高三第一轮复习15----平面向量训练题

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高考理科数学一轮复习专题训练：平面向量(含详细答案解析)

第6单元平面向量（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，若∥a b ，则实数m 的值为（） A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】C【解析】由题意，向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，因为∥a b ，则231m =，即32m =，解得23m =．故选C ． 2．已知向量(2,1)=a ，(,1)m =-b ，且()⊥-a a b ，则m 的值为（） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B【解析】因为(2,1)=a ，(,1)m =-b ，所以(2,2)m -=-a b ，因为()⊥-a a b ，则()2(2)20m ⋅-=-+=a a b ，解得3m =，所以答案选B ．3．已知向量a ，b 满足||1=a ，=b ，a 与b 的夹角为2π3，则2-a b 为（）A ．21BCD 【答案】B【解析】||2Q b =，2π1||||cos 12132a b a b 骣琪?=创-=-琪桫，|2|a b \-=，故选B ．4．已知向量a ，b 满足||1=a ，⊥a b ，则向量2-a b 在向量a 方向上的投影为（） A ．0 B ．1C ．2D ．1-【答案】B【解析】根据向量的投影公式可知，向量2-a b 在向量a 方向上的投影为2(2)()1||||-⋅==a b a a a a ，故选B ． 5．设a ，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数λ，使得λ=a b ，说明向量a ，b 共线，当a ，b 同向时，+=+a b a b 成立，当a ，b 反向时，+=+a b a b 不成立，所以充分性不成立．当+=+a b a b 成立时，有a ，b 同向，存在实数λ，使得λ=a b 成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的必要而不充分条件．故选B ．6．已知非零向量a ，b ，若(3)0⋅+=a a b ，2=a b ，则向量a 和b 夹角的余弦值为（） A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】B【解析】设向量a 与向量b 的夹角为θ，||2||=Q a b ，∴由(3)0⋅+=a a b ，可得2222()33cos 46cos 0θθ+⋅=+⋅=+=a a b a a b b b ，化简即可得到2cos 3θ=-，故答案选B ． 7．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r【答案】D【解析】根据题意得1()2AF AC AE =+u u u r u u u r u u u r，又AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，12AE AB =u u ur u u u r ，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，故选D ．8．设D 为所在平面内一点，1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，若，则（）A ．2B ．3C ．D ．【答案】D 【解析】因为D 为所在平面内一点，由1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，可得34AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r ，即44AD AC AD AB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r，则4CD BD =u u u r u u u r ，即4BD DC =-u u u r u u u r ，可得3BD DC DC +=-u u u r u u u r u u u r ，故3BC DC =-u u u r u u u r，则，故选D ．9．在四边形中，2AB =+u u u r a b ，43BC =--u u u r a b ，55CD =--u u u ra b ，那么四边形的形状是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对【答案】C【解析】86AD AB BC CD =++=--u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，2AD BC ∴=u u u r u u u r，AD BC ∴∥，AB CD ∥，四边形是梯形，答案选C ．10．在中，为的重心，为上一点，且满足3MC AM =u u u u r u u u u r ，则（）A ．11312GM AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．11312GM AB AC =--u u u u r u u ur u u u r C ．17312GM AB AC =-+u u u u r u u ur u u u r D ．17312GM AB AC =-u u u u r u u u r u u u r【答案】B【解析】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得GM GA AM=+u u u u r u u u r u u u u r，因为G为△ABC的重心，M满足3MC AM=u u u u r u u u u r，所以()()211323AG AB AC AB AC=⨯+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，14AM AC=u u u u r u u u r，所以11111334312GM AB AC AC AB AC⎛⎫=-++=--⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以选B．11．如图所示，设为所在平面内的一点，并且1142AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r，则与的面积之比等于（）A．25B．35C．34D．14【答案】D【解析】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，所以()1CP mCA nCD m n=++=u u u r u u u r u u u r，设CD kCB=u u u r u u u r，代入可得CP mCA nkCB=+u u u r u u u r u u u r，即()()1AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB-=-+-⇒=--+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u v，又因为1142AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r，即14nk=，112m nk--=，且，解得1344m n==，，所以1344CP CA CD=+u u u r u u u r u u u r，可得4AD PD=u u u r u u u r，因为与有相同的底边，所以面积之比就等于DPu u u r与ADu u u r之比，所以与的面积之比为14．故选D ． 12．已知向量a ，b 满足4=a ，b 在a 上投影为，则3-a b 的最小值为（） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】b 在a 上投影为，即cos ,2=-b a b ，0>Q b ，cos ,0∴<a b ，又[)cos ,1,0∈-a b ，min 2∴=b ，2222223696cos ,9964-=-⋅+=-+=+a b a a b b a a b a b b b ，min 3946410∴-=⨯+=a b ，本题正确选项B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量(1,2)x =+a 和向量(1,2)=-b 垂直，则-=a b _______．【答案】5【解析】Q 向量()1,2x =+a 和向量()1,2=-b 垂直，140x ∴⋅=+-=a b ，解得3x =，()3,4∴-=a b ，9165∴-=+=a b ，本题正确结果5．14．已知向量()2,3=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =________．【答案】9【解析】因为⊥a b ，所以(2,3)(,6)2180m m ⋅=⋅-=-=a b ，解得m =9，故填9．15．已知向量3)=a ，向量b 为单位向量，且1⋅=a b ，则2-b a 与2b 夹角为__________．【答案】60︒【解析】很明显132=+=a ，设向量,a b 的夹角为θ，则21cos 1θ⋅=⨯⨯=a b ，1cos 2θ∴=，π3θ=，据此有()()22224242-⋅=-⋅=-=b a b b a b ，且22==-=b a ，22=b ，向量2-b a 与2b 的夹角为β，则21cos 222β==⨯，60β=︒，综上可得：2-b a 与2b 夹角为60︒．16．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r，则OP u u u r＝_____．【答案】12x x【解析】因为PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r，所以P 为ABC △的重心，故P 的坐标为123123,33++++⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,2，故OP =u u u r ．填12x x ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ．（1）求3-a b 的值；（2）若()λ⊥+a a b ，求λ的值．【答案】（1）3-=a b ；（2）1λ=-．【解析】（1）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则3(6,2)-=a b ，则3-==a b ．（2）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则(13,24)λλλ+=-+a b ，若()λ⊥+a a b ，则()1(13)2(24)550λλλλ⋅+=⨯-+⨯+=+=a a b ，解得1λ=-．18．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =u u u r u u u r ，设AB =u u u r a ，AD =u u u rb ．（1）用向量,a b 表示向量AM u u u u r ，AN u u u r ，MN u u u u r；（2）若2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为π3，求AM MN ⋅u u u u r u u u u r 的值．【答案】（1）见解析；（2）92-．【解析】（1）因为在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =u u u r u u u r，又AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，故1122AM AD DM AD AB ===+++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r a b ，1133AN AB BN AB AD ===+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，11123223MN AN AM ⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭=⎝=⎭u u u u r u u u r u u u u r a b a a b b ．（2）2211212192234362AM MN ⎛⎫⎛⎫+⋅-=-⋅=- ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝=⎭+u u u u r u u u u r a b a a b a b b ，故答案为92-． 