2020年吉林高三二模理科数学试卷(含答案和解析)
2020年吉林高三二模理科数学试卷注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。
一、标题1.集合的子集的个数是（ ）．A. B. C. D.2.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ）．A.数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的C.数据中可能有极端大的值D.数据中众数可能和中位数相同4.“”是”，”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（ ）．A.B.C.6.已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.7.已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ）．A.B.C.D.8.如图，正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（ ）．A.直线B.直线C.直线D.直线9.我国宋代数学家秦九韶（）在《数书九章》（）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．其实质是根据三角形的三边长，，来三角形面积，即．若的面积，，，则等于（ ）．B.C.或D.或10.已知双曲线的焦距为．点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）．A.B.C.D.11.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.12.如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足则等于（ ）．A.B.C.D.13.在空间直角坐标系中，，，，，则四面体的外接球的体积为 ．14.直线（，）过圆的圆心，则的最小值是 ．15.若函数在区间上恰有个不同的零点，则正数的取值范围是 ．16.关于函数有下列四个命题：①函数在上是增函数；②函数的图象关于中心对称；③不存在斜率小于且与数的图象相切的直线；④函数的导函数不存在极小值．其中正确的命题有 ．（写出所有正确命题的序号）（1）（2）17.已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且，，成等差数列．求的通项公式．若数列满足，求的值．（1）（2）18.如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，， , 是棱的中点．证明：．求二面角的余弦值．19.已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足．（1）（2）求的面积．若，求的最大值．（1）（2）（3）20.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域．现随机抽取了某阅读区本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）．文学类专栏科普类专栏其他类专栏文学类图书科普类图书其他图书根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率．根据统计数据估计图书分类错误的概率．假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为，，，其中，，，当，，的方差最大时，求，的值，并求出此时方差的值．（1）（2）21.设函数．若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围．若，证明：．（1）（2）22.已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线．求曲线的方程．若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程．2020年吉林高三二模理科数学试卷答案注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。
一、标题1.集合的子集的个数是（ ）．A. B. C. D.【答案】D解析:集合．所以集合的子集个数为．故选．2.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B解析:∵，∴，，，，，复数在复平面内对应的点在第二象限内．故选．3.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ）．A.数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的C.数据中可能有极端大的值D.数据中众数可能和中位数相同【答案】B解析:若一组数据的中位数比平均数小很多，可能是数据中有异常值，即数据中可能有极端大的值．中位数和众数是否相同和平均数无关．因为是中位数比平均数小很多，故数据不是近似对称．故选．4.“”是”，”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B解析:若，则，或，，解得，或，．所以不是，的充分条件．若，，则，，所以是，的必要条件．综上所述，是，的必要不充分条件．故选．5.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（ ）．A.B.C.D.【答案】D6.已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.【答案】B解析:实数，满足线性约束条件，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示阴影部分为可行域，目标函数，变形为，斜率为，随变化的一组平行直线，当直线经过可行域中，点时有最小值，解方程组，解得点坐标为，．故选．7.已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ）．A.B.C.D.【答案】B解析:∵抛物线的准线为：，圆，，圆心为，半径为，由圆与抛物线准线相切，∴圆心到距离为，则，．故选．8.如图，正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（ ）．A.直线B.直线C.直线D.直线【答案】C9.我国宋代数学家秦九韶（）在《数书九章》（）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．其实质是根据三角形的三边长，，来三角形面积，即．若的面积，，，则等于（ ）．A.B.C.或D.或【答案】C解析:∵，，，，∴，，，，，，∵为正数，∴或．故选．10.已知双曲线的焦距为．点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）．A.B.C.D.【答案】A解析:双曲线焦距为，则其焦点为，．右顶点，令，则．∴双曲线的渐近线为．由到渐近线为距离为．则．解得．又由，即，．所以双曲线的离心率．故选．11.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.【答案】B解析:∵，∴．∵，∴．∵，，∴．综上可知，．故选．12.如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足则等于（ ）．A.B.C.D.【答案】D解析:∵为的中点，为中点，∴为三中线的交点，∴，又，∴，，．又，∴，∴，又．而．∴，，∴．又，，∴，∴．故选．13.在空间直角坐标系中，，，，，则四面体的外接球的体积为 ．【答案】解析:如图，运用补形的思想，四面体的外接球即为长方体的外接球，，．四面体14.直线（，）过圆的圆心，则的最小值是 ．【答案】解析:由圆，标准式为，则圆心．∵直线（，）过点，∴，（）．由，当时等号成立，所以，故最小值为．15.若函数在区间上恰有个不同的零点，则正数的取值范围是 ．【答案】解析:函数，由函数在上恰有个零点，，则，或 ，，函数的零点为，，，，所以，解得．16.关于函数有下列四个命题：①函数在上是增函数；②函数的图象关于中心对称；③不存在斜率小于且与数的图象相切的直线；④函数的导函数不存在极小值．其中正确的命题有 ．（写出所有正确命题的序号）【答案】①②③解析:∵，∴．∴时，，时，，时，，∴在上是增函数．故①对．对于②：∵，，．令，∴，，∴．将代入，∴关于中心对称，故②对．对于③：∵．∴时，，∴斜率最小为．故不存在斜率小于且与图象相切的直线．故③对．对于④：∵，∴．令，∴，∴当时，，当时，，∴为极小值点，无极大值点，即的导函数不存在极大值．故④错．综上所述：正确命题为①②③．17.已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且，，成等差数列．（1）（2）（1）（2）求的通项公式．若数列满足，求的值．【答案】（1）（2）．．解析:∵是等比数列，且，，成等差数列，∴，即，∴，解得：或，∵，∴，∵，∴．∵，∴．18.如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，,是棱的中点．（1）（2）（1）（2）证明：．求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）证明见解析．．解析:∵平面，∴四边形是矩形，∵为中点，且 ，∴，∵，，∴ ，，∵，∴与相似，∴；，，∴∵，∴平面，∴平面，∵平面，∴，∴平面，∴．如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，，解得： ，同理，平面的法向量，设二面角的大小为，则．即二面角的余弦值为．（1）（2）19.（1）（2）已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足．求的面积．若，求的最大值．【答案】（1）（2）．．解析:在中，，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴当时，取最大值．（1）（2）（3）20.（1）（2）（3）为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域．现随机抽取了某阅读区本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）．文学类专栏科普类专栏其他类专栏文学类图书科普类图书其他图书根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率．根据统计数据估计图书分类错误的概率．假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为，，，其中，，，当，，的方差最大时，求，的值，并求出此时方差的值．【答案】（1）（2）（3）．．．解析:由题意可知，文学类图书共有本，其中正确分类的有本，所以文学类图书分类正确的概率．图书分类错误的共有本，因为图书共有本，所以图书分类错误的概率 ．，，的平均数 ，所以方差，∵，，∴当，时，取最大值．（1）（2）21.（1）（2）设函数．若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围．若，证明：．【答案】（1）（2）．证明见解析．解析:因为在上单调递减，所以，即在上恒成立．因为在上是单调递减的，所以，所以．因为，所以．由（）知，当时，在上单调递减，所以，即，所以．（1）（2）22.已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线．求曲线的方程．若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程．【答案】（1）（2）（1）（2）（）．的最小值为，此时直线．解析:设，则，即，整理得（）．设，将其与曲线的方程联立，得，即，设，，则，，，将直线与联立，得，∴，∴．设，显然，构造，在上恒成立，所以在上单调递增，所以．当且仅当，即时取“”，即的最小值为，此时直线．。
【精校】2020年吉林省吉林市高考二模数学理
2020年吉林省吉林市高考二模数学理一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.已知U=R，M={x|-l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则(ðU M)∩N=( )A.{x|2≤x≤3}B.{x|2＜x≤3}C.{x|x≤-1，或2≤x≤3}D.{x|x＜-1，或2＜x≤3}解析：利用补集的定义求出集合M的补集；借助数轴求出(ðu M)∩N.答案：D.2.如果复数z=21i-+，则( )A.|z|=2B.z的实部为1C.z的虚部为-1D.z的共轭复数为1+i解析：直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案. 答案：C.3.下列关于命题的说法错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”B.“a=2”是“函数f(x)=log a x在区间(0，+∞)上为增函数”的充分不必要条件C.若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D.命题“∃x∈(-∞，0)，2x＜3x”是真命题解析：选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项B看由a=2能否得到函数f(x)=log a x在区间(0，+∞)上为增函数，反之又是否成立；选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式.答案：D.4.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，b=3，c=2，则∠A=( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析：根据题意和余弦定理求出cosA的值，由A的范围求出角A的值.答案：C.5.函数f(x)=1x+ln|x|的图象大致为( )A. B. C. D.解析：当x＜0时，函数f(x)=1x+ln(-x)，由函数的单调性，排除CD；当x＞0时，函数f(x)=1x+ln(x)，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，答案：B.6.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )A.-2B.12C.-1D.2解析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 答案：B.7.设{a n }是公差不为零的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则该数列的前10项和等于( ) A.-10 B.-5 C.0 D.5解析：设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a 1+a 10=0，则可求得数列的前10项和等于0. 答案：C.8.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为( )A.4πB.283π C.443πD.20π解析：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积. 答案：B.9.已知2x ，把f(x)的图象向右平移12π个单位，再向上平移2个单位，得到y=g(x)的图象，若对任意实数x ，都有g(α-x)=g(α+x)成立，则g(α+4π)+g(4π)=( ) A.4 B.3 C.2 D.32解析：由条件利用三角函数的恒等变换求得g(x)的解析式，再根据题意可得g(x)的图象关于直线x=α对称，再根据正弦函数的图象的对称性求得α的值，可得g(α+4π)+g(4π)的值. 答案：A.10.在等腰直角△ABC 中，AC=BC ，D 在AB 边上且满足：()1CD tCA t CB =+-u u u r u u u r u u u r，若∠ACD=60°，则t 的值为( )A.12C.2D.12解析：易知A ，B ，D 三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可. 答案：A.11.已知双曲线C 1：24x -y 2=1，双曲线C 2：2222x y a b -=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S V =16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( )A.32B.16C.8D.4解析：求得双曲线C 1的离心率，求得双曲线C 2一条渐近线方程为y=bax ，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长. 答案：B.12.已知函数f(x)=1|2|0210x e x x x x -⎧⎪⎨--+≤⎪⎩，＞，，若关于x 的方程f 2(x)-3f(x)+a=0(a ∈R)有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( ) A.(0，14) B.(13，3) C.(1，2) D.(2，94) 解析：画出函数的图象，利用函数的图象，判断f(x)的范围，然后利用二次函数的性质求解a 的范围. 答案：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知O 是坐标原点，点A(-1，1).若点M(x ，y)为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是_____.解析：先画出满足约束条件212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入OA OM ⋅u u u r u u u u r 分析比较后，即可得到OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围.答案：[0，2].14.已知|a r |=2，|b r |=2，a r 与b r 的夹角为45°，且λb r -a r 与a r垂直，则实数λ=_____. 解析：根据向量λb r -a r 与向量a r 垂直⇔(λb r -a r )·a r=0再结合两向量数量积的定义即可求解..15.过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是_____.解析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线l 的方程，和抛物线方程联立，化为关于y 的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A ，B 两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解..16.艾萨克·牛顿(1643年1月4日-1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)零点时给出一个数列{x n }：满足x n+1=x n -()()n n f x f x '，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数f(x)=ax 2+bx+c(a＞0)有两个零点1，2，数列{x n }为牛顿数列，设a n =ln 21n n x x --，已知a 1=2，x n ＞2，则{a n }的通项公式a n =_____.