12月联考数学试卷
2023届河南省部分学校高三12月大联考数学(理)试题(解析版)
2023届河南省部分学校高三12月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}e x B y y a ==+（a ∈R ），若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．()3,+∞ D ．[)3,+∞【答案】D【分析】分别求出集合A 和集合B ，再由A B ⋂=∅进行求解.【详解】由已知，集合A 即函数y = 由不等式2320x x +-≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，∴{{}[]131,3A x y x x ===-≤≤=-，集合B 即函数e x y a =+的值域，因为指数函数e x y =的值域为()0,∞+，所以函数e x y a =+的值域为(),a +∞，∴{}()e ,xB y y a a ∞==+=+，∵A B ⋂=∅，∴a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D.2．已知复数z 满足(86i)512i z +=+，则z =（ ）A B ．1310C ．1714D ．1513【答案】B【分析】先由复数的运算化简z ，再计算模长.【详解】()512i (86i)11266i 5633i (86i)(86i)10050z +-++===+-，1310z === 故选：B3．已知直线12:210,:220l x y l x my --=++=，若12l l ∥，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1B ．2C D 【答案】A【分析】根据直线平行求出m ，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为12l l ∥，所以40m +=，解得4m =-，经检验符合题意；所以2:210l x y -=， 所以1l 与2l之间的距离1d ===， 故选：A4．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l 与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l 等于表高h 与天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为1θ和2θ，则()12tan θθ-=（ ） A ．1- B ．17-C ．13D ．1【答案】B【分析】根据已知条件得出12,tan tan θθ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知12tan 2,tan 3θθ==，所以()121212tan tan 231tan 1tan tan 1237θθθθθθ---===-++⨯故选：B.5．已知12,F F 是平面内两个不同的定点，P 为平面内的动点，则“12PF PF -的值为定值m ，且12m F F <”是“点P 的轨迹是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案.【详解】“12PF PF -的值为定值m ，12m F F <”，若0m =，则P 点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P 的轨迹是双曲线”，则必有12,F F 是平面内两个不同的定点，且满足1212PF PF m F F -=<，故必要性成立； 故选：B6．已知()sin 2tan 1f x x x =++，则曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．26π0x y ++-= B ．23π0x y -+-= C ．426π0x y -+-= D ．426π0x y -++=【答案】C【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，结合π34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得切线方程. 【详解】()212cos 2cos f x x x'=+，2ππ12cos 2π42cos 4f ⎛⎫'∴=+= ⎪⎝⎭， 又πππsin tan 13424f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴所求切线方程为：π324y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即426π0x y -+-=.故选：C.7．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【分析】分别表示出A 、B 坐标，利用||||OA OB =求得3a b ，即可求出离心率.【详解】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的下焦点，不妨设()0,F c -，所以过Fy c =-，所以),0B .因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y x ca y x b⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：3ab .所以离心率c e a ====. 故选：C8．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．2cos2xB π326x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C π326x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由函数周期可求出ω，又由特殊值5π()=012f 和(0)=1f ，可求得ϕ和A ，进而可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式．【详解】依题意有2π11π5π2π1212ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，得2ω=， 又5π5π()sin 2+=01212f A ϕ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以5π2+π2π,Z 12k k ϕ⨯=+∈，且π02ϕ<<，得π=6ϕ，又π(0)sin =16f A =，得=2A ，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22cos 2666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A ．9．已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（ ）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据椭圆过点求出,a b ，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解. 【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A -和(0,1)B ，所以224,1a b ==，可得223c a b - 所以1(3,0)F -，23)F ，设(,)P x y ，由题意直线AB 的方程为12xy +=-，即220x y ， 因为点P 在线段AB 上，所以(,)P x y 满足20,01x y -≤≤≤≤，则222212(,),)3(22)3PF PF x y x y x y y y ⋅=--⋅-=+-=-+-224115815()55y y y =-+=--，[0,1]y ∈，当45y =时，12min 11()5PF PF ⋅=-，当0y =时，12max ()1PF PF ⋅=， 所以12PF PF ⋅的取值范围为11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D10．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①0,()0x f x ∀><；②对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >恒成立．若(0.1)(sin0.1)sin0.1,,(tan0.1)tan0.110f a f b c f ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】A【分析】根据函数性质可知，()f x x在(0,)+∞上单调递减，又根据0,()0x f x ∀><，可构造函数()xf x ，且函数()xf x 为单调递减，又因为sin0.10.1tan0.1<<，即可得出a b c >>. 【详解】由题意可知，对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >，即()()f x f y x y> 所以函数()f x x在(0,)+∞上单调递减，即导函数2()()0xf x f x x -<'在(0,)+∞恒成立； 可得()()xf x f x '<；构造函数()()g x xf x =，则()()()2()0g x f x xf x f x ''=+<<， 所以，()()g x xf x =在(0,)+∞上单调递减；设函数()sin ,(0,1)h x x x x =-∈，则()cos 10h x x '=-<，即()h x 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0h h <=,即sin 0.10.1<； 设函数()tan ,(0,1)x x x x ϕ=-∈，则221()1tan 0cos x x xϕ'=-=-<， 即()ϕx 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0ϕϕ=<，即0.1tan 0.1<； 综上可知，sin0.10.1tan0.1<<，(sin 0.1)(0.1)(tan 0.1)g g g >> 即(0.1)(sin 0.1)sin 0.10.1(0.1)(tan 0.1)tan 0.110f f f f =>> 即得a b c >>. 故选：A.11．在四面体ABCD 中，,AB AC AB BD ⊥⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为30︒，二面角C AB D--为锐二面角，4,5,3AB AC BD ===，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．234153- B ．3C ．5D ．10【答案】C【分析】根据题意，如图，将四面体放在长方体中，为三棱锥D ABC -，过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ，结合二面角和异面直线所成的角的定义可得30DBE ︒∠=，求出DE ，利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图，在长方体中，4,5,3AB AC BD ===， 过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ， 所以DBE ∠为二面角C AB D --的所成角，为锐角，DBE ∠为异面直线AC 与BD 的所成角，所以30DBE ︒∠=，所以1322DE BD ==. 由题意知，该四面体ABCD 为三棱锥D ABC -， 由1102ABCSAC AB =⋅=， 所以该三棱锥D ABC -的体积为113105332D ABC ABCV SDE -=⋅=⨯⨯=. 故选：C.12．将曲线221:1(0)169x y C x +=≤和曲线222:1(0)49x y C x +=>合成曲线E ．斜率为k 的直线l 与E 交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．曲线E 所围成图形的面积小于36 B ．曲线E 与其对称轴仅有两个交点 C ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上 D ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 【答案】D【分析】画出曲线表示的图形，分析AB 选项；选项C ，分析当0k =时，设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y ，然后根据题意分析点P 的轨迹总在某个椭圆上即可；选项D ，结合C 的部分条件，加上中点公式，以及差点法，若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则0000(R)y k x k -∈为常数，化简分析即可解决问题. 【详解】选项A ：如图，曲线E 所围成图形在正方形PQGH 内部，由正方形PQGH 的面积为6636⨯=，所以曲线E 所围成图形的面积小于36，故A 正确； 由A 中图形可知，曲线E 关于x 轴对称，所以曲线E 与其对称轴仅有两个交点，故B 正确； 选项C ：设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y 1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 当0k =时，12120,x x y y <<=221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减的：22112202164x x x x -=⇒=- 所以222200200122222x x x x x x y y y y y -+⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎩， 又2222149x y +=，所以()22220000114992y y x x -+=⇔+= 故存在0k =，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上，C 正确选项D ： 由()00,P x y ，1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222121201649x x y y --+=即()()2212121201649y y y y x x --++=， 又12012122y y y y y k x x +=⎧⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2201212201649ky x x x x --+=， 即()222101294162x x y k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 又1202x x x +=， 所以若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上， 则0000(R)y k x k -∈为常数，即()222112012941622x x x x k k x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭--()()()()2221012121212941622x x kk x x x x k x x k x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--- ()()2222210121294162x x kk x x k x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=- ()22020112994162kk x kk x k x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-为定值， 因为分子分母12,x x 次数不同，故若上式为定值，则22020*******kk x kk x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即00990416kk kk +=+=，无解，假设不成立， 所以不存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 所以选项D 不正确； 故选：D.