直线的方向向量与法向量的求法教学提纲
直线的方向向量与法向量
例8 求直线3x＋4y－12=0的全体方向向量．
解： (方法二)直线上任意两点P(x0， y0) ，Q(x，y)的坐标满足等式：
3x0＋4y0－12=0， ①
3x＋4y－12=0． ②
②－①得 3(x－x0)＋4(y－y0) = 0． ③
将③式的左边写出数量积的形式，得 (3，4)∙(x－x0，y－y0) = 0． ④
当PQ不重合时，PQ =(x－x0，y－y0)，代表了直线的全体方向向量，
由④可知，PQ与向量(3，4)垂直，因此这条直线与向量(3，4)垂直．
由3×4＋4×(−3)=0得到向量(4，−3)与向量(3，4)垂直．因此(4，−3)是
直线的一个方向向量，直线的全体方向向量为λ(4，−3) = (4λ，−3λ)，其中
(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0
截距式
横截距和纵截距 分别为 a 和 b
x y 1 ab
适用范围 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线
所有直线
不表示垂直于坐标轴 和经过原点的直线
一般式
Ax十By+C=0（A，B不同时为0）
所有直线
λ为任意非零实数．
例8方法二的推：直线上任意两点P(x0， y0) ，Q(x，y)的坐标满足等式：
Ax0＋By0＋C=0，
Ax＋By＋C=0．
以上两个式子相减，得 A(x－x0)＋B(y－y0) = 0．
将上式的左边写出数量积的形式，得 (A，B)∙(x－x0，y－y0) = 0．
方向都代表直线 l 的方向，此时这两个方向平行．
o
x
因此，我们把与直线 l 平行的非零向量 v 都称为 l 的方向向量，用它
教学设计4：3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程教学目标 1.知识与技能(1)会求空间直线的方向向量和向量参数方程；(2)会用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行； (3)会用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角． 2．过程与方法理解、体会用向量方法解决立体几何中的平行问题及两条直线所成角的问题的思想及过程． 3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．教学重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系及用向量运算求两条直线所成的角． 教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．知识点1用向量表示直线或点在直线上的位置 问题导思1．如图，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →有怎样的关系？【答案】 AB →∥CD →.2．给定一个定点A 和向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →＝t a ，当t 取遍全体实数时，P 点的轨迹是什么？ 【答案】 一条直线． 1．直线的方向向量与直线平行或共线的非零向量，叫做此直线的方向向量． 2．空间直线的向量参数方程点A 为直线l 的定点，a 为直线l 的一个方向向量，点P 为直线l 上任一点，t 为一个任意实数．3．线段中点的向量表示式设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．知识点2：用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔ v 1∥v 2 .2．①已知两个不共线向量v 1、v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x 、y ，使v ＝x v 1＋y v 2.②如果A 、B 、C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充要 条件是存在一对实数x 、y ，使向量表达式AM →＝xAB →＋yAC →成立．3．已知不共线的向量v 1和v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β .知识点3：用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 .设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则有l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2 ，cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉| . 例题解析例1 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝－2. 求点P 和点Q 的坐标.解 （1）由已知，得PB →＝2AP →， 即OB →－OP →＝2(OP →－OA →)， OP →＝23OA →＋13OB →.设点P 坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2,4,0)＋13(1,3,3)，（2） 因为AQ ∶QB ＝－2，所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →)， OQ →＝－OA →＋2OB →，设点Q 的坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示， 得(x ，y ，z )＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)， 即x ＝0，y ＝2，z ＝6. 因此，Q 点的坐标是(0,2,6).例2 如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点.求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12AD ′.证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ， 则AM →＝12(a ＋c )，AN →＝c ＋12(a ＋b )，因此MN →＝AN →－AM →＝12(b ＋c ).因为M 不在平面AD ′内，所以MN ∥平面AD ′. 又因为b ＋c ＝AD ′→，所以MN →＝12AD ′→，因此MN ∥AD ′，MN ＝12AD ′.例3 已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点M 、N 分别是棱BB ′与对角线CA ′的中点. 求证：MN ⊥BB ′；MN ⊥A ′C .证明 不妨设已知正方体的棱长为1，如图， 以A 为坐标原点O 建立空间直角坐标系.