U 内任取3个点，记这3个点在区域V 的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX.19. 如图示,四棱锥P----ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA = 1， PD = 2 ,E 为PD 上一点， PE = 2ED.(1) 求证：PA ⊥ 平面ABCD ；(2) 求二面角D---AC---E 的正切值； (3) 在侧棱PC 上是否存在一点F ， 使得BF // 平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由.图所示，椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)．(1)求椭圆C 的方程;(2)已知A 、B 为椭圆上的点，且直线AB 垂直于x 轴，又直线l ：x ＝4与x 轴交于点N ， 直线AF 与BN 交于点M.(ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值． 21.已知函数f(x)= xlnx.(1) 求函数f(x)的单调区间和最小值；(2)当b>0时，求证：ebeb 1)1(≥(其中e 为自然对数的底数);AB C EP第19题图 x第20题图(3)若a>0,b>0, 求证：f(a)+(a+b)ln2 ≥ f(a+b)- f(b).四．选做题（本题满分10分，请考生在第22、23、24三题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22. A 为圆外一点，AB,AC 分别交圆于D, E, AB, AC 的长分别是一元二次方程x 2-x+(m 2–m + 12 )=0的两个根.( 如图所示)（1）求m 的值 （2）求证：DE//BC23.已知直线l的参数方程是x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩（t 是参数）圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+.(1) 求圆C 在直角坐标系下的方程；(2) 由直线l 上的点向圆引切线，求切线长的最小值. 24.已知函数f(x)= |x-1|,g(x)= - |x+3| + a (a ∈R)(1) 解关于x 的不等式()6g x >；(2) 若函数2()y f x =的图像恒在函数()y g x =的图像的上方，求实数a 的取值范围.太原五中—第二学期2月月考试题参考答案（理数） 一．选择题ACDDC BCDDD DC 二．填空题第22题图13. 0.1359 ；14. 6；15.433; 16.三．解答题17. 解：(1)由题可知：2lna 2=lna 1+(2+lna 5),即：lna 22 = ln(e 2a 1a 5), -----2分即：a 22 = e 2 a 1a 5， ∴ a 2a 1 = e 2⋅ a 5a 2 , q= e 2q 3, 又q ≠1且q>0，∴ q = 1e , --------------4分又由a 1a 2 = e , ∴ a 12q = e , a 1 = e ,∴ a n = a 1q n -1 = e 2-n.( n ∈N *)------6分 (2)由(1)知：lna n = 2- n , ------8分∴ b n = 1n(4-lna n ) = 1n(n+2) = 12 ( 1n - 1n+2)-------10分∴S n = b+b 2+⋯+b n = 12 ( 11 - 13 )+ 12 ( 12 - 14 )+ 12 ( 13 - 15 )+⋯+ 12 ( 1n -1n+2 )= 12 [(11 - 13 )+(12 - 14 )+(13 - 15 )+⋯+（1n-2 - 1n ）+(1n-1 -1n+1 )+( 1n - 1n+2 )] = 12 [1+ 12 - 1n+1 - 1n+2 ] = 3n 2+5n 4(n+1)(n+2) --------12分 18. 解：(1)依题意可知：平面区域U 的整点数为：(0,0),(0,±1),(0,±2),(±1,0),( ±2,0),(±1,±1).共有13个. ----------2分平面区域V 的整点为：(0,0),(0,±1), (±1,0)共有5个， ----------4分因此，P = C 52⋅C 81C 133 =40143 .-------------4分 （2）依题可得：平面区域U 的面积为S= π⋅22= 4π， 平面区域V 的在面积为S '= 12⋅2⋅2= 2,在区域U 内任取1个点，则该点在区域V 内的概率为：24π= 12π .X 的可能取值为：0,1,2,3,则P(X=0)= C 30( 12π )0(1- 12π )3 _ 0 = (2π-1)38π3, P(X=1)= C 31( 12π )1(1- 12π )3 _ 1 = 3(2π-1)28π3, P(X=2)= C 32( 12π )2(1- 12π )3 _ 2 = 3(2π-1)8π3,P(X=3)= C 33( 12π )3(1- 12π )3 _ 3 = 18π3 ------8分EX = 0⨯(2π-1)8π3 +1⨯3(2π-1)8π3 +2⨯3(2π-1)8π3+3⨯18π3 = 32π--------12分（或X ~(3, 12π ), EX = np = 32π）.19. 解：(1) PA = PD = 1 ,PD = 2 , ∴ PA 2 + AD 2 = PD 2, 即：PA ⊥ AD---2分 又PA ⊥ CD , AD , CD 相交于点D, ∴ PA ⊥ 平面ABCD-------4分（2）过E 作EG//PA 交AD 于G ，从而EG ⊥ 平面ABCD ，且AG = 2GD , EG = 13 PA = 13 , ------5分连接BD 交AC 于O, 过G 作GH//OD ，交AC 于H ，连接EH. GH ⊥ AC , ∴EH ⊥ AC ,∴∠ EHG 为二面角D —AC ―E 的平面角.