函数恒成立问题训练
零点和恒成立问题(含答案)
零点和恒成立问题（含答案）1. 求的近似值（精确度）．2. 已知函数的解析式为．（1）画出这个函数的图象；（2）求函数的值域；（3），有两个不相等的实数根，求的取值范围．3. 已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围．4. 求函数的一个正零点的近似值（精确到）．5. 设函数的两个零点分别是和；（1）求；（2）当函数的定义域是时，求函数的值域．6. 已知（是常数，）.（1）当时，求不等式的解集；（2）如果函数恰有两个不同的零点，求的取值范围．7. 对于函数．（1）当，时，求函数的零点；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围．8. 设对于任意实数，不等式恒成立．（1）求的取值范围；（2）当取最大值时，解关于的不等式：．9. 已知命题：方程表示的曲线是双曲线；命题：函数在区间上为增函数，若“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数的取值范围．10. 设函数．（1）当，求函数的单调区间与极值；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围．11. 已知函数．（1）求函数的零点；（2）若实数满足，求的取值范围．12. 已知二次函数（）．（1）若，写出函数的单调递减区间；（2）若，，若存在实数使得函数在区间内有两个不同的零点，求实数的取值范围．13. 设函数．（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．14. 定义的零点为的不动点，已知函数．（1）当，时，求函数的不动点；（2）对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；（3）若函数只有一个零点且，求实数的最小值．15. 己知函数．（1）求的单调区间；（2）若时，恒成立，求的取值范围；（3）设函数，若的图象与的图象在区间上有两个交点，求的取值范围．16. 不利用计算器或计算机的开方运算，求的近似值（精确到）．17. 已知函数，；设函数．（1）求函数在区间上的值域；（2）定义表示，中较小者，设函数．①求函数的最大值；②若函数有两个零点，求实数的取值范围．18. 已知函数，，且恒成立．（1）求实数的最大值；（2）当取最大时，求不等式的解集．19. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．（1）；（2）；（3）；（4）．20. 直线与曲线有四个交点，求的取值范围21. 在枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（重量比真币的略轻），现只有一台天平，请问：利用二分法的思想，你最多几次就可以发现这枚假币?22. 已知函数．（1）求函数的解析式；（2）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围．23. 已知函数，．（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围．24. 设函数．（1）解不等式；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．25. 已知函数，若，且方程恰有一根落在区间内，求的取值范围.26. 利用计算器，求方程的近似解（精确到）．27. 命题方程有两个不等的正实数根．命题方程无实数根．若" 或 "为真命题，求的取值范围．28. 已知函数．（1）若对任意，都有恒成立，求的取值范围；（2）解不等式．29. 对任意，函数的值恒大于零，求的取值范围．30. 已知二次函数，求证：对于，且，，方程有不相等的两个实根，且必有一实根属于．31. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）函数的图象在处切线的斜率为，若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围．32. 已知关于的方程有一个根不大于，另一个根不小于．（1）求实数的取值范围；（2）求方程两根平方和的最值．33. 已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，若恒成立，求的取值范围．34. 已知函数，，（1）当时，求的最大值；（2）若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围；（3）问取何值时，方程在上有两解?35. 已知函数，，．（1）当时，证明：为奇函数；（2）若关于的方程有两个不等实数根，求实数的取值范围．36. 设函数．（1）当，时，求函数的零点；（2）若对任意，函数恒有两个不同零点，求实数的取值范围．37. 函数．（1）设函数，若方程在上有且仅有一个实根，求实数的取值范围；（2）当时，求函数在上的最大值．38. 若满足，则称为的不动点．（1）若函数没有不动点，求实数的取值范围；（2）若函数的不动点，，求的值；（3）若函数有不动点，求实数的取值范围．39. 奇函数的定义域为，其中为指数函数且图象过点．（1）求函数的解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．40. 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．41. 已知函数在与时都取得极值．（1）求，的值；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．42. 已知函数．（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象总在的下方．43. 已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．44. 已知命题：“方程恰好有两个不相等的负根”；命题：“不等式存在实数解”．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．45. 已知是定义在上的奇函数，当时，函数的解析式为.（1）写出在上的解析式；（2）求在上的最大值；（3）对任意的，都有成立，求最小的整数的值．46. 已知函数是上的偶函数．（1）求的值；（2）解不等式；（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．47. 已知，，函数，且．（1）若，求的最大值；（2）若对任意，函数恒成立，求实数的取值范围．48. 已知函数．（1）若对任意实数，函数值恒大于零，求实数的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．49. 设函数．（1）画出函数的图象；（2）若不等式（，）恒成立，求实数的范围．50. 已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值．（2）用定义法证明函数在上是减函数；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．51. 已知，不等式的解集为．（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范围．52. 设函数．（1）求不等式的解集；（2），使，求实数的取值范围．53. 巳知函数在与时都取得极值．（1）求，的值及函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．54. 设函数．（1）求不等式的解集；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．55. 已知．（1）求证；（2）若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．56. 已知函数．（1）若，解关于的不等式．（2）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．57. 设函数．（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．58. 已知，，函数的最小值为．（1）求证：．（2）若恒成立，求实数的最大值．59. 设函数．（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的定义域为，试求的取值范围．60. 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．61. 已知．（1）求证：；（2）若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．62. 已知函数在处取得极值．（1）求函数在上的最小值；（2）求证：对任意，都有．63. 已知函数，．（1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．64. 已知恒成立．（1）求实数的最大值；（2）若实数的最大值为，正数，满足．求的最小值．65. 已知函数（其中）．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围．66. 用二分法求函数的一个正零点（精确到）．67. 已知关于函数，（1）试求函数的单调区间；（2）若在区间内有极值，试求的取值范围；（3）时，若有唯一的零点，试求．（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如，；以下数据供参考：，，，）68. 设函数．（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．69. 已知函数．（1）设，求函数的极值；（2）若，且当时，恒成立，试确定的取值范围．70. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，证明：对任意，．71. 已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．72. 设函数其中，，已知它们在处有相同的切线．（1）求函数，的解析式；（2）求函数在上的最小值；（3）若对，恒成立，求实数的取值范围．73. 已知点是椭圆的左顶点，斜率为的直线交椭圆于，两点，点在上，．（1）当时，求三角形的面积；（2）当时，证明：．74. 已知函数，，其中为自然对数的底数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）试探究当时，方程的解的个数，并说明理由．75. （1）证明：当时，；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．76. 已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．77. 设函数．（1）若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围；（2）当时，求函数在区间上的最大值．78. 已知函数，函数为函数的反函数．（1）当时，恒成立，求的取值范围；（2）对于，均有，求的取值范围．79. 已知一条曲线在轴右侧，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是．（1）求曲线的方程；（2）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有 ?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．80. 已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围．81. 设函数．（1）讨论的导函数零点的个数；（2）证明：当时，．82. 已知，，．（1）若的单调减区间是，求实数的值；（2）若对于定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；（3）设有两个极值点，，且，若恒成立，求的最大值．83. 己知函数（，是自然对数的底）．（1）若函数在点处的切线方程为，试确定函数单调区间；（2）①当，时，若对于任意，都有恒成立，求实数的最小值；②当时，设函数，是否存在实数，使得?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．84. 设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围．（3）当，时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．85. 已知函数，直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．（1）求的表达式；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．86. 已知函数（）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意都有成立，求实数的取值范围；（3）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围．87. 已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）设，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围．88. 已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）证明：．89. 