19．（12分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）若，求的值；（2）设点为单位圆上的一个动点，点满足OQ OA OP =+u u u r u u u r u u u r．若，π6π2θ≤≤，表示OQ u u u r ，并求OQ u u u r的最大值．【答案】（1）15；（2）．【解析】（1）点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．可得4sin 5α=，3cos 5α=-，∴341cos sin 555αα+=-+=．（2）因为，，所以()1cos2,sin 2OQ OA OP θθ=+=+u u u r u u u r u u u r，所以()221cos 2sin 222cos 22cos OQ θθθθ=++=+=u u u r ，因为π6π2θ≤≤，所以2cos 0,3OQ θ⎡⎤=∈⎣⎦u u u r ，OQ u u u r的最大值．20．（12分）设向量()()()11,cos22,14sin 1sin,12θθ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，，，，a b c d ，其中4π0,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求⋅-⋅a b c d 的取值范围；（2）若函数，比较()f ⋅a b 与()f ⋅c d 的大小．【答案】（1）；（2）()()f f ⋅>⋅a b c d ．【解析】（1）∵2cos2θ⋅=+a b ，22sin 12cos2θθ⋅=+=-c d ，∴2cos2θ⋅-⋅=a b c d ， ∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()0,2⋅-⋅的取值范围是a b c d ．（2）∵()22cos211cos22cos f θθθ⋅=+-=+=a b ，()22cos211cos22sin f θθθ⋅=--=-=c d ， ∴()()()222cos sin 2cos2f f θθθ⋅-⋅=-=a b c d ， ∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()()f f ⋅>⋅a b c d ． 21．（12分）在中，三内角的对边分别为，已知向量()2sin ,cos2x x =m ，()3cos ,1x =n ，函数()f x =⋅m n 且．（1）求角的值；（2）若23BA BC +=u ur u uu u r 且成等差数列，求．【答案】（1）π3B =；（2）2．【解析】（1）()23sin cos cos23sin2cos2f x x x x x x =⋅=+=+m n ，整理得()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∵，∴12sin 21si 62ππn 26B B ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵，∴π3B =．（2）由成等差数列，得，由余弦定理得，由23BA BC +=u ur u uu u r ，得，三个等式联立解得．22．（12分）如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记AB =u u u ra ，AD =u u u rb ，试以,a b 为平面向量的一组基底．利用向量的有关知识解决下列问题．（1）用,a b 来表示向量DE u u u r ，BF uuu r；（2）若，且3BF =u u u r，求．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵在中，2DF FC =u u u r u u u r，∴111222DE DC CE AB CB AB AD =+=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v a b ，111333BF BC CF AD CD AD AB =+=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b a ．（2）由（1）可知：13BF AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，12DE AB AD =-u u u r u u u r u u u r，∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∵且，∴(222213223cos 339BAD ∠=-⨯⨯⨯+⨯，∴1cos 2BAD ∠=，∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=，∴7DE =u u u r第6单元平面向量第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量(1,2)=-a ，(2,1)x =-b ，若∥a b ，则x =（） A ．12B ．14C ．4D ．2【答案】B【解析】因为向量(1,2)=-a ，(2,1)x =-b ，若∥a b ，则1(1)220x -⨯--⨯=，解得14x =，故选B ． 2．已知向量(5,)m =a ，(2,2)=-b ，若()-⊥a b b ，则m =（） A ．1- B ．1C ．2D ．2-【答案】B【解析】因为(5,)m =a ，(2,2)=-b ，所以(3,2)m -=+a b ，又()-⊥a b b ，所以()0-⋅=a b b ，即322(2)0m ⨯-+=，解得1m =．故选B ．3．平面向量a 与b 的夹角为60︒，||2||1==a b ，则|2|+=a b （）A B ．12C ．4D ．【答案】D【解析】由题意可得|2|+==a b===D ． 4．设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则（） A ．⊥a b B ．=a bC ．∥a bD ．>a b【答案】A【解析】由题意知：22+=-a b a b ，即222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，整理得0⋅=a b ，∴⊥a b ，本题正确选项A ．5．已知6=a ，3=b ，12⋅=-a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（） A ．4 B ．4-C ．2-D ．2【答案】B【解析】由题意得：122cos ,633⋅-<>===-⋅⨯a b a b a b ，向量a 在b 方向上的投影为2cos ,643⎛⎫<>=⨯-=- ⎪⎝⎭a ab ，本题正确选项B ．6．向量(2,)t =a ，(1,3)=-b ，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（） A ．23t <B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-【答案】C【解析】若a ，b 的夹角为钝角，则0⋅<a b 且不反向共线，230t ⋅=-+<a b ，得23t <．向量(2,)t =a ，(1,3)=-b 共线时，23t ⨯=-，得6t =-．此时2=-a b ．所以23t <且6t ≠-．故选C ． 7．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是线段BD 上靠近D 的三等分点，F 是线段BD 的中点，则AF CE ⋅=u u u r u u u r（）A ．4-B ．3-C ．6-D ．2-【答案】D【解析】因为1122AF AD AB =+u u u r u u u r u u u r，11213333CE CD DE AB AD AB AB AD =+=--+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以221121111()()422233632AF CE AD AB AB AD AD AB ⋅=+⋅--=--=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选D ． 8．已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足PA PC +=0u u u r u u u r ，2QA BQ =u u u r u u u r，则的面积为（） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【解析】由题意PA PC +=0u u u r u u u r 可知，P 为AC 的中点，2QA BQ =u u u r u u u r，可知Q 为AB 的一个三等分点，如图：因为1sin 22ABC S AB AC A =⋅=△，所以11122sin sin 22233APQ S AP AQ A AB AC A =⋅=⨯⋅=△．故选B ． 9．已知中，为的重心，则AG GC ⋅=u u u r u u u r（）A ．6718 B ．6718-C ．269D ．269-【答案】A 【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，且()13AG AC AB =+u u u r u u u r u u u r ，()13GC AC BC =+u u u r u u u r u u u r，所以()()19AG GC AC AB AC BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2221199AC AC AB AC BC AB BC AC AC AB BC =+⋅+⋅+⋅=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ()221674432cos 918B ⎡⎤=++⨯⨯-=⎣⎦． 10．已知向量()cos 2,sin θθ=-a ，其中，则a 的最小值为（） A ．1 B ．2C ．D ．3【答案】A【解析】因为()cos 2,sin θθ=-a ，所以()22cos 2sin 14cos 454cos θθθθ=-+=-+=-a ，因为，所以，故a 的最小值为．故选A ．11．已知平面向量OA u u u r ，OB uuu r 满足1OA OB ==u u u r u u u r，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，且12OD DA =u u u r u u u r ，为的外心，则ED OB ⋅=u u u r u u u r（） A ．12-B ．16-C ．16D ．12【答案】A【解析】0OA OB OA OB ⋅=⇒⊥u u u r u u u r u u u r u u u r，又1OA OB ==u u u r u u u r，OAB ∴△为等腰直角三角形，为的外心，为中点，1222OE AB ∴==u u u r u u u r 且，12OD DA =Q u u u r u u u r ，13OD OA ∴=u u u r u u u r，()1221cos 32ED OB OD OE OB OA OB OE OB OE OB BOE ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-∠=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u u u r ．本题正确选项A ． 12．在中，，2BA BC BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，点是所在平面内的一点，则当222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 取得最小值时，AP BC ⋅=u u u r u u u r（）A ．35B ．C ．D ．25-【答案】B【解析】2|cos |BA BC BA BC B BA ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，cos BC B BA ∴⋅=u u u r u u u r，CA AB ∴⊥u u u r u u u r ，π2CAB ∠=，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则()()22222222263PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-u u u r u u u r u u u r，所以当x =2，y =1时222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 取最小值，此时()()2,16,39AP BC ⋅=⋅-=-u u u r u u u r．