联考数学试卷
辽宁省名校联盟2024-2025学年高三上学期10月联考 数学试卷
辽宁省名校联盟2024年高三10月份联合考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2},{2,3},{2,4}A B C ===，则()A B C ⋂⋃=（）A.{1,2}B.{2}C.{2,4}D.{1,2,3,4}2.已知1i +是关于x 的方程20x ax b -+=的一个根，,a b R R ，则a b +=（）A.0B.2C.1D.43.已知向量,a b 不共线，,AB a b AC a b λμ=+=+，其中0,0λμ>>，若,,A B C 三点共线，则4λμ+的最小值为（）A .5B.4C.3D.24.“3sin 4α=”是“1sin cos 222αα-=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设函数()|1||2||3||40|f x x x x x =-+-+-++- ，则()f x 的最小值为（）A.780B.390C.400D.2006.已知1sin()2cos(),tan()2αβαβαβ-=+-=，则tan tan αβ-=（）A.47B.74C.76D.457.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M 是ABC V 内一点，BMC △，AMC ，AMB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅= .若M 为ABC V 的垂心，3450MA MB MC ++=，则cos AMB ∠=（）A.3-B.6-C.6D.38.x ∀∈R ，用()M x 表示(),()f x g x 中的较小者，记为()min{(),()}M x f x g x =，设函数12()e 2,()(1)x f x x g x x a x a -=+-=-+--，若,()0x M x ∀∈≤R ，则a 的取值范围为（）A .(,3-∞+ B.(,6]-∞C.[3-+D.[3)-+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数π()2sin 34f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.4π()3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.π()6f x f x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭C.()f x 在2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D.函数3()2y f x =+在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有2个零点10.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.已知点,,A B C 是直线l 上三个不同的点，O 为直线l 外一点，且0.4OC xOA OB =+，则0.6x =B.已知向量(1,2),(1,1)a b == ，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.已知点G 为ABC V 三条边的中线的交点，则0GA GB GC ++=D.已知(1,AB AC ==- ，则AB 在AC上的投影的坐标为11.设函数()(),log ,0xa f x a g x x a ==>且1a ≠，则（）A.函数()f x 和()g x 的图像关于直线y x =对称B.函数()f x 和()g x 的图像的交点均在直线y x =上C.若e a =，方程()8f x x +=的根为1x ，方程()8g x x +=的根为2x ，则128x x +=D.已知1a >，若()()()()f f x x g g x >>恒成立，则a 的取值范围为1e e e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，若()f x 在(,)m m -上是增函数，则正数m 的取值范围是_______.13.设函数()f x ax =，若()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围为_______．14.{}{}i,N,,1,i,,,1,1A z z a b a b z B z z x y x y x y =∈=+∈∈==∈=+∈∈≤≤C N C Z Z ，若定义{}1212,,A B z z z z z A z B ⊕=∈=+∈∈C ，则A B ⊕中的元素有_______个．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知公差d 不为0的等差数列的前n 项和为6397,6,15n S S a S ==.（1）求的通项公式；（2）令212na nb =+，记n T 为数列的前n 项和，若2024n T ≥，求n 的最小值.16.已知函数2()e ,ax f x x a =∈R ．（1）当1a =时，若1x ≤，求()f x 的极值点和极值、最值点和最值；（2）讨论()f x 在[0,1]上的单调性．17.已知函数()sin cos f x x x =-.（1）求方程()cos 2fαα=在[]0,2π上的解集；（2）设函数()()3ln 2F x f x x =+；（i ）证明：()y F x =在5π(0,4有且只有一个零点；（ii ）在（i ）的条件下，记函数()y F x =的零点为0x ，证明：00211ln sin 2333x x -<+<.18.已知函数()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（1）若0,()f x ω>在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上为增函数，求ω的值范围；（2）已知05,()f x ω<<的图像向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图像．且π3x =是()g x 的一个零点，若()g x 在[0,)(0)n n >上恰好有6个零点，求n 的最大值；（3）已知函数π()cos 223(0)6h x a x a a ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，在第（2）问的条件下，若对任意1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =成立，求a 的取值范围．19.已知函数()exf x x -=．（1）若01x <<，证明：ln(1)()ln(1)1x f x x x +<<++；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ．（i ）若()n a f n =，证明：2e(e 1)n S <-．（ii ）已知函数()()()31ln g x x f x =-+，若()11,3,1n n n a g a a a +==>，证明：31nn S n ≤+-．辽宁省名校联盟2024年高三10月份联合考试数学命题人：辽宁名校联盟试题研发中心审题人：辽宁名校联盟试题研发中心本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】AC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】π0,12⎛⎤⎥⎝⎦【13题答案】【答案】[)1,+∞【14题答案】【答案】14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）2n a n =（2）6【16题答案】【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【17题答案】【答案】（1）π5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【18题答案】【答案】（1）103ω<≤；（2）π；（3）80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
2024-2025学年辽宁省三校高三数学上学期10月联考试卷及答案解析
2024—2025学年度上学期高三10月联合教学质量检测高三数学试卷本试卷共5页 满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+，若{}15A B x x ⋃=<<，则a =（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，再根据并集得出参数的值.【详解】因为()1,3A =,()1,5A B ⋃=，又因为(),3B a a =+，所以35,a +=即a =2.故选：C.2. 如图，在ABC V 中，点D 是BC 边的中点，3AD GD = ，则用向量AB ，AC表示BG 为（ ）A. 2133BG AB AC=-+u u u u r uu r u u u r B. 1233BG AB AC=-+u u u r u uu r u u u r C. 2133BG AB AC=-u u u r u u u r u u u r D. 2133BG AB AC=+u u u r u u u r u u u r【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】3AD GD =，故23AG AD = ，则()2212133233B C G BA BA BA AG AD AB A AB AC =+=+=+⨯+=-+.故选：A3. 在等比数列{}n a 中，记其前n 项和为n S ，已知3212a a a =-+，则84S S 的值为（ ）A. 2 B. 17 C. 2或8D. 2或17【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列通项公式求得1q =或2q =-，再利用等比数的求和公式求解即可.【详解】解：由等比数列的通项公式可得21112a q a q a =-+，整理得220q q +-=，解得1q =或2q =-．当q =1时，1841824S a S a ==；当2q =-时，()()814844184111117111a q S q q q S q a q q ---====-+--．所以84S S 的值为2或17．故选：D ．4. 每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为20%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）A. 5% B. 10%C. 15%D. 45%【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式直接得出结论.【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%20%35%10%+-=.故选:B5. 若直线:3l y kx k =+-与曲线:C y =恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 4,+3∞⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32⎛⎤⎥⎝⎦C. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先得到直线过定点()1,3P ，作出直线l 与曲线C ，由图求出直线l 过点()1,0A -时的斜率和直线l 与曲线C 相切时的斜率即可树形结合得解.【详解】由()313y kx k k x =+-=-+可知直线l 过定点()1,3P ，曲线:C y =两边平方得()2210x y y +=≥，所以曲线C 是以()0,0为圆心，半径为1且位于直线x 轴上方的半圆，当直线l 过点()1,0A -时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点，此时3032k k k =-+-⇒=，当直线l 与曲线C 相切时，直线和圆有一个交点，圆心()0,0到直线l的距离1d ，两边平方解得43k =，所以结合图形可知直线l 与曲线C 恰有两个交点，则4332k <≤.故选：B.6. 已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论不正确的A. π6ϕ=B. 若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C. 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为2【答案】D 【解析】【分析】先根据()f x 是偶函数求ϕ判断A 选项；根据最小正周期公式计算可以判断B 选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C 选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D 选项.【详解】()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，则πππππ,Z,,,3226k k ϕϕϕ+=+∈<∴=∣∣A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，由()sin()g x x ωϕ=+则2π23π,3T ωω==∴=，B 选项正确；πππ(0,π),(,π)666x x ωω∈+∈+ 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5ππ7π710π,26233ωω<+≤<≤,C 选项正确；若π()sin(6g x x ω=+ πππsin +446g ω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ+2π463k ω=+或ππ2π+2π463k ω=+，Z k ∈，则 283k ω=+或28,Z k k ω=+∈，又因为0ω>，则ω的最小值为23，D 选项错误.故选:D.7. 已知()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为1280-，则a =（ ）A. ―2B. 2C. D. 1【解析】【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.【详解】由题意，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()()6662166C 2C 2rr r r r rr r a T x a x x ---+-⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，令620r -=，则3r =，令621r -=-，则72r =不符合题意，所以()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()3336C 21280a --=-，解得2a =-．故选：A .8. 已知函数22()log f x x mx x =-+，若不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围是（ ）A. 23log 33,89+⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 23log 33,94+⎛⎫⎪⎝⎭C. 23log 33,94+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 23log 33,89+⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】不等式()0f x >可化为2log 1xmx x-<，利用导数分析函数()2log x g x x =的单调性，作函数()1h x mx =-，()2log xg x x=的图象，由条件结合图象列不等式求m 的取值范围.【详解】函数22()log f x x mx x =-+的定义域为(0,+∞)，不等式()0f x >化为：2log 1xmx x-<．令()1h x mx =-，()2log x g x x=，()2222221log e log log e log x xx x g x x x --='=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减．当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当01x <<时，()0g x <，当x →+∞时，()0g x →，当0x >，且0x →时，()g x ∞→-，画出()g x 及()h x 的大致图象如下，因为不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1,2．故()()()()2233h g h g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log 2212log 3313m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得23log 3943m +≤<.