2007年全国高考数学-湖北理科

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工农医类）全解全析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如果2323n

x x ?

?- ??

?的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）

Ａ．3

Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10

答案：选Ｂ

解析：由展开式通项有()

21323r

n r

r r n

T C

x x -+??=- ???

()2532r r n r n r

n C x

--=??-? 由题意得()5

2500,1,2,,12

n r n r r n -=?=

=-，故当2r =时，正整数n 的最小值为5，故选

Ｂ

点评：本题主要考察二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求。本题中

“ 非零常数项”为干扰条件。 易错点：将通项公式中r

n C 误记为1

r n C +，以及忽略0,1,2,

,1r n =-为整数的条件。

2．将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24??

=-- ???

，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）

Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ??

=-+ ???

Ｃ．π2cos 2312x y ??

=-- ???

Ｄ．π2cos 2312x y ??

=++ ???

答案：选Ａ

解析：法一 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点()

''',P x y ，(),P x y ，则

π24??=-- ???

，a ()

''',P P x x y y ==--'

',24x x y y π?=+=+，带入到已知解析式中可得选Ａ

法二 由π24??

=-- ???，a 平移的意义可知，先向左平移4

π个单位，再向下平移2个单位。 点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为简单题。 易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移

4

π

个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ

3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，

A B

C D A 1

B 1

C 1

D 1 那么P Q -等于（ ） Ａ．{}|01x x <<

Ｂ．{}|01x x <≤

Ｃ．{}|12x x <≤ Ｄ．{}|23x x <≤

答案：选Ｂ

解析：先解两个不等式得{

}02P x x =<<，}{

13Q x x =<<。由P Q -定义，故选Ｂ

点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现

了高考命题的创新趋向。此处的新定义一般称为两个集合的差。 易错点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选Ａ，以及解{}2|log 1P x x =<时出错。

4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题： ①m n m n ''⊥?⊥； ②m n m n ''⊥?⊥； ③m '与n '相交?m 与n 相交或重合；

④m '与n '平行?m 与n 平行或重合． 其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：选Ｄ

解析：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，

可知①②③④均错, 具体可观察如图的正方体：

AC BD ⊥但11,A C BD 不垂直，故①错；11A B AB ⊥但在底面上的射影都是AB 故②错；,AC BD 相交，但1,A C BD 异面，故③错；//AB CD 但11,A B C D 异面，

故④错

点评：本题主要考察空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解。关键是要理解同一条直线在不同平面

上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同。要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力。

易错点：空间想象力不够，容易误判③、④正确，而错选Ｂ或Ｃ

5．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111

p

q n n n ∞

?

?+- ???=?

?+- ??

?→（ ） A ．0 B ．1 C ．

p

q

D ．

1

1

p q -- 答案：选C

解析：法一 特殊值法，由题意取1,2p q ==，

则211111lim lim lim 12122111p

q n n n n p n n n q n n n ∞∞∞??+- ???====+??++- ??

?→→→，可见应选C 法二

()()()()()

2

1

11111111m

m x x x x x --++++++

++=-+

()()()()

2

1

111111m

m x x x x x -??∴+-=+++++

+?

?

令1

x n

=

，m 分别取p 和q ，则原式化为 2

1

2

1

11111111111lim lim 11111111111p p

q q n n n n n n n n n n n n --∞

∞

??

?????

???++++++?? ? ? ?

+- ??????

?????

??=?????????

?+-++++++?? ? ? ? ?

?

?????

?????

?

→→

2

1

111lim 11,lim 11,,lim 11,p n n n n n n -→∞→∞

→∞

????

??

+=+=+= ? ? ?????

??