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为45︒，则a 在b 方向上的投影为_____． 2【解析】由向量数量积的几何意义可得，a 在b 方向上的投影为cos ,2cos452=︒=a a b 2．14．已知两个单位向量a ，b ，满足3-=a b ，则a 与b 的夹角为_______．【答案】2π3【解析】由题意知：1==a b ，3∴-=a b ，()222222cos ,3∴-=-⋅+=-<>=a b a a b b a b ，1cos ,2∴<>=-a b ，2π,3∴<>=a b ，本题正确结果2π3．15．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在直线CD 上，若2AB AF ⋅=u u u r u u u r，则AE BF =⋅u u u r u u u r______．【答案】2【解析】在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，可以以AB uuu r ，AD u u u r的方向为,x y 轴的正方向的直角坐标系，如下图所示：所以(0,0)A ，2,0)B ，2,2)C ，(0,2)D ，点E 为BC 的中点，故(2,1)E ，设(,2)F x ，2,(2,0)(,2)21AB AF x x ⋅=⇒⋅==u u u r u u u r， (1,2)F ∴，2,1)(12,2)2(12)+12AE BF ⨯⋅=⋅=u u u r u u u r16．在平行四边形ABCD 中，已知1AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r，则AE AF ⋅=u u u r u u u r__________．【答案】52【解析】由题意，如图所示，设AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，则1=a ，2=b ，又由CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点，则12AE =+u u u r b a ，221()333AF =+-=+u u u r b a b a b ，所以22121151233363AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r a b a b a a b b221515112cos6023632=⨯+⨯⨯︒+⨯=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设,t k ∈R ，已知(1,2)=a ，(2,1)=-b ，(2)t =++m a b ，k t =+n a b ．（1）若1t =，且∥m n ，求k 的值；（2）若5⋅=m n ，求证：2k ≤．【答案】（1）13k =；（2）见证明．【解析】（1）当12yx t =+时，3(5,5)=+=-m a b ，(2,21)k k k =+=-+n a b ， ∵∥m n ，∴5(2)5(21)k k -=-+，解得13k =．（2）[](2)()t k t ⋅=++⋅+m n a b a b 22(2)(2)k t k t t t =+⋅++⋅++a a b a b b 55(2)k t t =++，∵5⋅=m n ，∴55(2)5k t t ++=，∴2221(1)22k t t t =--+=-++≤． 18．（12分）如图，已知正三角形的边长为1，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ．（1）若是的中点，用,a b 分别表示向量CB u u u r ，CD uuu r；（2）求2+a b ；（3）求2+a b 与32-+a b 的夹角．【答案】（1）CB =-u u u ra b ，12CD =-u u u r a b ；（2）；（3）120︒．【解析】（1）CB AB AC =-=-u u u r u u u r u u u ra b ，1122CD AD AC AB AC =-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b ．（2）由题意知，1==a b ，且,60〈〉=︒a b ，则2222224444cos ,4217+=+⋅+=+〈〉+=++=a b a a b b a a b a b b ，所以2=7+a b ．（3）与（2）解法相同，可得32=7-+a b ，设2+a b 与32-+a b 的夹角为，则()()2272326212cos 232232277θ-+⋅-+-+⋅+====-+-++-+⨯a b a b a a b b a b a b a b a b ，因为，所以2+a b 与32-+a b 的夹角为120︒．19．（12分）设是单位圆和轴正半轴的交点，是圆上两点，为坐标原点，π4AOP ∠=，，2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）当π6x =时，求OP OQ ⋅u u u r u u u r 的值；（2）设函数()sin2f x OP OQ x =⋅+u u u r u u u r，求的值域．【答案】（1）624+；（2）2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）由题意得：62cos ,cos cos cos sin sin 464πππ646π4ππOP OQ +⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，62cos ,4OP OQ OP OQ OP OQ +∴⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（2）()22sin2co πs sin2cos sin 2sin cos 422f x OP OQ x x x x x x x =⋅+=-+=++u u u r u u u r ，设sin cos 2sin π4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则，又2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3π,44ππ4x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1,2t ⎡⎤∴∈⎣⎦，()2212f t t t ∴=+-，，当时，()()min 212f t f ==；当时，，的值域为2,22⎤⎥⎣⎦． 20．（12分）已知向量cos,sin 22x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，33cos ,sin 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，且,ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求⋅a b 以及+a b 的取值范围；（2）记函数()2f x λ=⋅-+a b a b ，若的最小值为32-，求实数的值．【答案】（1）见解析；（2）12λ=．【解析】（1）易得33coscos sin sin cos22222x x x xx ⋅=-=a b ．因为222233||cos cos sin sin 22cos 24cos 2222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ，又,ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，所以[]2cos 0,2x +=-∈a b ．（2）依题意，得()22cos24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλλ=⋅-+=+=+-a b a b ．令，由（1）知，，则有．①当，即时，有()()min 312412g t g λ=-=--=-，解得58λ=，此与矛盾；②当，即时，有()()2min 3212g t g λλ=-=--=-，解得12λ=（12λ=-舍）； ③当，即，有，此与题设不符．综上所述，所求实数12λ=． 21．（12分）已知平面向量2sin 2,26πx ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()21,sin x =n ，()f x =⋅m n ，其中2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角，，的对边长分别为，，，若12B f ⎛⎫=⎪⎝⎭，，，求的值．21【答案】（1）增区间为π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）的值为或．【解析】（1）()2π2sin 22sin 6f x x x ⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭m n ()2sin2cos cos2sin 1cos26ππ6x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭13cos2sin21cos 21223πx x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，由π2ππ22π,3k x k k -≤+≤∈Z ，得2πππ,36πk x k k -≤≤-∈Z ，又∵2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴函数的增区间为π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由12B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得cos 03πB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为，所以ππ4π333B <+<，从而2ππ3B +=，即π6B =．因为，，所以由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 3sin 2c B C b ==，故π3C =或2π3，当π3C =时，π2A =，从而；当2π3C =时，π6A =，又π6B =，从而，综上的值为或．22．（12分）如图，在四边形中，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，，且1BO AD ==u u u r u u u r ．22 （1）用,OA OB u u u r u u u r 表示CB u u u r ；（2）点在线段上，且，求的值．【答案】（1）32CB OA OB =--u u u r u u u r u u u r ；（2）25cos 5PCB ∠=．【解析】（1）因为2OA AD =u u u r u u u r ，所以32DO AO =u u u r u u u r ．因为2CD BO =u u u r u u u r ，所以33=++222CB CD DO OB BO AO OB OA OB =++=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（2）因为2CD BO =u u u r u u u r ，所以OB CD ∥．因为2OA AD =u u u r u u u r ，所以点共线．因为，所以．以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为1BO AD ==u u u r u u u r ，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，所以，所以()1,2AC =u u u r ，()2,1AB =-u u u r ．因为点在线段上，且，所以121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，所以55,33CP AP AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ．因为()3,1CB =--u u u r ，所以55253cos 52103CP CB PCB CP CB ∠+⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r。