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知复数232023i i i i 1iz ++++=+ ，则下列结论正确的是（ ）A. 1i 2z -=-B. 1i 2z -=C. 1i 2z +=-D. z =【答案】ACD 【解析】【分析】利用234i+i +i +i 0=对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果.【详解】因为i,411,42i ,i,431,4nn k n k k n k n k=+⎧⎪-=+⎪=∈⎨-=+⎪⎪=⎩Z ，所以234i+i +i +i 0=，所以()()()()2342323202323505i+i +i +i i i i 1i i i i i i i i 111i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 22z +++--++++++-======-++++++- ，所以A 正确，B 错误，111i i=222z +=---，C 准确，所以z ==D 正确.故选：ACD10. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC V 的三个内角均小于120°时，使得120AOB BOC COA ︒∠=∠=∠=的点O 即为费马点；当 ABC V 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（ ）A. 正三角形的的费马点是正三角形的中心B. 若P 为ABC V 的费马点, 且 0PA PB PC ++=u u r u u r u u u r r，则ABC V 一定为正三角形C. 若ABC V 三边长分别为2D. ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ， π22A ,bc ∠==，若点P 为ABC V 的费马点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=.【答案】ABC 【解析】【分析】对A ，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B ，取AB 的中点D ，由0PA PB PC ++=可得点P 是ABC V 的重心，再结合条件可得点P 是ABC V 的中心，得证；对C ，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D ，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解.【详解】对于A ，如图O 是正三角形ABC 的中心，根据正三角形的性质易得o 120AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以点O 是正三角形ABC 的费马点，故A 正确；对于B ，如图，取AB 的中点D ，则2PA PB PD += ，因为0PA PB PC ++=，所以2PC PD =-u u u r u u u r，所以,,C P D 三点共线，且点P 是ABC V 的重心，又点P 是ABC V 费马点，则o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，则o 60APD BPD ∠=∠=，又AD BD =，易得PA PB =，同理可得PC PB =，所以PA PB PC ==所以点P 是ABC V 的外心，所以点P 是ABC V 的中心，即ABC V 是正三角形.故B 正确；对于C ，如图，在Rt ABC △中，1AB =，BC =，2AC =，o 30ACB ∠=，点O 是Rt ABC △的费马点，将COA 绕点C 顺时针旋转o 60，得到CED △，易证COE ，ACD 是正三角形，则OC OE =，OA DE =，CD AC =，且点,,,B O E D 共线，所以o90BCD ∠=，所以BD ===又OA OB OC DE OE OB DB ++=++==，的.故C 正确；对于D ，由费马点定义可得o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，设PA x =，PB y =，PC z =，,,0x y z >，由ABC PAB PAB PAB S S S S =++V V V V，可得111122222xy xz yz ++=⨯，整理得xy yz xz ++=，所以111222PA PB PB PC PC PA xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1122xy yz xz =-++=-=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D 选项的关键在于利用三角形等面积法求出xy yz xz ++=.11. 在四面体ABCD 中，棱AB 的长为4，AB BD ⊥，CD BD ⊥，2BD CD ==，若该四面体的体积为）A. 异面直线AB 与CD 所成角的大小为π3B. AC的长可以为C. 点D 到平面ABCD. 当二面角A BC D --是钝角时，其正切值为【答案】ACD【解析】【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sin CDE ∠=A ，根据余弦定理即可求解B ，根据等体积法即可求解C ，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.【详解】在平面ABD 内过D 作DE AB ∥，且ED AB =,由于AB BD ⊥，故四边形ABDE 为矩形，CD BD ⊥，DE BD ⊥，BD DE C = ，CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，故BD ⊥平面CDE ，故11233C ABD C EDA B CDE CDE CDE V V V S BD S ---===⋅=⨯=，11sin 24sin 4sin 22CDE S CD DE CDE CDE CDE=⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠故1124sin 233C ABD CDE V S CDE -=⨯=⨯∠⨯=，因此sin CDE ∠=由于()0,CDE π∠∈，所以3CDE π∠=或23π，由于CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角或其补角，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为3π，A 正确，当23CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时AC ==当3CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时4AC ==,故B 错误，由于BC ==,4AB =,当AC =cos BAC ∠==sin BAC ∠=，11sin 422ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯= ,当4AC =时，161683cos 2444BAC +-∠==⨯⨯，故sin BAC ∠=，1sin 2ABC S AB AC BAC =⋅∠= ,故点D 到平面ABC的距离为d ===,C 正确，当4AC =时，4AB AC ==,2CD BD ==,取BC 中点为O ，连接OA ,OD ,则AOD ∠即为二面角A BC D --的平面角，12OD BC ===,AO ==所以22cos 0AOD ∠===<,故AOD ∠为钝角，符合题意，此时sin tan cos AODAOD AOD∠∠==∠，当4AC =，由于2DBCS =，点A 到平面BDC距离为d ===,设A 在平面BDC 的投影为H ,则AH =,故HD==HC ==,因此点O 为以D ,C为圆心，以半径为,显然交点位于BC ,同D 的一侧，故此时二面角A BC D --为锐角，不符合要求，故D 正确，故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知,a b +∈R ，41a b +=，则aba b+的最大值是________．【答案】19【解析】的【分析】先求出11a b+的最小值，再将aba b +化为111a b+，即可求得答案.【详解】因为,a b +∈R ，41a b +=，故()111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，结合41a b +=，即11,63==a b 时等号成立，所以11119ab a b a b =≤++，即ab a b +的最大值是19，故答案为：1913. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在每个顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π．我们把平面四边形ABCD 外的点P 连接顶点A 、B 、C 、D 构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．【答案】4π【解析】【分析】根据曲率的定义求解即可.【详解】由定义可得多面体的总曲率2π=⨯顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为()2π5π42π14π⨯-⨯+⨯=.故答案为：4π.14. 过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上焦点1F ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为H ，直线1F H 与双曲线的上､下两支分别交于,M N ，若3NH HM =，则双曲线的离心率e =__________.【解析】【分析】设双曲线右焦点为2F ，HM t =，3NH t =，由题意结合双曲线定义可依次求出1F H 、1OF 、1F M 、1F N 、2F N 和2F M ，接着分别在1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △中结合余弦定理求出1cos OF M ∠，进而建立等量关系式求出t ，从而求得2b a =，进而由离心率公式即可得解.【详解】设双曲线右焦点为2F ，由题()10,F c ，双曲线的一条渐近线方程为ay x b=-即0ax by +=，过该渐近线作垂线，则由题1F H b =，1OF c =，设HM t =，则由题3NH t =，1F M b t =-，13F N b t =+，所以232F N b t a =+-，22F M b t a =-+，所以在1Rt F OH 中，111cos F H bOF M OF c∠==①，在12F MF △中，()()()()()22222211221112||||22cos 222F M F F F M b t c b t a OF M b t c F M F F +--+--+∠==-⋅②，在12F NF △中，()()()()()22222211221112||||3232cos 2322F N F F F N b t c b t a OF M b t c F N F F +-++-+-∠==+⋅③，由①②得()()()()()2222222b t c b t a bb tc c-+--+=-，化简解得ab t a b =+，由①③得()()()()()2223232232b t c b t a b b t c c++-+-=+，化简解得()3ab t b a =-，所以()23ab abb a a b b a =⇒=+-，故双曲线的离心率c e a====.【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为2F ，HM t =，则结合双曲线定义可得1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角1OF M ∠的余弦值1cos OF M ∠，从而可建立等量关系式依次求出t 和2b a =，进而由离心率公式得解.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()*1N n n S a n =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22212n n T S S S =+++ ，求n T .【答案】（1）1()2n n a = （2）1235111((3232n nn n T --=+-⋅【解析】【分析】（1）应用1n n n S S a --=，再结合等比数列定义及通项公式计算即可；（2）先化简得出21111()()24n n n S --+=，再应用分组求和及等比数列前n 项和公式计算.小问1详解】因为数列{a n }的前n 项和，满足1n n S a =-，当2n ≥时，可得111n n S a --=-，两式相减得1n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以112n n a a -=，令1n =，可得1111S a a =-=，解得112a =，所以数列{a n }构成首项为12，公比为12的等比数列，所以{a n }的通项公式为1111()(222n nn a -=⋅=.【小问2详解】由（1）知1(2nn a =，可得11(2nn S =-，所以222111111()]12()()1((22224[1n n n n n n S -=-⋅=+=-+-，【则222121111()[1()]244(111)111124n n n n T S S S -⋅-=+++=+++-+-- 1235111()()3232n n n --=+-⋅.16. 如图，正四棱台ABCD EFGH -中，24,EG AC MN ==上为上下底面中心的连线，且MN 与侧面.（1）求点A 到平面MHG 的距离；（2）求二面角E HM G --的余弦值.【答案】（1（2）23-【解析】【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用点面距向量公式，可得答案；（2）求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【小问1详解】由题意，易知,,MN MA MB 两两垂直，分别以,,MA MB MN 为,,x y z 轴建立直角坐标系，如下图：则()()()()1,0,0,0,0,0,0,2,1,2,0,1A M H G --，取()()0,2,1,2,0,1MH MG =-=-，设平面MHG 的法向量(),,n x y z = ，则2020n MH y z n MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，则1,1x y ==，所以平面MHG 的一个法向量()1,1,2n =，取()1,0,0MA = ，点A 到平面MHG的距离MA n d n ⋅===.【小问2详解】由（1）可知()()()()2,0,1,0,2,1,0,0,0,2,0,1E H M G --，取()()()()2,2,0,2,0,1,2,2,0,2,0,1HE ME HG MG ===-=-，设平面EHM 的法向量()1111,,m x y z = ，则11111122020m HE x y m ME x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =-，则221,2y z ==，所以平面EHM 的一个法向量()11,1,2m =-，设平面HMG 的法向量()2222,,m x y z = ，则22222222020m HG x y m MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21x =，则111,2y z ==，所以平面EHG 的一个法向量()21,1,2m =，设二面角E HM G --的大小为θ，则12121142cos 1143m m m m θ⋅-++=-=-=-++⋅ .17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s 的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本标准差S.（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5P X <<；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z 表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E （Z ）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()()220.9545,330.99731P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x 轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),0n 的概率为()160n P n ≤≤，试证明数列{}1n n P P --是等比数列()259n ≤≤，求出数列{}()160n P n ≤≤的通项公式，并比较59P 和60P 的大小.【答案】（1）300 （2）（ⅰ）0.8186；（ⅱ）16.372（3）证明见解析，158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，5960P P >【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得n P ，利用差比较法比较59P 和60P 的大小.