一元二次方程,二次函数,旋转,圆练习进步
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c 向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=22122 1x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（201*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3围着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（201*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（201*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，以下结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c0时，函数开口方向向上；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而削减；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，y最小＝4a2a4acb2b当a0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。
一元二次方程,二次函数及圆知识点总结
一元二次方程总复习一：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且二次项系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，再看最高次数是否为2，二次项系数是否为0.二：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解． ⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
人教版九年级数学上一元二次方程二次函数旋转精选试题周末作业辅导培优训练题
人教版九年级数学上一元二次方程二次函数旋转精选试题周末作业辅导培优训练题1．一元二次方程x （x -3）＝3-x 的根是 （ ）A ．-1B ．3C ．-1和3D ．1和22．二次函数y ＝x 2－x ＋1的图象与x 轴的交点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定3．若二次函数y ＝ax 2－x ＋c 的图象上所有的点都在x 轴下方，则a ，c 应满足的关系是( )A ．⎪⎩⎪⎨⎧<<410ac aB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<410ac aC ．⎪⎩⎪⎨⎧><410ac aD ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<410ac a 4．若点M (－2，y 1)，N (－1，y 2)，P (7，y 3)在抛物线y ＝－ax 2＋4ax ＋m (a ＞0)上，则下列结论正确的是A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 25．如图，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，则△ABC 的面积为A ．6B ．4C ．3D ．1第5题图6．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 如图所示，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c －8＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根7．二次函数y ＝4x 2－mx ＋5，当x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－2时，y 随x 的增大而增大，那么当x ＝1时，函数y 的值为( )A ．－7B ．1C ．17D ．258．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y ＝－x 2＋4x ＋2，则水柱的最大高度是( )A ．2B ．4C ．6D ．89．如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，当水面上升1m 时，水面的宽为( )A ．B ．2mCD ．3m10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a ＋b ＋c ＝0；③a －b ＋c ＜0；④抛物线的顶点坐标为(2，b)；⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的是A ．①②③B ．③④⑤C ．①②④D ．①④⑤二、填空题(每题3分，共24分)11．若抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴分别交于A ，B 两点，则AB 的长为 ．12．在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x ＋b 相交于A 、B 两点，若点A 的坐标是(2，4)，则点B 的坐标是 ．13．若二次函数y ＝(m ＋5)x 2＋2(m ＋1)x ＋m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是 ．14．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，若点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝215则当y ＜5的取值范围是 16．如图，将抛物线C 1：y ＝21x 2＋2x 沿x 轴对称后，向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线C 2，若抛物线C 1的顶点为A ，点P 是抛物线C 2上一点，则△POA 的面积的最小值为 ．410三、解答题19．解方程（1）x＋3－x(x＋3)＝0 （2）2(x2－2)＝7x20．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝α，点E在对角线BD上．将线段CE绕点C顺时针旋转α，得到CF，连接DF．（1）求证：BE＝DF；（2）连接AC，若EB＝EC，求证：AC⊥CF．22．根据下列条件，分别求抛物线对应的函数表达式：（1）抛物线的顶点坐标为(1，3)，且过点(2，1)；（2）抛物线的对称轴为直线x＝2，且过点A(1，5)、B(－1，－3)；（3）当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，函数的最小值为4，且图像经过点(3，6)．23．我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．（1）求抛物线y＝x2－2x＋2与x轴的“和谐值”；（2）求抛物线y＝x2－2x＋2与直线y＝x－1的“和谐值”．（3）求抛物线y＝x2－2x＋2在抛物线y＝x2＋c的上方，且两条抛物线的“和谐值”为2，求c的值．24．已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．（1）该函数的图像与x轴公共点的个数是．A．0 B．1 C．2 D．1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图像上．（3）当－2≤m≤3时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围．25．如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．（1）求证：AE＝C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB＝2，求BF的长．②连结BC，求BC的最小值．1。