二、填空题13．已知向量,a b 满足||3,||1,||2a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为_______________． 【答案】π3【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】()222||242431240a b a ba b a b a b a b +=⇒+=⇒++⋅=⇒++⋅=⇒⋅=，()2222312a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-，设a b +与a b -的夹角为([0,π])θθ∈，()()22311cos 2242a b a b ab a b a bθ⋅-+--==⨯⋅-==+， 因为[0,π]θ∈， 所以π3θ=， 故答案为：π314．直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________． 【答案】2x =或43110x y +-=.【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线l 的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由22(1)9x y ++=，得圆心为(1,0)C -，半径3r =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时直线恰好与圆相切，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，则3=，22(13)9(1)k k -=+，解得43k =-，所以直线l 的方程为41(2)3y x -=--，即43110x y +-=，综上，直线l 的方程为2x =或43110x y +-=， 故答案为：2x =或43110x y +-=.15．如图，直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，D 为C 上异于A ，B 的一点，若AD BD ⊥，则点D 到直线x t =的距离与p 的比值为__________．【答案】2【分析】根据题意得到,A B 的坐标，设(002D x px ，由题意可得1AD BD k k ⋅=-，列出方程即可得到结果.【详解】因为直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，不妨设((2,,2A t pt B t pt 且D 为C 上异于A ，B 的一点，由抛物线的对称性，不妨设(002D x px则00002222AD BD px pt px ptk k -+由AD BD ⊥000022221px pt px pt-+=-化简可得()()02021p x t x t -=--，因为0x t ≠，则02p t x =-即点D 到直线x t =的距离与p 的比值为02t x p-= 故答案为:216．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()e xg x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围. 【详解】()e x f x ax '=-，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e x x g x x -'=， ∴当()(),00,1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x 图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >； 212x x ≥，212x x ∴≥； 当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2ttt t =，即2e 2e t t =，2e 2t∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===， ∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin a A c C b c B -=-． (1)求A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理可得到222a b c bc =+-，进而得到2cos 1A =，即可求出A 的大小； （2）根据三角形内角和为π，且ABC 为锐角三角形，从而可得出C 的取值范围，再将bc 转化为关于tan C 的函数即可求解．【详解】（1）由sin sin ()sin a A c C b c B -=-，则根据正弦定理有22()a c b c b -=-，即222a b c bc =+-， 又由余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得2cos 1A =， 所以在ABC 中，得π3A =；（2）由ABC 为锐角三角形，且π3A =，则有π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，即(1tan C ∈，所以根据正弦定理有π1sin sin sin 111322,2sin sin sin tan 22C C Cb Bc C C C C ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭====+∈ ⎪⎝⎭． 18．已知直线12:20,:20()l x ay l ax y a a -+=+-=∈R ，若1l 与2l 的交点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若圆22:220E x y mx ny +--=的圆心在直线y =上，且与曲线C 相交所得公共弦MN的长为m ，n 的值． 【答案】(1)224(2)x y x +=≠(2)1,m n =1,m n =-=【分析】（1）由12,l l 判断出点P 的轨迹为以AB 为直径的圆(除去点(2,0)B )，进而求其方程; （2）由圆E 的圆心的位置得m ,n 的关系,两个圆方程相减得MN 的方程,由弦长求m ,n . 【详解】（1）当0,2y x ==-故直线1:20l x ay -+=过定点(2,0)A -，直线2:l (2)0a x y -+=，当2,0x y ==，故其过定点(2,0)B ， 又110a a ⨯-⨯=,所以12l l ⊥,所以点P 的轨迹为以AB 为直径的圆， 当0a =时，两直线交点为()2,0A -，但交点P 无法与点B 重合， 故需除去点()2,0B其圆心为原点O ,半径为2r =,所以曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠； （2）由(1)知,曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠，又圆22:220E x y mx ny +--=的圆心为(,)E m n 在直线y =上,所以n =,0m ≠，两圆方程作差得两个圆的公共弦MN 的方程为224mx ny +=,即20mx -=,因为两个圆的公共弦MN 的长为原点O 到直线MN 的距离为1||d m ==,所以=解得1m =或1m =-,所以1,m n =1,mn =-=19．在正项数列{}n a 中，11a =，2n ∀≥，12113232n n a a a a n --+++=-． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b a =，221b a =-，且21ln ln 2ln n n n b b b +++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：221n n n T T T ++⋅<．【答案】(1)21n a n =- (2)证明见解析【分析】（1）由12113232n n a a a a n --+++=-可得到12121n n a n a n ++=-，根据累乘法求通项的方法，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由21ln ln 2ln n n n b b b +++=可知221n n n b b b ++⋅=，可判断数列{}n b 为等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出n T ，2210n n n T T T ++⋅<-即可求证. 【详解】（1）解：已知1211,23232n n a a a a n n --+++=≥-①， 则212312a a a -=⇒=，且11211,323212n n n a a a aa n n -+-++++=--②， -②①，得1212n n n a a an +-=-，整理得121,221n na n n a n ++=≥-， ∴3253a a =，3475a a =，，212325n n a n a n ---=-12123n n a n a n --=-，， 由累乘法可得()`2212133n n a n a n n a -=-=⇒≥， 又11a =，23a =，符合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）可知111b a ==，221312b a =-=-=，因为21ln ln 2ln n n n b b b +++=，所以221n n n b b b ++⋅=，则数列{}n b 是首项为1，公比为212b b =的等比数列， ∴()1122112n n n T -==--，()()()222121212121n n n n n n T T T ++++∴⋅---=⋅--()2222222221221n n n n n ++++=--+--+20n =-<，即221n n nT T T ++⋅<，得证.20．在边长为2的正方形ABCD 外作等边BCQ △（如图1），将BCQ △沿BC 折起到PBC 处，使得PD =E 为AB 的中点（如图2）．(1)求证：平面PDE ⊥ 平面PCD ； (2)求二面角E PD A --的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 7【分析】取BC 中点为O ，建立以O 为原点的空间直角坐标系.（1）设平面PDE 法向量为m ，平面PCD 法向量为n ， 利用0m n ⋅=可证面面垂直.（2）求得平面P AD 的法向量t ，后用向量法可求得二面角E PD A --的余弦值，后可求得正弦值. 【详解】（1）因四边形ABCD 为正方形，则DC CB ⊥.又在三角形PCD 中，2PC CD ==，22PD =222PC CD PD +=， 则DC PC ⊥.又CB ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∩CBPC C =， 则DC ⊥平面PCD .取BC 中点为O ，AD 中点为F ，连接PO ，OF . 则//,,OF CD PO BC OF BC ⊥⊥.又PO ⊂平面PCD ，则DC PO ⊥， 得FO PO ⊥.故如图建立以O 为原点，以射线OB 方向为x 轴正方向，射线FO 方向为y 轴正方向， 射线OP 方向为z 轴正方向的空间直角坐标系.则()()()()()000120100100120,,，,,，,,，,,，,,O A B C D ----， (()003110,，,,P E -.得()()(103123113,,，,,，,,PC PD PE =--=---=--， 设平面PDE 法向量为()111,,m x y z =，则11111123030PD m x y z PE m x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取(123,,m =-.设PCD 法向量为()222,,x n y z =，则2222223030PD n x y z PC n x z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()3,0,1n =-. 因330m n ⋅=-+=，则平面PDE ⊥ 平面PCD .（2）由（1）分析可知，平面PDE 法向量为()123,,m =-. 又()123,,PA =--，设平面P AD 的法向量()333,,t x y z =， 则333332230230PD t x y z PA n x y z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()032,,t =-. 则434342714334227cos ,m t m t m t⋅====++⨯+⨯⋅，又由图可知二面角E PD A --平面角α为锐角，则427cos α=， 得二面角E PD A --的正弦值4271497sin α=-=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A ，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为7||7OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程；(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上． 【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程． （2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.【详解】（1）()(),0,0,A a B b -，∴直线AB 的方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=，1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d ==， 2227(1)a b a ∴+=-，又221b a =-，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=， 设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ， 将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，12x x ∴-， 将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -1234x x x x ∴+=+，∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，由2PQ NQ MQ +=可得NM PN =，3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，∴3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上．22．