11级第4次习题_思考题参考答案

11级第4次习题_思考题参考答案1、将布洛赫函数中的调制因子u k (r )展成傅立叶级数，对于近自由电子，当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下，此级数有何特点？ 在紧束缚模型下，此级数又有什么特点？答：由布洛赫定理可知，晶体中电子的波函数：)()exp()(r u r k i r k k=ψ对比本教科书(4-24)式的一维形式和(4-46)的三维形式的修正项，具体写出u 的形式，并论证其周期性，以一维的为例：将()k x ψ变形得：2222(){1}[(2)]2ni xikxnak nV x enk k m aπψπ=+-+∑则有2222()1[(2)]2ni xnak nV u x e nk k m aππ=+-+∑则2()222()1[(2)]2ni x ma nak nV u x ma e nk k m aππ++=+-+∑222221[(2)]2ni xi mn nanV e enk k m aπππ=+-+∑(m 为整数)因为mn 为整数，所以21i mneπ=，于是2222()1[(2)]2ni xnak nV u x ma enk k m aππ+=+-+∑可见，u k (x )是周期函数，于是有：()()ikxk k x u x ψ=在紧束缚模型下，电子的波函数是本教科书(4-57)式，再此基础上写出u 的形式，并论证其周期性(过程略)。

2、波矢空间与倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？答：波矢空间与倒格空间处于同一空间，倒格空间的基矢分别为321,,b b b，而波矢空间的基矢可以认为也是321,,b b b ，但是受周期性限制，波矢空间的基矢则分别为222211,,N bN b N b，N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321,,a a a方向晶体的原胞数目。

倒格矢空间中一个倒格点对应的体积为：*321)(Ω=⨯⋅b b b波矢空间中一个波矢点对应的体积为：NN b N b N b *332211)(Ω=⨯⋅即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N 。

由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。

也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。

因此，在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。

3、简叙紧束缚近似方法的思想。

答：电子在一个原子(格点)附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其它原子(格点)势场的作用看作是微扰，将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合，这样可以得到原子能级和晶体中能带之间的关系。

一个原子能级εi 对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。

当原子形成固体后，形成了一系列的能带。

能量较低的能级对应内层电子，其轨道较小，原子之间内层电子的波函数相互重叠较少，所以对应的能带较窄。

能量较高的能级对应外层电子，其轨道较大，原子之间外层电子的波函数相互重叠较多，所以对应的能带较宽。

4、近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？答：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。

这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。

这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。

5、紧束缚模型电子的能量是正值还是负值？答：紧束缚模型电子在原子附近的几率大，远离原子的几率很小，在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近。

因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近。

孤立原子中电子的能量是一负值，所以紧束缚模型电子的能量是负值。

s 态电子能量表达式：∑=⋅--=nearerR Rk i s at ss s s e R J J E E )(0即是例证，其中孤立原子中电子的能量ats E 是主项，是一负值，J 0和()s J R 是小量，也是负值。

6、与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？答：当电子的波矢k满足关系式：0)2(=+n n G k G时，与布里渊区边界平行且垂直于n G的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用。

此时，电子的波矢很大，波矢的末端落在了布里渊区边界上，k垂直于布里渊区边界的分量的模等于2||n G 。

7、在布里渊区边界上电子的能带有何特点?答：电子的能带依赖于波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。

若电子所处的边界与倒格矢n G 正交，则禁带的宽度E g =2|V (n G)|。

V (n G)是周期势场的傅立叶级数的系数。

不论何种电子，在布里渊区边界上，其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区边界正交。

8、紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比较，哪一个宽？为什么？答：以s 态电子为例。

紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分J s 的大小，而积分：rR r R r r r d )()]()([)(*n ats n at N at s s V V J ----=⎰ϕϕΩ的大小又取决于)(r ats ϕ与相邻格点的)(n at s R r -ϕ的交迭程度。

紧束缚模型下，内层电子的)(r at s ϕ与)(n at s R r -ϕ交叠程度小，外层电子的)(r at s ϕ与)(n at s R r -ϕ交迭程度大。