【小问1详解】2050.12550.23050.453550.24050.05300x ≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（ⅰ）0.95450.6827(250.25399.5)0.68270.81862P X -<<=+=.（ⅱ））∵Z 服从二项分布()20,0.8186B ，∴()200.818616.372E Z =⨯=.【小问3详解】当359n ≤≤时，()12112111,222n n n n n n n P P P P P P P -----=+-=--，1221111131,,222244P P P P ==⨯+=-=.∴{}1(259)n n P P n --≤≤是以14为首项，12-为公比的等比数列，2111(259)42n n n P P n --⎛⎫-=⋅-≤≤ ⎪⎝⎭.22132111111,,,(259)44242n n n P P P P P P n --⎛⎫⎛⎫-=-=⋅-⋯-=⋅-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.累加得：115816058111422111111,(259),1362236212n n n n P P P n P P --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭-==-⋅-≤≤==+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.∴158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩∵58585960111111033232P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴5960P P >.注：比较59P 和60P 的另一个过程：58596059592112111,13623622P P P P ⎛⎫=-⋅>-==-<< ⎪⎝⎭.18. 已知函数()1e xx f x +=.（1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()e ln 1xf x a x +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知直线l 是曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线，求证：当1t >时，直线l 与曲线()y f x =相交于点()(),s f s ，其中s t <.【答案】（1）极大值为1，没有极小值 （2）[]e,0- （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断()f x 的单调性和极值；（2）根据题意可得ln 0x a x +≥恒成立，构建()ln ,0g x x a x x =+>，分类讨论a 的符号，利用导数求最值，结合恒成立问题分析求解；（3）根据导数的几何意义可得当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，构建()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >，利用导数研究函数零点分析证明.小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()ex xf x '-=，令()0f x '=时，0x =，则x ，f ′(x )，()f x 的关系为x(),0∞-0(0,+∞)f ′(x )+0-()f x 单调递增极大值单调递减所以，当0x =时，()f x 取到极大值为1，没有极小值.【小问2详解】若()e ln 1xf x a x +≥，即ln 0x a x +≥恒成立，设()ln ,0g x x a x x =+>，则()1a x a g x x x'+=+=，①当0a =时，则()0g x x =>恒成立，符合题意；②当0a >时，则()0g x '≥，可知()g x 在(0,+∞)上单调递增，因为11e e 10a a g --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以ln 0x a x +≥不恒成立；③当0a <时，x ，()g x '，()g x 的关系为x()0,a -a-(),a ∞-+()g x '-+【()g x 单调递减极小值单调递增可知()g x 的最小值为()()min ln g x a a a =-+-，则()ln 0a a a -+-≥，因为0a <，则()1ln 0a --≥，解得e 0a ≤-<；综上所述：实数a 的取值范围是[]e,0-.【小问3详解】因为()1e x x f x +=，()e x x f x '-=，则()1e t tf t +=，e t t k -=即切点坐标为1,e t t t +⎛⎫⎪⎝⎭，切线l 斜率为e tt k -=，可得l 的方程为()1e e t t t t y x t +--=-，即21e et tt t t y x -++=+，联立方程21e e 1e t txt t t y x x y ⎧-++=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得2110e e e x t tx tx t t ++++-=，由题可知：当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，设()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >且()0h t =，则()e e x t x t h x '-=+，设()()F x h x ='，则()1e xx F x '-=，因为1t >，x ，()F x '，F (x )的关系为x(),1∞-1()1,t ()F x '-+F (x )单调递减1e et t -+，单调递增可知F (x )的最小值()()()min 10F x F F t =<=，且()1e 0e ttF -=+>，可知()01,1x ∃∈-，使()00F x =，当()0,x x ∞∈-时，()0F x >，即h ′(x )>0；当()0,x x t ∈时，()0F x <，即h ′(x )<0；可知h (x )在()0,x ∞-内单调递增；在()0,x t 内单调递减，可知h (x )的最大值()()()0max 0h x h x h t '=>=，且()()2110e t t h -+-=<，可知h (x )存在小于t 的零点，所以当1t >时，直线l 与曲线y =f (x )相交于点()(),s f s ，其中s t <，得证.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．19. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q ．（1）当0b =，r =，12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；（2）①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想|OP |和|OQ |的大小关系，并证明．【答案】（1）53OP OQ == （2）①证明见解析；②猜测OP OQ =，证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求,,,C D E F 各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线CF 和ED 的方程，并求它们与x 轴的交点坐标，可得问题答案.（2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.②分别求出点P 和点Q 的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立.【小问1详解】当0b =，r =，12m =-，2n =时，圆M ：225x y +=，直线CD ：12x y =-，由22512x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，故()1,2C -，()1,2D -；直线EF ：2x y =，由2252x y x y⎧+=⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，故()2,1E ，()2,1F --.所以直线CF :122112y x ++=+-+，令0y =得53x =-，即5,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线ED :122112y x --=---，令0y =得53x =，即5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以：53OP OQ ==.【小问2详解】①由题意：22b r <.由()222x y b r x my ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩⇒()()222my y b r +-=⇒()2222120m y by b r +-+-=，则1y ，2y 是该方程的两个解，由韦达定理得：12222122211b y y m b r y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以1222122y y b y y b r +=⋅-.同理可得：3422342y y b y y b r +=⋅-，所以34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅.②猜测OP OQ =，证明如下：设点(),0P p ，(),0Q q .因为,,C P F 三点共线，所以：414100y y x p x p --=--⇒411414x y x y p y y -=-，又因为点C 在直线x my =上，所以11x my =；点F 在直线x ny =上，所以44x ny =.所以()1441141414y y n m ny y my y p y y y y --==--；同理因为,,E Q D 三点共线，可得：()2323y y n m q y y -=-.由①可知：34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅⇒12341111y y y y +=+⇒14321111y y y y -=-⇒23411423y y y y y y y y --=⋅⋅⇒231414230y y y y y y y y ⋅⋅+=--， 所以()()14231423y y n m y y n m p q y y y y --+=+--()23141423y y y y n m y y y y ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭0=.即p q =-，所以OP OQ =成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键是联立直线与圆的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，进行化简处理，设计多个字母的运算，整个运算过程一定要小心、仔细.。
广东省五校2024-2025学年高二10月联考(一)数学试卷(解析版)
2024-2025学年第一学期珠海市实验中学、河源高级中学、中山市实验中学、惠州市博罗中学、珠海市鸿鹤中学联考（一）试卷高二数学满分：150分 考试时间：120分钟1.说明：注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．310y −−=的倾斜角为（） A. 30° B. 135°C. 60°D. 150° 【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为α， tan 180αα=°≤<°，所以30α=°， 故选：A2. 设()()(),,1,1,1,1,,,,4,2x y a b y z c x ∈===−R ，且,//a c b c ⊥，则2a b +=（ ） A. B. 0C. 3D. 【答案】D 【解析】【分析】由向量的共线与垂直条件求解,b c的坐标，再由向量坐标运算及求模公式可得.【详解】2,,,,,,,11114,a b y z c x ===−，由a c ⊥，则有420a c x ⋅=−+= ，解得2x =，则()2,4,2c =− .由//b c ，则有1242y z==−，解得2y =−，1z =， 所以()1,2,1b =−，故()23,0,3a b += ，则2a b + .故选：D.3. 下列命题中正确的是（ ）A. 点()3,2,1M 关于平面yOz 对称点的坐标是()3,2,1−−B. 若直线l 的方向向量为()1,1,2e=−，平面α的法向量为()6,4,1m =−，则l α⊥ C. 若直线l 方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ，则直线l 与平面α所成的角为30D. 已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =−+，则12m =−【答案】C 【解析】【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A ；由向量的数量积的性质可判断B ；由线面角的定义可判断C ；由共面向量定理可判断D.【详解】对于A ，点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1−，A 选项错误；对于B ，若直线l 的方向向量为()1,1,2e=−，平面α的法向量为()6,4,1m =−， ()()1614210e m ⋅=×+−×+×−=，有e m ⊥ ，则//l α或l α⊂，B 选项错误；对于C ，若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ， 则直线l 与平面α所成的角为()9018012030−−=，C 选项正确； 对于D ，已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =−+ ，则1112m −+=，解得12m =，D 选项错误. 故选：C.4. 如图，从光源P 发出的一束光，遇到平面镜（y 轴）上的点B 后，反射光线BC 交x轴于点)C，若光线PB 满足的函数关系式为：1y kx =+，则k 的值为（ ） 的的A.B.C. 1D. -1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得(0,1)B 和点C 关于y 轴的对称点()C ′，求得BC k ′，结合,,P B C ′三点共线，即可求解.【详解】为光线PB 满足的函数关系式为1y kx =+， 令0x =，可得1y =，即点(0,1)B ，又因为)C，则点C 关于y 轴的对称点为()C ′，可得BC ′的斜率为BC k ′=，因为,,P B C ′三点共线，可得BC k k ′=，所以k =. 故选：A.5. 过点1,13作直线l ，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l 的条数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】设直线l 的方程为()102x ay a a +=≠，将点1,13 代入直线l 的方程，然后由判别式判断即可. 【详解】设直线l 的方程为()102x ay a a +=≠， 将点1,13代入，可得()11032aa a +=≠， 即23620a a −+=，由于Δ36432120=−××=>， 所以方程23620a a −+=有两个根， 故满足题意的直线l 的条数为2． 故选：B.6. 如图，在三棱锥O ABC −中，点D 是棱AC 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则BD等于（ ）A 1122a b c −+B. a b c +−C. a b c −+D. 1122a b c −+−【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理结合线性运算的坐标表示求解． 【详解】点D 是棱AC 的中点，则有()()()11211122222BD BA BC OA OB OC OB a b c a b c =+=−+−=−+=−+.故选：A7. 已知长方体1111ABCD A B C D −，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）.A. 11AD B C ⋅B. 1BD AC ⋅C. 1AB AD ⋅D. 1BD BC ⋅【答案】D 【解析】【分析】当四边形ADD 1A 1为正方形时，可证AD 1⊥B 1C 可判断A ；当四边形ABCD 为正方形时，可证AC ⊥BD 1可判断B ；由长方体的性质可证AB ⊥AD 1，分别可得数量积为0，可判断C ；可推在△BCD 1中，∠BCD 1为直角，可判BC 与BD 1不可能垂直，可得结论可判断D.