所以原式=

111111p

q

+++=+++（分子、分母1的个数分别为p 个、q 个） 点评：本题考察数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考察学生思维的灵活性。当不能直

接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可。本题也体现了等比数列求和公式的逆用。 易错点：取特值时忽略p 和q 是两个不相等．．．

的正整数的条件，误选B ；或不知变形而无法求解，或者认为是

型而误选B ，看错项数而错选D 6．若数列{}n a 满足21

2n n

a p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．

甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件

D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：选B

解析：由等比数列的定义数列，若乙：{}n a 是等比数列，公比为q ，即2

2112

1

n n n n a a q q a a +++=?=则甲命题成

立；反之，若甲：数列{}n a 是等方比数列，即2

2112

1n n n n

a a q q a a +++=?=±

即公比不一定为q ， 则命题乙不成立，故选B

点评：本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换。要是等比数列，则公比应唯一确定。

易错点：本题是易错题。由21

12n n n n

a a p a a ++=?=，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数

列，忽略等比数列的确定性，容易错选C

7．双曲线22

122:1(00)x y C a b a b

-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准

线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则1211

2

F F MF MF MF -

等于 （ ）A ．1-

B ．1

C ．1

2

-

D ．

12

答案：选A

解析：由题设可知点M 同时满足双曲线和抛物线的定义， 且在双曲线右支上,故 由定义可得

12212MF MF a MF MD c MF MD

a ?

?-=?

=??

?=?

2

1222,ac a MF MF c a c a

?==

-- 故原式2

22122ac

c c a c c a ac a a a c a c a

--=-=-=--- ，选A 点评：本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，

体现数形结合方法的重要性。

易错点：由于畏惧心理而胡乱选择，不能将几何条件有机联系转化，缺乏消元意识。 8．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ， 且

7453n n A n B n +=+，则使得n n

a b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

答案：选D

解析：由等差数列的前n 项和及等差中项，可得()()()()()()121

121121121112122112122

n n n n

n n a a n a a a b b b n b b ----+-+==

+-+ ()()2121

72145143871912

7213

221

1

n n n A n n B n n n n ---+++=====+-++++()n N *

∈， 故1,2,3,5,11n =时，

n

n

a b 为整数。故选D

点评：本题主要考察等差数列的性质，等差中项的综合应用，以及部分分式法，数的整除性 是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用。 易错点：不能将等差数列的项与前n 项和进行合理转化，胡乱选择。

9．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则

0θπ??∈ ?2??

，的概率是（ ）

A ．

512

B ．

12

C ．

712

D ．

56

答案：选C

解析：由向量夹角的定义，图形直观可得，当点(),A m n 位于直线y x =上及其下方时，满足0θπ??∈ ?2??

，，

点(),A m n 的总个数为66?个，而位于直线y x =上及其下方的点(),A m n 有

1111

23456121C C C C +++++=个，故所求概率217

3612

=

=，选C 点评：本题综合考察向量夹角，等可能事件概率的计算以及数形结合的知识和方法。 易错点：不能数形直观，确定点的位置，或忽略夹角范围中的2

π

，而误选A 10．已知直线

1x y

a b

+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条 答案：选A

解析：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆

22100x y +=上的整数点共有12个，分别为()()()6,8,6,8,8,6±-±±，

()()()8,6,10,0,0,10-±±±，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意

两点，构成2

1266C =条直线，其中有4条直线垂直x 轴，有4条直线垂直y 轴，还有6条过原点（圆

上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有52860+=条，选A 点评：本题主要考察直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的

对称性来考虑过点的直线的特征。是较难问题

易错点：不能准确理解题意，甚至混淆。对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类特殊直线不能用截

距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错误，胡乱选择。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 答案：16,2

a b ==

解析：由互反函数点之间的对称关系，取特殊点求解。在3y bx =+上取点()0,3，得点()3,0 在2y x a

=-上，故得6a =；又26y x =-上有点()0,6-，则点()6,0-在3y bx =+ 点评：本题主要考察反函数的概念及其对称性的应用。直接求反函数也可，较为简单。 易错点：运算错误导致填写其他错误答案。

12．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若2

4z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可）

答案：()2,1或满足2a b =的任意一对非零实数对

解析：由复数运算法则可知()

22224424z bz a b ab ab b i -=--+-，由题意得 ()()2

2400,20,0ab b b a b a b -=≠∴=≠≠，答案众多，如()2,1--也可。

点评： 本题主要考察复数的基本概念和运算，有一般结论需要写出一个具体结果，属开放性问题。 易错点：复数运算出错导致结果写错，或审题马虎，只写出2a b =，不合题意要求。

13．设变量x y ，满足约束条件30023x y x y x -+??