已知函数，且，（1）求的解析式；（2）若对于任意，都有，求的最小值；（3）证明：函数的图象在直线的下方．90. 函数，数列满足，，（1）求证：数列是等差数列；（2）令，，，若对一切成立，求最小正整数．91. 已知函数，．（1）证明：存在唯一，使；（2）证明：存在唯一，使，且对（1）中的，有．92. 已知函数，．（1）证明：当时，；（2）证明：当时，存在，使得对任意的，恒有；（3）确定的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有．93. 已知，，，是不全为的实数，函数，．方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根．（1）求的值；（2）若，求的取值范围；（3）若，，求的取值范围．94. 己知，其中常数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，，求证：；（3）求证：．95. 已知函数，（其中，且为常数．）（1）若对于任意的，都有成立，求的取值范围；（2）在1的条件下，若方程在上有且只有一个实根，求的取值范围．96. 已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）设，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围．97. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求的取值范围；（2）记两个极值点为，，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．98. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，对任意的，求证：．99. 已知函数，其中为常数．（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数，求使得成立的的最小值；（3）已知方程的两个根为，，并且满足．求证：．100. 已知函数（为常数）是实数集上的奇函数．（1）求实数的值；（2）讨论关于的方程的根的个数；（3）证明：．答案第一部分1. 设，则，令，函数的零点的近似值就是的近似值，下面用二分法求其零点的近似值．由，，故可以取区间为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：区间中点的值中点函数值或近似值因为，所以取作为函数的零点的近似值，所以的近似值为．2. （1）函数的图象如下图所示：（2）由图可得：函数的值域为：．（3）由图可得：若，有两个不相等的实数根，则．3. 若真：设的两根为，．则即；若真，则，即；①若真假，则且或，即；②若真假，则且，即．综上，的取值范围为．4. 由于，，可以确定区间作为计算的初始区间．用二分法一逐次计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间因为最后一个区间左、右端点精确到所取的近似值都是，所以所求函数的一个正零点的近似值为．5. （1）因为的两个零点分别是，所以即解得故．（2）由（1）知，其图象的对称轴为，开口向下，所以在上为减函数，则的最大值为，最小值为．所以值域为．6. （1）所以的解集为或 .（2）由得，，令，，作出它们的图象，可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数有两个不同的零点．7. （1）因为，，所以，令，则，所以或，此时的零点为和．（2）由题意可得，则对于恒成立，即，所以．8. （1）设，则有综上有最小值，所以．（2）当取最大值时，原不等式等价于：，等价于：或等价于：或，所以原不等式的解集为．9. ：方程表示的曲线是双曲线，则有＜；解得：＜或＞；：函数在区间上为增函数，在区间上恒成立；于是．“ ”为真命题，" "为假命题，，一真一假；或解得；若真假，则若假真，则解得；综上所述，实数的取值范围是10. （1）由，，知．令，从而，得或单调递增单调递减单调递增因此，由上表知的单调递增区间是与．单调递增区间是，极小值为，极大值为．（2）由，当是增函数，知恒成立，即恒成立，所以，．11. （1）当时，解得：，当时，解得：，故函数的零点为．（2）当时，，此时故函数为偶函数，又因为时，为增函数，所以时，，即，，所以，故．12. （1）的单调递减区间是．（2）．13. （1）当时，恒成立，当时，要保证恒成立，即的最小值，解得，故．（2）由题意可知，函数的图象恒在直线的上方，画出两个函数图象可知，当时，符合题意，当时，只需满足点不在的下方即可，所以，即．综上，实数的取值范围是．14. （1），，所以或．故函数的不动点为，．（2）对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，则对于任意实数，恒有两个不等的实数根．所以，恒成立，所以，所以对任意实数都成立，所以，所以．（3），函数只有一个零点，，则，所以，所以．当且仅当时等号成立，所以，的最小值为．15. （1）因为，所以所以在单调递增，在上单调递减．（2）令，即，则因为，，又在恒成立．所以．（3）由，得，，，所以在单调递减，在上单调递增，，，，且，所以当，即时，的图象与的图象在区间上有两个交点．16. 设，则，即．令，则函数的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点．中点函数值符合取区间最后一个区间的长度，，所以这个区间的中点就是函数的零点近似值．即．17. （1）因为函数在区间上单调递增，所以函数的值域为．（2）①函数，显然，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，函数的最大值为．②若函数有两个零点等价于方程有两个实根；作出函数的大致图象，可知的取值范围是．18. （1）因为，，且恒成立，所以只需，又因为所以，即的最大值为．（2）的最大值为时原式变为，当时，可得，解得；当时，可得，无解；当时，可得，可得，综上可得，原不等式的解集是．19. （1）令，解得，所以函数存在零点，且零点为．（2）令，由于，所以方程无实数根，所以函数不存在零点．（3）令，解得，所以函数存在零点，且零点为．（4）令，得或，所以或，所以函数存在零点，且零点为，与．20. 当时，函数，所以函数的最小值为 .当函数图象向上平移个单位时，函数图象与直线有个交点；当图象向上平移个单位时，与直线有个交点；所以若直线与函数图象有个交点，则向上平移单位的范围应为 .故的取值范围为 .21. 最多次，方案如下：第一次把枚金币分成两组，放在天平上称，天平一定不平，轻的一组（个金币）含假币；第二次把含假币的个金币分成三组：，，．把含个金币的两组放在天平上称．如果平，说明剩下的一个是假币（称量结束）；如果不平，轻的一组（个金币）含假币；第三次把含假币的个金币分成两组，放在天平上称，天平不平，轻的一组（个金币）含假币；第四次把含假币的个金币中的两个放在天平上称．如果平，说明剩下的一个是假币；如果不平，轻的一个是假币．22. （1）设，，则，，所以．（2）因为方程在区间内有两个不相等的实根，所以在有两个不等实根，令，，则，所以在上有两个不等的实根，所以解得．23. （1）当时，，设，则，因为，所以，，所以，，所以，．所以在区间上为增函数，所以在区间上的最小值为．（2）在区间上恒成立恒成立．设，，则函数在区间上是增函数．所以当时，取最小值，即，于是当且仅当时，函数恒成立，故．即实数的取值范围是．24. （1）①②③．不等式的解集为．（2）若的定义域为，则恒成立，即恒成立．又当且仅当时，即时，取得最小值为．所以．25. 令，，，当，即，即当时，方程恰有一根落在区间内．26. 设，通过观察函数的草图得，，所以方程有一根在内，设为，因为，所以．又因为，所以，如此继续下去，得，，，，，，，，，，因为，精确到的近似值都为，所以方程的一个近似解为，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为．27. " 或 "为真命题，则为真命题，或为真命题，或和都是真命题．当为真命题时，解得；当为真命题时，解得．因为．所以的取值范围为．28. （1）因为，故有，再根据恒成立，可得，即，所以，求得．（2）不等式，即，所以求得，即不等式的解集为．29. 将看成关于的一次函数，于是由题意得即解之得或．30. 由得，．因为，所以此方程的判别式．因为，所以，故，所以方程有不相等的两个实根，令，则是二次函数．由，且，得．由二次函数的图象知，方程，即方程必有一实根属于．31. （1），，①当时，若，则；若，则．当时，的单调增区间为，单调减区间为；②当时，若，则；若，则，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由题意知，，得，则，，．在区间上不是单调函数，且，即解得，故的取值范围是．32. （1）设，则解得．（2）设方程的两根为，，则．所以，当时，，当时．．33. （1）所以函数最小正周期是．令，解得，函数单调递增区间为．（2）因为，所以，所以的最小值，由恒成立，得恒成立，所以的取值范围为．34. （1），设，，则，所以，所以当时，．（2）当，所以值域为，当时，则有．①当时，值域为；②当时，值域为，而依据题意有的值域是值域的子集，则或所以或．（3）化为在上有两解，换，则在上解的情况如下：①当在上只有一个解或相等解，有两解或，所以或．②当时，有惟一解，，③当时，有惟一解，，故．35. （1），，，定义域，又：，，即，故为奇函数；（2）由可得①由题意可知：方程①在内有两个不等实根，①式可化为，即②显然，②式又可化成③，利用图象可知，当时方程③在内有两个不等实数根，解得．36. （1）当，时，．令，得或．所以函数的零点为和．（2）方程有两个不同实根．所以．即对于任意，恒成立．所以，即，解得．所以实数的取值范围是．37. （1）方程在上有且仅有一个实根，所以方程在上有且仅有一个实根，①在上有且仅有一个实根时，所以，所以，所以，②时，，，所以，符合题意，所以的取值范围是．（2）①当时，，当时，，②当时，，函数在上递增，所以，由得，综上，当时，；当时，．38. （1）没有不动点，等价于方程没有实数根，所以，所以．（2）即，令，在上递增，，，所以，．（3）由可得，即，设，所以有不动点等价于关于的一元二次方程存在正根，所以，所以，其中等号当且仅当时成立，所以．39. （1）设且，则．或（舍）．，．又为奇函数，．，整理得．，．（2）根据复合函数单调性判断方法可知，在上单调递减．要使对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立．为奇函数，恒成立．又在上单调递减．，当时恒成立．，当时恒成立．而当时，．．40. （1）由得，或．（2）对恒成立．令，当时，，．41. （1）因为，所以．由，，得，．当，时，所以，列表如下递增极大值递减极小值递增符合函数在与时都取得极值的要求，所以，．（2），由（1）可知．当时，为极大值，而，所以为最大值．要使，恒成立，则只需即，解得或．42. （1）因为，所以．因为时，，所以在上是增函数，所以的最小值是，最大值是．（2）令，则．因为，所以，所以在上是减函数．从而，即．所以当时，函数的图象总在的图象的下方．43. （1）时，，，，切点坐标为，所以切线方程为．（2）恒成立，即恒成立．又，则当时，恒成立．令，只需小于的最小值，．因为，所以，所以当时，所以在上单调递减，所以在的最小值为则的取值范围是．44. 命题：“方程恰好有两个不相等的负根”为真命题时，即解得；命题：“不等式存在实数解”为真命题时，，即，解得；若为真命题，为假命题，则，一真一假，当真假时，的值不存在；当假真时，；综上，实数的取值范围是．45. （1），所以；当时，．（2），其中，所以当时，，，根据对称性可知在上的最大值为．（3），所以．46. （1）因为为偶函数，所以恒成立，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，，因为，所以．（2）由（1）知，设，则不等式即为，所以，所以原不等式解集为．（3）在上恒成立，即：在上恒成立，令，则在时恒成立，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以．47. （1）当时，．由，得则当，即时，．（2）根据题意，当时，恒成立，即恒成立．当时，适合题意；当时，可以转化为对恒成立．而由（1），得的最大值为，于是解得．综上，实数的取值范围是．48. （1），分类讨论如下：（i）函数不是二次函数或一次函数时，即时，函数为恒大于零，满足条件；或（ii）函数为二次函数时，．综上所述：实数的取值范围是．（2）若函数有两个不同的零点，则函数必为二次函数，即且或或且综上所述，实数的取值范围是．49. （1）图象如答图所示．（2）由得．又因为，所以有，即有．（i）若，则，，故；（ii）若，则，恒成立，故；（iii）若，则，，故．综上可知，的范围为．50. （1）由是定义在的奇函数，所以可得．经检验符合题意．（2）由（1）可得，，则，所以所以，所以函数在上是减函数．（3）可得，因为函数为上的减函数，所以有，，所以，解得．51. （1）由得又的解集为，所以当时，不合题意；当时，解得（2）记则所以因此的取值范围为．52. （1）①当时，，，所以；②当时，，求得，所以；③当时，，求得，所以．综上所述，不等式的解集为或．（2）由（1）易得，若，恒成立．则只需，解得．53. （1），．由，，得，．所以，函数的单调区间如下表：极大值极小值所以函数的递增区间是和，递减区间是．（2），当时，为极大值．当时，为极小值，而，，则为最大值．要使，恒成立，只需，解得或．54. （1）不等式等价于或或解得：或或．所以或，所以不等式的解集为或．（2）因为所以．若，恒成立，则只需，即．综上所述．55. （1），所以，所以．（2）由（1）知，，因为当且仅当，即时，“”成立，当时，取得最小值，因为对任意实数，都成立，所以，所以的取值范围为．56. （1）当时，，即，原不等式等价于，解得，故不等式的解集为．（2），原不等式等价于，由三角绝对值不等式的性质，得，原不等式等价于，又，所以，解得．57. （1）由得，则，即解得，所以不等式的解集为．（2）因为，又对任意恒成立，即对任意恒成立，所以，解得或，所以实数的取值范围是．58. （1），因为且，所以，当时取等号，即的最小值为，所以，．（2）因为恒成立，所以恒成立，当时，取得最小值，所以，即实数的最大值为．59. （1）由题设知：，如图，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图所示），知定义域为．（2）由题设知，当时，恒有，即，由（），所以，即．60. （1）当时，．当时，不等式化为，所以，所以；当时，不等式化为，恒成立；。