【详解】选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有110⋅=AD B C ，故正确；选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，可得AC ⊥BD ，1AC BB ⊥，1BD BB B ∩=， 1,BD BB ⊂平面BB 1D 1D ，可得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有10⋅=BD AC ，故正确；选项C ，由长方体的性质可得AB ⊥平面ADD 1A 1，1AD ⊂平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有1AB AD ⋅=0，故正确； 选项D ，由长方体的性质可得BC ⊥平面CDD 1C 1，1CD ⊂平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即10⋅≠BD BC ，故错误.故选：D.8. 如图已知矩形,1,ABCD AB BC==AC 将ABC 折起，当二面角B AC D −−的余弦值为13−时，则B 与D 之间距离为（ ）A. 1B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，在矩形,1,ABCD AB BC ==2AC ∴=， ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC BE ∴⋅=⋅BE DF ∴==， 则12AECF ==，即211EF =−=， 平面ABC 与平面ACD 所成角的余弦值为13−，cos EB∴< ,13FD >=− ， BD BE EF FD =++ ，∴2222233()22212cos 44BD BE EF FD BE EF FD BE EF FD BE EF FD EB FD EB =++=+++⋅+⋅+⋅=++−⋅<，51512()32322FD >=−−=+= ，则||BD =即B 与D ， 故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知直线l 过点()2,3M −，且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 点，则（ ） A. 若直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为5y x =+B. 若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为1x y +=C. 若M 为AB 的中点，则l 的方程为32120x y −+=D. 直线l 的方程可能为3y = 【答案】AC 【解析】【分析】根据直线点斜式判断A ，由过原点直线满足题意判断B ，由中点求出A ,B 坐标得直线方程判断C ，由直线与坐标轴有交点判断D.【详解】对于A ，直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为32y x ，即5y x =+，故A 正确； 对于B ，当直线l 在两坐标轴上的截距都为0时，l 的方程为32y x =−，故B 错误； 对于C ，因为中点()2,3M −，且A ，B 在x 轴、y 轴上，所以()4,0A −，()0,6B ，故AB 的方程为146x y−+=，即32120x y −+=，故C 正确； 对于D ，直线3y =与x 轴无交点，与题意不符，故D 错误． 故选：AC ．10. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A. CC 1⊥BDB. 1136AA BD ⋅=C. 11B C AA与夹角是60°D. 直线AC 与直线11A C 的距离是【解析】【分析】设1,,AB a AD b AA c ===，依题得||||||6,18,a b c a b b c c a ===⋅=⋅=⋅= 运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B 两项；利用向量夹角的公式计算排除C 项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D 项.【详解】如图，设1,,AB a AD b AA c ===， 则||||||6,66cos 6018,a b c a b b c c a ===⋅=⋅=⋅=××=对于A ，因1,CC c BD b a ==−，则1()0CC BD c b a c b c a ⋅=⋅−=⋅−⋅=，故A 正确； 对于B ，因1AA c = ，1BD b a c =−+，则211()||18183636AA BD c b a c c b c a c ⋅=⋅−+=⋅−⋅+=−+= ，故B 正确； 对于C ，11,B C b c AA c =−= 211()||183618B C AA b c c b c c ⋅=−⋅=⋅−=−=− ，且11||6,||6,B C AA ==设11B C AA 与夹角为θ，则1111181cos 662||||B C AA B C AA θ⋅==−=−×⋅，因[0,π]θ∈，则2π3θ=，即C 错误；对于D,在平行六面体1111ABCD A B C D −中，易得111111////,AA BB CC AA BB CC ==, 则得11ACC A ,故11//AC A C ,故点1A 到直线AC 的距离d 即直线AC 与直线11A C 的距离.因,AC a b =+ 1()36AA AC c a b ⋅=⋅+=，且1||6,||AA AC==则d ===，故D 正确.11. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（ ）A. 三棱锥1C EFG −的体积为13B. 1A C ⊥平面EFGC. 1BC ∥平面EFGD. 二面角G EF C −−【答案】ABC 【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明1//BC 面EFG ，1A C ⊥平面EFG ，转换后求棱锥的体积，由空间向量法求二面角，从而判断各选项．【详解】如图，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,2)D ，(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，1(2,2,2)B ，1(2,0,2)A ，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，则(1,0,0)E ，(2,1,0)F ，(1,2,2)G ，(1,1,0),(0,2,2)EF EG ==，1(2,0,2)BC − ，易知12BC EG EF =−，所以1,,BC EF EG 共面， 又1BC ⊄平面EFG ，所以1//BC 面EFG ，C 正确；1111111123323C EFG B EFG G BEF BEF V V V S BB −−−===⋅=××××= ，A 正确； 1(2,2,2)A C =−− ，12200AC EF ⋅=−++= ，同理10A C EG ⋅=， 所以1AC是平面EFG 的一个法向量，即1A C ⊥平面EFG ，B 正确； 平面CEF 的一个法向量是(0,0,1)n =，111cos ,A C n A C n A C n ⋅===G EF C −−D 错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若直线1l ：10x ay +−=与直线2l ：420ax y ++=平行，则a =___________． 【答案】2 【解析】【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数a ，然后对参数a 进行检验即可求解.【详解】因为直线1l ：10x ay +−=与直线2l ：420ax y ++=平行， 所以2140a ×−=，解得，2a =±，当2a =时，直线1l ：210x y +−=，直线2l ：2420x y ++=，即210x y ++=，满足题意； 当2a =−时，直线1l ：210x y −−=，直线2l ：2420x y −++=，即210x y −−=， . 综上所述，2a =. 故答案为：2.13. 已知()()2312A B −，，，，若点(),P x y 在线段AAAA 上，则3yx −的取值范围是_______. 【答案】13,2−−【解析】【分析】设(3,0)Q ，利用斜率计算公式可得：QA k ，QB k ．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设(3,0)Q ，则30323AQ k −==−−，201132BQ k −==−−−， 点(,)P x y 是线段AB 上的任意一点， ∴3y x −的取值范围是[3−,1]2−，故答案为：[3−,1]−14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C −，中，M 是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB = ，3MG GN =，若1AG xAA y AB z AC =++ ，则x y z ++=_________．【答案】118【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设2AB =,如下图所示，建立空间直角坐标系， ()000A ，， ，()200B ，，，()001C ，，，()1010A ，，1012M ，，，1203N，，，则1121200123232MN=−=−，，，，，-， 所以13213110122432228AG AM MG++−，，，-，，， 又因为()131122,,228AG xAA y AB z AC y x z y x z ++⇒，， 所以131112488x y z ++=++= 故答案为：118四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC 的两顶点坐标为()1,1A −，()3,0C ，()10,1B 是边AB 的中点，AD 是BC 边上的高． （1）求BC 所在直线的方程； （2）求高AD 所在直线的方程.【答案】（1）3490x y +−=； （2）4370x y −−=. 【解析】【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求B 的坐标，利用点斜式求直线BC 方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线AD 的斜率，利用点斜式求直线AD 方程，再化为一般式即可. 【小问1详解】因为1()0,1B 是边AB 的中点，所以()1,3B −， 所以直线BC 的斜率34BC k =−， 所以BC 所在直线的方程为：()334y x =−−，即3490x y +−=， 【小问2详解】因为1()0,1B 是边AB 的中点，所以()1,3B −， 因为AD 是BC 边上的高，所以1BC AD k k ⋅=−，所以30113AD k −⋅=−−−， 所以43AD k =， 因此高AD 所在直线的方程为：41(1)3y x +=−，即4370x y −−=.16. 已知直线()()1231:−=−+a y a x l . （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）1a ≤（3）240x y +−=【解析】【分析】（1）由方程变形可得()2310a x y x y −−++=，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解；（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】由()():1231l a y a x −=−+，即()2310a x y x y −−++=， 则20310x y x y −= −++=，解得12x y = = ，所以直线过定点()1,2； 【小问2详解】如图所示，结合图像可知，当1a =时，直线斜率不存在，方程为1x =，不经过第二象限，成立； 当1a ≠时，直线斜率存在，方程为11213ya a a x +−−−， 又直线不经过第二象限，则2301101a a a − > −≤ − ，解得1a <； 综上所述1a ≤； 【小问3详解】已知直线()():1231l a y a x −=−+，且由题意知1a ≠，令0x =，得101=>−y a ，得1a >， 令0y =，得1032>−xa ，得32a <，则22111112132410651444S a a a a a =××==−−−+−−−+， 所以当54a =时，S 取最小值， 此时直线l 的方程为55123144y x−=×−+，即240x y +−=. 17 已知()()()0,0,0,2,5,0,1,3,5A B C ．（1）求AC 在AB上的投影向量；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标； （3）若点(0,3,0)P ，求点P 到平面ABC 的距离．【答案】（1）3485,,02929（2）()1,2,5−−（3【解析】【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；.（2）根据AD BC =可求D 的坐标；（3）根据点面距公式可求点P 到平面ABC 的距离． 【小问1详解】()1,3,5AC = ，()2,5,0AB = ，故AC 在AB上的投影向量为AC AB AB ABAB⋅， 而()21534852,5,0,,0292929AC AB AB AB AB⋅+ ==.【小问2详解】设(),,D x y z ，则AD BC =，故()(),,1,2,5x y z =−−， 故D 的坐标为()1,2,5−−. 【小问3详解】()0,3,0AP =，设平面ABC 的法向量为mm ��⃗=(xx ,yy ,zz )，则00m AB m AC ⋅= ⋅=即250350x y x y z += ++= ，取5x =−，则2y =，15z =−， 故15,2,5m=−−，故点P 到平面ABC18. 如图，在长方体1111ABCD A B G D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）求证：11D E A D ⊥.（2）当点E 为棱AB 的中点时，求CE 与平面1ACD 所成角的正弦值. （3）在棱AB 上是否存在点M ，使平面1D MC 与平面AMC 所成的角为π6？若存在，求出AM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2（3）存在，2AM =. 【解析】【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0即可证得垂直； （2）先求得平面1ACD 的法向量，再利用空间向量法求线面角即可得解；（3）先求得平面1D MC 与平面AMC 法向量，再利用空间向量法求线面角即可得解. 【小问1详解】以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，02x <<，则()11,0,1A ，()10,0,1D ，()1,,0E x ，AA (1,0,0)，()0,2,0C ，所以()()111,0,11,,10DA D E x ⋅=⋅−=，则11DA D E ⊥， 所以11D E A D ⊥. 【小问2详解】因为E 为AB 的中点，所以()1,1,0E ，从而()1,1,0CE=−，()1,2,0AC =− ，()11,0,1AD =−，设平面1ACD 的法向量为(),,n a b c = ，则100n AC n AD ⋅=⋅= ， 即200a b a c −+=−+= ，得2a b a c= = ，令2a =，则()2,1,2n =， 设CE 与平面1ACD 所成角为π02θθ<<，的则sin cos ,CE θ=〈 所以CE 与平面1ACD. 【小问3详解】设这样的点M 存在，且AM x =，02x <<，平面1D MC 与平面AMC 所成的角为π6， 则()1,,0M x ，()10,0,1D ，()0,2,0C ，()1,2,0CM x =− ，()10,2,1CD =−，设平面1D MC 的法向量为(),,m a b c ′′=′ ，则()12020m CM a x b m CD b c ⋅=+−= ⋅′=−′+=′′， 取1b ′=，得()2,1,2mx =−， 易知平面AMC 的一个法向量()0,0,1p =，所以πcos 6m p m p⋅== ，由02x <<，解得2x =，所以满足题意的点M 存在，此时2AM =. 19. 已知111(,,)a x y z = ，222(,,)b x y z = ，333(,,)c x y z =，定义一种运算：123231312132213321()a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z ×⋅=++−−−，已知四棱锥P ABCD −中，底面ABCD是一个平行四边形，(2,1,4)AB =− ，(4,2,0)AD = ，(1,2,1)AP −（1）试计算()AB AD AP ×⋅的绝对值的值，并求证PA ⊥面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD −的体积，说明()AB AD AP ×⋅的绝对值的值与四棱锥P ABCD −体积的关系，并由此猜想向量这一运算()AB AD AP ×⋅的绝对值的几何意义.【答案】（1）48，证明见解析；（2）体积为16，()3P ABCD AB AD AP V −×⋅=，()AB AD AP ×⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积． 【解析】【分析】（1）根据新定义直接计算，由向量法证明线线垂直，得线面垂直；（2）计算出棱锥体积后，根据数据确定关系．【详解】（1）由题意()AB AD AP ×⋅221424(1)(1)0=××+××+−×−×202−××4(1)1−×−×(1)24−−××＝48．122(1)140AP AB ⋅=−×+×−+×= ，1422100AP AD ⋅=−×+×+×=，∴,AP AB AP AD ⊥⊥，即,AP AB AP AD ⊥⊥．,AB AD 是平面ABCD 内两相交直线，∴AP ⊥平面ABCD ．（2）由题意2221,20AB AD == ，24(1)2406AB AD ⋅=×+−×+×=，sin ABCDS AB AD BAD=∠==，AP =∴111633P ABCD ABCD V S PA −==×=． ∴()3P ABCD AB AD AP V −×⋅=， 猜想：()AB AD AP ×⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题时根据新定义的规则运算即可．考查学生的创新意识，同时考查学生的归纳推理能力．。