已知()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，函数()()1g x x f x =+-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，()()122112x g x x g x x x λ->-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. (2)15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】（1）先求出()f x 的导数()22x x af x x'++=，根据a 的取值范围进行分类讨论即可；（2）当120x x >，时，()()122112x g x x g x x x λ->-⇔()()21212111g x g x x x x x λ->-，去绝对值后，构造函数求解即可.【详解】（1）由已知，()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）的定义域为()0,∞+，()2221a x x a f x x x x++'=++=，①当0a ≥时，0f x在区间()0,∞+上恒成立，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，则220x x a ++=，180a ∆=->，解得10x =<（舍），20x >，∴当x ⎛∈ ⎝⎭时，220x x a ++<，∴()0f x '<， ∴()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，220x x a ++>，∴0f x ，∴()f x在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， 综上所述，当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. （2）当1a =时，()()221ln ln 1g x x x x x x x =+-++=--+，()0,x ∈+∞，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠， ()()122112x g x x g x x x λ->-等价于()()1221121212x g x x g x x x x x x x λ-->， 即()()21212111g x g x x x x x λ->-， 令()()g x h x x=，()0,x ∈+∞，则()()212111h x h x x x λ->-恒成立 ()()()()2222212ln 1ln 2x x x x xg x g x x x x h x x x x ⎛⎫-----+ ⎪'---⎝⎭'===， 令()2ln 2F x x x =--，()0,x ∈+∞，则()21122x F x x x x-'=-=，令()0F x '=，解得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0F x '>，()Fx 在区间⎛ ⎝⎭单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0F x '<，()F x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，∴当()0,x ∈+∞时，()Fx的最大值为1152ln 20222F =--=--<⎝⎭， ∴当()0,x ∈+∞时，()215ln 2ln 2022F x x x =--≤--<，即()22ln 20x x h x x --'=<，∴()()g x h x x=在区间()0,∞+上单调递减，不妨设12x x <，∴1x ∀，2(0,)x ∈+∞，有()()12h x h x >，又∵1y x=在区间()0,∞+上单调递减， 1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，有1211x x >， ∴()()212111h x h x x x λ->-等价于()()121211h x x x x h λ⎛⎫->- ⎪⎝⎭， ∴()()2121h x x x h x λλ->-，设()()G x h x xλ=-，()0,x ∈+∞，则1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，()()2121h x x x h x λλ->-等价于()()12G x G x >，即()G x 在(0,)+∞上单调递减，∴()()20G x h x xλ''=+≤，∴()2x h x λ'≤-，∴()222ln 2x x x F x xλ--≤-⋅=-， ∵当()0,x ∈+∞时，()F x的最大值为15ln 222F =--⎝⎭， ∴()F x -的最小值为15ln 222+，∴15ln 222λ≤+，综上所述，满足题意的实数λ的取值范围是15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.【点睛】本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是将()()122112x g x x g x x x λ->-等价转换为()()21212111g x g x x x x x λ->-，便于构造函数；另一个是通过构造函数()()g x h x x =，借助导数判断出函数()h x 的单调性去绝对值.。
湖北武汉部分学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试题(原卷版)
武汉市部分学校八年级12月联考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 在ABC 中，40B ∠=°，80C ∠=°，则A ∠度数为（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60° 2. 一个八边形的内角和的度数为（ ）A. 720°B. 900°C. 1080°D. 1260° 3. 已知点(),2A m 和()3,B n 关于y 轴对称，则()2023m n +的值为（ ） A. 1− B. 0 C. 1 D. ()20205− 4. 如图，AB ∥CD ，∠A =35°，∠C =80°，那么∠E 等于（ ）A. 35°B. 45°C. 55°D. 75° 5. 如图，在等边 ABC 中，AD 是它的角平分线，DE ⊥AB 于E ，若AC =8，则BE =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，AD 的中垂线交AB 于点F ，交BC 的延长线于点E .以下四个结论：(1)∠EAD ＝∠EDA ；(2)DF ∥AC ；(3)∠FDE =90°；(4)∠B ＝∠CAE .恒成立的结论有（ ）A. (1)(2)B. (2)(3)(4)C. (1)(2)(4)D. (1)(2)(3)(4) 7. 对于实数a 、b ，定义一种运算：()2*a b a b =−．给出三个推断：①**a b b a =；②()222**a b a b =；③()()**a b a b −=−，其中正确的推断个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 38. 等腰三角形的周长为12,则腰长a 的取值范围是( )的A. a>6B. a<3C. 4<a<7D. 3<a<69. 如图，ABC 是等边三角形，E 、F 分别在AC 、BC 上，且AE CF =，则下列结论：①AF BE =，②60BDF ∠=°，③BD CE =，其中正确的个数是（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，AF D C ∥，BC 平分ACD ∠，BD 平分EBF ∠，且BC BD ⊥，下列结论：①BC 平分ABE ∠；②AC BE ；③90BCD D∠+∠=°；④60DBF ∠=°，其中正确个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（每小题3分，共18分）11. 已知等腰三角形的两边长分别为5 cm ，8 cm ，则该等腰三角形的周长是______cm ．12. 如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，欲证ABC DEF ∆≅∆，已知AC DF =，AB DE =，还可以添加的条件是______.13. 五条线段的长度分别为1cm ，2cm ，3cm ，4cm ，5cm ，以其中三条线段为边长共可以组成_____个三角形.14 分解因：22424x xy y x y −−++=______________________．15. 如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线PD 与BC 的垂直平分线PE 交于点P ，垂足分别为D ，E ，连接PA ，PB ，PC ，若45PAD ∠=°，则ABC ∠=_____°．的.16. 如图，在四边形ABCD 中，ACBC ⊥于点C ，且AC 平分BAD ∠，若ADC △的面积为210cm ，则ABD △的面积为________2cm ．三、解答题（共8小题，共72分）17. 因式分解：（1）3−a b ab ；（2）22363ax axy ay ++18. 在ABC 中，2B A ∠=∠，40C B ∠=∠+°．求ABC 的各内角度数．19. 如图所示，已知点A 、E 、F 、D 在同一条直线上，AE=DF ，BF ⊥AD ，CE ⊥AD ，垂足分别为F 、E ，BF=CE ，求证：（1）△ABF ≌△DCE（2）AB ∥CD20 先化简，再求值：（x +3y ）2﹣2x （x +2y ）+（x ﹣3y ）（x +3y ），其中x ＝﹣1，y ＝2．21. 如图，在平面直角坐标系中，点()30A −,，点()1,5B −. （1）①画出线段AB 关于y 轴对称的线段CD ；②在y 轴上找一点P 使PA PB +的值最小（保留作图痕迹）； （2）按下列步骤，用不带刻度直尺在线段CD 找一点Q 使45BAQ ∠=°. ①在图中取点E ，使得BE BA =，且BE BA ⊥，则点E 的坐标为___________； ②连接AE 交CD 于点Q ，则点Q 即为所求.22. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=°，ABC 的角平分线AE 、CF 相交于点D ，点G 为AB 延长线上一点，DG 交BC 于点H ，ACD AGD △≌△，21GDF ∠=∠．（1）求证：GD CF ⊥；（2）求证：CH AF AC +=．.的23. 已知等边ABC ，AD 是BC 边上的高．（1）如图1，点E 在AD 上，以BE 为边向下作等边BEF △，连接CF ． ①求证：AE CF =；②如图2，M 是BF 的中点，连接DM ，求证：12DM AE =； （2）如图3，点E 是射线AD 上一动点，连接BE ，CE ，点N 是AE 的中点，连接NB ，NC ，当90BNC ∠=°时，直接写出BEC ∠的度数为______ ．24. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4（1）如图1，若点B 的坐标为()3,0，ABC 是等腰直角三角形，BA BC =，90ABC ∠=°，求C 点坐标；（2）如图2，若点E 是AB 的中点，求证：2AB OE =； （3）如图3，ABC 是等腰直角三角形，BA BC =，90ABC ∠=°，ACD 是等边三角形，连接OD ，若30AOD ∠=°，求B 点坐标。
河北省高二上学期12月联考数学试题(解析版)
一、单选题1．一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．17374767【答案】D【分析】根据古典概型的概率计算公式可得答案. 【详解】依题意可得，取到的脐橙不是坏果的概率为. 2136217-=故选：D2．若数列的前n 项和，则（ ）{}n a 331nn S n =++3a =A ．18 B ．19 C ．20 D ．21【答案】D【分析】利用与的关系可得，计算即可. n S n a 332a S S =-【详解】． 332371621a S S =-=-=故选：D ．3．设椭圆的上顶点、右顶点分别为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）22194x y +=A ．B ．()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭()22313122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．D ．()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭()22313122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据椭圆的性质和圆的标准方程求解.【详解】依题意可得AB 的中点为，(0,2),(3,0)A B 3,12⎛⎫⎪⎝⎭故以线段AB 为直径的圆的方程为．()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭故选:A.4．在四面体ABCD 中，，则（ ）2CE ED = BE =A ．B ．2133AB AC AD -++ 1233AB AC AD -++C ．D ．1233AB AC AD ++ 2133AB AC AD ++【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为，所以，则2CE ED =23CE CD = .()212333BE BA AE AB AC CE AB AC AD AC AB AC AD =+=-++=-++-=-++ 故选：.B 5．跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，令肌肉量适当地恢复正常的水平，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小孟最近给自己制定了一个218千米的跑步健身计划，第一天他跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（ ） A ．29天 B ．28天C ．27天D ．26天【答案】A【分析】依题意可得，小孟从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1，公差为0.5，然后利用等差数列的前项和公式即可求解.n 【详解】依题意可得，小孟从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1千米，公差为0.5千米．设经过n 天后他完成健身计划， 则，整理得．因为函数在上为增函()1121822n n n -+⨯≥238720n n +-≥()23f x x x =+-872[)1,+∞数，且，， ()280f <()290f >所以． 29n ≥故选：.A 6．已知平面的一个法向量为，向量，，则平面与平α()2,1,1m =-- ()0,1,2AB =- ()1,1,0AC =-α面ABC 夹角的正切值为（ ） AB ．2C D【答案】C【分析】根据面面角的向量求法求出平面与平面ABC 夹角的余弦值，即可根据同角三角函数的α关系得出答案.【详解】设为平面ABC 的法向量，(),,n x y z =则，令，得．200n AB y z n AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 2x =()2,2,1n =r所以平面与平面ABC 夹角的余弦值为αcos ,m n n m m n ⋅==则平面与平面ABC α=所以平面与平面ABCα=故选：C.7．