由已知， 得M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，B (1,0,0)，C (1,1,0)， A ′(0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫12，12，12，B ′(1,0,1)，MN →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0，A ′C →＝(1,1，－1)，BB ′→＝(0,0,1)， ∵MN →·A ′C →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0·(1,1，－1)＝0， MN →·BB ′→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0·(0,0,1)＝0. ∴MN ⊥A ′C ；MN ⊥BB ′.例4 已知三棱锥O —ABC (如图)，OA ＝4，OB ＝5，OC ＝3，∠AOB ＝∠BOC ＝60°， ∠COA ＝90°，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点. 求直线MN 与AC 所成角（精确到0.1°）.解 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，直线MN 与AC 所成的角为θ，则 MN →＝ON →－OM →＝12(b ＋c )－12a ＝12(b ＋c －a )，AC →＝c －a .∴|MN →|2＝14(b ＋c －a )2＝14(|a |2＋|b |2＋|c |2＋2b·c －2a·b －2a·c ) ＝14(42＋52＋32＋15－20－0)＝454， |AC →|2＝(c －a )2＝|a |2＋|c |2－2a·c ＝42＋32－02＝25， MN →·AC →＝12(b ＋c －a )·(c －a )＝12(b·c ＋|c |2－a·b －2a·c ＋|a |2) ＝12⎝⎛⎭⎫152＋9－10－0＋16＝454. cos θ＝|cos 〈MN →，AC →〉| ＝|MN →·AC →|MN →||AC →||＝454454×5＝3510. ∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为3510.课堂练习1.已知O 为坐标原点，四面体OABC 中，A (0,3,5)、B (1,2,0)、C (0,5,0)，直线AD ∥BC ，并且AD 交坐标平面xOz 于点D ，求点D 的坐标． 解 ∵O 为坐标原点，∴O (0,0,0)． ∵AD 交xOz 于D ，∴D (x,0，z )． ∵AD ∥BC ，∴AD →＝λBC →， 即：(x ，－3，z －5)＝λ(－1,3,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－3＝3λz －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1z ＝5.∴D 点坐标为(1,0,5)．2.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：P A ∥平面EDB .证明 建立如图所示的空间直角坐标系． 连接AC 交BD 于G ，连接EG .设DC ＝a ， 依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a2)．∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(a 2，a2，0)．∴P A →＝(a,0，－a )，E G →＝(a 2，0，－a 2)．∴P A →＝2EG →，∵A ∉EG ，∴P A ∥EG . 又∵EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .3.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点， 且AA 1＝2，AB ＝AD ＝1. (1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)求直线A 1C 1与DF 所成角的余弦值．解 建立如图所示空间直角坐标系．∴A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，C (0,1,0)，A 1(1,0,2)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，2， E ⎝⎛⎭⎫12，1，2，C 1(0,1,2)． (1)EF →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，A 1C →＝(－1,1，－2)， ∴EF →·A 1C →＝0. ∴EF ⊥A 1C .(2)A 1C 1→＝(－1,1,0)，DF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，2， ∴cos 〈A 1C 1→，DF →〉＝122×4＋14＝3434， ∴异面直线A 1C 1与DF 所成角的余弦值为3434. 课堂小结1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．3．证明两直线垂直，要根据具体的立体几何环境，合理选择已知向量来表示待求的向量，然后证明其数量积为零．。
直线的方向向量与法向量的求法
.. ；. 直线的方向向量与法向量的求法 如图所示，当直线0:=++C By Ax l 的斜率存在时，直线与坐标轴分别交于M 、N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP ，交横轴于点P,则，向量→m 是直线的方向向量，向量→
n 是直线的法向量，那么，如何求这两个向量呢？
【解析】易知),0(),0,(B C N A C M --，故),(),1(),(A B AB C k A C B C A C MN -==-=→
或， 所以，直线的方向向量),1(k m =→或),(A B m -=→;
又∵A B k NP =
，∴直线NP 的方程为B
C x A B y -=， 易知)0,(2B AC P ，故),()1,1(),1(),(2222B A B
C k B AC A B B AC B C B AC NP 或-===→， 所以，直线的法向量),()1,1(B A n k n =-=→→或． 说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可．
例、求下列直线的方向向量与法向量：
（1）0532=+-y x ； （2）073=+x ．
解：（1）直线的方向向量为)2,3(--=→m 或)32,1(=→m ，
直线的法向量为)23,1()3,2(-=-=→→n n 或；
（2）直线的方向向量为)1,0(1,0)3,0(--=→）或或（m ，
直线的法向量为)0,1()0,1()0,3(-==→→或或n n ．。
立体几何中的向量方法(一)——方向向量与法向量
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
例2：已知A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0,0,2) 求平面ABC的法向量.