2024年八校联考数学试卷
2024年天津市八所重点学校高三毕业班联考数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.考试结束后，上交答题卡.第I 卷（选择题，共45分）一．选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．（1）已知全集{}5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3=A ，{}5,2,1=B ，则=⋂)(A C B u ()A ．{}2B ．{}21，C ．{}42，D ．{}421，，（4）函数)(x f 的部分图象如下图所示，则)(x f 的解析式可能为（）（5）已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为3:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.03和0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为()A ．1100B ．150C ．401D ．130（7）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）.在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为（）第Ⅱ卷(非选择题，共105分)二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．（10）若复数z 满足z ＝1＋3i1－i (其中i 是虚数单位)，则z 的虚部为________．（11）在5)2(xx -的展开式中，3x 项的系数为__________.(用数字填写答案)（12）已知直线02=+-my x 与⊙4:22=+y x C 交于B A ,两点，写出满足“ABC ∆面积为3”参考数据：4=x ，19=y ，140712=∑=i i x ，2695712=∑=i i y ，60071=∑=ii i yx ，6≈2.45，相关系数∑∑∑∑∑∑======-⋅-⋅-=-⋅---=ni i ni i ni i i ni i ni i ni i iyn y x n x yx n yx y y x x y y x xr 122122112121)()()((.若点P 、Q 分别在边DA 、EA 上,DA DP λ=，EA EQ μ=,若252=μ+λ,则FQ FP ⋅的最小值为_________，)(41R t FE F A t FE F A t ∈-+-的最小值为.（15）函数⎩⎨⎧-≤+++++->+=2,3)2)(3()2(2),2ln()(2x a x a x x x x f ，函数2)(-=x a x g ，若函数2)2()2()(-+--=x g x f x h 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）(本小题满分14分)在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,c b a 已知0cos 22=+-C a b c .（1）求角A 的大小；（2）若3a =，26=c ，（ⅰ）求)2sin(A C +的值；（ⅱ）求ABC ∆的面积.（17）（本小题满分15分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知AB ∥CD ，CD AD ⊥，121===CD AD AB .点P 为线段EC 的中点．（1）求证：BF ∥平面CDE ；（2）求直线DP 与平面BDF 所成角的正弦值；（3）求平面BDF 与平面CDE 夹角的余弦值．P已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ,21,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，点A 为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的41.（1）求椭圆C 的离心率；（2）直线l 过椭圆C 的右焦点2F ，与椭圆C 交于Q P ,两点（点P 在第一象限）．且APQ ∆面积的最大值为325.（ⅰ）求椭圆C 的方程；（ⅱ）若直线AQ AP ，分别与直线43=x 交于N M ,两点，求证：以MN 为直径的圆恒过右焦点2F .（19）（本小题满分15分）（3）设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅+⋅-=++为偶数为奇数n b a n b b a b b c n n n n n nn n ,,24221，数列{}n c 的前n 2项和为n S 2，求证：1249232(1825+-+<n n n S .。
广东省莞佛深部分学校2024-2025学年高三上学期10月联考试题 数学含答案
高三数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码．2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．3．本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．4．考试结束后，请将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.样本数据1，1，5，7，8，8，9，10，10，11的平均数和第40百分位数分别为（）A.7，7B.7，7.5C.7.5，7D.7.5，7.52.已知集合{}205A x x =<<，{}Z 12B x x =∈-<，则A B = （）A.{}1,0,1,2- B.{}0,1,2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2,3-3.若12i z z-=-，则z =（）A.1i2+ B.1i 2+-C.1i 2- D.1i2-+4.已知向量()1,1a = ，(),b x y =，若()4a b a ⊥- ，()//b b a + ，则2x y +为（）A.12B.8C.9D.4-5.已知α、3π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos αβαβ-=+，则sin 2α=（）A.12-B.1C.0D.1-6.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的圆柱的侧面积为（）A.B.C.D.7.已知函数为3211,1()3e ln(2),1x x ax x x f x x x +⎧++<-⎪=⎨⎪++≥-⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.7[1,]3B.7(,]3-∞ C.[]71,3- D.(,1]-∞8.函数π()|cos |)6f x x x =-在13π[0,]6上的零点个数为（）A.3B.4C.5D.6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知变量X 服从正态分布()20,X N ~σ，当σ变大时，则（）A.11(22P X -<<变小 B.11()22P X -<<变大C.正态分布曲线的最高点下移 D.正态分布曲线的最高点上移10.已知命题p ：对于正数a ，b ，[)00,x ∞∀∈+使()00e 1x bx a ++⋅>．若p 为假命题，则（）A.e 1b a ⋅> B.1eab ≤C.1a b +≤D.224e ab ≤11.函数()f x 的定义域为R ，若(1)()()f x y f x f y m ++=+-，且(0)f n =，,Z m n ∈，n m >则（）A.(1)f m -=- B.()f x 无最小值C.401()860820i f i n m==-∑ D.()f x 的图象关于点(2,2)m n --中心对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线:l y kx =是曲线()1ex f x +=和()ln g x x a =+的公切线，则实数a =______．13.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且2cos a B c a =-．当3c ab+取最小值时，则A =______．14.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动．顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示．奖品一个健身背包一盒蛋白粉概率3414则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为______．三、解答题：本题共5小题，共77分．15.如图，在直角三角形POA 中，PO AO ⊥，24PO AO ==，将POA 绕边PO 旋转到POB 的位置，使2π3AOB ∠=，得到圆锥的一部分，点C 为 AB上的点，且 14AC AB =．（1）在A 上是否存在一点D ，使得直线OA 与平面PCD 平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由；（2）设直线OC 与平面PAB 所成的角为θ，求sin θ的值．16.已知数列{}n a 满足()121221333334n nn n a a a +-⋅++++=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a =，记{}n b 的前n 项和为n T ，求证：4121nn nT n n <<++．17.已知O 为坐标原点，点2在椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>上，过左焦点1F 和上顶点A 的直线1l 与椭圆相交于点A ，B ．记A ，B 的中点为M ，有12OM k =-．过上顶点A 的直线2l 与椭圆相交于点C （C 点异于B 点）．（1）求椭圆C 的方程；（2）求ABC V 面积的最大值，18.甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛．比赛过程中，有选手领先2分者立即晋级，比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）．已知甲答对题目的概率为13，乙答对题目的概率为p ，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1分的概率为16．记比赛结束．．．．时甲乙两人的答题总次数为()2n n ≥．（1）求p ；（2）求在4n =的情况下，甲晋级的概率；（3）由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3轮，若超过3轮没有晋级者，则择期再进行比赛．求甲在3轮比赛之内成功晋级的概率．19.函数()ln f x x =，2()2g x x x m =--+．（1）若e m =，求函数()()()F x f x g x =-在1[,2]2的最小值；（2）若2()()(2)e x f x g x x x +≤--在(0,](1)x t t ∈>上恒成立时，实数m 的取值范围中的最小值为ln 2，求实数t 的值．高三数学注意事项：1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码．2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．3．本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．4．考试结束后，请将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】3【13题答案】【答案】π4【14题答案】【答案】37384三、解答题：本题共5小题，共77分．【15题答案】【答案】（1）存在，3AD AB =；（2）17.【16题答案】【答案】（1）n a n =（2）证明见解析【17题答案】【答案】（1）2212x y +=；（2）2323+.【18题答案】【答案】（1）12（2）1 5（3）17 216【19题答案】【答案】（1）e4ln2-+；（2）2.。
2024-2025学年云南省昆明市高三第三次联考数学检测试卷
2024-2025学年云南省昆明市高三第三次联考数学检测试卷本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列说法错误的是（ ）A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X 的分()2,X N μσ~σ布比较集中B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合2R 2R 的效果越好C. 在一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强0.98r =D. 对于一组数据，，…，，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的2倍1x 2x n x 2s 2. 若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ 1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭）A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项3. 函数的部分图象大致为（）()()e1cos e 1xx x f x +=-A.B.C.D.4. 已知长方体的体积为，且，则长方体外1111ABCD A B C D -1612AA =1111ABCD A B C D -接球体积的最小值为（）A.D. 25π6π125π5. 在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，n l l a n a ⊥则向量叫做直线l 的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P 满n,M N M l ∈N l ∉足.则动点P 的轨迹为（）PM n PN n⋅=A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线6. 已知，，，是方程的两个根，则（α()0,πβ∈tan αtan β240x -+=αβ+=）A. B. C. D. 或π32π34π3π32π37. 已知曲线的方程为，若经过点Γ()()222222220xy x y x y x y ++++--=的直线l 与曲线有四个交点，则直线l 的斜率的取值范围是（）()4,2A --ΓA. B. 711,,12322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭177,,172323⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. D. 7,123⎛⎫ ⎪⎝⎭1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭8. 将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i 项为，若()1,2,,7i a i =⋅⋅⋅，，，则这样的数列共有（ ）123a a a <<345a a a >>567a a a <<A. 70个B. 71个C. 80个D. 81个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数z 不为0，其共轭复数为，下列说法正确的是（ ）z A.22z z=B. 复平面内，z 与所对应的点关于实轴对称z C. ，与都是实数z z +z z -z z ⋅D. 若，则z 在复平面内所对应的点的轨迹为圆1zz =10. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，.若三角形有两解，ABC V 8b =45C =︒则边c 的取值可以是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 811. 已知双曲线，过原点的直线AC ，BD 分别交双曲线于A ，C 和B ，D 四点2213y x -=（A ，B ，C ，D 四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则的可能值为（13-tan AOB ∠）A.