异分母分式的加减法
八年级数学异分母的分式加减法
湖南教育出版社
小玲的妈妈买了一块蛋糕，分给小玲的弟弟这块蛋糕
的 1 ， 分给小玲这块蛋糕的 1 ，应当怎样切这块蛋糕？
在图2中画出来．
3
· 120°
小玲和她的弟弟共分得这块蛋糕的几分之几？
1 1 1 2 13 2 3 5 3 2 32 23 6 6
x 32 x 32
x 3x 3
x
3
x
3 x
x2 32
3
x
3
2xx 3 x
x2 9
3
2x 6 x2 9
12x x2 9
计算： x 1 1
1 x 解 x1 1 x1 1
1
x 1 x 1 x 1 x 1
2 x2 1
2 x2 1
通分后，各个分式的分母变成相同，这时的分母叫
作公分母，例5中两个分式的公分母是 x 1 x 1
计算：
x3 x3 x3 x3
解 x 3x 3 x 3x 3 x 3x 3 x 3x 3
5
共分得这块蛋糕的
6
从上面的例子看到，异分母的分数相加，要先通分，化成同分母的分数 类似地，异分母的分式相加减，要先通分，即把各个分式的分子与分母 都乘以适当的同一个非零多项式，化成同分母的分式，然后再加减．
计算：
11 x 1 x 1
x
x 1
1 x
1
x
x
异分母分式加减法
3.3分式的加减法学习目标：理解并掌握异分母分式加减运算法则，能熟练进行异分母分式加减运算学习重点：识记异分母分式加减运算法则，能熟练进行异分母分式加减运算学习难点：通分，将异分母分式化为同分母分式学习过程：一、自主学习阅读课本内容后，完成本导学案后面的内容。
自学指导：认真看课本，要求：熟记异分母分式加减运算法则；重点看例2的解题格式和步骤，并弄懂每一步的算理。
有不懂的地方可以小声问老师或同学。
二、探究迁移1、与异分母分数的加减法法则类似，异分母分式的加减法法则是：异分母分式相加减，先 ，化为 ，然后再按 的加减法法则进行计算。
2、异分母分数的加减法法则用字母表示是：a b ±c d =( )bd ±( )bd =( )±( )bd3、运算结果应化为 或 。
三、讨论交流：计算并在每一行后的括号里注明计算过程或依据。
（1）1x –3–1x+3解：原式＝x+3(x –3)(x+3)–x －3(x –3)(x+3)(通分,依据是 ) ＝( )–( )(x –3)(x+3)(同分母分式相加减,分母 ,分子 ) ＝x 2–9(将刚才的分子 并 ，化为最简分式) （2）2a a 2–4–1a –2解：原式＝a+2(a –2)(a+2)－a –2(a –2)(a+2)(将原分母分解因式并通分,依据是 ）＝( )–( )(a –2)(a+2) (同分母分式相加减,分母 ,分子 )＝(a –2)(a+2) （将刚才的分子去括号并合并同类项）＝ （约分，将结果化为 ）【例1】计算:（1）1x+1+11–x –21–x 2 (2)x+1+1x –1【例2】计算：（1）a 2+9a a 2+3a +a 2–9a 2+6a+9 (2)m m –n –n m+n +2mn m 2–n 2【例3】(2011重庆)先化简,再求值:(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1, 其中x 满足x 2－x －1＝0．四、随堂练习：计算：（1）c ab –a bc （2）1a –2–1a+2（3）2a a 2–9–1a –3 (4)x+3x –3–x –3x+3五、课堂小结：1、异分母分式的加减法法则是：异分母分式相加减，先 ，化为 ，然后再按 的加减法法则进行计算。
100道异分母分数加减法
100道异分母分数加减法1. 五分之三加三分之四=八分之七2. 五分之一减三分之四=七分之十三3. 九分之三加三分之五=十二分之八4. 七分之四减五分之七=十二分之三5. 五分之三加四分之五=九分之八6. 八分之一减四分之三=四分之八7. 三分之一加九分之七=十二分之八8. 五分之四减三分之二=七分之六9. 七分之一加八分之二=十五分之三10. 六分之三减四分之五=二分之八11. 七分之五加八分之四=十五分之九12. 九分之一减三分之四=六分之五13. 五分之二加三分之六=八分之八14. 三分之五减九分之四=六分之九15. 七分之二加四分之三=十一分之五16. 六分之五减四分之一=两分之四17. 九分之三加四分之七=十三分之十18. 