求解恒成立问题的常见方法
恒成立问题常见求解技巧
恒成立问题常见求解技巧“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中解法通常有:①变量分离法；②构造函数法；③变换主元法；④数形结合法（图像法）.一、构造函数法：（一）一次函数法给定一次函数()(0)f x kx b k =+≠，若在在区间[],m n 上恒有()0f x >，则()0()0f m f n >⎧⎨>⎩； 若在在区间[],m n 上恒有()0f x <，则()0()0f m f n <⎧⎨<⎩. 例. 若不等式221(1)x m x ->-对[]2,2m ∈-恒成立，求实数x 的取值范围。
（二）二次函数法1. 20(0)ax bx c a ++>≠对x R ∈恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩；20(0)ax bx c a ++<≠对x R ∈恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩； 2. 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用二次函数的图像求解。
例. 已知函数y =R ，求实数m 的取值范围.例. 不等式212x px p x ++>-对(1,)x ∈+∞恒成立，求实数p 的取值范围。
二．变量分离法若在等式或者不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，切容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或者不等号两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。
理论依据是：()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>；()a f x <恒成立min ()a f x ⇔<.例. 当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，求实数m 的取值范围。
恒成立问题基本题型及解题方法
恒成立问题基本题型一 转化为二次函数，利用分类讨论思想解题例1． 已知函数f(x)=x 2-2ax+4在区间[-1，2] 上都不小于2，求a 的值。
解：由函数f(x)=x 2-2ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a 与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论1．当a ≥2时f(x)在[-1，2]上是减函数此时m in )(x f = f(2)=4-4a+42≥ 即a 23≤ 结合a ≥2，所以a 的解集为φ 2．当a 1-≤ 时 f(x)在[-1，2]上是增函数， m in )(x f = f(-1)=1+2a+42≥结合a 1-≤ 即123-≤≤-a 3．当-1<a<2时 m in )(x f = f(a)=a 2-2a 2+4 2≥ 即≤-2a 2≤ 所以21≤<-a综上1，2，3满足条件的a 的范围为：223≤≤-a 二 确定主元，构造函数，利用单调性解题例2．对于满足0≤a ≤4的所有实数a 求使不等式x 2+ax>4x+a-3都成立的x 的取值范围。
解：不等式变形为x 2+(x-1)a-4x+3>0设f(a)= (x-1)a+x 2-4x+3，则其是关于a 的一个一次函数：是单调函数结合题意有⎩⎨⎧>>0)0(0)4(f f 即 得1-<x 或3>x 三 利用不等式性质解题例3．若关于x 的不等式|x-2|+|x+3|≥a 恒成立，试求a 的范围 解：由题意知只须min )32(++-≤x x a 由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a四 构造新函数，利用导数求最值：例4．已知)1lg(21)(+=x x f )2lg()(t x x g +=若当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤在[0，1]恒成立，求实数t 的取值范围。
解：)()(x g x f ≤在[0，1] 上恒成立，即021≤--+t x x 在[0，1]上恒成立 令t x x x F --+=21)( 则须F(x)在[0，1]上的最大值小于或等于0所以 121412121)('++-=-+=x x x x F 又]1,0[∈x 所以0)('<x F 即)(x F 在[0，1]上单调递减所以)0(max )(F x F = 即01)0()(≤-=≤t F x F 得 1≥t{0340122>+->-x x x（说明：若将恒成立改成有解，即)()(x g x f ≤在[0，1]上有解，则应F(x)min 0≤。
