(完整版)圆的参数方程练习题有答案
圆的参数方程
1.已知曲线C 的参数方程为?
????x ＝2cos θ
y ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)判断点A (2，0)，
B ?
???－3，3
2是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 解：将点A (2，0)的坐标代入?????x ＝2cos θy ＝3sin θ，得?????cos θ＝1，sin θ＝0.
由于0≤θ<2π，
解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.
将点B ????－3，32的坐标代入?
????x ＝2cos θy ＝3sin θ，
得????
?－3＝2cos θ，
32＝3sin θ，
即???cos θ＝－32，
sin θ＝1
2.
由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π
6
，
所以点B ????－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π
6
. 2.已知曲线C 的参数方程是?
????x ＝2t
y ＝3t 2－1，(t 为参数)．
(1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．
[思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在． (2)将点的坐标代入参数方程，解方程组．
[解] (1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程?
????x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得?????0＝2t
－1＝3t 2－1，∴t ＝
0.
即点M 1(0，－1)在曲线C 上．
把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程?
????x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得?????4＝2t
10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上，
∴?
???
?2＝2t ，a ＝3t 2－1. ∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.
3.已知曲线C 的参数方程为?
????x ＝t 2＋1
y ＝2t ，(t 为参数)．
①判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； ②若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：①把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．
把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上．
把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到????
?3＝t 2＋1，2＝2t ，即???t ＝±2，t ＝1.
故t 不存在，所以点E 不在曲线上． ②令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.
4.(1)曲线C ：?
????x ＝t
y ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．
解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，∴曲线C 与y 轴交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)
(2)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：?????x ＝t ＋1
y ＝1－2t ，(t 为参数)与曲线C 2：
?
???
?x ＝a sin θy ＝3cos θ，(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴，则a ＝________． 解析：由y ＝0知1－2t ＝0，t ＝12，所以x ＝t ＋1＝12＋1＝32.令3cos θ＝0，则θ＝
π
2＋k π(k ∈Z )，sin θ＝±1，
所以32＝±a .又a >0，所以a ＝3
2.
答案：32
5.已知某条曲线C 的参数方程为?
????x ＝1＋2t
y ＝at 2，(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5，4)在该曲线上，则常数a ＝________．
解析：∵点M (5，4)在曲线C 上，
∴?????5＝1＋2t 4＝at 2，解得?
????t ＝2，
a ＝1.∴a 的值为1. 答案：1
6.圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝4的一个参数方程为____________．
解析：令x ＋12＝cos θ，y －1
2＝sin θ得?????x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)．
答案：????
?x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ
(θ为参数)(注本题答案不唯一)
7.已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________．
解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.
令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为?????x ＝－1＋cos θ
y ＝3＋sin θ，(θ为参数)．
答案：?
???
?x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)
8.圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为( )
A.?????x ＝2＋4cos θ
y ＝－3＋4sin θ，(θ为参数) B.?????x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数) C.?????x ＝2－4cos θy ＝3－4sin θ，(θ为参数) D.?????x ＝－2－4cos θy ＝3－4sin θ
，(θ为参数) 解析：选B.∵圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为?
??
??x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ，(θ为参数)
∴圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为?
??
??x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数)
9.已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，则它的一个参数方程是____________．
解析：将x 2＋y 2＝2x 化为(x －1)2＋y 2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，∴它的
一个参数方程为?
????x ＝1＋cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)．
答案：?
????x ＝1＋cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)
10.已知圆P ：???x ＝1＋10cos θ
y ＝－3＋10sin θ
，(θ为参数)，则圆心P 及半径r 分别是( )
A ．P (1，3)，r ＝10
B ．P (1，3)，r ＝10
C ．P (1，－3)，r ＝10
D ．P (1，－3)，r ＝10
解析：选C.由圆P 的参数方程可知圆心P (1，－3)，半径r ＝10.
11.圆的参数方程为?
????x ＝2＋2cos θ
y ＝2sin θ，(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )
A ．(0，2)
B ．(0，－2)
C ．(－2，0)
D ．(2，0) 解析：选D.由?????x ＝2＋2cos θ
y ＝2sin θ得(x －2)2＋y 2＝4，其圆心为(2，0)，半径r ＝2.