三分之五减八分之三=五分之八19. 五分之四加四分之五=九分之九20. 八分之一减七分之三=一分之八21. 三分之一加六分之二=九分之三22. 四分之五减九分之二=五分之七23. 三分之五加四分之七=七分之十二25. 七分之四加八分之五=十五分之九26. 六分之三减五分之四=一分之七27. 九分之四加八分之一=十七分之五28. 七分之五减八分之三=九分之八29. 九分之二加五分之四=十三分之六30. 三分之一减七分之四=十分之三31. 五分之六加四分之三=九分之九32. 八分之五减七分之二=一分之三33. 六分之一加九分之五=十五分之六34. 三分之五减八分之一=五分之四35. 九分之四加七分之三=十六分之七36. 五分之二减六分之五=一分之三37. 九分之一加五分之二=十四分之三38. 七分之三减八分之五=九分之八39. 三分之二加六分之四=九分之六40. 八分之一减五分之三=三分之八41. 三分之四加九分之一=十二分之五42. 五分之六减九分之三=四分之三43. 七分之五加六分之四=十三分之九44. 八分之一减九分之二=一分之十45. 四分之三加三分之一=七分之四46.五分之一减三分之五=二分之六47.六分之三加三分之四=九分之七48. 陆分之二减五分之四=一分之六50. 七分之五减八分之一=九分之四51. 六分之三加三分之五=九分之八52. 四分之一减七分之六=三分之七53. 五分之四加四分之四=九分之八54. 六分之五减三分之二=三分之七55. 三分之四加六分之五=九分之九56.四分之一减九分之四=五分之五57. 八分之一加六分之一=十四分之二58. 五分之六减三分之五=两分之三59. 九分之四加四分之五=十三分之九60. 七分之一减七分之五=零分之六61. 七分之三加三分之四=十分之七62. 四分之三减三分之五=一分之八63. 九分之三加六分之五=十五分之八64. 七分之一减四分之三=三分之四65. 四分之一加五分之二=九分之三66. 五分之三减八分之四=三分之七67. 九分之二加五分之四=十三分之六68. 三分之五减六分之三=三分之八69. 七分之三加八分之二=十五分之五70. 九分之一减四分之五=五分之六71. 六分之二加四分之三=十分之五72. 三分之四减七分之三=六分之七73. 六分之四加五分之三=十一分之七74. 八分之一减七分之一=一分之八75. 九分之四加八分之三=十七分之七76. 七分之五减三分之四=四分之九77. 三分之一加七分之五=十分之六78. 五分之一减四分之五=一分之十79. 九分之三加五分之一=十四分之四80. 六分之五减七分之三=三分之八81. 五分之三加八分之四=十三分之七82. 三分之二减五分之一=七分之三83. 五分之二加六分之四=十一分之六84. 七分之三减六分之五=一分之八85. 七分之一加四分之五=十一分之六86. 八分之二减三分之一=五分之七87. 九分之一加五分之三=十四分之四88. 六分之五减八分之五=两分之三89. 五分之四加七分之三=十二分之七90. 六分之一减九分之五=三分之六91. 七分之四加五分之三=十二分之七92. 四分之五减七分之一=三分之四93. 八分之三加五分之二=十三分之五94. 九分之五减三分之二=六分之三95. 七分之一加三分之五=十分之六96. 六分之三减七分之四=三分之七97. 五分之四加三分之一=八分之五98. 八分之三减四分之五=四分之八99. 六分之四加九分之五=十五分之九 100. 三分之一减五分之五=八分之六。
异分母的分式相加减的运算法则
异分母的分式相加减的运算法则
在进行异分母的分式相加减的运算时，首先需要将分母进行通分，即找到它们的最小公倍数，然后将每个分式的分子乘以通分的倍数，得到新的分子，最后再将新的分子相加或相减即可。
下面将详细介绍。
1. 异分母的分式相加
假设有两个分式相加，分别为a/b和c/d，其中b和d为不相等的正整数。
首先，需要找到b和d的最小公倍数m，通分后，得到新的分子为am/bm和cm/dm。
然后将两个新的分式相加，得到结果为(am+cm)/bm。
最后，如果要将结果化简为最简分数形式，需要对分子和分母进行约分，得到最简分数。
例如，计算1/2 + 1/3的结果。
首先，找到2和3的最小公倍数为6，通分后得到2/6和3/6。
然后将这两个分式相加，得到结果为(2+3)/6=5/6。
最后，将结果化简为最简分数5/6。