因此，紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比较窄，外层电子的能带宽。

9、根据能带理论简述金属、半导体和绝缘体的导电性。

答：对于金属：电子在能带中的填充可以形成不满带，即导带，因此它们一般是导体。

对于半导体：从能带结构来看与绝缘体的相似，但半导体禁带宽度较绝缘体的窄，依靠热激发即可以将满带中的电子激发到导带中，因而具有导电能力。

对于绝缘体：价电子刚好填满了许可的能带，形成满带。

导带和价带之间存在一个很宽的禁带，所以在电场的作用下没有电流产生。

10、绝对零度时，价电子与晶格是否交换能量?答：晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量。

格波的能量子称为声子，价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量。

频率为ωi 的格波的声子数：11/-=Tk i B i en ω从上式可以看出，绝对零度时，任何频率的格波的声子全都消失。

因此，绝对零度时，价电子与晶格不再交换能量。

11、试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。

答：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。

准经典运动的基本公式有：晶体电子的准动量为 k p =； 晶体电子的速度为 )(1k v k E ∇=； 晶体电子受到的外力为 dtd kF =晶体电子的倒有效质量张量为 βααβk k E m ∂∂∂=)(1122*k ；在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足： )(B v Εk ⨯+-=edt d)(*B v Εv ⨯+-=medt d 12、试述有效质量的意义。

引入它有何用处？答：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。

13、一维周期场中电子的波函数)(x k ψ应当满足布洛赫定理。

若晶格常数为a ，电子的波函数为：(1)x a x k πψsin )(=；(2)x a i x k πψ3cos)(=；(3)∑∞-∞=-=i k ia x f x )()(ψ(其中f 为某个确定的函数)。

试求电子在这些状态的波矢，并给出相应的布洛赫函数。

答：布洛赫函数可写成)()(x u e x k ikxk =ψ，其中，)()(x u a x u k k =+或写成)()(x e a x k ika k ψψ=+(1))(sin sin)(x axa a x a x k k ψππψ-=-=+=+故 1-=ikaeak π=)(sin )(x u e x a e ex k x a i x a i x ai k ππππψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=- 显然有)()(x u a x u k k =+ 故布洛赫函数为：x ae x u x ai k ππsin)(-=；而x ax k πψsin)(=的波矢是aπ。

(2))(3cos )(3cos )(x axi a a x i a x k k ψππψ-=-=+=+ 所以 1-=ikaeak π=)(3cos )(x u e a x i e ex k x ai x a i xai k ππππψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-显然有)()(x u a x u k k =+ 故布洛赫函数为：ππa x i e x u x ai k 3cos)(-=；而x a i x k πψ3cos )(=的波矢aπ。

(3))()(])1([)()(x ma x f a i x f ia a x f a x km i i k ψψ=-=--=-+=+∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=故 1=ikae 0=k)( )( )(00x u e ia x f ex k xi i ai k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑∞-∞=ψ 故布洛赫函数为： )()(∑∞-∞=-=i k ia x f x u ；而∑∞-∞=-=i kia x f x )()(ψ的波矢为0。

*要注意的是，上述所确定的波矢k 并不是唯一的，这些k 值加上任一倒格矢都是所需的解。

因为k 空间中相差任一倒格矢的两个k 值所描述的状态是一样的。

14、已知一维晶体的电子能带可写成：)2cos 81cos 87()(22ka ka ma k E +-= 。

式中a 是晶格常数。

试求(1)能带的宽度；(2)电子在波矢k 的状态时的速度；(3)能带底部和顶部电子的有效质量。

答：(1)在能带底k =0处，电子能量为E (0)=0；在能带顶ak π=处，电子能量为222)(ma a E =π故能带宽度为222)0()(maE a E E =-=∆π； (2)电子在波矢k 的状态时的速度为11()(sin sin 2)4dE k ka ka dk ma υ==- (3)电子的有效质量为kaka mdk Ed m 2cos 21cos /222*-==于是有在能带底部电子的有效质量为m m 2*1=；在能带顶部电子的有效质量为m m 32*2-=。