五校联考数学试卷
江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
2024/2025学年第一学期联盟校第一次学情调研检测高二年级数学试题（答案在最后）(总分150分考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项2．若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或-2B.-1C.-2D.2或-13．已知圆1C ：()()()222120x y r r -++=>与圆2C ：()()224216x y -+-=外切，则r 的值为（）A.1B.5C.9D.2110=的化简结果是（）A.22153x y += B.22135x y += C.221259x y += D.221925x y +=5．已知直线l 方程：()220kx y k k R -+-=∈，若l 不经过第四象限，则k 的取值范围为（）A．1k ≤B．1k ≥C．0k ≤D．0k ≥6.直线220x y +-=与曲线(10x y +-=的交点个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知圆C 经过点()()3,5,1,3M N --，且圆心C 在直线350x y ++=上，若P 为圆C 上的动点，则线段(OP O 为坐标原点）长度的最大值为（）A. B.5+ C.10D.108.实数x ，y 满足224690x x y y -+-+=，则11y x -+的取值范围是（）A.5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.12,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .120,5⎡⎤⎢⎣⎦二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）9.已知直线l 过点()1,3，若l 与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积为S ，则S 的值可以是（）A．3 B.6 C.7 D.910.下列四个命题中正确的是（）A.过点(3,1)，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线方程为20x y --=B.若直线10kx y k ---=和以(3,1),(3,2)M N -为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为12k ≤-或32k ≥C.若三条直线0,0,3x y x y x ay a +=-=+=-不能构成三角形，则实数a 所有可能的取值组成的集合为{1,1}-D.若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为23-11.已知圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则下列结论中正确的是（）A.公共弦AB 所在的直线方程为0x y -=B.公共弦AB 的长为22C.线段AB 的中垂线方程为10x y +-=D.若P 为圆1O 上的一个动点，则三角形PAB +第II 卷（非选择题共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）12.两条平行直线1l ：3450x y +-=与2l ：6850x y +-=之间的距离是．13.已知圆22:4210C x y x y +--+=，圆C 的弦AB 被点()1,0Q 平分，则弦AB 所在的直线方程是．14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A B ，的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知()1,0A ，()4,0B ，若动点P 满足12PA PB =，设点P 的轨迹为C ，过点(1,2)作直线l ，C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则直线l 的方程为.四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(本小题满分13分)分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：（1）过点P (－3，2)，且与椭圆22194x y +=有相同的焦点．（2）经过两点(2,，141,2⎛- ⎪⎝⎭．16．(本小题满分15分)已知直线:210l x y +-=和点()1,2A （1）求点A 关于直线l 的对称点的坐标；（2）求直线l 关于点A 对称的直线方程.17.(本小题满分15分)已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）已知直线2:30l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且△ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.18.(本小题满分17分)如图，已知圆22:10100C x y x y +++=，点()0,6A .（1）求圆心在直线y x =上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；（2）若过点A 的直线m 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧 PQ恰为圆C 周长的14，求直线m 的方程.19.(本小题满分17分)已知圆M ：()2244x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PB P A ,，切点为B A ,．（1）当切线P A 的长度为时，求点P 的坐标；（2）若P AM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求线段AB 长度的最小值．2024/2025学年第一学期联盟校第一次学情调研检测高二年级数学参考答案及评分标准一、单项选择题1.B2.C3.A4.C5.B6.B7.B8.D二、多项选择题9.BCD10.BD11.AC三、填空题12.1213.x+y-1=014.1x =或3450x y -+=四、解答题15.（1）因为所求的椭圆与椭圆22194x y +=的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝5．设所求椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>．因为所求椭圆过点P (－3，2)，所以有22941a b+=①又a 2－b 2＝c 2＝5，②由①②解得a 2＝15，b 2＝10．故所求椭圆的标准方程为2211510x y +=．…………………………………………6分(2)设椭圆方程为22221x y m n +=，且(2,，141,2⎛- ⎪⎝⎭在椭圆上，所以222222421817412m m n n mn ⎧+=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，则椭圆方程22184x y +=.………………………………13分16.（1）设(),A m n '，由题意可得211121221022n m m n ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪+⨯-=⎪⎩，…………………………4分解得3565m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以点A '的坐标为36,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭.……………………………………………7分（2）在直线l 上任取一点(),P x y ，设(),P x y 关于点A 的对称点为()00,P x y '，则001222x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得0024x x y y =-⎧⎨=-⎩，………………………………11分由于()2,4P x y '--在直线210x y +-=上，则()()22410x y -+--=，即290x y +-=，故直线l 关于点A 的对称直线l '的方程为290x y +-=.………………………………15分17.（1）由已知可设圆心()()0,0C b b <4=，解得3b =-或7b =（舍），所以圆C 的方程为22(3)16x y ++=.………………………………………6分（2）设圆心C 到直线2l 的距离为d，则182ABC AB S AB d d ==⨯= ，即4216640d d -+=，解得d =……………………………………………10分又d =272k =，解得142k =±，所以直线2l的方程为260y -+=260y +-=…………………………15分18.（1）由22:10100C x y x y +++=，化为标准方程：()()225550x y +++=.所以圆C 的圆心坐标为()5,5C --，又圆N 的圆心在直线y x =上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(),a a ，=解得3a =，………………………………6分所以圆N 的圆心坐标为()3,3，半径r =故圆N 的方程为()()223318x y -+-=.………………………………………8分（2）因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP CQ ⊥.所以点C 到直线m 的距离为5.……………………………………10分当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为0x =.………………………………………12分当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为6y kx =+，即60kx y -+=.5=，解得4855k =.所以此时直线m 的方程为486055x y -+=，即48553300x y -+=，…………………16分故所求直线m 的方程为0x =或48553300x y -+=.………………………………17分19⑴由题可知，圆M 的半径2=r ，设()b b P ,2，因为P A 是圆M 的一条切线，所以︒=∠90MAP ,所以=MP 4==，解得580==b b 或,所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛585160,0，或P P .………………………………5分⑵设()b b P ,2，因为︒=∠90MAP ，所以经过M P A ,,三点的圆N 以MP 为直径，其方程为：()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭,即()22(24)40x y b x y y +--+-=………………………………8分由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.……11分⑶因为圆N 方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即222(4)40x y bx b y b +--++=.圆M ：()2244x y +-=，即228120x y y +-+=.②－①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：2(4)1240bx b y b +-+-=点M 到直线AB的距离d =,相交弦长即：AB ===…14分当45b =时，AB.……………………………………17分。
2023-2024学年天津市五校联考高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市五校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分）1．已知直线经过点（1，0），（4，√3），该直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π3C ．π6D ．2π32．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．1C ．﹣2D ．123．已知三角形ABC 的三个顶点分别为A （1，0），B （2，﹣3），C （3，3），则AB 边上的中线所在直线的方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ﹣6＝0C ．3x ﹣y ﹣6＝0D ．3x +y ﹣12＝04．“4＜k ＜10”是“方程x 2k−4+y 210−k =1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线l 过点P （1，2，1）和点Q （2，2，0），则点A （1，﹣1，﹣1）到l 的距离为（ ） A ．3B ．2√3C ．√11D ．2√26．从点A （﹣4，1）出发的一条光线l ，经过直线l 1：x ﹣y +3＝0反射，反射光线恰好经过点B （﹣3，2），则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．−13D ．−357．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB =√2，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．y 24+x 2=1 B ．x 22+y 2=1C ．y 24+x 23=1 D ．x 24+y 23=18．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，P 是椭圆C 上的点，F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）是椭圆C 的左、右焦点，若PF 1→⋅PF 2→≤ac 恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[√5−12，1) B ．(0，√2−1] C ．(0，√5−12] D ．[√2−1，1)9．若圆x 2+y 2＝5上有两个动点A ，B ，满足|AB|=√15，点M 在直线2x +y ﹣5＝0上动，则|MA →+MB →|的最小值为（ ）A ．√52B ．√5C ．3√52D ．√54二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）10．设x ，y ∈R ，向量a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(2，−4，2)，且a →⊥c →，b →∥c →，则|a →+b →|= ．11．已知点A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l 过点P （1，1）且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．12．若过点（﹣2，1）的直线l 和圆x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0交于A ，B 两点，若弦长|AB |＝2√3，则直线l 的方程为 ．13．