解析：由已知得到a ，b ，c 的关系，可得f(x)=ax 2-3ax+2a ，求导后代入x n+1=xn-()()n n f x f x '，整理可得2112211n n n n x x x x ++--=--⎛⎫ ⎪⎝⎭，两边取对数，可得ln 21n n x x --是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求导答案.答案：2n.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)(M ＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2a-c)cosB=bcosC ，求f(2A)的取值范围.解析：(1)根据图象求出A ，ω 和φ，即可求函数f(x)的解析式；(2)利用正弦定理化简，求出B ，根据三角内角定理可得A 的范围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论答案：(1)由图象知A=1，T=4(5126ππ-)=π，∴ω=2， ∴f(x)=sin(2x+φ)∵图象过(6π，1)，将点(6π，1)代入解析式得sin(3π+φ)=1， ∵|φ|＜2π，∴φ=6π故得函数f(x)=sin(2x+6π).(2)由(2a-c)cosB=bcosC ，根据正弦定理，得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)， ∴2sinAcosB=sinA. ∵A ∈(0，π)， ∴sinA ≠0，∴cosB=12，即B=3π ∴A+C=23π，即0＜A ＜23π那么：f(2A )=sin(A+6π)，0＜A ＜23π，6π＜A+6π＜56π，sin(A+6π)∈(12，1]故得f(2A)∈(12，1].18.已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3=3，S 3=9 (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =2233log n a +，且{b n }为递增数列，若c n =14n n b b +⋅，求证：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜1.解析：(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，根据等比数列的前n 项和公式，从而解得； (Ⅱ)讨论可知a 2n+3=3·(-12)2n =3·(12)2n，从而可得b n =2233log n a +=2n ，利用裂项求和法求和.答案：(Ⅰ)设数列{an}的公比为q ， ①当q=1时，符合条件a 1=a 3=3，a n =3.②当q ≠1时，()21313191a q a q q ⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2121319a q a q q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩解得a 1=12，q=-12，所以a n =12×(-12)n-1.综上所述：数列{a n }的通项公式为a n =3(q=1)或a n =12×(-12)n-1.(Ⅱ)证明：若a n =3，则b n =0，与题意不符； 故a 2n+3=3·(-12)2n =3·(12)2n， 故b n =2233log n a +=2n ，故c n =14111n n b b n n +=-⋅+，故c 1+c 2+c 3+…+c n =1-111111122311n n n +-+⋯+-=-++＜1.19.某车间20名工人年龄数据如表：(Ⅰ)求这20名工人年龄的众数与平均数；(Ⅱ)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(Ⅲ)从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率.解析：(Ⅰ)利用车间20名工人年龄数据表能求出这20名工人年龄的众数和平均数. (Ⅱ)利用车间20名工人年龄数据表能作出茎叶图.(Ⅲ)记年龄为24岁的三个人为A1，A2，A3；年龄为26岁的三个人为B1，B2，B3，利用列举法能求出这2人均是24岁的概率.答案：(Ⅰ)由题意可知，这20名工人年龄的众数是30，这20名工人年龄的平均数为x=120(19+3×28+3×29+5×30+4×31+3×32+40)=30，(Ⅱ)这20名工人年龄的茎叶图如图所示：(Ⅲ)记年龄为24岁的三个人为A1，A2，A3；年龄为26岁的三个人为B1，B2，B3，则从这6人中随机抽取2人的所有可能为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}共15种.满足题意的有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}3种，故所求的概率为P=31 155=.20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°.点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.(Ⅰ)求证：AB∥EF；(Ⅱ)若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值.解析：(Ⅰ)推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF.(Ⅱ)取AD中点G，连接PG，GB，以G为原点，GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的二面角的正弦值.答案：(Ⅰ)∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF解：(Ⅱ)取AD 中点G ，连接PG ，GB ，∵PA=PD ，∴PG ⊥AD ， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PG ⊥平面ABCD∴PG ⊥GB ，在菱形ABCD 中，∵AB=AD ，∠DAB=60°，G 是AD 中点，∴AD ⊥GB ， 如图，以G 为原点，GA 、GB 、GP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G-xyz由PA=PD=AD=2得，G(0，0，0)，A(1，0，0)，B(00)，C(-20)，D(-1，0，0)，P(0，0又∵AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，∴点F 是棱PD 中点，∴F(-12，0)，AF u u u r =(-32，0，AB u u u r =(-1，0)，设平面AFE 的法向量为n r=(x ，y ，z)，则有00n AF n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，∴z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令x=3，则平面AFE 的一个法向量为n r=(3， ∵BG ⊥平面PAD ，∴GB uuu r=(00)是平面PAF 的一个法向量，|cos ＜n r ，GB uuu r ＞|=13n GB n GB⋅==⋅r u u u rr u u u r ， ∴平面PAF 与平面AFE 所成的二面角的正弦值为：sin ＜n r ，GB uuu r ＞=.21.如图，椭圆E ：2224x y b+=1(0＜b ＜2)，点P(0，1)在短轴CD 上，且PC PD ⋅u u u r u u u r=-2(Ⅰ) 求椭圆E 的方程及离心率；(Ⅱ) 设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解析：(Ⅰ)由已知可得点C ，D 的坐标分别为(0，-b)，(0，b).结合PC PD ⋅u u u r u u u r =-2列式求得b ，则椭圆方程可求，进一步求出c 可得椭圆的离心率；(Ⅱ)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2).联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横坐标的和与积OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，可知当λ=2时，OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r =-7为定值.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，仍有2OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =-3-4=-7，故存在常数λ=2，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值-7.答案：(Ⅰ)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，-b)，(0，b).又点P 的坐标为(0，1)，且PC PD ⋅u u u r u u u r =-2，即1-b 2=-2，解得b 2=3. ∴椭圆E 方程为2243x y +=1. ∵=1，∴离心率e=12； (Ⅱ)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得(4k 2+3)x 2+8kx-8=0. 其判别式△＞0，x 1+x 2=2843k k -+，x 1x 2=2843k -+. 从而，OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r =x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)]=(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=()222281143424)343(k k k k λλ-++-+-=++-2λ-3，当λ=2时，24243k λ-+-2λ-3=-7， 即OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r =-7为定值. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时2OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =-3-4=-7，故存在常数λ=2，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值-7.22.设函数f(x)=(x+b)lnx ，g(x)=alnx+12a -x 2-x(a ≠1)，已知曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y=0垂直.(1)求b 的值；(2)若对任意x ≥1，都有g(x)＞1a a -，求a 的取值范围. 解析：(1)求出函数导数，由两直线垂直斜率之积为-1，解方程可得b ； (2)求出导数，对a 讨论，①若a ≤12，则1a a -≤1，②若12＜a ＜1，则1a a -＞1，③若a ＞1，分别求出单调区间，可得最小值，解不等式即可得到所求范围.答案：(1)直线x+2y=0的斜率为-12， 可得曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)=2，又f ′(x)=lnx+b x+1，即ln1+b+1=2，所以b=1. (2)g(x)的定义域为(0，+∞)，g ′(x)= b x+(1-a)x-1=()1a x a x --(x-1). ①若a ≤12，则1a a-≤1，故当x ∈(1，+∞)时，g ′(x)＞0，g(x)在(1，+∞)上单调递增. 所以，对任意x ≥1，都有g(x)＞1a a -的充要条件为g(1)＞1a a -，即112a --＞1a a -，解得a ＜-1-1＜a ≤12②若12＜a ＜1，则1a a -＞1，故当x ∈(1，1a a-)时，g ′(x)＜0； 当x ∈(0，1)，(1a a-，+∞)时，g ′(x)＞0. f(x)在(1，1a a -)上单调递减，在(0，1)，(1a a-，+∞)上单调递增. 所以，对任意x ≥1，都有g(x)＞1a a -的充要条件为g(x)＞1a a -.而g(x)=aln ()212111a a a a a a a a ++----＞在12＜a ＜1上恒成立， 所以12＜a ＜1 ③若a ＞1，g(x)在[1，+∞)上递减，不合题意.综上，a 的取值范围是(-∞，∪-1，1).考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2020年吉林省高考数学二模试卷(理科)(有解析)
2020年吉林省高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|−2⩽x <3},B ={0,2,4}，则A ∩B =( )A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2. 复数z =i1+i (i 为虚数单位)的模长是( )A. 12B. √22C. 1D. 23. 若向量a ⃗ =(2,k)，b ⃗ =(−1,2)，满足a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k =( ) A. −1B. 1C. 4D. 04. 已知tan(α+β)=25,tan(β+π4)=14，则tan(a −π4)的值为( )A. 16B. 2213C. 322D. 13185. 如图中的程序框图运行结果M 为( )A. 3B. 13 C. 32 D. 16. 双曲线C ：x 24−y 22=1的离心率为( )A. √22B. √62C. √24D. √647. 在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3+a 11−3a 5=10，则15a 4=( )A. −1B. 0C. 1D. 28. 函数f(x)={(12)x −1,−1≤x ≤0x 2,0<x ≤2，若方程f(x)=x +a 恰有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,14)B. [−1,14]C. [−14,2]D. (−14,2]9.某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是()A. 23B. 43C. 4D. 2√5310.将函数的图象向右平移π6个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为()A. 7B. 6C. 5D. 411.将正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，则直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°12.设f(x)=13x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为()A. B.C. D. [−√5,√5]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知n≥3，若对任意的x，都有(x+2)n=a0(x−1)n+a1(x−1)n−1+135⋅(x−1)n−2+⋯+a n，则n=______．14.已知数列{a n}中，a2=2，a n+1−2a n=0，那么数列{a n}的前6项和是______．15.已知满足{x≥2x+y≤42x−y−m≤0 ，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则z的最小值为______．16.已知P是抛物线y2=4x上任意一点，Q是圆(x−4)2+y2=1上任意一点，则|PQ|的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．(1)若bcosA=c，求B；(2)若bsinA=c，求a2+b2+c2ab的最大值．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是BC和CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4，∠BAC=90°．(Ⅰ)求证：B1D⊥平面AED；(Ⅱ)求二面角B1−AE−D的余弦值．19.随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数510151055手机支付4610620(1)若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为X，求X的分布列及数学期望；(2)把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明能否有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联？(附)参考公式：(k2=n×(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d)临界值表：20.(1)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线√7x−√5y+12=0相切．求椭圆C的方程；(2)已知⊙A1：(x+2)2+y2=12和点A2(2,0)，求过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P的轨迹方程．21. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +5，曲线y =f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y =3x +1．(1)求a ，b 的值；(2)求y =f(x)在[−3,1]上的最大值．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =sinα ,y =2cosα(α为参数)，直线l 过点P (0,1)． (1)求曲线C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求|PA|⋅|PB|的取值范围．23. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)=x 2−2x −3(x >0)．(Ⅰ) 若函数g(x)=|f(x)|−a 有4个零点，求实数a 的取值范围； (Ⅱ) 求|f(x +1)|≤4的解集．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题 解：集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={0,2,4}， 所以A ∩B ={0,2}． 故选B ．2.答案：B解析：本题考查复数的模的求法，及复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题． 解：z =i1+i =i (1−i )(1+i )(1−i )=i+12=12+12i ，复数模长：|z |=√(12)2+(12)2=√22，故选B ．3.答案：B解析：解：∵向量a ⃗ =(2,k)，b ⃗ =(−1,2)，满足a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−2+2k =0， 解得实数k =1． 故选：B ．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.答案：C解析：本题考查了正切的差角公式，属于基础题．利用tan(α−π4)=tan[(α+β)−(β+π4)]即可求解．解：由题意可知，tan(α−π4)=tan[(α+β)−(β+π4)]=25−141+25×14=322，故选C．