-----6分∴tan ∠EHG = EG GH = 22. -------8分(3)以AB , AD , PA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则A （0 ，0， 0），B （1，0，0） ，C （1，1，0），P （0，0，1），E （0 , 23 ,13 ）,= (1,1,0), AE = (0 , 23 ,13 )---9分设平面AEC 的法向量= (x, y,z) , 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，即：⎩⎨⎧=+=+020z y y x ， 令y = 1 , 则 = (- 1,1, - 2 )-------------10分 假设侧棱PC 上存在一点F, 且＝ λ ，O H GAB CE P（0 ≤ λ ≤ 1）, 使得：BF//平面AEC, 则⋅ ＝ 0. 又因为：＝ +＝ （0 ，1，0）+ (-λ,-λ,λ)= (-λ,1-λ,λ),∴⋅ ＝λ+ 1- λ-2λ = 0 , ∴λ = 12 ,所以存在PD 的中点F,使得BF//平面AEC. ----------------12分：(1)由题设2,1a c ==，从而2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. ………………………3分(2)(i)证明：由题意得F (1,0)、N(4,0)．设(,)A m n ，则(,)(0)B m n n -≠，22143m n +=.① AF 与BN 的方程分别为：(1)(1)0,n x m y ---=(4)(4)0n x m y -+-=.设00(,)M x y ，则有0000(1)(1)0,(4)(4)0n x m y n x m y ---=⎧⎨-+-=⎩由上得00583,.2525m nx y m m -==--由于220043x y +=2222222(58)(3)(58)124(25)3(25)4(25)m n m n m m m --++=---＝222(58)3694(25)m m m -+--＝1.所以点M 恒在椭圆C 上．………………………………7分(ⅱ)解：设AM 的方程为1x ty =+，代入22143x y +=， 得22(34)690.t y ty ++-= 设11(,)A x y 、22(,)M x y ，则有122634t y y t -+=+，122934y y t -=+. 12||y y -＝21234t +.(1)λλ=≥，则12||y y -＝212121313λλλλ=++ 因为函数13y λλ=+在[1,)+∞为增函数，所以当1λ=即0t =时，函数13y λλ=+有最小值4.即0t =时,12||y y -有最大值3，此时AM 过点F .……11分 △AMN 的面积S △AMN ＝1||2NF ·12||y y -有最大值92.…………12分解：(1) f '(x)=1+lnx (x>0)-----1分 令f '(x)≥0得:lnx ≥ -1= lne1-,e>1 ,∴ x ≥ 1e; 令f '(x)< 0得: 0 <x< 1e;-----2分∴f(x)在[ 1e ,+ ∞)上为增函数；在（0，1e ]上为减函数.----3分(2)由(1)知：当b>0时，有f(b)≥ f(x)mix = f( 1e )= - 1e,----5分∴ blnb ≥ - 1e ,即：e b e b 1)1ln(ln ≥, ∴ e beb 1)1(≥.-----6分(3)将f(a)+(a+b)ln2 ≥ f(a+b)- f(b)变形为：f(a)+f(b)≥ f(a+b)- (a+b)ln2 ------7分 即只证：f(a)+f(a+b-a)≥ f(a+b)- (a+b)ln2 设函数g(x)= f(x)+f(k-x)(k>0)------8分 ∴g(x)= xlnx+(k-x)ln(k-x), ∴0<x<kg '(x)= lnx+1-ln(k-x)-1=lnxk-x令g '(x)>0,得：x k-x >1 ⇒ 2x-k k-x > 0 ⇒ k2 <x<k .∴ g(x)在[ k 2 ,k)上单调递增；在(0, k2]上单调递减;∴ g(x)的最小值为:g( k 2 ),即总有：g(x)≥ g( k2 ).----10分g( k 2 )= f( k 2 )+f(k- k 2 )= kln k2 =k(lnk - 2) =f(k) – kln2 ∴g(x)≥ f(k) – kln2,即：f(x)+f(k-x)≥ f(k)-kln2,-----11分 令x=a, k-x = b, 则k = a+b ∴ f(a)+f(b)≥ f(a+b)- (a+b)ln2,∴ f(a)+(a+b)ln2 ≥ f(a+b)- f(b)成立.------12分 22.边AB,AC 是一元二次方程221()02x x m m -+-+=的两个根2(21)0m ∴∆=--≥,∴12m =-------------------- 4分 (1) 由(1)知0∆=,故AB=AC,-----------------5分01802AABC ACB -∴∠=∠=, 又AD ⋅AB=AE ⋅AC, -------6分01802AD AEA ADE AED ∴=-∴∠=∠=------------------8分ABC ADE ∠=∠, ∴ DE//BC--------------10分23.(1) 22()()122x y -++=---------------4分 (2)=≥分 24.由g(x)>6,36x a -++>,即36x a +<------- --2分 当6a ≤时,无解-----------------------------3分当a>6时,39a x a -<<------- -----------------------4分∴当6a >时,不等式的解集为{}39x a x a -<<--------------5分(2)由题意得:213,x x a x R ->-++∈即213x x a -++>,--------------------------------7分令h(x)=213x x -++,h(x)=31,35,3131,1x x x x x x --<-⎧⎪-+-≤<⎨⎪+≥⎩-- ---------8分当x<-3时,h(x)>8,当31x -≤<时,4()8h x <≤,当x ≥1时,()4h x ≥, 综上h(x)的最小值为h(1)=4,4a ∴<------ ------10分。
