九年级数学下册第27章 2 圆的对称性第2课时垂径定理同步练习 (新版)华东师大版

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2022年华东师大版九年级数学下册第27章圆同步练习试卷(含答案详解)

华东师大版九年级数学下册第27章圆同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CBD的度数是（）A．30°B．36°C．60°D．72°2、如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，连接AE，将ADE沿AE翻折，使点D落在BC边的点F 处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，线段OF的长为半径作⊙O，⊙O与AB，AE分别相切于点G，H，连接FG，GH．则下列结论错误的是（）A ．2BAE DAE ∠=∠B ．四边形EFGH 是菱形C ．3AD CE = D ．GH AO ⊥3、若120︒的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．44、如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于M ，则下列结论不一定成立的是（）A ．AM =BMB ．CM =DMC ．AC BC =D ．AD BD =5、如图，在ABC 中，以边BC 的中点D 为圆心，BD 长为半径画弧，交AC 于E 点，若20,4C BC ∠=︒=，则扇形BDE 的面积为（）A ．13π B ．23π C ．49π D ．59π 6、如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 为切点，连接OB 、AB ，若25ABO ∠=︒，则APB ∠的度数为（）A ．50°B ．55°C ．65°D ．70°7、如图，△ABC 外接于⊙O ，∠A ＝30°，BC ＝3，则⊙O 的半径长为（）A ．3BCD ．8、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接BD ，若AC BC =，∠BDC ＝50°，则∠ADC 的度数是（）A ．125°B ．130°C ．135°D ．140°9、如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AD 于点F ，则图中阴影部分面积为（）．（结果保留π）．A ．4π83- B ．4π43-C ．π83- D ．π43-10、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，PA ＝4，则PB 的长度为（）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，则CD ＝_____．2、如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，若对角线AC ＝AC 的长为 _____．3、已知⊙O 的直径为8cm ，如果直线AB 上的一点与圆心的距离为4cm ，则直线AB 与⊙O 的位置关系是 _____．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 为x 轴正半轴上一点．已知点)(0,2A ，)(0,8B ，M 为ABP△的外接圆．（1）点M的纵坐标为______；（2）当APB∠最大时，点P的坐标为______．5、如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC＝_____°．6、如图，一次函数1=+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，作ABO的外接圆C，y x则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）7、如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连结OA、OB．若OA＝5，AB＝6，则tan∠AOB＝______．8、如图，已知圆周角∠ACB=128°，则圆心角∠AOB=__________．9、如图，矩形ABCD中，1AB=，AD=，以BC的中点E为圆心的弧MPN与AD相切，则图中阴影部分的面积为__________．10、如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P= 50°，则∠ACB＝_____________°三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、【教材呈现】下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：推论1 90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）【推论证明】已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°．求证：线段AB是⊙O的直径．请你结合图①写出推论1的证明过程．【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为．【拓展应用】如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD，点E是BC的中点，连结DE．若AB＝DE的长为．2、如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，AE平分∠BAC．(1)求证：BC 是⊙O 的切线．(2)若∠EAB ＝30°，OD ＝5，求图中阴影部分的周长．3、如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB AC =，AD BC ⊥将扇形EAF 围成圆锥时，AE 、AF 恰好重合，已知这种加工材料的顶角90BAC ∠=．(1)求图2中圆锥底面圆直径ED 与母线AD 长的比值；(2)若圆锥底面圆的直径ED 为5cm ，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）4、如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC BC ==cm ．点D 从A 出发沿AC 以1cm/s 的速度向点C 移动；同时，点F 从B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，移动过程中始终保持DE CB ∥（点E 在AB 上）．当其中一点到达终点时，另一点也同时停止移动．设移动时间为t （s ）（其中0t ≠）．(1)当t 为何值时，四边形DEFC 的面积为182cm(2)是否存在某个时刻t ，使得DF BE =，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．(3)点E 是否可能在以DF 为直径的圆上？若能，求出此时t 的值，若不能，请说明理由．5、如图，C ，D 是以AB 为直径的半圆周的三等分点，CD ＝8cm ．(1)求∠ACD的度数；(2)求阴影部分的面积．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】求出正五边形的一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．【详解】解：∵正五边形ABCDE中，∴∠BCD=()521805-⨯︒=108°，CB=CD，∴∠CBD=∠CDB=12（180°-108°）=36°，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形和圆，求出正五边形的一个内角度数是解决问题的关键．2、C【解析】【分析】由折叠可得∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=90°，EF=ED，再根据切线长定理得到AG=AH，∠GAF=∠HAF，进而求出∠GAF=∠HAF=∠DAE=30°，据此对A作出判断；接下来延长EF与AB交于点N，得到EF是⊙O的切线，∆ANE是等边三角形，证明四边形EFGH是平行四边形，再结合HE=EF可对B作出判断；在Rt∆EFC中，∠C=90°，∠FEC=60°，则EF=2CE，再结合AD对C作出判断；由AG=AH，∠GAF=∠HAF，得出GH⊥AO，不难判断D．【详解】解：由折叠可得∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=90°，EF=ED.∵AB和AE都是⊙O的切线，点G、H分别是切点，∴AG=AH，∠GAF=∠HAF，∴∠GAF=∠HAF=∠DAE=30°，∴∠BAE=2∠DAE，故A正确，不符合题意；延长EF与AB交于点N，如图：∵OF⊥EF，OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线，∴HE=EF，NF=NG，∴△ANE是等边三角形，∴FG//HE，FG=HE，∠AEF=60°，∴四边形EFGH是平行四边形，∠FEC=60°，又∵HE=EF，∴四边形EFGH是菱形，故B正确，不符合题意；∵AG=AH，∠GAF=∠HAF，∴GH⊥AO，故D正确，不符合题意；在Rt△EFC中，∠C=90°，∠FEC=60°，∴∠EFC=30°，∴EF=2CE，∴DE=2CE.∵在Rt△ADE中，∠AED=60°，∴AD，∴AD，故C错误，符合题意.故选C.【点睛】本题是一道几何综合题，考查了切线长定理及推论，切线的判定，菱形的定义，含30 的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，翻折变换等，正确理解翻折变换及添加辅助线是解决本题的关键．3、C【解析】【分析】先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可【详解】设半径为r，则周长为2πr，120°所对应的弧长为120222π3603rrππ︒⨯==︒解得r=3故选C【点睛】本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．4、B【解析】【分析】根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．