函数恒成立、能成立问题及课后练习(含问题详解)
恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；二、经典题型解析题型一、简单型例1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．例2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x xab +-≤或x b x a )10(2-+-≤；方法3：变更主元（新函数），0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xax h ++=)(求导，22))((1)(xa x a x x a x h +-=-='，（单调函数） 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴ab ab b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ．例3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为 答案：41≥m 题型二、更换主元和换元法例1、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：λ及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
函数恒成立问题专练(含详解)
函数恒成立问题专练（含详解）一、解答题（本大题共11小题，共132.0分）1.己知函数f(x)=log121−ax2x−1，a为常数．(1)若f(x)为奇函数;求a；(2)若对于x∈[32,52]，不等式log12(2x+1)−m>(14)x−log2(2x−1)恒成立，求实数m∼的取值范围．2.设f(x)=log131−axx−1为奇函数，a为常数．(1)求a的值(2)若∀x∈[2,4]，不等式f(x)+x>(13)x+m恒成立，求实数m的取值范围．3.已知函数f(x)=lg(10x+1)−12x，g(x)=9x−a3x，函数g(x)是奇函数．(1)判断函数f(x)的奇偶性，并求实数a的值；(2)若对任意的t∈(0,+∞)，不等式g(t2+1)+g(−tk)>0恒成立，求实数k的取值范围；(3)设ℎ(x)=f(x)+12x，若存在x∈(−∞,1]，使不等式g(x)>ℎ[lg(10b+9)]成立，求实数b的取值范围．4.已知函数f(x)=|ax2−1|−x2+ax，其中a≤1．(1)当a=1时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)对满足f(x)有四个零点的任意实数a，当x∈[0,1]时，不等式f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围．5.设函数f(x)=a2x−(t−1)(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．a x(1)求t的值；(2)若f(1)>0，求使不等式f(kx−x2)+f(x−1)<0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；)，是否存在正数m，且m≠1使函数f(kx−x2)+(3)若函数f(x)的图象过点(1,32f(x−1)<0在[1,log23]上的最大值为0，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．6.已知函数f(x)=x2+(m−2)x−m，g(x)=f(x)x，且函数y=f(x−2)是偶函数．(1)求g(x)的解析式；．(2)若不等式g(sinx)−nsinx ≤0在(0,π2]恒成立，求实数n的取值范围；(3)若函数y=g(log2(x2+4))+k⋅2log2(x2+4)−9恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点．7.已知函数f(x)=log2(x+2)，g(x)=a⋅4x−2x+1−a+1．(1)求函数ℎ(x)=f(x)+f(x−6)的定义域，并判断其在定义域上单调性(无需证明)；(2)若对任意的x1，x2∈[1,2]，f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范围．8. 已知函数f(x)=1+a (12)x+(14)x．(1)当a =1时，求f(x)的值域;(2)若f(x)≥−3对任意x ∈[0,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．9. 已知函数f(x)=4sin(x −π3)cosx +√3．(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若m −3<f(x)<m +3对任意x ∈(0,π2)恒成立，求实数m 的取值范围．10. 已知函数g (x )=ax 2−2ax +1+b (a >0)的定义域为[2,3]，值域为[1,4]；设f (x )=g (x )x．(1)求a,b 的值；(2)若不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−1,1]上恒成立，求实数k 的取值范围； (3)若f (|2x −1|)+k ⋅2|2x −1|−3k =0有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．)+6cos2x．11.函数f(x)=√3sin(2x−π3(Ⅰ)求函数f(x)的图象的对称轴方程；,0]时，不等式f2(x)−mf(x)+2m−7≤0恒成立，求m的取值范(Ⅱ)当x∈[−π3围．答案和解析1.解：(1)∵f(x)为奇函数，满足f(−x)=−f(x)，则，∴1+ax−2x−1=2x−11−ax ，即(1+ax )(1−ax )=(1+2x )(1−2x )， 即1−a 2x 2=1−4x 2⇒a 2=4，当a =2时，对数函数的真数为−1，应舍去； 当a =−2时，f(x)=log 122x+12x−1，满足条件，∴a =−2；(2)由log 12(2x +1)−m >(14)x−log 2(2x −1)，可得log 122x+12x−1−(14)x>m ，令g(x)=log122x+12x−1−(14)x，只需要g (x )min >m ，∵函数y =log 122x+12x−1=log 12(1+22x−1)在[32,52]上单调递增，y =−(14)x 在[32,52]上单调递增， ∴g (x )在[32,52]上单调递增， 则g(x)min =g(32)=−98． ∴m 的取值范围是m <−98．本题考查函数的奇偶性及复合函数的单调性，同时考查对数函数的性质及不等式恒成立问题，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力． (1)由奇函数的定义可求得a 值； (2)将原不等式恒成立转化为g(x)min>m ，其中g(x)=log 122x+12x−1−(14)x，根据复合函数单调性求出g(x)在区间[32,52]上的最小值得出m 的取值范围．2.解：(1)因为f(x)=log 131−axx−1为奇函数，得f(−x)+f(x)=0，log 131+ax −x−1+log 131−ax x−1=0，log 13(1+ax −x−1⋅1−ax x−1)=0，1+ax −x−1⋅1−ax x−1=1，1−a 2x 2=1−x 2，(a 2−1)x 2=0，因为x 2不恒为0，所以a 2−1=0，即a =±1，经检验，当a =1时，f(x)=log 131−xx−1显然没有意义，舍去，故a =−1；(2)由(1)得，f(x)=log 13x+1x−1=log 131+2x−1，利用复合函数的单调性，易得此函数在x ∈[2,4]上为增函数， 令g(x)=x −(13)x ，显然g(x)在x ∈[2,4]上为增函数， 故y =f(x)+x −(13)x 在x ∈[2,4]上为增函数， 而对∀x ∈[2,4]，不等式f(x)+x >(13)x +m 恒成立，即m <(f(x)+x −(13)x )min =f(2)+2−(13)2=89，所以m <89．解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，已知函数零点求参数，属较难题． (1)由题知函数为奇函数即f(−x)+f(x)=0求解即可；(2)由(1)知 f(x)=log 13x+1x−1=log 131+2x−1，利用复合函数的单调性，易得此函数在x ∈[2,4]上为增函数，而g(x)=x −(13)x ，在x ∈[2,4]上为增函数，y =f(x)+x −(13)x 在x ∈[2,4]上为增函数，结合∀x ∈[2,4]，不等式f(x)+x >(13)x +m 恒成立，可得实数m 的取值范围．3.解：(1)由函数f(x)=lg(10x +1)−12x ，g(x)=9x −a 3x，可得f(x)和g(x)的定义域均为R ；∵f(−x)=lg(10−x +1)+12x=lg(110x +1)+12x =lg(1+10x 10x )+12x=lg(1+10x )−lg10x +12x =lg(1+10x )−12x =f(x)， ∴f(−x)=f(x)，则f(x)是偶函数； ∵函数g(x)是奇函数，g(x)的定义域为R ； ∴g(0)=0，即1−a 1=0，可得：a =1．经检验a =1时，g(x)是奇函数； 故a =1． (2)由(1)可得g(x)=9x −13x=3x −13x ，可知g(x)在R 上是单调增函数，且为奇函数，那么不等式g(t 2+1)+g(−tk)>0，可得g(t 2+1)>−g(−tk)， 即g(t 2+1)>g(tk)， ∴对任意的t ∈(0,+∞)，不等式g(t 2+1)+g(−tk)>0恒成立， 等价于：t 2+1>tk 在t ∈(0,+∞)恒成立， 即t +1t >k 在t ∈(0,+∞)恒成立，由对勾函数的单调性可得，(t +1t )min =2， 故得k <2．∴实数k 的取值范围是(−∞,2)．(3)由ℎ(x)=f(x)+12x ，得ℎ(x)=lg(10x +1)， 那么：ℎ[lg(10b +9)]=lg(10lg(10b+9)+1) =lg(10b +9+1)=lg(10b +10)，存在x ∈(−∞,1]，不等式g(x)>ℎ[lg(10b +9)]成立， 即存在x ∈(−∞,1]，3x −13x >lg(10b +10)成立， 可得(3x −13x )max >lg(10b +10)， ∵g(x)在x ∈(−∞,1]上是单调增函数， ∴lg(10b +10)<g(1)=83，∴1083>10b +10，可得：b <1053−1，又∵{10b +9>010b +10>0，可得b >−910，所以实数b 的取值范围是(−910,1053−1).解析：本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的性质，指数函数及其性质，属于中档题．(1)求解定义域，利用奇偶性定义判断即可；利用g(x)是奇函数求实数a 的值； (2)判断g(x)的单调性，利用单调性脱去“f ”，即可求解实数k 的取值范围； (3)由ℎ(x)=f(x)+12x ，求解ℎ(x)，利用不等式g(x)>ℎ[lg(10b +9)]在x ∈(−∞,1]有解，可得实数b 的取值范围．4.解：(1)当a =1时，f(x)=|x 2−1|−x 2+x ={x −1,x ∈(−∞,−1]∪[1,+∞)−2x 2+x +1,−1<x <1由图知函数f(x)的单调递减区间为[14,1]；(2)①当a =1时，由(1)知此时函数f(x)不满足要求．②当a ≤0时，f(x)=｜ax 2−1｜−x 2+ax =−ax 2+1−x 2+ax =−(a +1)x 2+ax +1，此时函数f(x)为二次或者一次函数，不满足要求． ③当0<a <1时，f(x)=|ax 2−1|−x 2+ax ={ −(a +1)x 2+ax +1,x ∈√a √a )(a −1)x 2+ax −1,x ∈(−∞,1√a )∪(1√a+∞)当x ∈√a√a )时，f(x)=−a(a +1)x 2+ax +1=[−(a +1)x −1](x −1)，有两个零点x 1=−1a+1，x 2=1，均满足要求． 对称轴x =a2(a+1)=12−12(a+1)∈(0,12)， 此时f(x)max =f(a2(a+1))=1+a 24(a+1)． 当x ∈(−∞,√a)∪(√a+∞)时，f(x)=(a −1)x 2+ax −1，函数f(x)有两个零点，则△=a 2−4(1−a)=a 2+4a −4>0，得−2+2√2<a <1，对称轴x =−a2(a−1)=−12+12(1−a )>√2+1， 而√a <√2√2−1<√2+1，所以−2+2√2<a <1符合要求．当x ∈[0,1]时，f (x )max =f (a2(a+1))=1+a 24(a+1)=1+14(a +1+1a+1−2)． 因为a ∈(−2+2√2,1)，所以(a +1)∈(−1+2√2,2)， 所以f (x )=1+14(a +1+1a+1−2)<98， 综上所述m ∈[98,+∞)．解析：本题考查分段函数，函数单调性最值，二次函数，函数零点，基本不等式，不等式性质及恒成立问题，综合性较强，有一定的难度．