2014——2017年全国高中数学联赛三角函数试题集萃
高中数学竞赛历年真题三角函数部分及答案
C
）
A 焦点在x轴上的椭圆
B 焦点在x轴上的双曲线
C 焦点在y轴上的椭圆
D 焦点在y轴上的双曲线
12,(2005年)设, , 满足0 2 ，若对于任意的 x R
4
cosx cosx cosx 0，则 = 3 。
提示：令 f x cosx cosx cosx 0 ，则f f f 0 ，可解得：
解：原不等式变形为 cos2 x 1 acos x a2 0 对任意的 x R 恒成立。运用换元法，令t=cosx,则
g1 0
可得到
gt t2 1 at a2
0
对任意的
t 1,1 恒成立。只需要
g1 0
即可，又因为a为负数，
所以 a 2
6,(2003年)若
x
5 12
,
3
，则
2
所以
AA1 cos
A 2
2sin B
A cos 2
A 2
sin
B
sinA
B
sin
B
sin C
同理 BB1 sin A sin C,CC1 sin A sin B ，所以原式=2
11,(2005年 )方程 sin
x2 2 sin
3 cos
y2 2 cos
3 1 表示的曲线是（
y
tan
x
2 3
tan x cos x 6 6
的最大值是（
C
）
A 12 2
5
B
11 2 6
C 11 3
6
D 12 3
5
解：
y
tan x 2 tan x 3
cost sin t cost sin t cost
2022历年全国高中数学联赛《三角函数》专题真题汇编
历年全国高中数学联赛《三角函数》专题真题汇编 1、设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos 3α,则3α的取值范围是( D )（A ）(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π)Y(2k π+ ,2k +),k Z2、在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ D ）． Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜3、若x ∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x +2π3)－tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是（ ） (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253 【答案】C【解析】令x +π6=u ，则x +2π3=u +π2，当x ∈[－5π12，－π3]时，u ∈[－π4，－π6]， y=－(cot u +tan u )+cos u=－2sin2u +cos u ．在u ∈[－π4，－π6]时，sin2u 与cos u 都单调递增，从而y 单调递增．于是u=－π6时，y 取得最大值1163，故选C ．4、设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cot θ=0有重根，则θ的弧度数为( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π12【答案】B【解析】由方程有重根，故14∆=4cos 2θ－cot θ=0，∵ 0<θ<π2，⇒2sin2θ=1，⇒θ=π12或5π12．选B ．5、设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则a cb cos 的值等于（ C ）A. 21-B. 21C. −1D. 1 6、arcsin(sin2000︒)=__________.【答案】-20°【解析】sin 2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20°故a rcsin(sin2000°)= a rcsin(-sin20°)= -a rcs in(sin20°)= -20°7、使不等式sin 2x+acosx+a 2≥1+cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是 。
2014年高考数学三角函数、解三角形汇编
2014年高考数学三角函数、解三角形1．已知函数2()2sin ()234f x x x π=--，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， (1)求()f x 的最大值和最小值;(2)若方程()f x m =仅有一解,求实数m 的取值范围.2．已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π． (1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在[8π，38π]上的最大值和最小值．3．已知函数2()2cos sin(2)1f x x x π=-+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值.4．已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.5．已知向量()1cos ,1,(1,)a x b a x ωω=+= （ω为常数且0ω>），函数x f ⋅=)(在R 上的最大值为2．（1）求实数a 的值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，求ω取最大值时的单调增区间．6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos 3cos C a c B b-=. (1)求sin B ;(2)若b a c ==，求ABC ∆的面积.7．设函数()f x a b =⋅，其中向量(sin 21,sin 2,6a x b x x R π⎛⎫⎛⎫==--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 。
（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合。
（2）将函数()f x 图像沿x 轴向右平移，则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数()g x 的图像关于y 轴对称。
