6-2(10年秋)不等式的解法(1).讲义教师版

内容 基本要求 略高要求较高要求不等式(组)能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义． 能根据具体问题中的数量关系列出不等式(组)． 不等式的性质理解不等式的基本性质． 会利用不等式的性质比较两个实数的大小．解一元一次不等式(组)了解一元一次不等式(组)的解的意义，会在数轴上表示(确定)其解集． 会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会根据条件求整数解．能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简单问题．不等式的概念：⑴不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 2-5-2,3-14,10,10,0,35a x a x a a <+>++≤+>≥≠等都是不等式．⑵常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 不等式基本性质：基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a bc c >)如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a bc c<)基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a bc c<)如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)易错点：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．在计算的时候符号方向容易忘记改变． 另外，不等式还具有互逆性和传递性．不等式的互逆性：如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b ． 不等式的传递性：如果a>b ，b>c ，那么a>c ．注意：⑴在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向．⑵在不等式两边不能乘以０，因为乘以０后不等式将变为等式，以不等式３＞２为例，在不等式３＞２两边都乘同一个数a 时，有下面三种情形： ①如果a>0，那么3a>2a ； ②如果a=0时，那么3a=2a ； ③如果a<0时，那么3a<2a ．等式的性质 不等式的性质中考要求不等式的解法不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集． 不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b <或ax b >的形式，其中x 是未知数，,a b 是已知数，并且0a ≠，这样的不等式叫一元一次不等式． axb <或ax b >(0a ≠)叫做一元一次不等式的标准形式．解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b <或ax b >形式)→系数化一(化成bx a>或bx a <的形式)一、一次不等式的解法【例1】 如图，数轴上表示的一个不等式组的解集，这个不等式组的整数解是__________．【考点】解一元一次不等式 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】【解析】考查不等式求解和用数轴表示其解集．注意取实心点的条件答案：-1，0【答案】-1，0【例2】 解不等式22135x x ->的下列过程中，错误的一步是( ) A ． ()()52321x x +>- B ． 10563x x +>- C ． 56310x x ->-- D ． 13x >【考点】解一元一次不等式 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】D【例3】 下列说法中，正确的有__________个．①28x -<的解集是4x >-；②4-是28x <-的解；③8x <的整数解有无数个；④不等式123x x>-的负整数解只有5个．【考点】解一元一次不等式 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】3【例4】 不等式312x +<-的解集是__________． 【考点】解一元一次不等式 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略 【答案】1x <-【巩固】不等式(11x 的解集是（ ）A.1x >-B.1x >C.1x <-D.1x <【考点】解一元一次不等式 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】【解析】由于10<，根据不等式的性质，系数化为1时，不等号方向改变，故选C 。

【答案】C【例5】 不等式215x +≥的解集在数轴上表示正确的是 ( )DCBA【考点】解一元一次不等式 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】【解析】考查不等式求解和用数轴表示其解集．注意取实心点的条件，不等式的解为2x ≥答案：D【答案】D【巩固】不等式50x --<的解集在数轴上表示正确的是()DCBA【考点】解一元一次不等式 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】 【解析】B 【答案】B【例6】 解不等式：3(2)61x x +<- 【考点】解一元一次不等式 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略．【答案】73x >【例7】 解不等式：32(1)(2)24234x xx ----≥【考点】解一元一次不等式 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略．【答案】9837x ≥【例8】解不等式：32(1)423x x-->+【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略．【答案】3x<-【例9】解不等式：2131 32x x+-≥+【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略．【答案】5x≥-【巩固】解不等式：3421 63x x--≤；【考点】解一元一次不等式【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】2x-≥【例10】解不等式：37125(1)x x-<--【考点】解一元一次不等式【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】7x>-【例11】解不等式：3543 22x x-≤-【考点】解一元一次不等式【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】1x≥-【例12】解不等式：56638 32x x--+>【考点】解一元一次不等式【难度】3星【关键词】【解析】略【答案】42x>【例13】解不等式：3144 (2)(2) 7337x x-+>--【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】本例若视(2)x-为一个整体，采取整体思维的方法，易求得：3x>．