5.答案：C解析：解：执行程序框图，有x=1y=2M=32故选：C．执行程序框图，依次写出得到的x，y，M的值即可．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．6.答案：B解析：解：双曲线C：x24−y22=1，可得a=2，b=√2，则c=√6．双曲线的离心率为：√62．故选：B．利用双曲线方程求出a，b，c，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．7.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式即可得出．解：设公差为d≠0的等差数列{a n}，∵4a3+a11−3a5=10，∴2a 1+6d =10，即a 1+3d =5=a 4， 则15a 4=1． 故选：C ．8.答案：D解析：解：方程f(x)=x +a 恰有两个不相等的实数根 等价于函数y =f(x)与y =x +a 图象恰有两个不同的交点，由图象可知当直线介于两红色线之间时符合题意， ∵a 为直线的截距，由图易得上面直线的截距为2， 由{y =a +a y =x 2可得x 2−x −a =0，由△=0可得a =−14 ∴a 的取值范围为：a ∈(−14,2] 故选：D问题等价于函数y =f(x)与y =x +a 图象恰有两个不同的交点，数形结合可得． 本题考查函数的零点，转化和数形结合是解决问题的关键，属基础题．9.答案：B解析：解：根据三视图知，该几何体是底面为平行四边形的四棱锥P −ABCD ，如图所示；则该四棱锥的高为2，底面积为1×2=2， 所以该四棱锥的体积是V =13×2×2=43． 故选：B ．根据三视图知该几何体是底面为平行四边形的四棱锥，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．10.答案：C解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ω的最小值．解：∵将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin(ωx−ωπ6+π3)的图象关于y轴对称，∴−ωπ6+π3=kπ+π2，k∈Z，ω=−6k−1，因为ω>0，所以当k=−1时，ω的最小值为5，故选：C．11.答案：B解析：解：如图，当平面BAC⊥平面DAC时，取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE，cos∠DBE=BEBD =√22，∴∠DBE=45°．故选：B．当平面BAC⊥平面DAC时，取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE，由此能求出结果．本题考查直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．12.答案：C解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，分离参数的应用，构造函数求最值，考查恒成立方法的应用，属于中档题．由题意得f ′(x)=x 2+2ax +5≥0或f ′(x)=x 2+2ax +5≤0恒成立，分离参数得a ≥−x 2−52x或a ≤−x 2−52x在x ∈[1,3]时恒成立，利用导数求y =−x 2−52x的最值即可．解：f(x)=13x 3+ax 2+5x +6在区间[1,3]上为单调函数，又f ′(x)=x 2+2ax +5， 若函数f(x)在[1,3]单调递增，则有f ′(x)=x 2+2ax +5≥0恒成立， 故a ≥−x 2−52x在x ∈[1,3]时恒成立， 令g(x)=−x 2−52x，则g′(x)=−x 2+52x 2，令g′(x)=0，得x =±√5，所以g(x)在[1,√5)单调递增，在(√5,3]单调递减， 又g(1)=−3，g(√5)=−√5，g(3)=−73，所以g(x)在[1,3]上的最大值为g(√5)=−√5，最小值为g(1)=−3， 所以a ≥(−x 2−52x)max =−√5；若函数f(x)在[1,3]单调递减，则有f′(x)=x 2+2ax +5≤0恒成立， 故a ≤−x 2−52x在x ∈[1,3]时恒成立，所以a ≤(−x 2−52x)min =−3． 综上所述，a 的取值范围为．故选C ．13.答案：6解析：根据题意，分析有(x +2)n =[(x −1)+3]n ，由二项式定理求出其展开式，结合题意分析可得C n 2×32=135，即C n 2=15，解可得n 的值，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是(x +2)的变形，属于基础题．解：根据题意，(x +2)n =[(x −1)+3]n ，其展开式为：T r+1=C nr(x −1)n−r ×3r ， 又由(x +2)n =a 0(x −1)n +a 1(x −1)n−1+135⋅(x −1)n−2+⋯+a n ，则有C n 2×32=135，即C n 2=15，解可得：n =6．故答案为6．14.答案：63解析：解：∵a 2=2，a n+1−2a n =0， ∴a n+1=2a n ，∴2a 1=2，解得a 1=1． ∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2， ∴S 6=26−12−1=63．故答案为：63．利用等比数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了等比数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：5解析：解：不等式组对应的平面区域如图： 由z =3x +y 得y =−3x +z平移直线y =−3x +z ，则由图象可知当直线y =−3x +z 经过点C 时，直线y =−3x +z 的截距最大，此时z 最大，为3x +y =10由{3x +y =10x +y =4，解得{x =3y =1，即C(3,1)，此时C 在2x −y −m =0上， 则m =5．当直线y =−3x +z 经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小，此时z 最小， 由{x =22x −y −5=0，得{x =2y =−1，即A(2,−1)， 此时z =3×2−1=5， 故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值．然后即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：2√3−1解析：本题考查抛物线与圆的位置关系的应用，距离的最小值的求法，是中档题．设点P的坐标为(14m2,m)，圆(x−4)2+y2=1的圆心坐标A(4,0)，求出|PA|的最小值，即可得到|PQ|的最小值．解：设点P的坐标为(14m2,m)，圆(x−4)2+y2=1的圆心坐标A(4,0)，∴|PA|2=(14m2−4)2+m2=116(m2−8)2+12≥12，∴|PA|≥2√3，∵Q是圆(x−4)2+y2=1上任意一点，∴|PQ|的最小值为2√3−1，故答案为：2√3−1．17.答案：解：(1)因为bcosA=c，由正弦定理得sinBcosA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB=0，因为0<A<π，sinA≠0，所以cosB=0，B=π2，(2)因为bsinA=c，由正弦定理得sinBsinA=sinC，由余弦定理得，当C=π4时，a2+b2+c2ab可取最大值2√2．解析：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，难度一般，(1)正弦定理结合已知条件和角的取值范围可得答案；(2)直接应用正弦定理余弦定理结合bsinA=c可得答案．18.答案：解：(Ⅰ)依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，∵AB=AC=AA1=4，∴A(0,0，0)，B(4,0，0)，E(0,4，2)，D(2,2，0)，B1(4,0，4)，∴B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，−4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，2)， ∵B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+4+0=0， ∴B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1D ⊥AD ， ∵B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+8−8=0， ∴B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1D ⊥AE ，又AD ，AE ⊂平面AED ，且AD ∩AE =A ， 则B 1D ⊥平面AED ；(Ⅱ)由(Ⅰ)知B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，−4)，为平面AED 的一个法向量， 设平面B 1AE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，2)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，4)， ∴{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{4y +2z =04x +4z =0，令y =1，得x =2，z =−2，即n⃗ =(2,1，−2)， ∴cos(n ⃗ ,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=n⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√9×√24=√66， ∴二面角二面角B 1−AE −D 的余弦值为√66．解析：(Ⅰ)建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别计算B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，利用直线与平面垂直的判定定理可证B 1D ⊥平面AED ；(Ⅱ)由(Ⅰ)分别求出平面AED 和平面B 1AE 一个法向量；利用空间两个向量的夹角公式即可求出二面角B 1−AE −D 的余弦值．此题考查了二面角及求法，直线与平面垂直的判定，锻炼了学生空间想象能力和逻辑推理能力，熟练掌握二面角的求法及直线与平面垂直的判定方法是解本题的关键．19.答案：解：(1)年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中使用手机支付的有2人，则抽取的2人中使用手机支付的人数X 可能取值为0，1，2．∴p (X =0)=C 32C 52=310;P (X =1)=C 31C 21C 52=35;P (X =2)=C 22C 52=110．∴X的分布列为：∴E(X)=0×310+1×35+2×110=45;(2)2×2列联表如图所示，∵K2=50×(20×12−8×10)20×30×28×22=800231≈3.463<3.841，∴没有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联．解析：本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望及独立性检验．(1)由随机变量的X的所有可能取值为0，1，2，求得对应的概率，得到分布列，求得数学期望；(2)由列联表，代入公式，K2=50×(20×12−8×10)20×30×28×22=800231≈3.463<3.841，得到结果．20.答案：解：(1)由题意得{ca =12√7+5=ba2=b2+c2，解得a=4，b=2√3，c=2故椭圆C的A1方程为x216+y212=1.(2)⊙A1：(x+2)2+y2=12和点A2(2,0)，过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P满足：||PA 1|−|PA 2||=2√3<|A 1A 2|故P 点的轨迹为以A 1，A 2为焦点的双曲线2a =2√3,c =2,解得a =√3,b =1圆心P 的轨迹方程为：x 23−y 2=1解析：(1)利用椭圆的离心率以及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线√7x −√5y +12=0相切，列出方程组求解a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)判断P 点的轨迹为以A 1，A 2为焦点的双曲线，求出a ，b ，即可得到双曲线方程． 本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)由f(x)=x 3+ax 2+bx +5得，f′(x)=3x 2+2ax +b ，∴y =f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为： y −f(1)=f′(1)(x −1)，即y −(a +b +6)=(3+2a +b)(x −1)， 整理得y =(3+2a +b)x +3−a ．又∵y =f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y =3x +1， ∴{3+2a +b =33−a =1，解得{a =2b =−4，∴a =2，b =−4．(2)由(1)知f(x)=x 3+2x 2−4x +5， f′(x)=3x 2+4x −4=(3x −2)(x +2)， 令f′(x)=0，得x =23或x =−2． 当x 变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表：∴f(x)的极大值为f(−2)=13，极小值为f(23)=9527， 又∵f(−3)=8，f(1)=4， ∴f(x)在[−3,1]上的最大值为13．解析：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值关系，属于中档题． (1)先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出a 和b 的值；(2)由(1)求出f′(x)，再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程为为参数)， 根据得曲线C 的标准方程为x 2+y 24=1；(2)设直线l 的参数方程为代入椭圆方程得：，则，又因为，∴|PA|⋅|PB|的取值范围为[34,3]．解析：本题考查椭圆的参数方程，直线的参数方程的几何意义，基础题． (1)根据消去参数α，直接得到曲线C 的标准方程；(2)设直线l 的参数方程为代入椭圆方程利用韦达定理求解，根据三角函数的值域求解即可．23.答案：(本小题满分12分)解：(Ⅰ)因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)=x 2−2x −3(x >0)， 则f(x)={x 2−2x −3,(x >0)0,(x =0)−x 2−2x +3,(x <0).…(2分) 从而可得函数y =f(x)与y =|f(x)|的图象分别如下图所示．…(4分)因为函数g(x)=|f(x)|−a有4个零点，则题设可等价转化为函数y=|f(x)|与函数y=a的图象有4个交点．…(5分)由右上图可知，a=4或0<a≤3，…(6分)即：当a=4或0<a≤3时，函数g(x)=|f(x)|−a有4个零点．…(7分)(Ⅱ)令f(x)=4得，x=2√2+1或−1，…(8分)因为f(x)是定义在R上的奇函数，当f(x)=−4时，解得x=−2√2−1或1…(9分)结合左上图可知，|f(x+1)|≤4⇔−2√2−1≤x+1≤2√2+1，…(10分)即：−2√2−2≤x≤2√2.…(11分)所以所求解集为[−2√2−2,2√2].…(12分)解析：(Ⅰ)利用f(x)是定义在R上的奇函数，求出函数的解析式，画出函数y=f(x)与y=|f(x)|的图象，利用函数g(x)=|f(x)|−a有4个零点，转化为函数y=|f(x)|与函数y=a的图象有4个交点．推出实数a的取值范围即可．(Ⅱ)令f(x)=4得，x=2√2+1或−1，利用函数f(x)是定义在R上的奇函数，结合图象，求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的图象的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用，考查计算能力．。
【2020年数学高考】吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测(二)数学理.doc
长春市普通高中2020届高三质量监测（二） 数学理科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的） 1. 已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B =A. (1,0)-B. (0,2)C. (2,0)-D. (2,2)- 2. 已知复数23()z m m mi m =-+∈R 为纯虚数，则m =A. 0B. 3C. 0或3D.43.设命题:(0,),ln 1p x x x ∀∈+∞-≤，则p ⌝是A. :(0,),ln 1p x x x ⌝∀∈+∞>-B. :(,0],ln 1p x x x ⌝∀∈-∞>-C. 000:(0,),ln 1p x x x ⌝∃∈+∞>-D. 000:(0,),ln 1p x x x ⌝∃∈+∞-≤ 4. 已知平面向量(1,3),(2,0)=-=-a b ，则|2|+=a bA. B. 3C. D. 55. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a =A. 4B. 10C. 16D. 326. 已知动点(,)M x y 满足线性条件200580x y x y x y -+⎧⎪+⎨⎪+-⎩……≤，定点(3,1)N ，则直线MN 斜率的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过2F 且垂直于长轴的直线交椭圆于,A B 两点，则△1ABF 内切圆的半径为A. 43B. 1C. 45D. 348. 已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y轴对称，则下列结论中不正确．．．的是 A. 56πϕ=B. (,0)12π是()f x 图象的一个对称中心 C. ()2f ϕ=- D. 6x π=-是()f x 图象的一条对称轴9. 若向区域{}(,)|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y =成区域内的概率为A.18 B. 16C.13 D. 1210. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为A. 2D. 311. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是A. 5(,2]3B. 5(1,]3C. (1,2]D. 5[,)3+∞12. 若关于x 的方程2(ln )ln x ax x x -=存在三个不等实根，则实数a 的取值范围是A. 1(,)e e -∞-B. 211(,0)e e -C. 211(,)e e -∞-D. 1(,0)e e-二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 52)x x-（的展开式中含x 项的系数为___________.14. 更相减损术是出自《九章算术》的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入91,39a b ==，则输出的值为_____.15. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.已知同底的两个正四棱锥内接于同一个球，它们的底面边长为a ，球的半径为R ，设两个正四棱锥的侧面与底面所成的角分别为,αβ，则tan()αβ+= ___________.16.在数列{}n a 中，10a =，且对任意k *∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为2k ，则n a =________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其面积2sin S b A =.(1)求cb的值； =-ab(2) 设内角A 的平分线AD 交BC 于D ，AD =a = b .18. （本小题满分12分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.(1) 现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X 表示质量在[300,350)内的芒果个数，求X 的分布列及数学期望.(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案： A ：所以芒果以10元/千克收购；B ：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购. 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 19. （本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，1224,23A DBC CD ===.（1）证明：11AD B D ⊥；（2）设E 是线段11A B 上的动点，是否存在这样的点E ，使得二面角1E BD A --的余弦值为7，如果存在，求出1B E 的长；如果不存在，请说明理由.20. （本小题满分12分）已知直线l 过抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为2. (1)求抛物线C 的方程;(2)若点(2,2)P ，过点(2,4)-的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k 和2k .求证：12k k 为定值，并求出此定值.21. （本小题满分12分）已知函数ln ()x xf x xe x=+. （1）求证：函数()f x 有唯一零点；（2）若对任意(0,)x ∈+∞，ln 1xxe x kx -+…恒成立,求实数k 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.已知曲线1C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与1C 交于A ,B 两点，与2C 交于,M N 两点，求||||||||FA FB FM FN 的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.已知函数()|23||36|f x x x =-+-. (1)求()2f x <的解集；(2) 若()f x 的最小值为T ,正数,a b 满足12a b +=T .长春市普通高中2020届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A 【命题意图】本题考查集合的运算. 【试题解析】A {|12},{|20},(A x xB x x A B =-<<=-<<=-.故选A. 2. B 【命题意图】本题考查复数的分类.【试题解析】B 3m =.故选B.3. C 【命题意图】本题考查含有一个量词的命题的否定.【试题解析】C 由含有一个量词的命题的否定. 故选C. 4. A 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算.【试题解析】A 由题意知，2(3,3)+=--a b ，所以|2|+=a b .故选A.5.C 【命题意图】本题主要考查等比数列知识.【试题解析】C 由6546a a a +=得260q q +-=，解得2q =，从而3522=16a a =⋅.故选C.6. C 【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识.【试题解析】C 根据可行域，当M 取(2,2)-时，直线MN 的斜率最大为3.故选 C. 7. D 【命题意图】本题考查椭圆的定义的应用.【试题解析】D 由题意知1ABF ∆的周长为8，面积为3，由内切圆的性质可知，其半径为34.故选D.8. C 【命题意图】本题考查三角函数的图象及性质.【试题解析】C 由题意可知5=6πϕ，故5()2sin(2)6f x x π=+，555()=2sin()2sin 2362f πππϕ+==.故选C. 9. B 【命题意图】本题主要考查定积分及几何概型的综合应用.【试题解析】B由直线y x =与曲线y =13122211)()326x dx x x=-=⎰，从而所求概率为16.故选B.10. D【命题意图】本题主要考查三视图问题.【试题解析】D 可在正方体中画出该三棱锥的直观图，进而算出其最长棱长为3.故选D. 11. B【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】B由双曲线定义可知22||3aPF=，从而23ac a≥-，双曲线的离心率取值范围为5(1,]3.故选B.12. A【命题意图】本题是考查函数的性质及零点的相关知识.【试题解析】A由题意知2ln ln()10x a xx x--=，令ln xtx=，210t at--=的两根一正一负，由ln xtx=的图象可知，1e<<，解得1(,)a ee∈-∞-. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 40【命题意图】本题考查二项展开式系数的算法.【试题解析】由52()xx-可知含x的项为33252()40C x xx-=，因此x的系数为40.14. 13【命题意图】本题考查程序框图的相关知识.【试题解析】由输入91,39a b==，代入程序框图计算可得输出的a的值为13.15.4Ra-【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】设OP t=，则tan2R taα+=，tan2R taβ-=，代入24tan tantan()()()1tan tan14RaR t R taαβαβαβ++==+--⋅-，又2222)22aR t-==，即4tan()Raαβ+=-.16.22()21()2nnnann⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶为奇【命题意图】本题考查数列通项公式的算法.【试题解析】由题意可知22()21()2nnnann⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶为奇三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法.【试题解析】（1）21sin sin 2S bc A b A ==，可知2c b =，即2cb=. （6分）（2）由角平分线定理可知，3BD =，3CD =，在ABC △中，22cos B =，在ABD △中，2444cos b B +-=222444b +-1b =. （12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及分布列的相关知识，同时利用统计学中的决策方案考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：（1）9个芒果中，质量在[250,300)和[300,350)内的分别有6个和3个.则X 的可能取值为0,1,2,3.363920(0)84C P X C ===，21633945(1)84C C P X C ===， 12633918(2)84C C P X C ===，33391(3)84C P X C ===X 的数学期望1810123184848484EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（6分）（2）方案A ：(1250.0021750.0022250.0032750.0083250.0043750.001)5010000100.00125750⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=元方案B ：低于250克：(0.0020.0020.003)501000027000++⨯⨯⨯=元高于或等于250克(0.0080.0040.001)5010000319500++⨯⨯⨯=元总计70001950026500+=元由2575026500<，故B 方案获利更多，应选B 方案. （12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连结BD ，11B D ，则由余弦定理可知11BD B D ⊥，由直棱柱1111ABCD A B C D -可知，11111111BB ABCD BB AB AB BDD B AB ABCD AB B D BD AB B D BDD B ⎫⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎪⎭⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭ 平面平面平面由余弦定理可知平面11BD B D ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪ ⊥⎭111111B D ABD AD B D AD ABD ⇒⊥⎫⇒⊥⎬ ⊂⎭平面平面（6分） （2）以B 为原点，以DB 方向为x 轴，以AB 方向为y 轴，以1BB 方向为z 轴，建立坐标系.(0,E m （0m <），(,0)B ，1(3,0,23)D -，(0,2,0)A -(0,BEm =，1(BD =-，1(,)n m m =-(0,2,0)BA =-，1(BD =-，2(1,0,1)n =cos 7θ==，又0m <，则1m =-，故1B E 长为1.（12分） 20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】（1）由题意可知，22p =，抛物线的方程为22x y =.（4分）（2）已知点(2,2)P ，设直线l 的方程为：4(2)y k x -=+11(,)A x y ，22(,)B x y ，则111112(2)222y k x k x x -++==--，222222(2)222y k x k x x -++==--，21212121212121212[(2)2][(2)2][2()4]2(4)4(2)(2)2()4k x k x k x x x x k x x k k x x x x x x +++++++++++==---++ 联立抛物线22x y =与直线4(2)y k x -=+的方程消去y 得22480x kx k ---= 可得122x x k +=，1248x x k =--，代入12k k 可得121k k =-. 因此12k k 可以为定值，且该定值为1-.（12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（1）21ln '()(1)xxf x x e x-=++， 易知'()f x 在(0,)e 上为正，因此()f x 在区间(0,1)上为增函数，又121()0ee ef e e-=<，(1)0f e =>因此1()(1)0f f e<，即()f x 在区间(0,1)上恰有一个零点，由题可知()0f x >在(1,)+∞上恒成立，即在(1,)+∞上无零点，则()f x 在(0,)+∞上存在唯一零点.（4分）（2）设()f x 的零点为0x ，即000ln 0xx x e x +=. 原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥，令ln 1()x xe x g x x --=，则ln '()x xxe x g x x+=，由（1）可知()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0()x +∞，上单调递增，故只求0()g x ， 下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则0ln x t x =-， 可得0000ln ln ln x tx x x t=-⎧⎨+=⎩，即0(1)ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左正右负不相等，只能1t =.因此0000000ln 1ln ()1x x e x x g x x x --==-=，即1k …求所求. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 （1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为24y x =；（5分）（2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）又直线l 与曲线2C ：24y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线1C ：2212x y +=可得22(1sin )2cos 10t t αα++-=则1221||||||1sin FA FB t t α⋅==+ 联立直线l 与曲线2C ：24y x =可得22sin 4cos 40t t αα--=，则1224||||||sin FM FN t t α⋅==即222221||||1sin 1111sin (0,]41||||41sin 481sin sin FA FB FM FN ααααα⋅+==⋅=⋅∈⋅++. （10分） 23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）333263()59()2233()|23||36|2363(2)3(2)222336(2)59(2)x x x x x f x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-+- <-+ <⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-+-=-+- =-+ ⎨⎨⎪⎪-+- >- >⎪⎪⎪⎪⎩⎩≤≤≤≤由图像可知：()2f x <的解集为711(,)55.（5分）（2）图像可知()f x 的最小值为1，12=，当且仅当a b =时，“=1T =. （10分）。
吉林省吉林市普通中学2020届高三第二次调研测试数学试题理 含解析
吉林省吉林市普通中学2020届高三第二次调研测试数学试题 理一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【答案】D先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题． 3.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ） A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的 C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同【答案】B根据中位数、平均数、众数的定义说明．【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B 错误． 故选：B ．【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础． 4.“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B先求出满足1cos 22α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由1cos 22α=-得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．5.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）A. 3y x =B. 3x y =C. ()21y x =--D.3log y x =【答案】D作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．【详解】如图，作出A ，B ，C ，D 中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线3log y x =的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D 是正确选项，故选：D ．【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．6.已知实数x ，y 满足线性约束条件10+20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y=+的最小值为（ ）A. 1-B. 1C. 5-D. 5 【答案】B首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：11x x y =⎧⎨+=⎩，可得点的坐标为：()1,1A -，据此可知目标函数的最小值为：min 2211z x y =+=-=. 故选B .【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.7.已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A. 1B. 2C.12D. 4【答案】B 【解析】因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！8.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A. 直线EFB. 直线GHC. 直线EHD. 直线1A B【答案】C根据线面平行的判定定理判断．【详解】首先四个选项的直线都不在平面1ACD 内，由中点及正方体的性质知//EF AC ，11////GH AC AC ，11//AB DC ，∴直线EF ，GH ，1A B 都与平面1ACD 平行，剩下的只有EH 不与平面1ACD 平行．实际上过A 作1CD 的平行线，这条平行线在平面1ACD 内且与EH 相交（它们都在平面11ABB A 内）． 故选：C ．【点睛】本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理．9.我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即222222142c a b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.若ABC ∆的面积112S =，3a =2b =，则c 等于（ ）A 5B. 9C.5 3D. 5或9把已知数据代入面积公式解方程即得．2=，2221111[3()]424c c --=，整理得4214450c c -+=，29c =或5，即c =或3．故选：C ．【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知,a b 代入面积公式解方程即可得．10.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）A.B.C. 2D. 3【答案】A由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率．