鲁教版初中数学知识梳理--几何

初中数学---（几何部分）

几何基础概念（8册上）

定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的语句叫做定义。 命题：判断一件事情的句子叫做命题。（命题就是具有真假意义的一句话）命题通常由条件

和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断的事项，命题写成“如果……那么……”的形式。

正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题。 证明：判断一个命题的推理的过程叫做证明。

公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。 定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理。证明一个命题的正确性，要按“已知”，“求证”，

“证明”的顺序和格式书写。 一、直线

直线的性质：直线没有粗细、向两方无限伸展。

两条直线的位置关系：1、相交，2、平行（重合看做是平行的特例）。 1、两条相交直线

（1）斜交。直线AB 和直线CD 相交于点O 。如图∠1和∠2,叫做是对顶角。它们有公共顶

定理：对顶角相等。

∠1和∠4，∠1和∠3, ∠2和∠4，∠2和∠3是互为补角。即∠1+∠4=180o

（2）垂直。直线AB 和直线EF 相交于O 点，其中∠AOF=90o，则称直线AB 和直线EF 互相垂直。由此∠AOE 、∠EOB 、∠BOF 都是90o。 ∠1+∠2=∠BOF=90o，称∠1和∠2是互为余角。

定理：同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。 （3）作图

①已知线段AB ，O 是线段AB 上中点，过O 点作线段CD ，使得CD ⊥AB 。 ②已知直线AB ，P 是直线AB 外一点。过P 作直线AB 的垂线 ③作已知∠AOB 的平分线

⑤已知∠AOB ，作∠A ′O ′B ′，使得∠A ′O ′B ′=∠AOB 。 作法：略（六册下，P53） 2、两条直线平行

（1）有关概念：同位角、内错角、同旁内角。

如图，直线AB 和直线CD 被直线L 所截，同位角有：∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6，

B

A

C

D

1

2 3 4

0 3

A

B

E

F

O

1

2

∠7和∠8。内错角有：∠2和∠7，∠5和∠4。同旁内角有：∠2和∠5，∠7和∠4。 （2）两条直线如果没有交点，称这两条直线平行。 （3）两条直线平行判定定理：

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 ③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 （4）两条直线平行性质定理：

如果两条互相平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。 （5）作图

已知直线AB ，求作直线CD ，使得CD ∥AB 。

二、多边形－－(三角形)

1、概念。由不在同一条直线上的三条线段

首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边、三个内角和三个顶点。

如图：顶点是A ，B ，C 的三角形记作

△ABC 。∠A 所对边BC 用 a 来表示。∠B 所对边AC 用b 来表示，边AB 用c 来表示。 ∠BCF 叫∠ACB 的外角。有三个外角。

2、分类。按角分有：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

按边分有：一般三角形，等腰三角形、等边三角形。特殊的有等腰直角三角形。 3、三角形的性质。

（1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （2）三角形三个内角之和等于180o。 （3）直角三角形的两个锐角互余。

（4）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

（5）三角形的边、角关系：三角形中，等边对等角，等角对等边。大边对大角，大角对大边。

（6）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

（7）角平分线的性质：一个角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等；反过来，与一个角的两边等距离的点在这个角的平分线上。

（8）内心：三角形的三个内角的平分线交于一点，叫做内心。是三角形内切圆的圆心。 （9）外心：三角形的三边垂直平分线交于一点，叫做外心。是三角形外接圆的圆心。 （10）垂心：三角形的三条高交于一点，叫做垂心。

（11）重心：三角形的三条中线交于一点，叫做重心。且重心和各边中点的距离等于这边上中线的三分之一。

4 2

8 6

3 1 7 5 L

C A

D B

A

B

C a b c F

O B F C

E

A

G

如图：E 、F 、G 分别为三边的中点。 OF=1／3AF ，OA=2／3AF OE=1／3BE ，OB==2／3BE OG=1／3CG ，OC=2／3CG 4、全等三角形

