浙江省杭州十四中2017届高三2月月考试题数学理(含答案)word版

2017届杭州市第十四中学高三2月月考数学（理科）试题本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n kk k n n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R =()1213V h S S = 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R =h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{}|lg 0A x x =≤，{|21}x B x =≤，全集U =R ，则 ()U A B = ð (A) (,1)-∞ (B) (1,)+∞(C) (,1]-∞(D) [1,)+∞2．设复数 12i2iz -=-（其中i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限3．已知a ，b 都是实数，则 “4a b +≥” 是 “224a b +≥” 的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．设1sin cos2x x+=-（其中(0,π)x∈），则cos2x的值为(B)(C)5．设l、m为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(A) 若l ∥m，l ∥α，则m∥α(B) 若α⊥β，l ∥α，则l⊥β(C) 若l⊥α，α⊥β，则l ∥α(D) 若l ⊥m，l⊥α且m⊥β，则α⊥β6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(A) 36＋128π(B) 128π(C) 36 (D) 36＋64π7．某程序框图如图所示，若输入的N＝100，该程序运行后输出的结果为(A) 50 (B) 101 2(C) 51 (D) 103 28．某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为(A) 8 (B) 16 (C) 24 (D) 609．设点P是椭圆22221x ya b+=（0a b>>）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若 S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是(A) 1(B)2(D)14（第6题图）10．若在直线l 上存在不同的三个点A ，B ，C ，使得关于实数x 的方程 2x OA xOB BC ++=有解（点O 不在l 上），则此方程的解集为 (A) {1}- (B) ∅(C) ⎪⎪⎩⎭(D) {}1,0-非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上；2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．设 4(1)x - 的展开式中 2x 的系数为A ，则A ＝ ．12．已知某随机变量ξ的概率分布列如右表，其中0x >，0y >，随机变量ξ的方差12D ξ=，则 x ＋y ＝.13．设 a 、b 为两非零向量，且满足 | a |＋| b |＝2，2a •b ＝a 2•b 2，则两向量 a 、b 的夹角的最小值为 ． 14．已知实数x ，y 满足 1910x y x y+++=，则 x ＋y 的最大值为 ． 15．设点M(x ,y ) 的坐标满足不等式组 001x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，点 (m ,n ) 在点M(x ,y ) 所在的平面区域内，若点N(m ＋n ,m －n )所在的平面区域的面积为S ，则S 的值为 ．16．在等边三角形ABC 中，点P 在线段AB 上，满足AP AB λ= ，若CP AB PA PB ⋅=⋅，则实数λ的值是___________．17．已知a ，b ，c 均为正实数，记11max ,,a M b bc c ac a b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭，则M 的最小值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对边的长分别为a 、b 、c ，且a ＝5，b＝3，sinC ＝2sinA ．（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求 πsin 23A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的值．19．（本题满分14分） 如图(1)在等腰ABC ∆中，D ，E ，F 分别是AB ，AC 和BC 边的中点，120ACB ∠= ，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))（I ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （II ）求二面角E-DF-C 的余弦值；（III ）在线段BC 是否存在一点P ，但AP ⊥DE ？证明你的结论.20．（本题满分15分） 函数()f x 的定义域为R ，数列{}n a 满足1=()n n a f a -（*n N ∈且2n ≥）． （Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，12a a ≠，且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-(k 为非零常数，*n N ∈且2n ≥)，求k 的值；（Ⅱ）若()(1)f x kx k =>，12a =，*ln ()n n b a n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，对于给定的正整数m ，如果(1)m n mnS S +的值与n 无关，求k 的值．21．（本题满分15分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，,Q 为椭圆C 的左顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.22．（本题满分14分）已知函数f (x )=ln x ，g (x )=e x．（I ）若函数φ (x ) = f (x )－11x x +-，求函数φ (x )的单调区间； （Ⅱ）设直线l 为函数 y ＝f (x ) 的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．注：e 为自然对数的底数．ABCDEF 图(2)ABCDEF图(1)答案：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．612．34 13．π314．8 15．116．1- 17．2三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）解：（Ⅰ）根据正弦定理，c sinC ＝a sinA ，所以c ＝sinC sinAa ＝2a ＝分)（Ⅱ）根据余弦定理，得cos A ＝2222c b a bc +-，于是sin A ，从而sin2A ＝2sin A cos A ＝45，cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35，所以sin 23A π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin2A cos 3π－cos2A sin 3π.(14分)19．（本题满分14分）（I ）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF ．………………4分 【解】（Ⅲ）在线段BC 上不存在点P ，使AP⊥DE，……………………… 9分证明如下：在图2中, 作AG⊥DE,交DE 于G 交CD 于Q 由已知得 ∠AED＝120°，于是点G 在DE 的延长线上，从而Q 在DC 的延长线 上，过Q 作PQ⊥CD 交BC 于P∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P 在BC 的延长线上。