12.直线：3x －4y －9＝0与圆：?
????x ＝2cos θ
y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )
A ．相切
B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆心
解析：选 D.圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝9
5
<2，故选 D.
13.已知圆C ：?????x ＝－3＋2sin θ
y ＝2cos θ
，(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x 轴交于A ，B 两点，则
|AB |＝________．
解析：令y ＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，故θ＝π2或3π2，当θ＝
π
2时，x ＝－3＋2sin π2＝－1，当θ＝3π2时，x ＝－3＋2sin 3π
2
＝－5，故|AB |＝|－1＋5|＝4.
答案：4
14.已知动圆x 2＋y 2－2x cos θ－2y sin θ＝0.求圆心的轨迹方程．
解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－2x cos θ－2y sin θ＝0得： (x －cos θ)2＋(y －sin θ)2＝cos 2θ＋sin 2θ，
∴?
????x ＝cos θ
y ＝sin θ这就是所求的轨迹方程．
15.P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6，0)，M 是PQ 中点， (1)画图并写出⊙O 的参数方程；
(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：(1)如图所示，
⊙O 的参数方程?????x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ.
(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)，因Q (6，0)， ∴M 的参数方程为???x ＝6＋2cos θ
2
，y ＝2sin θ2，
即?
????x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ. 16.已知点P (2，0)，点Q 是圆?
????x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨
迹是什么曲线．
解：设Q (cos θ，sin θ)，PQ 中点M (x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝2＋cos θ2＝
1
2cos θ＋1，y ＝0＋sin θ2＝1
2
sin θ.
∴所求轨迹的参数方程为?
??x ＝1
2
cos θ＋1y ＝12
sin θ(θ为参数)
消去θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1
4，
它表示以(1，0)为圆心、半径为1
2
的圆．
17.设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 2
1，x 1y 1)的轨迹方程是
____________．
解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．
则?????x ＝x 21－y 2
1＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝1
2sin 2θ.即?????x ＝cos 2θ，y ＝12
sin 2θ，为所求． 答案：????
?x ＝cos 2θy ＝12
sin 2θ
18.已知P 是曲线?
????x ＝2＋cos α
y ＝sin α，(α为参数)上任意一点，则(x －1)2＋(y ＋1)2的最大值
为________．
解析：将?
????x ＝2＋cos α
y ＝sin α代入(x －1)2＋(y ＋1)2得(1＋cos α)2＋(1＋sin α)2＝2sin α＋
2cos α＋3＝
22sin ???
?α＋π
4＋3， ∴当sin ????α＋π
4＝1时有最大值为3＋2 2. 答案：3＋22
19.已知点P (x ，y )在曲线C ：?
????x ＝1＋cos θ
y ＝sin θ，(θ为参数)上，则x －2y 的最大值为( )
A ．2
B ．－2
C ．1＋ 5
D ．1－ 5
解析：选C.由题意，得?
????x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ，
所以x －2y ＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ) ＝1－5????25sin θ－1
5cos θ
＝1－5sin ()θ－φ????其中tan φ＝12， 所以x －2y 的最大值为1＋ 5.
20.已知曲线C 的参数方程为?
????x ＝1＋cos θ
y ＝sin θ，(θ为参数)，求曲线C 上的点到直线l ：x
－y ＋1＝0的距离的最大值．
解：点C (1＋cos θ，sin θ)到直线l 的距离 d ＝|1＋cos θ－sin θ＋1|
12＋12
＝
|2＋cos θ－sin θ|
2
＝
????
2＋2cos ????θ＋π42
≤
2＋2
2
＝2＋1，
即曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2＋1.
21.(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?
????x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t
为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.
(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
?
????ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，
ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.
a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.
22.若P (x ，y )是曲线????
?x ＝2＋cos αy ＝sin α
，(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大
值为( )
A ．36
B ．6
C ．26
D ．25
解析：选A.依题意P (2＋cos α，sin α)，
∴(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(其中cos φ＝45，sin φ＝3
5
)
∴当sin(α－φ)＝1，即α＝2k π＋π
2
＋φ(k ∈Z )时，有最大值为36.