【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y xa =，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．11.已知ln a π=，5log 2b =，12c e -=，则（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.c a b >>【答案】B首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与12比较． 【详解】首先125ln 1,0log 21,01eπ-><<<<，a 最大，其次551log 2log 2<=，1212e -=>=，∴c b >，∴a c b >>．【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较，如0，1，2等等．本题中是与12比较的． 12.如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A. 2B.5 C.23D.83【答案】D选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++5211BA BC =-⋅++ ，∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC ⋅22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置. 13.在空间直角坐标系O xyz -中，)2,0,0A，()0,3,0B ，()0,0,5C ，)2,3,5D，则四面体ABCD 的外接球的体积为______. 【答案】36π；由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体ABCD 外接球的直径．【详解】取(2,0,5),(2,3,0),(0,3,5),(0,0,0)E F G O ，则OAFB CEDG -是长方体，其对角线长为222(2)356l =++=，∴四面体ABCD 外接球半径为32lr ==． 334433633V r πππ==⨯=，故答案为：36π．【点睛】本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知．14.直线20+-=mx ny （0m >，0n >）过圆C ：222210x y x y +---=的圆心，则24m n+的最小值是______. 【答案】322+；求出圆心坐标，代入直线方程得,m n 的关系，再由基本不等式求得题中最小值．【详解】圆C ：222210x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)3x y -+-=，圆心为(1,1)C ， 由题意20m n +-=，即2m n +=， ∴241222()()332322m n m nm n m n m n n m n m+=++=++≥+⨯=+当且仅当2m n n m = ，即21),2(22)m n ==时等号成立， 故答案为：322+．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．15.若函数()1sin 262f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取值范围是______. 【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭；求出函数()f x 的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间[]0,π上，第四个零点在区间[]0,π外即可． 【详解】由()1sin 2062f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＝，得2(1)66k x k ππωπ+=+-⋅，k Z ∈， 1=[(1)]266k x k πππω+--⋅，k Z ∈， ∵(0)0f =，∴1(3)2661(4)266ππππωππππω⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ ，解得423ω≤<． 故答案为：4[,2)3．【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间[]0,π上．由此可得ω的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．16.关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题： ①函数()y f x =在()2,4-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于23且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③ 【解析】【分析】由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断． 【详解】函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--的定义域是(2,4)-， 由于()()()26ln 2ln 4lnln(1)44x f x x x x x+=+--==-+--， 614u x=-+-在(2,4)-上递增，∴函数()y f x =在()2,4-上是递增，①正确； (2)ln(4)ln(2)()f x x x f x -=--+=-，∴函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称，②正确；22116662'()2482(1)993f x x x x x x =+==≥=+-+---+，1x =时取等号，∴③正确； 2116'()2428f x x x x x =+=+--++，设()'()g x f x =，则2212(1)'()(28)x g x x x -=-++，显然1x =是()g x 即'()f x 的极小值点，④错误．故答案为：①②③.【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足12a =，且223,2,a S a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log n n b a =，求2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-的值.【答案】（1）()21*2n n a n N -=∈（2）20000-（1）由公比q 表示出232,,a a S ，由223,2,a S a 成等差数列可求得q ，从而数列的通项公式； （2）求（1）得n b ，然后对和式2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-两两并项后利用等差数列的前n 项和公式可求解．【详解】（1）∵{}n a 是等比数列，且223,2,a S a 成等差数列∴2234S a a =+，即()211114a a q a q a q +=+∴244q q q +=+，解得：1q =-或4q = ∵0q >，∴4q = ∵12a = ∴()121*242n n n a n N --=⋅=∈（2）∵2log 21n n b a n ==- ∴2222221357197199-+-+⋅⋅⋅+-()()()()()()13135757197199197199=-++-++⋅⋅⋅+-+ ()()21357199=-++++⋅⋅⋅+ 119921002+=-⋅⋅ 20000=-【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的n 项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．18.如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，6AA '=，M 是棱CC '的中点.（1）证明：AB A M ''⊥；（2）求二面角A MB A ''--的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【分析】（1）由侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，得可侧面与底面垂直，从而BC 与侧面AA C C ''垂直，因此有BC A M '⊥，即有B C A M '''⊥，于是只要证A M AC ''⊥即可有线面垂直，从而证AB A M ''⊥，这个A M AC ''⊥在矩形ACC A ''由相似三角形可得证； （2）以分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MA B ''和平面MAB '法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）．【详解】（1）证明：∵AA '⊥平面ABC ∴四边形ACC A ''是矩形 ∵MCC '中点，且6AA CC ''==∴62C M '=∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒ ∴3AC A C ''==，∴C M A C A C AA '''='''连接AC ' ，∵MC A C A A ''''∠=∠，∴MC A ''∆与C A A ''∆相似 ∴C A M A AC ''''∠=∠，∴90A AC AA M '''∠+∠=︒ ∴A M AC ''⊥∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面ACC A '' ∴B C ''⊥平面ACC A ''∵A M '⊂平面ACC A ''，∴B C A M '''⊥ ∴A M '⊥平面AB C ''，∴A M AB ''⊥．（2）解∶如图，分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()3,0,6A '，60,0,M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,6B '，()3,0,0A ，∴63,0,MA ⎛⎫'= ⎪ ⎪⎭，60,1,MB ⎛⎫'= ⎪ ⎪⎝⎭，63,0,MA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎭， 设平面MA B ''的法向量为()1111,,n x y z =，则10MA n '⋅=，20MB n '⋅=解得：1222n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭同理，平面MAB '的法向量2,122n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设二面角A MB A ''--的大小为θ，则1212122cos cos ,|3||||1n n n n n n θ⋅=<>===⋅ 即二面角A MB A ''--的余弦值为23. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角．证明线面垂直，就要证线线垂直，而证明线线垂直又可通过线面垂直得出，因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化，用好用活判定定理和性质定理．立体几何中求空间角可用空间向量法求解，即建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与空间角的关系求解． 19.已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 【答案】（1）5（2）（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值． 【详解】解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π- ∵()sin 220cos 0bc A B C ++= ∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A == （2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭∴当4A π=时，c bb c+取最大值【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，这样可把22c b b c b c bc++=表示为角A 的函数，从而求得最值．20.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率1p ； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率2p ；（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为a ，b ，c ，其中0a >，100a b +=，50c =，当a ，b ，c 的方差2s 最大时，求a ，b 的值，并求出此时方差2s 的值.【答案】（1）23（2）725（3）当100a =，0b =时，2s 取最大值50003（1）文学类图书共有150本，其中正确分类的有100本，由此可计算概率； （2）图书分类错误的共有140本，图书总共有500本，易得概率； （3）计算平均值，再计算方差2s ，转化为a 的函数后可得最大值． 【详解】解：（1）由题意可知，文学类图书共有1004010150++=本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率110021503p == （2）图书分类错误的共有302040101030140+++++=本，因为图书共有500本， 所以图书分类错误的概率2302040101030750025p +++++==（3）a ，b ，c 的平均数()1503x a b c =++= 所以方差()()()22221505050503s a b ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()22150001003a b a b ⎡⎤=++-+⎣⎦ ()22150003a b =+-()22110050003a a ⎡⎤=+--⎣⎦21220050003a a ⎡⎤=-+⎣⎦ ∵0a >，0b ≥，∴当100a =，0b =时，2s 取最大值50003. 【点睛】本题考查古典概型，考查方差的计算．考查了学生的数据处理能力．属于中档题．21.设函数())ln 1f x x a=-.（1）若函数()y f x =在()1,+∞是单调递减的函数，求实数a 的取值范围；（2）若0n m >>，证明：2ln ln n m +<. 【答案】（1）2a ≥（2）证明见解析（1）求出导函数()f x '，由()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数()f x ，不等式凑配后知，利用2a =时()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭可证结论． 【详解】（1）因为()y f x =在()1,+∞上单调递减， 所以()10f x x '=≤，即a ≥()1,+∞上恒成立 因为y=在()1,+∞()0,2，所以2a ≥ （2）因为0n m >>，所以1nm> 由（1）知，当2a =时，()y f x =在()1,+∞上单调递减 所以()1n f f m ⎛⎫<⎪⎝⎭即ln 210nm ⎫-<⎪⎪⎭所以2ln ln n m +<. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．22.已知()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为34-，设点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与4x =相交于点T ，求||||TF MN 的最小值及此时直线l 的方程. 【答案】（1）()221243x y x +=≠±（2）||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x = （1）用直接法求轨迹方程，即设动点为(,)P x y ，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，消元并整理得()2234690m y my ++-=， 设()12,M x y ，()22,N x y ，则可得12y y +，，12y y，由12MN y y =-求出MN ， 将直线FT 方程()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -，求得TF ，计算||||TF MN，设t =.显然1t ≥，构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线l 的方程.【详解】（1）设(),P x y ，则34PA PBk k ⋅=-，即()3224y y x x ⋅=---- 整理得()221243x y x +=≠±（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++= 即()2234690m y my ++-=设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+ 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -∴TF ==∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝设t =显然1t ≥ 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”即||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x =. （注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）【点睛】本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2−7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2.已知z=ai(a∈R)，若(1+z)(1+i)是实数，则|z+2|=()A. √3B. √5C. 3D. 53.下列函数中，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是()．A. y=x2+2xB. y=2x+1C. y=x3+1D. y=(x−1)|x|4.在等差数列{a n}中，a2=5，a6=17，则a14等于()A. 45B. 41C. 39D. 375.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 26.如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本(单位：万元)及其构成比例，则下列判断正确的是()A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B. 由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C. 甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高7.