(完整word版)统计学三大分布与正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系

[1]

张柏林 41060045 理实1002班

摘要：本文首先将介绍 2分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质， 然后

用理论说明2分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件 MATLAB 来验证之.

1.三大分布函数[2]

1.1 2分布

2（n ）分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅

（Benayme ）赫尔默特（Helmert ）、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发 现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。

定义：若随机变量X 1,X 2,…X n 相互独立，且都来自正态总体 N （0,，）,则称 统计量

2

=x ； X ；…+X ；为服从自由度为n 的2分布，记为

2 2

~ （n ）.

2

分布的概率密度函数为

1 x

e 2 x 0

J

x 0

其中伽玛函数（X ） e t t x 1dt,x 0，

2

分布的密度函数图形是一个只取非负值

的偏态分布，如下图•

x 2 n

2° f(x; n)

2(n2) ,X!,X2相互独立，则X! X2~ 2g n2);

性质3: n 时，2(n) 正态分布;

性质4:设2~ 2(n),对给定的实数

(0 1),称满足条件：

P{ 2 2(n)} 2(、f(x)dx

(n)

的点2(n)为2(n)分布的水平的上侧分位数.

简称为上侧分位数.对不同的与n,分位

数的值已经编制成表供查

分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student的'笔名

布在数理统计中也占有重要的位置.

1), Y〜2(n), X,Y相互独立，，则称统计量T —X

VY/ n

分布，记为T~t( n).

为

性质1: E( 2(n)) n,D( 2(n)) 2n ; 性质2:若X! 2(nJ,X2

t 分布具有如下一些性质:

P{T t (n)} t (n )f (x )dx 的点 t(n)为 t( n)分

布的水平的上侧分位数.由密度函数f(x) 的对称性，可得t 1 (n) t (n).类似地，我们 可以给出t 分布的双侧分位数

t /2(

n

)

P{|T|t /2( n)} f (x)dx t ,、f(x)dx

t /2(n)

显然有 P{T t /2

(n)}

-;

P{T t /2 (n)}-.

对不同的与n ，t 分布的双侧分位数可从附

表查得.

t 分布的上分位数

t(x; n)

士 (1J

(”

n

t 分布的密度函数图

t 2

性质1 : f n (t)是偶函数，n

，

f n (t)

性质2 :设T~t (n)，对给定的实数(0

1),称满足条件;

1.3 F分布

F 分布是随机变量的另一种重要的小样本分布，应用也相当广泛.它可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等• F分布还是方差分析和正交设计的理论基础.

定义：设X〜2(n ),Y~ 2(m)，X,Y相互独立，令则称统计量F 冬耳服

Y/m 从为第一自由度为n，第二自由度为m的F分布.

F分布的密度函数图

F分布具有如下一些性质:

性质1:若 F ~F(n,m),贝M/F 〜F(m,n)；

7

性质2:若X ~t(n)，则X2 ~ F(1,n)；

性质3:设F〜F (n,m)，对给定的实数

P{F F (n,m)} f(x)dx

F (n,m)

的点F (n,m)为F(n,m)分布的水平的上侧

(0 1),称满足条件;

艮個］T,叶

1)

分位数.

F 分布的上分位数

F 分布的上侧分位数的可自附表查得•

性质4: F (m,n) 1 .此式常常用来求F 分布表中没有列出的某些上

F i (n,m)

侧分位数. 1.4正态分布

正态分布是数理统计中的一种重要的理论分布 ，是许多统计方法的理论基

础.高斯(GausS 在研究误差理论时首先用正态分布来刻画误差的分布，所以 正态分布又称为高斯分布.正态分布有两个参数，卩和(T,决定了正态分布的位 置和形态.为了应用方便，常将一般的正态变量X 通过u 变换转化成标准正态变

量u ，以使原来各种形态的正态分布都转换为 正态分布的密度函数和分布函数

若连续型随机变量X 具有概率密度f (x)为

为，的正态分布，记为X ~ N( ， 2).

特征1:正态曲线(normal curve )在横轴上方均数处最高;

卩=0 CT =1的标准正态分布N( 0， 1).

,其中,(0)为常数，则称X 服从参数

f(x)

-3-2-10123

正态分布的密度函数图

特征2:正态分布以均数为中心，左右对称； 特征3:正态分布有两个参数，即均数 和标准差 越小，曲线越尖峭•通常用N( , 2)表示均数为 ，方差为 2的正态分布 用N( 0, 1)表示标准正态分布.

特征4:正态曲线下面积的分布有一定规律。

实际工作中，常需要了解

正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的 例数占总例数的百分数(频数分布)或观察值落在该区间的概率

•正态曲线

下一定区间的面积可以通过标准正态分布函数表求得。对于正态或近似正 态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计

•

2.三大分布与正态分布的密度函数比较[3]

2.1 2分布收敛于正态分布

2(n)，则对任意x ，有n m P (帶

x)

t 2/2

dt

证明：因为 n

n

2

(n)分布的 E( 2) E( x 2)

E(X j 2)

i 1

i 1

D(X )

i 1

n

D( 2) D( X i 2)

i 1

n

D(x 2)

2n

所以由独立同分布中心极限定理得 Y X 」，N(0,1)

v2n

因为X ~

n 1 x 2 2

x 2

e

2,x

(n

)2n/2 2

所以 x n •. 2ny 因为 f Y (y)dy

f x (x)dx

是位置参数, 固定不变时， 越大，曲线沿横轴越向右移动；反之, 越小，则曲线沿横 轴越向左移动

是形状参数，当

固定不变时,

越大，曲线越平阔;