23.已知点P ????12，32，Q 是圆?????x ＝cos θy ＝sin θ
，(θ为参数)上的动点，则|PQ |的最大值是
________．
解析：由题意，设点Q (cos θ，sin θ)， 则|PQ |＝
????cos θ－122＋???
?sin θ－322
＝2－3sin θ－cos θ ＝
2－2sin ???
?θ＋π6 故|PQ |max ＝2＋2＝2. 答案：2
24.已知曲线方程?
????x ＝1＋cos θ
y ＝sin θ，(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离
的最小值为________．
解析：设曲线上动点为P (x ，y )，定点为A ，
则|P A |＝（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2 ＝
9＋42sin ???
?θ＋π
4， 故|P A |min ＝9－42＝22－1. 答案：22－1
25.已知圆C ?
????x ＝cos θ
y ＝－1＋sin θ，与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．
解：法一：∵????
?x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ
消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.
∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |
2≤1.
解得1－2≤a ≤1＋ 2.
法二：将圆C 的方程代入直线方程， 得cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，
即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ????θ＋π4. ∵－1≤sin ????θ＋π
4≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.
26.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点．
①求2x ＋y 的取值范围；
②若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．
解：圆的参数方程为?
????x ＝cos θ
y ＝1＋sin θ，(θ为参数)．
①2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(φ由tan φ＝2确定)，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.
②若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 成立．
且－(cos θ＋sin θ＋1)＝－2sin ????θ＋π
4－1
的最大值是2－1，则当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．
27.已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ???
?θ－π
4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解] (1)由ρ2－42ρcos ????θ－π
4＋6＝0， 得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，
∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，3分 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，
得圆的参数方程为???x ＝2＋2cos α
y ＝2＋2sin α
，(α为参数)6分
(2)由(1)知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin ????α＋π
4，9分 又－1≤sin ???
?α＋π
4≤1， 故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.12分
28.圆的直径AB 上有两点C ，D ，且|AB |＝10，|AC |＝|BD |＝4，P 为圆上一点，求|PC |＋|PD |的最大值．
解：如图所示，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．
圆的参数方程为?
????x ＝5cos θ，
y ＝5sin θ(θ为参数)．易知点C (－1，0)，D (1，0)．
因为点P 在圆上，所以可设P (5cos θ，5sin θ)． 所以|PC |＋|PD |
＝（5cos θ＋1）2＋（5sin θ）2＋（5cos θ－1）2＋（5sin θ）2 ＝26＋10cos θ＋26－10cos θ ＝（26＋10cos θ＋26－10cos θ）2 ＝52＋2262－100cos 2θ.
当cos θ＝0时，|PC |＋|PD |有最大值为226.
29.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈???
?0，π
2. (1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．
可得C 的参数方程为?
???
?x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．
(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，
所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π
3.
故D 的直角坐标为????1＋cos π3，sin π3，即???
?32，32.
圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1
最新高考数学解题技巧-极坐标与参数方程
2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即
极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略
极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略 【考纲要求】 （1）坐标系 ①了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 ②了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 ③能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 ④了解参数方程，了解参数的意义。能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。 ⑤能选择适当的参数写出直线，圆和椭圆的参数方程。了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解他们的区别。 （2）参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 ③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出他们的参数方程。 ④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨迹中的作用。 【热门考点】 高考题中这一部分主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程。冷点是推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。盲点是柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，摆线在实际中的应用，摆线在表示行星运动轨道中的作用。涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用。多以选做题形式出现，以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档题。 【常见题型】
参数方程题型大全
参数方程 1．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为????? x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． (4)双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程为????? x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)． (5)抛物线px y 22 =的参数方程可表示为)(. 2, 22为参数t pt y pt x ?? ?==. 基础练习 1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为?? ? x ＝2＋22t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)，则其普通方程为 ____________． 2．椭圆C 的参数方程为? ???? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 则|AB |min ＝________. 3．曲线C 的参数方程为? ???? x ＝sin θ， y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为??? x ＝1＋1 2t ， y ＝3 2t (t 为参数)，椭圆C 的方程 为x 2 ＋y 2 4 ＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_______________
4用椭圆和圆的参数方程解题
用椭圆和圆的参数方程解题 题1 (2004年全国高中数学联赛四川省初赛第16题)已知椭圆 )0(1:22 22>>=+b a b y a x C 和动圆)(:222a r b r y x T <<=+.若点A 在椭圆C 上，点B 在 动圆T 上，且使直线AB 与椭圆C 、动圆T 均相切，求点A ,B 的距离AB 的最大值. 解 如图1所示，可不妨设点A ,B 均在第一象限. 图1 由点A 在椭圆C 上，可设?? ? ? ? <<20)sin ,cos (παααb a A ，得椭圆C 在点A 处的切线方程为 1sin cos =+y b x a α α ① 由点B 在动圆T 上，可设?? ? ? ? <<20)sin ,cos (πβββr r B ，得圆T 在点B 处的切线方程为 r y x =+ββsin cos ② 因为①②表示同一条直线，所以 r b a 1 sin sin cos cos ==βαβα αβαβsin sin ,cos cos b r a r == 222221 sin cos r b a =+αα ) ()(cos 2222222 b a r b r a --=α 所以 22222222222 22cos )(sin cos r b b a r b a OB OA AB -+-=-+=-=ααα
2 2222222 2 )(2)()(b a ab b a r b a r b a -=-+≤???? ? ?+-+= 进而可得AB 的最大值是b a -. 题2 (2015年浙江省高中数学竞赛第17题)已知椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的离 心率为 2 3 ，右焦点为圆7)3(:222=+-y x C 的圆心. (1)求椭圆1C 的方程； (2)若直线l 与曲线21,C C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A 的坐标. 解法1 (1)(过程略)14 22 =+y x . (2)如图2所示，可设直线l 与椭圆1C 相切于点)sin ,cos 2(ααB ，得椭圆1C 在点B 处的切线方程为 2sin 2cos =+ααy x ③ 图2 还可设直线l 与圆2C 相切于点)sin 7,3cos 7(ββ+A ，得圆2C 在点A 处的切线方程为 7cos 3sin cos +=+βββy x ④ 由③④表示同一条直线，可得 7 cos 32 sin sin 2cos cos +==ββαβα 所以 7 cos 3sin sin ,7cos 3cos 2cos +=+= ββ αββα
圆的参数方程教案 人教课标版(优秀教案)
《圆的参数方程》教案 单位：阳泉市荫营中学姓名：任慧琴 邮编： 一．教学内容分析 教科书是在学习了曲线的参数方程之后，以匀速圆周运动为引子，之后根据三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。在介绍了圆的参数方程以后，通过例题，介绍了利用参数求轨迹方程问题.在教科书的基础上，需要在学习了圆心在原点的圆的参数方程之后，由学生探究得到圆心不再原点的圆的参数方程，使圆的参数方程更加完整。 本节学习中知道圆的参数方程的形式并加以应用，是一个重点，但利用参数求轨迹的参数方程是本讲的重要课题。教科书先安排“圆的参数方程”，是因为圆的参数方程的探求过程比较简单。 本节是我们探求的第一类参数方程，故在教学中要引领学生学习求曲线的参数方程的方法及步骤。另外，参数方程中参数多数都具有几何意义或物理意义，教学中要让学生体会如何根据具体问题的几何特点或物理意义选择适当的参数比较有利。在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得容易.因为参数方程把曲线上点的坐标通过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上点的坐标的特点.教科书中的例，就是把曲线的普通方程转化为参数方程后加以解决的.许多问题可以作这样的转化，当然有时也把给定参数方程的问题转化为普通方程来解决.教科书中的例也可
以直接用普通方程来解决. 二．教学目标 （一）知识技能目标 .理解圆心在原点,半径为r的圆的参数方程,能较熟练地求出圆心 原点,半径为r的圆的参数方程. .明确参数θ的意义,能说明参数θ与圆上一点坐标变量,x y之间的联系. .理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程. .能将圆的参数方程与普通方程进行相互转化,会用圆的参数方程去解决一些简单的轨迹问题问题. （二）过程方法目标 .引导学生求圆心不在原点的圆的参数方程，使学生体会求参数方程的方法和步骤. .通过学生讨论探求圆心不再原点的圆的参数方程，使学生自主学习，发散思维. ．例题的教学中增加变式，强化对问题的理解，得到一般性的结论. （三）情感态度价值观 .通过本节的教学互动,进一步培养学生观察、猜想、验证、证明的能力，激发其学习数学的兴趣. 三．教学重点难点 重点是：圆心在原点与圆心不在原点的圆的参数方程.