已知点（4a ，2b ）（a ＞0，b ＞0）在圆C ：x 2+y 2＝4和圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的公共弦上，则1a +2b 的最小值为 ． 14．在△ABC 中，∠A ＝30°，|AB |＝2，S △ABC =√3．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝ ． 15．已知F(√6，0)为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点．若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP 外接圆的面积为2π，则椭圆C 的长轴长为 ． 三、解答题16．（14分）已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，1）和B （﹣2，﹣2），且圆心在直线l ：x +y ﹣1＝0上，求： （1）求圆心为C 的圆的标准方程；（2）设点P 在圆C 上，点Q 在直线x ﹣y +5＝0上，求|PQ |的最小值； （3）若过点（0，3）作圆C 的切线，求该切线方程．17．（15分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，AD ＝AB ＝2，BC ＝4，M 为PC 的中点，点E 在线段BC 上，且BE ＝1． （1）求证：DM ∥平面P AB ；（2）求平面PDE 与平面BDE 夹角的余弦值； （3）求点E 到平面PDC 的距离．18．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线x −y +√6=0相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点Q （1，0）斜率为k 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若OM →⋅ON →=−2，求实数k 的值及△MON 的面积．19．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，∠PDA =π2，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且AD ＝PD ＝2QA ＝2． （1）求证：QB ∥平面PDC ； （2）求二面角C ﹣PB ﹣Q 的正弦值；（3）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7√315，求线段DH 的长．20．（16分）如图，已知椭圆G ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，设A （0，b ），P （﹣a ，0），Q （a ，0），若△AF 1F 2为正三角形且周长为6． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）若过点（1，0）且斜率为k （k ≠0，k ∈R ）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，是否存在实数k 使∠MPO ＝∠NPO 成立，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若过点（1，0）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，记△PMQ 、△PNQ 的面积记为S 1、S 2，求S 1S 2的取值范围．2023-2024学年天津市五校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分）1．已知直线经过点（1，0），（4，√3），该直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π3C ．π6D ．2π3解：设直线的倾斜角为α，则tan α＝k =√3−04−1=√33，又α∈[0，π），所以α=π6， 故选：C ．2．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．1C ．﹣2D ．12解：由m （m +1）﹣2＝0，解得m ＝﹣2，或1．经过验证m ＝1时，两条直线方程都为x +2y ﹣1＝0，可知重合． 故选：C ．3．已知三角形ABC 的三个顶点分别为A （1，0），B （2，﹣3），C （3，3），则AB 边上的中线所在直线的方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ﹣6＝0C ．3x ﹣y ﹣6＝0D ．3x +y ﹣12＝0解：设AB 的中点为D ，则D(32，−32)，∵C （3，3），∴k CD =3−(−32)3−32=3，故AB 边上的中线所在直线的方程为y ﹣3＝3（x ﹣3），即3x ﹣y ﹣6＝0． 故选：C ．4．“4＜k ＜10”是“方程x 2k−4+y 210−k =1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵方程x 2k−4+y 210−k=1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴{k −4＞010−k ＞0k −4＞10−k，解得：7＜k ＜10，故“4＜k ＜10”是“方程x 2k−4+y 210−k=1表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B ．5．已知直线l 过点P （1，2，1）和点Q （2，2，0），则点A （1，﹣1，﹣1）到l 的距离为（ ） A ．3B ．2√3C ．√11D ．2√2解：由题意知，直线l 的一个方向向量为PQ →=（1，0，﹣1）， 取直线l 的一个单位方向向量为m →=PQ →|PQ →|=（√22，0，−√22）， 又A （1，﹣1，﹣1）为直线外一点，且直线l 过点P （1，2，1）， ∴PA →=(0，−3，−2)， ∴PA →⋅m →=（0，﹣3，﹣2）⋅(√22，0，−√22)=√2，|AP →|=√13，∴点A 到直线l 的距离为√PA →2−(PA →⋅m →)2=√13−2=√11．故选：C ．6．从点A （﹣4，1）出发的一条光线l ，经过直线l 1：x ﹣y +3＝0反射，反射光线恰好经过点B （﹣3，2），则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．−13D ．−35解：设点A （﹣4，1）关于直线l 1：x ﹣y +3＝0的对称点为C （m ，n ）， 则{n−1m+4=−1m−42−n+12+3=0，解得m ＝﹣2，n ＝﹣1，即C （﹣2，﹣1）， 由题意可知点C 在反射光线上，则k ⬚BC =2+1−3+2=−3， 所以反射光线所在直线的斜率为﹣3， 故选：B ．7．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB =√2，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．y 24+x 2=1 B ．x 22+y 2=1C ．y 24+x 23=1D ．x 24+y 23=1 解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，x ＝1代入得1a 2+y 2b 2=1，y =±ba√a 2−1，所以{2b a √a 2−1=√2a 2−b 2=1，由于a ＞b ＞0，故解得{a =√2b =1，所以椭圆方程为x 22+y 2=1．故选：B ． 8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，P 是椭圆C 上的点，F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）是椭圆C 的左、右焦点，若PF 1→⋅PF 2→≤ac 恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[√5−12，1) B ．(0，√2−1] C ．(0，√5−12] D ．[√2−1，1)解：设P （x 0，y 0），则PF 1→•PF 2→=（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）＝﹣c 2+cx 0﹣cx 0+x 02+y 02＝﹣c 2+x 02+y 02， x 02+y 02表示椭圆上的点到原点的距离的平方， 所以x 02+y 02≤a 2，所以（PF 1→•PF 2→）max ≤﹣c 2+a 2，若PF 1→⋅PF 2→≤ac 恒成立，则﹣c 2+a 2≤ac ， 所以c 2a 2+c a−1≥0，所以−1+√52≤e ， 又因为e ＜1， 所以−1+√52≤e ＜1， 故选：A ．9．若圆x 2+y 2＝5上有两个动点A ，B ，满足|AB|=√15，点M 在直线2x +y ﹣5＝0上动，则|MA →+MB →|的最小值为（ ） A ．√52B ．√5C ．3√52D ．√54解：根据题意，设AB 的中点为P ，圆x 2+y 2＝5的圆心O ，其坐标为（0，0），因为圆x 2+y 2＝5上的两个动点A ，B 满足|AB|=√15，所以|OP |=√5−(12|AB|)2=√52，即P 的轨迹是以O 为圆心，半径为√52的圆，该圆的方程为x 2+y 2=54，MA →+MB →=2MP →，则|MA →+MB →|＝2|MP →|，而M 在2x +y ﹣5＝0上运动，则|MP →|为2x +y ﹣5＝0和x 2+y 2=54上两点间的距离，则其最小值为√22+12=√5−√52=√52， 故|MA →+MB →|的最小值是√5． 故选：B ．二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）10．设x ，y ∈R ，向量a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(2，−4，2)，且a →⊥c →，b →∥c →，则|a →+b →|= 3 ． 解：∵a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(2，−4，2)，且a →⊥c →，b →∥c →， ∴{a →⋅c →=2x −4+2=012=y −4=12，解得x ＝1，y ＝﹣2， ∴a →+b →=(2，−1，2)，∴|a →+b →|=√22+(−1)2+22=3． 故答案为：3．11．已知点A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l 过点P （1，1）且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为 （﹣∞，﹣4]∪[34，+∞） ．解：如图，k PA =−3−12−1=−4，k PB =−2−1−3−1=34．∴直线l 的斜率k 的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[34，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[34，+∞）．12．若过点（﹣2，1）的直线l 和圆x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0交于A ，B 两点，若弦长|AB |＝2√3，则直线l 的方程为 3x +4y +2＝0或x ＝﹣2 ．解：由圆x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0，得（x +1）2+（y +1）2＝4， ∴圆心C （﹣1，﹣1），半径r ＝2， 设圆心C （﹣1，﹣1）到直线l 的距离为d ，∵弦长|AB |＝2√3，∴d =√r 2−(12|AB|)2=√4−3=1，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝﹣2，圆心到直线l 的距离为1，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y ﹣1＝k （x +2），即kx ﹣y +1+2k ＝0， 圆心到直线l 的距离为d =|−k+1+1+2k|√k +1=|k+2|√k +1=1，解得k =−34，此时直线l 的方程为3x +4y +2＝0，综上所述：直l 的方程为3x +4y +2＝0或x ＝﹣2．13．已知点（4a ，2b ）（a ＞0，b ＞0）在圆C ：x 2+y 2＝4和圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的公共弦上，则1a +2b 的最小值为 8 ． 解：根据题意，圆C ：x 2+y 2＝4和圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4， 联立{x 2+y 2=4(x −2)2+(y −2)2=4，变形可得：x +y ＝2，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y ＝2，若点（4a ，2b ）（a ＞0，b ＞0）在圆C 和圆M 的公共弦上，则有4a +2b ＝2， 则1a +2b =12（1a +2b ）（4a +2b ）≥4+4＝8，当且仅当b ＝4a 等号成立， 即1a +2b的最小值为8； 故答案为：8．14．在△ABC 中，∠A ＝30°，|AB |＝2，S △ABC =√3．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝√3−12． 解，∠A ＝30°，|AB |＝2，S △ABC =√3．∴12×2×|AC|×12=√3，∴|AC|＝2√3，∴|BC|2=22+(2√3)2−2×2×2√3×√32=4，∴|BC|＝2，∵以A，B为焦点的椭圆经过点C，∴2a＝|AC|+|BC|＝2√3+2，2c＝2，∴e=ca=2c2a=223+2=√3−12．故答案为：√3−1 2．15．已知F(√6，0)为椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点．若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且△OFP外接圆的面积为2π，则椭圆C的长轴长为6．解：因为△OFP外接圆的面积为2π，所以其外接圆半径为√2．又△OFP是以OF为底边的等腰三角形，设∠OFP＝α，则∠OPF＝π﹣2α，所以√6sin∠OPF=√6sin2α=2√2，所以sin2α=√32，所以α=π6或α=π3．不妨设点P在x轴下方，所以k PF=−k OP=√33或√3．又根据点差法可得k PF⋅k OP=−b2a2，所以b2a2=13或b2a2=3(此时焦点在y轴上，舍去）．因为F(√6，0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，所以c=√6，所以a2＝b2+6，又a2＝3b2，所以b2＝3，a2＝9，故椭圆C的长轴长为2a＝6．故答案为：6．三、解答题16．（14分）已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），且圆心在直线l：x+y﹣1＝0上，求：（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）设点P 在圆C 上，点Q 在直线x ﹣y +5＝0上，求|PQ |的最小值；（3）若过点（0，3）作圆C 的切线，求该切线方程．