第二节 数集与确界原理.
2 数集 确界原理
, 0 1.由实数的稠密性，存在有理数 x0 满足 x0 1.易知 x0 S ，故
sup S 1.
类似可证 inf S 0.
数集 E
1n
n
n 1, 2, 的上确界 sup E
若数集 S 存在上确界，则上确界是唯一的.下面证明这一点.因数集 S 存在上确界，设
2
S 有界.必要性：因数集 S 有界，故数集 S 既有上界又有下界，于是，存在数 L1, M1 使得 L1 x M1, x S.
于是， x maxL1 , M1 ,x S. 令 M maxL1 , M1 1，则 M 0 ，且
x M ,x S.
二、有界集 确界原理
定义 1 设 S 为实数集 R 的一个非空子集.若存在数 M ，使得 x M , x S .则称 S 为
有
上界的数集，数 M 称为数集 S 的一个上界. 设 S 为实数集 R 的一个非空子集.若存在数 L ，使得 L x, x S .则称 S 为有下界的数集， 数 L 称为数集 S 的一个下界.
点 a 的空心 邻域定义为
U 0 a, x 0 x a a , a a, a ，简记为U
点 a 的 左邻域定义为
U a, a , a, 简记为 U a.
S 的下确界，记作 inf S.
由定义 3 可以看出，数集 S 的下确界 inf S 就是数集 S 的最大下界.
上确界与下确界统称确界.
例2
sup S 1,inf S 0.
证
设 S x | x为区间内0,的1有理数 .试按上、下确界的定义验证：
高等数学第1章第2节数集·确界原理
§２ 数集·确界原理引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容．下面，我们先来检验一下自学的效果如何！１．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-.３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一．而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用．提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）．本节主要内容：１．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 区间与邻域1. 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧⎧⎪⎪∈<<=⎪⎪⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩⎨⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2. 邻域联想：“邻居”．字面意思：“邻近的区域”．（看左图）．与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（１） a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.（２） 点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+ .（３） a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（４） 点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（５）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=> （其中Ｍ为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-二 有界集与无界集什么是“界”？定义１（上、下界）： 设S 为R 中的一个数集．若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称Ｓ为有上（下）界的数集．数()M L 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集．若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集．注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性．分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明．解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界１；但N +无上界．证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集．例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集．[问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)．三 确界与确界原理１、确界的定义定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是Ｓ的上界）;(2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是Ｓ的上界中最小的一个），则称数η为数集Ｓ的上确界，记作 sup .S η=定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数ξ满足：（１）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是Ｓ的下界）；（２）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是Ｓ的下界中最大的一个），则称数ξ为数集Ｓ的下确界，记作inf S ξ=.上确界与下确界统称为确界例1 讨论数集{}S x x =为区间(0,1)中的有(无)理数的确界．分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界．提示：利用有理数集在实数集中的稠密性．sup 1,inf 0.S S ==例2．设.21inf ,1sup },2,1|1{===+=E E n n n E 证明２、确界的性质● 唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的；● 若数集Ｓ存在上、下确界，则有inf sup S S ≤；● 数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ；● 存在性——定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界．例3 设数集Ｓ有上界，证明：sup max .S S S ηη=∈⇔=分析：由确界原理，sup S 意义，按确界定义证明．例4．设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤. 证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且sup inf .A B ≤分析：首先，证明sup ,inf .A B 有意义，用确界原理．其次，证明sup inf .A B ≤例5 设Ａ、Ｂ为非空有界数集，S A B =⋃，证明：（１）{}sup max sup ,sup S A B =；（２）{}inf min inf ,inf S A B =．分析：首先，由S A B =⋃及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集．其次，证明（１）、（２）．小结、布置作业：Ｐ９：１（１），（２）； ２（1）； ４ （２）、（４）； ５；。
数学分析1.2数集与确界原理
数学分析1.2数集与确界原理第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
< p=""> (?∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(?∞,a)={x|xa}，(?∞, +∞) ={x|?∞<x< p="">设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U?(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U? (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U?+(a)和U?-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
1-02-数集与确界原理
( −∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. .邻域:
数集{ x x − a < δ }称为点a的δ邻域 ,
中的一个数集， 满足： 定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数ξ 满足： 的下界） （1）对一切 x ∈ S , 有 x ≥ ξ （即ξ 是 S 的下界） ） ； 存在 （2） ） 对任何β>ξ ,存在 x0 ∈ S , 使得 x0 < β （即ξ 是 S 的下界中最大的一个）则称数 ξ 为数集 S 的下 的下界中最大的一个） ， 确界， 确界，记作 ξ = inf S .