高考数学一轮复习提高题专题复习平面向量多选题练习题及答案

高考数学一轮复习提高题专题复习平面向量多选题练习题及答案一、平面向量多选题1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =1，0PA PB PC PAPBPC++=，以下正确的是（） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC【答案】ABCD 【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1，以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵0PA PB PC PAPBPC++=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CDPCA P CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即12BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确，同理：△APC ∽△ACB ，即AP ACCP BC==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.2．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（）A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．34OA OB OC ++= D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD 【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，30,2A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，13,63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，解得30,4O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,2233AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=12331=023236⨯--≠，故A 错误； 32OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 136ED ⎛= ⎝⎭，13,22BA ⎛= ⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b⋅进行求解.3．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为37【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为33727a b b-⋅==，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()2122254cos33a e e π=+=+=B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误；由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确。

高考数学一轮复习平面向量多选题测试试题及答案

高考数学一轮复习平面向量多选题测试试题及答案一、平面向量多选题1．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（）A ．若1233AD AB AC =+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111333MG MA MB MC =++C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，由已知12322233AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则32BD BD DC BC =+=，故A 错误；对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即111333MG MA MB MC =++，故B 正确；对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即()00MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；对于D ，111()()222PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=+-=+- ()2112PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=+-，又()2222222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1PQ ∴==，故D 错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．2．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（） A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗C ．()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y =，则122a b x y x y ⊗=- 【答案】BD 【分析】对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当λab 时,()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅,()()()sin ,sin,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅,显然不会恒成立. 对于D,根据数量积求出cos ,a b ,再由平方关系求出sin ,a b 的值,代入定义进行化简验证即可. 【详解】解：对于A ：()()sin ,a b a b a b λλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a bλλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅，=sin ,b a b a b a ⊗⋅，故a b b a ⊗=⊗恒成立；对于C ，若λab ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立；对于D ，1212cos ,x x y y a b a b+=⋅，212sin ,1a b a b ⎛ ⎪=- ⎪⋅⎭，即有222121212121x x y yx x y ya b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⊗=⋅⋅-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⋅⎭⎭21y =⎪+⎭==1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立. 故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.3．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（） A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ = C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD 【分析】作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线xy e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线xy e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.4．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确；因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.5．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=- 【答案】ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.6．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确；对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误；对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.7．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（） A ．0AB AC AD +-= B ．0DA EB FC ++= C ．若3||||||AB AC ADAB AC AD +=，则BD 是BA 在BC 的投影向量 D ．若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18【答案】BCD 【分析】对选项A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确.对选项C ，首先根据已知得到AD 为BAC ∠的平分线，即AD BC ⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确.对选项D ，首先根据,,A P D 三点共线，设(1)BPtBA t BD ，01t ≤≤，再根据已知得到12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228tyt t ，即可判断选项D 正确. 【详解】如图所示：对选项A ，20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠，故A 错误. 对选项B ，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-+-+-+ 111111222222AB AC BA BC CA CB =------1111110222222AB AC AB BC AC BC =--+-++=，故B 正确.对选项C ，||AB AB ，||AC AC ，||ADAD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量. 因为3||||||AB AC ADAB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图所示：BA 在BC 的投影为cos BD BA BBABD BA，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确. 对选项D ，如图所示：因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线，设(1)BPtBA t BD ，01t ≤≤.又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12tt λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤.令21111()2228t ytt ，当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.8．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-，当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误；故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.二、立体几何多选题9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（）A ．11//A D 平面EFGHB ．1AC ⊥平面EFGHC ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否. 【详解】如图，连接OA ，则2115OA AA =+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点. 同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点.因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点. 因为正方体的棱长为2，而26<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点，如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ，同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面.由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确.因为在直角三角1BA C 中，122A B =2BC = ，190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误. 由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ，所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥，因为EF EH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒，故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确.因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱，其体积为111212⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8，故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.10．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥C ．当1AR A C ⊥时，1ARD R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，a ⎡∈⎣，()Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,22R λλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,2D R λλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C ⊥，则()()12,222212440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=，14λ=，此时113313022224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；113AC A R =，则44,,333R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，142,,333D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.。