………………… 12分x 【法二】（Ⅱ）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，设CD ＝a ，则AC ＝BC＝2a , AD ＝DB 则A （0，0），B ，0，0），C （0，,0,),(0,),,,0)22a aa E F .……………………… 5分 取平面CDF 的法向量为(0,0,1)m = 设平面EDF 的法向量为则00DFn DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得0y n y +==-=⎪⎩ 取cos ,||||m n m n m n ⋅<>== 所以二面角E —DF —C 【解】（Ⅲ）设23(,,0),0322a P x y AP DE y a y a ⋅=-=∴= 则，又(,,0),(,,0)BPx y PC xa y ==--， (9)分 //,()(),BP PC x a y xy x ∴-=-∴=………………………11分把3y a x ==-代入上式得，可知点P 在BC 的延长线上所以在线段BC 上不存在点P 使AP⊥DE. ……………………………………………… 12分20．（本题满分14分）函数()f x 的定义域为R ，数列{}n a 满足1=()n n a f a -（*n N ∈且2n ≥）． （Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，12a a ≠，且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-(k 为非零常数，*n N ∈且2n ≥)，求k 的值；（Ⅱ）若()(1)f x kx k =>，12a =，*ln ()n n b a n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，对于给定的正整数m ，如果(1)m n mnS S +的值与n 无关，求k 的值．解：（Ⅰ）当2n ≥时，因为 1()n n a f a -=，11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，所以 111()()()n n n n n n a a f a f a k a a +---=-=-．因为数列{}n a 是等差数列，所以 11n n n n a a a a +--=-． 因为 11()n n n n a a k a a +--=-， 所以1=k ． …6分 （Ⅱ）因为()(1)f x kx k =>，12a =，且1()n n a f a +=，所以 1n n a ka +=．所以数列{}n a 是首项为2，公比为k 的等比数列， 所以12n n a k -=． 所以ln ln 2(1)ln n n b a n k ==+-． 因为1ln n n b b k --=，所以{}n b 是首项为ln2，公差为ln k 的等差数列． 所以 n S 1()(1)[ln2ln ]22n b b n n n k +-==+． 因为(1)[(1)1](1){ln 2ln }(1)[(1)ln 2ln 2ln ]2(1)[ln 2ln 2ln ][ln 2ln ]2m n mnm n m n k S m m n k k mn S m mn k k mn k ++-+++++-==-+-+， 又因为(1)m n mnS S +的值是一个与n 无关的量，所以2ln 2ln 2ln 2ln ln (1)ln k kmn k m n k--=+，解得4k =． …13分21．（本题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，c a =分 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y .（ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.…………5分则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-， 所以 AQ BQ ⊥. 所以 2AQB π∠=. …………6分 （ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.21222122240,25100144100.25100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩……………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+，116()5y k x =+，226()5y k x =+， 所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++. 所以 QA QB ⊥.所以 QAB ∆为直角三角形. ………………11分 （III ）假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ⊥.记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x k k x k k +==-=-++， 所以 点M 的纵坐标266()5520M M ky k x k =+=+.所以 222221016666(,)(,)520520520520k k kQM NM k k k k +⋅=⋅++++ 222601320(520)k k +=≠+. 所以 QM 与NM不垂直，矛盾.所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.…………13分 22．（本题满分14分）解：（Ⅰ） ()1()1x x f x x ϕ+=--1ln 1x x x +=--， ()()()22212111x x x x x x ϕ+'=+=-⋅-． 2分 ∵0x >且1x ≠， ∴()0x ϕ'>∴函数()x ϕ的单调递增区间为()()0,11+∞和，． ············· 4分 （Ⅱ）∵1()f x x'=，∴001()f x x '=，∴ 切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -=-, http:// / 即001ln 1y x x x =+-, ① ···················· 6分 设直线l 与曲线()y g x =相切于点11(,)x x e ， ∵()x g x e '=，∴101x e x =，∴10ln x x =-． ··············· 8分 ∴直线l 也为()00011ln y x x x x -=+， 即0000ln 11x y x x x x =++， ② ····················· 9分 由①②得 0000ln 1ln 1x x x x -=+， ∴0001ln 1x x x +=-． ························· 11分下证：在区间（1，+∞）上0x 存在且唯一.由（Ⅰ）可知，()x ϕ1ln 1x x x +=--在区间1,+∞（）上递增．又12()ln 011e e e e e ϕ+-=-=<--，22222213()ln 011e e e e e e ϕ+-=-=>--， ···· 13分 结合零点存在性定理，说明方程()0x ϕ=必在区间2(,)e e 上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x ． 故结论成立．。