在首项为的数列中，，，，设，则数列的前12{}n a m ∀*n ∈N 12m n m n a a a +=2log n n b a =11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭100项和为（ ） A ．B ．C ．D ．10020120020150101100101【答案】A【分析】令得出，即可得出的通项公式，再将的通项公式代入1m =114n n a a +={}n a {}n a 2log n n b a =中求得，再代入中，由裂项相消即可求得数列的前100项和.n b 11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】令，得，所以是首项为，公比为的等比数列，1m =111124n n n a a a a +=={}n a 1214所以，，， 11211224n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭2log 12n n b a n ==-()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以数列的前100项和为． 11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭11111110012335199201201⎛⎫-+-++-=⎪⎝⎭ 故选：A.8．已知F 为抛物线的焦点，过F C 于A ，B 两点，过A ，()2:20C y px p =>B 两点作准线的垂线，垂足分别为，，线段交y 轴于，线段交y 轴于，1A 1B1A F 2A 1B F 2B ，则p 的值为（ ）222A B =A ．2 B ．4C D ．【答案】C【分析】设，，由题意可知为的中位线，则()11,A x y ()22,B x y 22A B 11FA B A，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求解即可.11221224A B A B y y ==-=【详解】设，，()11,A x y ()22,B x y 由题意可知为的中位线，则， 22A B 11FA B A 11221224A B A B y y ==-=过F，,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p yx ⎫=-⎪⎭联立得，则，， 2,22,p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩220y py p -=12y y p +=212y y p =-则，解得124y y -==p ==p =故选：C ．二、多选题9．在正项等差数列中，，在正项等比数列中，，则（ ） {}n a 912a ={}n b 246b b +=A ． B ．的最大值为3 152136a a a ++=3b C ． D ．32302a a <-<()3135236b b b b ++>【答案】ABC【分析】由等差数列的通项公式可判断A ；由基本不等式及等比数列的性质可判断B ；由题意且，即可判断C ；由等比数列的性质可判断D. 320d aa =->1981280a a d d =-=->【详解】由等差数列的通项公式可知，故A 正确；()152********a a a a d a ++=+==在正项等比数列中，，当且仅当时，等号成立，则的最大{}n b 24362b b b =+≥=243b b ==3b 值为3，故B 正确；设的公差为d ，因为，所以，且，所以，{}n a 0n a >320d a a =->1981280a a d d =-=->302d <<即，故C 正确； 32302a a <-<，故D 错误，()()222231351333522442422236b b b b b b b b b b b b b b b ++=++=++=+=故选：ABC.10．已知P 为直线上的动点，过点P 作圆（C 为圆心）的切:70l x y +-=()()22:121C x y -+-=线，A 为其中的一个切点，则（ ）A ．的最小值为PCB ．的最小值为3PAC ．sin ACP ∠D ．当B 为另一个切点时，的最小值为 PA PB ⋅3-【答案】AC【分析】直线l 与圆C 相离，则的最小值为C 到直线l 的距离，即可判断A ；由PCB ；在直角三角形中求得C ；设sin ACP ∠=APC θ∠=，，结合函数的单调性可判断D ．()2212sin PA PB PA θ⋅=- 2223PC PC=+-【详解】圆的圆心，半径为1， C ()1,2因为C 到直线l ，所以直线l 与圆C 相离，所以的最小值为1>PC 故A 正确；因为，B 错误；AP AC ⊥min PA =C 正sin ACP ∠sin ACP ∠确；设，，则APC θ∠=sin 1AC PC PCθ==()222cos 212sin PA PB PA PA θθ⋅==- ，令，由对勾函数的性质可知，()222222113PC PC PC PC ⎛⎫=- -⎪=+- ⎪⎝⎭2t PC =[)8,∈+∞在上单调递增，则当时，的最小值为，故D 错误．23PA PB t t⋅=+- [)8,t ∈+∞8t =PA PB ⋅ 214故选：AC ．11．如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且，E ，P ABCD -PA ⊥2PA AB ==F 分别为PD ，PB 的中点，则（ ）A ．平面PAC EF ⊥B ．平面EFC//AB C ．点F 到直线CDD ．点A 到平面EFC【答案】AD【分析】以A 为坐标原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标ABAD AP 系，由，，利用线面垂直的判定定理可判断A 正确；求出平面EFC 的法向0EF AP ⋅= 0EF PC ⋅=量、的坐标，利用可判断B ；设点A 到平面EFC 的距离为d ，由可判AB20AB m ⋅=≠ AC m d m⋅= 断D ；设点F 到直线CD 的距离为h ，计算可判断C ． 222CF CD h CF CD ⎛⎫⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭【详解】以A 为坐标原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图空间直角坐ABAD AP 标系，则，,，，，，()0,0,0A ()002P ,,()2,2,0C ()0,1,1E ()1,0,1F ()0,2,0D 则，，，， ()1,1,0EF =- ()0,0,2AP =()2,2,2PC =- ()2,1,1EC =- 因为，，0000EF AP ⋅=-+=2200EF PC ⋅=-+= 所以，，即，，EF AP ⊥ EF PC ⊥EF AP ⊥EF PC ⊥又，平面PAC ， AP PC P = AP PC ⊂、所以平面PAC ，A 正确；EF ⊥设平面EFC 的法向量为，则，令，得，(),,m x y z = 0,20,x y x y z -=⎧⎨+-=⎩1x =()1,1,3m = 因为，所以，B 不正确；()2,0,0AB = 20AB m ⋅=≠设点A 到平面EFC 的距离为d ，，则，D 正确；()2,2,0AC = AC m dm ⋅=== 设点F 到直线CD 的距离为h ，，，()1,2,1CF =--()2,0,0CD =-则，即C 不正确．2225CF CD h CF CD ⎛⎫⋅ ⎪=-= ⎪⎝⎭h =故选：AD.12．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过点的直线C ()222210,0x ya b a b-=>>()1,0F c -()2,0F c 1F 与双曲线的左支交于点，与双曲线的其中一条渐近线在第一象限交于点，且l C A C B （是坐标原点），下列结论正确的有（ ）122F F OB =O AB ．若，则双曲线12AB F A= C C ． 122BF BF a ->D ． c a --【答案】ABD【分析】根据可得，根据勾股定理可判断A ，根据向量共线可得122F F OB =21BF BF ⊥，代入双曲线方程可得离心率，进而判断B ，根据双曲线的定义及三角形的三边关系2,33a c b A -⎛⎫ ⎪⎝⎭即可判断C ，根据点点距离以及的坐标的范围即可判断D. A 【详解】由于,因此,1221222F F OB OF OF ===21BF BF ⊥,故A 正确，由于，因此易得，，则 2222,tan ,b OB c BOF c a b a=∠==+(),B a b ()1,0F c -，由，则，进而，将代()1,F B a c b =+ 12AB F A = 111,333a c b F A F B +⎛⎫==⎪⎝⎭ 2,33a c b A -⎛⎫ ⎪⎝⎭2,33a c b A -⎛⎫⎪⎝⎭入双曲线的方程中得，化简得，解得，故22222331a cb a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=24490e e --=e =1e >B 正确， e =设直线与双曲线的右支交于点,则由双曲线的定义可知：，由三角形三边关系l M 122MF MF a -=可得，则，故，故22MB MF BF >-121212MF MF BF MB MF BF BF -=+->-122BF BF a -<C 错误，设，，则(),A x y ()0x <， a ==+由于，所以 ，进而，0B y y b <<=22222212y a x a a b ⎛⎫<=+< ⎪⎝⎭x a <<-故，故D 正确， 1cc a AF x a a a-<=--<-故选：ABD三、填空题13．空间向量，满足，且，则______. a b2a b a b +=- ()2,1,3b =- a b ⋅= 【答案】7-【分析】先由空间向量的模的坐标表示求，把两边同时完全平方，化简可求.b 2a b a b +=- a b ⋅【详解】由 ()2,1,3b =-=因为，所以，所以，2a b a b +=- 222a b a b +=- ()()222a ba b +=- 所以，所以，所以，2222442a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ 63140a b ⋅+⨯= 7a b ⋅=- 故答案为：.7-14．若等比数列的前n 项和，则__________．{}n a 156n n S a +=+⋅=a 【答案】56-【分析】由求出，结合等比数列求得值．n S n a a 【详解】由题意时，，2n ≥115()56656n n n n nn a a a a S S +-+⋅-==+-⋅=⋅当时，，又是等比数列，所以，解得．1n =11536a S a ==+{}n a 53656a a +=⨯56a =-故答案为：．56-15．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示6AB =2MO =的平面直角坐标系xOy ，若P 是该抛物线上一点，点，则的最小值为15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭PF PQ +__________．【答案】3【分析】由题意可知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求()2,3的最小值.PF PQ +【详解】设抛物线的方程为，()220y px p =>因为，，所以点在抛物线上，所以，故， 6AB =2MO =()2,3A 94p =94p =所以抛物线的方程为， 292y x =所以抛物线的焦点，准线方程为，F 9,08⎛⎫⎪⎝⎭98x =-在方程中取可得，所以点在抛物线内， 292y x =158x =2135416y =>Q 过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，P PP 'P 'Q QQ 'Q '则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等PF PP '=159388PF PQ PP PQ QQ ''+=+≥=+=PQ 号成立，所以的最小值为3. PF PQ +故答案为：3.四、双空题16．对正整数n ，函数是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．此函数以其首名研究()n ϕ者欧拉命名，故被称为欧拉函数．根据欧拉函数的概念，可得______，数列的前()441ϕ=(){}7nn ϕn 项和______． n S =【答案】 252()61716n n -+【分析】由质因数分解求得的所有质因数，利用质因数结合定义可求得，因为除了7的441(441)ϕ倍数外，其他数都与互质，因此易得，然后由错位相减法求得数列的前项和． 7n (7)n ϕ{(7)}n n ϕn 【详解】因为，2244137=⨯所以不大于441的数中，能被i （i ＝3，7）整除的数与441都不互质， 所以． ()4414414414414412523721ϕ=--+=因为除了7的倍数外，其他数都与互质，所以，7n()1777677nnnn ϕ-=-=⨯则，所以，()161277n n S n -=⨯+⨯++⨯ ()2767277n n S n =⨯+⨯++⨯ 所以，()()11766177767167117n n nn n n S n n n -⎛⎫--=⨯+++-⨯=⨯-⨯=-- ⎪-⎝⎭故． ()61716n nn S -+=故答案为：252；．()61716n n -+【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列和等比数列直接应用其前项和公式计算；n （2）裂项相消法：最典型的数列：是公差为且各项均不为0的等差数列，数列的项{}n a d 11{}n n a a +需变形：，然后求和； 111111()n n n n a a d a a ++=-（3）错位相减法：是等差数列，是等比数列，则数列的前项和需用此法； {}n a {}n b {}n n a b n （4）分组（并项）求和法：例如是等差数列，是等比数列，则数列的前项可用{}n a {}n b {}n n a b +n 分组求和法；（5）倒序相加法：与等差数列有类似性质的数列：首末两项及与首末两项等距离的两项的和相等，则可用倒序相加法求和．五、解答题17．在等差数列中，，． {}n a 1019a =5099a =(1)求的通项公式；{}n a (2)求数列的前n 项和．123nn a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⨯⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭n S 【答案】(1) 21n a n =-(2)n S 2113nn ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【分析】(1)设等差数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式求和，由此可求通项公{}n a d d 1a 式；(2)利用分组求和法结合等差数列和等比数列求和公式求. n S 【详解】（1）设等差数列的公差为d ， {}n a 因为，，1019a =5099a =所以， 11919,4999a d a d +=+=所以， 1a 1,d 2==故．