(超全)高考一轮复习数学同步练习15——平面向量

方法强化练——平面向量一、选择题1．已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( )． A ．－6 B ．－23 C.23D ．143．已知|a |＝|b |＝|a －2b |＝1，则|a ＋2b |＝ ( )．A ．9B ．3C ．1D ．24．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )． A ．－2 3 B ．2 3 C ．4 3D ．6 35．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( )． A.π2 B.π3 C.π4D.π66．已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1,2cos θ)且a ⊥b ，则cos 2θ等于( )． A ．－1 B ．0 C.12D.227．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则有 ( )．A.AO →＝2OD →B.AO →＝OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →8．平面上有四个互异点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定9．在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，AB ，AC 的边长分别为2,1，∠BAC ＝60°.则AG →·BG →＝( )．A ．－89B ．－109 C.5－39D ．－5－3910．已知正方形ABCD (字母顺序是A →B →C →D )的边长为1，点E 是AB 边上的动点(可以与A 或B 重合)，则DE →·CD →的最大值是 ( )．A ．1 B.12 C ．0 D ．－1二、填空题11．若a ＝(1，－2)，b ＝(x,1)，且a ⊥b ，则x ＝________.12．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2,0)，则向量a ，b 的夹角为________．13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，D 为斜边AB 的中点，则AB →·CD→＝________.14．已知G 1，G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→＝________(用e 1，e 2，e 3表示)．三、解答题15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )．(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．16．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．17．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.18．已知f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)(x ∈R )． (1)求f (x )的周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB →·AC →＝3，求边长b 和c 的值(b ＞c )．答案一、选择题1-5 ACBBB 6-10 BBBAC二、填空题11、2 12、π4 13、－1 14、13(e 1＋e 2＋e 3) 三、解答题15、解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .① 又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1， ∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.16、解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2 x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.17、(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.18、解 (1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∵y ＝cos x 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上单调递减，∴令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴f (x )的单调递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π.∴A ＝π3.∵AB →·AC →＝3，即bc ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－ 2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc,7＝(b ＋c )2－18，b ＋c ＝5，又b ＞c ，∴b ＝3，c ＝2.。

高考数学一轮复习数学平面向量多选题的专项培优练习题(含答案

高考数学一轮复习数学平面向量多选题的专项培优练习题(含答案一、平面向量多选题1．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（）A ．||1ab += B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ．由向量加法和减法法则判断选项A 、B ．【详解】对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确；对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+3222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误．故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．2．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λa bB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD 【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】对于选项A ：由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直，故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.故选：AD 【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.3．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB的中点，AB =（）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上 C ．线段PG长的最大值为1 D ．PA PB ⋅的最小值6+ 【答案】ABC 【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =--问题，即可判断.【详解】对于选项A ：设()00,G xy ，2AB =G 为弦AB 的中点， GB ∴=，而()()22:114C x y+++=，半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --，()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确；对于选项B ：由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，代入()()2222x y -+-整理得2，故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=，()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=所以线段1112max 11PG PG r r =++=+=，故选项C 正确；对于选项D ：()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2minmin3PA PBPG ⋅=-，由选项C 知：1112min 11PG PG r r =--=-=，所以()()2min136PA PB⋅=-=-，故选项D 错误；故选：A B C. 【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（）A ．0OE OC +=B ．1AB CE ⋅=-C ．3OA OB OC ++= D ．132DE =【答案】AC 【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析. 【详解】建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =，所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确； B ．因为E 为AB 中点，所以ABCE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；C ．因为()()(30,,1,0,1,0,32O A B C ⎛- ⎝⎭，所以33331,1,0,OA OB OC ⎛⎛⎛⎛++=+-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3OA OB OC ++=D ．因为()123,0,03DE ⎛ ⎝⎭，所以123,3DE ⎛=- ⎝⎭，所以13DE =，故错误，故选：AC. 【点睛】关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.5．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =C ．若a b >，则1k <D ．若a b a b +=-，则a b ⊥【答案】AD 【分析】先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得11k -<<，故选项C 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.6．下列各式结果为零向量的有（） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．在ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．0AB AC AD+-=B．0DA EB FC++=C ．若3 ||||||AB AC ADAB AC AD+=，则BD是BA在BC的投影向量D．若点P是线段AD上的动点，且满足BP BA BCλμ=+，则λμ的最大值为18【答案】BCD【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B 正确.对选项C，首先根据已知得到AD为BAC∠的平分线，即AD BC⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据,,A P D三点共线，设(1)BP tBA t BD，01t≤≤，再根据已知得到12ttλμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228ty t t，即可判断选项D 正确.【详解】如图所示：对选项A，20AB AC AD AD AD AD+-=-=≠，故A错误.对选项B，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB++=-+-+-+111111222222AB AC BA BC CA CB=------111111222222AB AC AB BC AC BC=--+-++=，故B正确.对选项C，||ABAB，||ACAC，||ADAD分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC+为BAC∠的平分线表示的向量.因为3||||||AB AC ADAB AC AD+=，所以AD为BAC∠的平分线，又因为AD为BC的中线，所以AD BC⊥，如图所示：BA 在BC 的投影为cos BD BABBABD BA，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确. 对选项D ，如图所示：因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线，设(1)BPtBA t BD ，01t ≤≤.又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12tt λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤.令21111()2228t ytt ，当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.8．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-，当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误；故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.9．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（） A ．-2 B ．12C ．1D ．-1【答案】ABD 【分析】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解【详解】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线，由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.10．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（） A ．AB BC =B ．AB BC =C ．AB CD AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =，所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.。

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量(含答案)及参考答案

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量 (含答案 ) 及参照答案( 附参照答案 )平面向量一、填空题1、（2014 年江苏高考）如图，在平行四边形中，已知，，则的值是▲．2、（ 2013 年江苏高考）设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为。