8．已知函数22())2sin ()312f x x x ππ-+-，钝角ABC ∆（角,,A B C 对边为,,a b c ）的角B 满足()1f B =.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若3,b c ==,B a .9．设函数f (x )＝sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin 3x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭ωx (其中ω＞0)，且函数f (x )的图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．10．已知函数f (x )＝tan 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求f 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)设α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若f 34απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2，求cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．11．已知函数()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2．（Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域；（Ⅱ）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，()()sin 44f A f B A B ππ-+-=，角,A B 所对的边分别是,a b ，求b a 11+的值．12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积S 满足c o s 2S b c A =. （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x,用x 表示c 并求的取值范围.13．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知cos -2cos 2-cos A C c a B b = . （1）求sin sin C A 的值； （2） 若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c o s c o s c o s a C b C c B c A -=-，且C ＝120°．（1）求角A ；（2）若a ＝2，求c ．15．已知函数2()1cos 22sin (),6f x x x x R π=+--∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和对称中心；（Ⅱ）若将()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后所得到的图像关于y 轴对称，求实数m 的最小值.16．（本小题满分12分）设()sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）求()f x 最大值及相应x 值；（Ⅱ）锐角ABC △中，满足()1f A =．求()sin 2B C +取值范围．17．在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++(1)求角A 值；(2)求C B cos sin 3-的最大值.18．已知：ABC c b a ∆分别是锐角,,三个内角A ，B ，C 所对的边，向量)sin ,cos 2(),sin 32,(sin A A b A A a ==，设b a A f ⋅=)(（1）若32)(=A f ，求角A ；（2）在（1）的条件下，若2,tan 2tan tan ==+a Aa C c Bb ，求三角形ABC 的面积．19．在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =- （1）求B cos ；（2）若4BC BA ⋅= ，b =a ，c 的值.20．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列．（1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的范围．21．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，且)c o s c o s c B b C-=. （1）求角B 的大小；（2）设向量8(cos 21,cos ),(1,)5A A +-m =n =，且⊥m n ，求tan()4A π+的值参考答案1．(1) m ()2ax f x =，min ()4f x =-(2)({}2,34⎤-⋃-⎦【解析】试题分析：(1)先用余弦的二倍角公式将其降幂，再用诱导公式及化一公式将其化简为()()sin f x A x k ωϕ=++或()()cos f x A x k ωϕ=++的形式，再根据正弦或余弦的最值情况求其最值。
(含答案)三角函数2014(理)全国各地试题 (1)
三角函数高考题1. （2014全国大纲，17，10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .2. （2014北京，15，13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长3. （2014山东，16，12分） 已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==，函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图像过点12π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （I ）求,m n 的值；（II ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若 ()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.4. （2014江苏，15，14分） 已知),2(ππα∈,55sin =α. (1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值. 5. （2014浙江，18，14分）在∆ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a b ≠，c =22cos cos cos cos .A B A A B B -- (I) 求角C 的大小；(II) 若4sin ,5A =求∆ABC 的面积。