【详解】解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，∴AM=BM，AC BC=，AD BD=，即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，当根据已知条件得CM和DM不一定相等，故选B．【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．5、C【解析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题．【详解】：∵BD=CD，BD=DE，BC=4，∴CD=ED，BD=2，∴∠DEC=∠C=20°，∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，∴240243609 DBESππ︒⨯==︒扇形故选：C．【点睛】本题考查扇形的面积公式、等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是求出扇形的圆心角．6、A【解析】【分析】根据切线的性质得出PA=PB，∠PBO=90°，再根据三角形内角和定理求解即可．【详解】∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OBP=90°，又∵∠ABO=25°，∴∠PBA=90°-25°=65°=∠PAB，∴∠P=180°-65°-65°=50°，【点睛】本题考查切线的性质，三角形内角和定理，掌握切线的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和为180°是解题的关键．7、A【解析】【分析】分析：连接OA、OB，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO是等边三角形，即可求出⊙O的半径．【详解】解：连接BO，并延长交⊙O于D，连结DC，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∵BD为直径，∴∠BCD=90°，在Rt△BCD中，BC=3，∠D=30°，∴BD=2BC=6，∴OB=3．故选A．【点睛】本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．8、B【解析】【分析】如图所示，连接AC，由圆周角定理∠BAC=∠BDC=50°，再由等弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠BAC=50°，再根据圆内接四边形对角互补求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC，∴∠BAC=∠BDC=50°，∵AC BC，∴∠ABC=∠BAC=50°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC=180°-∠ABC=130°，故选B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，熟练掌握相关知识是解题的关键．9、A【解析】【分析】连接BE．则阴影部分的面积=S矩形ABCD-S△ABE-S扇形BCE，根据题意知BE=BC=4，则∠AEB=∠EBC=30°，AE=【详解】解：如图，连接BE，则BE=BC=4，在Rt△ABE中，AB=2、BE=4，∴∠AEB=∠EBC=30°，AE则阴影部分的面积=S矩形ABCD-S△ABE-S扇形BCE=2×4-12×2×2304360π⨯=8-43π，故选：A ．【点睛】本题主要考查了扇形面积求法，本题中能够将不规则图形的面积进行转换成规则图形的面积差是解题的关键．10、B【解析】【分析】由切线的性质可推出OA AP ⊥，OB BP ⊥．再根据直角三角形全等的判定条件“HL ”，即可证明OAP OBP ≅，即得出4PB PA ==．【详解】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴在Rt OAP △和Rt OBP 中，OA OB OP OP=⎧⎨=⎩， ∴()OAP OBP HL ≅，∴4PB PA ==．故选：B【点睛】本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．二、填空题1、1【解析】【分析】连接OA，先利用垂径定理得出AD的长，再由勾股定理得出OD的长即可解答．【详解】解：连接OA，∵AB=6，OC⊥AB于点D，∴AD=12AB=12×6=3，∵⊙O的半径为5，∴2222534OD OA AD，∴CD=OC-OD=5-4=1．故答案为：1．【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．2、4π3【解析】【分析】连接OB ，交AC 于点D ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC 为菱形，根据菱形的性质可得：OB AC ⊥，OA AB =，AD DC =，根据等边三角形的判定得出OAB 为等边三角形，由此得出120AOC ∠=︒，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．【详解】解：如图所示，连接OB ，交AC 于点D ，∵四边形OABC 为平行四边形，OA OC =，∴四边形OABC 为菱形，∴OB AC ⊥，OA AB =，12AD DC AC === ∵OA OB AB ==，∴OAB 为等边三角形，∴60AOB ∠=︒，∴120AOC ∠=︒，在Rt OAD 中，设AO r =，则12OD r =， ∴222AD OD AO +=，即22212r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：2r =或2r =-（舍去），∴AC的长为：120241803ππ⨯⨯=，故答案为：43π．【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．3、相切或相交【解析】【分析】本题需分类讨论，当直线上的点到圆心的连线垂直于直线AB时，直线于圆的位置关系为相切，当直线上的点到圆心的连线与直线AB不垂直时，直线到圆心的距离小于圆的半径，直线与圆相交．【详解】设直线AB上与圆心距离为4cm的点为C，当OC⊥AB时，OC=⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切，当OC与AB不垂直时，圆心O到直线AB的距离小于OC，所以圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相交，综上所述直线AB与⊙O的位置关系为相切或相交，故答案为：相切或相交．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，本题需根据圆心与直线上一点的距离，分类讨论圆与直线的位置关系，利用分类讨论思想是解决本题的关键．4、 5 (4，0)【解析】【分析】（1）根据点M 在线段AB 的垂直平分线上求解即可；（2）点P 在⊙M 切点处时，APB ∠最大，而四边形OPMD 是矩形，由勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵⊙M 为△ABP 的外接圆，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，∵A (0，2)，B (0，8)，∴点M 的纵坐标为：8252+=，故答案为：5；（2）过点)(0,2A ，)(0,8B ，作⊙M 与x 轴相切，则点M 在切点处时，APB ∠最大，理由：若点P '是x 轴正半轴上异于切点P 的任意一点，设AP '交⊙M 于点E ，连接AE ，则∠AEB =∠APB ，∵∠AEB 是ΔA P 'E 的外角，∴∠AEB>∠A P 'B ，∵∠APB >∠A P 'B ，即点P 在切点处时，∠APB 最大，∵⊙M 经过点A (0，2)、B (0，8)，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y =5上，∵⊙M 与x 轴相切于点P ，ＭP ⊥x 轴，从而MP =5，即⊙M 的半径为5，设AB 的中点为D ，连接MD 、AM ，如上图，则MD ⊥AB ，AD =BD =12AB =3，BM =MP =5，而∠POD=90°，∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD，由勾股定理，得MD4=，∴OP=MD=4，∴点P的坐标为(4，0)，故答案为：(4，0)．【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．5、124【解析】【分析】A D C在以B为圆心半径为AB的圆上，设E是优弧AC上任意一点，则四边形ADCE是根据题意，,,∠．B的内接四边形，进而根据圆内接四边形对角互补，圆周角定理求得E∠，即可求得ADC解：如图，AB＝BC＝BDA D C在以B为圆心半径为AB的圆上，∴,,设E是优弧AC上任意一点，则四边形ADCE是B的内接四边形180∴∠+∠=︒E ADC又∠ABC＝112°，∴∠=︒E56∴∠=︒-︒=︒ADC18056124故答案为：124【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，转为圆内接四边形求解是解题的关键．π6、3【解析】先求出A 、B 、C 坐标，再证明三角形BOC 是等边三角形，最后根据扇形面积公式计算即可．【详解】过C 作CD ⊥OA 于D∵一次函数1y =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当0x =时，1y =，B 点坐标为（0,1）当0y =时，y =A 点坐标为∴2,1AB OB OA ===，∵作ABO 的外接圆C ，∴线段AB 中点C 的坐标为1)2,112OC BC AB OB ==== ∴三角形BOC 是等边三角形∴120ACO ∠=︒∵C 的坐标为1)2∴12CD =∴2120111360223AOC ACO S S S ππ︒=-=⨯⨯-=︒扇形故答案为：3π【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，求扇形面积．用已知点的坐标表示相应的线段是解题的关键．7、6 5【解析】【分析】由题意易得∠OAB=90°，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB=90°，在Rt△OAB中，OA＝5，AB＝6，∴6 tan5ABAOBOA∠==，故答案为65．【点睛】本题主要考查三角函数与切线的性质，熟练掌握三角函数与切线的性质是解题的关键．