(1)将a =1时，去绝对值符号可得f(x)解析式，根据图象可得f(x)的单调减区间； (2)对a 分类讨论，判断是否满足f(x)有四个零点，再将当x ∈[0,1]时，不等式f(x)≤m 恒成立转化为当x ∈[0,1]时，f(x)max ≤m 即可求解．5.(1)f(x)是定义域为R 的奇函数，∴f(0)=0，∴t =2； (2)由(1)得f(x)=a x −a −x ，∵f(1)>0得a −1a >0又a >0，∴a >1，由f(kx −x 2)+f(x −1)<0得f(kx −x 2)<−f(x −1)， ∵f(x)为奇函数，∴f(kx −x 2)<f(1−x)， ∵a >1∴f(x)=a x −a −x 为R 上的增函数，∴kx −x 2<1−x 对一切x ∈R 恒成立，即x 2−(k +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立， 故Δ=(k +1)2−4<0解得−3<k <1 (3)函数f(x)的图象过点(1,32)，∴a =2，假设存在正数m ，且m ≠1符合题意，由a =2得：g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)] =log m [22x +2−2x −m(2x −2−x )] =log m [(2x −2−x )2−m(2x −2−x )+2]设t =2x −2−x 则(2x −2−x )2−m(2x −2−x )+2=t 2−mt +2， ∵x ∈[1,log 23]，∴t ∈[32,83]记ℎ(t)=t 2−mt +2，∵函数g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)]在[1,log 23]上的最大值为0， 若0<m <1时，则函数ℎ(t)=t 2−mt +2在[32,83]有最小值为1 由于对称轴t =m 2<12，∴ℎmin (t)=ℎ(32)=174−32m =1⇒m =136，不合题意;(ⅱ)若m >1时，则函数ℎ(t)=t 2−mt +2>0在[32,83]上恒成立，且最大值为1，最小值大于0①{12<m 2≤2512ℎ(t)max =ℎ(83)=1⇒m =7324, 又此时m 2=7348∈[32,83]，又ℎ(t)min =ℎ(7348)<0， 故g(x)在[1,log 23]无意义， 所以m =7324应舍去；②{m2>2512ℎ(t)max=ℎ(32)=1⇒{m >256m =136⇒m 无解，综上所述：故不存在正数m ，使函数g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)]在[1,log 23]上的最大值为0．解析：本题考查了奇函数的性质，利用函数的性质解抽象不等式，以及函数中的恒成立问题，属于难题．(1)由奇函数的性质可知f(0)=0，得出t =2；(2)由f(1)>0得a −1a >0又a >0，求出a >1，判断函数的单调性f(x)=a x −a −x 为R 上的增函数，不等式整理为x 2−(k +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，利用判别式法求解即可；(3)把点代入求出a =2，假设存在正数m ，构造函数设t =2x −2−x 则(2x −2−x )2−m(2x −2−x )+2=t 2−mt +2，对底数m 进行分类讨论，判断m 的值．6. 解：(1)∵f(x)=x 2+(m −2)x −m ，∴f(x −2)=(x −2)2+(m −2)(x −2)−m =x 2+(m −6)x +8−3m ． ∵y =f(x −2)是偶函数，∴m −6=0，∴m =6． ∴f(x)=x 2+4x −6， ∴g(x)=x −6x +4(x ≠0)．(2)令sinx =t ，∵x ∈(0,π2],∴t ∈(0,1]，不等式g(sinx)−nsinx ⩽0在(0,π2]上恒成立， 等价于g(t)−nt ⩽0在t ∈(0,1]上恒成立， ∴n ≥tg(t)=t 2+4t −6． 令ℎ(t)=t 2+4t −6，t ∈(0,1]． 则ℎ(x)max =ℎ(1)=−1， 所以n ≥−1．(3)令log 2(x 2+4)=p ，则p ≥2， 方程可化为： g(p)+k ·2p−9=0|，即p −6p+4+2k p−9=0，也即p 2−5p+(2k−6)p=0．又∵方程有三个实数根，∴p 2−5p+(2k−6)p=0有一个根为2，∴k =6．∴p 2−5p +6=0，解得p =2或p =3． 由，得x =0，由log 2(x 2+4)=3，得x =±2， ∴该函数的零点为0，−2，2．解析：本题考查利用奇偶性求函数的解析式，不等式恒成立及函数的零点与方程根的关系，考查换元法，属于较难题．(1)由f(x)得到f(x −2)表达式，利用偶函数求出m ，从而得g(x)的解析式； (2)由g(t)−nt ⩽0在t ∈(0,1]上恒成立，分离常数n ≥tg(t)=t 2+4t −6． 令ℎ(t)=t 2+4t −6，t ∈(0,1]利用二次函数求解；(3)令log 2(x 2+4)=p ，则p ≥2，方程g(log 2(x 2+4))+k ⋅2log2(x2+4)−9=0转化为p 2−5p+(2k−6)p=0，利用方程的根与函数零点的关系p 2−5p+(2k−6)p=0有一个根为2，得k =6，p =2或3，从而求得函数的零点．7.解：(1)∵f (x )=log 2(x +2)，g (x )=a ⋅4x −2x+1−a +1，，∴ {x +2>0x −4>0⇒x ∈(4,+∞) ， ∴ ℎ(x)在(4,+∞)递增；(2)由题意：f(x 1)max <g(x 2)而f(x 1)max =2， ∴g(x 2)>2对于x 2∈[1,2]恒成立，∴a ⋅4x −2x+1−a +1>2，令t =2x ， t ∈[2,4]， 即at 2−2t −a −1>0对于t ∈[2,4]恒成立， ∴a >2t+1t 2−1=1t 2−12t+1=4u−3u−2 (令u=2t +1∈[5,9])，∴a >(4u−3u−2)max =49−39−2=35．即a 的取值范围为(35,+∞)．解析：本题考查了函数的定义域及单调性，不等式恒成立问题，对数及指数函数的性质，也考查了等价转换与换元法的使用，属于中档题． (1)函数，根据对数函数的性质，可得定义域，由复合函数同增异减原则可得其单调性；(2)任意的x 1，x 2∈[1,2]，f(x 1)max <g(x 2)而f(x 1)max =2，即g(x 2)>2对于x 2∈[1,2]恒成立，然后利用换元法及函数的性质求出最值，即可得到a 的取值范围．8.解：(1)当a =1时，f(x)=1+(12)x +(12)2x ，由指数函数、复合函数单调性知f(x)在 R 上为减函数， x →+∞，f(x)→1， x →−∞，f(x)→+∞， 即f(x)的值域为(1,+∞)；(2)由题意知，令(12)x =t ，则t ∈(0,1]，依题意可得1+at +t 2≥−3， 即t +4t +a ≥0对任意t ∈(0,1]恒成立， 由函数ℎ(t)=t +4t +a 在(0,1]上单调递减， 故t =1，ℎ(t)min =5+a ≥0， a ≥−5．∴实数a 的取值范围是 [−5,+∞)．解析：本题考查函数的单调性、指数的性质及函数的值域的求法，属于中档题．(1)a =1 时， f(x)=1+(12)x +(12)2x ， 由单调性即可解题；(2)采用换元法，令 (12)x =t ，问题转化为t +4t +a ≥0对任意t ∈(0,1]恒成立，然后运用对勾函数的单调性即可解题．9.解：(1)f(x)=4cosx(12sinx −√32cosx)+√3 =2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x=2sin(2x −π3)，所以函数f(x)的最小正周期是π． (2)令t =2x −π3，t ∈(−π3,2π3)，则sint ∈(−√32,1]，2sint ∈(−√3,2]，即f(x)∈(−√3,2]．由题意知{m −3≤−√3m +3>2，解得−1<m ⩽3−√3．即实数m的取值范围是(−1,3−√3].解析：本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质以及不等式恒成立问题，属于中档题．(1)通过三角恒等变换，化简得到f(x)=2sin(2x−π3)，进而得到最小正周期;(2)运用换元法，以及正弦函数的图象与性质，求得f(x)∈(−√3,2]，再根据不等式恒成立，得到m的不等组，解得m的取值范围．10.解：(1)∵a>0，∴g(x)=a(x−1)2+1+b−a在区间[2,3]上是增函数，(2)由已知可得f(x)=x+1x−2，∴f(2x)−k⋅2x≥0，即2x+12−2≥k⋅2x，∴1+(12x )2−2⋅12x≥k，令t=12x，则k≤t2−2t+1，∵x∈[−1,1]，∴t∈[12,2]，记H(t)=t2−2t+1，t∈[12,2]，∴H(t)min=0，∴k的取值范围是(−∞,0]；(3)∵当x=0时，2x−1=0，∴x=0不是方程的解；∴当x≠0时，令|2x−1|=t，则t∈(0,+∞)，∴原方程有三个不等的实数解可转化为t2−(3k+2)t+(2k+1)=0有两个不同的实数解t1,t2，其中0<t1<1,t2>1，或0< t1<1,t2=1．记ℎ(t)=t2−(3k+2)t+(2k+1)，解不等组①得k>0，而不等式组②无实数解．所以实数k的取值范围是(0,+∞)．11.【答案】解：(1)函数，令2x +π3=π2+kπ, k ∈Z ，解得x =π12+kπ2, k ∈Z ，则f(x)图象的对称轴方程为x =π12+kπ2, k ∈Z;(2)当x ∈[−π3, 0]时，2x +π3∈[−π3, π3]， 则，从而f(x)∈[32, 92]，设t =f(x)，则t ∈[32, 92]，当x ∈[−π3, 0]时，不等式f 2(x)−mf(x)+2m −7≤0恒成立， 等价于t 2−mt +2m −7≤0对于t ∈[32, 92]恒成立， 则{(32)2−32m +2m −7⩽0(92)2−92m +2m −7⩽0, 解得5310⩽m ⩽192.故m 的取值范围为[5310, 192]．解析：本题主要考查了三角函数两角和差公式，二倍角公式的运用，正弦函数图像及其性质的运用，三角函数值域的求法，不等式恒成立问题，考查了分析和转化能力，属于中档题．(1)先运用三角函数两角和差公式，二倍角公式将f(x)化简，再带入对称轴公式运算，解出相应的x 值，即可得到答案；(2)先根据x ∈[−π3, 0]，得到f(x)的值域，再设t =f(x)，则t ∈[32, 92]，则不等式等价于t 2−mt +2m −7≤0对于t ∈[32, 92]恒成立，然后等价转化为{(32)2−32m +2m −7⩽0(92)2−92m +2m −7⩽0，即可求解．。
方法技巧专题16 函数中恒成立与存在性问题(解析版)
函数中恒成立与存在性问题二、函数中恒成立问题【例1】不等式3ln 1xx e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-【解析】3ln 1x a x x e x -≤--对()1,x ∀∈+∞恒成立，即31ln x x e x a x ---≤对()1,x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x ---=，()1,x ∈+∞的最小值，而33ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+故313ln 113ln x x e x x x x x ---≥-+--=-即313ln 3ln ln x x e x xx x----≥=-当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在()1,+∞内有根，故3min13ln x x e x x -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，所以3a ≤-，故选D.【例2】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． (1)求实数a 的值；(2)若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围. 【解析】(1)∵()ln f x ax x x =+,∵'()ln 1f x a x =++, 又∵()f x 的图象在点e x =处的切线的斜率为3,∵'(e)3f =, 即lne 13a ++=,∵1a =； (2)由（1）知,()ln f x x x x =+, ∵2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln xk x+⇔≥对任意0x >成立, 令1ln ()xg x x +=,则问题转化为求()g x 的最大值, 221(1ln )ln '()x x x x g x x x ⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =, 当01x <<时,'()0g x >,∵()g x 在(0,1)上是增函数； 当1x >时,'()0g x <,∵()g x 在(1,)+∞上是减函数． 故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∵1k ≥即为所求. 2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数()log a f x x =,()2log (22)a g x x t =+-,其中0a >且1a ≠,t R ∈． (1)若4t =,且1[,2]4x ∈时,()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值； (2)若01a <<,且1[,2]4x ∈时,有()()f x g x ≥恒成立,求实数t 的取值范围. 