（1）设圆的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，因为圆经过A （﹣1，1）和点B （﹣2，﹣2）， 且圆心在直线l ：x +y ﹣1＝0上，所以 {(−1−a)2+(1−b)2=r 2(−2−a)2+(−2−b)2=r 2a +b −1=0解得：{a =3b =−2r =5，所以圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +2）2＝25．（2）因为圆C 到直线x ﹣y +5＝0的距离为d =|3+2+5|√2=5√2＞5， 所以直线与圆相离，所以|PQ |的最小值为d −r =5√2−5．（3）当斜率不存在时，过点P （0，3）的直线为x ＝3，不是圆的切线，当斜率存在时，设直线方程为y ＝kx +3，即kx ﹣y +3＝0，由条件可知，圆心C 到直线kx ﹣y +3＝0的距离为5， 根据点到直线的距离公式得：√k 2+1=5，解得k =0或158． 所以直线方程为15x ﹣8y +24＝0或y ＝3．17．（15分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，AD ＝AB ＝2，BC ＝4，M 为PC 的中点，点E 在线段BC 上，且BE ＝1．（1）求证：DM ∥平面P AB ；（2）求平面PDE 与平面BDE 夹角的余弦值；（3）求点E 到平面PDC 的距离．（1）证明：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），C （2，4，0），M （1，2，1），E （2，1，0），DM →=（1，0，1），易知平面P AB 的一个法向量为AD →=（0，2，0），故DM →•AD →=0+0+0＝0，则DM →⊥AD →．又DM ⊄平面P AB ，故DM ∥平面P AB ．（2）解：易知平面BDE 的一个法向量为AP →=（0，0，2），设平面PDE 的法向量为m →=（x ，y ，z ），且PD →=（0，2，﹣2），DE →=（2，﹣1，0），则{m →⋅PD →=2y −2z =0m →⋅DE →=2x −y =0，令y ＝2，则x ＝1，z ＝2，∴m →=（1，2，2）．设平面PDE 与平面BDE 夹角为θ，易知θ为锐角，cos θ＝|cos ＜m →，AP →＞|＝|m →⋅AP →|m →||AP →||=43×2=23．（3）解：设平面PDC 的法向量为n →=（a ，b ，c ），且DC →=（2，2，0），则{n →⋅PD →=2b −2c =0n →⋅DC →=2a +2b =0，令b ＝1，则a ＝﹣1，c ＝1，故n →=（﹣1，1，1）， 设点E 到平面PDC 距离为h∴h ＝|DE →⋅n→|n →||=3√3=√3．18．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线x −y +√6=0相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点Q （1，0）斜率为k 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若OM →⋅ON →=−2，求实数k 的值及△MON 的面积．解：（1）已知椭圆C 的离心率e =c a =12， 所以e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=14， 即a 2=43b 2，① 因为以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线x −y +√6=0相切，所以b =6√1+1=√3，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x 24+y 23=1y =k(x −1)，消去y 并整理得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，又韦达定理得{x 1+x 2=8k 23+4k 2x 1⋅x 2=4k 2−123+4k 2， 此时y 1y 2=k(x 1−1)⋅k(x 2−1)=−9k 23+4k2， 因为OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=−5k 2−123+4k 2=−2， 整理得k 2＝2， 解得k =±√2，此时{x 1+x 2=1611x 1⋅x 2=−411， 则|MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3√(1611)2+1611=3611， 又点O 到直线的距离d =√23=√63，故△MON的面积S=12×3611×√63=6√611．19．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=π2，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为7√315，求线段DH的长．（1）证明：由已知可知：PD⊥AD，平面ADPQ⊥平面ABCD，PD⊂平面ADPQ，∴PD⊥平面ABCD，∵AQ∥PD，AB∥CD，AQ∩AB＝A，PD∩CD＝D，AB⊂平面ABQ，AQ⊂平面ABQ，PD⊂平面PDC，CD⊂平面PDC，∴平面ABQ∥平面PDC，∴QB∥平面PDC；解：（2）以D为原点，DA为x 轴，DC为y 轴，DP为z 轴，建立空间直角坐标系如图：则有A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，2），Q（2，0，1），C（0，2，0），PC →=（0，2，﹣2），BC →=（﹣2，0，0），QB →=（0，2，﹣1），PQ →=（2，0，﹣1），设平面CPB 的一个法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅PC →=2b −2c =0n →⋅BC →=−2a =0， 令 b ＝1，则有a ＝0，c ＝1，n →=（0，1，1），设平面PQB 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅QB →=2y −z =0m →⋅PQ →=2x −z =0，令 z ＝2，则 x ＝1， y ＝1，m →=（1，1，2），设平面PQB 与平面CPB 所成二面角的平面角为α，则cos α=m →⋅n →|m →||n →|=32×6=√32， ∴二面角C ﹣PB ﹣Q 的正弦值为√1−(√32)2=12； （3）∵点H 在PD 上，∴设H （0，0，t ），0≤t ≤2，则有AH →=（﹣2，0，t ），PB →=（2，2，﹣2），依题意有|cos ＜AH →，PB →＞|＝|AH →⋅PB →|AH →||PB →|||2√3×√4+t 2|=7√315， 解得t 1=32，t 2=83， 由于H 点PD 上，PD ＝2，∴t ≤2，∴t =32， 即DH =32． 20．（16分）如图，已知椭圆G ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，设A （0，b ），P （﹣a ，0），Q （a ，0），若△AF 1F 2为正三角形且周长为6．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）若过点（1，0）且斜率为k （k ≠0，k ∈R ）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，是否存在实数k 使∠MPO ＝∠NPO 成立，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若过点（1，0）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，记△PMQ 、△PNQ 的面积记为S 1、S 2，求S 1S 2的取值范围．解：（1）不妨设椭圆G的半焦距为c，因为△AF1F2为正三角形且周长为6，易知A（0，b），所以{a=2c2a+2c=6，解得a＝2，c＝1，又b=√a2−c2=√3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；（2）易知直线MN的斜率存在且不为0，不妨设直线MN的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），此时k=1m ，联立{3x2+4y2=12x=my+1，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，由韦达定理得y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，由（1）知P（﹣2，0），假设存在实数k使得∠MPO＝∠NPO，此时直线MP，NP的斜率k MP，k NP满足k MP+k NP＝0，因为k MP+k NP=y1x1+2+y2x2+2=y1my1+3+y2my2+3=y1(my2+3)+y2(my1+3)(my1+3)(my2+3)=2my1y2+3(y1+y2)(my1+3)(my2+3)=2m⋅(−93m2+4)+3×(−6m3m2+4)(my1+3)(my2+3)=−36m3m2+4(my1+3)(my2+3)=0，解得m＝0，其与k=1m相矛盾，所以不存在实数k使∠MPO＝∠NPO成立；（3）易知直线MN不垂直于y轴，不妨设直线MN的方程为x＝my+1，m∈R，由（2）知y1y2＜0，不妨设y1＝λy2，因为λ＜0，所以y1+y2=(λ+1)y2=−6m3m2+4，因为(λ+1)2y22=36m2(3m2+4)2，y1y2=λy22=−93m2+4，所以(λ+1)2λ=36m2(3m2+4)2⋅(−3m2+49)=−4m23m2+4=−43+163(3m2+4)，显然0＜163(3m2+4)≤43，当且仅当m＝0时，等号成立，所以−43＜(λ+1)2λ≤0，解得−3＜λ＜−1 3，则S1S2=12|PQ||y1|12|PQ||y2|=|y1||y2|=−y1y2=−λ∈(13，3)，故S1S2的取值范围为(13，3)．。
2024-2025学年江苏盐城盐都区九年级五校联考11月期中数学试题及答案
2024年秋学期九年级数学期中考试试卷一、选择题（每题3分，计24分）1．下列方程，属于一元二次方程的是（）A．x2﹣xy＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C．D．2（x+1）＝x2．一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，2，﹣33．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．4．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．3(1+x)=18 B．3(1+x)2=18 C．3+3(1+x)2=18 D．3+3(1+x)+3(1+x)2=185．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弦相等D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，则∠AED的度数为（）A．110°B．115°C．120°D．105°7．如图，圆O的半径是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中点，则弦AB的长为（）A．B．C．4 D．68．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（）A ．13B ．14C ．12D ．28二、填空题（每题3分，计30分）9．写一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根： （写出一个即可）．10．关于x 的方程x 2+kx +1＝0有两个相等的实数根，则k 值为 ．11．若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则4m 2﹣6m +2022的值为 ．12．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝8，EB ＝2，则⊙O 的半径为 ． 13．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是 ．14．为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛，如图，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选 .（填“小洋”或“小亮”）．第12题 第14题15． 如图，在正六边形ABCDEF 中，AH FG ∥，BI AH ⊥，垂足为点I ．若20EFG ∠=°，则ABI ∠=．16．如图，60BAC ∠=°，45ABC ∠=°，AB =，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画O 分别交AB 、AC 于E 、F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为______．17．如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n 行有n 个点，容易发现，10是三角点阵中前4行的点数之和．当三角点阵中点数之和是300时，则三角点阵点的行数为 ．18．如图，在矩形ABCD 中，12AB =，16BC =，点E F 、分别是边AB BC 、上的动点，且10EF =，点G 是EF 的中点，连接AG CG 、，则四边形AGCD 面积的最小值为 ．第15题 第16题 第17题 第18题三、解答题（共9题，计96分）19．解方程：（1）36x 2﹣1＝0；（2）x 2+10x +21＝0；20．初一某班16名男生在体检时测量了身高．以160cm 为基准，记录男生们的身高，超过160cm 记为正，不足160cm 记为负．前15名男生的相对身高（单位：cm ）记录如表，第16名男生身高为171cm ． 序号1 2 3 4 5 6 7 8 相对身高7− 4+ 0 16+ 2+ 3− 1+ 5− 序号9 10 11 12 13 14 15 16 相对身高 9− 3+ 4− 7+ 1+ 2− 1+ m(1)表格中m ＝ ；(2)该班最高的男生与最矮的男生身高相差 cm ；(3)计算该班男生的平均身高．21．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出人，建造时，在BC 上用其它材料做了宽为2米的两扇小门，在EF 上用其它材料做了宽为1米的一扇小门．（1）设花圃的一边AB 长为x 米，请你用含x 的代数式表示另一边AD 的长为___________米；（2）若此时花圃的面积刚好为254m ，求此时花圃的长与宽．22．如图，在四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点E ，且AB AC AD ==，经过A ，C ，D 三点的O 交BD 于点F ，连接CF ．(1)求证：CF BF =；(2)若CD CB =，求证：CB 是O 的切线．23．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m +1）x +m 2+10＝0的两实数根．（1）求m 的取值范围；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求m 的值和△ABC 的周长．24．