《一元二次方程、二次函数、旋转、相似判定》综合训练题
BAFDECA B C P 60°B ′y O x《一元二次方程、二次函数、旋转、相似判定》综合训练题一：选择题：（30分）1、右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数是（ ）A ． 90°B ．60°C ．45°D ． 30°2、如右图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连结BE ，将△BCE 绕点C 顺时针方向旋转900得到△DCF ，连结EF ，若∠BEC=600，则∠EFD 的度数为（ ）A 、100B 、150C 、200D 、2503、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=-2，且它与x 轴的一个交点是（-3，0）则它与x 轴的另一个交点是（ ） A ．（-4，0） B ．（-1，0） C ．（1，0） D ．（0，0）4、把y=21x 2-2x+１写成y=a(x-h)2+k 的形式是（ ） A ．y=21 (x-2)2-1 B ． y=21 (x-1)2+2 C ． y=21 (x-1)2+21 D ． y=21(x-2)2-35、下列方程中，满足两实数根的和等于4的方程是（ ）A ．x 2—6x+4=0B ．2x 2－8x+9=0C ．x 2+4x －6=0D ．2x 2－8x －9=0 6、己知（m 2+n 2）（m 2+n 2+2）=15，则m 2+n 2的值为（ ）A. 3B.－5C.—3或5D.－5或37、ΔABC ∽ΔA ′B ′C ′, ∠A ＝45°, ∠B ＝105°, 则∠C ′（ ）A ．45°B ．105°C ．80°D ．30° 8、在比例尺为1:40000的工程示意图上, 于2005年9月1日正式通车的南京地铁1号线的长度约为54.3cm, 则它实际长度约为（ ）A ．0.2172kmB ．2.172kmC ．21.72kmD ．217.2km9、如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，P 为边AB 上一点，∠CPB =60°，沿CP 折叠正方形，折叠后，点B 落在平面内点B ′处，则B ′点的坐标为A .（2,23）B .（32,2-3） C .（2,4-23） D .（32,4-23）10、如图所示, 在矩形ABCD 中, 对角线AC 、BD 相交于点G , E 为AD 的中点, 连接BE 交AC 于F, 连接FD, 若∠BFA ＝90°, 则下列四对三角形:①ΔBEA 与ΔACD; ②ΔFED 与ΔDEB;③ΔCFD 与ΔABG; ④ΔADF 与ΔCFB, 其中相似的为A ． ①④B ．①②C ．②③④D ．①②③二：填空题：（18分）11、一元二次方程x x =2的解是 。
九年级数学成绩分析
九年级数学考试质量分析本次数学考试成绩，总体情况来看，只有少部分学生发挥了正常水平，大多数学生成绩不理想。
本次参加考试学生共计41名，及格5人，优秀2人，35分以下28人。
及格率：12.2%，优秀率：4.88%，平均分：29.79，三项和：46.87%。
一、试卷分析本次考试的命题范围：九年级上册一元二次方程、二次函数、旋转、概率初步四章的内容，试卷共四道大题，24小题。
基础题覆盖面比较广，类型多样，紧扣课本。
整体来看，试卷的难度适中，难易结合，并且有一定梯度。
二、答题情况及存在问题纵观整份试卷难度不大，有些题目耳熟能详，是平时学习及复习检测中遇见过的类型题，学生容易得到基本分，但有些学生的成绩不尽人意。
凭简单的记忆，忽略细节，认真审题，粗心大意，造成失误，平时没有养成良好的学习习惯。
1.选择题整体得分较高，但关于二次函数的题目正确率较低，不知道怎么平移，不理解二次函数和一元二次方程解的关系。
2.填空题大部分都是基础题，但得分结果却很不尽人意，二次函数的函数值的大小比较问题错误率较高，学生对二次函数的图象和性质掌握的不牢固。
3. 解答题综合性较强，大部分学生对于二次函数抛物线解析式的求法、用二次函数解决实际问题得分率相对较低，学生不会选择合适的方法解答。
三、原因分析1. 大单元设计在教学过程中体现的不够，平时渗透数学结合思想较少，在引导学生灵活运用数学知识解决问题方面做的不够好。
2. 计算题训练力度较少，导致学生的计算能力较差，比如七年级学过的乘方、平方根的运算，掌握不牢固，错误率较高。
3. 课堂上对学生的数学能力特别是分析问题、解决问题的能力培养不够，没有使学生养成良好的学习习惯。
四、改进措施1. 优化课堂教学过程，加强对基础知识的教学，结合大单元教学，做到备课细致，备教材、备学生、备过程，多引导学生参与课堂教学，提高课堂效率。
2. 多与同学科老师交流，多听老教师、优秀教师的课，学习他们的备课过程、授课方法及管理方法，提高自己的教育教学水平。
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数是高中数学中重要的概念之一，它的表达式为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，而x、y为变量。
在二次函数的图像中，a决定了抛物线开口的方向和大小，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
在解决二次函数平移旋转的问题时，我们可以根据抛物线的特性来进行总结和归纳。
下面我们将介绍二次函数的平移、旋转以及一些典型习题。
一、平移：1. 抛物线y = ax^2 + bx + c向左平移h个单位的公式为：y =a(x - h)^2 + b(x - h) + c。
同样地，向右平移h个单位的公式为：y = a(x + h)^2 + b(x + h) + c。
例如：若原二次函数为y = x^2 + 2x + 1，现在向左平移2个单位，则平移后的二次函数为y = (x - 2)^2 + 2(x - 2) + 1。
2. 抛物线y = ax^2 + bx + c向上平移k个单位的公式为：y =a(x^2 + bx + c + k)。
同样地，向下平移k个单位的公式为：y = a(x^2 + bx + c - k)。
例如：若原二次函数为y = x^2 + 2x + 1，现在向上平移3个单位，则平移后的二次函数为y = (x^2 + 2x + 1) + 3。
二、旋转：对于二次函数的旋转，我们需要使用变量替换的方法。
假设原二次函数y = ax^2 + bx + c按照逆时针旋转α角，则旋转后的二次函数可表示为：x = x'cosα - y'sinαy = x'sinα + y'cosα其中，(x', y')是旋转前的坐标，(x, y)是旋转后的坐标。
三、典型习题：1. 设二次函数y = ax^2 + bx + c的图像通过点(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，求a、b、c的值。
解：将三个点分别代入二次函数中，我们可以得到3个方程： a + b + c = 2 (1)4a + 2b + c = 3 (2)9a + 3b + c = 4 (3)解方程组(1)(2)(3)，得到a = 1/2，b = -3/2，c = 2。
二次函数(旋转,折叠)