高一不等式恒成立问题3种基本方法
高一不等式恒成立问题3种基本方法文章标题：探讨高一不等式恒成立问题的三种基本方法在高中数学学习中，不等式恒成立问题是一个很常见的题型。
学生们通常需要掌握多种方法来解决这类问题，而这些方法通常可以分为三种基本类型。
本文将会详细介绍这三种基本方法，帮助读者全面理解这一数学概念。
1. 方法一：代数法我们来介绍代数法。
这种方法是在不等式两边进行代数变换，使得不等式变成一个容易解决的形式。
代数法通常包括加减变形、乘除变形以及平方去根等技巧。
以不等式ax+b>0为例，我们可以通过移项得到ax>-b，然后再除以a的正负来确定不等式的方向，从而得到不等式的解集。
代数法在解决不等式恒成立问题中应用广泛，能够快速简便地找到解的范围和规律。
2. 方法二：图像法我们介绍图像法。
图像法是通过绘制不等式所代表函数的图像，来直观地找出不等式恒成立的区间。
对于一元一次不等式ax+b>0，我们可以画出函数y=ax+b的图像，从而通过观察图像的上升或下降趋势来确定不等式的解集。
图像法能够帮助我们更直观地理解不等式的性质和范围，提高我们的思维逻辑和空间想象能力。
3. 方法三：参数法我们介绍参数法。
参数法是通过引入一个或多个参数，将不等式转化为一个有参数的等式问题，进而进行求解。
参数法的典型应用包括辅助角法、二次函数法等。
以不等式ax²+bx+c>0为例，我们可以引入Δ=b²-4ac，然后根据Δ的正负来确定不等式的解集。
参数法在解决不等式问题中能够简化问题的复杂度，将不等式的求解转化为参数的求解，从而提高解题的效率和准确度。
总结回顾通过对以上三种基本方法的介绍，我们可以发现它们各有特点，应用范围和解题思路有所不同。
代数法能够利用代数变形快速求解不等式问题，图像法能够帮助我们直观地理解不等式的性质，而参数法则能够将问题转化为参数的求解，提高解题的效率。
个人观点和理解在实际解题中，我们应该根据具体情况灵活选用这三种方法，结合题目的特点和自身的掌握程度来选择合适的解题方法。
恒成立问题的类型及方法处理
恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。
感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一、函数法（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立 例1：若不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
分析：习惯上把x 当作自变量，记函数m x mx y -+-=122，于是问题转化为当22≤≤-m 时，0<y 恒成立，求x 的范围。
解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是比较复杂的。
若把x 与m 两个量互换一下角色，即将m 视为变量，x 为常量即“反客为主”，则上述问题可转化为关于m 的一次函数在[]4,0内大于0恒成立的问题。
解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g 解得231271+<<+-x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
恒成立问题的方法
恒成立问题的方法
恒成立问题的解决方法取决于具体问题的性质和条件。
在解决恒成立问题时，以下是一些常见的方法：
1. 代入法：将问题中给定的条件代入待证明的恒等式中，以验证等式是否在所有可能的情况下都成立。
2. 推导法：通过逻辑推理和数学推导来证明等式的恒成立。
这可能涉及使用已知的数学定理、性质和规则，以及逻辑推理的方法（例如，归谬法、数学归纳法等）。
3. 反证法：假设待证明的等式不成立，然后通过逻辑推理和数学推导，推导出矛盾的结论。
这证明了原始的假设是错误的，从而证明了恒成立。
4. 直接证明法：对待证明的等式进行等式变换和运算，将其化简为其他已知的等式或恒等式。
通过逐步展示所有步骤的正确性，从而证明恒成立。
5. 归纳法：适用于需要对自然数（或其他递归结构）进行证明的问题。
通过首先证明基本情况，然后假设恒等式在某个特定情况下成立，最后证明在下一个情况下也成立，从而归纳论证恒成立。
6. 构造法：通过构造一个满足条件的例子或特殊情况，来证明待证明的等式的恒成立。
这些方法可以单独使用，或者在解决问题时结合使用。
同时，不同的问题可能需要使用不同的方法和技巧，因此在解决恒成立问题时，灵活、创造性和逻辑性是非常重要的。
恒成立问题常见类型及解法
恒成立问题常见类型及解法重庆清华中学 张忠在近年高考试题中，常见条件中出现“恒”、“都”、“总”、“永远”、“一切”等关键词的试题，我们习惯上称之为恒成立问题。
对此类题，许多学生常常一筹莫展，但如果了解它的题型，选择合适的对策，解决问题就会游刃有余。