2025届山西省太原市迎泽区五中高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2025届山西省太原市迎泽区五中高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±=B ．30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=2．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．3．()6321x x x ⎫-+⎪⎭的展开式中的常数项为( )A ．－60B ．240C ．－80D ．1804．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A ．[1,2]-B ．[3,2]-C ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,2]5．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23B ．43C ．83D ．163一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月7．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-10．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．411．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )A ．3B ．2-C ．3或3-D ．3或2-12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3,1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120C ．60或150D ．60或120二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
精校word版---太原五中2018—2019学年度第二学期阶段性检测数学(理)
太原五中2018—2019学年度第二学期阶段性检测高三数学（理）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)1. 若复数满足（为虚数单位），则A. B. C. D.2. 若集合，，则下列结论中正确的是A. B. C. D.3. 某中学的高中女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是A. 与具有正线性相关关系B. 回归直线过样本的中心点C. 若该中学某高中女生身高为，则可断定其体重必为D. 若该中学某高中女生身高增加，则其体重约增加4. 在中，，，，则A. B. 或 C. D. 或5. 在等比数列中，若，，则的值是A.4B.8C.16D. 326. 已知平面向量，满足，，则的值是A. B. 7 C. D. 10高三数学(理) 第3页(共28页) 高三数学(理) 第4页(共28页)7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为A.B.C.D.8．小明在花店定了一束鲜花，花店承诺将在第二天早上7：30～8：30之间将鲜花送到 小明家．若小明第二天离开家去公司上班的时间在早上8：00～9：00之间，则小明在离开家之前收到这束鲜花的概率是( )A.18B.14C.34D.789. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为是偶函数，下列判断正确的是A. 对称函数 的最小正周期为B. 函数在上单调递增C. 函数 的图象关于直线D. 函数 的图象关于点对称10. 在平面直角坐标系 中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于 ， 两点，若，则该双曲线的渐近线方程为A. y =B. 2y x =±C. y x =D. 12y x =±11.已知 ，不等式 的解集为A.B. C. D.12．如图，在四面体ABCD 中，3,2====BD AC CD AB ，5==BC AD ，E 、F 分别是,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该 四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最 大值为ABC ．52D ．54二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使00+20x ay +≤成立，则实数a 的取值范围是___________. 14. 已知，，则． 15. 已知直线 ： 与圆相交于， 两点， 是线段中点，则到直线的距离的最大值为 ．