21n a n =-（2）由(1) ，()11221233nnn a n ⎛⎫⎛⎫+⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()2311111232522123333nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯++⨯+⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()2311111352123333nn S n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()1112113212313nn n n S ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+⨯⨯-故.2113nn S n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭18．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动. (1)求甲最后没有得奖的概率；(2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率. 【答案】(1) 0.825(2) 0.105【分析】（1）分第一关未通过，第一关通过第二关未通过，前两关通过第三关未通过三种情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式，求解即可；（2）若奖金为900，则甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，计算对应概率即可.【详解】（1）记第一关未通过为事件，第一关通过第二关未通过为事件，前两关通过第三关未A B 通过为事件，甲最后没有得奖为事件，C D 则，，，()0.3P A =()()0.710.50.35P B =⨯-=()()0.70.510.50.175P C =⨯⨯-=故.()()()()0.825P D P A P B P C =++=（2）记通过了前两关时最后获得二等奖为事件，通过了前两关时最后获得一等奖为事件， E F 则，.()()0.510.30.35P E =⨯-=()0.50.30.15P F =⨯=因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖， 故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为.0.350.150.150.350.105⨯+⨯=19．已知圆，圆，圆P 与圆M ，圆N 都外切，圆P 的圆心的()22:316M x y ++=()22:34N x y -+=轨迹记为Q ． (1)求Q 的方程；(2)若直线与Q 交于A ，B 两点，求．:34l y x =-AB 【答案】(1)()22118y x x -=>(2)【分析】（1）设圆P 的半径为r ，由圆P 与圆M 和圆N 都外切，得出等于定值，由双PM PN -曲线的定义知，轨迹Q 为双曲线的右支（除去顶点），写出方程即可． （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式求出即可． AB 【详解】（1），，，()3,0M -()3,0N 6MN =设圆P 的半径为r ，因为圆M 与圆N 的半径分别为4，2， 所以，，所以， 4PM r =+2PN r =+2PM PN -=又圆M 与圆N 相切于点，()1,0所以轨迹Q 为以，为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（除去顶点），()3,0M -()3,0N 故Q 的方程为．()22118y x x -=>（2）联立得， 221,834,y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩224240x x -+=设，，由韦达定理可得， ()11,A x y ()22,B x y 121224x xx x +===20．在等比数列中，，且．{}n a 24a =3438a a -=(1)求的通项公式； {}n a(2)若，，求数列的前n 项和．34a ≠n nb a ={}n b n S 【答案】(1)24nn n a a ==或(2) 122n n S +-【分析】（1）设公比为，根据条件列出方程，求出与的值，进一步可得；q 1a q n a（2）求得，从而利用裂项相消法即可求出．(1222n n nn b +=⋅=n S 【详解】（1）设公比为，因为，且， q 24a =3438a a -=所以，解得或． 21248q q -=1q =2q =当时，，；1q =14a =4n a =当时，，．2q =12a =1222n nn a -=⨯=（2）因为，所以，34a ≠2n n a =所以，(1222n n nn b +=⋅=所以.2321122222222n n n n S ++=++=- 21．如图1，在平行四边形中，，，，分别为，的中ABCD 24AB AD ==60DAB ∠=︒E F AB CD 点.将沿折起到的位置，使得平面平面，将沿折起到ADE V DE 1A DE △1A DE ⊥BEDF BCF △BF 的位置，使得二面角的大小为，连接，，，得到如图2所示1BC F △1E BF C --120︒11A C 1A F 1C E 的多面体.11A C BEDF(1)证明：.1DE A F ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值.1BC 11A C E【答案】(1)证明见解析；.【分析】(1)取的中点，连接，证明，由线面垂直判定定理证明DE O 1,AO FO 1,A O DE FO DE ⊥⊥平面，由此证明；DE ⊥1A OF 1DE A F ⊥(2)由面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平1A O ⊥BEDF 1BC 面法向量，利用向量夹角公式求两向量夹角余弦可得结论.11A C E 【详解】（1）在图1中，连接因为四边形为平行四边形，，分别为，的中,EF ABCD E F AB CD 点，，所以，，4AB =//DF AE 2DF AE ==所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形， AEFD 2AD AE ==AEFD 故，同理可证四边形为菱形， AE EF FD DA ===BCFE 故，BC CF FE EB ===所以在图2中，连接，取的中点，连接， ,EF 11,A D A E FD FE ==DE O 1,AO FO 则，1,A O DE FO DE ⊥⊥又平面，平面，， 1A O ⊂1A OF FO ⊂1A OF 1A O FO O = 所以平面，又平面，所以；DE ⊥1A OF 1A F ⊂1A OF 1DE A F ⊥（2）由(1)，因为平面平面，平面平面，平面1AO DE ⊥1A DE ⊥BEDF 1A DE BEDF DE =1A O ⊂，1A DE 所以平面，又平面，所以，1A O ⊥BEDF FO ⊂BEDF 1A O FO ⊥因为，，， 1AO DE ⊥1A O FO ⊥FO DE ⊥如图以点为原点，以分别作为轴的正方向，建立空间直角坐标系，O 1,,OE OF OA,,x y z 因为，，所以，，， 2AE EF FD DA ====160D AE ∠=︒(1A ()1,0,0E ()B 取的中点，连接，因为图1中， BF M 1,C M EM BC CF FE EB ===所以图2中，，所以， EB EF =11C B C F =1,C M BF EM BF ⊥⊥所以为二面角的平面角，1C ME ∠1E BF C --因为二面角的大小为，所以，1E BF C --120︒1120C ME ∠=过点作，垂足为，则，在中，1C 1C N EM ⊥N 160C MN ∠=1C MN A ，，，160C MN ∠=1C M =190C NM ∠= 所以，，所以点的坐标为， 132C N=MN =1C 32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，，，132BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭(11,0,A E =132EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面的法向量为，11A C E ()111,,,n n x y z =因为，所以，取， 1100n A E n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11110302x y z ⎧=+=1z=113,1x y ==-故向量为平面的一个法向量，(3,n =-所以111cos ,BC n BC n BC n⋅===⋅ 设直线与平面所成角为，则1BC 11A C E θsin θ==所以直线与平面1BC 11A C E22．已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．CM )1N-(1)求的方程；C (2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为()3,0D ():3,0l x ty n n t =+≠≠C ,A B ,DA DB 1t，证明：点在一条定抛物线上．(),t n 【答案】(1)22193x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆标准方程求法，列方程组解决即可；（2）设直线的斜率分别为，，，．将代入，得,DA DB 1k 2k ()11,A x y ()22,B x y x ty n =+22193x y+=， ，根据韦达定理化简得即可解()2223290ty tny n +++-=()22121230k k t y y n +=--=223n t =+决.【详解】（1）依题意设的方程为， C 221px qy +=因为经过点，，C M)1N-所以，解得，32161p q p q +=⎧⎨+=⎩1913p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故的方程为．C 22193x y +=（2）证明：设直线的斜率分别为，，，．,DA DB 1k 2k ()11,A x y ()22,B x y 将代入，得．x ty n =+22193x y +=()2223290t y tny n +++-=由题设可知，，，()2212390t n ∆=-+>12223tn y y t +=-+212293n y y t -=+所以 ()()()()()()()()1221122112121212213333333333y x y x y ty n y ty n y yk k x x x x ty n ty n -+-+-++-+=+==----+-+-， ()()()()1212221212231(3)3ty y n y y tt y y t n y y n +-+==+-++-所以，()221230t y y n --=所以． ()()()22222293333033n n t n n t n t t -+⎡⎤--=---=⎢⎥++⎣⎦因为， 3n ≠所以， ()223303n tn t +--=+所以，223n t =+故点在抛物线上，即点在一条定抛物线上．(),t n 223y x =+(),t n。
浙江省杭州市2023_2024学年高二数学上学期12月阶段联考试题含解析
考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.准线方程为2y =的抛物线的标准方程是（）A.24x y = B.24x y =-C.28x y= D.28x y=-2.直线210x ay +-=和直线()3110a x ay ---=垂直，则a =（）A.1B.12C.1或12D.1或12-3.已知在等比数列{}n a 中，4816a a ⋅=，则6a 的值是（）A.4B.-4C.±4D.164.如图，在三棱台111ABC A B C -中，且112AB A B =，设1,,AB a AC b AA c ===，点D 在棱11B C 上，满足112B D DC = ，若AD xa yb zc =++，则（）A.11,,163x y z === B.111,,632x y z ===C.11,,136x y z === D.111,,362x y z ===5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且202220230,0S S ><，则下列说法错误的是（）A.10120a < B.10110a >C.数列{}n a 是递减数列D.{}n S 中1010S 最大6.已知圆221:20(0)C x ax y a -+=>，直线:0l x =，圆1C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则圆1C 与圆222:(1)(1C x y -+=的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离7.已知圆22:(4)1C x y +-=上有一动点P ，双曲线22:197x y M -=的左焦点为F ，且双曲线的右支上有一动点Q ，则PQ QF +的最小值为（）A.1- B.5- C.7D.58.阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为21x y z -+=，点()3,1,1Q -，则点Q 到平面α距离为（）A.6B.2C.102D.34二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()()2,2,2,1,2,1a b =-=-，则下列说法正确的是（）A.()1,4,1a b +=-B.a∥bC.a b⊥D.3cos ,23a ab -=10.已知直线()():2220l mx m y m m R ++--=∈，圆22:(1)(2)25C x y -+-=，点P 为圆C 上的任意一点，下列说法正确的是（）A.直线l 恒过定点()1,1B.直线l 与圆C 恒有两个公共点C.直线l 被圆C 截得最短弦长为D.当1m =-时，点P 到直线l 距离最大值是252+11.已知数列{}{},n n a b 满足()*123111,23n n n a a a a b n N S n++++=∈ 是{}n a 的前n 项和，下列说法正确的是（）A.若2n a n n =+，则232n n nb +=B.若n b n =，则{}n a 为等差数列C.若1n b n =+，则{}n a 为等差数列D.若2nn b =，则()122nn S n =-⋅+12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，点D 是点A 关于x 轴的对称点，则下列说法正确的是（）A.124y y =- B.4AF BF +的最小值为10C.,,B F D 三点共线D.0MB MD ⋅>三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.在空间直角坐标系O xyz -中，已知点()()3,1,4,2,1,5M N -，则MN =__________.14.过点()0,0作圆22:430C x y y +-+=的两条切线，切点为A B ､，则劣弧长 AB =__________.15.如图，已知正方形0000A B C D 的边长为2，分别取边00000000,,,D A A B B C C D 的中点1111,,,A B C D ，并连接形成正方形1111A B C D ，继续取边11111111,,,D A A B B C C D 的中点2222,,,A B C D ，并连接形成正方形2222A B C D ，继续取边22222222,,,D A A B B C C D 的中点3333,,,A B C D ，并连接形成正方形3333,A B C D ，依此类推；记011A A B 的面积为1122,a A A B 的面积为2,a ，依此类推，()*1n n n A A B n N -∈ 的面积为n a ，若12310231024n a a a a +++=，则n =__________.16.