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到{}()16,n a n n *≤≤∈N 一个新的数列.这两组数据的极差相同的概率为______.13. 若函数在处有极小值，则______.()()2f x x x a =+1x =-a =14. 已知函数，为的零点，为()()sin f x x ωϕ=+0ω>π2ϕ≤π8x =-()f x π8x =图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为______.()f x ()f x ππ,186⎛⎫⎪⎝⎭ω四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占.1:31234（1）根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性22⨯别有关？女生男生合计运动达人非运动达人合计（2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生3423闯关成功的概率.附：，.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()2P K k≥0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63516. 已知数列满足，，数列满足.{}n a 12a =()()12n n n a n a a n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数{}n b 21n n b a -=（1）求，的值；2b 3b （2）证明：数列是等差数列；{}n b （3）求数列的前项和.{}n a 2n 2n S 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四P ABCD -PAD ⊥ABCD PAD △边形是梯形，且，，，点是ABCD //AB CD 2AD BD ==12DC AB ==G 的重心，与交于点.PAD △AC BDM （1）证明：平面；//GM PCD （2）求平面与平面的夹角的余弦值.PBC PAD 18. 已知F 为抛物线的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，()2:20C x py p =>的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为.OFM △9π4（1）求抛物线C 的方程；（2）设，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线交于点P ，过点()2,1A 2y x =-P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，求点F 到直线的距离的取值范围.BN d 19. 已知函数，.()23ln f x x x a x=-+a ∈R （1）当时，求函数在区间上的最小值；1a =()f x []1,2x ∈（2）若函数在区间上单调递减，求a 的取值范围；()f x []1,2（3）若函数的图象上存在两点，，且，使得()g x ()11,A x y ()22,B x y 12x x <，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中()()1212122g x g x x x g x x -+⎛⎫'=⎪-⎝⎭()y g x =AB 点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”，若是，()f x 判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由.()f x。
2025届江苏南京六校联合体高三10月联考数学试题+答案
2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学2024.10.22注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x| x 2－2x －8＜0}，B ＝{x| x ≤4 }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若复数z 满足－z ＝2－i3＋i，则|z |＝ A ．510 B ．102 C ．22D ．123．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为A ．6B ．12C ． 18D ． 24 4．已知等比数列{a n }满足a 4a 5a 6＝64，则a 2a 4＋a 6a 8的最小值为A ．48B ．32C ．24D ．85．已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2－a －4(x ≥0)ax －sin x (x ＜0)在R 上单调，则实数a 的取值范围为 A ．()－∞，－1 B ．(]－∞，－1 C ．[)－4，－1 D ．[]－4，－16．已知圆(x －2)2＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该双曲线的离心率为A ．2B ．13C ．21313D ．413137．已知函数f (x )＝(x －4)3 cos ωx (ω＞0)，存在常数a ∈R ，使f (x ＋a )为偶函数，则ω的最小值为A ．π12B ．π8C ．π4D ． π28．已知2024m ＝2025，2023m ＝x ＋2024 ，2025m ＝y ＋2026，则A ．0＜x ＜yB ．x ＜y ＜0C ．y ＜x ＜0D ．x ＜0＜y9．下列说法中正确的是A ．若随机变量X ~B (10，p )，且E (X )＝3，则D (X )＝2.1B ．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，7，9，5，这组数据的75百分位数为7C ．若随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜－1)＝p ，则P (1≤ξ≤3)＝12－pD ．若变量y 关于变量x 的线性回归方程为^y ＝x ＋t ，且－x ＝4，－y ＝2t ，则t ＝4310．已知棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 是该正方体的内切球，E ，F ，P 分别是棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，M 是正方形BCC 1B 1的中心，则 A ．球O 与该正方体的表面积之比为π6B ．直线EF 与OM 所成的角的正切值为2C ．直线EP 被球O 截得的线段的长度为22D ．球O 的球面与平面APM 的交线长为4π11．已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋1，则A ．当m ＝－1时，过点(2，2)可作3条直线与函数f (x )的图象相切B ．对任意实数m ，函数f (x )的图象都关于(0，1)对称C ．若f (x )存在极值点x 0，当f (x 1)＝f (x 0)且x 1≠x 0，则x 1＋32x 0＝0D ．若有唯一正方形使其4个顶点都在函数f (x )的图象上，则m ＝－22三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(2，1)，a －b ＝(－2，4)，则|a |－|b |＝_______．13．某个软件公司对软件进行升级， 将序列A ＝(a 1，a 2，a 3，···)升级为新序列A*＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，···)， A*中的第n 项为a n +1－a n ， 若(A*)*的所有项都是3，且a 4＝11， a 5＝18，则a 1＝_______．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点D (－1，0)的直线l 在第一象限与C 交于A ，B 两点，且BF 为∠AFD 的平分线，则直线l 的方程为_______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，AB ⊥AD ，P A ＝PD ， AB ＝2，AD ＝8，AC ＝CD ＝5(1)求证：平面PCD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．16．（本题满分15分）已知△ABC 的角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，2b cos A ＝2c －3a (1)求B ；(2)若cos A ＝sin C －1，CA →＝4CD →，BD ＝37，求△ABC 的面积．17．（本题满分15分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X 的分布列和数学期望；(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p ，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p 的值．18．（本题满分17分） 已知f (x )＝ln(x ＋1)(1) 设h (x )＝x f (x －1)，求h (x )的极值．(2) 若f (x )≤ax 在[0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．(3) 若存在常数M ，使得对任意x ∈I ，f (x )≤M 恒成立，则称f (x )在I 上有上界M ，函数f (x )称为有上界函数．如y ＝e x 是在R 上没有上界的函数， y ＝ln x 是在(0，＋∞)上没有上界的函数；y ＝－e x ，y ＝－x 2都是在R 上有上界的函数．若g (n )＝1＋12＋13＋···＋1n (n ∈N *)，则g (n )是否在N *上有上界? 若有，求出上界；若没有，给出证明．19．（本题满分17分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，C 的上顶点为B ，左右顶点分别为A 1、A 2，左焦点为F 1，离心率为12．过F 1作垂直于x 轴的直线与C 交于D ，E 两点，且| DE |＝3．(1)求C 的方程；(2)若M ，N 是C 上任意两点①若点M (1，32)，点N 位于x 轴下方，直线MN 交x 轴于点G ，设△MA 1G 和△NA 2G 的面积分别为S 1，S 2，若2S 1－2S 2＝3，求线段MN 的长度；②若直线MN 与坐标轴不垂直，H 为线段MN 的中点，直线OH 与C 交于P ，Q 两点，已知P ，Q ，M ，N 四点共圆， 求证：线段MN 的长度不大于14．高三2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研数学参考答案 2024.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．C 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9． AC 10．ACD 11．ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．0 13．8 14．y =32x ＋32四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD AD =，且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，………………...........................2分 ∵PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD PA ⊥，且PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ， ∴PD ⊥平面PAB ；…………................................……..4分又PD ⊂平面PAD ，所以平面⊥PCD 平面PAB ………………..6分 （2）取AD 中点为O ，连接CO ，PO 又因为PD PA =，所以AD PO ⊥ 则4==PO AO因为5==CD AC ，所以AD CO ⊥，则322=−=AO AC CO以O 为坐标原点，分别以OP OA OC ,,所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O − 则)4,0,0(),0,4,0(),0,0,3(),0,4,2(),0,4,0(P D C B A −,)4,4,0(),4,0,3(−−=−=PD PC ，)4,4,2(−=PB ......................................……..8分设),,(z y x n =是平面PCD 的一个法向量，则,00 =⋅=⋅PD n PC n 得=+=−0043z y z x ，令,3=z 则3,4−==y x ， 所以)3,3,4(−=n ……………............................................…..10分设PB 与平面PCD 所成的角为θ所以PB 与平面PCD 所成的角的正弦值为51344………………..13分16．（本小题满分15分）解：因为2cos 2b Ac =−，所以2sin cos 2sin B A C A =−2sin cos 2sin()2sin cos 2cos sin B A A B A A B A B A =+=+所以B A A cos sin 2sin 3=…………..3分 在ABC ∆中，0sin ≠A ,所以23cos =B ，所以6π=B …………..5分 （2）由1sin cos −=C A ，得1sin -65cos −=C C ）（π， 1sin sin 65sincos 65cos−=+C C C ππ，1)3sin(=+πC ………..7分 因为π<<C 0,所以3433πππ<+<C ，所以23ππ=+C ，所以6π=C …………..9分所以c b A ==，32π在ABD ∆中, ,4CD CA =所以b AD 43=A AD AB AD AB BD cos 237222⋅−+==)21(43216922−⋅⋅−+=b b b b ，得4==c b ，…………………………………………………………....13分所以ABC ∆的面积.34234421sin 21=⋅⋅⋅=⋅=A AC AB S ………………..15分17．（本小题满分15分）（1）由题可知X 的所有取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝570＝114P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝3070＝37P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝3070＝37P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝570＝114，………………………………8分故X 的分布列为：则E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52．………………………………9分由已知得，P (C )＝0.7，P (C |A )＝0.8，P (C |B )＝0.4，P (B )＝p ，P (A )＝1－p ， 所以由全概率公式得P (C )＝P (A )·P (C |A )＋P (B )·P (C |B )＝0.8(1－p )＋0.4p ＝0.8－0.4p ＝0.7，…………14分 解得p ＝0.25．……………………………………………………………………15分18．（本小题满分17分）解：(1) h ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)令h ′(x )＝0则x ＝1e ……………………………………………………………2分所以在(0，1e)上h ′(x ) ＜0，h (x )递减；在(1e，＋∞)上，h ′(x )＞0，h (x )递增； 所以函数h (x )有极小值h (1e )＝－1e，函数没有极大值．（未写极大值扣1分）…………4分 (2)设m (x )＝ln(x ＋1)－ax (x ≥0)，m (0)＝0m ′(x )＝1x +1－a当a ≤0时, m ′(x )＞0, m (x )单调递增，m (x )≥0，显然不满足. …………………………6分 当0＜a ＜1时,令 m ′(x ) ＝0, ∃x 0使m ′(x 0)＝0，在(0，x 0)上，m (x )单调递增；在( x 0，＋∞)上，m (x )单调递减，显然不成立；…………………………………………………………8分当a ≥1时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减，m (x )≤m (0)=0；…………………………………10分 综上：a ≥1. ………………………………………………………………………………11分 (3)没有上界，理由如下：由(1)可知，ln(x ＋1)≤x 在[0，＋∞)上恒成立，令x ＝1n ，则ln(1n ＋1)≤1n ，…………………………………………………………………13分所以ln(11＋1)＜11，ln(12＋1)＜12，ln(13＋1)＜13．．．