2. 异分母的分式相减
与分式相加类似，异分母的分式相减也需要先将分母进行通分，然后将相减的分式的分子相减，得到新的分子，最后化简为最简分数。
例如，计算1/2 - 1/3的结果。
首先，找到2和3的最小公倍数为6，通分后得到2/6和3/6。
然后将这两个分式相减，得到结果为(2-3)/6=-1/6。
最后，将结果化简为最简分数-1/6。
总结来说，异分母的分式相加减的运算法则可以概括为以下几个步骤：
1. 找到分式的最小公倍数，进行通分。
2. 将通分后的分子相加或相减。
3. 化简结果为最简分数形式。
通过以上方法，可以较为简便地进行异分母的分式相加减运算，希望对你有所帮助。
异分母分数加减法大全
异分母分数加减法大全
摘要：
1.异分母分数加减法的基本概念
2.异分母分数加减法的计算方法
3.异分母分数加减法的实例解析
4.异分母分数加减法的注意事项
正文：
一、异分母分数加减法的基本概念
异分母分数指的是分母不相同的分数，它们的加减运算与同分母分数加减法有所不同。
在计算异分母分数的加减法时，需要先进行通分，将异分母分数转化为同分母分数，然后再按照同分母分数加减法的法则进行计算。
二、异分母分数加减法的计算方法
1.通分：将异分母分数的分母转化为相同的数，这个数称为它们的公共分母。
通分的目的是将异分母分数转化为同分母分数，便于进行加减运算。
2.计算同分母分数的加减法：根据同分母分数加减法的法则，将分子相加或相减，分母保持不变。
3.如果需要，可以将计算结果约分至最简分数。
三、异分母分数加减法的实例解析
例如，计算以下异分母分数的加减法：
1/2 + 1/3
首先，找到它们的公共分母，显然是6。
然后，将两个分数通分至6，得
到：
3/6 + 2/6
接下来，将分子相加，分母保持不变：
(3+2)/6 = 5/6
所以，1/2 + 1/3 = 5/6。
四、异分母分数加减法的注意事项
1.通分时，要找到它们的公共分母，而不是只考虑一个分数的分母。
2.在进行加减运算时，分母要保持不变，只将分子相加或相减。
3.计算完成后，如果需要，可以将结果约分至最简分数。
八年级数学下册异分母分式的加减教案
第2课时 异分母分式的加减1 .学会确定几个分式的最简公分母并 进行通分；(重点)2.能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算. (重点,难点)一、情境导入小学我们学习过异分母分数的加减法,如 3 + 2=必+ “3=3 23 X 2 2X 2—呢？ x + 1 x — 1二、合作探究 探究点一：分式的通分【类型一】最简公分母是 _________ .解析：■/ x 2— 3x = x(x — 3), x 2— 9 = (x +3)(x — 3) ,•••最简公分母为 x(x + 3)(x — 3).方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍 数；字母及式子取各分母中所有字母和式子 的最高次幕.“所有字母和式子的最高次幕”是指“凡出现的字母(或含字母的式子) 为底数的幕的因式选取指数最大的 ”；当分母是多项式时，一般应先因式分解.【类型二】 分母是单项式分式的通分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个 单项式.解：⑴最简公分母是2b 2d , bi =, ac _ acd . 2^= 2b^d ；2 2 b3b 2c⑵最简公分母是6a bc , 20V 63bb?， 2a _ 4a 3 .3bc 2= 6a 2bc 2；(3)最简公分母是10xy 2z 2 ,壬九= 8xz 3 = 3z 25 _ — 25y 2 10xy 2z 2，10xy 2= 10xy 2z 2, — 2xz 2=— 10xy 2z 2.方法总结：通分时，先确定最简公分母， 然后根据分式的基本性质把各分式的分子、 分母同时乘以一个适当的整式， 使分母化为最简公分母.【类型三】 分母是多项式分式的通分2mn 3m⑵4m 2 — 9， 4m 2— 6m + 9.解析：先把分母因式分解，再确定最简 公分母，然后再通分.