噪声控制中和声学基础

本 声振动作为一个宏观的物理现象，必然要满足三个基本的物理定 讲 律，即牛顿第二定律、质量守恒定律及热力学定律，可得运动方 内 程、连续性方程和物态方程。
容 2.2.1 运动方程（1）
在平面波声场中取一微小体积元Sdx ，在x方向的位置 从x到x+dx，横截面积为S。
本 讲
2.2.1 运动方程（2）
膨胀，在压缩的地方压强增加，在膨胀的地方压强减少， 这样就在原来的大气压上又叠加了一个压强的变化。这个 叠加上去的压强变化是由于声波而引起的，称为声压，用 p表示。
无声扰动时媒质压强是称为P0静压强；有声扰动时媒质压 强为P，则有声扰动时压强与静压强的差值就是声压p， 即：p=P- P0
由于声传播过程中，同一时刻，对不同位置的扰动不同， 因而不同位置声压不同；对于同一位置，不同时刻扰动的 大小也不相同，因而不同时刻的声压也不相同，故声压表 现为时间和空间的函数，即：p=p(x,y,z,t)。
本 2.1.2. 声压（2）
讲
内 容
同样，密度的增量ρ’=ρ-ρ0，也是时间和空间的函数，即： ρ’=ρ’(x,y,z,t)。
质点振动速度也是描述声波的物理参量，但声压易测得， 并可由此求得质点速度，故常用声压描述声波性质。
一般情况下，声压与大气压相比是极弱的。声压的大小与 物体的振动有关，振幅愈大，则压强的变化也愈大，因而 声压也愈大，我们听起来就愈响，因此声压的大小表示了 声波的强弱。
实际声源介于两者之间。并且声源的尺寸越大，频率越高，则声波的指 向性就越强。
【关于声场随时间变化的部分，主要考虑在稳定的简谐声源作用下产生 的稳态声场。这有两方面的原因：一是相当多的声源是随时间作简谐振 动的；二是根据傅氏变换，任意时间函数的振动原则上都可以分解为许 多不同频率的简谐函数的叠加 ，只要对简谐振动分析清楚，通过不同频 率的简谐振动的叠加(或积分)求得这些函数的振动规律。因此随时间简 谐变化的声场是分析随时间复杂变化的声场的基础。】
T 0
pt2dt
当物体作简谐振动时，空间某点产生的声压也是随时间简 谐变化的，因而上式变为：
p pm / 2
其中，pm为声压幅值。
本 2.1.2. 声压（4）
讲
内 衡量声压大小的单位在国际单位制中是帕斯卡，简称帕， 容 符号是Pa，1Pa=1N/m2。
日常生活中所遇到的各种声音，其声压数据举例如下：
容
p(x,t) p(x)e jt
其中，ω为声源简谐振动的圆频率。对一般情况，上式中还 应引入一个初相角，但它对稳态声传播性质的影响不大，这
里为简单起见就将它忽略了。
将解代入波动方程有：
d
2 p(x) dx2
k
2
p(x)
0
式中，k为波数，k=ω/c0。
P(x)的解为：
p(x) Aekx Bekx
p e j(t kx) A
代表沿x正向行进的波。在某时刻、
某位置(t0、x0)，声场的声压为：p( x0 , t0 )
p e j (t0 kx0 ) A
经过Δt时刻位置移动了Δx，此时t= t0+Δt，x= x0+Δx=
x0+ c0Δt= x0+ (ω/k)Δt。此时声压为：
p( x0
x, t0
t)
也会消失。这说明物体的振动产生了声音。
振动发声的物体被称为声源。声源可以为固体、液体与气 体。机器、流水、风都会产生声音。
并非所有物体的振动都能为人耳听见，只有振动频率在 20-20000Hz的范围内产生的声音，人耳才能听到。这一 频率范围的振动称为声振动，声振动属于机械振动。
物体振动所传出的能量，只有通过介质传到接收器(如人 等)，显示出来的才是声音。因而声音的形成是由振动的 发生、振动的传播这两个环节组成的。
p e j(tkx) B
代表沿x负向行进的波。
p(x,t) Ae j(t kx)
本 2.3.2 平面声场的特性（2）
没有振动就没有声音，同样，没有介质来传播振动，也就 没有声音。
本 声波形成及传播小结
讲
内 作为传播声音的中间介质，必须是具有惯性和弹性的物质， 容 因为只有介质本声有惯性和弹性，才能不断地传递声源的
振动。
空气正是这样一种介质，人耳平时听到的声音大部分也是 通过空气传播的。
传播声音的介质可以是气体，也可以是液体与固体。在空 气中传播的声音称做空气声，在水中传播的声音称做水声， 在固体中传播的声音称做固体声(或结构声)。
播方向称为波线或射线。均匀媒质中波线垂直于波阵面。
波阵面为球面即称球面波。波阵面为平面即为平面波。