【答案】(1)15；(2)[2,)+∞. 【解析】(1)∵4t =,∵24(1)()()()2log (22)log log a a a x F x g x f x x x x+=-=+-=1log 4(2)a x x=++ 易证1()4(2)h x x x =++在1[,1]4上单调递减,在[1,2]上单调递增,且1()(2)4h h >,∵min ()(1)16h x h ==,max 1()()254h x h ==,∵当1a >时,min ()log 16a F x =,由log 162a =-,解得14a =（舍去）当01a <<时,min ()log 25a F x =,由log 252a =-,解得15a =. 综上知实数a 的值是15. (2)∵()()f x g x ≥恒成立,即log 2log (22)a a x x t ≥+-恒成立,∵1log log (22)2a a x x t ≥+-.又∵01a <<,1[,2]4x ∈22x t ≤+-,22t x ≥-+∵恒成立,∵max (22)t x ≥-.令2117122)([,2])484y x x =-=-+∈,∵max 2y =.故实数t 的取值范围为[2,)+∞.【练习2】若(0,)x ∈+∞，1ln x e x x a x-≥-+恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．0D ．e -【答案】C【解析】设x x t ln -=,则11x t e e x--=，原不等式等价于1t e t a --≥恒成立，设1ln ,1y x x y x-='=-是单调递增的，零点为1x =,函数y 的最小值为1，故1t ≥，()()11,1t t f t e t f t e --'=-=-，零点是1t = ()f t 在[)1,+∞上单调递增，故()min 0f t =，故0a ≤.故选C.【练习3】已知a R ∈，设函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,ln 1,22)(2x x a x x a ax x x f 若关于x 的不等式0)(≥x f 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,e D ．[]1,e【答案】C 【解析】∵(0)0f ≥，即0a ≥，当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤.当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 综上可知，a 的取值范围是[0,]e ， 故选C.1.例题【例1】定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4【答案】B【解析】因为当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，所以()2min 142m f x m ≥-+，当[)[)4,2,40,2x x ∈--+∈时，()()()112424f x f x f x =+=+ ()()[)[)2342144,40,1411,41,242x x x x x +-⎧⎡⎤+-++∈⎪⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩当[)40,1x +∈时，()()()211114444416f x x x ⎡⎤=+-+≥-⨯=-⎣⎦，当[)41,2x +∈时，()342111424x f x +-⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭，因此当[)4,2x ∈--时，()2min1113442m f x m m =-≥-+∴≤≤，选B.【例2】若对I x ∀，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的取值范围是（ ）注:（ e 为自然对数的底数，即 2.71828e =…） A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[),e +∞C ．[)1,+∞D ．[)1,-+∞ 【答案】C【解析】因为对于()ln f x x =,定义域为()0,∞+ ,所以120x x << 当满足120x x <<时,122121ln ln 1x x x x x x -<-成立化简可得122121ln ln x x x x x x -<-,移项合并后可得121221ln ln x x x x x x +<+,即()()1221ln 11ln x x x x +<+因为120x x <<,所以可等价于()()2121ln 1ln 1x x x x ++<即满足()ln 1x g x x +=为减函数，()221ln 1ln 'x xg x x x ---==， 因为()ln 1x g x x +=为减函数，所以()'0g x ≤,即2ln 0xx -≤， 则1x ≥ ，因为对1x ∀，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-所以1m ≥ ,即m 的取值范围为[)1,+∞，故选C. 【例3】已知函数21ln 21)(2-+-=x x a x x f ，对任意x ∈[1，＋∞)，当mx x f ≥)(恒成立时实数m 的最 大值为1，则实数a 的取值范围是 ．【解析】对任意x ∈[1，＋∞)，有f(x)≥mx恒成立，即()f x m x ≥恒成立，即min()f x m x ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，又当f(x)≥mx 恒成立时实数m 的最大值为1，所以min()1f x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.因为(1)11f = 所以问题等价转化为()1f x x≥在[1,)+∞上恒成立，即()0f x x -≥在[1,)+∞上恒成立. 设()()g x f x x =-211ln 22x a x =--（1x ≥），2()x ag x x-'=①当1a ≤时，因为1x ≥，所以2()0x ag x x-'=≥，因此()g x 在[1,)+∞上是单调递增函数，所以()(1)0g x g ≥=，即()0f x x -≥在[1,)+∞上恒成立；②当1a >时，在上，有()0g x '<；在)+∞上，有()0g x '>， 所以()g x 在上为单调递减函数，在)+∞上为单调递增函数. 当(1,)x a ∈，有()(1)0g x g <=，即()0f x x -≥在[1,)+∞上不恒成立. 综合①②得：实数a 的取值范围是(,1]-∞.2.巩固提升综合练习 【练习1】已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．(]e ，∞-B ．），（e ∞-C ．），（2-e∞ D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞2-e ， 【答案】D【解析】因为所以即，即当时，恒成立，所以在内是一个增函数，设，则有即 ，设则有， 当时，即，当时，即所以当时，最小，即 ，故选D.【练习2】已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式2(ln 1)(ln 1)f ax x f ax x -+++--()31f ≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]2,e B ．1[,)e+∞C ．1[,]e eD ．12ln 3[,]3e +【答案】D【解析】由题设可得(ln 1)(ln 1)f ax x f ax x -++=--，则原不等式可化为(ln 1)(1)f ax x f -++≥， 即ln 11ax x --≤，也即ln 20ax x --≤在[1,3]上恒成立，由于0x >，因此2ln xa x+≤， 令2ln ()x h x x +=，则/2212ln 1ln ()x x h x x x --+==-，所以当1ln 1x x e >-⇒>时，/()0h x <，函数2ln ()x h x x+=单调递减，因11e <，故函数2ln ()x h x x+=在[1,3]上单调递减， 故min max 2ln13ln 3()2,()13h x h x ++===， 当11x e e -==时，函数1min 12ln ()e h x e e --+==，所以a e ≤，应选答案D.【练习3】若，满足恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】（1），显然成立；（2）时，由 ，由在为增在恒成立，由在为增，，，综上，，故答案为.【三】数形结合法1.例题【例1】已知函数()222f x x kx =-+,在1x ≥-恒有()f x k ≥,求实数k 的取值范围.【解析】令()()222F x f x k x kx k=-=-+-,则()0F x ≥对[)1,x ∈-+∞恒成立,而()F x 是开口向上的抛物线.当图象与x 轴无交点满足0∆<,即()24220k k ∆=--<,解得21k -<<.当图象与x 轴有交点,且在[)1,x ∈-+∞时()0F x ≥,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得： ()010212F k ⎧⎪∆≥⎪⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎪⎩，解得32k -≤≤-,故由①②知31k -≤<.【例2】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－|x 3－2x 2＋x |， x <1，ln x ， x ≥1，若对于∀t ∈R ，f (t )≤kt 恒成立，则实数k 的取值范围是________． 【答案】[1e，1]【解析】令y ＝x 3－2x 2＋x ，x <1，则y ′＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)·(3x －1)， 令y ′>0，即(x －1)(3x －1)>0，解得x <13或x >1.又因为x <1，所以x <13.令y ′<0，得13<x <1，所以y 的增区间是(－∞，13)，减区间是(13，1)，所以y 极大值＝427.根据图像变换可作出函数y ＝－|x 3－2x 2＋x |，x <1的图像．又设函数y ＝ln x (x ≥1)的图像经过原点的切线斜率为k 1，切点(x 1，ln x 1)，因为y ′＝1x ，所以k 1＝1x 1＝ln x 1－0x 1－0，解得x 1＝e ，所以k 1＝1e .函数y ＝x 3－2x 2＋x 在原点处的切线斜率k 2＝1.因为∀t ∈R ，f (t )≤kt ，所以根据f (x )的图像，数形结合可得1e≤k ≤1.2.巩固提升综合练习【练习1】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时,()3f x x =,若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,-∞ B ．()C. ()),0-∞⋃+∞ D ．(),-∞⋃+∞【答案】A【解析】当0x <时,()33()()()()f x f x x f x x x R f x =--=⇒=∈⇒在R 上是增函数242t m mt ⇒->+对任意实数t 恒成立2442t mt t m ⇒->++对任意实数t 恒成立,结合二次函数图象可得201680m m m <⎧⇒⇒∈⎨∆-<⎩(,-∞,故选A.【练习2】若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立,实数x 的取值范围是 .12x <<【解析】()2211x m x ->-可转化为()21210m x x --+<,设()()21210f m m x x =--+<,则()f m 是关于m 的一次型函数,要使()0f m <恒成立,只需()()221201220f x x f x x ⎧=-<⎪⎨-=--+<⎪⎩,12x <<. 【练习3】已知函数23ln ,1(),46,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩若不等式()|2|f x x a ≥-对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．13,3e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[3,3ln 5]+C ．[3,4ln 2]+D ．13,5e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由题意得：设g(x)=|2|x a -，易得a ＞0，可得2,2g(x)=2,2a x a x ax a x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＜，g(x)与x 轴的交点为(,0)2a ，①当2ax ≥，由不等式()|2|f x x a ≥-对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，可得临界值时，()g()f x x 与相 切，此时2()46,1f x x x x =-+>，()2,2a g x x a x =-≥，可得'()24f x x =-，可得切线斜率为2，242x -=，3x =，可得切点坐标（3，3）， 可得切线方程：23y x =-，切线与x 轴的交点为3(,0)2,可得此时322a =，3a =， 综合函数图像可得3a ≥；②同理，当2ax ＜，由()g()f x x 与相切， （1）当2()46,1f x x x x =-+>，()2,2a g x x a x =-+＜，可得'()24f x x =-，可得切线斜率为-2，242x -=-，1x =，可得切点坐标（1，3），可得切线方程25y x =-+，可得5a =，综合函数图像可得5a ≤，（2）当()3ln ,1f x x x =-≤，()2,2a g x x a x =-+＜，()g()f x x 与相切，可得'1()f x x， 此时可得可得切线斜率为-2，12x -=-，12x =，可得切点坐标1(,32)2In +,可得切线方程：1(32)2()2y In x -+=--，242y x In =-++可得切线与x 轴的交点为2(2,0)2In +，可得此时2222a In =+，42a In =+， 综合函数图像可得42a In ≤+，综上所述可得342a In ≤≤+，故选C.1.