解：⑴最简公分母是2a(a + 1)(a — 1),a = _______ a 2 (a - 1) ______ 2 (a + 1) = 2a (a + 1)( a — 1)， 1 = 2 (a + 1) . a 2 — a = 2a ( a + 1)( a — 1)；⑵最简公分母是(2m + 3)(2m — 3)2,2mn = 2mn (2m — 3) 4m 2— 9 = (2m + 3)( 2m — 3) 2 ，3m = 3m (2m + 3) ______________ 4m 2 — 6m + 9 = ( 2m + 3)( 2m — 3) 2.方法总结：①确定最简公分母是通分的 关键，通分时，如果分母是多项式，一般应 先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的 因式，这个因式就是最简公分母除以原分母55，那么如何计算 6分式尢与悬的最简公分母a2 (a + 1)1 a 2— a ；c ac ； (1)bd ，2b 2； b 2a (2)2a 2c ，3bc 2；4 35 ⑶ 5y 2z ，10xy 2，— 2xz 2.解析：先确定最简公分母，找到各个分通分.(1)的商. 探究点二：异分母分式的加减法 【类型一】 计算： 异分母分式的加减法运算 ⑴x 2— 4 x 2+ 4x + 4, a 2 — 4 ⑵兀+汀2； m n 2mn (3) - + 一. m — n m + n m — n 解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3) 中先找出最简公分母分别为 (x — 2)(x + 2)2、 (m + n )(m — n),再通分，然后运用同分母分 式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a + 2看成分母为1的式子进行通分. 解：⑴原式=(x + 2)( x — 2) 2 x (x +2) (x + 2) ( x — 2) 2 (x — 2) (x + 2) 2 (x — 2) x (x + 2)— 2 (x — 2) (x + 2) 2( x — 2) /+ 4 ______ (x + 2) 2 (x — 2)；a 2— 4 +( a + 2) 2 m (m + n ) n (m — n )2mn + (m + n )( m — n ) (m + n )(m — n ) m 2 + 2mn + n 2 —(m + n )( m — n ) m — n 方法总结：分母是多项式时，应先因式 分解，目的是为了找最简公分母以便通 分.对于整式与分式的加减运算，可以将整 式的每一项的分母看成 1,再通分，也可以 把整式的分母整体看成 1,再进行通分运算. 【类型二】 分式的混合运算计算：m + n x 2— 4x + 4 x x — 1(1)( x 2— 4 — x + 2)訐2；a — 516⑵ h r 三-a - 3).(x 一 2) 2解：⑴原式—[(x — 2)( x + 2)x — 1 x + 2] x + 2=(口-亠) x + 2 x + 空 x — 1 — 2 x + 2 x + 2 x +2 x —12 x — 1；a — 5(2)原式=(5 + a )( 5-a )(5 + a )( 5— a )——1 ——10+ 2a .方法总结：对于一般的分式混合运算来 讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先 乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要 先算括号里面的.在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法.探究点三：分式运算的化简求值 【类型一】 先化简，再根据所给字母的值求分式的值0先化简，再求值：( 1+x — y12xx + 丿 x 2+ 2xy + y 2, 其中 x = 1, y =— 2.解析：化简时，先把括号内通分，把除 把多项式因式分解，再约分,法转化为乘法, 最后代值计算.解原式=(x + y ) 2_x + y2x — x — y ，当 x — 1,y —— 2 时，原式一1 +(_ j )1 —(— 2)2x(x — y )( x + y )1=—3.方法总结：分式的化简求值，其关键步 骤是分式的化简.