定义：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若根的判别式24b ac −是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”．(1)判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号）①2430x x −−=；②220x mx m ++−=；③()210x b x b +++=；(2)若关于x 的一元二次方程222(1)20x m x m m −−+−=①证明：此方程一定是“完美方程”；②设方程的两个实数根分别为1x ，()212x x x <，是否存在实数k ，使得()12,P x x 始终在函数3y kx k =−+的图像上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．25．某电商销售一款秋季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件．为了庆祝二十大的胜利召开，未来30天，这款时装将开展“喜迎二十大，每天降1元”的促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．(1)这30天内该电商第几天的利润最大？最大利润是多少？(2)为了回馈社会，在这30天内，该电商决定每销售一件时装，向希望工程捐a 元（0,a >）．要使每天捐款后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大，求a 的取值范围．26.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：点D 是边BC 的中点．（2）记的度数为α，∠C 的度数为β．探究α与β的数量关系．27．如图①，在四边形ABCD 中，9086BAD D AD CD AB m ∠=∠=°===，，，．过A B C ，，三点的O 的圆心位置和半径，随着m 的变化而变化．解决下列问题：【特殊情形】（1）如图②，当0m =时，圆心O 在AD 上，求O 的半径．【一般情形】（2）（Ⅰ）当2m =时，求O 的半径；（Ⅱ）当0m >时，随着m 的增大，点O 的运动路径是； （填写序号）①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线【深入研究】（3）如图③，连接AC ，以O 为圆心，作出与CD 边相切的圆，记为小O ．当小O 与AC 相交且与BC 相离时，直接写出m 的取值范围．参考答案1-4BAAD 5-8DACD9.x 2+2x +1＝0（答案不唯一） 10.±2 11.2023 12.5 13.½ 14.小亮 15.50° 16.18.14219.解：（1）36x 2﹣1＝0，36x 2＝1，，解得，；（2）x 2+10x +21＝0，x 2+10x ＝﹣21，x 2+10x +25＝﹣21+25，即（x +5）2＝4，x +5＝±2，解得x 1＝﹣3，x 2＝﹣7；20.（1）解：由题意得，17116011m =−=+，故答案为：11+；（2）解：16(9)16925cm +−−=+=，即该班最高的男生与最矮的男生身高相差25cm ，故答案为：25；（3）解：1(740162315934712111)16016×−++++−+−−+−++−+++ 11616016=×+ 161cm =答：该班男生的平均身高为161cm ．21.1）()273x −（2）长为9米，宽为6米22.（1）证明：AB AC = ，ACB ABC ∴∠=，AB AD = ，ADB ABD ∴∠=∠，又ADB ACF ∠=∠ ， ACF ABD ∴∠=∠，ACB ACF ABC ABD ∴∠−∠=−∠，即：BCF CBF ∠=∠， CF BF ∴=；（2）证明：连接CO 并延长交O 于G 点，再连接GF ，CG 为O 直径，90GFC ∴∠=°，90G GCF ∴∠+∠=°，CDB G ∠=∠ ，90CDB GCF ∴∠+∠=°，CD CB = ，CDB CBD ∴∠=∠，CF BF = ，BCF CBD ∴∠=∠，BCF CDB ∴∠=∠，90BCF GCF ∴∠+∠=°，90BCG ∴∠=°，CG BC ∴⊥，CB ∴是O 的切线．23.解：（1）根据题意得Δ＝4（m +1）﹣4（m 2+10）≥0，解得；（2）当腰长为7时，则x ＝7是一元二次方程x 2﹣2（m +1）x +m 2+10＝0的一个解， 把x ＝7代入方程得49﹣14（m +1）+m 2+10＝0，整理得m 2﹣14m +45＝0，解得m 1＝9，m 2＝5，当m ＝9时，x 1+x 2＝2（m +1）＝20，解得x 2＝13，则三角形周长为13+7+7＝27；当m ＝5时，x 1+x 2＝2（m +1）＝12，解得x 2＝5，则三角形周长为5+7+7＝19；当7为等腰三角形的底边时，则x 1＝x 2，所以，方程化为4x 2﹣44x +121＝0，解得，三边长为， 其周长为， 综上所述，m 的值是9或5或，这个三角形的周长为27或19或18． 24.（1）解：①2430x x −−=，()()224441328b ac −=−−××−= ，不是完全平方数，2430x x ∴−−=不是“完美方程”； ②220x mx m ++−=， ()()22224424824b ac m m m m m −=−−=−+=−+ ，不是完全平方式，220x mx m ∴++−=不是“完美方程”；③()210x b x b +++=， ()()2222414211b ac b b b b b −+−−+− ，是完全平方式，()210x b x b ∴+++=是“完美方程”； 故答案为：③；（2）解：①证明：222(1)20x m x m m −−+−=()()2222242142484484b ac m m m m m m m −=−−−=−+−+= ，且4是完全平方数， ∴此方程一定是“完美方程”；②存在，理由如下：222(1)20x m x m m −−+−= ，()()20x m x m ∴−−−=， 0x m ∴−=或()20x m −−=， x m ∴=或2x m =−，设方程222(1)20x m x m m −−+−=的两个实数根分别为1x 、()212x x x <，12x m ∴=−，2x m =，()12,P x x 始终在函数3y kx k =−+的图像上，()23m k m k ∴=−−+，313m k m −∴==−， 即存在实数k ，使得PP (xx 1,xx 2)始终在函数3y kx k =−+的图像上，k 的值为1 25.解：（1）设销售利润为w 元，销售时间为x 天，由题意可知，(11040)(420),wx x =−−+ 242601400x x =−++24(32.5)5625,x =−−+∵50,a =−< ∴函数有最大值，∴当30x =时，w 取最大值为24302603014005600w =−×+×+=元， ∴第30天的利润最大，最大利润是5600元；（2）设未来30天每天获得的利润为y ，时间为t 天，根据题意，得(11040)(204)(204),y t t t a =−−+−+化简，得24(2604)140020,y t a t a =−+−+− 每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大， ∴260429.5,2(4)a −−>×− 解得，6,a又∵0,a >即a 的取值范围是：06a <<．26.（1）证明：如图，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，点D 在圆上，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，即点D 是BC 的中点；（2）解：β﹣α＝45°； 如图，连接OE ，∵的度数为α，∴∠AOE ＝α，∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠OAE ＝45°﹣α， ∵∠CAD +∠C ＝90°，∴45°﹣α+β＝90°即β﹣α＝45°．27.（1）解：连接OC ，在O 中，设OA O =C r =，则8OD r =−． 在Rt OCD 中，90D ∠=︒，∴222OD CD OC +=，即222(8)6r r −+=．解得254r =． （2）（I ）解：过点O 分别作,OF AB OE CD ⊥⊥，连接,OC OB ，∵OF 过圆心，OF AB ⊥， ∴1AF BF ==．∵90A D OFA ∠=∠=∠=°， ∴四边形AFED 是矩形．∴1AF DE ==．∴5CE CD DE =−=．设OE x =，则8OF x =−，在Rt COE 中222OE CE OC +=， 在Rt BOF 中222OF BF OB +=， ∴2222OE CE OF BF +=+，即2225(8)x x +=−21+． 解得52x =，∴2221254OC OE CE =+=，即r OC == （II ）过点O 分别作,OF AB OE CD ⊥⊥，连接,OC OB ，如图：由（I ）知：1,82BFAF DE m EF AD =====， 16,2CE CD DE m ∴=−=− 设OE x =，则8OF x =−，∵OC OB =，∴2222OE CE OF BF +=+， 即2222116(8)24x m x m +−=−+ ， 整理得：1438m x +=， ∵0,m O >到AD 的距离12DEm =， 类比平面直角坐标系内xy 的几何意义， ∴O 的轨迹是一条射线，故答案为：①；（3）过O 作EF CD ⊥，交CD 于E ，交AB 于F ，过O 作OM AC ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接O ,C OB ，过B 作BG CD ⊥于G ，如图：由（II ）知，1438m OE +=， ()222225420,64OC CE OE m m ∴+−+ 8,6,AD CD ==10,AC ∴= 15,2CM AC ∴== ()22222525420256464OM OC CM m m ∴=−=−+−=()2444,m m −− ,,,BG CD AD CD DG AB ⊥⊥∥ ∴四边形ABGD 是矩形，,8,DG AB m BG AD ∴====6,CG m ∴=−222212100,BC CG BG m m ∴=+=−+()2221112100,24CN BC m m ∴==−+ ()22221992900,64ON OC CN m m ∴=−=+− 小O 与AC 相交且与BC 相离， ,OM OE ON ∴<<222,OM OE ON ∴<< 即()()222251431444992900,64864m m m m m + −−<<+− 解得：1123m <<．。
2025届浙江省杭州市五校联盟高三第二次联考数学试卷含解析
2025届浙江省杭州市五校联盟高三第二次联考数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?2．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=() A ．12 B ．10 C ．8 D ．32log 5+5．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( )A ．[12]-，B ．[2]-，C ．(2]-，D ．2,2⎡-⎣6．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3πB ．23πC ．2πD ．π8．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ）A ．函数()f x 在()0,3上单调递增B ．函数()f x 在()0,3上单调递减C ．函数()f x 图像关于32x =对称D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 9．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，则32y x --的取值范围为（ ） A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(1,2] C ．(,0][2,)-∞+∞ D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞10．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ）A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a11．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．122C ．23D ．16312．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024吉林省长春市五校联考高三数学试卷(含答案)
2024届高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y −==−==∣∣，则A B ⋂=（ ）A.()0,2B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞− 2.已知复数iz 1i=−，则z 的虚部为（ ） A.12−B.1i 2− C.12 D.1i 2 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD ==和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B −−和Q BC A −−的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（ ）A.303B.203 9932D.4843+ 5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知π3cos sin 6αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（ ） A.3 B.14− C.14 37.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A.22B.4C.322+D.6 8.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（ ） A.c a b << B.c b a << C.b c a << D.b a c <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（ ） A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a −的前n 项和n S 的最小值为6S10.已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（ ）A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点M 2C.若M 为侧面11DCC D 上的动点，且2213MB =，则点M 的轨迹的长度为23π9D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M 满足23MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828=为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤−'+=⎣⎦'有3个不等的实数解 B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln ex g a x g x x −+≤−恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +共线，则||b c +的最小值为__________. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25. （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望， 16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+−=. （1）求B ；（2）若2AC CD =，且3BD =c . 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面是边长为2的正方形，且6PB BC =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ； （2）求二面角P AD Q −−的大小. 18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F −，且椭圆C 过33,P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k −=，设AMN ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S −的取值范围18.（本小题17分） 已知()2e2e xx f x a x =−（其中e 2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， （2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由； （3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD 10.BC 11.AC三､填空题12.60 13.211414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ， 则()3234510P A =⨯=. （2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：X 1 2P1320 720()137272.202020E X =+⨯= 16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+−=+−=.()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C A B B A C B B ∴+−=+−=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴=.（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +−==∴+−=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x∠∠+−−==∴−−=.2321321330,0c c c c c ±+∴−−=∴=>∴=. 17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =. GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG . OQ ⊄平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥平面DCQ .OQ ⊂平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂平面,DCQ BC CQ ∴⊥. 26,6,2,2PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，22,2DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −， 则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P −−−−所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =−=−=−， 设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=−+=⎪∴=⎨⋅=−=⎪⎩ 设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=−++=⎪∴=−⎨⋅=−=⎪⎩ 2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅ 又二面角P AD Q −−范围为()0,π，所以二面角P AD Q −−的大小为π4. 18.解：（1）由题意可得：2222213314c a b c ab ⎧⎪=⎪−=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,31a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B −，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++−=，所以()22Δ48340t m=+−>，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足 2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−， 则12324BM k k k =−=，即238BM k k −⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=−−()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+−+−+−++−()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t −−++====−−−−−−+−++ 所以23m =−，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫−⎪⎝⎭. 因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=−=⎪++⎪⎨−⎪==−++⎪⎩，所以12S S −=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()22212121222833243342283399433334t t y y y y y y t ++−=−=+−==+()2228314334934t t =−++令2122118340,,34439x S S x x t ⎛⎤=∈−=−+ ⎥+⎝⎦ 当211344t =+即0t =时，12S S −86212834860,399S S x x ⎛∴−=−+ ⎝⎦19.解：（1）当0a =时，()()()2,21x x f x xe f x x e =−=+'−.()14.f e =−∴'曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()41242.y e x e ex e =−−−=−+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =−，定义域为(),∞∞−+ ()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=−+=−−令()e 22xF x x =−−，则()2xF x e '=−，当()(),ln2,0x F x ∞∈−'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>； 所以()F x 在(),ln2∞−递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==−−=−< ()()2110,260F F e e−=>=−> 存在()11,ln2x ∈−使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈−时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增； ()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减； ()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值. （3）()()()222121xx x x f x ae x e e ae x '=−+=−−，由()()21111,0,00a x f x f a aa a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =−−，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=−−>−−，则()()1110g a a a ∴−>−−−=又()110g ae −−=<，()01,1x a ∃∈−−使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =−−=且当()0,x x ∞∈−时，()0g x >即()0f x '>； 当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞−递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==−，由()000001e 10,exx x g x a x a +=−−==， 由max 1()0f x a+≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +−+≤+即()()00011101x x x −++≤+， 由010x +<得20011,21x x −≤∴−<−，001,e x x a +=∴设()1(21)e x x h x x +=−≤<−，则()0xxh x e −=>'， 可知()h x 在)2,1⎡−⎣上递增，()((()()221221210h x h e h x h e −−≥−==<−=实数a 的取值范围是()212e ⎡⎣.。
浙江省金华市东阳市江北五校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年第一学期九年级数学练习（二）试题卷本卷考试范围：九年级上册1-3章考生须知：1.全卷共三大题，24小题，满分为120分。
考试时间为120分钟。
2.本卷答案必须填写在答题纸的相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效。
3.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！卷Ⅰ说明：本卷共有一大题，10小题，共30分。
请用2B 铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.二次函数的一次项系数是（ ）A.-2B.6C.-6D.-12.一个袋子里有7个红球、4个黄球和1个绿球，从中任意摸出1个球，摸出的球（ ）A.一定是绿球B.一定是黄球C.一定是红球D.红球的可能性大3.已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ）A.点在外 B.点在上 C.点在内D.不能确定4.下列变量之间具有二次函数关系的是（ ）A.圆的周长与半径B.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量C.正三角形的面积与边长D.匀速行驶的汽车，路程与时间5.已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（ ）A. B. C. D.6.如图是二次函数的图象，表明无论为何值，函数值永远为负，则下列结论成立的是（）2261y x x =-+-O e 9cm 10cm OA =A O e A O e A O e A O e C ry x S a s t()1,2M ()3,3N -(),P x y P (3,5)(3,5)-(1,7)-(1,3)-2y ax bx c =++x yA.，B.，C.，D.，7.以原点为旋转中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点的坐标为（ ）A. B. C. D.8.将的圆周12等分，点、、是等分点，如图，的度数可能为（ ）A. B. C. D.9.如下表是二次函数中与的部分对应值，则方程的一个根的取值范围是（ ）…1 1.1 1.2 1.3 1.4……-0.75-0.465-0.160.1650.51…A. B. C. D.10.如图，平面直角坐标系中，经过三点，，，点是上的一动点.当点到弦的距离最大时，点的坐标是（ ）A. B. C. D.卷Ⅱ说明：本卷共有两大题，14小题，共90分.请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上.二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11.从初中数学6本书中随机抽取1本，则抽到的那本为九年级的概率为_____.12.二次函数，当时，随的增大而______.（填“增大”或“减小”）0a >240b ac ->0a >240b ac -<<0a 24>0b ac -0a <240b ac -<()4,5P 90 Q (4,5)-(4,5)-(5,4)-(5,4)-O e A B C ADB ∠3045606522.5y ax bx =+-x y 22.50ax bx +-=1x xγ11 1.1x <<11.1 1.2x <<11.2 1.3x <<11.3 1.4x <<P e ()8,0A ()0,0O ()0,6B D P e D OB D (9,3)(9,6)(10,3)(10,6)()21y x =-0x <y x13.已知的一条弦把圆的周长分成1:5的两个部分，则弦所对的弧的度数为_____.14.小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度（单位：米）与在空中飞行的时间（单位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间_____秒时，篮球距离地面最高.15.如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处.若折痕_____.16.函数在有最大值6，则实数的值是_____.三、解答题（本题共8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程）17.（8分）平面直角坐标系中，点、、、在上.（1）在图中清晰标出点的位置；（2）点的坐标是_____.18.（8分）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数.则乙胜.（1）转出的数字为3的概率是_____.（2）转出的数字不大于3的概率是_____.O e AB AB h t 2412h t t =-+=AOB 90AOB ∠=AOB O AB C DE =222y x ax =-+-13x -≤≤a ()2,9A ()2,3B ()3,2C ()9,2D P e P P（3）你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？