例题【例1】 已知函数f (x )＝x ||x 2－a ，若存在x ∈[]1，2，使得f (x )<2，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (－1,5)【解析】解法1 当x ∈[1,2]时，f (x )<2，等价于|x 3－ax |<2，即－2<x 3－ax <2，即x 3－2<ax <x 3＋2，得到x 2－2x <a <x 2＋2x，即⎝⎛⎭⎫x 2－2x min <a <⎝⎛⎭⎫x 2＋2x max ，得到－1<a <5. 解法2 原问题可转化为先求：对任意x ∈[1,2]，使得f (x )≥2时，实数a 的取值范围． 则有x |x 2－a |≥2，即|a －x 2|≥2x.(1) 当a ≥4时，a ≥x 2＋2x ≥22＋22＝5，得到a ≥5.(2) 当a ≤1时，x 2－a ≥2x ，有a ≤x 2－2x ≤1－21＝－1，得到a ≤－1.(3) 当1<a <4时，|a －x 2|≥0，与2x >0矛盾．那么有a ≤－1或a ≥5，故原题答案为－1<a <5. 【例2】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(,若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；【答案】()4,-+∞【解析】()(),f x g x 在[]0,2上都是增函数,所以()f x 的值域，，]40[=A ()g x 的值域]3ln ,[a a B --=.若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,则min max )()(x g x f >,即4>a -,所以4->a .实数a 的取值围是()4,-+∞.AB ≠∅.（【例3】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(,若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围.【答案】[]4,ln3-【解析】()(),f x g x 在[]0,2上都是增函数,所以()f x 的值域，，]40[=A ()g x 的值域]3ln ,[a a B --=. 若存在21,x x 使得)()(21x g x f =,则A B ≠∅,∵4a -≤且ln30a -≥,∵实数a 的取值围是[]4,ln3-.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数22()()()xaf x x a e e=+++，若存在0x ，使得024()1f x e ≤+，则实数a 的值为______． 【答案】2211e e -+ 【解析】函数f （x ）=（x+a ）2+（e x +a e）2， 函数f （x ）可以看作是动点M （x ，e x ）与动点N （-a ，-ae）之间距离的平方， 动点M 在函数y=e x 的图象上，N 在直线y=1e x 的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=e x 得，y′=e x =1e，解得x=-1，所以曲线上点M （-1，1e ）到直线y=1e x 的距离最小，最小距离则f （x ）≥241e +， 根据题意，要使f （x 0）≤241e +，则f （x 0）=241e +， 此时N 恰好为垂足，由K MN =-e ，解得a=2211e e -+ ． 故答案为：2211e e -+．【练习2】已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则a的取值范围是（ ）． A ．2a > B ．2a <C ．22a -<<D ．2a <-或2a >【答案】B【解析】当2a <时，12a <，函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，则：1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立.当2a ≥时，12a≥，函数()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞也递增， 又21111a a -+⨯=⨯-，所以函数()f x 在R 上单调递增，此时一定不存在1x 、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立.故选B.【练习3】已知函数24,0(),0x x x f x e e x x⎧+-≤⎪=⎨->⎪⎩，2()314g x x x =--，若存在实数x ，使得()()18g m f x -=成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．)7,4(- B ．[4,7]-C ．(,4)(7,)-∞-+∞D ．(,4][7,)-∞-+∞【答案】D【解析】由题意，当0x ≤时，()|2|44f x x =+-≥-，当且仅当2x =-时取“=”，当0x >时，函数()x e f x e x =-，则2(1)'()xx e f x x-=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调增， 所以()(1)0f x f ≥=，综上可得()4f x ≥-，因为存在实数x ，使得()()18g m f x -=成立，则()()1841814g m f x =+≥-+=， 即231414m m --≥，即23280m m --≥，解得或4m ≤-，故实数m 的取值范围为(,4][7,)-∞-+∞，故选D. 【练习4】已知函数()ln f x x =,()()h x a x a R =∈.（1）函数()f x 的图象与()h x 的图象无公共点,求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数m ,使得对任意的1(,)2x ∈+∞,都有函数()m y f x x =+的图象在()x e g x x =的图象的下方？若存在,请求出整数m 的最大值；若不存在,请说理由.（参考数据：ln 20.6931=,ln3 1.0986=1.3956==）. 【解析】（1）函数()f x 与()h x 无公共点,等价于方程ln xa x=在(0,)+∞无解 令ln ()x t x=,则21ln '(),xt x -=令'()0,t x =得x e =因为x e =是唯一的极大值点,故max ()t t e e==……………4分 故要使方程ln xa x =在(0,)+∞无解, 当且仅当1a e >,故实数a 的取值范围为1(,)e +∞（2）假设存在实数m 满足题意,则不等式ln x m e x x x +<对1(,)2x ∈+∞恒成立.即ln x m e x x <-对1(,)2x ∈+∞恒成立.令()ln xr x e x x =-,则'()ln 1xr x e x =--,令()ln 1xx e x ϕ=--,则1'()x x e x ϕ=-,∵'()x ϕ在1(,)2+∞上单调递增,121'()202e ϕ=-<,'(1)10e ϕ=->,且'()x ϕ的图象在1(,1)2上连续,∵存在01(,1)2x ∈,使得0'()0x ϕ=,即0010xe x -=,则00ln x x =-,∵ 当01(,)2x x∈时,()x ϕ单调递减；当0(,)x x ∈+∞时,()x ϕ单调递增,则()x ϕ取到最小值000001()ln 11xx e x x x ϕ=--=+-110≥=>, ∵ '()0r x >,即()r x 在区间1(,)2+∞内单调递增. 11221111()ln ln 2 1.995252222m r e e ≤=-=+=,∵存在实数m 满足题意,且最大整数m 的值为1.【例1】已知函数[]()2(),2,2f x x x =∈-，2()sin(2)3,0,62g x a x a x ππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，[]12,2x ∀∈-，总00,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是____________.【答案】(][),46,-∞-+∞【解析】∵[2,2]x ∈-，∵2()[0,4]f x x =∈∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵72666x πππ≤+≤，∵1sin(2)126x π-≤+≤ ∵221()[3,3]2g x a a a a ∈-++ 要使[]12,2x ∀∈-，总00,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()01g x f x =成立， 则需满足：221[0,4][3,3]2a a a a ⊆-++ ∵22130234a a a a ⎧-+≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得4a ≤-或6a ≥ ∵a 的取值范围是(,4][6,)-∞-⋃+∞.【例2】已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，g (x )＝ax，其中a >0，x ≠0.(1) 对任意[]2,1∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；(2) 对任意[]2,11∈x ，任意[]4,22∈x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 对任意[]2,11∈x ，存在[]4,22∈x ，使)()(21x g x f >成立，求实数a 的取值范围； (4) 存在[]2,11∈x ，任意[]4,22∈x ，使)()(21x g x f >成立，求实数a 的取值范围． 【解答】（1） 因为对任意x ∈[1,2]，都有f (x )>g (x )恒成立，即对任意x ∈[1,2]，x 2－2ax ＋1>ax恒成立，所以a <x 3＋x2x 2＋1在x ∈[1,2]上恒成立．令φ(x )＝x 3＋x 2x 2＋1，则φ′(x )＝2x 4＋x 2＋1(2x 2＋1)2>0，所以φ(x )min ＝φ(1)＝23，所以a <23.又因为a >0，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. （2）函数f (x )＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2在区间[1,2]上的最小值有以下三种情况：①当0<a ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝2－2a ；②当1<a <2时，f (x )min ＝f (a )＝a 2－2a 2＋1＝1－a 2； ③当a ≥2时，f (x )min ＝f (2)＝5－4a . 函数g (x )的最大值为a2.当0<a ≤1时，由f (x )min >a 2，即2－2a >a 2，解得0<a <45；当1<a <2时，由f (x )min ＝1－a 2>a2，无解；当a ≥2时，f (x )min ＝5－4a >a2，无解．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，45. （3）函数f (x )＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2在区间[1,2]上的最小值有以下三种情况：①当0<a ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝2－2a ；②当1<a <2时， f (x )min ＝f (a )＝a 2－2a 2＋1＝1－a 2； ③当a ≥2时，f (x )min ＝f (2)＝5－4a . 函数g (x )的最小值为4a当0<a ≤1时，由f (x )min >4a ，即2－2a >4a ，解得0<a <98；当1<a <2时，由f (x )min ＝1－a 2>4a，无解； 当a ≥2时，f (x )min ＝5－4a >4a，无解． 综上可知，实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛980，. （4）函数g (x )的最大值为a2.函数f (x )＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2在区间[1,2]上的最大值有以下三种情况： ①当0<a ≤23时，245)2()(max a a f x f >-==，解得0<a <910； ②当23>a 时，222)1()(max aa f x f >-==，无解.综上可知，实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛9100，. 2. 