广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考文科数学试题

广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考（文科）数学试题命题： 中山纪念中学 周建刚参考学校：惠州一中 广州二中 东莞中学 中山纪中 深圳实验 珠海一中本试题共4页，20小题，满分150分，考试用时120分钟一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 1. 函数()f x =A ．(0,3) (0,3) (0,3] 2.复数311(i i-为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 A ．(1,1) (1,1)-1,1)-3.“1x =A.C.充要条件4.tan 330°Ａ．5.下图为函数f 论正确的是A . 311a a >>B. 321a a >>C. 121a a >>D. 211a a >>6.若2()(0)f x ax bx c a =++≠是定义在R 上的偶函数,则b 的值为 （ ） A ．1- B ．0 C ． D ．无法确定7.在和256之间顺次插入三个数,,a b c ，使1,,,,256a b c 成一个等比数列，则这5个数之积．．为 （ ） A ．182B ．192 C ．202 D ．2128.若函数3()1f x x x =-+在区间(,)a b （,a b 是整数，且1b a -=）上有一个零点，则a b +的值为 （ ） A ．3B ．2-C ．2D ．3-9.如右图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ += （ ） A ．FO B ．OGC ．OHD ．EO10. 如图，将等比数列{}n a 的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形的顶点所填的三项也成等比数列，数列{}n a 的前2013项和20134026,S =则满足na nnn a >的n 的值为 （ ） A ．2 B ．3 C ．2013 D ．4026二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 11.已知函数2log ()3xx f x ⎧=⎨⎩(0)(0)x x >≤，则(0)f =12.已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C所对的边，若11,2a b B ===，则sin A =13.已知1||=a ，2||=b ，()a b a +⊥，则a 与b 夹角为Q14.已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 均有1(2)()2f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,2上有表达式2()2f x x x =-+，则函数)(x f 在区间[3,2]--上的表达式为()f x = _______________ 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分） 已知函数()cos 2sin 2f x x x =+ （1）求()f x 的最大值和最小正周期；（2）设,[0,]2παβ∈，()()282f f απβπ+=+=sin()αβ+的值16. （本小题满分12分）已知(sin ,cos )a θθ=、(3,1)b = （1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若()f a b θ=+， ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的三条边分别为a 、b 、c ，且(0)a f =，()6b f π=-，()3c f π=，求AB AC ⋅。

17. （本小题满分14分）在等比数列}{n a 中，公比1q >，且满足23428a a a ++=，32a +是2a 与4a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若25log n n b a +=，且数列{}n b 的前n 的和为n S ，求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 的和n T18. （本小题满分14分）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥），数列{}n c 满足n n n c a b =+（1）求1c 和2c 的值，（2）求证：数列 {}n c 为等差数列，并求出数列{}n c 的通项公式 （3）设数列{}n c 的前n 和为n S ，求证：12311111nS S S S ++++<19. （本小题满分14分）已知函数2()21f x x tx =-+，()ln g x b x =，其中,b t 为实数 （1）若()f x 在区间[3,4]为单调函数，求实数的取值范围 （2）当1t =时，讨论函数()()()h x f x g x =+在定义域内的单调性20. （本小题满分14分）已知三次函数32() ()f x ax bx cx d a b c d R =+++∈、、、为奇函数，且在点(1,(1))f 的切线方程为32y x =-(1)求函数()f x 的表达式.(2)已知数列{}n a 的各项都是正数,且对于*n N ∀∈,都有211()()n niii i a f a ===∑∑,求数列{}n a 的首项1a和通项公式(3)在(2)的条件下，若数列{}n b 满足1*42(,)n a n n b m m R n N +=-⋅∈∈,求数列{}n b 的最小值.2013届高三六校第二次联考（文科）数学试题参考答案及评分标准命题： 中山纪念中学 周建刚 审题：中山纪念中学高三文科数学备课组第Ⅰ卷选择题（满分50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（C ） 2．（B ） 3．（A ） 4．（A ） 5．（C ） 6．（B ） 7．（C ） 8．（D ） 9．(A) 10．（B)第Ⅱ卷非选择题（满分100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11． 12．1213．23π14．()4(2)(4)f x x x =-++ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分）解：（1）()cos 2sin 222)f x x x x x =+=…………………1分)4x π=+………………………4分且x R ∈()f x ∴5分 最小正周期22T ππ==……………………………………6分（2）())))282842f απαπππα+=++=+…………………7分c o s 2α==，cos 4α∴= …………………8分又[0,]2πα∈，sin α∴=…………………9分()))2)2244f ββππππβπ+=++=++…………………10分)4πβ=+=…………………11分 又3[0,],[,],244442ππππππβββ∈∴+∈∴+=⇒4πβ=sin()sin()sin cos cos sin 444πππαβααα+=+=⋅+⋅=…………………12分16. （本小题满分12分）解：（1）//,sin 0a b θθ∴=…………………3分sin tan θθθ∴=⇒=6分（2）(sin 1)a b θθ+=+…………………7分(sin a b θ∴+===8分(0)a f ∴===()6b f π∴=-==()33c f π∴===…………………10分由余弦定理可知：222cos 230b c a A bc +-==…………………11分 7cos