如果波长比声源尺寸大得多，声波就以声源为球心，以同样的速度，向 各个方向辐射出去，这种声源称为点声源。显然点声源的波阵面是球面， 因此为球面波。平面波的波线是同一方向，故有很强的方向性。球面波 则无指向性。
的声压又在随时间而变化，也就是说声压随位置的分布还
随时间而变化。本节就是要根据声波过程的物理性质，建
立声压随空间位置的变化和随时间的变化两者之间的联系，
这种联系的数学表示就是声波动方程。
本节主要内容
理想流体媒质的四个假定 理想流体媒质的三个基本方程 小振幅声波一维波动方程
本 讲
理想流体媒质的四个假定
内 容
体积元左侧受力：
体积元右侧受力：
体积元受到合力为：
根据牛顿第二定律
整理后，有：
本 讲
2.2.1 运动方程（3）
内 容
又因其中：
加速度=本地加速 度+迁移加速度：
于是：
略去二阶以上的 微量，有：
此方程即运动方程，它描述了声压与质点速度之 间的关系。
本 2.2.2 连续性方程（1）
讲
内 仍在平面波声场中取一微小体积元Sdx 。连续性方程，实 容 际上就是质量守恒定律，即媒质中单位时间内流入体积元
本 讲 内 容
本
讲
内
容 类型
波阵面
声线
声源类型
平面声波 垂直于传播方 相互平行
向的平面
的直线
平面声源
球面声波 以任何值为 半径的球面
由声源发出 点声源 的半径线
柱面声波 同轴圆柱面
线声源发出 线声源 的半径线
本 2.3.1 波动方程的解（1）
讲
内 在稳定的简谐声源作用下产生的稳态声场。设方程的解为：
当t=0，x=0时，pA=A。所以有
p(x,t)
p e j(t kx) A
根据声压可求得质点速度为：
v(x,t) vAe j(t kx)
式中，vA
pA
0c0
p(x,t) Ae j(t kx)
本 2.3.2 平面声场的特性（1）
讲
内 根据平面波动方程的解讨论平面声场的特性：
容
(1)解
p(x,t)
的质量，与流出该体积元的质量之差，应等于该体积元内 质量的增加或减少。
本 讲
2.2.2 连续性方程（2）
内 容
单位时间左侧流入的
质量：
单位时间右侧流出的 质量：
单位时间体积元增加 的质量：
质量增加导致密度增 加：
于是：
本 讲
2.2.2 连续性方程（3）
内 容
整理后，有：
将质量公式：
代入上式，忽 略高阶小量， 整理得：
本 讲
2. 2 声学波动方程
内 存在声波的区域即声场，声场的物理特征可以通过声压p、 容 质点速度υ以及媒质密度变化量ρ’来表示,。声压易于测量，
质点速度与密度均可有声压间接导出。 在声传播过程中，
对同一时刻，声场中各不同位置声压都有不同的数值，也
就是声随着位置有一个分布；另一方面，声场中每个位置
正常人耳能听到的最弱声音 2x10-5Pa
织布车间
2Pa
普通说话声 (1m远处)
2x10-2Pa
柴油发动机、球磨机
20Pa
公共汽车内
0.2Pa
喷气飞机起飞
200Pa
正常人耳能听到的声压叫听阈，其值为2x10-5Pa；刚刚使 人耳产生疼痛感觉的声压叫痛阈，其值为20Pa。超过痛阈 的声压往往会引起耳内出血，鼓膜损伤。
此方程即连续性方程，它描述了质点速度与 密度增量之间的关系。
本 讲
2.2.3 物态方程
内 容
对于绝热过程，压强仅是密度的
函数，也就是：
声扰动引起的声压和密度质量为：
压强与密度变化的方向相同，令
则有：
可以近似为： 于是：
此方程即物态方程，它描述了声场中压强P 的变化与密度ρ的微小变化之间的关系。
本 讲 内 容
2 p 2 p 2 p 1 2 p
2 y2 z 2 c2 t 2
及一维球面坐标声学波动方 2 p 2 p 1 2 p
程：
r 2 r r c02 t 2
本 2. 3 平面声波的性质
讲
内 声波从声源发出，在媒质中各方向传播，声波在某一瞬时相 容 位相同的各点，其轨迹曲面称为波阵面，也叫波前。波的传
式中，A, B为两任意常数，由边界条件确定。
本 2.3.1 波动方程的解（2）
讲
内 容
考虑到时间变量有： p(x,t) Ae j(t kx) Be j(t kx)
上式右边第一项为沿x正向行进的波，右边第二项为沿x负向 行进的波。声场中无障碍时，无反射波，即B=0，此时有：
p(x,t) Ae j(t kx)
当物体振动时，空间某点产生的声压也是随时间变化的，
某一瞬间的声压称为瞬时声压pt。在一定时间间隔中将瞬 时声压对时间求方均根值即得有效声压。一般人耳听到的
声压即是有效声压。
本 2.1.2. 声压（3）
讲
内 因此习惯上所指的声压往往是指有效声压，用p表示，它 容 与瞬时声压之间的关系为：