【备战2016】(北京版)高考数学分项汇编 专题14 推理与证明、新定义(含解析)理

专题14 推理与证明、新定义
1. 【2006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口
,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆
数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 （ ） （A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 【答案】C
2. 【2009高考北京理第8题】点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2
y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“
点”，那么下列结论中正确的是 （ ）
A ．直线l 上的所有点都是“点”
B ．直线l 上仅有有限个点是“点”
C ．直线l 上的所有点都不是“
点”
D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”
【答案】A
考点：创新题型.
3. 【2014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
【答案】B
考点：合情推理，中等题.
4. 【2005高考北京理第14题】已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--11
10)( .
如果在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k
=的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运
算（6次乘法，3次加法），那么计算P 10（x 0）的值共需要 次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k +1（x ）=x P k （x ）+a k +1（k =0，1，2，…，n －1）.利
用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算P 10（x 0）的值共需要 次运算. 【答案】
1
(3)22
n n n +
考点：信息题。

5. 【2007高考北京理第20题】（本小题共13分）已知集合{}12(2)k A a a a k =≥，，，，其中
(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，
{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和
n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)
2
k k n -≤
； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．
6. 【2008高考北京理第20题】（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列
1()T A ：
12111n n a a a ---，，，，． 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ； 又定义22
2
1212()2(2)m m S B b b mb b b b =++
++++
+．
设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，
，，． （Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，
1()()k k S A S A +=．
7. 【2010高考北京理第20题】(13分)已知集合S n ＝{X |X ＝(x 1，x 2，…，x n )，x i ∈{0,1}，i ＝1,2，…，
n }(n ≥2)．对于A ＝(a 1，a 2，…，a n )，B ＝(b 1，b 2，…，b n )∈S n ，定义A 与B 的差为A －B ＝(|a 1－b 1|，|a 2
－b 2|，…，|a n －b n |)；A 与B 之间的距离为d (A ，B )＝
1
n
i i
i a b
=-∑
(1)证明：A ，B ，C ∈S n ，有A －B ∈S n ，且d (A －C ，B －C )＝d (A ，B )；
(2)证明：A ，B ，C ∈S n ，d (A ，B )，d (A ，C )，d (B ，C )三个数中至少有一个是偶数；
(3)设P S n ，P 中有m (m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d (P )，证明：
()2(1)
mn
d P m ≤-.
8. 【2011高考北京理第20题】若数列n A ：1a ，2a ，…，(2)n a n ≥满足1||1k k a a +-=（k =1，2，…，1n -）
，则称n A 为E 数列。

记12()n n S A a a a =+++.（1）写出一个满足150a a ==，且5()0S A >的E
数列5A ；（2）若112a =，2000n =，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =；（3）对任意给定的整数(2)n n ≥，是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()0n S A =？如果存在，写出一个满足条件的
E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

9. 【2012高考北京理第20题】（本小题共13分）
设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零. 记
(),S m n 为所有这样的数表组成的集合. 对于(),A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和（1i
m ）
，()j c A 为A 的第j 列各数之和（1
j
n ）；记()k A 为1()r A ，2()r A ，
…，()m r A ，1()c A ，2()c A ，…，()n c A 中的最小值.
（1）对如下数表A ，求()k A 的值；
1 1 0.8- 0.1
0.3-
1-
（2）设数表()2,3A S ∈形如
1
1
c
求()k A 的最大值；
（3）给定正整数t ，对于所有的()2,21A S t ∈+，求()k A 的最大值
.
a b 1-
10. 【2014高考北京理第20题】（本小题满分13分）
对于数对序列1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，
112(){(),}(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=+++
+≤≤，其中112{(),}k k Max T P a a a -+++表示1()k T P -
和12k a a a +++两个数中最大的数.
（1）对于数对序列:(2,5),(4,1)P ，求12(),()T P T P 的值；
（2）记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列:(,),(,)P a b c d 和:(,),(,)P c d a b '，试分别对m a =和m d =两种情况比较2()T P 和2()T P '的大小；
（3）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.(只需写出结论).
考点：新定义题型.
11. 【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、
乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.
12. 【2015高考北京，理20】已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n n
n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}
*|n M a n =∈N ．
（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；
（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．
【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）
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考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.。