二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△ND D1面积的2倍，求点N的坐标．2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=m x2+2mx+n上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．5、在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2．请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题（1）所求的抛物线的图象上；（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．6、如图抛物线y=a x2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．7、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB．（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．（3）当α=90°时，如图乙．请探究：经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．9、在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90°，得到矩形DEFG （如图1）．（1）若抛物线y=- x 2+bx+c 经过点B 和F ，求此抛物线的解析式；（2）将矩形DEFG 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负方向平移，平移t 秒时，所成图形如图2所示．①图2中，在0＜t ＜1的条件下，连接BF ，BF 与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q ，设矩形DEFG 与矩形OABC 重合部分的面积为S1，△AQF 的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？如果不变，求出其值；②在0＜t ＜3的条件下，P 是x 轴上一点，请你探究：是否存在t 值，使以PB 为斜边的Rt △PFB 与Rt △AOC 相似？若存在，直接写出满足条件t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．10、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11.已知如图，抛物线n mx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，2），连结BC 、AD .(1)求C 点的坐标及抛物线的解析式；(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；(3)设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）答案1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．[解析] （1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．【解析】（1）本题需先根据题意把A （-2，4）和点B （1，0）代入抛物线y=mx2+2mx+n中，解出m、n的值即可．（2）本题需先根据四边形AA′B′B为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式．（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到A′、B′的坐标，再过点A′作A′H⊥x轴，得出BH和A′H的值，再设菱形AA′B′B的中心点M，作MG⊥x轴，根据中位线性质得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标．3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．【解析】（1）依题意得点E在射线CB上，横坐标为4，纵坐标根据勾股定理可得点E．（2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°．（3）设CG=x，则EG=x，FG=6-x，根据勾股定理求出CG的值．（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-4）2，把点A的坐标代入求出a值．当x=7时代入函数解析式可得解．4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．【解析】（1）根据四边形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B′的坐标，设直线BB′的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N 两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论．【解答】（3）①在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，所以，二次项系数和一次项系数不变，根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，新解析式就为：y=-12x2+2x；②在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-12，这时根据已经求出的C′（-1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（-6，0），代入解出解析式为y=-12x2-3x；③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合，此时另一点过（6，0），所以解出解析式为y=-12x2+3x．5、在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2．请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题（1）所求的抛物线的图象上；（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．【解析】（1）过C作CD⊥AB于D，根据A、C的坐标，易求得AD、CD的长，在Rt△ACB中，CD⊥AB，利用射影定理可求得BD的长（也可利用相似三角形得到），由此求得点B的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）根据△ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上，可过C2作C2D1⊥AB1，根据△ACD≌△AC2D1得AD1、CD1的长，从而求出点C2的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）在（1）题中求得了抛物线的二次项系数，即可用m表示出平移后的抛物线顶点坐标，得(m，4m-m22)，由于此顶点在△ACB的边上或内部，因此顶点横坐标必在0≤m≤5的范围内，然后分三种情况考虑：①顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标．②求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标，那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标．③求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标，方法同②．结合上面四个不等关系式，即可得到m的取值范围．6、如图抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．【解析】（1）抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）的对称轴是x=-a2a=-12，又因与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，求出A、B点的坐标，解决第一问；（2）因为S△ABC=3，△PBC的面积是3，说明P点一定在过A点平行于BC的直线上，且一定是与抛物线的交点，因此求出过A点的直线，与抛物线联立进一步求得答案；（3）连接DC、BC，证明三角形相似，利用旋转的性质解决问题．7、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB．（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）根据旋转的性质知△COD≌△AOB，则OC=OA、OD=OB，由此可求出C、D 的坐标，进而用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）将（1）题所得的抛物线解析式化为顶点式，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式；联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标；取E点关于平移后抛物线对称轴的对称点E′，那么直线E′F与此对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线E′F的解析式，联立这条对称轴的解析式即可得到P点的坐标；（3）可根据对称轴方程设出P点坐标，分别表示出PE、PF、EF的长；由于△PEF的直角顶点没有确定，因此要分成三种情况考虑：①∠EPF=90°，②∠PEF=90°，③∠PFE=90°；可根据上述三种情况中不同的直角边和斜边，利用勾股定理列出关于P点纵坐标的方程，求出P点的坐标．8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．（3）当α=90°时，如图乙．请探究：经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．【解析】（1）根据旋转的知识可得AB=AF，根据∠BAF=60°可得∴△ABF为等边三角形；（2）利用△AGB为直角三角形，根据勾股定理可得CG的长，也求得了G的坐标，利用点A、G的坐标可得所求的直线解析式；（3）易得F坐标，利用顶点式可得经过点F，且以点B为顶点的抛物线，易得H的坐标，把横坐标代入所得函数解析式，看是否等于纵坐标即可．9、在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形DEFG（如图1）．（1）若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F，求此抛物线的解析式；（2）将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，平移t秒时，所成图形如图2所示．①图2中，在0＜t＜1的条件下，连接BF，BF与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q，设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1，△AQF的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？如果不变，求出其值；②在0＜t＜3的条件下，P是x轴上一点，请你探究：是否存在t值，使以PB为斜边的Rt △PFB与Rt△AOC相似？若存在，直接写出满足条件t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．【解析】（1）首先确定点B、F的坐标，将点的坐标代入函数解析式，解方程组即可求得；（2）①首先求得对称轴，根据题意用t表示出S1、S2的值即可求得．②利用相似三角形的性质即可求得：过点F作FP⊥FB，FP交x同于点P，延长FE交AB 于点M，要使Rt△PFB∽Rt△AOC，只要FB：FP=2：1即可，而Rt△BMF∽Rt△PGF，所以根据FBFP=FMFG只须FMFG=21，列出方程解答即可求出此时点P的坐标．第10、11题答案省略。
二次函数与一元二次方程 知识点+例题+练习(题型全面)
二次函数与一元二次方程（1）一、课前回顾：1.直线42-=x y 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 。
2.一元二次方程02=++c bx ax ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根； 二、模仿学习 1.解下列方程（1）0322=--x x （2）0962=+-x x （3）0322=+-x x2.观察二次函数的图象，写出它们与x 轴的交点坐标：3.对比第1题各方程的解，你发现什么？ 三、知识导学：⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2）⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 四、例题教学：例1、已知抛物线y ＝x 2－(2m －1)x ＋m 2－m 与直线y ＝x －3m ＋4(1)当m 为何值时，抛物线与直线有两个交点？只有一个交点？没有交点？ (2)若有一个交点在y 轴上，求m ．五、当堂练习：1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .2、一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第___象限；3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、以上都不对4、若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx =5的解为（ ）A ．B ．C ．D ．5、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（ ）A 、0B 、-1C 、2D 、41 6、若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ）A 、x ＝－3B 、x ＝－2C 、x ＝－1D 、x ＝1 7、已知二次函数2y x pxq 的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为1,0，求,p q 的值8、画出二次函数322--=x x y 的图象，并利用图象求方程0322=--x x 的解，说明x 在什么范围时0322≤--x x .9、如图：（1） 求该抛物线的解析式；（2） 根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0.10、二次函数c bx ax y ++=2的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D 在函数图象上，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B 、D ，求 （1）一次函数和二次函数的解析式（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.11、已知抛物线22yx mxm.（1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）当m=2时，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B.若M 为坐标轴上一点，且MA=MB ，求点M 的坐标.12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－23x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图象探索：当y>0时x 的取值范围．二次函数与一元二次方程（2）二、模仿学习1．根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值， 判断方程20ax bx c ++=(0a a b c ≠，，，为常数)的一个解x 的范围是( )x6.176.186.196.202y ax bx c =++0.03-0.01-0.020.04Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<2. 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，根据图象回答：(1)当x ＝ 时，y 1＝y 2；(2)当x 满足 时，y 1＞y 2；(3)当x 满足 时，y 1＜y 2．31-=x y 3222--=x x y三、例题教学：例1．已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=． （1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若函数22(21)2y x m x m m =-+++-与x 轴的两个交点的横坐标为12x x ，，且满足12211m x x m +-=+-，求m 的值．