要熟悉混合运算的计算顺数代入求值：22.x ii — 4x + 4 x 2 + 3x x — 2 解析：先把分式化简，再选数代入，可取除一3、0和2以外的任何数.2 (x + iii)iv v vi vii viii ix 2解：原式= 2 •—、(x — 2) 2 x (x + 3) x — 21x (x — 2) x — 21 x'探究点四：运用分式解决实际问题D 有一客轮往返于重庆和武汉之 间，第一次往返航行时，长江的水流速度为 a 千米/小时；第二次往返航行时， 正遇上长 江汛期，水流速度为b 千米/小时(b > a).已 知该船在两次航行中， 静水速度都为v 千米 /小时，问该船两次往返航行所花时间是否 相等，若你认为相等，请说明理由；若你认 为不相等，请分别表示出两次航行所花的时 间，并指出哪次时间更短些？解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s,所用时间=顺流时间+逆流时间， 注意顺流速度=静水速度+水流速度； 逆流速度=静水速度-水流速度， 把相关数值代入，比较即可.解：设两次航行的路程都为 s.当x = 1时，原式=—1.(x 取除一 3、0 和2以外的任何数)方法总结：取数代入求值时，要注意所 选择的值一定满足分式分母不为0,这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意 义.【类型三】 整体代入求值已知实数a 满足a 2+ 2a — 8 = 0,1 a + 3 a 2— 2a + 9求 一2--的值.a + 1 a 2 — 1(a + 1)( a + 3)解析：首先把分式分子、分母能因式分 解的先因式分解进行约分，然后进行减法运 算，最后整体代值计算.a 2- 2a + 1(a + 1) ( a + 3)1 a + 12vs第二次所用时间为亠+亠v + b v — b2vs(a — 1) 2(a +T a 2 + 2a — 8 = 0, — a 2+ 2a = 8,—原式 _ = 2=8 + 1 = 9.方法总结：利用“整体代入”思想化简 求值时，先把要求值的代数式化简， 然后将 已知条件变换成适合所求代数式的形式， 再 整体代入即可. iv 2— b 2,■/ b > a ，二 b 2>a 2, /• v 2 — b 2v v 2— a 2, 2vs 2vs"T —P>T —P.•••第一次的时间要短些.方法总结：①运用分式解决实际问题 时，用分式表示实际问题中的量是解决问题 的关键；②比较分子相同的两个分式的大 小，分母大的反而小.— 2_____________________________ a + 1 — (a + 1) 2— (a + 1) 2— a 2+ 2a + 1.1)( a - 1)序，式子化到最简再代值计算.【类型二】 先化简，再选择字母的值 求分式的值=先化简，再选择使原式有意义的2x + 6x — 21第一次所用时间为拦+S v — aa + 3(a + 1)( a + 3)三、板书设计1•分式的通分2 •异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算.3•分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的.对于异分母分式相加减，注意强调转化思想：通过通分，把异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算•对于分式混合运算，关键是要注意各种运算的先后顺序，最后结果要化为最简分式•在教学中，注意培养学生认真细致的学习态度，从运算符号到通分、约分，都应认真对待，一丝不苟•。
异分母分式的加减法 讲课课件
3x x 2x 2 x x 2x 2 原式 x 2x x 2x
3x 2 x 2 2 x 8
能力&提升
分析:
☞
2
a a b 计算 a b
解法1：把-a ，-b看成两个单项式，分母分别是1
a a a b a b a b a b 1 1
x3 x3 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3)
分子相减时, “减式”要加括 号!
仿例&练习
☞
a2
分析
先找 最简公分母.