设12F F ､是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，点,P Q 为椭圆C 上的两点，且满足21260,2PF Q PF QF ∠==，则椭圆C 的离心率为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3,4AB AD AA ===，点,E F 分别为棱1,AB DD的中点，（1）求证：1C F ⊥平面BCF ；（2）求直线1C F 与平面1DEC 所成角的正弦值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，点()*111,n n n N a a +⎛⎫∈⎪⎝⎭在直线210x y -+=上.（1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）求满足11635n a ≤≤的n 的取值构成的集合.19.（本题满分12分）已知动点P 与两个定点()()1,0,4,0A B 的距离的比是2.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）直线l 过点()2,1，且被曲线C 截得的弦长为3，求直线l 的方程.20.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足343,10a S ==.数列{}n b 满足12b =，*112,n n n nb a n N b a ++=∈.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}nc 满足()*1(1)32,n n n n n c n N a b +-+=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .21.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2,,AB PA E F ==分别为,PB PD 的中点.（1）求平面CEF 与底面ABCD 所成角的余弦值；（2）求平面CEF 与四棱锥P ABCD -表面的交线围成的图形的周长.22.（本题满分12分）已知双曲线C 的中心为坐标原点，上顶点为()0,2，离心率为2.（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）记双曲线C 的上､下顶点为12,,A A P 为直线1y =上一点，直线1PA 与双曲线C 交于另一点M ，直线2PA 与双曲线C 交于另一点N ，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标.2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考高二年级数学参考答案命题人：东阳二中吕夏雯陆琳琳；审题人：汤溪中学张拥军一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.D 【解析】242pp =⇒=，又抛物线开口向下，所以抛物线的方程为28,D x y =-正确.2.C 【解析】()()311201a a a a -⋅+⋅-=⇒=或1,C 2a =正确.3.C 【解析】2486616,4,C a a a a ⋅==∴=±正确.4.A 【解析】1111111111111212,,3333AD AA A D A D A B AC AD AA A B AC =+=+∴=++又111111111,,,2263A B a AC b AA c AD a b c ===∴=++ ，A 正确.5.D 【解析】()()120222022101110121011101220221011002a a S a a a a +==+>⇒+>()1202320231012101220232023002a a S a a +==<⇒<，则10110a >所以数列{}n a 单调递减，{}n S 中1011S 最大.D 正确.6.B 【解析】圆上3个点到直线的距离是1，则圆心到直线的距离应是1,12aa a -∴=-，则2a =，圆1C 的圆心为()2,0，半径是2，圆2C 的圆心为(，半径是1，则12C C =，所以两圆的位置关系是相交.B 正确.7.D 【解析】圆心()0,4C ，取双曲线的左焦点()224,0,1,6F PQ QC QF QF ≥-=+ ，则()22216555PQ QF QC QF QC QF CF +≥-++=++≥+=PQ QF ∴+的最小值为5+，D 正确.8.A 【解析】平面α的法向量()1,1,2n =-，在平面α上任取一点()1,0,1A -，则()4,1,0QA =- ，556A 66QA n d n ⋅== 正确.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ACD 【解析】()1,4,1a b +=- ，选项A 正确，a b λ≠ ，选项B 错误；()()2122210a b -⋅+⋅+⋅-=∴⊥选项C 正确；()12324,2,4cos ,23236a b a a b -=--∴->=⋅，选项D 正确，正确答案是A.C.D 10.ABD 【解析】直线():2220l m x y y +-+-=，所以恒过定点()1,1.选项A 正确；因为定点()1,1在圆C 内，所以直线l 与圆C 恒有两个公共点.选项B 正确；l 被圆C 截得的最短弦长2516-=C 错误；当1m =-时，:0l x y -=，点P 到直线l 的距离的最大值是25522+=+，选项D 正确.正确答案是A.B.D11.ABD 【解析】当2n a n n =+，则11n a n n =+，所以()221322n n n n n b +++==，选项A 正确；已知12311123n a a a a n n++++= ，当1n =时，11a =，当2n ≥时，12311111231n a a a n n -++++=-- ，则(11,1n n a a n n n=∴==时也成立），所以{}n a 为等差数列，选项B 正确；已知123111123n a a a a n n++++=+ ，当1n =时，12a =，当2n ≥时，1231111231n a a a a n n -++++=- ，则(11,1n n a a n n n=∴==时不成立），所以{}n a 不是等差数列，选项C 不正确；已知123111223n n a a a a n++++= ，当1n =时，12a =，当2n ≥时，112311112231n n a a a a n --++++=- ，则1112,2(1n n n n a a n n n--=∴=⋅=时不成立)，所以12,1;2,2n n n a n n -=⎧=⎨⋅≥⎩当1n =时，12S =，1n =时，12112,222322n n a S n -==+⋅+⋅++⋅ ()2122222122n nn S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ()()22314122022222212212n n n nnn S n n n ----=++++-⋅=+-⋅=-⋅-- 所以()122,1nn S n n =-⋅+=时也成立，选项D 正确.正确答案是A.B.D 12.CD【解析】设直线:1l x my =-，联立方程组224,4401y x y my x my ⎧=-+=⎨=-⎩，则121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，选项A 不正确；221212144y y x x =⋅=，所以()121244114559AF BF x x x x +=+++=++≥=当且仅当2142x x ==时等号成立，所以4AF BF +的最小值为9，选项B 不正确；()11,D x y -，设:l x ny t =+，联立方程组224,440y x y ny t x ny t ⎧=--=⎨=+⎩，则121244y y my y t -+=⎧⎨-=-⎩，所以1t =，即直线BD 过点F ，选项C 正确；对于D 选项，()()22111,,1,MB x y MD x y =+=+-，22121212114214440MB MD x x x x y y m m ∴⋅=+++-=+-++=+>，选项D 正确.正确答案是C.D三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.【解析】()1,2,1,MN MN =-∴==.14.23π【解析】圆C ：22(2)1x y +-=，2,63COB COA ACB ππ∠∠∠∴==∴=，故劣弧长23AB π=.15.10【解析】由题意可知三角形的面积构成首项为12，公比为12的等比数列，12311122110231,1012102412nnn a a a a n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+++==-=∴=-.16.9【解析】如图，过1F 作12F M QF = ，连接2MF ，因为122PF QF = ，所以12260F PF PF Q ∠∠==，设2QF t =，则11222,,22,2PF t MF t PF a t MF a t ===-=-，在2PMF 中，222222||||PM PF PM PF MF +-=，即22222294846644t a at t at t a at t +-+-+=-+，化简得1210859,,99a t PF a PF a ===，所以1006480221299c t a ==，所以离心率219c a =.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）方法一：因为F 是1DD 的中点，所以111112,D F D C FD DC D FC ==== 和FDC 是等腰直角三角形，所以1145D FC CFD ∠∠==，1C F CF ∴⊥，因为BC ⊥平面111,CDD C C F ⊂平面11CDD C ，所以1BC C F ⊥，,BC CF ⊂平面11BCF C F ∴⊥平面BCF方法二：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，()()()()()()()110,3,0,2,3,0,0,0,2,0,2,4,2,0,0,0,2,2,0,2,2,C B F C CB CF C F ==-=--所以111440,0,C F CF C F CB C F ⋅=-=⋅=∴⊥平面BCF ；（2）()()13,1,0,0,2,4DE DC == ，设平面1DEC 的法向量为(),,n x y z =，则130240DE n x y DC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，所以取()2,6,3n =- ，又()10,2,2C F =--，11132sin cos ,14||C F n C F n C F n θ⋅∴==== .直线1C F 与平面1DEC所成角的正弦值为14.18.【解析】（1）由已知得111212121,21111n n n n nn a a a a a a ++++=+∴==++，且11120a +=≠，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，112n n a ∴+=，则1;21n n a =-（2）因为11635n a ≤≤，所以111,52163,626463215n n n ≤≤≤-≤∴≤≤-，得2log 66n ≤≤，又因为*n N ∈，所以n 的取值构成的集合是{}3,4,5,6.19.【解析】（1）设点(),P x y=，化简得2210210x y x +-+=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22(5)4x y -+=；（2）由（1）可知点P 的轨迹C 是以()5,0为圆心，2为半径的圆，可计算得圆心()5,0到直线l的距离1d ==，①当直线l 的斜率不存在时，圆心到直线l 的距离是3，不符合条件，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，所以1d ==，化简得229611k k k ++=+，解得0k =或34k =-，所以直线l 的方程是1y =或34100x y +-=.20.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为1123,4610a d d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得11,1,n a d a n ==∴=.()11211,2n n n n b n b n b b n n ++++=∴= ，且121b =，所以n b n ⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列，2,2n nn n b b n n∴=∴=⋅（也可用累乘法求{}n b 的通项公式）（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭，()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅21.【解析】（1）以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =，()()()()()2,2,0,1,0,1,0,1,1,1,2,1,1,1,0C E F CE EF =--=- ，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，所以200CE n x y z EF n x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，所以取()1,1,3n = ，所以cos ,||||11m n m n m n ⋅〈〉=== ，所以平面CEF 与底面ABCD所成角的余弦值为11；（2）由对称性可知平面CEF 与棱PA 交于一点，设交点()()40,0,,1,0,1,1330,3Q t QE t QE n t t =-⋅=+-=∴= ，103QE QF ∴==又CE CF ==，所以围成的图形的周长为210263+22.【解析】（1）设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，由上顶点坐标可知2a =，则由52c e a ==可得225,1c b c a ==-，双曲线的渐近线方程为2y x =±.（2）由（1）可得()()120,2,0,2A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214y x -=联立可得()2224240k x kmx m -++-=，且()22Δ1640k m =-+>，则212122224,44km m x x x x k k --+==--，()2212122248,44k m m y y y y k k -+-∴+==--设()1213,1,,A P A P P t k k t t ∴=-=，2111233,4A P A P MA MA MA k k k k k ∴=-=-⋅= ，得2212MA NA k k ⋅=-2221221222441641612,124y y k m m k x x m ++---+-∴⋅=-=--，化简得22(2)3,4m m +=-。
辽宁省名校联考2024届高三上学期12月联合考试数学试题
16．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 3 ， BC 6 ， AB AC 3 2 ， P 为线段
A1B1 上的一点，且二面角 A BC P 的正切值为 3，则三棱锥 A A1C1P 的外接球的体积
为
.