19.（8分）如图，已知为的直径，是弦，且于点.连接、、.（1）求证：；（2）若，，求的直径.20.（8分）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为.完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示：（1）圆形团扇的半径为_____（结果保留），正方形团扇的边长为_____；（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短.21.（8分）已知二次函数（是常数）.（1）求证：无论为何值，该二次函数图象与轴一定有交点；（2）已知该二次函数的图象与轴交于，两点，且，求的值.22.（10分）网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗.已知板栗的成本价为6元，每日销售量与销售单价（元）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于30元.设销售板栗的日获利为（元）.（元）789430042004100（1）求日销售量与销售单价之间的函数解析式：（不用写自变量的取值范围）（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？23.（10分）如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足AB O e CD AB CD ⊥E AC OC BC CAO BCD ∠∠=3BE =8CD =O e 2400cm πcm cm ()223y x m x m =--+-m m x x A B 2AB =m /kg ()y kg x /kg /kg w x /kg ()y kg y x w C D ACB P AB，则称是的“相望角”，如图，（1）如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接.求证：是的“相望角”；（2）如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长.24.（12分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象.（1）求抛物线的解析式；（2）当点到轴的距离为8时，求的值；（3）当图象的最大值与最小值的差为4时，求的取值范围.APC BPD ∠∠=CPD ∠CD CE AB ⊥D BC DE AB P CP CPD ∠CD 6AB =CE AB ⊥CD 90CD 2y x bx c =-++x ()1,0A ()5,0B -y C P C P m C P G P x m G m2024-2025学年第一学期九年级数学练习（二）参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.B2.D3.A4.C5.C6.D7.C8.D9.C 10.A 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.12.减小 13.或 14. 15. 16.或三、解答题（共8小题，共72分）17.（8分）解：弦的垂直平分线是，弦的垂直平分线是，因而交点的坐标是.18.（8分）解：（1）一共有5个数字，每个数字被转出的概率相同，转出的数字为3的概率是，（2）一共有5个数字，数字不大于3的有3个，转出的数字不大于3的概率是，（3）这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下：一共有5个数字，其中奇数有3个，偶数有2个，且每个数字被转出的概率相同，任意转动转盘一次，转出奇数的概率为，转出偶数的概率为，，乙获胜的概率大，这样的游戏规则对甲、乙两人不公平.19.（8分）（1）证明：为的直径，是弦，且于点，，；4分（2）解：设的半径为，则，，，，1360 3003224π-92-AB 6y =CD 6x =P (6,6) ∴15∴35∴35252355∴<∴∴AB O e CD AB CD ⊥E »»BCBD ∴=CAO BCD ∴∠=∠O e R 3OE OB BE R =-=-AB CD ⊥ 8CD =118422CE CD ∴==⨯=在中，由勾股定理可得，，解得，的直径为.20.（8分）解：（1）由题意得：，，，20；（2），圆形团扇的周长为：，正方形团扇的边长为，正方形团扇的周长为：，，圆形团扇所用的包边长度更短.21.（8分）解：（1）当时，，，一元二次方程有实数根，无论为何值，该二次函数图象与轴一定有交点；（2）当时，，得，，，，或.22.（10分）解：（1）设与之间的函数关系式为，Rt CEO △222OC OE CE =+()22234R R ∴=-+256R =O ∴e 253)cm =()20cm = cm ∴)2cm π= 20cm ∴()20480cm ⨯=80<=80∴<∴0y =()2230x m x m --+-=()()()222224134441281640m m m m m m m m =---⨯⨯-=-+-+=-+=-≥⎡⎤⎣⎦△∴()2230x m x m --+-=∴m x 0y =()2230x m x m --+-=()242m m x -±-==13x m ∴=-21x =()3142AB m m ∴=--=-=6m ∴=2m =y x ()0y kx b k =+≠把，和，，代入得：，解得，日销售量与销售单价之间的函数关系式为；（2）由题意得：，，对称轴为直线，由已知得，，当时，有最大值为48400元.当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为48400元.23.（10分）（1）证明：直径，弦，垂直平分弦，，，，是的“相望角”；（2）解：由题意知，是的“相望角”，，，直径，弦，，，，，如图1，记圆心为，连接，，则图1，，由勾股定理得，的长为.7x =4300y =8x =4200y =7430084200k b k b +=⎧⎨+=⎩1005000k b =-⎧⎨=⎩∴y x 1005000y x =-+()()61005000w x x =--+2100560030000x x =-+-()21002848400x =--+1000a =-< 28x =630x ≤≤∴28x =w ∴w AB CE AB ⊥AB ∴CE APC APE ∴∠=∠APE BPD ∠=∠ APC BPD ∴∠=∠CPD ∴∠»CD CPD ∴∠»CD90CPD ∠=45APC BPD ∴∠=∠= 6AB =CE AB ⊥PEC PCE ∴∠=∠45APC APE ∠=∠= 90CPE ∴∠= 45PEC PCE ∠=∠= O OC OD 132OC OD AB ===»»CDCD = 290COD PEC ∴∠=∠=CD ==CD∴24.（12分）解：（1）抛物线与轴交于，两点，将点，点的坐标代入得：，解得抛物线的解析式为；（2）是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，，点到轴的距离为8时，得到：或，当时，整理得，解得或；当时，整理得，解得或；综上，的值为-1或-3或或；（3）抛物线与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象.当时，，点的坐标为，图象的最大值与最小值的差为4，①当点在点上方时，，且，，解得或0（舍去），，②当点在点下方时，此时点在点左侧，不满足题意，点在点右侧，，解得或（舍去），综上所述，的取值范围是或.2y x bx c =-++x ()1,0A ()5,0B -A B 2y x bx c =-++102550b c b c -++=⎧⎨--+=⎩45b c =-⎧⎨=⎩∴245y x x =--+P C P m ()2,45P m m m ∴--+ P x 2458m m --+=2458m m --+=-2458m m --+=2430m m ++=1m =-3m =-2458m m --+=-24130m m +-=2m =-+2m =-m 2-2-245y x x =--+y C P C C P G 0x =5y =∴C (0,5) G P C ()224529y x x x =--+=-++ 954-=2455m m --+=4m =-42m ∴-≤≤-P C P C ∴P C ()25454m m ∴---+=2m =-+2m =--m 42m -≤≤-2m =-+。
福建省宁德市2024-2025学年高三上学期期中五校联考数学试题及答案
福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学试题（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1. 已知集合{}30,21x M x Q x x x −=≤=∈≤ + N ，则M Q ∩=（ ）A. {}0,1,2B. []0,2C. (]2,2−D. {}1,22. 某一物质在特殊环境下的温度变化满足：1015ln w w T w w −=−（T 为时间，单位为0min,w 为特殊环境温度，1w 为该物质在特殊环境下的初始温度，w 为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min ，该物质的温度最接近（参考数据：e 2.72≈）（ ） A. 54℃B. 52℃C. 50℃D. 48℃3. 在ABC 中，已知tan tan A,B 是关于x 方程2670x x −+=的两个实根，则角C 的大小为（ ） A.3π4B.2π3C.π3D.π44. 对任意实数()2,x ∈+∞,“4a x x<+”是“4a ≤”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件D. 既不充分也不必要条件的..5. 函数221sin ln x y x x+=−⋅的大致图象是（ ） AB.C. D.6. 已知函数()332e e 1x xf x x x −=−+−+，若()()2232f a f a−+≥，则实数a 的取值范围为（ ）A. (],1−∞B. []3,1−C. (][),13,−∞−+∞D. (][),31,−∞−∪+∞7. 已知1215sin ,ln ,223a b c −===，则（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. a c b <<D. b a c <<8. 已知函数()2e ln xf x x x x a x =−−−，若对任意的0x >，都有()1f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. []4,4− B. []3,3− C. []22−,D. []1,1−二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 已知三次函数()f x 的图象如图，则下列说法正确的是（ ）.A. ()()()Δ01Δ1lim 1Δx f x f f x→+−=−′B. ()()23f f ′′<C. 0f=D. ()0xf x ′>的解集为()(),10,1−∞−∪10. 已知函数()()ππ2cos 2,2sin 236f x x g x x =+=−，则（ ） A. ()f x 与()g x 的图象有相同的对称中心 B. ()f x 与()g x 图象关于x 轴对称 C. ()f x 与()g x 的图象关于y 轴对称 D. ()()f x g x ≥的解集为()5πππ,π1212k k k−++∈Z11. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f ≠，若()()()f x y f x f y xy +−=−，则（ ） A. ()00f = B. ()f x 关于()1,0−中心对称 C. e xx >ff (xx )D. 函数()y xf x =−有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分12. 已知复数z 满足()34i 5i z −=，则z =______． 13. 已知,,20,1a b a b a b ∈>>+=R ，则112a b b+−的最小值为______．14. 已知()()()eln e ,xxf x ax ag x x=−∈=R ，若函数()()y f g x a =−恰有三个零点，则a 的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()1e 1xf x a =++为R 上的奇函数． （1）求a ；（2）若函数()()()2e 12xg x f x x =++，讨论()g x 的极值．16. 在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且tan tan A B +=. （1）求角A 的大小；的（2）若BC =，点D 是线段BC 的中点，求线段AD 长的取值范围．17. 在三棱锥P ABC −中，PM ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AB =，AC =，,M N 分别为,BC AC的中点，E 为线段AP 上一点．（1）求证：BN ⊥平面APM ； （2）若平面EBN ⊥底面ABC 且12PM =，求二面角A EN B −−的正弦值． 18. 已知函数()()2311ex x f x a x b −=−−−−，其中,a b 是实数． （1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围； （3）若()0f x ≤恒成立，求5a b +的最小值． 19. 已知函数()(πsin ,0,2f x x ωϕωϕ =+><图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，且函数()f x 图象过点 ． （1）若函数()y f x m =+是偶函数，求m 的最小值； （2）令()()41g x f x =+，记函数()g x 在17π31π,1212x∈−上的零点从小到大依次为12,,,n x x x ，求1231222n n x x x x x −+++++ 的值；（3）设函数(),y x x D ϕ=∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总存在非零常数T ，恒有()()x T P x ϕϕ+=⋅成立，则称函数()x ϕ是D 上的“P 级周期函数”，周期为T ．请探究是否存在非零实数λ，使函数()1π26xh x f x λ =−是R 上的周期为T 的T 级周期函数，并证明你的结论．福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学参考答案一、单选题：1 【答案】A【详解】不等式301x x −≤+的解集等价于不等式组()()31010x x x −+≤ +≠的解集， 即131x x −≤≤≠−，得13x −<≤，又2x ≤，解得22x −≤≤， 于是{}30131x M xx x x−=≤=−<≤ +，{}{}{}2220,1,2Q x x x x =∈≤=∈−≤≤=N N ，则{}0,1,2M Q ∩=. 故选：A 2.【答案】C【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min 代入题中式子得：100201515ln20w −=−，即80e 20w =−，即8080202049.41e 2.72w =+≈+≈. 故选：C.3. 