已知命题p：∀x>0，x<tanx，命题q：∃x>0使得ax<lnx，若p∨(￢q)为真命题，则实数a的取值范围是()A. a≥1B. a≥1e C. a<1 D. a<1e8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c−ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√39. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如下表：扶贫项目 A B C 贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有( )A. 24种B. 16种C. 10种D. 8种10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是A. C 1D 1⊥B 1CB. BD 1⊥ACC. BD 1⊥B 1CD. BD 1⊥B 1D11. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(2,a)在抛物线上，则|PF|=( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 定义域为R 的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式e x−1f(x)<f(2x −1)的解为( )A. (14,+∞)B. (12,+∞)C. (1,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,则x +2y 的最大值为__________．14. 若∫1x a 1dx =1(a >1)，则a = ______ ．15. 已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω>0)，x ∈R.若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数y =f(x)的图象关于直线x =ω对称，则ω的值为____．16. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AA 1的中点为E,AC 与BD 交于点O ，平面α过点E ，且与直线OC 1垂直，若AB =1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如图所示．(Ⅰ)求频数直方图中a的值；(Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB=A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的一点，且AA1⊥CM，(1)证明：直线MN//平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A−CM−N的余弦值．19. 已知数列{a n }的前n 项和S n =32n 2+52n(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．20. 已知点(1,32)在椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)若M 为椭圆C 的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M)且满足直线MA 与MB 斜率之积为14.试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．21.已知函数f(x)=4lnx−mx2+1(m∈R)．(1)若函数在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y−1=0平行，求实数m的值；(2)若对任意x∈[1,e)，都有f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围．22.已知曲线C1的参数方程为{x=tcosα,y=1+tsinα,(t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=sinθ,y=√1+cos2θ,(θ为参数)．(1)求C1与C2的普通方程；(2)若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|=√2，求sinα的值．23.设函数f(x)=|x+a|+|x−a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≥4；(2)若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：B={x|2≤x≤5}；∴A∩B={3,5}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，再由复数模的计算公式求解．解：∵z=ai(a∈R)，且(1+z)(1+i)是实数，∴(1+ai)(1+i)=(1−a)+(1+a)i是实数，则a=−1，∴|z+2|=|2−i|=√5．故选B．3.答案：C解析：根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x2+2x=(x+1)2−1，其值域为[−1,+∞)，不符合题意；对于B，y=2x+1，其值域为(0,+∞)，不符合题意；对于C，y=x3+1，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；对于D ，y =(x −1)|x|={x 2−x,x ≥0−x 2+x,x <0，在区间(0,12)上为减函数，不符合题意．故选C ．4.答案：B解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 2=5，a 6=17得，d =a 6−a 24=3，则a 14=a 6+(14−6)×3=17+24=41， 故选：B ．根据题意和等差数列的通项公式求出公差d ，代入通项公式即可． 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 利用数量积运算律求解即可．解：∵a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，其夹角为120°，∴a ⃗ 2=b ⃗ 2=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×1×cos120°=−12． ∴(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=−12−2=−52．故选：A ．6.答案：C解析：先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故A 错误，虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故B 错， 甲企业其他费用开支确实最低，故C 正确，甲企业的工资和其他费用开支额为4000万元，乙企业为5400万元，丙企业为6000万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故D 错误， 故选：C ．7.答案：B解析：解：命题p ：∀x >0，x <tanx 为假命题，如x =3π4；∵p ∨(￢q)为真命题，则￢q 为真命题， 即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题， 则a ≥lnx x对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0,e)时，f(x)为增函数，当x ∈(e,+∞)时，f(x)为减函数， 则f(x)的最大值为f(e)=1e ． ∴a ≥1e ．故选：B ．举例说明p 为假命题，由p ∨(￢q)为真命题，可得￢q 为真命题，即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题，则a ≥lnx x 对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，利用导数求其最大值得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．8.答案：C解析：解：根据题意，在△ABC 中，若2c−b a=cosB cosA，则有2ccosA −bcosA =acosB ，由正弦定理可得：2sinCcosA =sinAcosB +sinBcosA =sinC ， 则有cosA =12， 则有b 2+c 2−a 22bc=12，变形可得b 2+c 2−12=bc ，又由b 2+c 2≥2bc ， 则有bc ≤12，又由cosA =12，则sinA =√32，则△ABC面积S=12bcsinA≤3√3，即△ABC面积的最大值为3√3．故选C．根据题意，将2c−ba =cosBcosA变形可得2ccosA−bcosA=acosB，结合正弦定理可得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC，变形可得cos A的值，又由余弦定理b2+c2−a22bc =12，变形可得b2+c2−12=bc，结合基本不等式可得b2+c2≥2bc，则有bc≤12，由三角形面积公式分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，属于综合题．9.答案：B解析：本题主要考查计数原理的相关知识，属于中档题．先分类讨论不同可能性的排列组合，再根据加法计数原理求出答案即可．解：依题意，可让甲先选择扶贫项目，有A或B共2种选择．再让乙进行选择，①若甲选择A，则乙可选择A或B共2种选择．若乙选择A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁可选A或C.共1+2x2=5(种)．②若甲选择B，则乙可选择A或B共2种选择.若乙选择B，则丙只能选A或C，此时丁均有A或C两种选择；共2x2=4(种)选择．若乙选怎A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁课选A或C.共1+2x2=5(种)．根据加法计数原理，可知总选法有2+5+4+5=16(种)．故选B．10.答案：D解析：本题考查空间直线与直线的位置关系，同时考查直线与平面垂直的判定定理，题目基础．据题目特点逐项判断求解即可．解：A.因为C1D1⊥平面BCC1B1，所以C1D1⊥B1C，故正确；B.因为AC⊥平面BDD1B1，所以BD1⊥AC，故正确；C .因为B 1C ⊥平面BC 1D 1，所以BD 1⊥B 1C ，故正确；D .因为四边形BDD 1B 1为矩形，所以BD 1⊥B 1D 不正确．故选D ．11.答案：A解析：本题考查了抛物线的概念，抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．解：由抛物线y 2=4x 可得准线方程：即x =−1．因为点P(2,a)在抛物线上，所以|PF|等于点P 到准线x =−1的距离．所以|PF| =2+1=3，故选A .12.答案：C解析：解：令g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x >0， 故g(x)在R 递增，不等式e x−1f(x)<f(2x −1)，即f(x)e x <f(2x−1)e 2x−1，故g(x)<g(2x −1)，故x <2x −1，解得：x >1，故选：C ．令g(x)=f(x)e x ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.答案：5解析：本题考查利用简单线性规划求最值，属于基础题目．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义求出最值即可．解：由约束条件{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,作出可行域如图：由目标函数z =x +2y 可知当目标函数z =x +2y 过点B(1,2)取得最大值，其最大值为5． 故答案为5．14.答案：e解析：解：∫1xa 1dx =1=lnx| 1a =lna ，(a >1)，所以a =e ． 故答案为：e ．找出被积函数的原函数，得到关于a 的方程解之．本题考查了定积分的计算；找出被积函数的原函数是关键．15.答案：√π2解析：本题考查y =Asin(ωx +φ)的图象及性质，属于中档题．解：f(x)=sin ωx +cos ωx =√2sin(ωx +π4)，因为函数f(x)的图象关于直线x =ω对称，所以f(ω)=√2sin(ω2+π4)=±√2，所以ω2+π4=π2+kπ，k ∈Z ，即ω2=π4+kπ，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，所以ω2+π4≤π2，即ω2≤π4，取k=0，得ω2=π4，所以ω=√π2．故答案为√π2．16.答案：√64解析：本题考查平面的基本性质.由条件可知平面α与正方体的截面是过O的截面三角形，不难求出其面积．解：由已知可算出OE=√32,OC1=√62,EC1=32．则OE⊥OC1所以平面α与正方体的截面为△EBD，S△EBD=12×BD×OE=12×√2×√32=√64．故答案为√64．17.答案：解：(I)由频率分布直方图得：(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1⇒a=0.005；(II)成绩落在[50,60)与[60,70)的频率分布为0.01×10+0.015×10=0.25，∴成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数为20×0.25=5(人)．解析：(I)根据所有小矩形的面积之和为1求a的值；(II)根据频率=小矩形的高×组距求得成绩落在[50,60)与[60,70)的频率，再利用频数=样本容量×频率求得人数．本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中，频率=小矩形的高×组距=频数样本容量．18.答案：解：(1)如图1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，连结BM，因为四边形BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，因为AA1//BB1，所以AA1⊥BC．又因为AA 1⊥MC,BC ∩MC =C ，所以，MB ⊂平面BCM ，所以AA 1⊥MB ，又因为AB =A 1B ，所以M 是AA 1中点．取BC 中点P ，连结NP ，AP ，因为N 是B 1C 的中点，则NP //BB 1且NP =12BB 1，所以NP //MA 且NP =MA ，所以四边形AMNP 是平行四边形，所以MN //AP ．又因为MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，所以．(2)因为AB ⊥A 1B ，所以△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ，则AA 1=2a,BM =AM =a ．在Rt △ACM 中，AC =√2a ，所以MC =a ．在△BCM 中,CM 2+BM 2=2a 2=BC 2，所以MC ⊥BM ．由(1)知，MC ⊥AA 1,BM ⊥AA 1，如图2，以M 为坐标原点，MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则M(0,0,0),C(0,0,a),B 1(2a,a,0)．所以N(a,a 2,a 2)，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a 2,a2)． 设平面CMN 的法向量为n⃗ 1=(x,y,z )， 则{n ⃗ 1⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ 1⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{az =0ax +a 2y +a 2z =0, 取x =1得y =−2．故平面CMN 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)．因为平面ACM 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，则． 因为二面角A −CM −N 为钝角，所以二面角A −CM −N 的余弦值为−2√55．解析：本题主要考查立体几何中线面平行的判定，以及二面角余弦值的求法，考查学生的空间想象能力与应用能力.属于中档题。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(2)0}A x x x =-…，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3} B ．{0，1} C ．{0，1，2} D ．{0，2，3} 2．若1(1)()z a i a R =+-∈，||2z =，则(a = )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．13．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y = C ．21log y x= D ．14y x =4．已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( )A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||3a =r，则实数(λ= ) A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-6．《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是 （注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x +=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC ，则AC 边上的高为( )A 5B ．2C 5D 159．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( ) A ．22y x = B ．24y x = C ．26y x = D ．28y x = 12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为14．若1205()3a x dx -=⎰，则a = ． 15．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 ．16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O，且BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为 ；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有 擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，n a b c d =+++．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())221m f x km x+>-恒成立，求最大的整数k ．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-． （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(2)0}A x x x =-„，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}【思路分析】可解出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【解析】{|02}A x x =剟；{0A B ∴=I ，1，2}．