l
a
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
a
A
u
C B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
β
uv
α
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / a u a u 0 ；
叫做平面 的法向量.
l
n
A
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
平面的法向量：
l
注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
n
互相平行;
《3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量》教案
《3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量》教案 教学目标1.理解直线的方向向量和平面的法向量;2.会用待定系数法求平面的法向量.教学重难点1.直线的方向向量和平面的法向量.2.求平面的法向量.教学方法建议新授课､启发式一一引导发现､合作探究.教学过程(A)类问题(自学通过)1.直线的方向向量.我们把直线l 上的向量e (0e ≠ ) 以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的 . 2.平面的法线.与平面 的直线叫做平面的法线.3．平面的法向量.如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α.此时,我们把向量n叫做平面α的法向量.一个平面的法向量有 个,过一个定点作平面的法向量有 个.(B)类问题(讨论探究) 4.在正方体1111ABCD A B C D -中,求证:1DB 是平面1ACD 的法向量.(C)类问题(教师点拨)5.在空间直角坐标系内,设平面α经过点000()P x y z ，，,平面α的法向量为()e a b c ＝，，,()M x y z ，，为平面α内任意一点,求x y z ，，满足的关系式. 五､问题解决情况检测(A)类问题(自学通过)1.若直线l 垂直于平面α,且l 的方向向量为()4,2,t ,α的法向量为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,1,21,则实数t 的值为 .(B)类问题检测2.在正方体1111ABCD A B C D -中,求平面1ACD 的一个法向量.(C)类问题检测3.已知点P 是平行四边形A B C D 所在平面外一点,如果(214AB ＝，－， ,(420)AD ＝，， ,(121)AP ＝－，，－ .(1)求证:AP 是平面ABCD 的法向量;(2)求平行四边形ABCD 的面积.教学反思。
直线的方向向量与法向量的求法
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直线的方向向量与法向量的求法
如图所示，当直线l ：Ax By C =0的斜率存在时，直线与坐标轴分
别交于M N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP,交横轴于点P,则，向 量m'是直线的方向向量，向量n 是直线的法向量，那么，如何求这两 个向量呢?
又••• k NP 二 B ,•••直线 NP 的方程为 y 二"Bx- C ,
A
A B 易知p 當0，故NP 珂晋,B)罟(诗罟(1厂或号(AB),
—■ 1 —■
所以，直线的法向量 n =(1,)或n 二(A, B) • k
说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可.
例、求下列直线的方向向量与法向量:
(1) 2x -3y 5 = 0 ; (2) 3x 7 = 0 .
解：(1)直线的方向向量为m' = (-3,-2)或m = (1,2),
3 直线的法向量为n 、
所以，直线的方向向量 m = (1,k)或m=(B,-A);
C C
「(1,k)或二 ABg ，
(2,-3)或n = (1^|);
(2)直线的方向向量为m〔(0,-3)或(0,1)或(0,-1),
直线的法向量为二(3,0)或(1,0)或(-1,0).