【答案】D【详解】由题意，tan tan 6,tan tan 7A B A B +=⋅=， 所以()tan tan 6tan 11tan tan 17A B A B A B ++===−−⋅−，由()()tan tan πtan A B C C +=−=−，故tan 1C =， 又0πC <<，所以π4C =. 故选：D 4. 【答案】C.【详解】对于函数4y x x=+，根据均值不等式a b +≥（当且仅当a b =时取等号），则44y x x =+≥=. 当4x x =即2x =时取等号，但是(2,)x ∈+∞，所以44y x x=+> 判断充分性: 若4a x x <+，因为(2,)x ∈+∞时44x x+>，那么4a ≤，所以充分性成立. 判断必要性:若4a ≤，当(2,)x ∈+∞时44x x+>，显然4a x x <+，所以必要性成立.所以“4a x x<+”是“4a ≤”的充要条件. 故选：C. 5. 【答案】C【详解】函数221sin ln x y x x +=−⋅的定义域为()(),00,∞∞−∪+， ()()()()()222211sin ln ln x x f x x x f x x x −++−=−−⋅=⋅=−−， 则函数为奇函数，排除选项A 和B ； 当πx =时，函数值为0，取2π4ln 102πf =−+<，排除选项D , 故选：C . 6. 【答案】D【详解】由已知222()92e e 9290x x f x x x x −′=−++≥−+=≥，当且仅当0x =时等号成立，所以()f x 是R 上的增函数，又2()33e e 1x x f x x x −−=−++−+2()f x =−， 所以不等式()()2232f a f a−+≥化为2()2(23)(32)f a f a f a ≥−−=−，所以232a a ≥−，解得1a ≥或3a ≤−． 故选：D ． 7. 【答案】B【详解】令ff (xx )=xx −sin xx (xx >0),gg (xx )=xx −1−ln xx ,ℎ(xx )=ln xx −2(xx−1)xx+1，则()()()()()()22211141cos 0,,011x x f x x g x h x x x x x x −−′=−≥==−=+′′≥+，显然01x <<时()0g x ′<，1x >时()0g x ′>， 所以()(),f x h x 在(0,+∞)上单调递增，()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以ff (xx )>ff (0)⇒sin xx <xx ,gg (xx )≥gg (1)=0⇒xx −1≥ln xx （1x =时取得等号）， ()()()()21101ln 1x h x h x x x −≥=≥⇒≥+（1x =时取得等号），故52111523sin ln 5223313−<=<<<+a b c <<. 故选：B 8. 【答案】D【详解】()()2ln 1,e2ln 1x xf x x x x a x +≥∴−++−≥ ，即()2ln e 2ln 11x x x x a x+−+−−≤，令()()e 1e 1xxg x x g x =−−⇒=−′， 显然0x >时()0g x ′>，0x <时()0g x ′<，即()g x 在(0,+∞)上单调递增，在(),0∞−上单调递减，所以()()00g x g ≥=， 则()2ln e 1,e 2ln 10xx xx x x +≥+∴−+−≥，又∵xx >0,∴ee 2xx+ln xx −(2xx+ln xx )−1xx≥0，当且仅当2ln 0x x +=时，等号成立．()2ln min2ln 10,10,11x x e x x a a x + −+−∴=∴−≤∴−≤≤ ． 故选：D ．二、多选题：9. 【答案】ACD【详解】由图可知，三次函数()f x 为奇函数，且()f x 的极值点为1、1−， 设()32f x bx cx dx e =+++，则()00f e ==，可得()32f x bx cx dx =++，由奇函数的定义可得ff (−xx )=−ff (xx )，即()()()3232b x c x d x bx cx dx ⋅−+⋅−+⋅−=−−−， 所以0c =，可得()3f x bx dx =+，则()23f x bx d ′=+，由题意可得()130f b d ′=+=，可得3d b =−，则()233f x bx b ′=−，由图可知，函数()f x 的单调递增区间为(−1,1)，故不等式ff ′(xx )=3bbxx 2−3bb >0解集为(−1,1)，所以0b <， 对于A 选项，由题意可知，()()110f f ′−′==，由导数的定义可得()()()()Δ01Δ1lim11Δx f x f f f x→+−=′′=−，故A 正确；对于B 选项，()21239f b b b −′==，()327324f b b b =−=′， 由0b <，924b b >，所以()()23f f ′>′，故B 错误； 对于C 选项，()33f x bx bx =−，所以0f=−=，故C 正确；对于D 选项，由xxff ′(xx )=xx ⋅3bb (xx 2−1)=3bbxx (xx −1)(xx +1)>0， 可得()()110x x x −+<，解得1x <−或01x <<，因此，不等式()0xf x ′>的解集为()(),10,1∞−−∪，故D 正确. 故选：ACD 10. 【答案】ABD【详解】()()πππ2sin 22cos 2323g x x x f x =+−=−+=−， 即()f x 与()g x 的图象关于x 轴对称， 令ππππ2π32122k x k x +=+⇒=+， 的且有相同的对称中心()ππ,0Z 122k k+∈，故A 、B 正确，C 错误； 由不等式()()()π20cos 203f x g x f x x≥⇒≥⇒+≥， 令()πππ5ππ2π22ππ,πZ 2321212k x k x k k k+≥+≥−+⇒∈−++∈，故D 正确. 故选：ABD 11.【答案】BD【详解】令0,1x y ==，则()()()1010f f f −⋅=， 又()()10,01f f ≠∴=，故A 错误；令1,1x y ==−，则()()()()()0111,110f f f f f −⋅−=∴⋅−=， 又()10f ≠，()10f ∴−=，再令()()()()1,11,1y f x f x f x f x x =−−−⋅−=∴−=，()()1,f x x f x ∴=+∴的图象关于()1,0−中心对称，故B 正确；由B 得()1f x x =+，当0x =时，1x e x =+，故C 错误；由B 得()()21,f x x y xf x x x =+=−=−−，在12x =−时取到最大值，故D 正确．三、填空题：12. 【答案】1【详解】由()()()()5i 34i 5i 3434i 5i i 34i 34i 34i 55z z +−=⇒===−−−+，则1z z ===. 故答案为：113.【答案】4+；【详解】因为20a b >>，1a b +=，所以111132()(23)44222b a ba b b a b b a b b a b b−+=+−+=++≥+−−−，当且仅当322b a b a b b −=−，即a b ==时等号成立， 故答案：4+． 14. 【答案】e 1,2【详解】设()g x t =，则()f t a =，()21ln e 0xg x x−′=⋅=，得e x =， 当()()()0,e ,0,x g x g x >′∈单调递增，当()()()e,0,x g x g x ′∈+∞<,单调递减， 当e x =时，函数()g x 取得最大值1， 如图1，画出函数()t x g =的图象，由()f t a =，即e t at a −=，则()()e 1,1a t y a t =+=+恒过点()1,0−，如图，画出函数e t y =的图象，设过点()1,0−的切线与e t y =相切于点()00,e tt ，则00e e 1t t t =+，得00t =，即切点()0,1，所以切线方程为1y x =+， 如图2，则()1y a t =+与e t y =有2个交点，1a >，如图可知，若函数()()y f g x a =+恰有三个零点，则110t −<<，201t <<，则()le 11a >+，所以e 2a <，为综上可知，e 12a <<． 故答案为：e 1,2四、解答题：15.【答案】（1）12a =− （2）极大值为2ln21−；无极小值.【解析】【小问1详解】因为函数()1e 1x f x a =++为RR 上的奇函数， 由()100,2f a =∴=−， 此时()()1e 2e 1xx f x −=+， 则()()111e e 1e e 11e e ()1e 2(e 1)2(e 1)2(e 1)2e 121e x x x x xxx x x x x x f x f x −−−−−−−−===×==−=−+++ ++ ， 所以()f x 为奇函数．所以12a =−； 【小问2详解】由（1）得：()()()()2e 122e 1,x x g x f x x x g x =++=−+定义域为RR ， ()2e x g x ∴=−′，由()0g x ′>，得ln2x <；由()0g x ′<，得ln2x >，()g x ∴在(),ln2∞−上单调递增，()g x 在()ln2,∞+上单调递减，所以()g x 在ln2x =处取得极大值，()g x 极大值()ln22ln21f ==−；无极小值.16. 【答案】（1）π3A =；（2）32.【解析】【小问1详解】因为tan tan A B +=，所以由正余弦定理得tan tan A B +===， 又()sin sin sin sin cos sin cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos cos cos A B A B A B B A C A B A B A B A B A B +++=+===，sin cos cos C A B=，又ABC 是锐角三角形，所以sin 0,cos 0C B >>，所以sin A A =，所以tan A =又π0,2A∈ ，所以π3A =. 【小问2详解】由余弦定理可得222222cos 3a c b cb A c b cb =+−=+−=，即223c b cb +=+， 又()12AD AB AC =+ ， 所以()()222222111()2444AD AB AC AB AC AB AC c b bc =+=++⋅=++ ()13132442bc bc =+=+， 又由正弦定理可得2sin sin sin a b c A B C===，所以2sin b B =，2π12sin 2sin 2sin 32c C B B B ==−=+，所以2111cos24cos sin 4222B bc B B B B −=+=+⋅111π4cos22cos212sin 214426B B B B B =−+=−+=−+，由题意得π0,22ππ0,32B B << <−< 解得ππ62B <<，则ππ5π2,666B −∈ ， 所以π1sin 2,162B−∈，所以(]2,3bc ∈， 所以279,44AD ∈ ，所以线段AD长的取值范围为32 . 17. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【小问1详解】解法一：连接AM 交BN 与点O ，则MAC MCA ∠=∠，tan AB MCA AC ∠==，tan AN ABN AB ∠==， 故ABN MCA MAC ∠=∠=∠，从而90MAB ABN MAB MAC ∠+∠=∠+∠=°，从而AM BN ⊥， PM ⊥ 底面ABC ，BN ⊂ABC ，∴PM BN ⊥， 又AM PM M = ，AM PM ⊂，平面APM ，故BN ⊥平面APM 解法二：连接AM ，由,M N 分别为BC ，AC 的中点，所以1122AM AB AC =+ ， 12BN AB AC =−+ ， 又因为AB AC ⊥，1AB =，AC = 所以1110222AM BN AB AC AB AC ⋅=+⋅−+= ，故AM BN ⊥ ，从而AM BN ⊥， ∵PM ⊥底面ABC ，BN ⊂底面ABC ，∴PM BN ⊥， 又AM PM M = ，AM PM ⊂，平面APM ，故BN ⊥平面APM【小问2详解】因为AB AC ⊥，故以点A 为坐标原点，,AB AC 所在直线分别为,x y 轴，过点A 作垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()C ,()1,0,0B,1122P,N,12M ，则()AC =，BN =−，1122AP = ,因为平面EBN ⊥底面ABC ，且AM BN ⊥，则AM ⊥平面EBN，则12AM =,易得平面EBN的一个法向量为()1n = ，设平面PAC 的一个法向量为()2,,n x y z = ， 则2200AP n AC n ⋅= ⋅=，可得110220x y z = =，令1x =可得()21,0,1n =− ， 设二面角A EN B −−为θ，则12cos cos ,n n θ=〉〈== 故二面角A EN B −−18. 【答案】（1）()f x 在(),0−∞单调递增，()0,∞+单调递减； （2）413ea ≤−（3）1−．【解析】【小问1详解】 当1a =时，()()2311e x x f x x b −=−−−−，则()33e exx x f x −′−=，易知33e x y x =−−单调递减，且0x =时，0y =， 所以令ff ′(xx )>0，解得0x <，令ff ′(xx )<0，解得0x >， 所以()f x 在(),0∞−单调递增，(0,+∞)单调递减；【小问2详解】函数()f x 的图象是连续的，且在定义域上是单调函数，()330ex x f x a −∴=−≥′在定义域内恒成立， 或()330ex x f x a −=−≤′，在定义域内恒成立． 令()()()4ex x g x f x g x =′−⇒′=，显然()g x ′在(),4∞−为负，()4,∞+为正， 所以()33ex x f x a −′=−在(),4∞−单调递减，()4,∞+单调递增， ①若()330ex x f x a −=−≥′在定义域内恒成立， 只需()min 41()430e f x f a ==−−′≥′，即413ea ≤−， ②若()330e x x f x a −=−≤′在定义域内恒成立， x →−∞ 时，()f x ∞′→+，故该情况a 无解． 综上：413e a ≤−； 【小问3详解】 若()0f x ≤恒成立，则()23110ex x a x b −−−−−≤， 当2x =时，510a b −−−≤，即51a b +≥−， 下证51a b +=−成立，由51a b +=−得，()23150e x x a x a −−−+≤恒成立， 即()()2136230e e x x x a x x a − −−=−−≤， 易知12,3ex y x y a =−=−在R 上分别单调递增、单调递减， 又记()20F =，要满足题意需12,3e x y x y a =−=−零点相同， 即2130e a −=，解得213ea =， 即只需证()()221360e 3ex x F x x −=−−≤恒成立，()231e ex x F x ′−=−，由（2）得()F x ′在(),4∞−上单调递减，在()4,∞+上单调递增， 又()()20,F F x =′∴′在(),2∞−上为正，在()2,4上为负，在()4,∞+上为负， ()F x ∴在(),2∞−上单调递增，在()2,∞+上单调递减，()max ()20F x F ∴==， 即()0F x ≤恒成立，5a b ∴+最小值为1−．19. 