3、（ 2012 年江苏高考）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．4、（2015 届江苏南京高三9 月调研）已知向量a＝(2 ，1) ，b＝(0 ，－1) ．若 (a ＋λb) ⊥a，则实数λ＝▲．5、（ 2015 届江苏南通市直中学高三9 月调研）已知△ ABC中，∠ C=90°，，分别为边上的点，且，，则▲．6、（ 2015 届江苏苏州高三9 月调研）如图是半径为 3 的圆的直径是圆上异于的一点是线段上凑近的三均分点且则的值为▲7、（南京市 2014 届高三第三次模拟）在Rt△ABC中， CA＝CB＝2，M，N是斜边 AB 上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为▲．8、（南通市2014 届高三第三次调研）在直角三角形中，=90°，，．若点知足，则▲．9、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二））已知平面内的四点 O，A，B，C知足，，则 =▲．10（、徐州市 2014届高三第三次模拟）如图，在△中，已知，，，，，则▲．11、（南京、盐城市2014 届高三第二次模拟（淮安三模））已知|| ＝1，|| ＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为▲12、（2014 江苏百校联考一）如图，是半径为 1 的圆的直径，△ ABC是边长为 1 的正三角形，则的最大值为13、（2014 南通二模）在△ ABC中，D是 BC的中点，AD＝8，BC＝20，则的值为▲．14、（苏锡常镇四市2014 届高三 3 月调研（一））如图，在△ABC中， BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为▲15、（兴化市2014 届高三上学期期中）已知在中，，，设是的心里，若，则．二、解答题1、（ 2013 年江苏高考）已知，。

山东省2015年高考数学一轮复习专题特训平面向量理

山东省2015年高考数学一轮专题复习特训平面向量1、（2013山东理）15．已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且3AB =，2AC =，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为__________.答案：15．7122、（2011山东理数12）12．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上答案：D3．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）已知i 与j 为互相垂直的单位向量,2a i j =-,b i j λ=+且a 与b 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是（） A ．1(,2)(2,)2-∞-- B ．1(,)2+∞ C ．22(2,)(,)33-+∞ D ．1(,)2-∞ 【答案】A4．（山东省淄博一中2014届高三上学期10月阶段检测理科数学）若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且满足5AP =3AB +2AC ,则△ABP 与△ABC 的面积比为（）A ．15B ．25C ．35D ．45 【答案】 B ． 5．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）下列各式正确的是（）A ．a b =a b ⋅B ．()222a b =a b ⋅⋅C ．若()a b-c ,⊥则a b=a c ⋅⋅D ．若a b=a c ⋅⋅则b=c【答案】C6错误！未指定书签。

．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）在ABC ∆中,已知a .b .c 成等比数列,且33,cos 4a c B +==,则AB BC ⋅= （） A ．32 B ．32- C ．3 D ．-3【答案】B7错误！未指定书签。

