江苏省徐州市建平中学高一数学《基本不等式的证明(2)》学案
新教材高中数学第3章不等式3 23 2 1基本不等式的证明学案苏教版必修第一册
3.2 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)3.2.1 基本不等式的证明学 习 任 务核 心 素 养1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点)1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．2．借助基本不等式求简单的最值问题，提升数学运算素养.某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．甲方案是第一次打p 折销售，第二次打q 折销售，乙方案是第一次打q 折销售，第二次打p 折销售，两方案是两次都打p ＋q2折销售．请问哪一种方案降价最多？知识点1 算术平均数、几何平均数与基本不等式 (1)算术平均数与几何平均数对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．(2)基本不等式如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，我们把不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b ≥0)称为基本不等式．1.如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)?〖提示〗 因为a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．1.设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为______，此时x＝________，y ＝________.400 20 20 〖由ab ≤a ＋b 2知xy ≤402，所以xy ≤400.此时x ＝y ＝20.〗知识点2 两个重要的不等式若a ，b ∈R ，则(1)ab ≤a 2＋b 22，即a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)；(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2.当a 、b 满足什么条件时，a 2＋b 2＝2ab ？a 2＋b 2>2ab?〖提示〗 当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，a 、b ∈R 时a 2＋b 2>2ab .2.不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是________．a ＝1 〖当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时“＝”成立．〗 知识点3 应用基本不等式求最值 在运用基本不等式ab ≤a ＋b2求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”． 一正： a ，b 是正数．二定：①和a ＋b 一定时，由ab ≤a ＋b 2变形得ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即积ab 有最大值⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；②积ab 一定时，由ab ≤a ＋b2变形得a ＋b ≥2ab ，即和a ＋b 有最小值2ab .三相等：取等号的条件都是当且仅当a ＝b 时，等号成立．3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a >2，则a ＋1a≥2a ·1a＝2.( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) 〖提示〗 (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b ≥0时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立，当且仅当a ＝1时取等号．(3)因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. 〖答案〗 (1)× (2)× (3)√类型1 对基本不等式的理解 〖例1〗 给出下面三个推导过程： ①因为a ，b 为正实数，所以b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2； ②因为a ∈R ，a ≠0，所以4a＋a ≥24a·a ＝4； ③因为x ，y ∈R ，xy ＜0，所以x y ＋y x ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2⎝⎛⎭⎫－x y ⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2.其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B 〖①因为a ，b 为正实数，所以b a ，ab 为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②因为a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， 所以4a＋a ≥24a·a ＝4是错误的． ③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋yx 提出负号后，⎝⎛⎭⎫－x y 、⎝⎛⎭⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．〗1．基本不等式ab ≤a ＋b2 (a ≥0，b ≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a ，b 都是非负数．(2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .〖跟进训练〗1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若x ＞0，则x ＋1x≥2x ·1x＝2； ②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤ －2(－x )·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4； ③若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·ab＝2. ①② 〖③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．〗 类型2 利用基本不等式比较大小〖例2〗 已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝－⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋5(a ，b ∈(0，＋∞))，试比较m 、n 的大小．〖解〗 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1(a －2)＋2，∵a >2，∴a －2>0，1a －2>0，∴m ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1(a －2)＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2时等号成立，此时a ＝3.∴m ≥4. n ＝－⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋5≤－2b a ·ab＋5＝3， 当且仅当a ＝b 时等号成立．