高中数学中的恒成立问题，总体上分为两种典型类型：等式的恒成立和不等式的恒成立。
一、等式的恒成立问题（恒等问题）【例】 是否存在常数a 、b 、c 使得等式：122311122222··…++++=+++n n n n an bn c ()()()对一切自然数n 都成立？证明你的结论。
(一). 利用多项式恒等定理，建立方程组求参数多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于a 的任意一个取值，都有f (a )g (a )；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
解法一：因为3222)1(n n n n n ++=+所以12231222··…++++n n ()=++++++++++++=++++++=+++()()()()()()()()()1232121212131211411231110222333222………n n n n n n n n n n n n n n显然当a b c ===31110，，时等式对一切自然数n 都成立。
(二). 待定系数法和数学归纳法对策：先用待定系数法探求a 、b 、c 的值，再利用数学归纳法证明等式对一切自然数n 都成立。
解法二：令n=1，n=2，n=3可得，解得。
以下用数学归纳法证明：等式1·22+2·32+…+n(n+1)=(3n 2+11n+10)对一切自然数n 都成立(证略)。
(三)、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)((f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
恒成立问题的几种常见解法
恒成立问题的几种常见解法作者：纪颖伟来源：《成才之路》2009年第12期高中数学中的恒成立问题把不等式、函数、数列、三角、几何等内容有机地结合起来,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
下面通过几个题说明用数学思想解决不等式恒成立问题。
一、直接法例1:已知函数f(x)=ln(2+3x)-x2, (1)求f(x)在区间[0,1]上的极值。
(2)若对任意x∈[,],不等式|a -lnx|+ln[f/(x)+3x]>0成立,求实数a的取值范围。
解(1):f/(x)=,令f/(x)=0 得x=或x= -1(舍),∴当0≤x0 , f(x)单调递增; 当0 ,得|a-lnx|+ln>0 ,∵x∈[,]∴ln∈[0,ln]。
只有当x=时,ln=0,这时a = ln时|a-lnx|+ln[f/(x)+3x]> 0不成立,其他情况下都成立。
故a的取值范围是(-∞,ln)∪(ln,+∞)。
二、集合思想例2:若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立,则a的最小值为( )。
解: 当△=a2-4≤0即 -2≤a≤2时,不等式x2+ax +1≥0对x∈(0,]成立;当△=a2- 4>0时,x2+ax+1≥0的解集为(-∞,]∪[,+∞)。
要使不等式x2+ax+1≥0对x∈(0,]成立,需(0,](-∞,]∪[,+∞)。
∴≤或≤0,解得 -≤a2,综上知a≥-, 故a的最小值为- 。
小结:若不等式f(x,a)>0解集为B, 则不等式f(x,a)>0对x∈A恒成立?圳A?哿B。
三、方程思想例2中,已知f(x)= x2 +ax +1≥0对一切x∈(0,1/2)恒成立?圳方程f(x)=0的根有且仅有下列3种情况:⑴无实根?圳△⑵两个小于或等于0的实根?圳△≥0f(0)=1≥0解得a≥2-≤0⑶两个大于或等于的实根?圳△≥0-≥f()=++1≥0解得-≤a≤-2,综合⑴⑵⑶,得a≥-。
恒成立问题的几种常见解法
五、函数思想
例２中。已知ｆ（Ｘ）＝Ｘ２＋ａｘ＋１＞１０对一切Ｘ∈（０．１／２）恒成立甘 方程ｆ（Ｘ）＝Ｏ的根有且仅有下列３种情况： （１）无实根§△＜０．解得一２＜ａ＜２
△≥０
例２中，设ｆ（×）＝ｘ２＋ａ）（＋１。则ｆ（ｘ）／＞０对Ｘ∈（０，士］恒成立，
从而在（０．百１］上有［ｆ（ｘ）］ｍｉｎ／＞０。（１）当一百ａ≤Ｏ时，即当ａ≥
ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｒｏｏｍ，ｌｉｂｒａｒｙ，ｍｕｌｔｉｍｅｄｉａ
ｒｏｏｍ等等，都是学生很想学
到的语言。 二、挖掘生活化的英语课程资源 所谓英语课程资源。是指学生生活中与英语学习密切相关的 有利于学生学习的所有要素。英语教材的编写已经充分考虑到要 接近学生的生活，我们应充分挖掘教材自身的生活因素，同时我们 还要开发教材以外的生活课程资源。如：我们可以以课本为依托， 根据内容。找到合适的切入点。把身边的、世界的、近期发生的事情 通过图片、投影、照片展示等多种方法引入到教学中来，使学生在 学习的同时能感受到所学知识与外界相联系，能够用简单的句式 表达自己的思想，从而体会到学习英语的成就感。