【答案】3x>【例14】解不等式：11 21311 x xx x-+<+---【考点】解一元一次不等式【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】2x<且1x≠【例15】解不等式：3(1)5182x xx+-+>-【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】53 x>【例16】解不等式：12 (2)55 x x-≤-【考点】解一元一次不等式【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】0x≥【例17】解不等式：5192311 236x x x+--+≤【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【答案】9837x ≥【例18】 求不等式3(1)5182x x x +-+>-的解集． 【考点】解一元一次不等式【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】对本例，首先应去分母，化成标准形式求解．去分母，得()()831845x x x ++>--去括号，得8338420x x x ++>-+ 移项， 得8348203x x x ++>+-合并同类项，得1525x >系数化为1，得53x >【答案】53x >【例19】 解不等式：()()3144227337x x -+>--【考点】解一元一次不等式 【难度】4星 【题型】解答【关键词】整体思想【解析】本例若视(x －2)为一个整体，采取整体思维的方法，可找到十分简捷的解法．或者采取先去括号，再分组结合，也可获得巧妙解法解法一：移项，得()()3441227733x x -+->-合并同类项，得21x ->∴3x >解法二：去括号，得361773x -+＞448377x -+移项，得344186773377x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴3x > 【答案】3x >【例20】 解不等式：()()3112112272x x x ---+≥【考点】解一元一次不等式 【难度】4星 【题型】解答【关键词】整体思想【解析】把21x -视为一个整体，采取整体思维．解法一：()()()31212121072x x x -+---≤()31121072x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭≤210x -≤12x ≤解法二：()()()3121122172x x x ---+-≥()()31212172x x ---≥∴210x -≤∴12x ≤【答案】12x ≤【巩固】解不等式：11423255x x x x -+>++--【考点】解一元一次不等式 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】【解析】两边同时消去15x -，得4232x x ->+，得4x >．但应注意到原不等式中50x -≠即5x ≠，所以，在解集4x >中应去掉5x =，因此，原不等式的解集为x ＞4且5x ≠．【答案】x ＞4且5x ≠．【例21】 311(21)(12)272x x x --≥-+【考点】解一元一次不等式 【难度】4星 【题型】解答【关键词】整体思想【解析】原式可变形为：31(21)(12)(21)72x x x --≥-+-，把(21)x -视为一个整体，采取整体思维，易得：12x ≤．【答案】12x ≤【例22】 不等式132x x +>的负整数解是_______．【考点】解一元一次不等式 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略【答案】-5，-4，-3，-2，-1【例23】 不等式111326y y y +---≥的正整数解为__________． 【考点】解一元一次不等式【难度】3星 【题型】填空 【关键词】【解析】去分母得(y+1)-2(y-1)≥0，y≤3故正整数解为1，2，3． 【答案】1，2，3．【巩固】求不等式12123x x +-≥的非负整数解． 【考点】解一元一次不等式 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】首先解这个不等式，然后在不等式的解集中找出符合题意的解．12123x x +-≥， ()()31221x x +-≥，33x x +≥4-2， 5x --≥， 5x ≤．所以满足这个不等式的非负整数解为x =0，1，2，3，4，5．【答案】x =0，1，2，3，4，5．【例24】 解不等式2(1)34(1)5x x x +->++【考点】解一元一次不等式 【难度】3星 【题型】解答【关键词】整体思想【解析】采用整体思想，2(1)3(1)24(1)x x x +-+->+，易得75x <-．【答案】75x <-【例25】 当x 为何值时，代数式2113x +-的值不小于354x+的值？ 【考点】解一元一次不等式 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解．依题意，得2135134x x++-≥∴()()42112335x x +-+≥8159124x x -+-≥ 717x -≥∴177x -≤所以，当177x -≤时，代数式2113x +-的值不小于354x+的值． 【答案】177x -≤二、 绝对值不等式【例26】 解下列不等式： x a <；【考点】含绝对值的不等式 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】当0a >时，不等式的解集为a x a -<<；当0a ≤时，不等式无解集； 【答案】当0a >时，不等式无解集；【巩固】x a ≤；【考点】含绝对值的不等式 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】当0a >时，不等式的解集为a x a -≤≤；当0a =时，不等式的解集为0x =；当0a <时，不等式无解集；【答案】当0a >时，不等式的解集为0x =；当0a <时，不等式无解集；【巩固】x a >；【考点】含绝对值的不等式 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】当0a >时，不等式的解集为x a >或x a <-；当0a =时，不等式的解集为0x ≠；当0a <时，不等式的解集为全体实数；【答案】当0a >时，不等式的解集为0x ≠；当0a <时，不等式的解集为全体实数；【巩固】x a ≥．【考点】含绝对值的不等式 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略．【答案】当0a >时，不等式的解集为x a ≥或x a ≤-；当0a ≤时，不等式的解集为全体实数．【例27】 当x 为何值时|35|350x x +++=？ 【考点】含绝对值的不等式 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】【解析】原方程化为|35||35|x x +=-+。