ln(1n ＋1)＜1n，…………………………15分将上式相加，ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋．．＋1n＝g (n )由于ln(n ＋1)没有上界，故g (n )也没有上界. …………………………………………17分 19．（本小题满分17分） 解：（1）由离心率为12，得b 2 a 2＝34，由DE ＝3得2b 2a ＝3， 解得a ＝2，b ＝ 3所以故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1…………………………………………………………3分（2）由（1）可得A 2(2,0)，连接MA 2，因为S 1－S 2=S △MA 1A 2－S △MNA 2=32，S △MA 1O =32，所以S △NGA 2=S △MOG ，得S △NMA 2=S △MOA 2;所以ON ∥MA 2，所以直线ON 的方程为，y ＝－32x ,……………………………………6分由 y ＝－32x ，x 24＋y23＝1．得N (1,－32)，N (－1,32)（舍去）. 所以|MN |=3 …………………………………………………8分（3）设直线MN :y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2),P (x 3，y 3)，H (x 0，y 0)则Q (－x 3，－y 3).联立 y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1．可得，(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2－12＝0，所以，x 1＋x 2＝－8mk4k 2+3，x 1x 2＝4m 2－124k 2+3，………………………………………10分 y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2+3Δ＝64m 2k 2＋16(m 2－3)(4k 2+3)＞0,得m 2－3－4k 2<0． 所以中点H 的坐标为(－4mk 4k 2+3，3m 4k 2+3)，所以k OH ＝－34k, 故直线OH ：y ＝－34k x. ………………………………………12分由P ，Q ，M ，N 四点共圆，则|HM |·|HN |＝|HP |·|HQ |,………………………………14分 由|HM |·|HN |=14|MN |2=14(1+k 2)[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]=12(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2; 联立y ＝－34k x ，x 24＋y 23＝1．可得，x 2＝16k 24k 2+3，所以x 23＝16k 24k 2+3， 所以|HP |·|HQ |=(1+916k 2)|x 20－x 23|=(9+16k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2所以12(1+k 2)=9+16k 2得，k =±32……………………………………………………16分 所有m 2<3+4k 2=6，得m ∈(－ 6 ,6)，|MN |2=48(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2=42－7m 23 ≤14 即|MN |≤14…………………………………………………………………………17分。
云南省昆明市第一中学2025届高三第三次联考 数学试卷
云南省昆明市第一中学2025届高三第三次联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．下列说法错误的是（）A．若随机变量()2,X N μσ~，则当σ较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X 的分布比较集中B．在做回归分析时，可以用决定系数2R 刻画模型的回归效果，若2R 越大，则说明模型拟合的效果越好C．在一元线性回归模型中，如果相关系数0.98r =，表明两个变量的相关程度很强D．对于一组数据1x ，2x ，…，n x ，若所有数据均变成原来的2倍，则2s 变为原来的2倍2．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（）A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项3．函数()()e 1cos e 1xxx f x +=-的部分图象大致为（）A．B．C．D．4．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为16，且12AA =，则长方体1111ABCD A B C D -外接球体积的最小值为（）A．25π6B．C．D．125π5．在平面内，设n 是直线l 的法向量（直线的法向量：直线l 的方向向量为a，若向量n a ⊥，则向量n 叫做直线l 的法向量），,M N 是平面内的两个定点，M l ∈，N l ∉，若动点P 满足PM n PN n⋅=.则动点P 的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线6．已知α，()0,πβ∈，tan α，tan β是方程240x -+=的两个根，则αβ+=（）A．π3B．2π3C．4π3D．π3或2π37．已知曲线Γ的方程为()()222222220x y x y x y x y ++++--=，若经过点()4,2A --的直线l 与曲线Γ有四个交点，则直线l 的斜率的取值范围是（）A．711,,12322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B．177,,172323⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C．7,123⎛⎫ ⎪⎝⎭D．1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭8．将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i 项为()1,2,,7i a i =⋅⋅⋅，若123a a a <<，345a a a >>，567a a a <<，则这样的数列共有（）A．70个B．71个C．80个D．81个二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数z 不为0，其共轭复数为z ，下列说法正确的是（）A．22z z=B．复平面内，z 与z 所对应的点关于实轴对称C．z z +，z z -与z z ⋅都是实数D．若1z z=，则z 在复平面内所对应的点的轨迹为圆10．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，8b =，45C =︒.若三角形有两解，则边c 的取值可以是（）A．5B．6C．7D．811．已知双曲线2213y x -=，过原点的直线AC ，BD 分别交双曲线于A ，C 和B ，D四点（A ，B ，C ，D 四点逆时针排列），且两直线斜率之积为13-，则tan AOB ∠的可能值为（）A．B．C．D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知数列{}()16,n a n n *≤≤∈N 是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到一个新的数列.这两组数据的极差相同的概率为.13．若函数()()2f x x x a =+在1x =-处有极小值，则a =.14．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ≤），π8x =-为()f x 的零点，π8x =为()f x 图象的对称轴，且()f x 在,186ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则ω的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为1:3，男生中“运动达人”占12，女生中“运动达人”占34.(1)根据所给数据完成下面的22⨯列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？女生男生合计运动达人非运动达人合计(2)现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为34与23，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d-=++++，n a b c d =+++.()2P K k≥0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63516．已知数列{}n a 满足12a =，()()12n n na n a a n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数，数列{}nb 满足21n n b a -=.(1)求2b ，3b 的值；(2)证明：数列{}n b 是等差数列；(3)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是等边三角形，四边形ABCD 是梯形，且//AB CD ，2AD BD ==，12DC AB ==G 是PAD △的重心，AC 与BD 交于点M .(1)证明：//GM 平面PCD ；(2)求平面PBC 与平面PAD 的夹角的余弦值.18．已知F 为抛物线()2:20C x py p =>的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设()2,1A ，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线2y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，求点F 到直线BN 的距离d 的取值范围.19．已知函数()23ln f x x x a x =-+，a ∈R .(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[]1,2x ∈上的最小值；(2)若函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，求a 的取值范围；(3)若函数()g x 的图象上存在两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <，使得()()1212122g x g x x x g x x -+⎛⎫'= ⎪-⎝⎭，则称()y g x =为“拉格朗日中值函数”，并称线段AB 的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数()f x 是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数()f x 的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由.参考答案1．【答案】D【详解】对于A 中，若随机变量()2~,X N μσ，则当σ较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X 的分布比较集中，所以A 正确；对于B 中，在做回归分析时，可以用决定系数2R 刻画模型回归效果，2R 越大，说明模型拟合的效果越好，所以B 正确；对于C 中，一元线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，所以如果相关系数0.98r =，表明两个变量的相关程度很强，所以C 正确；对于D，若所有数据均变成原来的2倍，则2s 变为原来的4倍，所以D 正确.故选：D．2．【答案】C【详解】由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第8项的系数相等，由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和项的系数相等，所以17C C n n =，所以8n =，则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项，故选：C．3．【答案】A【详解】()()e1cos e 1xxx f x +=-的定义域为()(),00,-∞+∞ ，排除D；因为()20f <，所以排除C；因为()()()()()e 1cos 1+e cos e 1e1xxxxx x f x fx --+-=-=-=---，()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B.故选:A 4．【答案】C【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，设,AB x BC y ==，因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为16，12AA =，所以216xy =，即8xy =，所以22R =当且仅当x y ==min R =所以长方体1111ABCD A B C D -外接球体积的最小值为34π3⨯=.故选：C.5．【答案】D【详解】PM n n⋅ 表示动点P 到直线l 的距离，PN表示动点P 到定点N 的距离，因为PM n PN n⋅=，所以动点P 的轨迹为抛物线，故选：D．6．【答案】B【详解】因为tan α，tan β是方程240x -+=的两个根，所以tan +tan 0αβ=>，tan tan 40αβ=>，所以tan 0,tan 0αβ>>，因为α，()0,πβ∈，所以ππ0,022αβ<<<<，0παβ<+<，因为()tan tan tan 1tan tan 14αβαβαβ++==---2π3αβ+=.故选：B.7．【答案】A【详解】如图，曲线Γ表示以()1,1M --，()1,1N为圆心，为半径的两个圆，由MN =设过点A 且与圆N 相切的直线方程为()42y k x =+-，则点N到该直线的距离1d ==11k =，2723k =，即图中直线AC 的斜率为1，直线AD 的斜率为723，又直线AO 的斜率为12，所以直线l 斜率的取值范围为711,,12322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A．8．【答案】B【详解】若51a =，则这样的数列有2263C C 45=个；若52a =，则这样的数列有2152C C 20=个；若53a =，则这样的数列有24C 6=个，所以满足条件的数列共有4520671++=个，故选：B．9．【答案】BD【详解】设()i R z a b a b =+∈，且,a b 不同时为0，则i z a b =-，由()2222i z a b ab =-+，222z a b =+，故A 错误；i z a b =+，对应的点为(),a b ，i z a b =-，对应的点为(),a b -，对应的点关于实轴对称，故B 正确；i z a b =+，i z a b =-，2z z a +=，为实数，2i z z b -=，只有当0b =的时候才是实数，22z z a b ⋅=+，为实数，故C 错误；若1z z=，即21zz z ==，即1z =，所以z 在复平面内所对应的点的轨迹为圆，故D 正确.故选：BD 10．【答案】BC【详解】由余弦定理得222828cos 45c a a =+-⨯⨯⨯°，即22640a c -+-=.因为三角形有两解，所以方程22640a c -+-=有两个正根1a ，2a ，由120a a +=，212640a a c =->，(()22Δ4640c =-->得8c <<，故选：BC.11．【答案】AC【详解】如图，当点A 位于第一象限时，点B 位于第二象限，设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为13k-，因为渐近线方程为y =，所以(k ∈，()13k-∈，所以k ∈⎝，因为1313tan 12313k k AOB k k --⎛⎫∠==-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，因为函数13y k k =+在⎝⎭上单调递减，在3⎛ ⎝上单调递增，所以函数3123y k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在⎝⎭上单调递增，在⎝上单调递减，而3k =时，y =；k =3y =-；k =3y =-，所以tan AOB ∠的取值范围为,3⎛- ⎝；当点A 位于第四象限，点B 位于第一象限，同理可得tan AOB ∠的取值范围为⎭．综上所述，tan AOB ∠的取值范围为⎛⋃ ⎝⎭.故选：AC.12．【答案】25/0.4【详解】不妨设0d >，则126a a a <<⋅⋅⋅<，其极差为61a a -．若随机删除两项后极差不变，则删除的两项必存在于第2项至第5项，则有24C 种删除方法，所以2426C 2C 5P ==．故答案为：25.13．【答案】3【详解】()2234f x x ax a =++'，因为()f x 在1x =-处有极小值，所以()10f '-=，即2430a a -+=，解得1a =或3a =；当1a =时，()()()2341131f x x x x x =++=++'，当1x <-或13x >-时，′>0，当113x -<<-时，′<0，函数()f x 在1x =-处取得极大值；故1a =不成立，当3a =时，()()()313f x x x +'=+，当3x <-或1x >-时，′>0，当31x -<<-时，′<0，函数()f x 在1x =-处取得极小值，所以3a =.