四、解答题 17．已知, 为锐角， tan 2,sin( ) 10 ．
A．22
B．23
C．24
D．25
11．已知 f x 为定义在 R 上的偶函数且 f x 不是常函数，
F x f 1 x 1, g x f x 1 1，若 g x 是奇函数，则（ ）
A． y f x 的图象关于 1,1 对称
B． f x f x 4
C． F x 是奇函数
D． F x 与 g x 关于原点对称
辽宁省名校联考 2024 届高三上学期 12 月联合考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．若复数 z 满足 (1 i)z 3 i ，则 | z | （ ）
A． 5
B．5
C． 2 5
D．20
2．若角 的终边上有一点 P 2, m ，且 sin 5 ，则 m （ ）
(1)求证： A1O BD ；
(2)若直线
EC
和平面
DEF
所成角的正弦值为
4 5
，求三棱锥
A1
DEF
的体积．
22．已知函数 f x ax a e loga x ,a 0 且 a 1．
(1)讨论 f x 的单调性．
(2)若 f x 有且仅有两个零点，求 a 的取值范围．
试卷第 4页，共 4页
B．函数 f x 的图象的一条对称轴方程为 x
湖北省优质重点高中2023届高三12月联考数学试题和参考答案
湖北省优质重点高中2023届高三12月联考数学试题和参考答案一、选择题1.已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），当 $x\in[-2,2]$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $-4$，则 $f(x)$ 最小值的取值为（）A. $-4-\dfrac{b^2}{4a}$B. $-4-\dfrac{4ac-b^2}{4a}$C. $-4+\dfrac{b^2}{4a}$D. $-4+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$2.若 $a,b,c$ 均为正整数，且 $a+b+c=10$，则下列四个式子中最大的是（）A. $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{10}$B. $\sqrt[3]{abc}$C. $ab+bc+ca$D. $\dfrac{10!}{a!b!c!}$3.已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=4$，$\angle BAC=120^\circ$，则 $\sin B+\sin C=$（）A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$B. $\dfrac{13\sqrt{3}}{24}$C. $\dfrac{\sqrt{21}}{4}$D. $\dfrac{11\sqrt{3}}{24}$4.设 $a$，$b$，$c$ 为实数，若 $ab+bc+ca=0$，则 $(a+b+c)^3=$（）A. 0B. $a^3+b^3+c^3$C. $3abc$D. $a^3+b^3+c^3+3abc$二、填空题1.在 $x\in[0,1]$ 的条件下，求 $f(x)=\sin(x\pi)+\sin^2(2x\pi)$ 的最大值为\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。
2.若曲线 $y=\dfrac{2x^3-3x^2+4}{x^2+1}$ 的渐近线为 $y=2x-1$，则曲线 $y=\dfrac{2x^3-3x^2+4}{x^2+1}-2x+1$ 的极限是\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。
浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题(含答案)
2023学年第一学期浙南名校联盟12月联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共60分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若命题2:,220P x R x x m ∃∈++-<是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A.1m > B.1m ≤ C.1m < D.1m ≥2.已知函数()f x 的定义域{}2248xa a x a -<<-∣是关于x 的不等式()()220x a x ++->的解集的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A.)26,∞⎡++⎣B.][(),226,∞∞-⋃++C.(2,26⎤+⎦ D.(]2,33.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧AD 的长度是1l ，弧BC 的长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，扇形AOD 周长为定值L ，圆心角为α，若123l l =，则当1S 取得最大值时，圆心角为α的值为（ ）A.1B.2C.3D.44.今有一组实验数据及对应散点图如下所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（ ）x10 20 29 41 50 58 70 y123.87.4111521.8A.log a y A x p =+B.x y A a p =⋅+C.2y ax bx c =++D.y kx b =+5.若12,x x R ∈，则“()3321210x x x -<”是“12x x <”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()cos 1cos 1x x xe f x xe ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭在0,,22x πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭内的大致图像为（ ） A. B.C. D.7.已知函数()()2ln f x x x =+，设()()0.5514.1log ,cos14a f b f c f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.b a c <<B.c a b <<C.c b a <<D.a c b <<8.定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其中()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,∞+上单调递减，()g x 满足()()11g x g x -=+且在()1,∞+上单调递减，令()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦，则对x R ∀∈，均有（ ）A.()()11F x F x -≥+B.()()11F x F x -≤+C.()()2211F xF x -≥+ D.()()2211F x F x -≤+二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《研智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知非零实数,a b 满足1133a b>，则（）A.11a b> B.a a b b > C.()()222233a a bb ab +>+ D.11b ba a+>+ 10.已知,a b 为正数，1181a b ab++=，则下列说法正确的是（ ） A.()ln ln a b ab +≥B.22(1)(1)a b +++的最小值为18C.9a b +的最小值为8D.33a b +的最小值为1811.已知函数()()112,20222,04x x f x f x x +⎧⋅-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，则下列命题正确的是（ ）A.存在k R ∈，使得()f x k =有3个不同的实数根B.存在k R ∈，使得()f x kx =有4个不同的实数根C.若函数()()g x f x k =-有2个零点12,x x ，则12x x +的值为2,2-或6D.能使得关于x 的方程()()2[]310f x mf x m +++=有4个不同的实数根的m的取值范围是12⎛- ⎝⎭12.函数()f x 定义在区间D 上，若满足：12,x x D ∀∈且12x x <，都有()()12f x f x ≥，则称函数()f x 为区间D 上的“不增函数”，若()f x 为区间[]0,4上的“不增函数”，且()()()04,134f f x f x =++-=，又当[]3,4x ∈时，()82f x x ≥-恒成立，下列命题中正确的有（ ）A.313444f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.[]()1,4,2x f x ∃∈>C.413436f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.[]()()()0,2,24x f f x f x ∀∈-≥- 非选择题部分（共90分）三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：2523log 9332742log 2log 5649-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭__________. 14.已知O 为坐标原点，若角α的终边上一点P 的坐标为()1,m -，且sin 10α=-，线段OP 绕点O 逆时针转动90后，则此时点P 的坐标为__________. 15.不等式()722ln01x x x x e e e e --+-<+-的解集是__________.16.已知0b >，若对任意的()0,x ∞∈+，不等式324820ax x abx b +--≤恒成立，则224a a b ab +++的最小值为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知集合{}22211,2102x A xB x x ax a x -⎧⎫=≤=-+-≤⎨⎬-⎩⎭∣∣.（1）当2a =时，求A B ⋃； （2）当RB A B ⋂=时，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知()()()()()sin 4cos tan 33sin tan 2f παπαπααπαα--+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （1）若()()0,22f ααπ=-∈，求α的值； （2）若()725f f παα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，求tan α. 19.（本题满分12分）随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于60km /h ）测试发现：①汽车每小时耗电量P （单位：KWh ）与速度v （单位：km /h ）的关系满足()()20.0020.04560120P v v v v =-+≤≤；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A 地经高速公路（最低限速60km /h ，最高限速120km /h ）驶到距离为500km 的B 地，出发前汽车电池存量为75KWh ，汽车到达B 地后至少要保留5KWh 的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为v 的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B 地并说明理由；（2）若途径服务区充电桩功率为15kw （充电量=充电功率⨯时间），求到达B 地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）.20.（本题满分12分）已知函数()()2log 21kxf x x =++为偶函数.（1）求实数k 的值； （2）若关于x 的方程()()21xf b f=-（b 为常数）在x R ∈上有且只有一个实数根，求实数b 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()f x 对,x y R ∀∈，都有()()()()()()21211f x y f x y f x f y ++-=--+且()314f =. （1）求证：()()01f x f +≥； （2）求()2024f 的值.22.（本题满分12分）已知函数()()f x x a x b =+-，其中,a b 为常数. （1）当1b =时，求函数()y f x =的单调区间； （2）当0a =时，存在2023个不同的实数()1220231,2,2023,03i x i x x x =≤<<<≤，使得()()()()()()12232022202312f x f x f x f x f x f x -+-++-=求实数b 的取值范围.2023学年第一学期浙南名校联盟12月联考高一年级数学学科参考答案一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二､选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.7914.()3,1- 15.{ln2ln2}xx -<<∣16.16-四､解答题：本大题共6小题，共70分.17.【答案】（1）[)[][]1,2,1,1,2,1,3A B a a a A B =-=-+=∴⋃=- （2）[)()3,,2∞∞+⋃--【解析】（1）()()21110{12022x x A xx x x x x x -+⎧⎫⎧⎫=≤=≤=+-≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭∣∣∣且[)20}1,2x -≠=- {}()(){}[]222101101,1B x x ax a x x a x a a a ⎡⎤⎡⎤=-+-≤=---+≤=-+⎣⎦⎣⎦∣∣[]2,1,3a B ==， []1,3A B ∴⋃=-（2）,RB A B A B ⋂=⇔⋂=∅,12A B a ≠∅≠∅∴-≥或11a +<-3a ∴≥或 2.a <-18.【答案】（1）()0,23παπα∈∴=或23πα=（2）4tan 3α=或34【解析】（1）()()()()()()()()sin 4cos tan 3sin cos tan sin 3cos tan sin tan 2f παπαπααααααπαααα--+--===-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭()sin 0,23πααπα∴=∈∴=或23πα=（2）()777,sin sin sin cos 25255f f ππαααααα⎛⎫⎛⎫++=-∴--+=-∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7sin cos 5αα∴=- 227cos cos 15αα⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭即：()()5cos 310cos 80αα--= 3cos 5α∴=或4cos 5α=当3cos 5α=时，4sin 4sin ,tan 5cos 3αααα∴=∴==， 当4cos 5α=时，3sin 3sin tan 5cos 4αααα∴=∴== 则4tan 3α=或34（其他解法酌情给分）19.