高三数学第一轮复习单元测试—平面向量

高三数学第一轮复习单元测试—《平面向量》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合标题问题要求的.1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=（）A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21--C ．21-D ．21+2．与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是（）A ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D ．⎪⎭⎫-⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 3．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()2b a --共线，则λ= （）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是（）A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．6121P P P P ⋅ 6．在OAB ∆中，OA a =，OB b =，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等于（）A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅--C ．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--7．设1(1,)2OM =，(0,1)ON =，则满足条件01OP OM ≤⋅≤，01OP ON ≤⋅≤的动点P 的变化范围（图中暗影部分含边界）是（）B ． D ． 8．将函数f (x )=tan(2x +3π)+1按向量a 平移获得奇函数g(x )，要使|a |最小，则a =（）A ．（,16π-）B ．（,16π-）C ．（,112π）D ．（,112π--）9．已知向量a 、b 、c 且0a b c ++=，||3a =，||4b =，||5c =.设a 与b 的夹角为1θ，b与c 的夹角为2θ，a 与c 的夹角为3θ，则它们的大小关系是（）A ．123θθθ<<B ．132θθθ<<C ．231θθθ<<D ．321θθθ<<10．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是（）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ11．已知1OA =，3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且30oAOC ∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn等于（）A ．13B ．3C D12．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121.AB x x y y =-+-给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=③在ABC ∆中，.AC CB AB +>其中真命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______.（用a b 、暗示）14．已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点，动点M 满足OM mOA nOB =+，其中,m n R ∈且2222m n -=，则M 的轨迹方程为 .15．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值为 .16．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量)sin 1,sin 1(x x -=，)2cos ,2(x =.（1）若]2,0(π∈x ，试判断与能否平行？（2）若]3,0(π∈x ，求函数b a x f ⋅=)(的最小值.18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数()()c b a x f +⋅=，其中向量 ()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=，()R x x x c ∈-=,sin ,cos .（1）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（2）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后获得的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .19．（本小题满分12分）（2007年宁夏卷）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l与椭圆2212x y +=有两个分歧的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．20.（本小题满分12分）在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=．（1）求22AB AC +的值；（2）当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．21．（本小题满分12分）如图，三定点A (2,1)，B (0,－1)，C (－2,1); 三动点D ，E ，M 满足]1,0[,,,∈===t DE t DM BC t BE AB t AD（1）求动直线DE 斜率的变化范围; （2）求动点M 的轨迹方程.22．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+.（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP 和OM 夹角的最大值，并求此时P 点的坐标参考答案（4）1．21+-=+=，故选A ． 2．B 设所求向量e =（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b 的夹角都相等,故e b e a ⋅=⋅⇔=⋅||||||||7117cos sin cos sin 2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ．3．D 依题意知向量a b λ+与-2共线，设a b λ+k =（-2），则有)()21(=++-k k λ，所以⎩⎨⎧=+=-021λk k ，解得5.0=k ，选D ．4．解选B ．设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i的几何意义:数量积121i PP PP 等于12P P 的长度12PP 与1i PP在12P P 的标的目的上的投影1121cos ,i i PP PP PP 的乘积.显然由图可知13P P 在12P P 标的目的上的投影最大.所以应选(A). 6．B(),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+又OD 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅=即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-，故选B ． 7．A 设P 点坐标为),(y x ，则),(y x =.由01OP OM ≤⋅≤，01OP ON ≤⋅≤得⎩⎨⎧≤≤≤+≤10220y y x ，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组暗示的平面区域即可，选A ． 8．A 要经过平移获得奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+3π)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移)(62Z k k ∈+-ππ个单位.即应按照向量))(1,62(Z k k a ∈-+-=ππ进行平移.要使|a|最小，应取a=（,16π-），故选A ．9．B 由0a b c ++=得)(b a c +-=，两边平方得1222cos ||||2||||||θb a b a c ++=，将||3a =，||4b =，||5c =代入得0cos 1=θ，所以0190=θ；同理，由0a b c ++=得)(b c a +-=，可得54cos 2-=θ，53cos 3-=θ，所以132θθθ<<.10．B由已知得1||=b ，所以4||22=+=n m a ，因此)sin(sin cos 22ϕθθθ++=+=⋅n m n m 4)sin(4≤+=ϕθ，由于2λ<⋅恒成立，所以42>λ，解得2>λ或2-<λ.11．答案B ∵ 1OA =，3OB =，0OA OB ⋅=∴△ABC 为直角三角形，其中1142AC AB == ∴11()44OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+-∴31,44m n == 即3mn= 故本题的答案为B ．12．答案B 取特殊值、数形结合在ABC ∆中， 90oC ∠=，不妨取A （0，1）， C （0，0），B （0，1），则∵2121AB x x y y =-+- ∴ 1AC = 、1BC =、|10||01|2AB =-+-= 此时222AC CB +=、24AB = 、222AC CB AB +≠；AC CB AB +=即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则1313||||||||||||AC x x y y AC CC ''-+-=+＝＝||||||||AB B C C C C C ''''''''+++＝||||||||AB B B BC C C ''''''+++1212||||||||||||AB x x y y AB BB ''=-+-=+ 2323||||||||||||BC x x y y BC C C ''''=-+-=+∴ AC CB AB += 即命题①是正确的. 综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B ． 13．解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b=+，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+.AC 'CBB 'C ''C14．2222=-y x 设),(y x M ，则),(y x =，又)1,1(),1,2(-=-=，所以由OM mOA nOB =+得),(),2(),(n n m m y x -+-=，于是⎩⎨⎧+-=-=nm y n m x 2，由2222m n -=消去m, n得M 的轨迹方程为：2222=-y x .15．2- 如图，设x AO =，则x OM -=2，所以OM OA ⋅⋅-22)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+取最小值-2.16．21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，所以),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有mm -=--113，解得21=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .17．解析：（1）若a 与b 平行，则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ，因为]2,0(π∈x ，0sin ≠x ，所以得22cos -=x ，这与1|2cos |≤x 相矛盾，故a 与b 不能平行.（2）由于x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=，又因为]3,0(π∈x ，所以]23,0(sin ∈x ，于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⋅≥+x x x x ，当xx sin 1sin 2=，即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22. 18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π. （Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个分歧的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k的取值范围为222⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞．（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12x x +=． ②又1212()y yk x x +=++ ③而(01)(AB AB =-，，．所以OP OQ +与AB共线等价于1212)x x y y+=+，将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ． 20．解：（Ⅰ）由已知得：222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩因此，228AB AC +=．（Ⅱ）2cos AB AC A AB ACAB AC⋅==⋅⋅， 1sin 2ABC S AB AC A =⋅△ 11cos 2AB AC =⋅- 22222cos AB AC AB AC ⋅-⋅224AB AC =⋅-222AB AC ⎫+⎪≤=．（当且仅当2AB AC ==时，取等号），当ABC △1cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅，所以3π=∠A . 解：（I ）由条件知： 0a b =≠且2222(2)444a b a b a b b +=++=42b a -=⋅，设a b 和夹角为θ，则41||||cos -==b a θ，∴1cos 4arc θπ=-，故a b 和的夹角为1cos 4arc π- ，（Ⅱ）令)a a b -和(的夹角为β 22221102222a b a b a b a a a -=+-=+= ， ∴41021cos 222=+===β∴ )a a b -和(的夹角为. 21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x ,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →,知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2ty E =2t －1.∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2)= 1－2t. ∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].（Ⅱ）如图, OD →=OA →+AD → = OA →+ tAB →= OA →+ t(OB →－OA →) = (1－t) OA →+tOB →,OE →=OB →+BE → = OB →+tBC → = OB →+t(OC →－OB →) =(1－t) OB →+tOC →,OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →－OD →)=(1－t) OD →+ tOE →= (1－t 2) OA → + 2(1－t)tOB →+t 2OC →.设M 点的坐标为(x ,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,－1), OC →=(－2,1)得 ⎩⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]22．解析：（1）设(,)P x y ，(,)M x y ，则(,)OP x y =，(,0)OQ x =，(2,)OM OP OQ x y =+=222212,1,124x xx x x x y y y y y y ⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩.第21题解法图（2）设向量OP 与OM 的夹角为α，则2222222(1)cos 31||||4x OP OM x OP OM x yα+⋅===+⋅+，令231t x =+，则cos α==≥当且仅当2t =时，即P 点坐标为(,33±±时，等号成立.OP ∴与OM 夹角的最大值是.。

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平面向量训练题一、选择题：1．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB =，AE yAC =，0xy ≠，则11x y+的值为（）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）12．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（）A ．00a b =B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b +=4．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0☆5．设，a b 是非零向量，若函数f （x ）=(x a +b )·(a -x b )的图象是一条直线，则必有（）A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b6．设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，则点P 的坐标为（）A ．(3,1)B ．(1,1)-C ．(3,1)或(1,1)-D ．无数多个7．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记、分别为a 、b ，则=（）A ．52a -54b B ．52a +54b C ．-52a +54b D ．-52a -54b☆8．设向量a=(1,－3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为（）A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2,－6)D ．(－2,－6)9．若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o180，且53||=b ，则=b ( )A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-10．向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于A ．2-B ．2C ．21D ．12-11．设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（）AB C E FDHA ．030B ．060C ．075D ．04512．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（）A.2B.3C.23D.3213．若平面向量与向量)1,2(=平行，且52||=，则=( )A ．)2,4(B ．)2,4(--C ．)3,6(-D ．)2,4(或)2,4(--☆14．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为v 个单位）．设开始时点P 的坐标为（－１０，１０），则５秒后点P 的坐标为（） A （-2，4） B （-30，25） C （10，-5） D （5，-10）☆15．设(43)=，a ,a 在b 上的投影为2,b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（） A ．(214)，B ．227⎛⎫-⎪⎝⎭， C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，☆16．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c =b b a a a a ⎪⎭⎫⎝⎛∙∙-，则向量a 与c 的夹角为 ( )A. 0B.6π C. 3π D. 2π ☆17．平面向量a =(x ，y )，b =(x 2，y 2)，c =(1，1)，d =(2，2)，若a ·c =b ·d =1，则这样的向量a 有 ( )A. 1个B. 2个C. 多于2个D. 不存在 ☆18．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（）A 外心B 内心C 重心D 垂心☆19．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB AC|AB ||AC |+)，),[∞+∈λ0，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A 外心B 内心C 重心D 垂心二、填空题：20．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-，b =1，且5a b ⋅=，则向量=____。