用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略
用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略 高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。高考热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程，推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。其中以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档难度题。常以选考题的形式出现，此外在高考数学的选择题和填空题中，用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的效果，必须引起教与学的足够。因此，对常见题型及解题策略进行探讨。 一、极坐标与直角坐标的互化 1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等. 2.直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤： (1)运用ρ＝x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0)；
(2)在[0，2π)内由tan θ＝y x (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符 号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置). 解题时必须注意： ① 确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可. ② 平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点. ③ 进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点： Ⅰ.注意ρ，θ的取值范围及其影响. Ⅱ.重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用. 例如、（2015年全国卷）在直角坐标系xOy 中。直线 1C : 2x =-，圆2C ：()()22 121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系。 （I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4 R π θρ=∈，设2C 与3C 的交点 为M ,N ,求2C MN V 的面积 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为 cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+= （Ⅱ）将4 π θ= 代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得 240ρ-+=，解得12ρρ== 12ρρ-=||MN =
极坐标与参数方程题型及解题方法65164
Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，() ()2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
极坐标和参数方程题型及解题方法
一、复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为),(y x ，在极坐标系下的坐标为),(θρ，则有下列关系成立：ρ θx = cos ，ρ θy = sin ， 3、 参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x 表示什么曲线？ 4、 圆2 2 2 )()(r b y a x =-+- 的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设ρ=OP OP ，又θ=∠xOP . ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置. 6、参数方程的意义是什么？ 二、题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化
(3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 22 2（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可 消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有42 2=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B. 练习1、与普通方程2 10x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数） 解析：所谓与方程2 10x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解. 对于A 化为普通方程为[][]2 101101x y x y +-=∈-∈，，，，； 对于B 化为普通方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为2 10[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，， ，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，. 而已知方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B . 练习2、设P 是椭圆2 2 2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 . 分析：注意到变量),(y x 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然),(y x 既满足2 2 2312x y +=，又满足2x y t +=，故点),(y x 是方程组 222312 2x y x y t ?+=? +=?的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一???==t y t x A 2cos sin ???-==t y t x B 2tan 1tan ???=-=t y t x C 1???==t y t x D 2sin cos
(完整版)圆的参数方程及应用