8、104°##104度【解析】【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，由圆内接四边形的性质求出∠ADB=52°，根据圆周角定理即可得出结论．【详解】解：在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，如图所示：∵∠ACB =128°，∴∠ADB =180°-∠ACB =52°，∴∠AOB =2∠ADB =104°．故答案为：104°．【点睛】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．9、3π##13π 【解析】【分析】如图，连接,PE 证明四边形,ABEP 四边形PECD 都为矩形，可得扇形半径为1，再求解,,,MEB NEC MEN 再利用扇形的面积公式进行计算即可.【详解】解：如图，连接,PE扇形的弧MPN 与AD 相切，,PE AD矩形ABCD ,∴ 四边形,ABEP 四边形PECD 都为矩形，∴扇形半径1ME PE NE AB ====．在矩形ABCD 中，AD =E 为BC 的中点，∴在Rt BME △中，12BE AD ==．cos BE MEB ME ∠==， 30MEB ∴∠=︒，同理：30,NEC∴ 1802120MEN MEB ∠=︒-∠=︒．212013603S ππ⨯∴==阴影．故答案为：3π 【点睛】本题考查的是矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，扇形面积的计算，求解扇形的半径为1，及30MEB ∠=︒，30NEC ∠=︒是解本题的关键.10、65【解析】【分析】连接,OA OB ，根据切线的性质以及四边形内角和定理求得130AOB ∠=︒，进而根据圆周角定理即可求得∠ACB【详解】解：连接,OA OB ，如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切90OAP OBP ∴∠=∠=︒360130AOB OAP OBP P ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒AB AB =1652ACB AOB ∴∠=∠=︒ 故答案为：65【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．三、解答题1、【推论证明】见解析；【拓展应用】1+【解析】【分析】推论证明：根据圆周角定理求出180AOB ∠=︒，即可证明出线段AB 是⊙O 的直径；深入探究：连接AB ，首先根据∠ACB ＝90°得出AB 是⊙O 的直径，然后求出30BCD ∠=︒，然后根据同弧所对的圆周角相等得到30BAD ∠=︒，然后根据30°角直角三角形的性质求出BD 的长度，最后根据勾股定理即可求出AD 的长度；拓展应用：连接AE ，作CF ⊥DE 交DE 于点F ，首先根据等边三角形三线合一的性质求出AE BC ⊥，然后证明出A ，E ，C ，D 四点共圆，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出45CED CAD ∠=∠=︒，30EDC EAC ∠=∠=︒，最后根据等腰直角三角形的性质和30°角直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可．【详解】解：推论证明：∵90C ∠=︒∴180AOB ∠=︒，∴A ，B ，O 三点共线，又∵点O 是圆心，∴AB 是⊙O 的直径；深入探究：如图所示，连接AB ，∵∠ACB ＝90°∴AB 是⊙O 的直径∴90ADB ∠=︒∵∠ACD ＝60°∴30BCD ACB ACD ∠=∠-∠=︒∵DB DB =∴30BAD BCD ∠=∠=︒∴在Rt ABD ∆中，112BD AB ==∴AD拓展应用：如图所示，连接AE ，作CF ⊥DE 交DE 于点F ，∵△ABC 是等边三角形，点E 是BC 的中点∴AE BC ⊥，1302CAE BAC ∠=∠=︒又∵以AC 为底边在三角形ABC 外作等腰直角三角形ACD ∴90ADC ∠=︒，45DAC ∠=︒∴点A ，E ，C ，D 四点都在以AC 为直径的圆上， ∵DC DC =∴45CED CAD ∠=∠=︒∵CF ⊥DE∴EFC ∆是等腰直角三角形∴EF CF =，222EF CF EC +=∴222EF EC =∵1122EC BC AB ===∴222EF =，解得：1EF =∴1FC = ∵EC EC =∴30EDC EAC ∠=∠=︒∴在Rt FCD ∆中，22CD FC ==∴DF∴1DE EF DF =+=【点睛】此题考查了圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，相等的圆周角所对的弧相等，等边三角形和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点和性质定理．2、 (1)见解析(2)553π+ 【解析】【分析】（1）连接OE ，根据AE 平分∠BAC ，可得∠CAE ＝∠EAD ，从而得到∠OEA ＝∠CAE ，进而得到OE ∥AC ，可得到OE ⊥BC ，即可求证；（2）根据圆周角定理可得∠EOD ＝60°，从而得到 ∠B ＝30°，进而得到OB ＝2OE ＝2OD ＝10，得到BD ＝5，BE ＝(1)证明：如图1，连接OE ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝∠EAD ，∵OA ＝OE ，∴∠EAD ＝∠OEA∴∠OEA ＝∠CAE∴OE ∥AC ，∴∠OEB ＝∠C ＝90°，∴OE ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠EAB ＝30°∴∠EOD ＝60°∴∠OEB ＝90°∴∠B ＝30°∴OB ＝2OE ＝2OD ＝10∴BD ＝5∴BE∴弧DE 的长为=60π5180⨯ =5π3∴C 阴影＝DE BD BE l ++ ＝55π3+ ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，求弧长，直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理，切线的判定定理，求弧长，直角三角形的性质是解题的关键．3、 (1)1：2(2)()210025cm π- 【解析】【分析】（1）根据弧EF 的两种求法，可得结论．（2）根据12EAF S BC AD S =⋅⋅-扇形阴影求解即可．(1)由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得： 180n AD DE ππ⋅⋅=． ∴90180AD DE ππ⋅⋅=． ∴12DE AD =，ED 与母线AD 长之比为1:2 (2) ∵210(cm)AD DE == ∴12EAF S BC AD S =⋅⋅-扇形阴影()2219010102010025cm 2360ππ⋅⋅=⨯⨯-=- 答：加工材料剩余部分的面积为()210025cm π- 【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．4、 (1)4t =(2)不存在，说明见解析(3)能，103t =【解析】【分析】（1）由题意知，四边形DEFC 为梯形，则1()2DEFC S DE CF CD =⨯+⨯四边形，1(102)(10)182DEFC S t t t =⨯+-⨯-=四边形，求t 的值，由05t <<得出结果即可；（2）假设存在某个时刻t ，则有()()()22210102210t t t -+-=-，解得t 的值，若05t <<，则存在；否则不存在；（3）假设点E 在以DF 为直径的圆上，则四边形DEFC 为矩形，DE CF =，故有102t t =-，求t 的值，若05t <<，则存在；否则不存在．(1)解：∵,90AC BC C =∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形，45A B ∠=∠=︒∵DE CB ∥∴90EDC C ∠=∠=︒，45DEA B ∠=∠=︒∴ADE 是等腰直角三角形，四边形DEFC 为直角梯形∴DE AD =∵10210DE AD t CF BC BF t CD AC AD t ===-=-=-=-，， ∴()()()111021022DEFC S DE CF CD t t t =⨯+⨯=⨯+-⨯-四边形2110502t t =-+∵211050182DEFC S t t =-+=四边形 ∴220640t t -+=解得4t =或16t =．∵100t ->且1020t ->∴05t <<∴4t =．(2)解：假设存在某个时刻t ，使得DF BE =．∴()()()22210102210t t t -+-=-化简得23200t t -=解得0=t 或203t =∵05t <<∴不存在某个时刻t ，使得DF BE =．(3)解：假设点E 在以DF 为直径的圆上，则四边形DEFC 为矩形∴DE CF =，即102t t =- 解得103t = ∵10053<< ∴当103t =时，点E 在以DF 为直径的圆上．【点睛】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直径所对的圆周角为90°，矩形的性质，等腰三角形等知识点．解题的关键在于正确的表示线段的长度．5、 (1)120︒ (2)323π 【解析】【分析】（1）连接OC 、OD ，根据C ，D 是以AB 为直径的半圆周的三等分点，证明出OAC ∆、OCD ∆是等边三角形，即可求解；（2）根据（1）得OAC ∆、OCD ∆是等边三角形，证明出()OAC OCD SSS ∆≅∆，可以将问题转化为OCD S S =阴影扇形，即可求解．(1)解：解：连接OC 、OD ，C ，D 是以AB 为直径的半圆周的三等分点，60AOC COD DOB ∴∠=∠=∠=︒，AC CD =，又OA OC OD ==，OAC ∴∆、OCD ∆是等边三角形，120ACD ACO OCD ∴∠=∠+∠=︒；(2)解：根据（1）得OAC ∆、OCD ∆是等边三角形，在OAC ∆和OCD ∆中，OA OC OC OD AC CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()OAC OCD SSS ∴∆≅∆，2608323603OCD S S ππ⨯∴===阴影扇形．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定及性质、圆心角定理，解题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD 的面积，难度一般．。