故选：C ．【归纳与总结】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2．若1(1)()z a i a R =+-∈，||z =(a = )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【思路分析】根据复数求模公式计算即可． 【解析】因为1(1)()z a i a R =+-∈，2||(1)10z a a ∴=-=⇒=或2；故选：A ．【归纳与总结】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题．3．下列与函数y定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y = C ．21log y x= D ．14y x =【思路分析】可看出，y=在定义域{|0}x x >上单调递减，然后可判断选项A 的函数在定义域{|0}x x >上单调递增，而选项B ，D 的函数的定义域都不是{|0}x x >，从而得出选项A ，B ，D 都错误，只能选C ．【解析】y在定义域{|0}x x >上单调递减，22log x y x ==在定义域{|0}x x >上单调递增，21()2x y log =的定义域为R ，21y log x=在定义域{|0}x x >上单调递减，14y x =的定义域为{|0}x x …．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( ) A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a【思路分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解析】Q 等差数列{}n a 中，5732a a =，113(4)2(6)a d a d ∴+=+，化为：10a =． 则此数列中一定为0的是1a ．故选：A ．【归纳与总结】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||a =r，则实数(λ= ) A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-【思路分析】根据条件即可求出1212e e =u r u u r g ，然后对12a e e λ=-u r u u r r两边平方，进行数量积的运算即可得出213λλ-+=，解出λ即可．【解析】Q 12||||1e e ==u r u u r ，12,60e e <>=︒u r u u r ，∴1212e e =u r u u r g ，且||3a =r，∴222221122213a e e e e λλλλ=-+=-+=u r u r u u r u u r rg ，解得2λ=或1-．故选：D ．【归纳与总结】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．6．《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是 （注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲【思路分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 【解析】对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误，对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确，故选：D ．【归纳与总结】本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x +=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【思路分析】根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数()a xf x ln a x+=-在0a >时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．【解析】根据题意，命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立， 当0x π=时，对任意实数x ，使得sin()sin x x π+=-恒成立，故P 为真命题；命题:0q a ∀>，()a xf x ln a x+=-，有0a x a x +>-，解可得a x a -<<，函数的定义域为(,)a a -，关于原点对称，有()()a x a xf x ln ln f x a x a x++-==-=---，即函数()f x 为奇函数，故其为真命题；则p q ∧为真命题，()()p q ⌝∨⌝、()P q ∧⌝、()p q ⌝∧为假命题；故选：A ． 【归纳与总结】本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题．8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为( )A ．5B ．2C ．5D ．15【思路分析】先利用平方关系求得sin A ，再由sin sin()ABC A C ∠=+及正弦定理可求得3AB =，最后由等面积法求得AC 边长的高．【解析】Q 2cos ,03A A π=-<<，∴5sin A =，∴5321152sin sin()sin cos cos sin 32ABC A C A C A C -∠=+=+=⨯-⨯=， 由正弦定理有，sin sin AC ABABC C =∠，即15211522AB -=-，解得3AB =， ∴11sin 22AB AC A AC BD ⨯⨯⨯=⨯⨯，即53(152)(152)BD ⨯-⨯=-⨯，∴5BD =，即AC 边上的高为5．故选：C ．【归纳与总结】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合运用，涉及了正弦定理，三角形的面积公式等知识点，考查计算能力，属于基础题．9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【思路分析】根据分类计数原理，分两类，若甲单独被派遣到A 县，若若甲不单独被派遣到A 县，问题得以解决．【解析】若甲单独被派遣到A 县，则有22326C A =种， 若若甲不单独被派遣到A 县，则有336A =种，故根据分类计数原理可得，共有6612+=种，故选：B ． 【归纳与总结】本题考查了分类计数原理，属于基础题．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【思路分析】如图对于①，连接1A C ，11B D ，可得11//EG D B ，又1CA ⊥平面EFG ，即可判断出正误． 对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，进而判断出正误；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，可得1B F 与BC 不垂直，即可判断出正误．④由于11//D D B B ，EF 和1DD 所角为4π．即可判断出正误．【解析】如图对于①，连接1A C ，11B D ，则11//EG D B ，而1CA ⊥平面EFG ，所以1AC EG ⊥；故①正确； 对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，//CM ED ∴，因此//GC ED 不正确；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，1B F ∴与BC 不垂直，因此1B F ⊥平面1BGC 不成立．④11//D D B B Q ，EF 和1DD 所角为4π．EF ∴和1BB 成角为4π．正确．正确命题的个数是2．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( )A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =【思路分析】根据抛物线的定义和三角形的性质即可求出．【解析】1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，过点M 作MB x ⊥轴，1||||22p MA MF ∴==+，1||22p BF =-120AMF ∠=︒Q ，30BMF ∴∠=︒，2||||BF MF ∴=，112()2222p p∴-=+，解得3p =， ∴抛物线方程为26y x =，故选：C ．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键． 12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]【思路分析】观察11()x x f x e e x --=-+，可得()(2)2f x f x +-=，于是()(32)2f x f x +-„等价转化为()(32)()(2)f x f x f x f x +-+-„，即(32)(2)f x f x --„，再分析()f x 的单调性，脱“f ”即可求得答案．【解析】11()x x f x e e x --=-+Q ①，(2)11(2)11(2)(2)2x x x x f x e e x e e x ------∴-=-+-=-+-②， ①+②得：()(2)2f x f x +-=，()(32)2()(32)()(2)f x f x f x f x f x f x ∴+-⇔+-+-剟，(32)(2)f x f x ∴--„③，又11()10x x f x e e --'=++>恒成立，11()x x f x e e x --∴=-+为R 上的增函数，∴③式可化为：322x x --„，解得：1x …，故选：A ．【归纳与总结】本题考查利用导数研究函数的单调性，分析出()(2)2f x f x +-=是关键，考查观察与推理、运算能力，涉及等价转化思想的运用，属于难题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为 4【思路分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】由x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过A 时，z 取得最大值，由222y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A 时，目标函数有最大值为4z =．故答案为：4．【归纳与总结】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．若1205()3a x dx -=⎰，则a = 2 ．【思路分析】直接利用定积分知识的应用和被积函数的原函数的求法和应用求出结果．【解析】1205()3a x dx -=⎰，整理得1213100015()||33a x dx ax x -=-=⎰，所以1533a -=，解得2a =． 故答案为：2【归纳与总结】本题考查的知识要点：定积分知识的应用，被积函数的原函数的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 5(6，11]12 ．【思路分析】由题意可得，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，由此求得ω的取值范围．【解析】Q 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，故()f x 的最大值小于零． 当[x π∈，2)π，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，6πωππ∴+>，且226πωππ+„，求得511612ω<„，故答案为：5(6，11]12．【归纳与总结】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于基础题． 16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为223；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．【思路分析】由于BD 过球心，所以可得90BAD BCD ∠=∠=︒，AO ⊥面BCD ，所以当BC CD =时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．【解析】当BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，所以AO ⊥面BCD ，1132A BCD V BC CD OA -=g g g ，当BC CD =时体积最大，因为22BD =，2OA =，所以2BC CD ==，所以最大体积为：112222232=g g g g ；三棱锥A BCD -体积最大时，三角形ABC 中，222AB AC OC OA BC ==+==，设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则23r =，所以3r =，所以外接圆的面积为243S r ππ==，故答案分别为：22，43π．【归纳与总结】本题考查平面的基本性质及其外接球的半径与棱长的关系，面积公式，属于中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有 擅长 不擅长 合计 男生30女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，n a b c d =+++．【思路分析】（Ⅰ）由小矩形面积之和为1即可求出m ；（Ⅱ）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出2K 并与6.635比较，从而得出答案．【解析】（Ⅰ）由图可知，(0.0050.0150.0200.0300.005)101m +++++⨯=， 解得0.025m =； 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计307010024.762 6.635()()()()50503070K a b c d a c b d ==≈<++++⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系． 【归纳与总结】本题主要考查频率分布直方图与独立性检验的应用，属于基础题． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．【思路分析】（Ⅰ）由线面垂直的性质可得1A B GN ⊥，在BNE ∆中可求得BE ，进而得到1A E ，再解△1AGE ，即可求得AG 的长； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面BMG 及平面MNG 的法向量，利用向量的夹角公式即可求得所求余弦值．【解析】（Ⅰ）1A B ⊥Q 平面MNG ，GN 在平面MNG 内，1A B GN ∴⊥， 设1A B 交GN 于点E ，在BNE ∆中，可得145cos 2164BE BN ABN =∠=⨯=+g ， 则114565164A E A B BE =-=+-=， 在△1AGE 中，11165534cos 25A EA G AA B===∠，则1AG =； （Ⅱ）以1B 为坐标原点，1B B ，1B C ，11B A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(4B ，0，0)，(2M ，2，0)，(3G ，0，2)，(2N ，0，0)，故(2,2,0),(1,0,2)BM BG =-=-u u u u r u u u r，(0,2,0),(1,0,2)NM NG ==u u u u r u u u r，设平面BMG 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则22020m BM x y m BG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,2,1)m =r ， 设平面MNG 的一个法向量为(,,)n a b c =r ，则2020n NM b n NG a c ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,0,1)n =-r ， 设二面角B MG N --的平面角为θ，则5|cos ||cos ,|||||||m n m n m n θ=<>==r r g r rr r ，∴二面角B MG N --的余弦值为5．【归纳与总结】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查利用空间向量求解二面角问题，考查推理能力及计算能力，属于基础题．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【思路分析】本题第（Ⅰ）题将递推式进行转化可得到2113()n n n n a a a a +++-=-，则数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．然后计算出数列1{}n n a a +-的通项公式，再应用累加法可计算出数列{}n a 的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果可计算出数列{}n b 的通项公式3n n b n n =-g．构造数列{}n c ：令3n n c n =g ．设数列{}n c 的前n 项和为n T ，可运用错位相减法计算出数列{}n c 的前n 项和为n T ，最后运用分组求和法计算出数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由21430n n n a a a ++-+=，可得 2143n n n a a a ++=-，则2111333()n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-． 21413a a -=-=Q ，∴数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．11333n n n n a a -+∴-==g ，*n N ∈． 由上式可得，1213a a -=，2323a a -=，g gg113n n n a a ---=，各项相加，可得：11211331333331322n n n n a a ---=++⋯+==--g ，113131331(31)22222n n nn a a ∴=-+=-+=-g g g ，*n N ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，122(31)32nn n n b n a n n n ==-=-g g g g ．构造数列{}n c ：令3n n c n =g． 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则1231231323333n n n T c c c c n =+++⋯+=+++⋯+g g g g ， 2331323(1)33n n n T n n =++⋯+-+g g g g ， 两式相减，可得：112333233233333331322n nnn n n n T n n +---=+++⋯+-=-=---g g g ，233344n n n T -∴=+g ．