圆的参数方程及应用 对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆221x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=?。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++?2sin 2cos2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆2 2 4x y +=上有定点A （2，0），及 两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC= 3 π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。 【解】由∠BAC=3 π ，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403πθ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23π ))，由重心坐标公式并化简，得： C x y O A B 图1
(完整版)圆的参数方程及应用.docx
圆的参数方程及应用 对于圆的普通方程 (x a)2 ( y b)2 R 2 来说，圆的方程还有另外一种表达 x a Rcos 形式 ( 为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达 y b Rsin 形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例 1 已知点（ x ，y ）在圆 x 2 y 2 1上，求 x 2 2xy 3y 2 的最大值和最小值。 【解】圆 x 2 y 2 1的参数方程为： x cos 。 y sin 则 x 2 2xy 3 y 2 = cos 2 2sin cos 3sin 2 = 1 cos2 sin 2 3 1 cos2 2 sin 2 cos2 = 2 2 sin(2 2 2 k 3 （k ∈Z ）时， x 2 2xy 3 y 2 的最大值为： 2 2 ； k 8 时， x 2 2xy 3y 2 的最小值为 2 2 。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问 y 题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的 ) ，则 4 （ k ∈Z ） 8 方法解决。 B 二、求轨迹 O A x C 例 2 在圆 x 2 y 2 4 上有定点 A （2，0），及 图 1 两个动点 B 、C ，且 A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC= ，求△ABC 的重心 G （x ， y ）的轨迹方程。 3 ，得∠BOC= 2 4 ），则 B(2cos θ,2sin 【解】由∠BAC= ，设∠ABO= θ（ 0 3 3 3 θ)， C(2cos(θ+ 2 )，2sin(θ+ 2 ))，由重心坐标公式并化简，得： 3 3
坐标与参数方程题型解题方法
极坐标与参数方程题型及解题方法 Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程 { cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径， θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数) ,(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程22 22 t t t t x t y --?=-??=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项， ()()2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有 224 y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B 练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数） 222 sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t ===????=?????==-==????? 解析：所谓与方程2 10x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变 化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解. 对于A 化为普通方程为[][]2 101101x y x y +-=∈-∈，，，，； 对于B 化为普通方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为2 10[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，. 而已知方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，， 显然与之等价的为B. 练习2、设P 是椭圆2 2 2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 . 分析：注意到变量(),x y 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设 2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然(),x y 既满足2 2 2312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t ?+=?+=? 的公共解，依题意得直线
参数方程解题的题型
1、已知曲线C 的极坐标方程为22(4cos ρθ-)-12=0，以极坐标的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l 的倾斜角为α，且l 过点(1,P . （1）求C 的直角坐标方程和l 的参数方程 （2）设直线l 与曲线交于,A B 两点，求||||PA PB ?的取值范围 2、设直线l 经过点0(1,5)M ，倾斜角为3 π.（1）求直线l 的参数方程 （2）求直线l 和直线0x y --=的交点到点0M 的距离 （3）求直线l 和圆2216x y +=的两个交点到点0M 的距离的和与积 3、已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴 重合，直线l 的极坐标方程为cos sin ρθρθ+=1，曲线C 的参数方程为22x t y t ?=?=? （t 为参数）. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程 （2）设(1,0)F ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||AF BF ?的值