综上m >n .1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .〖跟进训练〗2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB 〖显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b (由a ＋b ＞(a ＋b )24，也就是由a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q .〗类型3 利用基本不等式证明不等式〖例3〗 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >9.〖思路点拨〗 看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．〖证明〗 因为a ，b ，c 是正数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2b a ·ab＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，又因为a ，b ，c 互不相等，所以1a ＋1b ＋1c>9.本例条件不变，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1>8. 〖证明〗 因为a ，b ，c 是正数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0，所以⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 因为a ，b ，c 互不相等， 所以⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1>8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．〖跟进训练〗3．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数． 求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 〖证明〗 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 类型4 利用基本不等式求最值〖例4〗 (1)当x >0时，求12x ＋4x 的最小值；(2)当x <0时，求12x＋4x 的最大值；(3)当x >1时，求2x ＋8x －1的最小值； (4)已知4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值．〖解〗 (1)∵x >0，∴12x >0,4x >0.∴12x＋4x ≥212x·4x ＝8 3. 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，12x ＋4x 的最小值为8 3.(2)∵x <0，∴－x >0. 则12－x＋(－4x )≥212－x·(－4x )＝83， 当且仅当12－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴12x＋4x ≤－8 3. ∴当x <0时，12x ＋4x 的最大值为－8 3.(3)2x ＋8x －1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋4x －1＋2， ∵x >1，∴x －1>0， ∴2x ＋8x －1≥2×24＋2＝10， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，取等号．∴当x >1时，2x ＋xx －1的最小值为10.(4)4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ， 当且仅当4x ＝ax ，即a ＝4x 2＝36时取等号，∴a ＝36.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．〖跟进训练〗4．(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(3)已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x 的最小值．〖解〗 (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116. (3)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x 即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x(x >0)的最小值为9.1．已知x >0，则9x＋x 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3A 〖∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6. 当且仅当x ＝9x 即x ＝3时取得最小值6.〗2．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4则( ) A ．1a ＋1b ≤1B ．1a ＋1b ≥2C ．ab ≤4D ．ab ≥8C 〖设a ，b 为正数，且a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．〗3．若正数m 、n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为________．3＋22 〖∵2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋2m n ＋nm ≥3＋22，即最小值为3＋2 2.〗4．已知ab ＝1，a >0，b >0.则a ＋b 的最小值为________．2 〖因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2.当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故a ＋b 的最小值为2.〗5．函数y ＝9x －2＋x (其中x >2)取得最小值的条件是________．x ＝5 〖当x >2时，由基本不等式知y ＝9x －2＋x ＝9x －2＋(x －2)＋2≥29x －2·(x －2)＋2≥8.当且仅当9x －2＝x －2时取等号，此时x ＝5(x ＝－1舍去)．〗回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．应用基本不等式要注意哪些问题？ 〖提示〗 一正二定三相等．2．应用基本不等式证明不等式的关键是什么？〖提示〗 关键在于“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构选出符合基本不等式的条件结构．。
江苏省徐州市建平中学高三数学《不等式》学案