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高考数学新教材专题09 直线方向向量和法向量的应用
专题09直线方向向量和法向量的应用[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中直线方程只涉及了斜率和倾斜角的概念与向量知识缺少联系，而在新教材中引入了直线的方向向量和法向量的概念，让向量与直线联系到一起，为解决直线方程问题提供了向量工具. 1､点方向式方程（1）直线的方向向量：把与直线平行的向量叫着直线的方向向量，记着(,)d u v = （2）点方向式方程：如果直线的方向向量的坐标都不为零，即0u ≠，0v ≠时，直线通过某个点00(,)x y ，把方程00x x y y u v--=叫做直线的点方向式方程. 2､直线的点法向式方程（1）直线的法向量：把与直线垂直的向量叫着直线的法向量，记着(,)n a b =（2）点法向式方程：如果直线通过某个点00(,)x y ，且与向量(,)n a b =垂直的 直线方程00()()0a x x b y y -+-=，叫做直线的点法向式方程. 3.理解方程中各字母及其系数的几何意义by c[新增内容的考查分析]1.直线方向向量的应用（应用主要体现在，会求直线的方向向量，应用直线的方向向量解决直线中的相关问题.）【考法示例1】过，两点的直线的一个方向向量为则（）A. B. C. D.1【答案】C【分析】解法一：根据AB坐标求得向量，根据与直线的方向向量共线即可求得结果.解法二：根据直线的方向向量求得直线的斜率，结合两点的斜率公式即可求得结果.【详解】解法一：由直线上的两点，，得，又直线的一个方向向量为，因此，∴，解得，故选：C.解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为，所以，解得.故选：C.【考法示例2】已知过定点的直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程可以为（）A. B.C. D.【答案】B【详解】因为直线的方向向量为且经过点，故直线的点向式方程为.故选：B.【考法示例3】设两条不重合的直线的方向向量分别为，则“存在正实数，使得是“两条直线平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意为两条不重合的直线的方向向量，若存在正实数，使得，则，即可得到这两条直线平行，即充分性成立；若两直线平行，即，则存在实数，使得，不一定为正，当与同向时，当与反向时，，故必要性不成立；故“存在正实数，使得”是“两条直线平行”的的充分不必要条件，故选：2.直线法向量的应用（直线的法向量应用主要在两方面，1.会求直线的方向向量；2.应用直线的法向量解决直线中的相关问题.）【考法示例4】已知直线的方向向量为（1，5），则直线的法向量为（ ） A.B.C.D.【答案】C【分析】根据直线的方向向量与法向量的数量积等于零即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的法向量可以是或.故选：C.【考法示例5】已知两条直线，，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则________.【答案】【分析】根据题意可得，利用两直线垂直的等价条件即可求解.【详解】因为直线的一个法向量恰为的一个方向向量，所以，所以，解得：.[新增内容的针对训练]1. 设()()111222,,,P x y P x y 为直线l 上的两点，则()122121,PP x x y y =--，我们把向量12PP 以及与它平行的向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 的方向向量垂直的向量称为直线l 的法向量．若直线l 经过点(1,4),(3,2)A B -，则直线的一个法向量n 为（ ） A. ()1,2n =- B. ()4,2n =- C. ()4,2n = D. ()1,2n =【答案】D 【解析】【分析】先计算出直线l 的方向向量AB ，然后通过数量积逐项判断n 与AB 是否垂直.【详解】因为()4,2AB =-，A ．当()1,2n =-，则4480AB n ⋅=+=≠，不满足， B ．当()4,2n =-，则164200AB n ⋅=+=≠，不满足，C ．当()4,2n =，则164120AB n ⋅=-=≠，不满足，D ．当()1,2n =，则440AB n ⋅=-=，满足， 故选：D.2. 下列命题正确的有（ ）．∴直线的方向向量是唯一的；∴经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l 的点方向式方程为00x x y y u v--=；∴直线10y =的一个方向向量是（1，0）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】B 【解析】【分析】由于直线的方向向量是不唯一的，可判定∴不正确；由直线的点方向式方程，可判定∴不正确；由直线10y =的斜率为0，可判定∴是正确的. 【详解】对于∴中，由于直线的方向向量是不唯一的，所以∴不正确；对于∴中，只有等0,0u v ≠≠时，经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l的点方向式方程为00x x y y u v--=，所以∴不正确； 对于∴中，直线10y =的斜率为0，所以直线10y =的一个方向向量可以是(1,0)，所以∴是正确的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了直线的方向向量的概念与辨析，以及直线的点方向式方程的应用，着重考查概念的辨析能力，属于基础题.3. 