华东师大版数学九年级下册课时练第27章圆 27.1.2 第2课时垂径定理

华东师大版数学九年级下册第27章圆第2课时垂径定理1．如图，⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论可能错误的是( B ) A ．CE ＝DE B ．AE ＝OE C.BC ︵＝BD ︵D ．△OCE ≌△ODE第1题图第2题图2．已知：如图，⊙O 的半径为9，弦AB ⊥半径OC 于点H ，sin ∠BOC ＝23，则AB 的长度为( B )A ．6B ．12C ．9D ．3 53．(2019·福建三明一模)如图，AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为5，BC ＝8，则AB 的长为( D )A ．8B ．10C ．43D ．4 54．(2019·河南信阳期中)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为__5__.5．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为__0.8__m.6．如图，已知⊙O的半径为6 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，求tan∠OP A的值．解：如图，作OM⊥AB于点M，则AM＝BM＝12AB＝4 cm，∴OM＝OA2－AM2＝62－42＝25(cm)．∵PM＝BP＋BM＝6 cm，∴tan∠OP A＝OMPM＝256＝53.7．(教材P40，练习，T1改编)如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O 的半径等于(D)A ．8B ．4C ．10D ．58．某公园新建的圆形人工湖如图所示，为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边先取A ，B ，C 三根木桩，使得A ，B 之间的距离与B ，C 之间的距离相等，并测得B 到AC 的距离为 3 m ，AC 的长为60 m ，请你帮他们求出人工湖的半径．解：设圆心为点O ，连结OA ，OB ，AB ，BC ，OB 交AC 于点D ，如图．∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴OB ⊥AC ， ∴AD ＝CD ＝12AC ＝30 m.设OA ＝x m ，则在Rt △AOD 中，有x 2－(x －3)2＝302，解得x ＝151.5， ∴人工湖的半径为151.5 m.易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径” 9．下列说法中错误的有( C )①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； ②弦的垂线平分它所对的两条弧； ③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； ④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．(2019·广西梧州中考)如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( C )A．2 6 B．210C．211 D．4 311．(2019·山东聊城阳谷一模)已知在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直且相等的两条弦，垂足为点P，且OP＝32，则弦AB的长为(C)A．4 B．6 C．8 D．1012．(2019·江西南昌一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(2，0)，直线y＝33x＋3与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长为__7__.13．(2019·广西南宁中考)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示．已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为__26__寸．14．(2018·湖北孝感中考)已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是__2或14__ cm.15．如图，在半径为5的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是 AB ︵上的一个动点(不与点A ，B 重合)，且OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E . (1)当BC ＝6时，求线段OD 的长．(2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3. ∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4. (2)存在．DE 保持不变．连结AB ，如图． ∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点， ∴DE ＝12AB ＝522，∴DE 保持不变．16．某地有一座圆弧型拱桥，如图所示，桥下水面宽度AB 为7.2 m ，拱顶高出水面2.4 m ，现有一艘宽3 m ，顶部为长方形并且高出水面2 m 的货船要经过这里．问此货船能顺利通过拱桥吗？解：如图所示，设AB ︵所在圆的圆心为点O ，作OD ⊥AB ，垂足为点D ，OD 的延长线交MN 于点H ，交AB ︵于点C .连结OA ，ON .由题意知DC ＝2.4 m ．设OA ＝r m ，则OD ＝OC －CD ＝(r －2.4)m ，AD ＝12AB ＝3.6 m. 在Rt △OAD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2，即r 2＝3.62＋(r －2.4)2，∴r ＝3.9.∵EF ＝3 m ，∴DF ＝NH ＝12×3＝1.5(m)．在Rt △ONH 中，OH ＝ON 2－NH 2＝ 3.92－1.52＝3.6(m)， ∴FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)． ∵2<2.1，∴此货船能顺利通过拱桥．。

2021-2022学年最新华东师大版九年级数学下册第27章圆同步训练试卷(含答案详解)