五、当堂练习： 1．观察图像，填空：当函数值y ＞0时，x 的取值范围是_________________； 当函数值y ＜0时，x 的取值范围是_________________．2．根据下列表格的对应值：判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围．x3.23 3.24 3.25 3.26 c bx ax ++2－0.06 －0.02 0.030.094212--=x x y -24yOx253212+-=x x y 3．利用二次函数y ＝x 2－5x ＋5的图象，探索方程x 2－5x ＋5＝0的介于1～2之间的根(精确到0.1)．4、求出抛物线 (1)顶点A 的坐标; (2)与x 轴的交点B 、C (B 在C 的左边)的坐标及与y 轴的交点D 坐标；(3)画出函数图象的草图；(4)求此抛物线与x 轴两个交点间的距离；(5)求S 四边形ABDC．5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示． (1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 当x ＜0时的图象； (3)利用抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，写出x 为何值时，y ＞0．2yxO121。
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九年级上册复习（一）一元二次方程：一元二次方程的认识：1、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：___________,其二次项系数是__, 一次项系数是__ _ 常数项是____.2、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则m=( )3、用直接开平方法：(x+2)2=９4、用配方法解方程4x2-8x-5=05、用公式法解方程3x2=4x+76、用分解因式法解方程（y+2)2=3(y+2）7、解下列方程1、(x+5)(x-5)=7 2. x(x-1)=3-3x 3.x2-4x+4=0 4、3x2+x-1=0 5. x2+6x=8 6、m2-10m+24=08方程x2-4x+4=0根的情况是（）9如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有实数根，那么k的取值范围是（）10若方程x2-(k+1)x+k=0两个实数根互为相反数，则k=___11、求证关于x的方程x2-（m-2）x-2m-1=0总有两个不相等的实数根12、x1、x2 是方程x2-（m-2）x-2m-1=0的两个根。
且x12 + x22 =10，求m的值13、若一元二次方程x2-10x+21=0的两根恰好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长是( ) .14、已知a2+3a-1=0则2a2+6a-3=_____15、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价百分率相同，求两次降价的百分率。
16求这个百分数。
17、某水果批发商场经销一种高档水果千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？商场最多每天可赚多少钱？18、百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出4件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？19、如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?20、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。
决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。
经结算，这批服装共盈利430元。
如果两次打折相同，每次打了几折？21、一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，这是容器内剩下的纯药液是28L 。
问每次倒出的液体是多少？22、若关于的一元二次方程x 2+(k+3)x+k=0的一个根是-2，则另一个根是______．23、请你写出一个根为1和2的一元二次方程______________．第二部分 二次函数1、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.2、 当m 取何值时，函数是y= (m+2)x 分别 是一次函数？ 反比例函数？二次函数？3、抛物线y= x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ；4、已知（如图1 ）二次函数y = mx 2的图象，则m 0；若图象过 (2,- 4)，则m= ；5、抛物线y = x 2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线y = x 2向 平移 个单位得到的；6、已知（如图 2 ）抛物线y = ax 2+k 的图象，则a 0，k 0；若图象过A (0,-2) 和 B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式是y = 。
7、（如图 3） 是y = a （x-h ）2 的图象，则 a 0，h 0 ；若图象过A (2，0) 和B (0，-4) 则a = ,h = 函数关系式是y =8、抛物线y = 2 (x -1/2 )2+1 的开口向, 对称轴, 顶点坐标是；9、若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。
10、由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平移三个单位,得到的图象的函数解析式为________________________由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为__ _____________________11.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为______________;12、将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x213、逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.(1)抛物线y=x2-4x+3的对称轴是______.14、抛物线y=3x2-1的__________A 开口向上,有最高点B 开口向上,有最低点C 开口向下,有最高点D 开口向下,有最低点15、若y=ax2+bx+c(a ≠ 0)与x轴交于点A(2,0), B(4,0),则对称轴是_______A直线x=2 B直线x=4 C直线x=3 D直线x= -316、若y=ax2+bx+c(a ≠ 0)与x轴交于点A(2,m), B(4,m),则对称轴是_______A 直线x=3B 直线x=4 C直线x= -3 D直线x=217、二次函数y= x2+2x+1写成顶点式为：____ ____，对称轴为_____，顶点为_____18、已知二次函数y=- x2+bx-5的图象的顶点在y轴上，则b=___。
19、根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0) (1，-2) (2，3) 三点(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)(3)、图象经过(0，0)，(12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。