若过点(3,2)P m 和点(,2)Q m -的直线与方向向量为(5,5)a =-的直线平行，则实数m 的值是（ ） A.13 B. 13-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】【分析】求出PQ 坐标，由向量共线可得关于m 的方程，进而可求出m 的值. 【详解】由题意得，(3,22)PQ m m =---与(5,5)a =-共线，所以5(3)(5)(22)0m m ----⋅-=，解得13m =-．经检验知，13m =-符合题意，故选:B ．【点睛】本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.4. 已知直线l 经过点(1,2)P 和点(2,2)Q --，则直线l 的单位方向向量为 A. (3,4)-- B. 34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 34,55⎛⎫±± ⎪⎝⎭D. 34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 的一个方向向量为(3,4)PQ =--，再求出向量的模，根据单位向量||PQPQ ±即可求解. 【详解】由题意得，直线l 的一个方向向量为(21,22)(3,4)PQ =----=--，则||(5PQ =-=，因此直线l 的单位方向向量为134(3,4),555||PQ PQ ⎛⎫±=±--=± ⎪⎝⎭，故选：D .【点睛】本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题.5. 设直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z 且0,≠∈R b b .给出下列结论其中真命题有（ ） A. l 的斜率是tan α B. l 的倾斜角是αC. l 的方向向量与向量(sin ,cos )a αα=平行D. l 的法向量与向量(sin ,cos )b αα=-平行. 【答案】AD 【解析】【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角，注意倾斜角的范围判断AB ，由直线的方向向量与法向量定义及向量共线的坐标表示判断CD ． 【详解】因为直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z ，所以l 的斜率是tan α；所以A 对；l 的倾斜角θ满足tan tan θα=，但不一定有θα=，所以B 错；l 的方向向量为(1,tan )α，因为1cos sin tan ααα⨯≠，所以C 错； l 的法向量为(tan ,1)α-，因为1sin cos tan ααα-⨯=-，所以D 对；故选：AD.6. 直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =，则直线的点法向式方程是（ ）A. 3(2)(3)0x y -+-=B. (2)3(3)0x y --+-=C.2331x y --= D.2313x y --=- 【答案】BC【解析】【分析】直接利用直线的点法向式方程求解.【详解】因为直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =， 所以直线的点法向式方程是(2)3(3)0x y --+-=或2331x y --= 故选：BC【点睛】本题主要考查直线的点法向式方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 若一条直线的斜率为k ，则它的一个方向向量是___________，一个法向量是________.【答案】 ∴. (1,)k ∴. (,1)k - 【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系，在直线上任取两点坐标相减得到的向量即为方向向量，再由法向量和方向向量的数量积为0，即可求得法向量. 【详解】因为直线的斜率为k ，所以它的一个方向向量为(1,)k ，设一个法向量为(),x y ，则()(),1,0x y k x ky ⋅=+=，不妨取,1x k y ==-，则它的一个法向量是(),1k -， 故答案为：(1,)k ；(,1)k -.【点睛】本题考查直线方向向量以及法向量，掌握直线斜率和方向向量以及法向量的关系是关键，考查了分析求解能力，属基础题.8. 直线1:2330l x y -+=，那么直线1l 的一个方向向量1d 为_____________；2l 过点（2，1），并且2l 的一个方向向量2d 满足120d d ⋅=，则2l 的点方向式方程是_____________．【答案】 ∴. ()3,2（与该项量共线的非零向量均可） ∴. 2123x y --=- 【解析】【分析】由题意结合直线方向向量的知识可得直线1l 的一个方向向量；求得一个满足要求的向量2d 后，利用直线的点方向式即可得2l 的点方向式方程.【详解】由题意可得直线1:2330l x y -+=的一个方向向量为()3,2， 所以1d 可为()3,2（与该项量共线的非零向量均可）； 设向量()2,n d m =，由120d d ⋅=可得320m n +=， 令2m =则3n =-，所以直线2l 的一个方向向量为()2,3-，又直线2l 过点(2，1)，所以该直线的点方向式方程为2123x y --=-. 故答案为：()3,2（与该项量共线的非零向量均可）；2123x y --=-. 【点睛】本题考查了直线方向向量的求解及直线点方向式方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9. 已知平面上直线l 的方向向量43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别为1O 和1A ，则11O A e λ=，其中λ=________. 