华东师大版九年级数学下册第27章圆同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，点A 、B 、C 在O 上，50∠=°ACB ，则OAB ∠的度数是（）A ．100°B ．50°C ．40°D ．25°2、在ABC 中，45B ∠=︒，6AB =，给出条件：①4AC =；②8AC =；③外接圆半径为4．请在给出的3个条件中选取一个，使得BC 的长唯一．可以选取的是（）A ．①B ．②C ．③D ．①或③3、如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（点C 不与点A ，B 重合），4AB =．设弦AC 的长为x ，ABC ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．4、如图，PA、PB是O的切线，A、B是切点，点C在O上，且58∠=︒，则APBACB∠等于（）A．54°B．58°C．64°D．68°5、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cmAB=，则水的最大深度为（）A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm6、在同一平面内，有一半径为6的⊙O和直线m，直线m上有一点P，且OP=4；则直线m与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．不能确定7、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（）cm．A．3πB．6πC．12πD．18π8、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A ．75°B ．70°C ．65°D ．55° 9、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，那么扇形的面积（）A ．不变B ．面积扩大为原来的3倍C ．面积扩大为原来的9倍D ．面积缩小为原来的1310、如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，若∠APB ＝60°，PA ＝5，则弦AB 的长是（）A ．52 B C ．5 D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，半径为2的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 是弧AB 的中点，点D 、E 是半径OA 、OB 上的动点，且满足∠DCE ＝60°，则图中阴影部分面积等于___________．2、已知扇形的圆心角为30，半径为6 cm，则扇形的弧长是____________cm.3、一个直角三角形的斜边长，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形外接圆的半径为______cm，直角三角形的面积是________2cm．4、在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分的面积为_____．5、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，则CD＝_____．6、已知⊙O的直径为8cm，如果直线AB上的一点与圆心的距离为4cm，则直线AB与⊙O的位置关系是 _____．7、如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为∠BAC＝________度．8、在圆内接四边形ABCD 中，40D B ∠-∠=︒，则D ∠的度数为______．9、如图，PA ，PB 是O 的切线，切点分别为A ，B ．若30OAB ∠=︒，3PA =，则AB 的长为______．10、如图，把O 分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF ，如果O 的周长为12π，那么该正六边形的边长是______．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、已知∠MPN 的两边分别与圆O 相切于点A ，B ，圆O 的半径为r ．（1）如图1，点C 在点A ，B 之间的优弧上，∠MPN ＝80°，求∠ACB 的度数；（2）如图2，点C 在圆上运动，当PC 最大时，要使四边形APBC 为菱形，∠APB 的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC 交圆O 于点D ，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r 的式子表示）．2、下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A 在O 上．求作：直线PA 和O 相切．作法：如图，①连接AO ；②以A 为圆心，AO 长为半径作弧，与O 的一个交点为B ；③连接BO ；④以B 为圆心，BO 长为半径作圆；⑤作B 的直径OP ；⑥作直线PA ．所以直线PA 就是所求作的O 的切线．根据小亮设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明：证明：在O 中，连接BA ．∵OA OB =，AO AB =，∴OB AB =．∴点A 在B 上．∵OP 是B 的直径，∴90OAP ∠=︒（______）（填推理的依据）．∴OA AP ⊥．又∵点A 在O 上，∴PA 是O 的切线（______）（填推理的依据）．3、在⊙O 中，AC AD =，四边形ABCD 是平行四边形．（1）求证：BA 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝6，①求⊙O 的半径；②求图中阴影部分的面积．4、如图，△ABC 内接于⊙O ，弦BD ⊥AC ，垂足为E ．点D ，点F 关于AC 对称，连接AF 并延长交⊙O 于点G ．(1)连接OB ，求证：∠ABD ＝∠OBC ；(2)求证：点F ，点G 关于BC 对称；(3)若BF＝OB＝2，求△ABC面积的最大值．5、【教材呈现】下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：推论1 90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）【推论证明】已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°．求证：线段AB是⊙O的直径．请你结合图①写出推论1的证明过程．【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为．【拓展应用】如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD，点E是BC的中点，连结DE．若AB＝DE的长为．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB 的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =100°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA = 40°，故选：C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2、B【解析】【分析】画出图形，作AD BE ⊥，交BE 于点D ．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出AD 的长，再由AD 和AC 的长作比较即可判断①②；由前面所求的AD 的长和AB 的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可在AB 上方，也可在AB 下方，其与AE 的交点即为C 点，为两点不唯一，可判断其不符合题意．【详解】如图，45ABE ∠=︒，6AB =，点C 在射线AE 上．作AD BE ⊥，交BE 于点D ．∵45ABE ∠=︒，∴ABD △为等腰直角三角形，∴4BD AD AB ===>， ∴不存在4AC =的三角形ABC ，故①不符合题意；∵6AB =，=AD AC =8，而AC >6，∴存在8AC =的唯一三角形ABC ，如图，点C 即是．∴8AC =，使得BC 的长唯一成立，故②符合题意；∵4AD =>，68AB =<，∴存在两个点C 使ABC 的外接圆的半径等于4，两个外接圆圆心分别在AB 的上、下两侧，如图，点Ｃ和C '即为使ABC 的外接圆的半径等于4的点．故③不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外接圆的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．3、B【解析】【分析】由AB 为圆的直径，得到∠C =90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得到BC =而列出△ABC 面积的表达式即可求解．【详解】解：∵AB 为圆的直径，∴∠C =90°，4AB =，AC x =，由勾股定理可知：∴BC ==∴1122∆=⋅=⋅ABC S BC AC x 此函数不是二次函数，也不是一次函数，∴排除选项A 和选项C ， AB 为定值，当OC AB ⊥时，ABC ∆面积最大，此时AC =即x =y 最大，故排除D ，选B ．故选：B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．4、C【解析】【分析】连接OB ，OA ，根据圆周角定理可得2116AOB ACB ∠=∠=︒，根据切线性质以及四边形内角和性质，求解即可．【详解】解：连接OB ，OA ，如下图：∴2112AOB ACB ∠=∠=︒∵PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点∴90OBP OAP ∠=∠=︒∴由四边形的内角和可得：36064APB OBP OAP AOB ∠=︒-∠-∠-∠=︒故选C ．【点睛】此题考查了圆周角定理，切线的性质以及四边形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．5、C【解析】【分析】连接OB ，过点O 作OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而得出CD 的长即可．【详解】解：连接OB ，过点O 作OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，如图所示：则136()2BD AB cm ==， O 的直径为78cm ，39()OB OC cm ∴==，在Rt OBD △中，15()OD cm ，391524()CD OC OD cm ∴=-=-=，即水的最大深度为24cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、A【解析】【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．【详解】解：∵⊙O的半径为6，直线m上有一动点P，OP=4，∴直线与⊙O相交．故选：A．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d=r时，直线l和⊙O相切是解答此题的关键．7、B【解析】【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】解：它的侧面展开图的面积＝1×2π×2×3＝6π（cm2）．2故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8、B【解析】【分析】直接根据圆周角定理求解．解：35ACB∠=︒，270AOB ACB∴∠=∠=︒．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9、A【解析】【分析】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为19n，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．【详解】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，∴原来扇形的面积为2 360n rπ，∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为19 n，∴变化后的扇形的面积为221(3)9360360n r n rππ=，∴扇形的面积不变．故选：A．本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．10、C【解析】【分析】先利用切线长定理得到PA =PB ，再利用∠APB =60°可判断△APB 为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．【详解】解：∵PA ，PB 为⊙O 的切线，∴PA =PB ，∵∠APB =60°，∴△APB 为等边三角形，∴AB =PA =5．故选：C ．【点睛】本题考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题1、43π【解析】【分析】如图，连接,,OC AC 过C 作CF OA ⊥于,F AOC △是等边三角形，求解3,CF 证明,60,AC OC DAC ACO 再证明,ACD OCE ASA ≌ 可得AOC AOB S S S 阴影扇形，再计算即可得到答案.【详解】解：如图，连接,,OC AC 过C 作CF OA ⊥于,FC 是AB 的中点，120,AOB ∠=︒ 160,2AOC BOC AOB ,AO COAOC ∴是等边三角形， ,60,AC OC OAC ACO 60,DACEOC ,2,CFAO AO CO 11,2AF OF AO 2222213,CF OC OF60,DCE,DCE OCD ACO OCD,ACD OCE ∴∠=∠ 而60,,DACEOC AC OC,ACD OCE ASA ≌,DOC OEC AOC DCEO S S S S 四边形AOC AOB S S S 阴影扇形212021423336023故答案为：43π【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算，掌握“利用转化的思想求解阴影部分的面积”是解本题的关键.2、π 【解析】【分析】知道半径，圆心角，直接代入弧长公式180n r L π=即可求得扇形的弧长．【详解】解：180n r L π=， ∴扇形的弧长306180L cm ππ==，故答案为：π．