6. （2014福建，16，13分） 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.7. （2014安徽，16，12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B === （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求sin()4A π+的值。
高中数学联赛真题三角函数与解三角形A辑
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题05三角函数与解三角形A 辑历年联赛真题汇编1．【2008高中数学联赛（第01试）】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，则sinAcotC+cosA sinBcotC+cosB的取值范围是( )A ．(0,+∞)B ．(0,√5+12) C ．(√5−12,√5+12) D ．(√5−12,+∞)2．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f (x )=3sinx +2cosx +1.若实数a ，b ，c 使得af (x )+bf (x －c )=1对任意实数x 恒成立，则bcosc a的值等于( )A ．−12B ．12C ．−1D ．13．【2006高中数学联赛（第01试）】已知△ABC ，若对任意t ∈R ，|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −tBC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≥|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则△ABC 一定为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．答案不确定4．【2005高中数学联赛（第01试）】△ABC 内接于单位圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于A1，B 1，C 1.则AA 1⋅cos A 2+BB 1⋅cos B 2+CC 1⋅cos C2sinA+sinB+sinC的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．85．【2004高中数学联赛（第01试）】设锐角使关于x 的方程x 2+4xcosθ+cotθ=0有重根，则θ的弧度数为( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π126．【2003高中数学联赛（第01试）】若x ∈[−5π12,−π3]，则y =tan (x +2π3)−tan (x +π6)+cos (x +π6)的最大值是( )A ．125√2B ．116√2C ．116√3D ．125√37．【2001高中数学联赛（第01试）】在四个函数y =sin|x|，y =cos|x|，y =|cotx |，y =lg|sinx|中以π为周期，在(0,π2)上单调递增的偶函数是( )A ．y =sin|x|B ．y =cos|x|C ．y =|cotx|D ．y =lg|sinx|8．【2001高中数学联赛（第01试）】如果满足∠ABC =60°，AC =12，BC =k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k =8√3B ．0<k ⩽12C ．k ≥12D ．0<k ≤12或k =89．【2000高中数学联赛（第01试）】设sinα>0,cosα<0，且sin α3>cos α3，则α3的取值范围是( )A ．(2kπ+π6,2kπ+π3),k ∈ZB ．(2kπ3+π6,2kπ3+π3),k ∈ZC ．(2kπ+5π6,2kπ+π),k ∈ZD ．(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k ∈Z10．【1999高中数学联赛（第01试）】已知点A (1，2)，过点(5，－2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ，C ，那么，△ABC 是( ). A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．答案不确定11．【1997高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x 2−πx,α=arcsin 13，β=arctan 54，γ=arccos (−13)，δ=arccot (−54)，则( )A．f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ)B．f(α)>f(δ)>f(β)>f(γ)C．f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ)D．f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β)12．【1996高中数学联赛（第01试）】设x∈(−12,0)，以下三个数：α1=cos(sinxπ)，α2=sin(cosxπ)，α3= cos(x+1)π的大小关系是( )A．α3<α2<α1B．α1<α3<α2C．α3<α1<α2D．α2<α3<α113．【1995高中数学联赛（第01试）】log in 1cos1,log sin1tan1,log geos 1sin1,log cos 1 tan 1的大小关系是( ) A．log sin1cos1<log cos1sin1<log sin1tan1<log cos1tan1B．log cos1sin1<log cos1tan1<log sin1cos1<log sin1tan1C．log sin1tan1<log cos1tan1<log cos1sin1<log sin1cos1D．log cos1tan1<log sin1tan1<log sin1cos1<log cos1sin114．