计算：2) 22a 1 . (
解: (2)
2a a 2 (a 2)( a 2) (a 2)( a 2) 2a (a 2) (a 2)( a 2) 2a a 2 (a 2)( a 2) a2 (a 2)( a 2)
2
大展&身手
☞
2
4 x( x 1) 2 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
4x2 4x 2 ( x 1)( x 1)
大展&身手
☞
2
4a 1 a 4 解：原式 2 b a b b b
2 2
2a 1 a b 计算:3. b 2 ab b 4
12 2(m 3) (m 3)( m 3) 2m 6 (m 3)( m 3)
2 计算 ： m2 9 3 m
☞ 12
把多项式中能 分解因式的先 分解因式,没按 降幂排列先按 降幂排列.
想一想：还能 化简吗？
2 2(m 3) (m 3)(m 3) m3
异分母分数加减法公式
异分母分数加减法公式
异分母分数加减法是解决异分母分数的加减法问题的一种方法。
异分母
分数加减法的最重要的公式是：
M，N是两个分子；a，b是两个分母：(M/a) ± (N/b) = (Ma ± Nb) / ab
异分母分数加减法可以帮助我们快速计算异分母分数的和或差，以及它
们相乘、相除所得到的分数。
例如：(3/5) + (2/7) = (3*7 + 5*2) / (5*7) = (21 + 10) / 35 = 31 / 35，所以(3/5) + (2/7) = 31/35。
异分母分数加减法不仅有利于加快计算，而且可以帮助孩子们更好地理
解分数的基本运算规则，更好地掌握分数运算的原理。
在学习初期，可以让
孩子们通过有趣的小游戏，注意分析连接图形与数字，练习异分母分数加减法，从而更加深刻地理解除法的含义，积累除法的基本常识。
随着学习的深入，孩子们可以扩展对分数的运算规律的理解，完成更复
杂的数学计算，例如分数乘法、分数与小数之间的转换、分数的分解等等。
这种计算技巧的明确，可以有效的提高孩子们的数学学习能力，激发他们关
于数学的兴趣，加深他们对数学的理解。
总之，异分母分数加减法是所有数学学习中必不可少的一部分，通过学
习异分母分数加减法，可以让学生们更加科学有效地掌握分数的计算规则，
并在数学学习过程中提升自身能力。
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分式的加减法2导学案
一、课前预习
1、 小学所学的分数的加减法
异分母分数加减法的法则是什么？
2、 异分母的分式呢？
二、探索新知
1、异分母分式加减法的法则:
先通分，把异分母分式化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算。
2、 如何寻找最简公分母？
系数
相同字母
只出现一次的字母
3、 做一做 （1） （2） （3）
三、例题分析
例1 、把下列各式通分
;
41,3,2)1(2x y y x x y ;31,31)2(-+x x ;21,41)3(2--a a .)(3,5)
4(2y x x y --a a 413+的最简公分母是ax x x 2,312-的最简公分母是a b b a a 21,23--的最简公分母是
961,922++--a a a a a 20 1 5 3 +
例2、计算 例3、计算
四、练一练
1、填空：（1）
3xy −5xy = (2)4x x−y +4y y−x =
(3)34x ，12x ，56x 的最简公分母是
2、计算
五、这节课我学到了什么？
x y y y x x -+-22m m -+-32
9122 - - - y x x y x y - + - x y x y x x 2 - - - y y x
x 3 2 - + + - + + 9
4 1
5 2 2 3 3 3 2 2 2 a a a a
六、作业
1、书121页知识技能1题
七、联系拓展
1、用两种方法计算（
3x
x−2
-
x
x+2
）.
x2−4
x
2、帮帮小说算算时间
从从甲地到乙地有两条路,每一条路都是3km. 其中第一条是平路,第二条有1km 的上坡路, 2km的下坡路.小明在上坡路上的骑车速度为v km/h, 在平路上的骑车速度为2 vkm/h, 在下坡路上的骑车速度为3vkm/h, 那么:
(1)当走第二条路时, 他从甲地到乙地需要多长时间?
(2)他走哪条路花费时间少? 少用多长时间?。