21．若3a =,2b =，且与的夹角为060，则a b -= 。

22．把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是_____。

23．已知)1,2(=a与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。

24．已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→c ，则→c =____。

25．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为． 26．若菱形ABCD 的边长为2，则AB CB CD -+=__________。

27．若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=则||a b += 。

☆28．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +∙的最小值是____ _. ☆29.设向量c b a ,,满足()b ac b a c b a ⊥⊥-=++,,0b,若1=,则++ 的值是☆30．如图2, AB OM //, 点P 在由射线OM ,线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且y x +=, 则x 的取值范围是__________; 当21-=x 时, y 的取值范围是__________. 三、解答题: 31．求与向量(1,2)a =，(2,1)b =夹角相等的单位向量c 的坐标． 32．（1）已知|a |=4，|b |=3，（2a －3b ）·（2a +b ）=61，求a 与b 的夹角θ；（2）设=（2，5），=（3，1），=（6，3），在上是否存在点M ，使 ⊥，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.33．已知点A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），α∈(23,2ππ)。

(1)若||||AC CB =，求角α的值； (2)若AC CB ⋅=1，求aa a tan 12sin sin 22++的值.34.已知a ＝（αcos ，αsin ），b ＝（βcos ，βsin ），a 与b 之间有关系式|k a +b |=3|a -k b |，其中k ＞0．（1）用k 表示a 、b ；（2）求a ·b 的最小值，并求此时，a 与b 的夹角θ的大小．图2O ABPM平面向量训练题参考答案一、选择题：1．解析：取△ABC 为正三角形易得11x y+＝3．选B ．评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．2．C （1）是对的；（2）仅得a b ⊥；（3）2222()()0a b a b a b a b +⋅-=-=-= （4）平行时分00和0180两种，cos a b a b a b θ=⋅=±⋅ 3．C 因为是单位向量，00||1,||1a b ==4．D 2(2cos 3,2sin 1),|2|(2cos a b a b θθθ-=-+-=-==，最大值为4，最小值为0☆5．A f (x )的图象是一直线，则f (x )是x 的一次式.而f (x )展开后有x 的二次-x 2a·b ，故-a·b=0⇒a ⊥b ， 6．C 设(,)P x y ，由AB =2AP 得2AB AP =，或2AB AP =-，(2,2),(2,)AB AP x y ==-，即(2,2)2(2,),3,1,x y x y =-==(3,1)P ；(2,2)2(2,),1,1,x y x y =--==-(1,1)P -7．B 过E 作EG ∥BA 交AF 于G ，EG=23CF=23DF ，=54☆8．D 解：设d ＝（x ，y ），因为4a ＝（4，－12），4b －2c ＝（－6，20），2(a －c )＝（4，－2），依题意，有4a ＋（4b －2c ）＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，9．A 设(,2),0b ka k k k ==-<，而53||=b 3,(3,6)k b ==-=- 10．D (2,3)(1,2)(21,32)ma b m m m m +=+-=-+2(2,3)(2,4)(4,1)a b -=--=-，则121128,2m m m -+=+=-11．D 0031sin cos ,sin 21,290,4523ααααα⨯====12．C 12(2sin cos ,2cos sin ),PP θθθθ=+---122(2PP ===13．D 设(2,),b ka k k ==，而||25b =，则,(4,2),(4,2)k b ==±=--或 ☆14．C 设5秒后点P 运动到点A,则5PA PO OA V =+=∴(20,15)(10,10)OA =-+-=(10,-5).☆15．B 由题意可知a 与b 的夹角为4π，且b 的终点在直线x=2上。

又因为||14≤b 。

☆16．D 由题意得a ·c = a ·⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙-b b a a a a = a ·a - ()b a b a a a ∙⨯∙∙= a ·a - a ·a = 0，因此a 与c 的夹角是2π. ☆17．A 依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+21122y x y x ，2122=+y x表示以原点O 为圆心，22为半径的圆，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x+y =1的距离d =2221=，故直线与圆相切，只有一个交点，故x 、y 只有一组解.☆18．D 由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即，则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心.☆19. B||AB 表示AB ||AC 表示AC 方向上的单位向量，AB AC |AB ||AC |+在∠BAC 的平分线上，故P 点的轨迹过三角形的内心.二、填空题：20．43(,)55- 5,c o s ,1,,a b a a b a b a b=<>==方向相同，143(,)555b a ==- 21222()2927a b a b a a b b -=-=-+=-=22．圆以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆 23．45-22222()258a tb a tb a tab t b t t +=+=++=++45t =-时即可 24．(2,1)- 设c xa yb →=+，则(,2)(2,3)(2,23)(4,1)x x y y x y x y +-=-+= 24,231,2,1x y x y x y -=+===- 25．0120221()0,0,c o s 2a b a a b a a a b a ba bθ-+=+====-,或画图来做26．2 2AB CB CD AB BC CD AC CD AD -+=++=+== 27 由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得☆28．－2 如图,-=⋅⋅=+⋅2)(22⋅-≥，=取等号.即)(+⋅的最小值为:-2.☆29．4 作图，a b c 、、构成等腰直角三角形 ()()()()⎪⎪⎨⎧===∙∙=∙⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=∙=∙-∙=-⇒⊥⊥-10000,b a b a()22=--=ba4=++☆30．(－∞，0) (21，23) 如图, AB OM //, 点P 在由射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且y x +=，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB 和OA 的反向延长线为两邻边，∴ x 的取值范围是(－∞，0)；当21-=x 时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，CD=21OB ，CE=23OB ，∴ y 的取值范围是(21，23). 三、解答题:31．解：设(,)c x y =，则cos ,cos ,,a c b c <>=<>得22221x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩，即x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2(,22c=或(22-- 32.解：（1）∵（2－3）·（2+）=61，∴.6134422=-⋅- 又||=4，||=3，∴·=－6. ,21||||cos -=⋅=∴b a θ ∴θ=120°.（2）设存在点M ，且)10)(3,6(≤<==λλλλ).31,63(),35,62(λλλλ--=--=∴MB MA ,0)31)(35()63)(62(=--+--∴λλλλ211122114548110,:,(2,1)(,).31555OM OM λλλλ∴-+===∴==解得或或MOCBA∴存在M （2，1）或)511,522(M 满足题意. 33．解：(1)∵AC =(cos α－3, sin α), BC =(cos α, sin α－3).∴∣AC ∣=a a a sin 610sin )3(cos 22-=+-。