不等式1编写人 闫西宝 审核人 董平1、解下列不等式（1）(x+2)(1-x)>0 （2）0212<+-x x（3）12>-x x （4）0324≥--x x2、不等式062>--x x 的整数解是 ．3、已知不等式022>++c x ax 的解集为2131<<-x ，则=+c a ． 4、设1<a .若关于x 的不等式(x －1)2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则a 的范围是________．典型例题例1解关于x 的不等式：（1）0)1(2<++-a x a x（2）0922<+-a x x例2 解关于x 的不等式：（1）01)1(2<++-x a ax（2）022<+-a x ax ．例3已知不等式mx 2－2x ＋m －2＜0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2) 若不等式的解集为空集，求m 的取值范围；（3）设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．课后巩固1、不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是____________．2、函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，当x ∈[－2,2]时， f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．3、已知函数)(x f =()a x ax ++2lg 2的定义域为R ,求实数a 的取值范围是 ；4、已知不等式02>++c bx ax 的解集为{}31><x x x 或，（1）求a ：b ：c 的值；（2）求不等式02>+-c bx ax 的解集．5、设()()112-+-+=m mx x m x f ，（1）若方程()0=x f 有实根，则实数m 的取值范围是 ；（2）若不等式()0>x f 的解集为φ，则实数m 的取值范围是 ；（3）若不等式()0>x f 的解集为R ，则实数m 的取值范围是 ；。
苏教版高中数学必修5《基本不等式的证明》参考学案
3.4.1基本不等式的证明【学习目标】理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系．探究并了解基本不等式的证明过程，会用各种方法证明基本不等式．理解基本不等式的意义，并掌握基本不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．【课前预习】1．当b a ，满足条件__________时，基本不等式ab b a ≥+2成立， 该不等式取符号的条件是____________________________________．2．算术平均数的定义：3．几何平均数的定义：4．算术平均数与几何平均数的关系（1）基本公式：2b a ab +≤及语言叙述 （2）基本不等式的证明方法（3）基本不等式成立的条件（4）基本不等式的变形【课堂研讨】例1.设b a ，为正数，证明下列不等式：（1）2≥+b a a b ； （2）21≥+aa ．变化：若b a ，都为负数，则分别比较ba ab +与2；a a 1+与2-的大小．例2若b a R b a ≠∈，，，求证：22222-+>+b a b a ．例3.若b a ，都是正整数，求证：22b a b a ab +≤+．例4.利用基本不等式求最值，必须满足三条：一正二定三相等． 已知函数)2(216∞+ -∈++=，，x x x y ，求此函数的最小值．思考：若)3[∞+ ∈，x ，求此函数最小值．例5求)(4522R x x x y ∈++=的最小值．例6.（1）已知0>x ，0>y ，12=+y x ，求yx 11+的最小值； （2）已知+∈R y x ，，且191=+yx ，求y x +的最小值．【学后反思】。
高中数学 《基本不等式的证明》教案 苏教版必修
第 11 课时：§3.4.1 基本不等式的证明（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步掌握基本不等式；2.学会推导并掌握均值不等式定理；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。
4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。
二、过程与方法2a b +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点与难点】：重点：均值不等式定理的证明及应用。
难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a2．基本不等式：如果a ,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a ,b 都是实数，而后者要求a ,b 都是正数。
二、研探新知最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ． 证明：∵+∈R y x ,， ∴xy y x ≥+2，①当xy p = (定值)时，p y x ≥+2∴y x +p 2≥，∵上式当y x =时取“=”， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2；②当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤∴241s xy ≤，∵上式当y x =时取“=”∴当y x =时有2max 41)(s xy =． 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）；②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
江苏省徐州市建平中学高一数学《基本不等式的证明(2)》学案
江苏省徐州市建平中学高一数学《基本不等式的证明（2）》学案
一、学习目标：1、能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问题
2、会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三等四同 预习检查：
1．函数1(0)y x x x =+>的值域为 ．
2．已知1,,a b a b R ++=∈，求ab 的最大值为 ．
3、当1x >时.；不等式1
1x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是
4、函数()()()4,04f x x x x =-<<的最大值为
二、例题讲析：
探究1：当a b P +=（P 为定值）（,a b R +∈） 时，ab 有最__ __值，等于______．
探究2：当ab Q =（Q 为定值）（,a b R +∈）时，a b +有最____值，等于__ ____．
【例1】已知*,x y N ∈,10x y +=，求xy 的取值集合。
例2、已知*,x y N ∈,36xy =，求x y +的取值集合。
例3、已知函数162y x x =++，(2,)x ∈-+∞，求此函数的最小值。
例4、已知0,0x y >>，且5720x y +=，求xy 的最大值．
三、课堂练习：
1、求函数2
y x x =+ ()0x >的值域
2、求函数3
2y x x =+ ()0x <的值域
3、求函数9
4y x x =+ 的值域
4、当1x >-时，函数2
31
()1x x f x x -+=+的值域为
小结与作业：。
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第3章 不等式 基本不等式的证明
1
,即
4−5
故的取值范围为[5, +∞).
3
2
= 时，等号成立.
5
，求
4
= 4 − 2 +
1
的取值范围.
4−5
（2）在本例（2）中，去掉条件 <
5
，则
4
= 4 − 2 +
解？
解 = 4 − 2 +
1
4−5
= 4 − 5
1
+
4−5
+ 3( ≠
5
).
4
5
4
①当 > 时，4 − 5 > 0，
（2）已知 <
5
，求
4
= 4 − 2 +
1
的最大值.
4−5
5
4
解因为 < ，所以5 − 4 > 0，
所以 = 4 − 2 +
当且仅当5 − 4 =
1
4−5
= −(5 − 4
1
，即
5−4
故当 = 1时，max = 1.
1
+
)
5−4
+ 3 ≤ −2 + 3 = 1，
= 1时，等号成立.
从而( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 6（当且仅当 = = 时,等号成立）.
