从导函数的变化趋势看分子间斥力与引力变化快慢

从导函数的变化趋势看分子间斥力与引力变化的快慢

黄宝松 (武汉市江夏区一中 湖北 430200)

高中物理教材以及许多物理资料中都认为分子间斥力与引力都随分子间距离增大而减

小，都随距离减小而增大，但斥力随距离变化总是比引力快。贵刊2004年第10期于正荣和

季亚清两位老师在《分子间的斥力一定比引力变化快吗？》一文（以下简称原文）中提出了

不同的看法。如图1所示，粗线表示分子间总的作用力

的变化，细线分别表示分子间斥力和分子间引力的变

化，其中r 0表示分子间的平衡距离，r 1表示当分子间总

的作用力为引力最大值时分子间的距离。原文认为当

r

增大得更快；当分子间距离r 0

随距离的增大而减小，并且斥力减小得更快；当分子间

距离r> r 1时,引力与斥力都随距离的增大而减小，但却

是引力减小得更快；所以不能笼统地说斥力一定比引力

变化快。笔者非常赞同两位老师的这一观点，并采用和两位老师不同的方法加以说明。

在大学普通物理热学教材中，关于分子间作用力可以近似地用半经验公式来表示：

F ＝r s λ－r t μ

（s>t ）

其中，r 是两个分子中心间的距离，λ、μ、S 、t 都是正数，需根据实验数据确定，第

一项是正的，代表斥力，第2项是负的代表引力。对于分子斥力和引力变化谁更快的问题，

热学教材中没有给出进一步的结论。

以下我用导数的方法作如下推证。用函数f 1=r s λ

表示分子斥力的大小，用函数f 2=r t μ

表

示分子引力的大小。

1． r 0与r 1的表达式

当分子间斥力与引力大小相等时，分子间总的作用力F 为零，此时分子间的距离即为平

衡距离。由f 1= f 2可求得此时

r=r 0=t s -μ

λ 由F ＝r s λ－r t μ

求导得F /＝－S λr -S-1－（－ t μr -t-1）

当F /=0时F 有极值，此时分子间距离即为r 1

r=r 1=t s t s -μ

λ 2． 表示分子斥力和引力随距离变化快慢的的函数

可以用f 1导数的绝对值表示斥力变化的快慢,φ1表示f 1导数取绝对值构成的函数：

φ1＝| f 1/|＝S λr -S-1

用f 2导数的绝对值表示引力变化的快慢,φ2表示f 2导数取绝对值构成的函数, 同样可

以得到：

φ2＝|f 2/|＝t μr -t-1

上面φ1和φ２两个函数都是幂函数，这样分子斥力和分子引力随距离变化的快慢就可

以分别通过这两个幂函数函数值的大小来判断。

3． 幂函数的变化规律

幂函数r -S-1和r -t-1在第一象限(r>0才有意义)的图象具有如下规

律：它们相交（1，1）这一点，r<1时r -S-1的值大于r -t-1的值，

r>1时 r -S-1的值小于 r -t-1的值。φ1＝S λr -S-1 和φ2＝t μr -t-1在 第一象限的图象具有类似的规律，即它们有一交点，如图2所示， 在交点以前（r<交点横坐标）区域，φ1的值大于φ2的值（斥力

变化快）；在交点以后（r>交点横坐标）区域，φ1的值小于φ2的

的值（斥力变化慢）。

由φ1＝S λr -S-1 和φ2＝t μr

-t-1的值相等可求出交点横坐标为 r=t s t s -μ

λ 此值正好等于r 1，说明r 1为引力和斥力变化快慢的分界点。

4． 得到的结论

由以上的分析明显可看出：在rr 1时却是斥力变

化慢于引力的变化。这一结论与原文的观点完全一致。

说明高中物理教材在这一问题上的表述存在疏漏之处，这一疏漏在中学物理教学过程中

延续了多年，为了维护教材的严谨与正确性，建议引起重视并尽快予以修正。

以上分析和观点是否正确，望各位同仁及专家参入这一问题的探讨，如有不妥之处，敬

请不吝指正。

备注：发表于《物理教学》2005年第4期