16.等边ABC ∆的边长为1，点P 在其外接圆劣弧AB 上，则PAB PBC S S ∆∆+的最大值 为 ．三、解答题(本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（12分）已知数列{}n a 中， 11a =， ()*14nn n a a n N a +=∈+.高三数学(理) 第7页(共28页) 高三数学(理) 第8页(共28页)（1）求证： 113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足()1413n n n n n b a +=-⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分 别是棱AB ，AD ，11A B ，11A D 的中点，点P ，Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且(02)DP BQ λλ==<<.（1）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.19.（12分）第四届世界互联网大会在浙江乌镇隆重召开，人工智能技术深受全世界人民的关注，不同年龄段的人群关注人工智能技术应用与发展的侧重点有明显的不同，某中等发达城市的市场咨询与投资民调机构在该市对市民关注人工智能技术应用与发展的侧重方向进行调查，随机抽取1 000名市民，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求这1 000名市民年龄的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)调查发现年龄在[20,40)的市民侧重关注人工智能技术在学习与工作方面的应用与发展，其中关注智能办公的共有100人，将样本的频率视为总体的频率，从该市年龄在[20,40)的市民中随机抽取300人，请估计这300人中关注智能办公的人数；(3)用样本的频率代替概率，现从该市随机抽取20名市民调查关注人工智能技术在养老服务方面的应用与发展的情况，其中有k 名市民的年龄在[60,80]的概率为P (X ＝k )，其中k ＝0,1,2，…，20，当P (X ＝k )最大时，求k 的值．20.（12分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34-. （1）求动点C 的轨迹方程；（2）设直线l 与（Ⅰ）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点Q ，且(1,0)F ， 求证：90PFQ ∠=.21.（12分）已知函数()b ax x xe x f x+++=2，曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程为 0324=--y x ( 1 ) 求b a ,的值； ( 2 ) 证明: ()x x f ln >.说明：请在22、23题中任选一题做答，写清题号．如果多做，则按所做第一题记分． 22．（10分）已知曲线的参数方程是（ 是参数），以坐标原 点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是．（1）写出 的极坐标方程和 的直角坐标方程；（2）已知点 ，的极坐标分别为和 ，直线 与曲线相交于两点 ，，射线与曲线 相交于点，射线与曲线相交于点 ，求的值．23．（10分）已知函数，．（1）当 时，解不等式 ；（2）若存在满足，求 的取值范围．高三数学(理) 第11页(共28页) 高三数学(理) 第12页(共28页)数学答案（理）选择题DCCDA C A D B C A B 填空题13.(],1-∞-14.34- 15.416.1217. 1.【答案】(1)答案见解析；(2)11525443n n n T -+=-⋅.（2）()1413n n n n n b a +=-⋅⋅，341n n a =-113n n n b -+=12n n T b b b =+++ ∴01212313333n n n n n T --+=++++①121123133333n n n n n T -+=++++② ①-②得12121111233333n n n n T -+=++++-111311313nn n -+=+--53112233n n n +=-⋅-∴11525443n n n T -+=-⋅.18.（1）见解析；（2）12λ=±.高三数学(理) 第15页(共28页) 高三数学(理) 第16页(共28页)（2）设平面EFPQ 的一个法向量为(),,n x y z =，则由0{0FE n FP n ⋅=⋅=，得0{0.x y x z λ+=-+=，于是可取(),,1n λλ=-.设平面M N P Q 的一个法向量为()',','m x y z =，由0{N M m N P m ⋅=⋅=，得()''0{'2'0x y x z λ+=-+-=，于是可取()2,2,1m λλ=--. 若存在λ，使面EFPQ 与面P Q M N 所成的二面角为直二面角，则()()2,2,1,,10m n λλλλ⋅=--⋅-=，即()()2210λλλλ---+=，解得12λ=±，显然满足02λ<<.故存在12λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.19.解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的1 000名市民年龄的平均数x －＝25×0.05＋35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.25＋75×0.1＝54(岁)．