+??-?

≥，≥，≤≤，则目标函数2x y +的最小值为

答案：3

2

-

解析：由约束条件得如图所示的三角形区域， 令2,2x y z y x z +==-+，显然当平行直线过点

33,22??

- ?

??

时，z 取得最小值为32-

点评：本题主要考察线性规划的基本知识，易错点：不能准确画出不等式组的平面区域，把上下位置搞错，以及把直线间的相对位置搞错，找错点的

位置而得到错误结果。 14．某篮运动员在三分线投球的命中率是

1

2

，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答） 答案：15128 解析：由题意知所求概率37310111522128p C ????== ? ?????

点评：本题考察n 次独立重复试验中，某事件恰好发生k 次的概率，直接用公式解决。

易错点：把“恰好投进3个球”错误理解为某三次投进球，忽略“三次”的任意性。 15中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；

药物释放完毕后，

y 与t 的函数关系式为116t a

y -??

= ?

??

（a 为常数），如图所示．

据图中提供的信息，回答下列问题：

（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t

（小时）之间的函数关系式为 ；

（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时， 学生方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．

答案：（I ）()

()1

10

1000.1 10.116t t t y t -≤≤???=???>? ?????

（II ）0.6 解析：（I ）由题意和图示，当00.1t ≤≤时，可设y kt =（k 为待定系数），由于点()0,1,1在直线上，10k ∴=；

同理，当0.1t >时，可得0.11110.101610

a

a a -??

=?-=?=

?

??

（II ）由题意可得10.254y ≤=，即得110400.1t t ?≤???≤≤?或110111640.1

t t -????≤ ?????>?1040t ?≤≤或 0.6t ≥，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．

点评：本题考察函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力。

易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，在（II ）中填写了其他错误答案。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．

解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由

1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ??

∈????

，∴．

（Ⅱ）2

π()2sin 24f θθθ??=+

??

?π1cos 222θθ??

??=-+ ??????

?

(1sin 2)2θθ=+

-πsin 2212sin 213θθθ?

?=+=-+ ???．

ππ42θ??∈????

，∵，ππ2π2363θ??-∈????，，π22sin 2133θ?

?-+ ???∴≤≤．

即当5π12θ=

时，max ()3f θ=；当π

4

θ=时，min ()2f θ=．

17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于 1.40的概率约为

1

0.040.250.300.442

++?=．

样本数据

（Ⅲ）总体数据的期望约为

1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088?+?+?+?+?+?=．

18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．

解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ?平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．

（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角． 在CHD Rt △中，sin 2

CH a θ=

； 设CBH ?∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ?=，sin θ?=． π02

θ<<

∵， 0sin 1θ<<∴，0sin ?<<

． 又π02?≤≤

，π04

?<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04?

? ???

，．

解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则(000)(00)(00)000tan 222a a

C A a B a

D V a θ???? ? ? ???

??

，

，，，，，，，，，，，，，，

于是，tan 222a a VD a θ??=- ? ???，，，022a a CD ??

= ???，，，(0)AB a a =-，，． 从而22

11(0)00022

22

a a

AB

CD a a a a ??=-=-++= ???

，，，，··，即AB CD ⊥． 同理22

11(0)tan 002222a a AB VD a a a a θ??=-=-++= ? ???

，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ?平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．

（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为?，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，

A

D

B

C

H

V

则由00AB VD ==，n

n ··．

得0tan 0222

ax ay a a x y az θ-+=???+-

=??，．

可取(11

)θ=n ，又(00)BC a =-，，，

于是sin BC BC

a ?θ=

=

=

n n ···， π

02

θ<<

∵

，0sin 1θ<<∴，0sin ?<<．

又π02?≤≤

，π

04

?<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04?