4、已知直线l 的参数方程为1 x y t ?=??=??（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为34πρθ??=+ ???.（1）求圆C 的标准方程 （2）直线 l 与圆C 交于,A B 两点，(1,P ，求|||||| PA PB -5、已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合. 曲线1C ：1x y ?=??=??（t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为cos 2cos ρρθθ=+8. （1）将曲线12,C C 分别化为普通方程、直角坐标方程，并说明是什么曲线； （2）设(1,0)F ，曲线1C 与曲线2C 相交于不同的两点,A B ，求||||AF BF +的值. 6、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x y t ?=??=??（t 为参数），以坐标 原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位建立极坐标系，得到曲线C 的极坐标方程为22cos sin ρθθ=+（0ρ≥）. （1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度； （2）若,M N 是曲线C 上两点，且OM ON ⊥，求线段MN 的长度. 7、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x a y b θ θ=??=?（θ为参数），其中0a b >>. 以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2cos ρ?=，射线l ：θα=(0)ρ≥.若射线l 与曲线1C 相交于点P ，射线l 与曲线2C 交于点Q ，当α=0时，
圆的参数方程及应用
圆的参数方程及应用 对于圆的普通方程（x a ）2 3 （y b ）2 R 2来说，圆的方程还有另外一种表达 形式 （为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达 y b Rsi n 形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 、求最值 2 【解】由 /BAC=—，得/BOC= ，设 Z ABO= 9（ 0 3 3 2 2 9），C （2cos （9+一），2sin （9+ ）），由重心坐标公式并化简，得: 3 3 ■? 例1已知点（x ， y )在圆x 2 y 2 1 上, 求 x 2 2xy 3y 2的最大值和最小值。 【解】圆x 1的参数方程为: cos 。 sin 则 x 2 2xy 3y 2 = cos' i 2 2sin cos 3sin 2 =1 cos2 =2 3 k — (k ?)时, 8 1 cos 2 sin2 3 2 sin2 cos2 2 x 2 2xy 3y 2的最大值为： =2 2sin(2 2，则
时，x2 2xy 3y2的最小值为2近。 —)，则B(2cosB,2sin 3
2 x - 3 y 2si n() 3 3 2 消去0得：(x m2 y2 【点评】用圆的几何性质，/ BOC=2ZBAC=120 °，再以A BO= B为参数，求 出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x的范围的限定。 三、求范围 例3已知点P (x，y)是圆X2 (y 1)2 1上任意一点，欲使不等式x+y+c> 0恒成立，求c的取值范围。 0=1+、、2sin( —)，— ( x+y) =—1 —、、2sin( —)，— ( x+y)的最大值为：一1+、、2，由于x+y+c为，所以，c>—(x+y)恒成立，即c>-1^, 2。 【点评】将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简洁易算 四、求斜率 1)所连线的斜率，最值在切线处取得，容易求 得最大值为：4 4，最小值为：0。 2 cos( ) 3 3,由3 5 亍§，知X V 1, 【解】圆x2 (y 1)21的参数方程为: x cos 口「亠 ，贝9有：x+y=1+sin 0+cos 例4求函数f() 值。【解】函数f() 为圆心的 单位圆上的点
圆的参数方程,椭圆的参数方程,高考参数方程专题复习(专题训练)
参数方程总复习 1.参数方程与普通方程的互化： （1）参数方程化为普通方程：实质是消元，利用代入、加减、除商或三角恒等变换等消去参数，就可以化为普通方程，消元过程中要注意参数的范围。 （2）普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。 2.常见的参数方程： （1）直线l 的参数方程为：? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），其中α为直线的倾斜角，（x 0，y 0）为直线上一点。 ???==α αsin -cos -00t y y t x x ，两式相除消去参数t 有，k x x y y ===αααtan cos sin --00； 注意：若为直线上两点，其对应的参数分别为，线段的中点为，点所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到： ①；②；③；④； （2）圆222)()x a y b r -+-=的参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θθθ=+?∈?=+? 为参数，利用 1sin cos 22=+θθ可以消去参数θ； （3）椭圆22221x y a b +=的参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a y b θθθ =?∈?=?为参数，利用1sin cos 22=+θθ可以消去参数θ； （4）双曲线12222=-b y a x 的参数方程为：???==θθtan sec b y a x 或? ??==θθec a y bt x s an （θ为参数），利用 1tan sec 22=-θθ可以消去参数θ； （5）抛物线y 2 ＝2px (p >0)的参数方程为：???==pt y pt x 222 （t 为参数，p ＞0）； 3.常考题型：题型一、参数方程与普通方程的互化；题型二、参数方程的应用。 4.利用参数方程可以解决最值、变量范围、点的轨迹方程等问题，有时具有很大的优越性。参数方程的应用最后往往转化为三角函数的问题。 ,A B l 12,t t AB M M 0t 1202 t t t +=1202t t PM t +==21AB t t =-12PA PB t t ?=?