设1 000名市民年龄的中位数为x ，则0.05＋0.1＋0.2＋0.03×(x －50)＝0.5，解得x ＝55，所以这1 000名市民年龄的平均数为54，中位数为55.(2)由频率分布直方图可知，这1 000名市民中年龄在[20,40)的市民共有(0.05＋0.10)×1 000＝150人，所以关注智能办公的频率为100150＝23， 则从该市年龄在[20,40)的市民中随机抽取300人，这300人中关注智能办公的人数为300×23＝200.故估计这300人中关注智能办公的人数为200.(3)设在抽取的20名市民中，年龄在[60,80]的人数为X ，X 服从二项分布， 由频率分布直方图可知，年龄在[60,80]的频率为(0.025＋0.010)×10＝0.35，所以X ～B (20,0.35)，所以P (X ＝k )＝C k 200.35k (1－0.35)20－k ，k ＝0,1,2， (20)设t ＝P X ＝k P X ＝k －＝C k 200.35k 0.6520－kC k －1200.35k －10.6521－k ＝－k 13k，k ＝1,2， (20)若t >1，则k <7.35，P (X ＝k －1)<P (X ＝k )； 若t <1，则k >7.35，P (X ＝k －1)>P (X ＝k )． 所以当k ＝7时，P (X ＝k )最大， 即当P (X ＝k )最大时，k 的值为7.20.解：（1）设(,)C x y ，则依题意得34AC BC k k ⋅=-，又(2,0)A -，(2,0)B ，所以有 3(0)224y y y x x ⋅=-≠+-， 整理得221(0)43x y y +=≠，即为所求轨迹方程. ┄┄┄┄┄┄5分高三数学(理) 第19页(共28页) 高三数学(理) 第20页(共28页)（2）设直线l ：y kx m =+，与223412x y +=联立得2234()12x kx m ++=，即222(34)84120k x kmx m +++-=，依题意222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+-=，即2234k m +=， ┄┄┄┄┄┄8分∴122834km x x k -+=+，得122434kmx x k -==+， ∴2243(,)3434km m P k k -++，而2234k m +=，得43(,)k P m m-，又(4,4)Q k m +， ┄┄┄┄┄┄10分 又(1,0)F ，则43(1,)(3,4)0k FP FQ k m m m⋅=--⋅+=.知FP FQ ⊥， 即90PFQ ∠=.21.（1）解：()()a x e x x f x+++='21，由题意有()()⎪⎩⎪⎨⎧-===+='230210b f a f ，解得23,1-==b a ┄┄┄┄┄┄4分 （2）证明：（方法一）由（1）知，()232-++=x x xe x f x.设()x x x xe x h x ln 2-++= 则只需证明()23>x h ()()x x e x x h x 1121-+++='()⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x e x x 121，设()x e x g x 12-+=则()012>+='x e x g x ，()x g ∴在()+∞,0上单调递增 0424141<-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛e g ，0323131>-+=⎪⎭⎫⎝⎛e g⎪⎭⎫⎝⎛∈∃∴31,410x ，使得0x 001g (x )e 20x =+-= ┄┄┄┄┄┄7分且当()0,0x x ∈时，()0<x g ，当()+∞∈,0x x 时，()0>x g∴当()0,0x x ∈时，()0<'x h ，()x h 单调递减当()+∞∈,0x x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增 ┄┄┄┄┄┄8分()()==∴0min x h x h 0020ln 0x x x e x x -++，由01200=-+x e x ，得210-=x e x ， ()+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴21000x x x h 0020ln x x x -+0020ln 1x x x -+-=， ┄┄┄┄┄┄10分设()x x x x ln 12-+-=ϕ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈31,41x ，()x x x 112--='ϕ()()xx x 112-+= ∴当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈31,41x 时，()0<'x ϕ，()x ϕ在⎪⎭⎫⎝⎛31,41单调递减，∴()()>=00x x h ϕ23131⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-31ln 131233ln 97>+=，因此()23>x h ┄┄┄┄┄┄12分（方法二）先证当0≥x 时，()232-++=x x xe x f x232-≥x ，即证02≥-+x x xe x设()x x xe x g x-+=2，0≥x 则()()121-++='x e x x g x，且()00='g()()022>++='x e x x g ，()x g '∴在[)+∞,0单调递增，()()00='≥'g x g ()x g '∴在[)+∞,0单调递增，则当0≥x 时，()()002=≥-+=g x x xe x g x┄┄┄┄┄┄8分（也可直接分析232232-≥-++x x x xe x⇔02≥-+x x xe x ⇔01≥-+x e x 显然成立） 再证x x ln 232≥-设()x x x h ln 232--=，则()x x x x h 1212-=-='，令()0='x h ，得21=x高三数学(理) 第23页(共28页) 高三数学(理) 第24页(共28页)且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 时，()0<'x h ，()x h 单调递减；当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增.