所以(
+ )
+−
即
+
+
江苏省徐州市建平中学 必修5导学案 3.1《不等关系(2)》
3.1 不等关系（2）学习目标1．掌握不等式的基本性质，并能灵活利用解决相关问题．2．根据不等式的意义，掌握用比较法比较两个实数的大小关系，加深对不等关系的认识和理解．重点、难点 不等式的基本性质，比较法比较两个实数的大小关系学习过程一、课前准备1．在以下各题的横线上填上适当的不等号．⑴2 6+ ⑵2)21． 2． 比较大小：⑴22a 43a - ⑵11a + 1a -（1a ≠-）． 3．已知0,10a b <-<<，那么2,,a ab ab 三个数中的大小顺序为 ．二、例题选讲【例1】试利用不等式（组）表示下列实际问题中的不等关系．⑴沪宁高速公路全程限速120/km h ；⑵二次函数223y x x =+-的图像在x 轴上方的部分所对应的x 的集合；⑶b 克糖水含有a 克糖（0b a >>），若再添上m 克糖（0m >），则糖水变甜了； ⑷某钢铁厂把长度为4000m 的钢管截成500m 和600m 两种规格，按要求生产600m 钢管的数量不能超过500m 钢管数量的3倍．【例2】①已知,a b R ∈，比较2222a ab b -+与23b -的大小．②已知0,0,a b >>比较a b a b 与b a a b 的大小．【例3】已知0a b >>，0c <，求证：c c a b>． 变式：设a b c >>，求证：1110a b b c c a ++>---三、课堂练习：1．已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是2．,,a b c R ∈，满足22643,44b c a a c b a a +=-+-=-+，则,,a b c 的大小关系为四、学习小结。
江苏高中基本不等式的证明 课件 教案
活动三：基本不等式的简单应用
例题：设a,b为正数，证明下列不等式成立.
b a 2 （1） a b
（2）
1 a 2 a
变式（1）：例题的条件变为a,b为负数，上述两 个不等式仍然成立吗？
简 单 应 用
例题：设a,b为正数，证明下列不等式成立.
b a 2 （1） a b
（2）
1 a 2 a
ab ab (a, b 0)当且仅当a b时等号成立 2
均值解释
ab 几何平均数
ab 算术平均数 2
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数
几何解释
半弦长CD
半径长OD
半弦长不大于半径长
公式变形
a, b 0当且仅当a b时等号成立
a
b
a b 2 ab
ab 2 ) ab ( 2
这节课学习了什么，有哪些方面 的运用，运用的时候有什么限制 条件？ 一个不等式的推导 代换、均值、几何
两种最值的研究
积定和最小 和定积最大
一正、二定、三相等
三个条件的满足
活动五：课堂检测
1 ³ 3(a > 1) 1.证明：a + a -1
9 2.求函数 y = 4 x + x2
2
的最小值，并求函数取
3.4.1基本不等式的证明
情 景 导 入
第24届国际数学家大会 在北京举行
第24届国际数学家大会 在北京举行
会标是根据中 国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜 色的明暗使它看上 去像一个风车，欢 迎来自世界各地的 数学精英们。
D
活 动 一 ： 探 究 猜 想 发 现
H A
2
G F
C
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江苏省徐州市建平中学高一数学《基本不等式的证明（2）》学案
一、学习目标：1、能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问题
2、会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三等四同 预习检查：
1．函数1(0)y x x x =+
>的值域为 ．
2．已知1,,a b a b R ++=∈，求ab 的最大值为 ．
3、当1x >时.；不等式11x a x +
≥-恒成立，则实数a 的取值范围是
4、函数()()()4,
04f x x x x =-<<的最大值为
二、例题讲析：
探究1：当a b P +=（P 为定值）（,a b R +∈） 时，ab 有最__ __值，等于______．
探究2：当ab Q =（Q 为定值）（,a b R +∈）时，a b +有最____值，等于__ ____．
【例1】已知*,x y N ∈,10x y +=，求xy 的取值集合。
例2、已知*,x y N ∈,36xy =，求x y +的取值集合。
例3、已知函数162y x x =++，(2,)x ∈-+∞，求此函数的最小值。
例4、已知0,0x y >>，且5720x y +=，求xy 的最大值．
三、课堂练习：
1、求函数2y x x =+
()0x >的值域
2、求函数32y x x =+
()0x <的值域
3、求函数94y x x
=+
的值域
4、当1x >-时，函数231()1
x x f x x -+=+的值域为
小结与作业：。