２即当一１≤ａ＜０时，原不等式恒成立。（３）当一告＞÷时。即当
ａ＜一１时，在ｆ（ｘ）在（ｏ，÷］上是减函数“．当Ｘ－－－－÷时，［ｆ（ｘ）］ｒａｉｎ＝
虿ａ ４－ｉ５一ｏ ａ、７－虿５
（３）两个大于｝或等于｝的实根甘
一虿ａ；互１一
ｆ（丢）＝了１＋虿ａ＋１／＞０ 解得一争≤ａ≤一２，综合（１）（２）（３），得ａ≥一争。
×ｅ（ｏ，｝］成立；当△＝ａ２—４＞０时，ｘ２＋ａｘ＋１≥ｏ的解集为（一ｏｏ
二鱼二≤王三．］ｕ［二学，＋。）。要使不等式×２＋ａｘ＋１≥。
需（Ｏ＇士］（－。华’］Ｕ
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求解恒成立问题的常见方法
摘要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。
因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。
关键词：恒成立；参数；解题方法
一、一元二次不等式中的恒成立问题
例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f（x）≥a成立，求a的取值范围。
解：∵f（x）≥a对x∈R恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对x ∈R恒成立
∵x∈R，∴Δ≥0，即a2-4（3-a）≥0∴a≤-6或a≥2 例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。
解：由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立
①当m=0时显然成立
②当m≠0时有m>0（6m）2+4m（m+8）<0∴0<m<1
综上可知0<m<1
方法归纳：令f（x）=ax2+bx+c，若f（x）>0（或f（x）
≥0）对任意x∈R恒成立，则有a>0Δ0Δ≤0），若f（x）<0（或f（x）≤0）对任意x∈R恒成立，则有a<0Δ<0（或a<0Δ≤0）等价转化即可。
二、在给定区间上恒成立问题
例3.已知函数f（x）= （x≠0）在（4，+∞）上恒大于0，求a的取值范围。
解：令f（x）=0则>0，∴a>-（x+ ）
令g（x）=x+ ，易知g（x）在（4，+∞）上为增函数，∴g（x）min=g（4）=5∴g（x）>5
∴-（x+ ）<-5∴a≥-5
例4.已知函数f（x）=x2+2x+a lnx，在区间（0，1]上为单调函数，求实数a的取值范围。
分析：求f ′（x）→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围
解：易知f ′（x）=2x+2+ ，∵f ′（x）在f ′（x）上单调
∴f ′（x）≥0或f ′（x）<0在（0，1]上恒成立，
即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立
∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立又-（2x2+2x）=-2（x+ ）2+ ∈[-4，0）
∴a≥0或a≤-4
方法归纳：解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等
价变形，将参数a从整体中分离出来，转化为a>（或f（x）（或a≥
f（x）恒成立？圳a>m（或a≥m）；（2）若f（x）在定义域内存在最小值m，则a<f（x）或（a≤f（x））恒成立？圳a<m（或a≤m）；（3）若f（x）在其定义域内不存在最值，只需找到f（x）在定义域上的最大界（或最小下界）m，即f（x）在定义域上增大（或减小）时无限接近但永远达不到的那个位置来代替上述两种情况下的m，此时要注意结果所求参数范围在端点处是否要取到等号。
例5.已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x=- 时都取得极值，
（1）求a、b的值；
（2）若对x∈（-1，2）时都有f（x）< 恒成立，求c 的取值范围。
解：（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+c∴f ′（x）=x3- x2-2x+c 由- a=1- =- 得a=- b=-2∴f（x）=x3- x2-2x+c
（2）∵f（x）x3- x2-2x
令g（x）=x3- x2-2x则g′（x）=3x3-x-2=（3x+2）（x-1）令g′（x）=0则x=- 或x=1
在（-1，2）内易知g（x）max=g（2）=2又x<2∴g（x）<2
∴-c≥2即≤0∴c∈（-∞，-3]∪（0，1]
说明：此类恒成立问题的本质是求最值，等号不能成立时一般转化为函数的单调性求最值。
编辑王团兰。