巩固提升综合练习【练习1】已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +c (a >0) 的图象过点 (1,0)若对任意的 x 1∈[0,2]，存在 x 2∈[0,2]，使得 f (x 1)+f (x 2)>32a ，求 ba 的取值范围.【解析】 由题意，对任意的 x 1∈[0,2]，存在 x 2∈[0,2]，使得 f (x 1)+f (x 2)>32a . 所以 f min (x )+f max (x )>32a .因为 a +b +c =0 ，所以 f (x )=ax 2+bx −a −b ，其对称轴为 x =−b2a . ①当 −b2a <0 即 ba >0 时，f (x ) 在 [0,2] 上单调递增，所以 f min (x )+f max (x )=f (0)+f (2)=−a −b +3a +b =2a >32a .所以b a>0 符合题意.②当 0≤−b2a <1 即 −2<ba ≤0 时，f (x ) 在 [0,−b2a ] 上递减，在 [−b2a ,2] 上递增且 f (0)<f (2) . 所以 f min (x )+f max (x )=f (−b2a)+f (2)=−b 24a −a −b +3a +b =−b 24a +2a . 所以由 −b 24a +2a >32a 得：−√2<ba ≤0 符合题意. ③当 1≤−b2a <2 即 −4<ba ≤−2 时， f (x ) 在 [0,−b 2a ] 上递减，在 [−b 2a,2] 上递增且 f (0)≥f (2) .所以 f min (x )+f max (x )=f (−b2a )+f (0)=−b 24a −a −b −a −b =−b 24a −2a −2b . 所以由 −b 24a −2a −2b >32a 得：−4−√2<ba <−4+√2． 所以 −4<b a <−4+√2 符合题意.④当 −b 2a≥2 即 b a≤−4 时，f (x ) 在 [0,2] 上单调递减，所以 f min (x )+f max (x )=f (2)+f (0)=3a +b −a −b =2a >32a . 所以 ba ≤−4 符合题意.综上所述：所以 ba <−4+√2 或 ba >−√2 .【练习2】 已知函数 f (x )=12ax 2−(2a +1)x +2lnx (a ∈R )．（1）若曲线 y =f (x ) 在 x =1 和 x =3 处的切线互相平行，求 a 的值； （2）求 f (x ) 的单调区间；（3）设 g (x )=x 2−2x ，若对 x 1∈(0,2]，均存在 x 2∈(0,2]，使得 f (x 1)<g (x 2)，求 a 的取值范围 【解析】（1） fʹ(x )=ax −(2a +1)+2x (x >0)． 由题意知 fʹ(1)=fʹ(3)，即 a −(2a +1)+2=3a −(2a +1)+23，解得 a =23． （2） fʹ(x )=(ax−1)(x−2)x(x >0)．① 当 a ≤0 时，因为 x >0，所以 ax −1<0，在区间 (0,2) 上，fʹ(x )>0， 在区间 (2,+∞) 上，fʹ(x )<0，故 f (x ) 的单调递增区间是 (0,2)，单调递减区间是 (2,+∞)．②当 0<a <12 时，1a >2，在区间 (0,2) 和 (1a ,+∞) 上，fʹ(x )>0， 在区间 (2,1a ) 上 fʹ(x )<0，故 f (x ) 的单调递增区间是 (0,2) 和 (1a ,+∞)，单调递减区间是 (2,1a )． ③当 a =12 时，fʹ(x )=(x−2)22x≥0，故 f (x ) 的单调递增区间是 (0,+∞)．④当 a >12 时，0<1a <2，在区间 (0,1a ) 和 (2,+∞) 上，fʹ(x )>0， 在区间 (1a ,2) 上，fʹ(x )<0，故 f (x ) 的单调递增区间是 (0,1a ) 和 (2,+∞)，单调递减区间是 (1a ,2)．（3） 由题意知，在 (0,2] 上有 f (x )max <g (x )max ． 由已知得 g (x )max =0，由（2）可知，①当 a ≤12时，f (x ) 在 (0,2] 上单调递增，故 f (x )max =f (2)=2a −2(2a +1)+2ln2=−2a −2+2ln2， 所以 −2a −2+2ln2<0，解得 a >ln2−1， 故 ln2−1<a ≤12．②当 a >12 时，f (x ) 在 (0,1a ) 上单调递增； 在 [1a ,2] 上单调递减，故 f (x )max =f (1a )=−2−12a −2lna ．由 a >12 可知 lna >ln 12>ln 1e =−1，所以 2lna >−2，即 −2lna <2，所以 −2−2lna <0， 所以 f (x )max <0，符合． 综上所述，a >ln2−1． 1．已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． (1)求实数a 的值；(2)若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围.(2)由（1）知,()ln f x x x x =+, ∴2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln xk x+⇔≥对任意0x >成立, 令1ln ()xg x x +=,则问题转化为求()g x 的最大值, 221(1ln )ln '()x x x x g x x x⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =, 当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数； 当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数． 故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求.2.已知函数()log a f x x =,()2log (22)a g x x t =+-,其中0a >且1a ≠,t R ∈． (1)若4t =,且1[,2]4x ∈时,()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值； (2)若01a <<,且1[,2]4x ∈时,有()()f x g x ≥恒成立,求实数t 的取值范围. 【答案】(1)15；(2)[2,)+∞.(2)∵()()f x g x ≥恒成立,即log 2log (22)a a x x t ≥+-恒成立,∴1log log (22)2a a x x t ≥+-.又∵01a <<,1[,2]4x ∈,22x t ≤+-,22t x ≥-+∴max (22)t x ≥-.令2117122)([,2])484y x x =-=-+∈,∴max2y=.故实数t 的取值范围为[2,)+∞.3.设函数()()21xf x e x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一的整数t ,使得()0f t <,则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】令()()()21,xg x ex h x ax a =-=-.由题意知存在唯一整数t ,使得()g t 在直线()h x 的下方.()()'21x g x e x =+,当12x <-时,函数单调递减,当12x >-,函数单调递增,当12x =-时,函数取得最小值为122e --.当0x =时,(0)1g =-,当1x =时,(1)0g e =>,直线()h x ax a =-过定点()1,0,斜率为a ,故()0a g ->且()113g e a a --=-≥--,解得3,12m e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.4.已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10,若在区间[1,2]内至少存在一个实数x ,使得f (x )<0成立,求实数a 的取值范围．5.若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立,求实数x 的取值范围.12x <<【解析】()2211x m x ->-可转化为()21210m x x --+<,设()()21210f m m x x =--+<,则()f m 是关于m 的一次型函数,要使()0f m <恒成立,只需()()221201220f x x f x x ⎧=-<⎪⎨-=--+<⎪⎩,12x <<. 6.若不等式()()21313ln1ln33x xa x ++-⋅≥-⋅对任意的(],1x ∈-∞恒成立,则a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)2,+∞D. (],2-∞ 【答案】D【解析】由题意结合对数的运算法则有： ()213133lnln 33x xxa ++-⋅≥,由对数函数的单调性有：()21313333x xxa ++-⋅≥,整理可得： 2133x x a +≤,由恒成立的条件有： 2min133x xa ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,其中21313233xx xxy +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭,当且仅当0x =时等号成立.即0x =时,函数2133x x y +=取得最小值2.综上可得： 2a ≤.本题选择D 选项.7.已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩,若关于的不等式()()20f x af x ⎡⎤+<⎣⎦恰有个整数解,则实数的最大值是（ ） A.B.C. 5D.【答案】D8.已知函数()1x f x x e=+,若对任意x R ∈, ()f x ax >恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1e -∞- B. (]1,1e - C. [)1,1e - D. ()1,e -+∞ 【答案】B【解析】函数()1x f x x e =+，对任意x R ∈, ()f x ax >恒成立,∴1x x ax e +>恒成立,即()11xa x e >-x 恒成立；设()()()1,1x g x h x a x e==-,x ∈R ；在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示；则满足不等式恒成立的是h (x )的图象在g (x )图象下方,求()g x 的导数()'xg x e -=-,且过()g x 图象上点()00,x y 的切线方程为()000x y y e x x --=--,且该切线方程过原点(0,0),则000x y ex -=-⋅,即000x x e e x --=-⋅,解得01x =-；∴切线斜率为0x k e e -=-=-,∴应满足a −1>−e ,即a >1−e ；又a −1⩽0,∴a ⩽1,∴实数a 的取值范围是(1−e ,1].故选B.9.已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>,若有且只有两个整数1x , 2x 使得()10f x >,且()20f x >,则a 的取值范围是（ ）A. ()ln3,2B. [)2ln3,2-C. (]0,2ln3- D. ()0,2ln3- 【答案】C【解析】由题意可知, ()0f x >,即()()ln 2240,0x a x a a +--+>>, ()22ln 40ax a x x a ∴->-->,设()()2ln 4,2g x x x h x ax a =--=-,由()121'2x g x x x -=-=,可知()2ln 4g x x x =--,在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数,在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数, ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0,在同一坐标系中作出()(),g x h x 的图象如下：若有且只有两个整数12,x x ,使得()10f x >,且()20f x >,则()()()(){11 33a h g h g >>≤,即0{2 23a a a ln >->-≤-,解得02ln3a <≤-,故选C.10.已知对任意的，总存在唯一的，使得成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】。
07-专项拓展训练2 利用函数解决有解或恒成立问题高中数学必修一人教A版
4
2
3
3
− < < − 时，该函数在[1, − ]上单调递减，在[− , 2]上单调递增，
3
3
2
2
92
92
2
则 1 + 31 − min =
−
− ≥ 5，无解.综上，实数的取值范围
4
2
为[2, +∞).
7.[2024 广东深圳期中]已知函数 =
+4
2 +8+25
因为∀1 ∈ ,∃2 ∈ ,使得 1 = 2 ,
5
所以[ , +∞)
2
⊆ [ − 2 , +∞)，
所以 − 2 ≤
5
5
,即−
2
2
≤−2≤
1 9
即实数的取值范围为[− , ].
2 2
5
1
,解得−
2
2
≤≤
9
,
2
【名师点评】
设 = , ∈ [, ]的值域为, = , ∈ [, ]的值域为.
1
2 = − ， max = 1 = 1 − .
2
1
1
min ,则1 ≥ 2 − ，所以 ≥ − 2.
10.当
（2）若∀1 ∈ [0,3]，∀2 ∈ [1,2]，使得 1 ≥ 2 ，则实数的取值
[0, +∞)
范围是__________.