故答案为：314．【答案】2【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为π8x =-为()f x 的零点，π8x =为()f x 图象的对称轴，所以ππ8842T kT ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即()()21π212πZ 444k T k k ω++==⋅∈，所以()()22142Z k k k ω=+=+∈.因为ππ8π,186⎛⎫ ⎪⎝⎭∈，所以()f x 在ππ186⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调，当2ω=时，由π8x =-为()f x 的零点可得π2π8k ϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，()ππ+Z 4k k ϕ=∈，因为π2ϕ≤，所以π4ϕ=.因为()πsin(24f x x =+在ππ186⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调，所以ω的最小值为2.故答案为：215．【答案】(1)列联表见解析，有90％的把握认为“运动达人”和性别有关(2)47【分析】（1）完善22⨯列联表，计算2K 的观测值并作答；（2）利用独立重复试验的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算即得.【详解】（1）抽取的80人中，女生与男生的人数比为1:3，则女生有20人，男生有60人，男生中“运动达人”占12，女生中“运动达人”占34，则得如下22⨯列联表：显然23.810 2.7063520604521K ⨯-⨯⨯⨯>⨯==，所以有90％的把握认为“运动达人”和性别有关；（2）由分层抽样，得抽取的男生人数为2，女生人数为1，记“恰有两人闯关成功”为事件A ，“有女生闯关成功”为事件B ，则232()((1)263327(1434341P A =⨯-+⨯-⨯⨯=，3321(1)4434()2P AB ⨯-=⨯⨯=，于是()()()1447716P AB P B A P A ===，所以恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为47.16．【答案】(1)24b =，36b =(2)证明见解析(3)2222n S n n=+【详解】（1）由已知得：2321224b a a a ==+=+=，354321222246b a a a a a ==+=+=++=+=.（2）证明：因为2122n n a a +=+，221n n a a -=，所以()12121212112n n n n n n b b a a a a +-+-+--=-=-=，而112b a ==，所以是以2为首项，2为公差的等差数列.（3）21232n n S a a a a =++++ ，因为21a a =，43a a =，221n n a a -= ，由（2）得2n b n =，所以()()()2213211222222222n n n n n S a a a b b b n n -+=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⋅=+.17．【答案】(1)证明见解析(2)5【详解】（1）连接AG 并延长，交PD 于点N ，连接CN ，因为点G 是PAD △的重心，所以N 是PD 的中点，且2AGGN=，在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，且12DC AB =，所以AMB ∽CMD △,则2AM ABCM CD==，所以AG AMGN CM=，所以//GM NC ，又因为NC ⊂平面PCD ，GM ⊄平面PCD ，所以//GM 平面PCD ；（2）取AD 的中点H ，连接PH ，在PAD △中，2PA PD AD ===，所以PH AD ⊥且PH =又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，在ABD △，2AD BD ==，AB =222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，则以D 为坐标原点，DA ，DB 所在直线为x 轴，y 轴，过点D 且与PH 平行的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题知()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C -，(P ，所以(1,BP =- ，()1,1,0BC =-- ，设平面PBC 的法向量为 =s s ，则0n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以200x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，令1x =，则1y z =-⎧⎪⎨=⎪⎩(1,1,n =- ，又()0,2,0DB =为平面PAD 的一个法向量，设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，所以cos cos ,5n DB n DB n DB θ⋅=〈〉===⋅，所以平面PBC 与平面PAD的夹角的余弦值为18．【答案】(1)24x y =(2)⎡⎣【详解】（1）设OFM △外接圆的半径为r ，图象如图所示：由图象可知，圆心必在直线4py =上，故3=424p p p r =+，所以239π=π44p ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，解得2p =，所以抛物线C 的方程为：24x y =.（2）由（1）知，抛物线C 的方程为：24x y =，则0,1，设211,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()2,1A ，则直线AB 的方程为：()21114122x y x x --=--，化简得：()1+2124x y x -=-，与2y x =-联立得：11282p x x x -=-，把()11242p x x x -=-代入2=4x y 得：21142N x y x ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，即()21111244,22x x N x x ⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则直线BN 的方程：()()221121111114422442x x x x y x x x x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭-=----，化简得()111141+422x x x y x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，当2x =，2y =时恒成立，所以直线BN 恒过定点()2,2Q .当直线BN 过点F 时，点F 到直线BN 的距离d 取得最小值，即0d =；当直线BN 与直线FQ 垂直时，d FQ ==即点F到直线BN 的距离d 取得最大值，所以，点F 到直线BN 的距离d的取值范围是⎡⎣.19．【答案】(1)2(2)2a ≤-(3)当0a =时，函数()f x 是“拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当0a ≠时，()f x 不是“拉格朗日中值函数”；理由见解析.【详解】（1）由题意可知当1a =时，()23ln f x x x x =-+，′≥0，且[]1,2x ∈所以′≥0，()f x 在区间[]1,2x ∈上为增函数，所以函数()f x 的最小值为()12f =-；（2）由题意可得()22323a x x af x x x x='-+=-+，若函数()f x 在区间[]12，上单调递减，则2230x x a -+≤在[]1,2x ∈恒成立，即223a x x ≤-+在[]1,2x ∈恒成立，只需()2min23a x x≤-+即可，又因为当[]1,2x ∈时[]2232,1y x x =-+∈-，所以2a ≤-.（3）假设函数()f x 是“拉格朗日中值函数”，设1,1，2,2是()f x 上不同的两点，且120x x <<，由题意可得()211113ln f x x x a x =-+，()222223ln f x x x a x =-+，则()()()()()222121212121212121213ln ln ln ln 3AB f x f x x x x x a x x a x x k x x x x x x x x ----+--===+-+---，函数()f x 在拉格朗日平均值点处的切线斜率121212232x x a k f x x x x +⎛⎫==+-+ ⎪+⎝⎭'，由AB k k =整理可得()212112ln ln 2a x x ax x x x -=-+，当0a =时，()212112ln ln 2a x x a x x x x -=-+恒成立，则函数()f x 是“拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当0a ≠时，()212112ln ln 2a x x a x x x x -=-+即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，令21x t x =()1t >，上式化为()214ln 211t t t t -==-++，即4ln 21+=+t t ，令()4ln 1h t t t =++，则()()()()22211411t h t t t t t -=-=+'+，因为1t >，所以()0h t '>恒成立，所以()h t 在1,+∞上单调递增，()()12h t h >=恒成立，所以在1,+∞上不存在t 使得4ln 21+=+t t ，即不存在这样的,A B 两点使得()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫= ⎪'-⎝⎭；综上所述，当0a =时，函数()f x 是“拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当0a ≠时，()f x 不是“拉格朗日中值函数”.。
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2009年度九年级12月月考数学试卷
一、选择题(每题3分，共30分) 1、下列二次根式：4，12，50，
2
1
中与2是同类二次根式的个数为（ ）。
A 、1 B 、2 C 、3 D 、
2、将如图所示的图案，绕其中心旋转n °时，与原图形重合，
那么n 的最小值是（
）。
A 、60
B 、90
C 、120
D 、180 3、关于x 的一元二次方程01)1(2
2
=-++-a x x a 的一个根为0， 则a 的值为（ ）。
A 、1
B 、1-
C 、1- 或1
D 、
2
1 4、如图：将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好过圆心O ， 则折痕AB 的长为（ ）。
A 、2cm B 、3cm C 、23cm D 、5cm 5、下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ）。
A 、水中捞月 B 、拔苗助长
C 、守株待兔
D 、瓮中捉鳖
6、小明的作业本上有以下四题：①416a =2
4a ；②a 5·a 10= 5a 2；
③a a
1)0(1
2≠=•=a a a
a ； ④a a a =-23，做错的题是（ ）。
A 、① B 、② C 7、如图，在三个等圆上各有一条劣弧AB 、弧CD 、弧
EF ，若弧AB+弧CD=弧EF ，那么AB+CD 与EF 的
大小关系是（ ）。
A 、AB+CD=EF B 、AB+CD ＞EF C 、AB+CD ＜EF D 、不能确定 8、若关于x 的一元二次方程0122
2
=--x kx ，
有两个不等的实数根，则k 的取值范围是（ ）。
A 、k ＞-1
B 、k ＞-1且k ≠0
C 、k ＜1
D 、k ＜1且k ≠0
9、如图，水平地面上有一面积为
30πcm 2
的扇形AOB ，半径OA=6cm ，
且OA 与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂
直为止，则O 点移动的距离为（ ）。
、24cm C 、10πcm D 、30πcm
10、如图，一个跳水运动员从距水面10米高的跳台向上跳起米，最后以
14米/翻滚动作（ ）。
A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、3个 二、填空题（每题2分，共18分）
11、函数3
||2
--=x x y 的自变量的取值范围是
____________________
12、如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘 上的点A 处安装了一台监视器，
它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 _________台。
13、若方程022
=++a ax x 的两实根为1x ，2x ，且满足122
22
1=+x x ，则实数a 的值为
_________。
14、4cm 和5cm 的两圆相交，它们的公共弦长为6cm ，则这两圆的圆心距等于_________。
那么，该班共有________人，随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率是______。
16、如图：表2是从表1中截取的一部分，则a =_____________。
三、解答题（9小题，共72分）
17、（7分）已知052422=+-++a b b a ，求b
a
a b -+-
的值。
18、（7分）已知一元二次方程042
=+-k x x 有两个不相等的实数根。
（1）求k 的取值范围。
（2）若k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程042
=+-k x x 与012
=-+mx x 有一个相同的根，求此时m 的值。
19、（7分）阅读材料：对于1027-可进行如下化简： 原式=25)25()2(252)5(21025222-=-=+⨯-=
+-
请仿照上述材料化简求值：已知526-=x ，求
)
2(24)2121(2--⨯++-x x x x 的值。
20、（8分）如图，在RtABC 中，∠C=90°，∠A=α，将RtABC 在平面内绕点
A 逆时针方向旋转，设点
B 旋转到点B ’时，点
C 旋转到点C ’。
（1）问旋转角β为多少时（用α表示），点B ’在BC 的延长线上 （2）当0°＜β＜2α时，试找出∠B ’BC ＋∠B ’C ’C 与α的关系，并说明你的
结论。
21、（8分）
理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦而产生的高热。
（1）求该太空舱要接受防高热处理的面积（结果保留π
）； （2）现在一只蚂蚁在太空舱A 点上， 要爬到P 点（P 点 为棱OB 的中点）处，求蚂蚁爬行的最短路线的长。
22、（8分）设一个点只落在平面直角坐标系上由x 轴，y 轴及
直线x+y=2所围成的三角形内（包括边界），并且落在这个三角形
内任何区
域的可能性相等。
（1）求此点落在直线2
1
=
x 的左边的概率是多少 （2）求此点落在直线1=y 与直线2
3
=y 之间的概率是多少
23、（8分）如图，⊙O 是RtABC 的外接圆，AB 为直径，∠
ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F 。
（1）判断△DCE 的形状。
（2）设⊙O 的半径为1，且OF=2
1
3-，
求证：△DCE ≌△OCB 。
24、（9分）2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009—2011）》。
某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元，投入资金的服
务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008
年提高了30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%。
（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元
（2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金分别是多少万元
（3）该市政府预计2011年将7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009年—2011年 每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009—2011年的年增长率。
25、（10分）如图，在直角坐标系中，直线AB 的解析式为64
3
+-
=x y ，⊙P 和△ABO 三边相切于点E 、F 、G ，CD 和⊙P 相切于Q ，交AC 于C ，交AB 于D ，且OC 、BD 的长是方程092
=+-k x x 的两个整数根。
（1）求的⊙P 面积，四边形B0CD 的周长和CD 的长； （2）求k 的值；
（3）符合上述条件的点C 能否和P 、B 在同一直线上说明理由。