∴sup S ≤ max{sup A,sup B} ; 同理又有sup B ≤ sup S. ∴sup S ≥ max{sup A,sup B} ; ∴sup S = max{sup A,sup B} . 从而有x ≤ max{sup A,sup B} , 又: ∀x ∈ A, x ∈ S ⇒ x ≤ sup S ⇒sup A ≤ sup S,
数集S有上界 数集 有上界 ⇔ ∃M ∈ R, ∀x ∈ S有x ≤ M. 数集S无上界 数集 无上界 ⇔ ∀M ∈ R, ∃x0 ∈ S有x0 > M. 数集S有下界 数集 有下界 数集S无下界 数集 无下界
[ a , b ] , ( a , b ),(a , b 为有限数）是有界数集 为有限数）是有界数集;
+
Β为非空数集 满足: 为非空数集, 例4 设 Α, Β为非空数集,满足: ∀x ∈ A, ∀y ∈ B有 ≤ y x 证明: 有上确界, 有下确界,且 证明:数集 A有上确界 数集 有下确界 且sup A ≤ inf B 有上确界 数集B有下确界 由假设,数集 数集B中任一数 都是数集A的上界 的上界, 证: 由假设 数集 中任一数 y 都是数集 的上界 A中任一数 x 都是 的下界 中任一数 都是B的下界 的下界, 故由确界原理知,数集A有上确界 数集 有下确界 有上确界,数集 有下确界. 故由确界原理知 数集 有上确界 数集B有下确界 确界原理 是数集A的一个上界 的一个上界,而由上确界的定义知 ∀y∈B, y是数集 的一个上界 而由上确界的定义知 是数集A的最小上界, supA 是数集 的最小上界, 故有 supA ≤ y 是数集Β的一个下界, 而此式又表明数 supA 是数集Β的一个下界, 故由下确界的定义证得
1_2数集确界原理
例5 设A、B 为非空有界数集，S A B. 证明： (i) sup S = max{sup A, sup B}; (ii) inf S = min{inf A, inf B}; 证: (ii)由题设易知数集A , B及S的确界都存在。
inf A x or inf B x 从而有 min inf A, inf B x, 即 min inf A, inf B 是 S的
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EX2 设A、B 为非空有界数集，T A B. 证明： sup T ≤ min{sup A, sup B}; 证: 由题设易知数集A , B及T的确界都存在。不妨设
min sup A, sup B sup A
由上确界定义知 0, x0 T , s.t. x0 sup T .
y B, y是A的一个上界，从而sup A存在； x A, x是B的一个下界，从而inf B存在。
再证sup A ≤ inf B.
y B, y是A的一个上界，∴sup A≤y 。
由此可知sup A 是 B的一个下界，从而由下确界定义又有
sup A inf B
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上页 下页 返| 0 x a a, a 点a的δ左邻域： U (a; ) x | x a 0 a , a
∞邻域：
U () x | x | M , M为充分大的正数
x b 称为半开区间, 记作 [a , b)
称为半开区间, 记作 (a , b]
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有 限 区 间
结束
[a ,) { x a x }
o
a
x
( , b) { x x b}
数集确界原理
作业 :
P9: 1, 2, 3, 4, 5.
§2 数集.确界原理
1.区间和邻域 有限区间 数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}. [a, b]{x|axb}——闭区间.
[a, b){x|ax<b}——半开区间, (a, b]{x|a<xb}——半开区间. 上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度.
S
确界原理 设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界, 则S必有下确界. 例3 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y. 证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且
sup A inf B.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界, A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b, 则e为正数且 a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有 a b.
3.小结 (1), 两个实数的大小关系; (2), 实数的性质; (3), 区间和邻域的概念; (4), 确界原理.
直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB} 称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点 的集合, RR常记作R2.
3.实数集 两个实数的大小关系 • 定义1
给定两个非负实数 x a0 .a1a2 L an L, y b0 .b1b2 Lbn L, 其中a0 , b0为非负整数， ak , bk (k 1,2,L)为整数， 0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L, 则称x与y相等，记为x y； 若a0 > b0或存在非负整数l , 使得ak bk (k 1,2Ll )而al 1 > bl 1 则称x大于y或y小于x，分别记为x > y或y < x.
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
§2.数集.确界原理.
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
(5) 邻域,邻域与 邻域 : 设M是一个充分大的正数 ,则
邻域:U: x R x M ,M M ,;
邻域:U: xR x M ,M ; 邻域:U : xR x M M,.
6
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域
例2(P6) 设S x x为区间(0,1)中的有理数,试按上,下
[思考题](PP6 7) 证明:
(1) 设S [0,1], 则supS 1, inf S 0;
(2)
设E
1n
n
n 1,2,,
则sup E
1, 2
inf
E
1;
(3) 对于正整数集N 1,2,, 则inf N 1, 而没有上确界.
a
a
a
x
4
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
设a R, 0. (3) a的右邻域与a的空心右邻域 :
Ua; : xR a x a a,a ; U0a; : xR a x a a,a .
(4) a的左邻域与a的空心左邻域 :
Ua; : xR a x a a ,a; U0a; : xR a x a a ,a.
设a R, 0.