（1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。例如△ABC 和△DEF 能够完全重合，它们是全等的。记作“△ABC ≌△DEF ”

（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 例 如图△ABC ≌△BAD ，找出它们的对应边和对应角。

解：AC 与BD ，BC 与AD ，AB 与BA 是对应边。 ∠ABC 与∠BAD ，∠BAC 与∠ABD ，∠C 与∠D 是对应角。

（3）全等三角形的判定定理：

①如果三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。记作（边边边）或（SSS ）。 ②如果三角形的两角及夹边分别相等，那么这两个三角形全等。记作（角边角）或（ASA ）。 ③如果三角形的两边及夹角分别相等，那么这两个三角形全等。记作（边角边）或（SAS ）。 ④如果三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等。记作（角角边）或（AAS ）。

例 已知：如图在△ABC 中，BF=DE ，DE ∥AB ，DF ∥AC 求证：D 为BC 的中点。

证明：∵DE ∥AB ，DF ∥AC （已知）

∴∠B=∠EDC ，（平行线性质） ∠C=∠BDF ，

在△BFD 和△DEC 中

∵∠B=∠EDC ，∠C=∠BDF ， BF=DE

∴△BFD ≌△DEC （AAS ） ∴BD=DC （全等三角形性质） 故，D 为BC 的中点。

（4）作图①已知：线段a ，c ，∠α。求作：△ABC ，使BC=a ，AB=c ，∠ABC=∠α.

②已知：线段c ，∠α，∠β，求作：△ABC 使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c 。

5、等腰三角形

① 轴对称图形及性质：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两边的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。

② 简单的轴对称图形及性质：

☆线段是轴对称图形，垂直平分线段的直线是它的一条对称轴。

A B

C D

B D C

E

F A

b

a

c 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 ☆角是轴对称图形，角分线所在的直线是它的对称轴。 角分线上的点到这个角的两边的距离相等。 ③等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形。

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称三线合一）。它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。

④性质定理：等腰三角形的两个底角相等。

⑤判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边相等。

⑥等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形的三个角都相等。 6、直角三角形

（1）定义：有一个角等于90o的三角形叫做直角三角形。

（2）性质：①直角三角形的两个锐角互余。推论：等腰直角三角形的底角等于45°。 ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。 ⑤勾股定理：直角三角形两直角边的平方的和等于斜边的平方。如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2+b 2=c 2。

判定定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足2

2

2

c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 2

22c b a =+

（3）直角三角形全等的判定：

①两条直角边分别相等的两直角三角形全等。 ②一边和一锐角对应相等的两直角三角形全等。

③斜边和一条直角边分别相等的两直角三角形全等。 （4）、锐角三角函数

三角函数是讲角与两边的比值的关系（就是度数与数值的关系）。不同角的大小，对应不同的数值（两边的比值）。

①定义：在Rt △ABC 中如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边的比也随之确定。

∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。记作sinA ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦。记作cosA ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切。记作tgA ∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切。记作ctgA

c

a A =

sin ，

c

b A =

cos ，

b

a tgA =

，

a

b ctgA =

，

②、30o、45、o60o角的三角函数值

sinA cosA tgA ctgA

A

B a C

b

C

30o

21 23 3

3 3

45o

2

2 2

2 1

1

60o

2

3 2

1

3

3

3 （5）、解直角三角形（九册上）

由直角三角形中已知的元素，求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c 。可得下列关系：

①锐角之间关系：∠A ＋∠B=90o ②三边之间关系：a 2＋b 2＝c 2

③角与边之间关系：c a B A =

=cos sin ，c b B A ==sin cos ，b a A =tan ，a

b B =tan 。 例 在△ABC 中，∠A=60o，∠B=45o，AC=12，求AB 的长。

解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D 。 在Rt △ADC 中，AC=12，∠A=60o ∴AD=