【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是要掌握弧长公式：180n r L π=才能准确的解题．3、【分析】设一直角边长为x ，另一直角边长为（6-x ）根据勾股定理()(222+6x x -=，解一元二次方程求出1224x x ==，，利用三角形面积公式求124=42⨯⨯2cm 即可．【详解】解：设一直角边长为x ，另一直角边长为（6-x ），∵三角形是直角三角形，∴根据勾股定理()(222+6x x -=，整理得：2680x x -+=，解得1224x x ==，，这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，，三角形面积为124=42⨯⨯2cm ．4．【点睛】本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三角形面积，掌握以上知识是解题关键．4、2π【解析】利用勾股定理求出AC 及AB 的长，根据阴影面积等于AB C CAC DAB S S S''''--扇形扇形求出答案．【详解】解：由旋转得,AB AB AC AC ''==，90CAC '∠=︒，B AC ''∠=∠BAC ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，∴AC =2BC =2，AB60CAB '∠=︒， ∴阴影部分的面积=AB C CAC DAB S S S ''''--扇形扇形2260902113603602ππ⨯⨯=--⨯=2π故答案为：2π．【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键．5、1【解析】【分析】连接OA，先利用垂径定理得出AD的长，再由勾股定理得出OD的长即可解答．【详解】解：连接OA，∵AB=6，OC⊥AB于点D，∴AD=12AB=12×6=3，∵⊙O的半径为5，∴2222534OD OA AD，∴CD=OC-OD=5-4=1．故答案为：1．【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．6、相切或相交【解析】【分析】本题需分类讨论，当直线上的点到圆心的连线垂直于直线AB时，直线于圆的位置关系为相切，当直线上的点到圆心的连线与直线AB不垂直时，直线到圆心的距离小于圆的半径，直线与圆相交．【详解】设直线AB上与圆心距离为4cm的点为C，当OC⊥AB时，OC=⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切，当OC与AB不垂直时，圆心O到直线AB的距离小于OC，所以圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相交，综上所述直线AB与⊙O的位置关系为相切或相交，故答案为：相切或相交．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，本题需根据圆心与直线上一点的距离，分类讨论圆与直线的位置关系，利用分类讨论思想是解决本题的关键．7、60【解析】【分析】在Rt△BOE中，利用勾股定理求得OE=1，知OB=2OE，得到∠BOE=60°，∠BOC=120°，再利用圆周角定理即可解决问题．【详解】解：如图作OE⊥BC于E．∵OE ⊥BC ，∴BE =EC BOE =∠COE ，∴OE =1，∴OB =2OE ，∴∠OBE =30°，∴∠BOE =∠COE =60°，∴∠BOC =120°，∴∠BAC =60°，故答案为：60．【点睛】本题考查三角形的外心与外接圆、圆周角定理．垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 8、110°##110度【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补，得∠D +∠B =180°，结合已知求解即可．【详解】∵圆内接四边形对角互补，∴∠D +∠B =180°，∵40D B ∠-∠=︒∴∠D =110°，故答案为：110°．本题考查了圆内接四边形互补的性质，熟练掌握并运用性质是解题的关键．9、3【解析】【分析】由切线长定理和30OAB ∠=︒，可得PAB ∆为等边三角形，则AB PA =．【详解】解：连接,OA OP ，如下图：PA ，PB 分别为O 的切线，PA PB ∴=，PAB ∴为等腰三角形，30OAB ∠=︒，60PAB ∴∠=︒，PAB ∴∆为等边三角形，AB PA ∴=，3PA =，3AB ∴=．故答案为：3．本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线．10、6【解析】【分析】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，再求出圆的半径即可．【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．∵正六边形ABCDEF，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，∵O的周长为12π，∴O的半径为1262ππ=，正六边形的边长是6；【点睛】本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键．三、解答题1、（1）50°（2）∠APB=60°（3）13rπ⎫+⎪⎭【解析】【分析】（1）连接OA，OB，由切线的性质可求∠PAO＝∠PBO＝90°，由四边形内角和可求解；（2）当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可证AP＝AC＝PB ＝BC，可得四边形APBC是菱形；（3）分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求AD，即可求解．【详解】解：（1）如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB＋∠PAO＋∠PBO＋∠AOB＝360°，∴∠APB＋∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB＋∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半径为r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP=，PD＝r，∵∠AOP＝90°−∠APO＝60°，∴AD的长度＝601803rrππ⨯⨯=，133r r rππ⎫++=+⎪⎭．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．2、 (1)见解析(2)直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠OAP＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．(1)解：补全的图形如图所示；(2)证明：在O 中，连接BA ．∵OA OB =，AO AB =，∴OB AB =．∴点A 在B 上．∵OP 是B 的直径，∴90OAP ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴OA AP ⊥．又∵点A 在O 上，∴PA 是O 的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题考查了作图，切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．3、（1）证明见解析；（2）①4π-【解析】【分析】（1）连接AO ，由AC AD =，四边形ABCD 是平行四边形，即得推得ACO △为等边三角形，即可得∠BAO =∠BAC +∠CAO =90°，即BA 是⊙O 的切线．（2）①由（1）有A 0=tan 60AB =︒②将阴影面积拆为相等的两部分，其中左侧部分为扇形ACO 面积减去三角形ACO 面积，由扇形面积公式，等边三角形面积公式计算后乘2即可．【详解】（1）证明：连接OA∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BE∴∠ADC=∠DCO又∵AC AD=∴∠ACD=∠ADC∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=2∠ADC又∵2∠ADC=AOC∠∴AOC ACO∠=∠∴AO=AC又∵OC=AO∴ACO△为等边三角形∴∠ACO=∠CAO=60°，∠ACD=∠DCO=30°又∵AB//CD∴∠BAC=∠ACD=30°∴∠BAO=∠BAC+∠CAO=30°+60°=90°∴BA是⊙O的切线．（2）①由（1）可知∠BAO=90°，∠BOA=60°∴tanBA BOAAO ∠=∴AO =6tan tan BA BOA BOA ===∠∠②连接AO ，与CD 交于点M∵AC =OAC =60°∴CM =sin 603AC ⋅︒==∴11322AOC S AO CM =⋅⋅=⨯=△∵AO =AOC =60°∴22360AOCn r S ===︒扇形ππ ∴2AOC AOC S S S =-△阴影扇形（）∴224S =-=-阴影（ππ【点睛】本题是一道圆内的综合问题，考察了证明某线是切线、平行四边形性质、等弧的性质、解直角三角形、等边三角形性质、勾股定理、扇形面积公式等，需熟练掌握这些性质及定理，而作出正确的辅助线是解题的关键．4、 (1)见解析(2)见解析(3)△ABC 的面积最大值为【解析】【分析】（1）连接OC ，根据BD AC ⊥，得出90BAC ABD ︒∠+∠=，根据,OB OC =得出,OBC OCB ∠=∠可得1902OBC BOC ︒∠+∠=，可得∠BAC =12BOC ∠，得出90BAC OBC ︒∠+∠=即可；（2）连接AD ，BG ．根据点D ，点F 关于AC 对称，得出AC 垂直平分DF ，可得AD AF =，根据同弧所对圆周角性质D AFD ∠=∠，∠FAC =∠DAC ，得出DC GC =，∠DBC =∠GBC ，根据∠ADB =∠AGB ，∠AFD =∠BFG ，得出BF =BG ，根据∠CAG =∠CBG ，得出BC ⊥FG 即可；（3）连结OG ，CG 延长BO ，交⊙O 于H ，连结GH ，设AG 与BC 交于M ，由（2）得BF =BG =2，可证△OBG 为等边三角形，得出∠BOG =60°，根据OH =OG ，得出∠OHG =∠OGH =1302BOG ∠=︒，可得∠BAG =∠BCG =∠H =30°，利用30°直角三角形性质可得BA =2BM ，根据勾股定理在Rt △ABG 中，AG ⊥BC 于M ，AM=，设BM =x ，AM ，GM函数CM =MG x ABC 的面积最大，求出x(1)证明：如图①，连接OC ，BD AC ⊥，90AEB ︒∴∠=，90BAC ABD ︒∴∠+∠=，OB OC =，OBC OCB ∴∠=∠，2180OBC BOC︒∴∠+∠=，∴1902OBC BOC︒∠+∠=，∵∠BAC=12BOC ∠，90BAC OBC︒∴∠+∠=，ABD OBC∴∠=∠；(2)证明：如图②，连接AD，BG．∵点D，点F关于AC对称，∴AC垂直平分DF，AD AF=，D AFD∴∠=∠，∠FAC=∠DAC，∴DC GC=，∴∠DBC=∠GBC，∵∠ADB=∠AGB，∠AFD=∠BFG，∴BF=BG，∵∠CAG=∠CBG，∵BC⊥FG，∴点F ，点G 关于BC 对称；(3)（3）连结OG ，CG 延长BO ，交⊙O 于H ，连结GH ，设AG 与BC 交于M ，由（2）得BF =BG =2，∵BO =GO =2=BG ，∴△OBG 为等边三角形，∴∠BOG =60°，∵OH =OG ，∴∠OHG =∠OGH =1302BOG ∠=︒， ∴∠BAG =∠BCG =∠H =30°，∴BA =2BM ，在Rt △ABG 中，AG ⊥BC 于M ，AM，设BM =x ，∴AM ，GM ，∴CM =MG∴S △ABC =S △ABM +S △ACM =111222BM AM CM AM x ⨯+⨯=，∴当xABC 的面积最大，∴解得xS △ABC 最大=2S △ABM =2212x ⨯⨯==【点睛】本题考查直线垂直性质，互余性质，等腰三角形内角和性质，轴对称性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，同和所对圆周角性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形面积公式，锐角三角函数，函数最值等知识，通过辅助线画出准确图形是解题关键．5、【推论证明】见解析；【拓展应用】1+【解析】【分析】推论证明：根据圆周角定理求出180AOB ∠=︒，即可证明出线段AB 是⊙O 的直径；深入探究：连接AB ，首先根据∠ACB ＝90°得出AB 是⊙O 的直径，然后求出30BCD ∠=︒，然后根据同弧所对的圆周角相等得到30BAD ∠=︒，然后根据30°角直角三角形的性质求出BD 的长度，最后根据勾股定理即可求出AD 的长度；拓展应用：连接AE ，作CF ⊥DE 交DE 于点F ，首先根据等边三角形三线合一的性质求出AE BC ⊥，然后证明出A ，E ，C ，D 四点共圆，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出45CED CAD ∠=∠=︒，30EDC EAC ∠=∠=︒，最后根据等腰直角三角形的性质和30°角直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可．【详解】解：推论证明：∵90C ∠=︒∴180AOB ∠=︒，∴A ，B ，O 三点共线，又∵点O 是圆心，∴AB 是⊙O 的直径；深入探究：如图所示，连接AB ，∵∠ACB ＝90°∴AB 是⊙O 的直径∴90ADB ∠=︒∵∠ACD ＝60°∴30BCD ACB ACD ∠=∠-∠=︒∵DB DB =∴30BAD BCD ∠=∠=︒∴在Rt ABD ∆中，112BD AB ==∴AD拓展应用：如图所示，连接AE ，作CF ⊥DE 交DE 于点F ，∵△ABC 是等边三角形，点E 是BC 的中点∴AE BC ⊥，1302CAE BAC ∠=∠=︒又∵以AC 为底边在三角形ABC 外作等腰直角三角形ACD∴90ADC ∠=︒，45DAC ∠=︒∴点A ，E ，C ，D 四点都在以AC 为直径的圆上，∵DC DC =∴45CED CAD ∠=∠=︒∵CF ⊥DE∴EFC ∆是等腰直角三角形∴EF CF =，222EF CF EC +=∴222EF EC =∵1122EC BC AB ===∴222EF =，解得：1EF =∴1FC = ∵EC EC =∴30EDC EAC ∠=∠=︒∴在Rt FCD ∆中，22CD FC ==∴DF∴1=+=DE EF DF【点睛】此题考查了圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，相等的圆周角所对的弧相等，等边三角形和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点和性质定理．。