【1994高中数学联赛（第01试）】设a，b，c是实数.那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是( )A．a，b同时为0，且c>0B．√a2+b2=cC．√a2+b2<c D．√a2+b2>c15．【1994高中数学联赛（第01试）】已知0<b<1，0<a<π4，则下列三数：x=(sina)log b sina，y=(cosa)log b cosa,z=(sina)log b cosa的大小关系是( )A．x<z<y B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z16．【1993高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边边长分别是a，b，c，若c－a等于AC边上的高h，则sin C−A2+cos C+A2的值是( )A．1B．12C．13D．−117．【1992高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c(b≠1)，且CA ,sinB sinA都是方程log√bx=log b(4x−4)的根，则△ABC( ). A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形18．【1990高中数学联赛（第01试）】设a∈(π4,π2)，则(cosa)cosa，(sina)cosa,(cosa)sina的大小顺序是( )A．(cosα)cosα<(sinα)cosα<(cosα)sinαB．(cosα)cosα<(cosα)sinα<(sinα)cosαC．(sinα)cosα<(cosα)cosα<(cosα)sinαD．(cosα)sinα<(cosα)cosα<(sinα)cosα19．【1989高中数学联赛（第01试）】若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数z=cosB−sinA+i(sinB −cosA)在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限20．【1989高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=arctanx+12arcsinx的值域是( ).A．(−π,π)B．[−3π4,3π4]C．(−3π4,3π4)D．[−π2,π2]21．【1987高中数学联赛（第01试）】边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( )A．10√2B．14C．5√6D．1222．【1987高中数学联赛（第01试）】如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A，C在圆周上，∠ABC=2a(0<a<π3).现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心，使B落在圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上，如此旋转直到第100次.那么，点A所走路程的总长度为( )A．22π(1+sina)−66a B．22π+683πsina−66aC．673πD．33π−66a23．【1986高中数学联赛（第01试）】设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为( )A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π−θ,n∈Z}B．{x|2nπ−θ<x<(2n+1)π−θ,n∈Z}C．{x|(2n−1)π+θ<x<2nπ−θ,n∈Z}D．{x|(2n−1)π−θ<x<2nπ+θ,n∈Z}24．【1985高中数学联赛（第01试）】已知方程arccos45−arccos(−45)=arcsinx，则( )A．x=2425B．x=−2425C．x=0D．这样的x不存在25．【1984高中数学联赛（第01试）】若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是( )A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动26．【1983高中数学联赛（第01试）】已知等腰△ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么sinA和cosA中( )A．一个是有理数，另一个是无理数B．两个都是有理数C．两个都是无理数D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定27．【1983高中数学联赛（第01试）】任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l，R与r，那么( )A．l>R+r B．l⩽R+r<R+r<6l D．A，B，C三种关系都不对C．16)都有( )28．【1982高中数学联赛（第01试）】对任何φ∈(0,π2A．sinsinφ<cosφ<coscosφB．sinsinφ>cosφ>coscosφC．sincosφ>cosφ>cossinφD．sincosφ<cosφ<cossinφ29．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等.条件乙:两个三角形全等( )A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件30．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:√1+sinθ=a.条件乙:sinθ2+cosθ2=aA．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件31．【1981高中数学联赛（第01试）】设α≠kπ2(k=0,±1,±2,⋯),T=sinα+tanαcosα+cotαA．T取负值B．T取非负值C．T取正值D．T取值可正可负优质模拟题强化训练1．△ABC的三边长分别为AB=a，BC=b，CA=c．若{c=√a2−2+√b2−2a=√b2−3+√c2−3b=√c2−4+√a2−4，则→AB⋅→BC，→BC⋅→CA，→CA⋅→AB中小于0的个数为（）．A．3B．2C．1D．02．arccos13+12arccos79=（）.A．3π8B．2π3C．π2D．arcsin893．设f(x)=cos(ωx)的最小正周期为6，则f(1)+f(2)+⋯+f(2018)的值是（）.A．0B．1C．12D．√324．函数y=(sinx−1)(cosx−1)2+sin2x(x∈R)的最大值为（）.A．√22B．1C．12+√22D．√25．设曲线f(x)=acosx+bsinx的一条对称轴为x=π5。