【答案】（1）π12． （2）49π6（3）存在，证明见解析【解析】【小问1详解】()f x 图象的相邻的两条对称轴间的距离为π2()f x ∴的最小正周期为π2π2T =×=， 2π0,2Tωω>∴== ()()sin 2f x x ϕ∴=+，又()f x 的图象过点(),0sin f ϕ ∴== ． ()πππ,,sin 2233f x x ϕϕ <∴==+， 因为函数()πsin 223y f x m x m=+=++是偶函数， ()()ππππ2π,32122k m k k m k ∴+=+∈∴=+∈Z Z ． m ∴的最小值π12． 【小问2详解】由()()π414sin 2103g x f x x=+=++= 可得π1sin 234x +=−， 17π31ππ5π11π,,2,1212322x x ∈−∴+∈−， 设π23i i x t +=，由sin y t =与14y =−图象可知在5π11π,22 −共有8个交点．182736453πt t t t t t t t +=+=+=+=，1818ππ7π223π,336x x x x ∴+++=∴+=，同理2345672222227πx x x x x x +++++=， 1234567849π2222226x x x x x x x x ∴+++++++=． 【小问3详解】()()()π1π1sin 2,sin 23262x xf x x h x f x x λλ =+∴−=假设存在非零实数λ，使得函数()()1sin 22x h x x λ =是R 上的周期为T 的T 级周期函数，即x ∀∈R ，恒有()()h x T T h x +=⋅， 则x ∀∈R ，恒有()()11sin 22sin 222x T x x T T x λλλ+ +=⋅成立，则x ∀∈R ，恒有()()sin 222sin 2T x T T x λλλ+=⋅成立，当0λ≠时，x ∀∈R ，则2,22x x T λλλ∈+∈R R ， 所以()1sin21,1sin 221x x T λλλ−≤≤−≤+≤，要使得()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅恒成立，则有21T T ⋅=±①当21T T ⋅=时，则0T >，即12T T =，令()12x p x x=−，其中0x >，则()120,121102p p =−<=−=>， 且函数()p x 在()0,∞+上的图象是连续的，由零点存在定理可知，函数()p x 在()0,∞+上有唯一的零点， 此时，()sin 22sin2x T x λλλ+=恒成立，则()22T m m λπ=∈Z ，即()m m Tπλ=∈Z ； ②当21T T ⋅=−时，则0T <，即2T T −−=，作出函数y x =−、2x y −=的图象如下图所示：由图可知，函数2x y x y −=−=、的图象没有公共点， 故方程21T T ⋅=−无实数解． 综上所述，存在()πm m Tλ=∈Z 满足题意，其中T 满足21T T ⋅=。
广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题
广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合}{N 3N A x x =∈-∈，则集合A 的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．162．设0ab >，则“a b <”是“11a b>”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ） ①()()1353x x y x +-=+，25yx =-；②()f x x =，()g x ③()h x x =，()m x ④()21f x =，()225f x x =-．A ．①②B ．②③C ．③D ．③④4．学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人． A ．3B ．9C ．19D ．145．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，则22a b >C ．若0a b >>，0m >，则b m ba m a+<+ D ．若15a -<<,23b <<，则43a b -<-<6．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2]7．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，下列结论错误的是（ ） A ．方程()230x m x m +-+=无实数根的必要条件是{}1m m m ∈>B ．方程()230x m x m +-+=有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈< C ．方程()230x m x m +-+=有两正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤D ．方程()230x m x m +-+=有实数根的充要条件是{1m m m ∈<或}9m >8．若两个正实数x ，y 满足42x y xy +=，且不等式24yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{12}mm -<<∣ B ．{1mm <-∣或2}m > C ．{21}mm -<<∣ D ．{2mm <-∣或1}m >二、多选题9．已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>则a d b c ->-. B ．若,a b c d >>则ac bd >. C ．若,0a b c d >>>，则a bd c> D ．若0,0ab bc ad >->，则c d a b> 10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“2R 10,x x "?<”的否定是“R x ∃∈，使得210x +<”B ．若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，则14a =C ．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集()2,3-，则不等式20cx bx a -+<的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．“2,2a b >>”是“4ab >”的充分不必要条件11．设矩形()ABCD AB BC >的周长为定值2a ，把ABC V 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，如图，则下列说法正确的是（ ）A ．矩形ABCD 的面积有最大值B ．APD △的周长为定值C ．APD △的面积有最大值D ．线段PC 有最小值三、填空题12．函数()12f x x-的定义域为. 13．若2{1,,}{0,,}b a a a b a=+，则20232023a b +=14．若函数y =f x 在区间[],a b 上同时满足：①()f x 在区间[],a b 上是单调函数，②当[],x a b ∈，函数()f x 的值域为[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()212f x x x m =-+存在“保值”区间，求实数m 的取值范围．四、解答题15．已知集合{}{}{}3,17,1A x x B x x C x x a =≥=≤≤=≥-. (1)求,A B A B I U (2)()(),A B A B ⋃⋂R R 痧；(3)若C A A =U ，求实数a 的取值范围.16．已知命题p ：“x ∃∈R ，210x ax -+=”为假命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A . (1)求集合A ；(2)设集合{}121B x m x m =+<<+，若t A ∈是t B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 17．某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.18．函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，函数的解析式为23()1x f x x +=+. (1)求(2)f -的值；(2)用定义证明()f x 在(0,)+∞上是减函数； (3)当0x <时，求函数的解析式.19．若函数G 在()m x n m n ≤≤<上的最大值记为max y ，最小值记为min y ，且满足max min 1y y =-，则称函数G 是在m x n ≤≤上的“美好函数”．(1)函数①1y x =+；②|2|y x =；③2y x =，其中函数 是在12x ≤≤上的“美好函数”；（填序号）(2)已知函数2:23(0)G y ax ax a a =--≠．①函数G 是在12x ≤≤上的“美好函数”，求a 的值；②当1a =时，函数G 是在1t x t ≤≤+上的“美好函数”，请直接写出t 的值；(3)已知函数2:23(0)G y ax ax a a =-->，若函数G 是在221m x m +≤≤+（m 为整数）上的“美好函数”，且存在整数k ，使得maxminy k y =，求a 的值．。
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2018学年浙江省高三“五校联考”考试
数学试题卷
命题学校：绍兴一中
说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{1,5}A =，{}7,5,1-=B ，则()U C A
B =（ ） A.{}3,9 B.{}1,5,7 C.{}9,3,1,1- D.
{}1,1,3,7,9-
2. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，
则该几何体的表面积为（ ）
A. 624+
B. 64+
C. 224+
D. 24+
3. 已知数列}{n a ,满足n n a a 31=+,且9642=a a a ，则
=++937353log log log a a a （ ）
A.5
B. 6
C. 8
D. 11
4. 已知0>+y x ，则“0>x ”是“2||2||22y x y x +>+”的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
（第2题图）
5. 函数1e 1x x y x --=
+的大致图象为（ ）
6. 已知实数y x ,满足1,210,0,y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩
如果目标函数y x z -=的最小值为－1，则实数m 等于（ ）
A ．7
B ．5
C ．4
D ．3
7. 已知ααα
cos sin 2tan +=M ，)28(tan 8tan +=π
π
N ，则M 和N 的关系是（ ）
A.N M >
B.N M <
C.N M =
D. M 和N 无关
8. 已知函数2|log |,0,()1,0.
x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数1|)(2|)(--=m x f x g ，且Z m ∈，若函数)(x g 存在5个零
点，则m 的值为（ ）
A. 5
B. 3
C. 2
D. 1
9. 设c b a ,,为平面向量，2||||==b a ，若0)()2(=-⋅-b c a c ，则b c ⋅的最大值为（ ）
A. 2
B. 49
C. 174
D. 5 10. 如图，在三棱锥ABC S -中，AC SC =,θ=∠SCB ,θπ-=∠ACB ,二面
角A BC S --的平面角为α，则 （ ）
A.θα≥
B.α≥∠SCA
C.α≤∠SBA
D.SBA α∠≥
C
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.
11．已知复数z 满足()1+22i z i =+，则z = ，|z |= .
12． 251()(1)(2)f x x x x x =++-的展开式中各项系数的和为 ，该展开式中的常数项为 .
13．已知函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π 7(,1)12
π-，则函数()f x 的单调递增区间为 ，将函数()f x 的图象至少平移 个单位长度后关于直线4x π
=-对称.
14．一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数
的概率为 ，这两个数字和的数学期望为 .
15．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)
i P i =，使得12i i PA PA ⋅=是 .
16．从0,1,2,…,8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇
数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二
位……），有 个不同的数.（用数字作答）
17．已知实数,[1,1]x y ∈-，,,max{,},.a a b a b b a b ≥⎧=⎨
<⎩ 则22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值为 .
解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分）
已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos
sin 222A A -=. (Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)当)14
a A C =
+=，求c 的值.
如图，已知ABC ∆中，AB BC AC ===，点A ∈平面α，点,B C 在平面α的同侧， 且,B C 在平面α上的射影分别为,E D ，22BE CD ==.
(Ⅰ)求证：平面ABE ⊥平面BCDE ；
(Ⅱ)若M 是AD 中点，求平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值.
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2212(N )n n n S a a n *+=+∈.
(Ⅰ)（i ）求数列{}n a 的通项公式；
（ii ）已知对于N n *∈，不等式1231111n
M S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； (Ⅱ) 数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足214
2(N )n a n T n λ-*=-∈，是否存在非零实数λ，使得数列{}n b
为等比数列？ 并说明理由.
已知椭圆
2
21
4
x
y
+=，抛物线22
x y
=的准线与椭圆交于,A B两点，过线段AB上的动点P作斜率
为正的直线l与抛物线相切，且交椭圆于,
M N两点. (Ⅰ)求线段AB的长及直线l斜率的取值范围；
(Ⅱ)若
1
4
Q（，），求MNQ
∆面积的最大值.
22．（本题满分15分）
已知函数()e x
f x ax b =--.(其中e 为自然对数的底数) (Ⅰ)若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；
(Ⅱ)设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式 e 1)-+≥（m a b 恒成立，求实数m 的取值集合.。