概率统计习题及答案(2)

作业2（修改2008－10）

4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面

都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布.

解 对于2,3,

k =,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次

出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布

11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,

k =.

5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

第1个能正确回答的概率是5/8,

第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 【

前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=.

设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布

6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.

解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算

3

1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k

k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑.

2) 用泊松近似律计算 331004

1000

04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!

k

k k k

k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑

∑

.

！

8. 设X 服从泊松分布,分布律为

(),0,1,2,

!

k

P X k e k k λλ-==

=.

问当k 取何值时{}P X k =最大

解 设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,

k =,则

1/!/(1)!k k k e k a k

e k λλλλλ+--==-,

数列{}k a 是一个递减的数列. 若11a <,则(0)P X =最大.

若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大. 由此得 !

1) 若1λ<,则(0)P X =最大.

2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=⇔≥+≤⇔-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有

[]

{}1P X k k λλλλλ⎧=⇔=⎨-⎩不是整数最大或是整数

.

12. 设随机变量X 的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出()p x 与()F x 的图形. 解 ()

(,0)[0,1)0

()()()0()

0x x

x

F x p v dv I x dv I x dv vdv -∞-∞

-∞

-∞

==⋅+⋅+⎰

⎰⎰

⎰

()01

[1,2)1()0(2)x I x dv vdv x dv -∞

-∞

+⋅++-⎰⎰

⎰

()

12[2,)

1

2

()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞

+∞-∞

+⋅++-+⋅⎰

⎰⎰⎰

()()

1

1

2

[0,1)[1,2)[2,)0

1

1

()()

(2)()

(2)x x

I x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++-++-⎰⎰

⎰⎰

⎰

`

22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x I x x x I x I x +∞=+--+.

11. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()p x cxI x =.求常数c 和X 的分布函数,并求概率(16/10)P X X +≤.

解 10

2

100

1()502

cx p x dx cxdx c +∞

-∞

===

=⎰

⎰

, 1/50c =.

2[0,10)[10,)[0,10)[10,)0

()()()()()()50100

x

x

v x F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞

==+=+⎰

⎰

. 2(16/10)(10160)(28)P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤

8

28

8

2

22

()3/550100x x p x dx dx ====⎰

⎰.

15. 设随机变量X 的密度为2

x

x

ce -+.求常数c .

》

解 222

1/2(1/2)1/41/41/1x t x x

x t ce

dx c e dx ce e dt ce =++∞+∞+∞-+--+--∞

-∞-∞

====⎰

⎰

⎰

.

由上式得1/41/2c e π--=.

15. 离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:

求边缘分布.解 X 有分布

Y 有分布

因为

0(2,0)(2)(0)0.30.1P X Y P X P Y ===≠===⨯,

所以X ,Y 不独立.