(1) a的邻域 : 集合 x R x a 称为以a为中心为半径的邻域 ,
简称为a的邻域,记为U a; ,即
Ua; : x R x a a , a ;
(2)a的空心邻域 : 点a的邻域去掉中心" a"后所得到的集合, 记为
U 0a; ,即
U 0a; : x R 0 x a a , a a, a .
(i)x S, x ,即是S的一个下界;
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无界数集: 若对任意 M 0 ，存在 x S , | x | M ，则称 S 为无界集。
例如， ( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) ，有理数集等都是无界数集,
例1
证明集合
E
y
y 1, x
x ( 0 ,1 ) 是无界数集.
§2 数集·确界原理
教学内容： 区间与邻域；有界集与确界原理 重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理 要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定义。
本节先定义 R 中两类重要的数集——区间与邻域，然后讨论有
界集§并2给数出集确.界确定界义原与理确界原理。
一 区间与邻域:
区间 ：
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
7
证明：对任意 M 0 , 存在 x 1 (0, 1) , y 1 E, y M 1 M
M 1
x
由无界集定义，E 为无界集。
确界，先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上
界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上确界，记作 sup S ；同样，有下
界数集的最大下界，称为该数集的下确界，记作 i）确? 界是唯一的.
例3 设 S 和 A 是非空数集，且有 S A. 则有
sup S sup A, inf S inf A. .
10
例 4 设 A 和 B 是非空数集. 若对 x A 和 y B, 都有 x y, 则有
例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的.
inf S xinfinAf; A同或理x 有 ininff BS. inf xB. m于in是 in有f A , inf B .
即
min inf A , inf B 是数集inf SS的下mi界n , infA ,ininff SBm. in inf A , inf B .
a
b
1
aa
bb
{{x a x bb}} 称称为为闭闭区区间间,,记记作作[a[,ab,]b]
aa
bb
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
a
b
2
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
a
b
无限区间
oa
[a,) {x a x}
3
[a,) {x a x}
6
二 有界数集 . 确界原理:
1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数 R 上的一个数集，若存在一个数 M（ L）, 使得对一切 x S 都有 x M ( x L) ，则称 S 为有上界(下界)的数集。 若集合 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集。
例如，闭区间、 (a,b) (a,b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合
上确界 M
上界
M1
M2
下界
m2 m1 m
下确界
8
确界的精确定义 定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： （1） 对一切 x S 有 x ，即 是数集 S 的上界； （2） 对任意 0 ，存在 x0 S 使得 x0 （即 是 S 的最小上界），
则称数 为数集 S 的上确界。记作 sup S
例3 设 S 和 A 是非空数集，且有 S A. 则有
sup S sup A, inf S inf A. .
例 4 设 A 和 B 是非空数集. 若对 x A 和 y B, 都有 x y, 则有
sup A inf B.
证 x A 和 y B, 都有 x y, y 是 A 的上界, 而 sup A 是 A 的最
inf S inf A; 同理有 inf S inf B. 于是有
11
即
min inf A ,ininff SBm是in数 i集nf SA的, in下f B界., inf S min inf A , inf B .
又证S Ax ,S, 有S x的下A界或就x 是B,A 的由下inf界A,和inifnfSB是分S别的是下A界和, B 的下in界f ,S有是 A 的下界,
小上界 sup A y. 此式又 sup A 是 B 的下界, sup A inf B（B 的最大
下界）
例 5 A 和 B 为非空数集, S A B. 试证明:
inf S min inf A , inf B .
证 x S, 有 x A 或 x B, 由 inf A 和 inf B 分别是 A 和 B 的下界,有
oa
x
(,b) {x x b}
ob
( , )
x
x
4
邻域
定义 1（邻域的定义） 是一实数, 0(读作 delta),称数集
a
a
a
x
有时我们仅仅研究点 附近(不包含 点)的情况,需要使用到所谓去心
邻域的概念.
定义 2 去心邻域的定义)称数集
为点 的去心 邻域. （见下页示图）
5
a
a
a x
x0
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： 1）对一切 x S 有 x ，即 是数集 S 的下界；
S
x0
2）对任意 0 ，存在 x0 S 使得 x0 （即 是 S 的最大下界），
则称数 为数集 S 的下确界。记作 inf S
9
x0 2）对任意 0 ，存在 x0 S 使得 x0 （即 是 S 的最大下界），
则称数 为数集 S 的下确界。记作 inf S
例1
（1）
(1 )n
S 1
n
,
则 sup S ______,
inf S _______ .
（2） E y y sin x, x (0, ). 则
sup E ________, inf E _________ .
定理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界； 若 S 有下界，则 S 必有下确界。
x inf A 或 x inf B. x min inf A , inf B .
即
min inf A , inf B 是数集 S 的下界, inf S min inf A , inf B .
又 S A, S 的下界就是 A 的下界, inf S 是 S 的下界, inf S 是 A 的下界