2014-2017全国高中数学联赛各地预赛数列试题精选
(1+ 1) a na n 1 10 1 2 ∑ 1 2014 年——2017 年全国高中数学联赛各省预赛中数列试题集萃（ 2017 天津） 2. 已知等差数列{a n } 的公差不为零， 且 a 2 , a 3 , a 9 构成等比数列， 则a 4 + a 5 + a 6a 2 + a 3 + a 4= .（2017 天津）8.已知数列{a n }是首项为 1，公比为 2 的等比数列，{b n }是首项为 2，公差为5 的等差数列. 同时出现在这两个数列中的数从小到大顺序排列成数列{x n } ，则x 100 = .（2017 天津）14.如果整数n ≥ 2 ，证明： (1+ 22 )(1+ 23 ) < 2 . （2017 河北）6.设(x +1)2017 = a x 2017 + a x 2016 +a x 2015 +值为.+ a 2017505，则 a 4k -3 的 k =1（2017 河北）9.前n 项和为S 的正项数列{a }满足： a 2 + 2a = 4S+ 3(n ∈ N *) .nnnnn（I ）求数列{a n }的通项公式.（II ）求证： (1+ )(1+ 1)(1+1) < . a 1 a 2a 3 2 （2017 山西）4.将全体正整数从小到大排列，然后取第一个数为a 1 ，取后续两数和为a 2 ， 再 取 后 续 三 数 和 为 a 3， 以 此 类 推 ， 得 到 数 列{a n }1 a =: 2 a =1 , + 32a = 3 +,+4 a 4 5……。
则数列{a n } 的前 20 项和S 20 = .（2017 辽宁）3.数列{a } 满足： a = 134,a= 150,a= a - k(k = 1, 2,n - 1)，若na n = 0 ，则n 为.1k +1k -1k（2017 辽宁）14.如果对于任意的非负整数n ， cos(2n α ) <- 1都成立，求实数α .3（ 2017 福建） 3 ． 已知{a } 为等比数列，且 aa = 1 ，若 f (x ) = 2，则n 1 2 0 1 71+ x 2f ( a 1 )+ f ( a 2 )+ f ( a 3 )+ + f ( a 2 0 1 7 )。
2014——2017年全国高中数学联赛三角函数试题集萃
2014——2017全国高中数学联赛各地预赛中的三角函数试题集萃（2017天津）12.设ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若BC 的中点为,M 证明：cot 2cot cot BAM A B ∠=+.（2017河北）3.函数2()sin()2cos 1468x x f x πππ=--+的图像与函数()y g x =的图像关于直线1x =对称.当4[0,3x ∈时，()g x 的最大值为____________.（2017河北）10. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ln tan ln tan 2ln tan A C B +=.求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；（II ）当B 最小时，若ABC ∆，求,,a b c 的值. （2017山西）2.函数sin 23sin cos 2x y x x -=+-的值域为_____________.（2017山西） 6.若三个角,,x y z 构成等差数列，公差为3π，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=_____.（2017辽宁）1.ABC ∆的三个内角为,,A B C ，若222sin sin sin 2A B C ++=，则cos cos 2cos A B C ++的最大值为____________.（2017辽宁）6.设()f x 是定义在R 上的函数，满足2231|()cos |,|()sin |,44f x x f x x +≤-≤则函数()f x 的解析式为____________.（2017辽宁）14.如果对于任意的非负整数n ，1cos(2)3nα<-都成立，求实数α. （2017山东）7.函数()2)f x x π=≤≤的值域为___________.（2017福建）7．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且sin cos(2cos )sin 22A A C C =-，3cos 5A =，4a =，则ABC △的面积为 。
高中数学三角函数各地历年高考真题汇编（附答案）
高中数学三角函数各地历年高考真题汇编（附答案）三角函数历年高考题汇编一.选择题1、（2009）函数22cos 14y x π?=-- ??是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（）4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. 22cos y x =B. 22sin y x =C.)42sin(1π++=x y D.cos 2y x =5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为A ．2πB ．32π C ．π D ．2π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为A.6π B.4π C. 3π D. 2π7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（） A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，328.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ??=- 在区间ππ2??-，的简图是（）二.填空题1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π=。