21AC=2

1

×12=6 CD=AC ·sinA=12×23=36

在Rt △BDC 中，∠B=45 o∠BDC=90 o

∴∠BCD=45 o ∴BD=CD=36 ∴AB=AD+BD=6＋36

三、多边形－－（四边形——（七册下）

分类：四边形→→平行四边形→矩形→正方形 ↘ ↘菱形↗ ↘梯形→等腰梯形 ↘直角梯形

1、 平行四边形

（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。连接平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫做这个平行四边形的对角线。

（2）性质：①平行四边形的对边相等，

对角相等。

②平行四边形的对线互相平分。

AB=CD AC=BD

OA=OD OB=OC

∠CAB=∠BDC ∠ACD=∠ABD 。

（3）判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（定理）

0A B C

D A D B

C

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（定理）

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（定理）

2、菱形

（1）定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）性质：菱形的四条边相等；两条对角线互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角。

（3）判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

两条对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形。

四条边都相等四边形是菱形。

3、矩形

（1）定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

（2）性质：矩形的两条对角线相等，四个角都是直角。

（3）判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

两条对角线相等的平行四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是矩形。

4、正方形

(1)定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

(2)性质：正方形的四条边都相等；四个角都是直角。

正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

(3)判定：有一组邻边相等的矩形是正方形。

对角线互相垂直的矩形是正方形。

有一个角是直角的菱形是正方形。

对角线相等的菱形是正方形。

5、梯形

(1)概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

平行是两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，

夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。

连接梯形的两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。

6、等腰梯形

定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等。

等腰梯形的两条对角线相等。

判定：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

7、直角梯形：一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

8、多边形的内角和外角

n边形的内角和等于（n－2）×180o。多边形的外角和等于360o。

9、中心对称图形

（1）中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180o。如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

（2）两个图形关于点成中心对称：在平面内，一个图形绕某个点旋转180o。能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。

性质：成中心对称的两个图形全等。

四、相似形（8册上） 1、线段的比

定义：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做两条线段的比。例如线段AB 、CD 的比可以记作CD

AB

（或AB ：CD ）。线段AB ，CD 分别叫做线段比的前项和后项。

2、比例线段

定义：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即

d

c b a = （或a ：b=c ：

d ）那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段。简称比例线段。线段a ，b ，c ，d 叫做这个比例的项。a,d 叫做比例的外项，b ，c 叫做比例的内项。当两个内项相等时，即a ：b= b ：d ， b 叫做比例中项。

比例的性质：

① 如果

d

c

b a =，那么ad=b

c 。即比例的两外项的乘积等于两内项的乘积。

（基本性质）反之，如果ad=bc ，那么d

c

b a =（a ，b ，

c ，

d 都不等于0）

②如果d c b a =，那么c d

a b = （反比定理）

③如果d c b a =，那么d b c a = 或 a c b d = （更比定理）

④如果d c b a =，那么d d c b b a +=

+ (合比定理) ⑤如果d c b a =，那么d d c b b a -=

- （分比定理） ⑥如果d c b a =，那么d c d c b a b a -+=

-+ （合分比定理） ⑦如果d c b a ==…=n m ，那么b

a n d

b

c a =++++++ m （b+d+…+n ≠0）

（等比定理） 3、相似三角形

（1）定义：三个角相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 △ABC 和△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′。 相似三角形对应边的比叫做相似比。 （2）相似三角形的判断：

①两个角对应相等两个三角形相似。 ②三边对应成比例的两个三角形相似。

③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （3）相似三角形的性质：

①相似三角形的对应高的比、对应角分线的比、对应中线的比都等于相似比。 ②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 4、相似多边形

定义：两个多边形的边数相同，个对应角相等，个边对应成比例，这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

B C

A

E D 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 5、位似图形（8册上）

定义：如果两个相似图形的每组对应点所在直线都交于一点，那么这两个相似图形叫做位似图形。这个交点叫做位似中心。这两个相似图形的比叫做它们的位似比。

性质：位似图形的对应点和位似中心在同一条在线上，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

例 如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点 （1）如果DE ∥BC ，那么△ADE 和△ABC