故12n n S b b b =++⋯+12(1)(2)()n c c c n =-+-+⋯+- 12()(12)n c c c n =++⋯+-++⋯+(1)2n n n T +=-22331134422n n n n -=+--g ．【归纳与总结】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用错位相减法和分组求和法求前n 项和．考查了转化与化归思想，构造法，等比数列的通项公式和求和公式，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【思路分析】（Ⅰ）设P 的坐标，由离心率及直线PA 和PB 的斜率之积为34-．P 点代入椭圆的方程，再由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 进而求出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线AP 的方程，与椭圆联立求出P 的纵坐标，代入直线方程进而求出横坐标，即求出P 的坐标，再由椭圆令直线的0x =求出Q 的纵坐标，进而求出||||AP AQ 之积，有题意设直线OM 的方程与椭圆联立求出M 的坐标，进而求出2||OM ，进而求出2||||||AP AQ OM g 为定值【解析】（Ⅰ）有题意可得22c =，即1c =，(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)P x y ，由直线PA 和PB 的斜率之积为34-可得34y y x a x a =-+-g ，即22234y x a =--， 而P 在椭圆上，所以22221(0)x y a b a b +=>>，22222222(1)()x b y b x a a a=-=--g ，所以2234b a =，而222b ac =-可得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅱ）设直线AP 的方程为：2x my =-，联立与椭圆的方程：22234120x my x y =-⎧⎨+-=⎩，整理可得22(43)120m y my +-=， 所以21243P m y y m +=+，所以21243P my m =+，226843P m x m -=+，所以||AP ==，在2x my =-中，令0x =，2y m =，即2(0,)Q m，所以||AQ =所以221||||643m AP AQ m +=+g ，有题意设OM 的方程为：x my =，代入椭圆中可得22(43)12m y +=，所以221243M y m =+，所以2221243Mm x m =+，所以2222212(1)||43M M m OM x y m +=+=+，所以222226(1)||||614312(1)||12243m AP AQ m m OM m ++===++g 为定值． 【归纳与总结】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和两点间的距离公式，属于中档题．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．【思路分析】()I 先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；()II 由已知对m 分类讨论，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，原不等式可化为12()f x x +>，然后构造函数11()2()2xh x f x e x x=+=+，结合导数及函数的性质可求()h x 最小值的范围，可求． 【解析】()()x I f x e '=，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率k f ='（1）e =，又f （1）e =， 故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程(1)y e e x -=-即y ex =，()II因为21(2())1m f x x+>-恒成立，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，不等式可化为12()f x x +>， 令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=-，因为21()2x h x e x '=-在(0,)+∞上单调递增，且1()402h '=<，2330h '=->>，故存在01(2x ∈使得00201()20x h x e x '=-=当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数单调递增，故当0x x =时，函数取得最小值002000111()2x h x e x x x =+=+，令01t x =∈，则0202000111()2(3x h x e t t x x x =+=+=+∈+，将()h x 的最小值记为a ，则(3a ∈+．因此原式需要满足a >即210am -+>恒成立， 又0a >，可知△840k a =-<即可，即12k a <，且(3a ∈+．故k 可以取得的最大整数为2．【归纳与总结】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数及函数的性质求解由不等式恒成立求解参数范围 问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．【思路分析】（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程；化38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程； （Ⅱ）分别写出圆1C 的极坐标方程与直线2C 的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，可得8|||cos sin |||4|cos |ON OM ααα+=，整理后利用三角函数求最值．【解析】（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程为22(2)4x y -+=；由38cos 4(3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），得8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程为8x y +=；（Ⅱ）如图，圆1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线2C 的极坐标方程为cos sin 8ρθρθ+=， 即8cos sin ρθθ=+，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，则28||244|cos sin |||4|cos||sin cos ||sin 2cos 21||2sin(2)1|4ON OM cos ααπααααααα+====+++++． Q 42ππα-<<，∴52444πππα-<+<．∴|2sin(2)1|[1,12]4πα++∈+，则||||ON OM 的最小值为4(21)21=-+．【归纳与总结】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-． （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）当2a =时，()|21||1|f x x x =++-，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得1()min f x <，(0)x >，讨论0a =，0a <，0a >，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．【解析】（Ⅰ）当2a =时，3,11()|21||1|2,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-⎨⎪⎪-<-⎪⎩剟，则()9f x <等价为139x x >⎧⎨<⎩或11229x x ⎧-⎪⎨⎪+<⎩剟或1239x x ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩，解得13x <<或112x -剟或132x -<<-， 综上可得原不等式的解集为(3,3)-；（Ⅱ）当0x >时，()1f x >恒成立，即为1()min f x <，当0a =时，()|1|f x x =-，其最小值为f （1）0=，不符题意； 当a <，即0a ->时，111()|1||1||||1|(1)||(|1|||)f x ax x a x x a x x x a a a=++-=-++-=--++-++，当10a --…，()f x 有最小值，且为1|1|a +，又1|1|1a+>不恒成立；当0a >，0x >时，()1|1f x ax x =++-的最小值为f （1）1|1a =+>恒成立， 综上可得，a 的范围是(0,)+∞．【归纳与总结】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020届吉林省高三下学期第二次模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届吉林省高三下学期第二次模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}23100A x x x =--<,集合{}16B x x =-≤<,则A B 等于（ ） A. {}15x x -<< B. {}15x x -≤< C. {}26x x -<< D. {}25x x -<<【答案】B【解析】 求出A 中不等式的解集确定出集合A ,之后求得A B . 【详解】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<, 所以{}15A B x x ⋂=-≤<,故选：B.2.复数21i z i =-（i 为虚数单位）,则z 等于（ ）A. 3B.C. 2【答案】D【解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简z ,从而求得z ,然后直接利用复数模的公式求解. 【详解】()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+,所以1z i =--,z =,故选：D.3.已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-,若()a c b -⊥,则n 等于（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】C【解析】先求出(1,4)a c n -=-,再由()a c b -⊥,利用向量数量积等于0,从而求得n .【详解】由题可知(1,4)a c n -=-,因为()a c b -⊥,所以有()12240n -⨯+⨯=,得5n =, 故选：C.4.设1tan 2α=,4cos()((0,))5πββπ+=-∈,则tan 2()αβ-的值为（ ） A. 724- B. 524- C. 524 D. 724【答案】D【解析】利用倍角公式求得tan2α的值,利用诱导公式求得cos β的值,利用同角三角函数关系式求得sin β的值,进而求得tan β的值,最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】1tan 2α=,22tan 4tan21tan 3ααα==-, ()4cos cos 5πββ+=-=-,()(0,βπ∈, 4cos 5β∴=,3sin 5β=,3tan 4β=, ()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯, 故选：D.5.执行如图所示的程序框图,输出的结果为（ ）。
2020届吉林省高考二模数学(理科)试卷及答案
)
2
5
A． 7 24
B． 5 24
C． 5 24
D． 7 24
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为 ( )
A． 19 3
B．4
C． 25 4
D． 13 2
6．（5
分）连接双曲线 C1
:
x2 a2
y2 b2
1 及 C2
:
y2 b2
x2 a2
1的
4
个顶点的四边形面积为 S1 ，连接
4
A． 3 3
B． 2 2
C． 3 2
D． 2 3 3
12．（5
分）已知函数
f
(x)
1 ax3 3
x2 (a
0)
．若存在实数
x0
(1, 0) ，且
x0
1 2
，使得
f (x0 )
f
( 1) ，则实数 a 的取值范围为 ( 2
)
A． ( 2 ， 5) 5
B． ( 2 ， 3) (3 ， 5) 3
C． (18 ， 6) 7
(a
c)
b
，
(a c)b (1 n) 2 4 2 0 ，
D．6
解得 n 5 ．
故选： C ．
4．（5 分）设 tan 1 ， cos( ) 4 ( (0, )) ，则 tan(2 ) 的值为 (
)
2
5
A． 7 24
B． 5 24
C． 5 24
D． 7 24
第 6页（共 19页）
x 3 ， M 19 4 ，退出循环，输出结果为 19 ．
3
3
故选： A ．
6．（5
分）连接双曲线 C1
2020年吉林省长春市二模数学试题(理科)
−1−1−1=λa =||a e e =−λ12︒60e 2e 1a 10a 8a 3a 1=a a 3257a n {}=y x 41=x y log 12=y x 2log ()12=y x 2log2=y =a =z ||R ∈a =+−z a 1(1)i ，{0,1,23}{1,2}{0,1,2}−{1,3}=A B =−B {1,0,1,2,3}≤=−A x x x {|(2)0}字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 若（），，则 A. 0或2 B. 0C. 1或2D. 13. 下列与函数定义域和单调性都相同的函数是 A. B. C. D.4. 已知等差数列中，，则此数列中一定为0的是A. B. C. D.5. 若单位向量，夹角为，，且，则实数A. B. 2 C. 0或 D. 2或6. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是长春市普通高中2020届高三质量监测（二）理科数学2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签贴在考生信息条形码粘贴区。
注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘理科数学试题第1页（共4页）A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店。
吉林省实验中学2020届高三第二次模拟理科数学考试试题(含答案)讲解学习
吉林省实验中学2020届高三第二次模拟理科数学考试试题(含答案)吉林省实验中学2020届高三第二次模拟考试数学学科（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1. 若集合{}22<-∈=x N x A ,{}2)1(log 2<+=x x B ,则B A I 为（ ）A. {}31<<x xB.{}211<<x xC.{}3,2,1 D.{}2,1 2. 命题“2)2(log ),3,1(23>+∈∀x x x ”的否定为（ ） A. 2)2(log ),3,1(23<+∈∀x x x B.2)2(log ),3,1(02030>+∈∃x x x B. 2)2(log ),3,1(23≤+∈∀x x x D.2)2(log ),3,1(02030≤+∈∃x x x3. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,log 0,12)(21x x x x f x ，若0)(=-a x f 有两个零点，则a 的范围（ ）A. ),1(+∞B.[),0+∞C. ]2,1(D. ),2(+∞ 4. “21<<y x 或”是”3<+y x ”的（ ）条件A. 充分不必要B.必要不充分C. 充分必要D.即不充分也不必要5. 函数)4(log 4)(21++-=x x x f 的值域是（ ）A. (]4,4-B. [)4,3-C.[)+∞-,3D.(]3,-∞-6. 已知[]x a e x p ln ,,1:2<∈∀，04,:0200=++∈∃a x x R x q 使，若命题""q p ∧为假，则a 的取值范围是（ ）A. ()+∞,0B.()+∞,4C. [)+∞,0D.[)4,07. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)6()4(x f x f -=-，则=+++)2020()2()1(f f f Λ（ ）A. 无法确定B. 0C. 2D. 48. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对()+∞∈∀,0,21x x ，当21x x ≠时，总有()[]0)()(2121<--x f x f x x 成立，则（ ）A. )2()2()41(log 32233-->>f f fB. )2()2()41(log 23323-->>f f fC. )41(log )2()2(33223f f f >>-- D. )41(log )2()2(32332f f f >>--9. 已知x x f ln 3)(=，⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,22)(2x x x x x x g ，令)()()(x g x f x h -=，则函数)(x h y =的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410. 设)(x f 是定义在R 的函数，满足0)(2)2(=++x f x f π，且[]0,2π-∈x 时，x x f sin )(=，若对(]a x ,∞-∈∀，恒有4)(≤x f 成立，则a 的最大值为（ ） A. 25π B. 29π C. 625π D. 631π11. 若点P 的坐标满足1ln -=x y ，则点P 的轨迹为（ ）A. B.C. D.12. 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '， x R ∀∈，有()()2f x f x x -+=，且()+∞∈,0x 时总有x x f <')(成立，若02135)()13(2>----++a a a f a f ，则实数a 的取值范围为（ ）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-21,21B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,D. ⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21二、填空题（每题5分，共20分）13. 集合{}52<<-=x x A ，()12,1+-=m m B ，若A B A =Y ，则m 的取值范围是 .14. 已知函数)(x f 的定义域为R ，对21x x <∀，都有2121)()(x x x f x f ->-，且1)2(=f ，则不等式x x f 2121log 1)(log <+的解集为 .15. 若对R x x ∈∀21,，总有4)()()(++=+y f x f y x f 成立，则)(4cos sin )(x f x xx g ++=的最大值和最小值的和为 .16. 若曲线21:(0)C y ax a => 与曲线2:x C y e = 存在公共切线，则a 的取值范围是 .三、解答题（一）必做题，共60分17. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足C C A B sin 23cos sin sin +=。