【答案】（1）该车不能在不充电的情况下到达B 地. （2）该汽车到达B 地的最少用时为223【解析】（1）设匀速行驶速度为v ，耗电量为()f v ， 则()()()50025002060120f v P v v v v v=⋅=+-≤≤ 函数()f v 在区间[]60,120单调递增()min 245()607553f v f ∴==≥- 该车不能在不充电的情况下到达B 地（2）设匀速行驶速度为v ，总时间为t ，行驶时间与充电时间分别为12,t t . 若能到达B 地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量即()275155t f v +-≥ 解得25006153v t v≥+-.125005002000226661531533v v t t t v v v ∴=+≥++-=+-≥=. 当且仅当2000153v v=，即100v =时取到等号 所以该汽车到达B 地的最少用时为22320.【答案】（1）2k =- （2）0,1b b =≥或1b ≤-【解析】（1）()()2log 21kx f x x =++为偶函数()()2log 21kx f x x -∴-=+-()()()()222221log 21log 212log 2021kx kxkxxkx f x f x x -⎛⎫+∴--=+-++== ⎪+⎝⎭22212122121kx x kx x kx -⎛⎫+∴=∴⋅= ⎪+⎝⎭2k ∴=-..（1）法2：由()()()()2211log 211log 2112kkf f k =-⇒++=+-⇒=-.当2k =-时，()()()()222224141log 21log 2log log 2242x x xx x x x x f x x f x --⎛⎫⎛⎫++=++===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2k ∴=-（2）()()()222224141log 21log 2log log 2242x x xx x x x x f x x --⎛⎫⎛⎫++=++===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22x x -+在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增令222log x xt y t -=+=在()2,∞+上递增()()2log 22x x f x -∴=+在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增.又()()2log 22x x f x -=+是偶函数则由()()21xf b f =-有且只有一个实数根，21x b ∴=-有且只有一个实数根0,1b b ∴=≥或1b ≤-（其他解法酌情给分）21.【答案】（1）见详解.（2）()120244f = 【解析】（1）取x y ､都为2x 时，()()2021112x f x f f⎛⎫⎛⎫+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭思路2：0x y ==，则()()220(201)1f f =-+，可得()102f =或当()102f =时，令0y =，则()1f x =，即()12f x =与()314f =矛盾 所以()01f =， 即证()0f x ≥取x y ､都为2x 时，()()2021112x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()314f =，可得()()()()()1132304561444f f f f f =⇒=⇒=⇒=⇒= 令1y =，则()()()()()()()1112121112f x f x f x f f x ++-=--+=+即()()()111,2f x f x f x ++-=+即()()()1212f x f x f x ++=++()()211f x f x ∴++-=用3x +代x 可得()()521f x f x +++=()()51f x f x ∴+=-，即()()6f x f x += ()()202422f f ==22.【答案】（1）当1a =-时，()f x 在R 上单调递增. 当1a >-时，()f x 在()1,,1,2a ∞∞-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 当1a <-时，()f x 在()1,1,,2a ∞∞-⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）b 的取值范围是][(),17,∞∞--⋃+ 【解析】（1）()()()()221,111,1x a x a x f x x a x x a x a x ⎧+--⎪=+-=⎨---+<⎪⎩1当1a =-时，()()22(1),1,(1),1x x f x f x x x ⎧-=⎨--<⎩在R 上单调递增. 2当1a >-时，()f x 在()1,,1,2a ∞∞-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 3当1a <-时，()f x 在()1,1,,2a ∞∞-⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）()22,,x bx x bf x x x b x bx x b ⎧-=-=⎨-+<⎩1当02b≤即0b ≤时，()2f x x bx =-在[]0,3上单调递增，因为12202303x x x ≤<<<≤，所以()()()()1202303f f x f x f ≤<⋯<≤，则()()()()()()12232022202312f x f x f x f x f x f x =-+-++- ()()()()()()()()213220232022f x f x f x f x f x f x =-+-++-()()()()203313093f x f x f f b =--=-解得1b ≤-；2当32b即6b 时，()2f x x bx =-+在[]0,3上单调递增，因为12202303x x x ≤<<<≤，所以 ()()()()20331123093f x f x f f b =--=-+，解得7;b3当3322b<<即36b <<时，()()()()22612203293992422b b b b b f f f b -⎛⎫⎛⎫--=⨯-+--+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾；4当3022b <≤即03b <≤时， ()()()()()261223029399222b b b b f f f f b b -⎛⎫+--=+-=+< ⎪⎝⎭，矛盾.综上所述，b 的取值范围是][(),17,.∞∞--⋃+。
高三数学12月联考
2020-2021学年度上学期高三12月份联考数学试卷考试时间：120分钟，试卷满分：150分 命题人：许安第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2,1),(,2)()x x ===已知，若∥，则a b a b .4A .1B - .1C .4D -2. ={|1},{|(2)(3)0},=,()A x m x n B x x x A B m n ≤+≤=--≤+=已知集合若则.5A .6B .7C .8D3. ,,tan 3,sin()()A B C ABC A B C ∆=+=角是直角的内角，且则.A.B.C.D 4. 20,(1,0)l x y m l l m +-=-直线：直线过点且与垂直，则与的交点坐标是()31.(,)22A 13.(,)22B 31.(,)22C -- 13.(,)22D --5. 432120192020{}4()12,n n S a n S S S a a a -=-+=-是各项均为负数的等比数列的前项和，且，若 20202021()a a +=则.48A .48B - .24C .24D -6. 1212,,(1,0).||1,60C F F F P C OP POF ︒-=∠=已知椭圆的左右焦点分别是且点为上一点，, 则此椭圆的离心率为().1A.1B.2C.3D 7. 1ln ,y x M M =+过原点的直线与曲线相切于点则的坐标是( ).(,2)A e .(,1)B e .(1,1)C .(2,1ln 2)D +8. 某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金.某顾客要购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在左盘，将m 克黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5克的砝码放入右盘，将n 克黄金放于左盘使之平衡后又给顾客.则顾客实际所得黄金m n +（ ）.A 小于10克 .B 大于10克 .C 小于等于10克 .D 大于等于10克二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2009年度九年级12月月考数学试卷
一、选择题(每题3分，共30分) 1、下列二次根式：4，12，50，
2
1
中与2是同类二次根式的个数为（ ）。
A 、1 B 、2 C 、3 D 、
2、将如图所示的图案，绕其中心旋转n °时，与原图形重合，
那么n 的最小值是（
）。
A 、60
B 、90
C 、120
D 、180 3、关于x 的一元二次方程01)1(2
2
=-++-a x x a 的一个根为0， 则a 的值为（ ）。
A 、1
B 、1-
C 、1- 或1
D 、
2
1
4、如图：将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好过圆心O ， 则折痕AB 的长为（ ）。
A 、2cm B 、3cm C 、23cm D 、5cm
5、下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ）。
A 、水中捞月 B 、拔苗助长
C 、守株待兔
D 、瓮中捉鳖
6、小明的作业本上有以下四题：①416a =2
4a ；②a 5·a 10= 5a 2； ③a
a
1
)0(12≠=∙=a a a a ； ④a a a =-23，做错的题是（ ）。
A 、① B 、② C 7、如图，在三个等圆上各有一条劣弧AB 、弧CD 、弧
EF ，若弧AB+弧CD=弧EF ，那么AB+CD 与EF 的
大小关系是（ ）。
A 、AB+CD=EF B 、AB+CD ＞EF C 、AB+CD ＜EF D 、不能确定 8、若关于x 的一元二次方程0122
2
=--x kx ，
有两个不等的实数根，则k 的取值范围是（ ）。
A 、k ＞-1
B 、k ＞-1且k ≠0
C 、k ＜1
D 、k ＜1且k ≠0
9、如图，水平地面上有一面积为30πcm 2
的扇形AOB ，半径OA=6cm ，且OA 与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（ ）。
10、如图，一个跳水运动员从距水面10米高的跳台向上跳起0.5米，
最后以14米/秒的向下运动速度入水，他在空中每完成一个翻滚动作需用时间0.2秒，并至少在离水面3.5米处停止做翻滚动作准备入水，该运动员在空中至多能做翻滚动作（ ）。
A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、3个 二、填空题（每题2分，共18分） 11、函数3
||2
--=
x x y 的自变量的取值范围是____________________
12、如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘 上的点A 处安装了一台监视器，
它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 _________台。
13、若方程022=++a ax x 的两实根为1x ，2x ，且满足122
221=+x x ，则实数a 的值为 _________。
14、4cm 和5cm 的两圆相交，它们的公共弦长为6cm ，则这两圆的圆心距等于_________。
那么，该班共有________人，随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率是______。
16、如图：表2是从表1中截取的一部分，则a =_____________。
三、解答题（9小题，共72分）
17、（7分）已知05242
2=+-++a b b a ，求b
a
a b -+-
的值。
18、（7分）已知一元二次方程042
=+-k x x 有两个不相等的实数根。
（1）求k 的取值范围。
（2）若k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程042
=+-k x x 与012
=-+mx x 有一个相同的根，求此时m 的值。
19、（7分）阅读材料：对于1027-可进行如下化简： 原式=25)25()2(252)5(21025222-=-=+⨯-=
+-
请仿照上述材料化简求值：已知526-=x ，求)
2(24
)2121(2--⨯
++-x x x x 的值。
20、（8分）如图，在RtABC 中，∠C=90°，∠A=α，将RtABC 在平面内绕点A 逆时针方向旋转，设点B 旋转到点B ’时，点C 旋转到点C ’。
（1）问旋转角β为多少时（用α表示），点B ’在BC 的延长线上？ （2）当0°＜β＜2α时，试找出∠B ’BC ＋∠B ’C ’C 与α的关系，并说明你的结论。
21、（8分）
理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦而产生的高热。
（1）求该太空舱要接受防高热处理的面积（结果保留π
）； （2）现在一只蚂蚁在太空舱A 点上， 要爬到P 点（P 点 为棱OB 的中点）处，求蚂蚁爬行的最短路线的长。
22、（8分）设一个点只落在平面直角坐标系上由x 轴，y 轴及
直线x+y=2所围成的三角形内（包括边界），并且落在这个三
角形内任何区域的可能性相等。
（1）求此点落在直线2
1
=
x 的左边的概率是多少？ （2）求此点落在直线1=y 与直线2
3
=
y 之间的概率是多少？
23、（8分）如图，⊙O 是RtABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F 。
（1）判断△DCE 的形状。
（2）设⊙O 的半径为1，且OF=2
1
3-，
求证：△DCE ≌△OCB 。
24、（9分）2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009—2011）》。
某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元，投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高了30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%。
（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？
（2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金分别是多少万元？
（3）该市政府预计2011年将7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009年—2011年 每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009—2011年的年增长率。
25、（10分）如图，在直角坐标系中，直线AB 的解析式为64
3
+-
=x y ，⊙P 和△ABO 三边相切于点E 、F 、G ，CD 和⊙P 相切于Q ，交AC 于C ，交AB 于D ，且OC 、BD 的长是方程0
92
=+-k x x 的两个整数根。
（1）求的⊙P 面积，四边形B0CD 的周长和CD 的长； （2）求k 的值；
（3）符合上述条件的点C 能否和P 、B 在同一直线上？说明理由。