2.（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω ＝三.解答题1、（2008）已知函数()sin()(0,0),f x A x a x R ??π=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。
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sin x -13 - 2 cos x - 2sin x2014——2017 全国高中数学联赛各地预赛中的三角函数试题集萃（ 2017 天津） 12. 设 ∆ABC 的三个内角分别为 A , B , C ， 若 BC 的中点为 M , 证明：cot ∠BAM = 2 cot A + cot B . （2017 河北）3.函数 f (x ) = sin(x - ) - 2 c os 2 x+1的图像与函数 y = g (x ) 的图像关 4 6 84于直线 x = 1 对称.当 x ∈[0, ] 时， g (x ) 的最大值为.3（ 2017 河 北 ） 10. 在 ∆ABC 中 ， 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c ，ln tan A + ln tan C = 2 ln tan B .求证： tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ；（II ）当 B 最小时，若∆ABC 面积的最大值为 sin 2x - 3，求 a , b , c 的值.（2017 山西）2.函数 y =sin x + cos x - 2的值域为 .（ 2017 山 西 ） 6. 若 三 个 角 x , y , z 构 成 等 差 数 列 ， 公 差 为， 则3tan x tan y + tan y tan z + tan z tan x = .（ 2017 辽宁） 1. ∆ABC 的三个内角为 A , B , C ， 若 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 ， 则cos A + cos B + 2 cos C 的最大值为.（2017 辽宁）6.设 f (x ) 是定义在 R 上的函数，满足| f (x ) + cos 2 x |≤ 3 ,| f ( x ) - sin 2 x |≤ 1,44则函数 f (x ) 的解析式为.（2017 辽宁）14.如果对于任意的非负整数n ， cos(2n) < - 1都成立，求实数.3（2017 山东）7.函数 f (x ) =(0 ≤ x ≤ 2) 的值域为.（2017 福建）7．在△ABC 中，内角 A 、 B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c ，且sin C cos A = (2 - cos C ) s in A 2 2 为 。
， cos A = 35， a = 4 ， 则 △ABC 的 面 积（2017 江西）2.若sin x + cos x =2 ，则sin3 x + cos 3 x =.2（ 2017 河 南 ） 2. 已 知 函 数 f (x ) = x 5 + a sin 3 x + b sin x cos x + cx + 4 ， 且 满 足f (-2017) = 2, 则 f (2017) = .36 2a 3⎧x + y = 1 ⎪sin 2 20︒ + 2018 sin 2 20︒ - 2017（ 2017 河 南 ） 7. 若 实 数 x , y 满 足 ⎨ x y ， 则x + y = .cos 3 ⎪ + = 1 ⎪⎩sin 2 70︒ + 2018 sin 2 70︒ - 20171sin 3 （2017 河南）8.已知 ∈ R ，且cos = ，则 2 sin= . （2017 河南）11.已知正实数 x , y , z 满足 x 2 + y 2 + z 2 = 4 .（1）证明存在锐角, ，使得 x = 2 s in cos , y = 2 c os cos , z = 2 s in .（2）证明： 3xy + yz + zx ≤ 2 .（2017 年湖北）11.求实数a 的取值范围，使得不等式2 sin 2 - 2 2a cos( - ) - 4 sin( + )4> -3 - a 对 ∈[0, ] 恒成立. 2（2017 湖北）13.已知函数 f (x ) =| sin x |, x ∈ R . 1（1）证明： sin1 ≤ f (x ) + f (x + 1) ≤ 2 cos .2f (n ) f (n +1)f (3n -1) sin1 （2）证明：对任意的正整数n ，有 + + + > . n n +1 3n -1 2（ 2017 四川） 2. 已知, ∈(0,) ， tan , tan 是方程 x 2 + 3x +1 = 0 的两根， 则cos( - ) 的值为.（ 2017 陕 西 ） 13. 设 ∆ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c ， 向 量m = (sin A , b + c ), n = (sin C - sin B , a - b ), 且存在实数 ，则m =n .（1）求角C 的大小； （2）若a + b = kc ，求实数k 的取值范围.（2017 甘肃）3.已知向量a = ( + 2,2 - cos 2), b = (m , 2+ s in ), 其中, m , ∈ R ，若a = 2b ，则 m的取值范围为 .（ 2017 甘肃） 8. 设复数 z 1 = -3 - 3i , z 2 = + i , z = 3 s in+ ( 3 cos + 2)i ， 则| z - z 1 | + | z - z 2 | 的最小值为.2 6 m31- sin x 4 5（2017江苏）7.若tan 4x = ， 则3sin 4x cos 8x cos 4x + in 2x cos 4x cos 2x+ sin xcos 2x cos x+ sin x = .cos 4x （ 2017安 徽 ） 7. 设∈[0, 2 ] ， 若 对 任 意 的 x ∈[0,1] ， 恒 有2x 2 sin- 4x (1- x ) c os+ 3(1- x )2 > 0 ，则 的取值范围是 .x - s in x 1（2017 安徽）10.设0 < x < ，证明： 0 < < .2 tan x - sin x 3（ 2017 浙江） 4、设 x , y ∈ R ， 且x - y =sin 2 x - cos 2 x + cos 2 x cos 2 y - sin 2 x sin 2 ysin(x + y )= 1 ， 则（2017 湖南）11．设0 ≤ x ≤ ，3sin x = 2- ，则tan x = ．