九年级数学下册第27章圆27-1圆的认识2圆的对称性第1课时弧、弦、圆心角之间的关系同步练习(新版)华东师大

27.1 2. 第1课时弧、弦、圆心角之间的关系一、选择题1．如图K －13－1，在⊙O 中，AC ︵＝BD ︵，下列结论错误的是( )图K －13－1A ．AB ＝CDB ．∠AOC ＝∠DOBC ．∠OCD ＝∠OBAD.BC ︵＝BD ︵2．下列说法中正确的是( )①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，圆心到这两条弦的距离也相等；④在等圆中，圆心角不相等，它们所对的弦也不相等．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③3．在⊙O 和⊙O ′中，已知∠AOB ＝∠CO ′D ，则( )A.AB ︵＝CD ︵B.AB ︵<CD ︵C.AB ︵>CD ︵D.AB ︵与CD ︵的大小无法确定4．在同圆或等圆中，若AB ︵的长度等于CD ︵的长度，则下列说法中正确的有( )①AB ︵的度数＝CD ︵的度数；②AB ︵所对的圆心角等于CD ︵所对的圆心角；③AB ︵和CD ︵是等弧；④AB ︵所对的弦的长度等于CD ︵所对的弦的长度．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图K －13－2，已知AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，那么∠AOE 的度数为( )图K －13－2A ．40°B ．60°C ．75°D ．120°6．如图K －13－3，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论中正确的是( )图K －13－3A ．AB ＝AD B ．BC ＝CDC.AB ︵＝AD ︵ D ．∠BCA ＝∠DCA二、填空题7．如图K －13－4，AB ，CD 是⊙O 的两条弦．(1)如果AB ＝CD ，那么∠AOB ＝________，AB ︵＝________；(2)如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝________，∠BOC ＝________；(3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝________，CB ︵＝________；(4)如果AB ＝CD ，OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F ，那么OE ________OF .图K －13－48．如图K －13－5，圆心角∠AOB ＝20°，将AB ︵旋转n °得到CD ︵，则CD ︵的度数为________．图K －13－59．如图K －13－6所示，D ，E 分别是⊙O 的半径OA ，OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC ︵与CB ︵的大小关系是________．图K －13－610．在⊙O 中，AB 是弦，∠OAB ＝50°，则弦AB 所对的圆心角的度数是__________，弦AB 所对的弧的度数为____________．。

圆的认识2圆的对称性垂径定理及其推论+练习课件+ 2023—2024学年华东师大版数学九年级下册

桥，桥下水面宽度AB为12 m，拱高CD为4 m.
（1）求拱桥所在圆的半径；
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解：（1）设拱桥所在圆的圆心为O，连结OB，OD，则易知
OD⊥AB，点C在OD的延长线上.∵OC⊥AB，∴D为AB

的中点.∵AB＝12 m，∴BD＝ AB＝6 m.

设OB＝OC＝r m，∵CD＝4 m，∴OD＝（r－4）m.
垂足分别是点D、E，连结DE.
（1）求线段DE的长；
解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD＝DC.同理得CE＝EB.
∴DE是△ABC的中位线.

∴DE＝ AB.∵AB＝8，∴DE＝4.

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（2）若点O到AB的距离为3，求☉O的半径.
解：（2）过点O作OH⊥AB于点H，连结OA，
（r－15）
含 r 的代数式表示 OD ，则 OD ＝
cm. 在
Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2＝ 452＋
（r－15）2 ，解得r＝75.通过单位换算，得到车轮直径约
为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮.
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9.已知☉O的半径为7，AB是☉O的弦，点P在弦AB上.若PA＝

华师版九年级数学下册习题课件：27.1.2.2 垂径定理

解：连接 OD，∵P 是 OB 的中点，∴OP＝12OB＝12OD， ∵AB⊥CD，∴∠OPD＝90°，DP＝21CD＝12×6＝3(cm)，
1 在 Rt△ODP 中，sin∠ODP＝OODP＝2OODD＝12，∴∠ODP＝30° ∴OD＝cosD3P0°＝2 3(cm)，∴AB＝2OD＝4 3(cm)
①CE＝DE；②BE＝OE；③C︵B＝B︵D；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC ＝AD.
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
11．如图，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的长为( D )
A．4 2 B．8 2 C．2 5 D．4 5
解：过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 OC，
OA，易求 OE＝ 5，AE＝2 5，则
AB＝2AE＝4 5，∴AC＋DB＝AB－CD ＝4 5－4＝4( 5－1)(千米)
一、选择题(每小题 4 分，共 8 分)
10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于ห้องสมุดไป่ตู้ E，则下列结论一定正确的个数是( A )
下列结论错误的是( B )
A．CE＝DE B．AE＝OE
C.B︵C＝B︵D
D．△OCE≌△ODE
2．(4分)(2015·遂宁)如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm
，OC⊥AB于点C，则OC＝( B )
A．3 cm
B．4 cm C．5 cm
D．6 cm
3．(4分)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一
于点 M，则 CM＝DM.∵直径 AB＝16 cm，
P 为 OB 的中点，∴OP＝4 cm.在
Rt△OPM 中，∵∠APD＝30°， ∴OM＝12OP＝2 cm.在 Rt△DOM 中， DM＝ DO2－OM2＝ 82－22＝2 15(cm)， ∴CD＝2DM＝4 15 cm