cos 2AB AC AB AC A bc A ∴⋅===…………………12分（其它方法酌情给分） 17. （本小题满分14分） 解（1）由题可知：3242(2)a a a +=+…………………1分24328a a a +=-，3332(2)28,8a a a ∴+=-∴=…………………3分 32431208()20,2a a a a q q q q q ∴+==+=+==或12q =（舍去）…………5分 333822n n n n a a q --∴==⨯=…………………7分（2）55522,2,log 25n n n n n n a a b n +++=∴===+，16b ∴=…………………9分所以数列{}n b 是以6为首项1为公差的等差数列，1()(11)22n n b b n n nS ++∴==…………………11分11111222n S n n n +∴==+…………………12分所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以6为首项，12为公差的等差数列，所以2111(6)232224n n nn n T +++==…………………14分 18. （本小题满分14分）解（1）1113c a b =+=…………………1分21131111,444a a b =++=…………………2分 2111391,444b a b =++=…………………3分 2225c a b =+=…………………4分（2）证明：因为11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，11111113113(1)(1)224444n n n n n n n n n n c a b a b a b a b c -------∴=+=+++++=++=+……………6分12,2n n n c c -∴≥-=，即数列 {}n c 以13c =为首项，2为公差的等差数列……………7分 3(1)221n c n n ∴=+-=+…………………8分（3）(321)(2)2n n nS n n ++∴==+…………………10分解法一：12311111111324(2)n S S S S n n ++++=+++⨯⨯⨯+因为1111(2)(1)1n n n n n n <=-⨯+⨯++，…………………12分所以1111111111()()()111324(2)122311n n n n n +++<-+-++-=-<⨯⨯⨯+++ …………………14分解法二：12311111111324(2)n S S S S n n ++++=+++⨯⨯⨯+因为1111()(2)22n n n n =-⨯++…………………12分所以12311111111324(2)n S S S S n n ++++=+++⨯⨯⨯+111111111111111111111()()()()()()()2132242352462221122n n n n n n =-+-+-+-++-+-+---++ …………………13分11113113(1)()122124124n n n n =+--=-+<<++++…………………14分 19. （本小题满分14分）解：（1）2()21f x x tx =-+的对称轴为x t =，…………………2分 开口向上，所以当3t ≤时，函数在[3,4]单调递增，…………………4分 当4t ≥时函数在[3,4]单调递减，…………………6分所以若()f x 在区间[3,4]为单调函数，则实数的取值范围3t ≤或4t ≥……………7分 （2）2()21ln h x x x b x =-++的定义域为(0,)+∞……………8分222()22b x x b h x x x x-+'=-+=，……………9分令2()22g x x x b =-+，(0,)+∞，所以()g x 在(0,)+∞的正负情况与()h x '在(0,)+∞的正负情况一致 ①当480b ∆=-≤时，即12b ≥时，则2()220g x x x b =-+≥在(0,)+∞恒成立，所以()0h x '≥在(0,)+∞恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞上为单调递增函数……………10分②当480b ∆=->时，即12b <时，令方程2()220gx x x b =-+=的两根为12,x x ，且 120x x ==>……………11分 （i ）当110102x b =>⇔>⇔<<时，不等式2()220g x x x b =-+>解集为111(0,()22+-+∞，2()220g x x x b =-+<解集为11()22，所以()h x 的单调增区间为11(0,),()22+∞；单调减区间为……………12分(ii) 当1010x b =≤⇔≤⇔≤时，不等式2()220g x x x b =-+>解集为)+∞，2()220g x x x b =-+<解集为，所以()h x 的单调增区间为1()2+∞；单调减区间为1(0,2……………13分综上所述：当12b ≥时，函数()h x 在(0,)+∞上为单调递增函数当102b <<时，()h x 的单调增区间为(,)+∞；单调减区间为11(22+当0b ≤时，()h x 的单调增区间为)+∞；单调减区间为……………14分 20. （本小题满分14分） 解：(1)()f x 为奇函数， ()()f x f x ∴-=-，即3232ax bx cx d ax bx cx d -+-+=---- 2220b x d ∴+=0b d ∴==…………2分 3()f x ax cx ∴=+，又因为在点(1,(1))f 的切线方程为32y x =- (1)331,0(1)1f a c a c f a c '=+=⎧∴⇒==⎨=+=⎩，3()f x x ∴=…………4分 (2)由题意可知：222121()()ni n ni a a a a S ==+++=∑ 1()nii f a ==∑333312123()()()n nf a f a f a a a a a +++=++++ 所以33332123n na a a a S ++++=…….. …....①由①式可得321111,01a a a a =>⇒=………….5分当2n ≥，3333212311n n a a a a S --∴++++=………②由①-②可得:32211()n n n n n n a S S a S S --=-=+{}n a 为正数数列212n n n n n a S S S a -∴=+=-…..③…………..6分 21112n n n a S a ---∴=-………..④由③-④可得:2211n n n n a a a a ---=+10n n a a -+>,11n n a a -∴-=,{}n a ∴是以首项为1，公差为1的等差数列,…………..8分*()n a n n N ∴=∈…………9分（注意：学生可能通过列举然后猜测出*()n a n n N ∴=∈，扣2分，即得7分）(3)()n a n n N +=∈,12242(2)()n n n n b m m m n N ++∴=-⋅=--∈ 令2(2)n t t =≥,22()(2)n b t m m t ∴=--≥…………10分(1)当2m ≤时,数列{}n b 的最小值为当1n =时,144n b b m ==-……….11分(2)当2m >时①若*2(,2)k m k N k =∈≥时, 数列{}n b 的最小值为当n k =时,2k b m =-②若1*22(,2)2k k m k N k ++=∈≥时, 数列{}n b 的最小值为, 当n k =时或1n k =+ 221(2)k k k b b m m +==--③若1*222(,2)2k k km k N k ++<<∈≥时, 数列{}n b 的最小值为,当n k =时,22(2)k k b m m =-- ④若11*222(,2)2k k k m k N k +++<<∈≥时,数列{}n b 的最小值为,当1n k =+时 1221(2)k k b m m ++=--…………14分。