（2017 湖南）13．在锐角∆ABC 中，sin A =，且a ，b ，c 为角 A ， B ，C 的对边.9（1） 求sin 2(B + C ) + sin 2B +C 的值；2（2） 若a = 4 ，试求当 AB ⋅ AC 取得最大值时， ∆ABC 的面积 S ∆ABC 的值.（2017 新疆）1.函数 f (x ) = (sin x -1)(cos x -1)(x ∈ R ) 的值域为.（2017 新疆）6.已知在∆ABC 中， tan A , (1+ 值为.2) tan B , tan C 成等差数列，则∠B 的最小 （2017 全国）2.若实数 x , y 满足 x 2 + 2 cos y = 1，则 x - cos y 的取值范围为.（2017 内蒙古）2.锐角三角形的内角 A , B 满足tan A -1= tan B , cos 2 B = 6，则sin 2 A = .sin 2A 2 3（2017 内蒙古）5.设复数 z = 3cos + (2sin)i ,则函数 y = - a rg z (0 < < 为.) 的最大值2（2017 上海）1.函数 y = lg[arcsin(2x 2 - x )] 的定义域为,值域为.（ 2017 上 海 ） 5. 设f (x ) =1+2， 则f(tan1︒) + f (tan 2︒ ) + f (tan1+ sin x3︒) + +f (tan 89︒) =x +1x2+132x 2 - x + 3 1 65cos (n （2017 上海）11.求满足2n cos 20︒ ⋅ cos 40︒ ⋅ cos (2n ⋅10︒ )= 1的所有正整数n .（2016 天津）1.函数 f (x ) =| sin 2x + cos 2x | 的最小正周期为.2（2016 天津）9.已知∆ABC 的周长为 20 ，内切圆的半径为 ， BC = 7 ,则tan A 的值为3.（2016 河北）3.若函数 f (x ) = cos 2x + a cos x 在区间( , ) 是减函数，则 a 的取值范围6 3为 .sin 3x（2016 河北）9.已知 f (sin x ) = .sin 2 x（I ） 求 f (x ) 的解析式及定义域.（I I ） 方程 f (x ) = m 有两个不等实根，求m 的取值范围.（2016 山西）6.若函数 y = 3sin x - 4 cos x 在 x 0 处取得最大值，则tan x 0 的值为.（2016 辽宁）2.若∆ABC 的内角为 A , B , C ，所对边为 a , b , c ，若 a , b , c 成等比数列，则sin A cot C + cos Asin B cot C + cos B的取值范围为 .（2016 吉林）3．设 x ∈ (-3 , ) 且cos ⎛ - x ⎫ = - 3 ，则cos 2x 的值是4 4 4 ⎪ 5（ A ） - 7 25 （ B ） - 24 25 ⎝⎭（ C ） 2425（ D ） 7 25 （ 2016 吉林） 在 ∆ABC 中， a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边， b = 1 ， 且 cos C + (2a + c ) cos B = 0 .（Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）求∆ABC 的面积的最大值．（2016 山东）3.若实数 x 满足arcsin x > arccos x , 则关系式 f (x ) = + 2 的取值范围为.（2016 山东）8. arcsin+ arcsin+ arcsin+ arcsin=.（2016 山东）12.求证不等式： sin 1 + sin 2 > 3 1 n n n n∈ N *) .（2016 福建）1．若函数 f (x ) = 3cos(x + ) - s in(x -) （> 0 ）的最小正周6 3x 2- x1 101 261 50⎥y3期为，则 f (x) 在区间⎡⎢⎣⎤，上的最大值为。
2 ⎦（2016 江西）4 、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记∠APC =, ∠BPD =，则tan2+tan2= ．（2016 江西）6 、设x 为锐角，则函数y = sin x sin 2x 的最大值是．（2016湖北高一）4.求值：c os +c os3+c os5+c os7= .9 9 9 9（2016 湖北高一）6.如果存在实数a ，使得关于x 的不等式a cos x +b cos 2x >1 无实数解，则实数b 的最大值为.（2016 四川）8.若实数, ,构成以2 为公比的等比数列，sin, s in , s in 构成等比数列，则cos= .x s in +y c os（2016 陕西）13.设x, y 均为非零实数，且满足 5 5x c os-y s in5 59= tan .20y（I）求x的值；（II）在∆ABC中，若tan C=，求sin2A+2cos B的最大值.x（2016 甘肃）3. 已知函数 f (x) =sin x +cos x(>0)(x ∈R) . 若函数 f (x) 在区间(-,) 上单调递增，且函数y =f (x) 的图像关于直线x =对称.则= .（2016 甘肃）11. 在非等腰∆ABC 中，∠A, ∠B, ∠C 的对边分别为a, b, c ，且满足(2c -b) cos C = (2b -c) cos B .（1）求∠A的大小；（2）若a=4，求∆ABC面积的取值范围.（2016 黑龙江）3.设函数f (x) =M sin(x +)(M ≠ 0,> 0, -<<2 2) 的图像关于直2线x =对称，其周期为，则下列说法中正确的序号为（）31 2①f (x) 的图像过点(0, ) ；②f (x) 在区间[ , ] 内为减函数；③f (x) 的一个对称中心2 12 35为( , 0) ；④f (x) 的最大值为M .12（2016 黑龙江）13. 在∆ABC 中 ， ∠A, ∠B, ∠C 所对边依次为a, b, c . 设f (x) =m ⋅n, m = (2 cos x,1), n = (cos x, 3 sin 2x) ，f ( A) = 2, b=1, S∆ABC=2，则3 4 33⎝ ⎭⎩b +c =sin B + sin C.∠ABC（2016 黑龙江）20.如图，在∆ABC 中， sin 且 AD = 2DC ，BD =.求（1） BC 的长；（2） ∆DBC 的面积.= ， AB = 2, 点 D 在线段 AC 上， 2 31 135 ⎛⎫ （2016 江苏）11、已知+ sin cos = 12,∈ 0, 2 ⎪ , 求 tan。