【答案】2- 【解析】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得(1,2)OA =-、1e =，进而可得λ即为OA 在e 方向上的投影，再由e OAeλ⋅=即可得解. 【详解】43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,0)O ，(1,2)A -；∴415e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，(1,2)OA =-， ∴λ即为OA 在e 方向上的投影，∴465521e OA e λ--===-⋅.故答案为：2-.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.10. 如图，射线OA ，OB 所在直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N .（1）若1k =，31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求OM 的值； （2）若()2,1P ，OMP 的面积是65，求k 的值； （3）已知k 为常数，M ，N 的中点为T ，且1MON S k=△，当P 变化时，求OT 的取值范围.【答案】（1（2）112或2；（3）1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1)求出||OP ,点P 到直线的距离,利用勾股定理,求||OM 的值; (2)直线OA 的方程为0kx y ,求出(2,1)P 到直线的距离,利用勾股定理求出||OM ,利用OMP 的面积为65,求k 的值; (3)设直线OA 的倾斜角为α,求出||OM ,||ON ,利用1MON S k=△,可得P 变化时,动点T 轨迹方程,求出||OT ,即可求||OT 的取值范围.【详解】（1）31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，||OP ∴=， 若1k =，则()11,1d =，OA ∴的方程为y x =，即0x y -=，则点P 到直线OA2=，||OM ∴== （2）直线OA 的方程为0kx y ,(2,1)P到直线的距离为d =||OM ∴=, OMP ∴的面积为1625=, 112k ∴=或2； （3）设()11,M x kx ,()22,N x kx -,(,)T x y ,1>0x ,20x >,0k >, 设直线OA 的倾斜角为α,则tan k α=，22sin 21kk α=+, 根据题意得()121222x x x k x x y OM x ON x +⎧=⎪⎪-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩，解得12y x x ky x x k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 代入11||||sin 22MONSOM ON kα==， 化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.1||OT k∴====, 当且仅当11,,0x T k k ⎛⎫=⎪⎝⎭时,||OT 取得最小值1k.||OT∴的取值范围是1,k⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.。
直线的方向向量与平面的法向量课件
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
【解析】以 A 为坐标原点，分别以A→B ，A→D ，A→P 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ，－1)，即为直线 PC 的一个方向向量．
【解析】选 C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检 验只有选项 C 中 s·n＝0.
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
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直线的方向向量与法向量的求法
如图所示，当直线l ：Ax By C 0的斜率存在时，直线与坐标轴分
别交于M 、N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP ,交横轴于点P 则, 向量m 是直线的方向向量，向量n 是直线的法向量，那么，如何求这 八 B B
又・k NP ,•••直线NP 的方程为y x A
A 易知P(AC,O)，故NP (笋自AC 1 所以，直线的法向量 n (1,—)或n (A,B) • k 说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可. 例、求下列直线的方向向量与法向量:
(1) 2x 3y 5 0 ; (2) 3x 7 0. 解：(1)直线的方向向量为m ( 3, 2)或m (1,-),
3
直线的法向量为n (2, 3)或n (1, 3);
(2)直线的方向向量为m (0, 3)或(0,1)或(0, 1),
直线的法向量为n (3,0)或n (1,0)或(1,0).
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AB （B ， A ）， C
B B 2 （1,7）
1
C ）
或 2 （A ，两个向量呢?
所以，直线的方向向量m (1,k)或m (B, A);。