∴()x x x h ln 232--=02ln 2121>+-=⎪⎭⎫⎝⎛≥h ，即x x ln 232>-又()232232-≥-++=x x x xe x f x，()x x f ln >∴┄┄┄┄┄┄12分 法三：要证不等式等价于xln x 3e x 1x 2x++>+ 令xF (x)e x 1=++，ln x 3G (x)x 2x=+，分别求最值. 22.（1）由题得曲线的普通方程为，化成极坐标方程为．曲线 的直角坐标方程为．（2） 易知在直角坐标系下，，，则线段 是圆 的一条直径，所以，由，得．由于， 是椭圆上的两点，在极坐标下，设 ，．分别代入中，得所以即所以23（1）当时，，由得．当时，不等式等价于，解得，所以；当时，不等式等价于，即，所以此时不等式无解；当时，不等式等价于，解得，所以．所以原不等式的解集为．（2）因为原命题等价于，所以，所以为所求实数的取值范围．高三数学(理) 第27页(共28页) 高三数学(理) 第28页(共28页)。
山西太原第五中学届高三年级下学期阶段性检测(4月)数学(理)Word版含答案
山西太原市第五中学届高三下学期阶段性检测（4月）数学（理）Word版含答案1 / 1太原五中-）学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学（理）命题、校对：王志军、褚晓勇、凌 河（）.4.11）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)1．设集合}052|{<-=x x x A ，集合(){}2lg 2B x y x x ==--，则集合A ∪B （）A ．(-∞,-1)∪(2,+∞)B ．),2(+∞C ．(-1,0)D ．()(),10,-∞-+∞2.下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（）1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A. 23,p pB. 12,p pC. ,p p 24D. ,p p 343.下列函数中，与函数y ＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－||1x B ．x x y --=33 C ．||log 5.0x y = D ．||sin x y =4.若1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，27log 9c =，则( ) A ．b a c << B ．b c a <<C ．c a b << D ．c b a <<5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“18-=a ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.若(1－2x)n x 的展开式中x 3的系数为80，其中n 为正整数，则(1－2x)n x的展开式中各项系数的绝对值之和为()A ．32 B ．81 C ．243 D ．2567.若7)4tan(=+πα，则=+αα2sin 2cos 2()。
2021-2022学年山西省太原市第五中学校高三下学期5月阶段性检测数学(理)试题
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得要 恒成立，则有 ，求出 ，下面
只需要证明当 时， 恒成立即可，进而得出a的取值范围.
【详解】由题设可知，要 恒成立，则 ，
即 ，令 ，易知 是增函数且
∴ .
下证：当 时， 恒成立，
设 ，则
令 ，即 ，解得 .
当 时， ；
当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
【详解】解：由题意，假设①正确，则②③④错误，因为③和④错误，相互矛盾，所以假设错误，即①不正确；同理可得②不正确；
假设③正确，则①②④错误，因为①错误，所以Tess Ledeux是第三名，这与③Tess Ledeux是第一名矛盾，所以假设错误，即③不正确；
假设④正确，则①②③错误，即谷爱凌不是第二名且不是第三名，Tess Ledeux是第三名；Tess Ledeux不是第一名且不是第二名，谷爱凌是第一名；Tess Ledeux不是第一名，符合题意.
A. 种B. 种
C. 种D. 种
【答案】C
【解析】
【分析】首先结合平均分组的方法可求得甲、乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排 个人的方案种数；接着计算小李和小王在一起的安排方案数，则利用间接法得到结果.
【详解】甲、乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排 个人，共有： 种；
其中小李和小王在一起的安排有： 种；
在① ；② ；③ .这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：根据 ，求得角C，再利用三角形面积公式求解；选②：利用正弦定理得到 ，化简求得边c，再利用余弦定理求得角A，再利用三角形面积公式求解；选③：根据 ，根据二倍角公式求得角A，再利用余弦定理求得边c，再利用三角形面积公式求解；