是位似图形吗？为什么？

（2）如果那么△ADE 和△ABC

是位似图形，那么DE ∥BC 吗？为什么？ 解：（1）∵DE ∥BC

∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ∴△ADE ∽△ABC

又∵点A 是△ADE 和△ABC 的公共点，点D 和点B 是对应点，点E 和点C 是对应点， 直线BD 和CE 相交于点A ∴△ADE 和△ABC 是位似图形。 （2）∵△ADE 和△ABC 是位似图形

∴△ADE ∽△ABC ∴∠ADE=∠B ∴DE ∥BC 五、圆

1、圆的有关概念

到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆（到定点的距离等于定长的点的轨迹）其中，定点称为圆心。定长称为半径。以点O 为圆心的圆记作⊙O 。

半径相等的两个圆叫做等圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 经过圆心的弦叫做直径。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆为两条等弧，每一条弧都叫做半圆。 2、圆的性质

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是任意一条过圆心的直线， （2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

（4）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 3、圆心角

（1） 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

（2）性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那

么它们所对应的其余各组量分别相等。

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

4、圆周角

（1）定义：顶点在圆上，它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦，叫做圆心角。

（2）性质：圆周角定理：圆周角的度数等于等于它所对弧的度数一半。

圆周角的度数等于等于它所对弧上的圆心角度数一半。

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直经。

5、外接圆

（1）定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

（2）不在同一在线上的三个点确定一个圆。

（3）定义：一般地，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形。这个圆叫做多边形的外接圆。

（4）定理：圆内接四边形的对角互补。

圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。

6、点与圆的位置关系

设点P到圆心O的距离为d，圆O的半径为r，当点P在圆外时d>r；当点P在圆上时d=r，当点P在圆内时d,

7、直线和圆的位置关系（内切圆）

（1）当直线和圆有两个公共点时，称直线和圆相交。两个公共点叫做交点。

当直线和圆有唯一公共点时，称直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。

当直线和圆有没有公共点时，称直线和圆相离。

（2）切线的判定：经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。

（3）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

（4）内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角分线的交点，叫做三角形的内心。

（5）切线长：在经过圆外一点P的圆的切线上，这P点的切点A之间线段PA的长叫做P点到圆的切线长。显然P点到圆的切线有两条。

（6）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线厂的夹角。

（7）切线的作法：①已知点A在⊙O上，过A点作⊙O的切线。

②已知点A在⊙O外，过A点作⊙O的切线。

8、圆和圆的位置关系

（1）两个不等的圆有五种位置关系：①外离，②外切，③相交，④内切，⑤内含。

（2）把通过两圆圆心的直线，简称连心线。它是两圆的对称轴。如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。

（3）设两圆的半径分别为R和r，当两圆外切时，两圆圆心之间的距离（简称圆心距）d=R＋r 。当两圆内切时（R＞r），两圆圆心之间的距离（简称圆心距）d=R－r 。

（4）定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

9、正多边形和圆

圆内接正多边形：顶点都在圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。

正多边形的中心：正多边形的对称轴交于一点，（正n边形，有n条对称轴）把这点叫做正多边形的中心。正多边形的中心到各顶点的距离相等，到各边的距离相等。正多边形的半径：把正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的边心距：把正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距。

正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

性质1：正多边形是轴对称图形，还具有旋转对称性，如果它的边数是偶数，那么它还是中

心对称图形。它的中心就是对称中心。

性质2：正n 边形的n 条半径把正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被

相应的边心距分成两个全等的直角三角形。 10、弧长及扇形的面积 弧长公式：在半径为R 的圆中，n °的弧的弧长L=R n

π180

。 扇形面积公式：S 扇形=

2360R n π 或S 扇形=RL 2

1

。R 是扇形所在圆的半径，L 是弧长。