20、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。
求a、b、c。
21、已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.22、若a+b+c=0,a≠0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.23、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1 ，最高点在直线y=2x+4上。
（1）求抛物线解析式. （2）求抛物线与直线的交点坐标.24、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.25、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。
若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
26、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象（如图4）。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;(2)、当x 为何值时，y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标；5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.27、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立（如图5）所示的坐标系，其函数的表达式为y= - x 2 ， 当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是28、某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？29、（如图6），在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米。
30、（如图7），在ΔABC 中，AB=8cm ，BC=6cm ，∠B ＝90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2厘米／秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以1厘米／秒的速度移动，如果P ,Q 分别从A,B 同时出发，几秒后ΔPBQ 的面积最大？最大面积是多少？31、在矩形荒地ABCD 中，AB=10，BC=6,今在四边上分别选取E 、F 、G 、H 四点，且AE=AH=CF=CG=x ，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？32、已知函数()9232+--=x y .（1） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（2） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离；（3） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（4） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？33、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .34、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；35、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ）36、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A 、0,0>∆>a B 、0,0<∆>a C 、0,0>∆<a D 、0,0<∆<a37、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（ ）38、若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ） A 、x ＝－3 B 、x ＝－2 C 、x ＝－1 D 、x ＝139、已知二次函数2y x px q =++的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为()1,0-，求,p q 的值 40、画出二次函数322--=x x y 的图象，并利用图象求方程0322=--x x 的解，说明x 在什么范围时0322≤--x x .41、如图：（1）求该抛物线的解析式；（2）根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0.42、二次函数c bx ax y ++=2的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D 在函数图象上，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B 、D ，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.43、已知抛物线22y x mx m =-+-.（1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B.若M 为坐标轴上一点，且MA=MB ，求点M 的坐标.44、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 y ＝－112x 2＋23x ＋53，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度.45、 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m.（1）在如图所示的直角坐标系中求出该抛物线的解析式.（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d 表示h 的函数关系式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？•••第三部分 旋转• 1．如图11-2-7，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，△ABC以点C 为中心旋转到△A ′B ′C 的位置，使B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，试确定∠BDC 的度数．2、（如图1）,在正方形ABCD 中,E 是CB 延长线上一点,△ABE 经过旋转后得到△ADF,请按图回答: (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转角是多少度? (3)∠EAF 等于多少度? (4)经过旋转,点B 与点E 分别移动到什么位置? (5)若点G 是线段BE 的中点,经过旋转后,点G 移到了什么位置?请在图形上作出. (6)连结EF,请判断△AEF 的形状,并说明理由.(7)试判断四边形ABCD 与AFCE 面积的大小关系.3、已知，（如图2）边长为1的正方形EFOG 绕与之边长相等的正方形ABCD 的中心O 旋转任意角度，求图中阴影部分的面积.N MD E C BA4.(如图3)等边△ABC 中，在AC 边的延长线上取一点E ，以CE 为边作等边△CDE ，它与△ABC 位于直线AE 的同侧，点M 为线段AD 的中点，点N 为线段BE 的中点，试说明CM ＝CN ＝M.6．已知E 、F 分别在正方形ABCD 边AB 和BC 上，AB=1，∠EDF=45°.求△BEF 的周长7．把正方形ADCB绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AGFE，边BC与GF交于点H（如图）．试问线段GH与线段HF相等吗？8，点E为正方形ABCD的边CD上一点，AB=5，DE=6。