2022春九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第2课时垂直于弦的直径性质习题课件华东

DB，则下列结论不一定正确的是( ) ︵︵
A．AD＝BD B．AF＝BF C．OF＝CF D．AC＝︵BC ︵
【点拨】∵DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴点D是优弧ADB的中点，点C是劣弧ACB的中点，且AF＝ BF，故选项A，B，D一定正确；无法证明OF＝CF，故选C. 【答案】C
2．【2020·滨州】在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于
HS版九年级下
第27章圆
27．1.2 圆的对称性第2课时垂直于弦的直径性质
提示：点击进入习题
1C 2C 3B 4C
答案显示
5 见习题 6C 7B 8 26
提示：点击进入习题
9 见习题
10 见习题
11 见习题
12 见习题
答案显示
13 见习题
1．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连结BC、
设半径OA＝OE＝r寸， ∵ED＝1寸，∴OD＝(r－1)寸．在Rt△OAD中，根据勾股定理可得(r－1)2＋52＝r2，解得r＝13.∴木材的直径为26寸．
【答案】26
9 ．如图， AB 是 ⊙ O 的直径， CD 是 ⊙ O 的一条弦， CD⊥AB于点E，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；︵︵ ②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝BE.其中一定正确的有( )
*8.【2020•宁夏】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形
木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺 (1尺＝10寸)．这根圆柱形木材的直径是________寸．【点拨】由题意可知 OE⊥AB. ∵OE 为⊙O 的半径， ∴AD＝BD＝12AB＝12尺＝5 寸．

2.2圆的对称性(二)垂径定理(十一大题型)(原卷版)

③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解题技巧提炼
1、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
2、一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
【变式61】（2023•涧西区校级二模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（）
A．4B． C． D．
【变式62】（2022秋•玄武区校级月考）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（）
【变式71】已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为．
【变式72】已知⊙O的直径AB＝20，弦CD⊥AB于点E，且CD＝16，则AE的长为．
【变式73】（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝
3：5，则AC的长为．
【例题8】（2022秋•邹城市校级期末）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF．
A．5B．6C．7D．8
【变式52】（2022秋•桃城区校级期末）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（）
A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7＜MN＜17D．6≤MN≤16
【变式53】如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（）

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27.1 2. 第2课时垂径定理
一、选择题
1．圆是轴对称图形，它的对称轴有( )
A．1条B．2条
C．4条D．无数条
2．在半径为3的圆中，一条弦的长度为4，则圆心到这条弦的距离是链接听课例2归纳总结( )
A．3 B．4 C. 5 D.7 3．2018·张家界如图K－14－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD ＝8 cm，则AE等于( )
图K－14－1
A．8 cm B．5 cm
C．3 cm D．2 cm
4．过⊙O内一点M的最长的弦长为4 cm，最短的弦长为2 cm，则OM的长为( ) A. 3 cm B. 2 cm C．3 cm D．2 cm 5．2017·金华如图K－14－2，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
图K－14－2
A．10 cm B．16 cm
C．24 cm D．26 cm
6．在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图K－14－3所示．若油面AB＝160 cm，则油的最大深度为( )
图K－14－3
A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm 7．如图K－14－4，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，⊙O的直径为 2 dm，若往这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是( )
图K－14－4
A.2
πB.
π
9
C.
1
2π
D.2π
二、填空题
8．如图K－14－5，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径为________．
图K－14－5
9．如图K－14－6，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是点________．
图K－14－6
10．如图K－14－7，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂
足分别为D，E.若AC＝2 cm，则⊙O的半径为________．
图K－14－7
11．如图K－14－8，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．
图K－14－8
12．如图K－14－9所示，若⊙O的半径为13 cm，P是弦AB上的一个动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为________cm.
图K－14－9
13．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶
端离零件表面的距离为8 mm ，如图K －14－10所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为________mm .
图K －14－10
三、解答题
14．如图K －14－11，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．
求证：AC ＝BD.
图K －14－11
15．如图K －14－12，已知AB 是⊙O 的弦，C 是AB ︵
的中点，AB ＝8，AC ＝2
5，求⊙O
的半径．
图K－14－12
16．如图K－14－13，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB于点F，点E在CD上，且AE＝CE.
(1)求证：CA2＝CE·CD；
(2)已知CA＝5，AE＝3，求sin∠EAF的值．
图K－14－13
17．如图K－14－14，在一块残破的轮片上，量得弓形的弦AB＝24 cm，弓形的高为8 cm，求残破的轮片的直径．
图K －14－14
1．[答案] D
2．[答案] C
3．[解析] A ∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8 cm ，∴CE ＝1
2CD ＝4 cm .在Rt △OCE 中，∵OC
＝5 cm ，CE ＝4 cm ，∴OE ＝
OC 2－CE 2＝3 cm ，∴AE ＝AO ＋OE ＝5＋3＝8 (cm )．故选
A .
4．[解析] A 过圆内一点最长的弦为直径，最短的弦为与这条直径垂直的弦，由垂径定理和勾股定理可求得OM ＝
3 cm .
5．[解析] C 如图，在Rt △OCB 中，OC ＝5 cm ，OB ＝13 cm ，根据勾股定理，得BC ＝OB 2－OC 2＝
132－52＝12(cm )．
∵OC ⊥AB ，∴AB ＝2BC ＝24 cm .
6．[答案] A
7．[答案] A
8．[答案] 13
9．[答案] Q
[解析] 根据垂径定理的推论，则作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点Q 即为圆心．
10．[答案]
2 cm
11．[答案] 2 3
[解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E.
由题意易知∠B ＝180°－∠BAC －∠ACB ＝180°－20°－130°＝30°.
在Rt △BCE 中，
∵∠CEB ＝90°，
∠B ＝30°，BC ＝2， ∴CE ＝1
2
BC ＝1，BE ＝
3CE ＝ 3.
∵CE ⊥BD ，∴DE ＝BE ，
∴BD ＝2BE ＝2 3.
故答案为2 3.
12．[答案] 24
[解析] 连结OA ，当OP ⊥AB 时，OP 最短，此时OP ＝5 cm ，且AB ＝2AP .在Rt △AOP 中，AP ＝
OA 2－OP 2＝
132－52＝12(cm )，所以AB ＝24 cm .
13．[答案] 8
14．证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，
则AE ＝BE ，CE ＝DE ，
∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD.
15．解：如图，连结OA ，OC ，OC 交AB 于点D.
设⊙O 的半径为r. ∵C 是AB ︵
的中点， ∴AC ︵＝BC ︵
，∴OC ⊥AB ， ∴AD ＝DB ＝1
2
AB ＝4.
在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝2，
在Rt △ADO 中，∵OA 2＝AD 2＋OD 2，
∴r 2＝16＋(r －2)2，解得r ＝5.
∴⊙O 的半径为5.
16．解：(1)证明：∵弦CD 垂直于直径AB ，
∴AC ︵＝AD ︵，∴AC ＝AD ，
∴∠D ＝∠C.
又∵AE ＝CE ，∴∠CAE ＝∠C ，
∴∠CAE ＝∠D.
又∵∠C ＝∠C ，
∴△CEA ∽△CAD ，
∴CA CD ＝CE CA
，即CA 2＝CE ·CD. (2)∵CA 2＝CE ·CD ，CA ＝5，CE ＝AE ＝3，
∴52＝3CD ，∴CD ＝253
. ∵弦CD 垂直于直径AB 于点F ，∴CF ＝FD ，
∴CF ＝12CD ＝12×253＝256，∴EF ＝CF －CE ＝256－3＝76
. 在Rt △AFE 中，sin ∠EAF ＝EF AE ＝763＝718.
17．解：如图，设残破的轮片的圆心为O ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，
延长OC 交⊙O 于点D ，则CD ＝8 cm ，AC ＝BC ＝12
AB ＝12 cm .连结OB.设⊙O 的半径为R cm ，由勾股定理，得R 2＝122＋(R －8)2，解得R ＝13，∴残破的轮片的直径为26 cm .。