圆的参数方程
圆的参数方程在求两类三角函数最值（值域）中的运用 一、知识回顾：圆的参数方程。 ①：{ θθ rCos x rSin y r y x ==→ =+2 22 [ P （x ，y ）为圆O （0，0）上任意一点，∠POX=θ。］ ②： 222 )() (r b y a x =-+- { θθrCos a x rSin b y +=+=→ [ P （x ，y ）为圆' O （a ，b ）上 任意点，∠θ=' ' X PO 。］ 由于曲线的参数方程因参数选择的不同而发生形式上的差异，上述圆的参数方程又可分别表示为： { { αααα rSin a x rCos b y rSin x rCos y +=+===; 。 注意到这里θα≠，而θπ πα-+=2 2k （Z k ∈），上述圆的参数方程还可写成别的 与之对应的形式，如： { { α ααα rCos a x rSin b y rCos x rSin y -=+=-==; [ )(2Z k k ∈-+=θππα ]。 由圆的参数方程的不同表现形式，深化对参数方程实质的理解。 二、问题的切入： 圆的参数方程形式与三角函数问题紧密联系起来了。因此三角函数中的某些问题是否可以借鉴解几中圆的相关知识求解，以下从解几的角度分析两类三角函数最值（值域）问题。 例1：求αααα22 cos 3cos sin 6sin -+的最值。 解析：容易化为 12co s 22s i n 3--αα，令 { α α2c o s 2s i n ==x y ，关键在于求
x y 232cos 22sin 3-=-αα的最值。注意到 { α α 2cos 2sin ==x y 为圆12 2=+y x 的参数方程。取3,332,23t t x y x y t += -=表示一族平行于直线x y 3 2 =的直线在y 轴上的截距（0≠t ）。 由圆心到直线的距离小于等于半径显然易得,1313≤≤-t 故所求最大值为113-，最小值为113--，从而问题获解。 提问：若用方程思想，该作何求解？ （由122=+y x ，,23x y t -=即1)3 32 (22=++t x x 有解，由判别式大于等于零易 得,1313≤≤-t 得之。） 学生以前学过“求函数αααα22 cos 3cos sin 2sin ++的最值”问题，例1是这 一问题的变形和深化。由这一熟悉的三角函数最值问题，诱导学生寻求别的解题思路。这一问题设置实现了过去（三角函数最值问题）、现在（圆的参数方程及直线与圆的位置关系）、未来（椭圆的参数方程及直线与椭圆的位置关系）的时间跨越，并以此为契机，调动学生思维，使其在新旧知识的穿梭中实现知识点的网络化，提高数学思维品质。“简单问题的复杂化，复杂问题的简单化”是一种有利于培养学生解题能力的教学策略。后者通常可以接受，但前者似为荒诞。然而，通过艰难的探寻而最终获得解答的方法教学对学生造成的心理愉悦比直接告知以结果要浓烈得多。这一愉悦的心理又是学生对数学产生兴趣的重要前提。教师应有效地通过学科教学培养学生坚韧不拔、锲而不舍的人生态度和精神。另外，通过这一例题可实现“简单问题复杂化”过程，有利于迅速切入主题。 方法的提升总结： )0(cos sin ≠+ab b a αα型函数最值（值域）的求法。 例2：求α α cos 32sin 3+的值域。 分析一：α α cos 32sin 3+的几何意义表示过点αsin 3,2(）、)0,c o s 3(α-的直线之 斜率（斜率存在）。而该两点均为动点，讨论不便。 分析二：α αcos 32sin 3+的几何意义表示过点P ααsin 3,cos 3(）、A )0,2(-的直 线斜率，且易知该直线斜率必存在。而点P 在圆： ? ??==αα cos 3sin 3x y （圆心在原点，半径为3）上。
参数方程直线圆专题练习
参数方程直线、圆专题练习... 评卷人得分 一．选择题（共9小题） 1．曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣y﹣2=0，P、M分别为曲线C和直线l上的点，则|PM|的最小值为（） A．0 B．C．D．2 2．直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（）A．B．C． D． 3．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（）A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为（） A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线 5．参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支 6．椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（）A．（±4，0）B．（0，±4）C．（±5，0）D．（0，±3） 7．已知α是锐角，则直线（t为参数）的倾斜角是（）A．αB．α﹣C．α+D．α+ 8．已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（） A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知椭圆的参数方程（t为参数），点M在椭圆上，对应参数t=，点O为原点，则直线OM的斜率为（） A．B．﹣C．2 D．﹣2 评卷人得分 二．填空题（共16小题） 10．参数方程（α为参数）化成普通方程为． 11．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是．12．椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为 13．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是． 14．若直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相切，则实数m的值为． 15．设点A是曲线是参数）上的点，则点A到坐标原点的最大距离是． 16．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为． 17．参数方程（θ为参数）化为普通方程是． 18．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1：（θ为参数），曲线C2：ρcos（θ+）=t，若两曲线有公共点，则t的取值范围是． 19．直线（t为参数）对应的普通方程是．