【解析】 由题意得
若 < −2，则[] ≤ −3，[] > 6，舍去；若−2 < < −1，则
[] = −2，2 < [] < 4，此时2 < 4 − 2 < 4，即0 < < 2；若
一元二次不等式恒成立问题专项练习
一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎨⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3].当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. (3) 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5，m (x 2－x ＋1)－6<0.设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.则g (m )是关于m 的一次函数且斜率x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0.∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0， 即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52， ∴x 2－x －1<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52， 即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52. 练习：1. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________. 解析： 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2).由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.则有⎩⎨⎧ f 1≤0，f 2≤0，即⎩⎨⎧ 1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎨⎧ m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.2.若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥2B.m ≤－2C.m ≤－2或m ≥2D.－2≤m ≤2答案 D解析 由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.3.当不等式x 2＋x ＋k >0恒成立时，k 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 由题意知Δ<0，即1－4k <0，得k >14，即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.3.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )A.1B.－1C.－3D.3答案 C解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3，∴m 的最大值为－3.4.对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A.1<x <3B.x <1或x >3C.1<x <2D.x <1或x >2答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎨⎧ g 1＝x 2－3x ＋2>0，g －1＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎨⎧ x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3.5.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2,2)D.(－2,2]答案 D 解析 当a －2≠0时，⎩⎨⎧ a －2<0，4a －22－4a －2·－4<0，即⎩⎨⎧ a <2，a 2<4， 解得－2<a <2.当a －2＝0时，－4<0恒成立，综上所述，－2<a ≤2.6.若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1 解析 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意.若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不合题意，舍去. ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎨⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0，解得－35<a <1. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1. 7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2，∴a 的取值范围为[－6,2]．(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a 24.①当－a 2<－2，即a >4时， f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，由－2a ＋7≥a ，得a ≤73，∴a 不存在； ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24， 由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2，∴－4≤a ≤2； ③当－a 2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，a 的取值范围为[－7,2]．。
函数中的恒成立问题(六个类型)
3.使f(x)在[-1,1]上的最大值在[-1,1]上的最大值小于g(x)在[-1,1]上的最大值;
5.使f(x)在[-1,1]上的值域是g(x)在[-1,1]上值域的子集.
6.使f(x)在[-1,1]上的值域与g(x)在[-1,1]上值域有交集.
4.不等式 有解，则实数 的取值范围是．
5.不等式 恒成立，则实数 的取值范围是．
6.不等式 恒成立，则实数 的取值范围是．
答案1. 2. 3. 4. 5. 6.
4.若对任意x1∈[-1,1],存在x2∈[-1,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围;
5.若对任意x1∈[-1,1],存在x2∈[-1,1],使得f(x1)=g(x2),求a的取值范围.
6.若存在x1.x2∈[-1,1] ,使得f(x1)=g(x2),求a的取值范围.
思路点拨:
1.使h(x)=f(x)-g(x)的最大值小于0;
结论已知 为参数, 的值域是 .
(1)若 恒成立,则 .
(2)若 恒成立,则 .
(3)若 的解集是 ,则 .
(4)若 的解集是 ,则 .
(5)若 有解,则 .
（6）若 有解,则
根据这一结论，请回答下列问题：
1.不等式 的解集是 ，则实数 的取值范围是．
2.不等式 的解集是 ，则实数 的取值范围是．
3.不等式 有解，则实数 的取值范围是．
为便于对比，特将一些常见问题以题组形式给出，仅供参考：
已知f(x)= ,g(x)=2x-a,
1.若对任意x∈[-1,1],恒有f(x)<g(x),求a的取值范围;
2.若存在x∈[-1,1],使得f(x)<g(x),求a的取值范围;
函数恒成立问题(端点效应)
函数恒成立专题01:可求最值型基础知识：(1)不等式f(X)0在定义域内恒成立，等价于f X min 0 ；(2)不等式f(X)0在定义域内恒成立，等价于f X max 0 o【例1】【重庆文】若对任意的x 0 , f (x) 12x4l nx 3x4 c 2 c2恒成立，求c的取值范围。
【例2】函数f (x) (x 1)l n(x 1) kx 1在区间(1,)上恒有f (x) 0,求k可以取到的最大整数。
【变式1】函数f(x) 2x2 4x,g(x) al nx(a 0)，若f (x) 4x g(x)恒成立，求a的取值范围。
【变式2】【2012新课标文】设函数f x e x ax 2I求f (x)的单调区间；U若a 1，k为整数，且当x 0时，(x k) f (x) x 1 0，求k的最大值。
【变式3】【2012新课标理】已知函数f(x)满足f(x) f (1)e x 1 f (0)x ^x22I求f (x)的解析式及单调区间；1 2U 若f(x) x ax b，求(a 1)b 的值。
2专题02:分离变量型基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有所感悟【例1】【2010天津】函数f(x) x2 1，对任意3x 2,,f(-) 4m f (x) f (x 1) 4f (m)恒成立，求实数m的取值范围。
m【变式1】【2010安徽】若不等式(a a2)(x2 1) x 0对一切x 0,2恒成立，求a的取值范围。
1 1［例2】若函数f(x) x2ax 1在-, 上单调递增，求a的取值范围。
x 2【变式2】【2012湖北】若f(x) ^x2 bln(x 2)在(1,)上是减函数，求b的取值范围2【变式3】【2014江西】已知函数f(x) (x2 bx b) 1 2x(b R)，若f (x)在区间(0,1)上单3 调递增，求b的取值范围。
【例3】【2008天津】已知函数f(x)专题03:端点与一次函数、二次函数引申：我们的习惯思维都是默认字母x 为函数的自变量，而像a, m,t 这样的字母代表参数,但其实x,a,m,t 这样的字母只是一个代号而已，是人为赋予了其身份，这意味着自 变量和参数的身份并非绝对，若题目需要求解参数的取值范围，在此需要牢记一 点：将待求的变量视为参数，不要受惯性思维的限制而非要将x 视为函数的自变 量，这个方法称为“变换主元法”。
（完整版）函数恒成立问题（端点效应）
（完整版）函数恒成⽴问题（端点效应）函数恒成⽴专题01：可求最值型基础知识：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成⽴，等价于()0≥min x f ；（2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成⽴，等价于()0≤max x f 。
【例1】【重庆⽂】若对任意的0>x ，24423ln 12)(c c x x x x f ->--=恒成⽴，求c 的取值范围。
【例2】函数1)1ln()1()(+-++=kx x x x f 在区间),1(+∞-上恒有0)(>x f ，求k 可以取到的最⼤整数。
【变式1】函数)0(ln )(,42)(2>=+-=a x a x g x x x f ，若)(4)(x g x x f -≤恒成⽴，求a 的取值范围。
【变式2】【2012新课标⽂】设函数()2--=ax e x f x Ⅰ求)(x f 的单调区间；Ⅱ若1=a ，k 为整数，且当0>x 时，01)()(>++'-x x f k x ，求k 的最⼤值。
【变式3】【2012新课标理】已知函数)(x f 满⾜2121)0()1()(x x f e f x f x +-'=- Ⅰ求)(x f 的解析式及单调区间；Ⅱ若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的值。
专题02：分离变量型基础知识：分离变量的核⼼思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例⼦有所感悟【例1】【2010天津】函数1)(2-=x x f ，对任意)(4)1()(4)(,,232m f x f x f m m x f x +-≤-??+∞∈恒成⽴，求实数m 的取值范围。
【变式1】【2010安徽】若不等式0)1)((22≤++-x x a a 对⼀切(]2,0∈x 恒成⽴，求a 的取值范围。
【例2】若函数x ax x x f 1)(2++=在??+∞,21上单调递增，求a 的取值范围。
【变式2】【2012湖北】若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，求b 的取值范围。
构造法函数解决恒成立、比较大小问题
微专题构造法函数解决恒成立、比较大小问题方法点拨恒成立、比较大小通常都是考查函数的单调性问题，解决这类问题的重点就是根据题意条件构造出问题所涉及的函数，利用导数判断其单调性，从而解决问题。
本专题以恒成立、比较大小、和导数式的形式构造三个方面，来说明函数构造的重要性，并由此来总结几种常见的构造形式。
一、恒成立问题（一）典例解析1．已知变量，，且，若恒成立，则的最大值（）A．B．C．D．1解析：1221xx x x < ，2112ln ln x x x x <∴，2211ln ln x x x x <∴。
构造函数xxx f ln )(=，21x x < ，)(x f ∴在),0(m 上单调递增。
xxx f ln 1)(-='，0)(>'x f ，),0(e x ∈，即)(x f 的增区间为),0(e ，],0(e m ∈∴。
答案：A2．不等式e ln ax a x >在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．1,2e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B．1(,)e+∞C．1,)∞+（D．(e,)+∞解析：（1）当时，0<axae，x ln 符号不确定，∴不等式e ln axa x >在(0,)+∞上恒成立不会成立，∴0a ≤舍去。
（2）当0a >时，当(0,1]x ∈时，a a >0，ln 0x ≤，此时不等式e ln ax a x >恒成立。
当x ∈(1,)+∞时，e ln ax a x >，即e ln ax ax x x >，∴ln e ln e ax x ax x >⋅在（1，+∞）上恒成立。
∵0>a ，),1(+∞∈x ，0>ax ，0ln >x ，∴g(x)=xe x ，x ∈(0，+∞)，则)e ,()(1)e x x g x x g x x '==+>0在(0，+∞)上恒成立，故)(x g 在),0(+∞上是增函数，∵ln e ln e ax x ax x >⋅，∴()(ln )g ax g x >，故ln ln ,xax x a x>>，设2ln 1ln (),(1),()x xh x x h x x x -'=>=，当1e x <<时，21ln ()0xh x x -'=>，()h x 单调递增，当e x >时，21ln ()0xh x x -'=<，()h x 单调递减，故1()(e)e h x h ≤=，则1e>a ，综上所述，实数a 的取值范围是1e>a ，答案：B（二）针对训练1．已知函数()e ln (0)x f x a x a =≠，若(0,1)x ∀∈，2()ln f x x x a <+成立，则a 的取值范围是（）A．1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D．1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知0a >，若在(1,)+∞上存在x 使得不等式e ln x a x x a x -≤-成立，则a 的最小值为（）A．1eB．1C．2D．e二、比较大小问题（一）典例解析1．已知实数a ，b ，()0,c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（）A．()()0a c a b --<B．()()0c a c b --<C．()()0b a bc --<D．b a c<<解析：由题意，对于22a a =，ln ln 22a a =，同理33ln ln =b b ，55ln ln =c c 。
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数学竞赛辅导
试卷第1页，总1页 函数恒成立问题专题训练
1.已知不等式 在区间［2,3］上恒成立，求实数m 的取值范围。
2．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．
3．已知函数()2ln ()f x x ax a a R =-+∈.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）试确定a 的值，使不等式()0f x ≤恒成立.
4错误！未指定书签。
．已知函数()32=33 1.f x x ax x +++
(I)求()2f ;a x =时，讨论的单调性;
(II)若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围
5（1）求函数)(x f y =的单调区间；
（2）若在区间[0,2]上恒有3
4)(-≥x f ，求a 的取值范围.
6、（2007年 上海19）已知函数x
a x x f +=2)(,0(≠x 常数)R a ∈： （1）、讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；
（2）、若函数)(x f 在)[∞+∈,2x 上为增函数，求a 的取值范围；
7（2007年 福建22）已知函数,)(kx e x f x -= )(R x ∈：
（1）、若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间；
（2）、若0>k ，且对于任意R x ∈，0)(>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；
229
0x x m -+≤。