? ???

，．

解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以

DC DB ，所在的直线分别为x 轴、

y 轴，建立如图所示的空间直角坐

标系，则(000)000000D A B C ?

????? ? ? ? ? ? ???????，，，，

，，，，

，，，0tan V θ??

? ???

，，于是0tan 22DV a θ??=

- ? ???，，，002DC a ??=- ? ???，，，(00)AB =，，． 从而

(00)AB

DC =，，·0002a ?

?-= ? ???

，，

·，即AB DC ⊥．

同理(00)0tan 022AB DV a a θ??=-= ? ???

，，，，·，即AB DV ⊥． 又DC

DV D =，AB ⊥∴平面VCD ．

又AB ?平面VAB ，

∴平面VAB ⊥平面VCD ．

（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为?，平面VAB 的一个法向量为()x y

z =，，

n ，

则由00

AB DV ==，··n n ，得0tan 022

ax az θ=?-+=??，．

可取(tan 01)θ=，，n

，又022BC a ??=-- ? ???

，

，，

于是tan 2sin sin 2BC a BC θ?θ=

==n n ···，

π

02

θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin ?<<． 又π02?≤≤

，π

04

?<<∴， 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04?

? ???

，．

解法4：以CA CB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

(000)(00)(00)022a a C A a B a D ?? ???

，，，，，，，，，，，．

设(00)(0)V t t >，，．

（Ⅰ）(00)0(0)22a a CV t CD AB a a ??===- ???

，，，，，，，，， (0)(00)0000AB CV a a t =-=++=，，，，··，

即AB CV ⊥．

22(0)0002222a a a a AB CD a a ??

=-=-++= ???

，，，，··，

即AB CD ⊥．

又CV CD C =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ?平面VAB ，

∴平面VAB ⊥平面VCD ．

（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为?， 设()x y z =，，n 是平面VAB 的一个非零法向量，

则()(0)0()(0)0AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz ?=-=-+=??=-=-+=??，，，，，，，，，，n n ····取z a =，得x y t ==．

可取()t t a =，，n ，又(00)CB a

=，，

， A

x

于是sin CB CB

a ?=

=

=

=

···n n

(0)t ∈+，∵∞，sin ?关于t 递增． 0sin ?<<

∴π04???

∈ ???

，∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04?

? ???

，．

19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，

直线AB 的方程为y kx p =+，与2

2x py =联立得22x py y kx p ?=?=+?，．

消去y 得22220x pkx p --=．

由韦达定理得122x x pk +=，2

122x x p =-．

于是12122

ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．

12p x x =-=

2p ==

∴当0k =时，2min ()ABN S =△．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，

AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，

则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为112

2x y p +??

???，．

12O P AC '=

==∵， 111

222

y p O H a a y p +'=-

=--，

222

PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44

y p a y p =+---

1()2p a y a p a ?

?=-+- ??

?，

2

2(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ????=-+- ???????

．

令02p a -

=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2

p

y =， 即抛物线的通径所在的直线．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

12AB x =-==

2=

又由点到直线的距离公式得

d =

．

从而

112222

ABN S d

AB p ===△···

∴当0k =时，2min ()ABN S =△．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为

11(0)()()()0x x x y p y y -----=，

将直线方程y a =代入得2

11()()0x x x a p a y -+--=，

则2

1114()()4()2p x a p a y a y a p a ???

?=---=-

+- ???????

△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，

则有34PQ x x =-==

令02p a -

=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2

p

y =， 即抛物线的通径所在的直线．

20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．

()2f x x a '=+∵，2

3()a g x x

'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22

0002

00123ln 232x ax a x b a x a x ?+=+????+=??

，，由200

32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有2222215

23ln 3ln 22b a a a a a a a =

+-=-． 令22

5()3ln (0)2

h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是

当(13ln )0t t ->，即13

0t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13

t e >时，()0h t '<．

故()h t 在1

30e ?? ???，为增函数，在13

e ??+ ???，∞为减函数，

于是()h t 在(0)+，∞的最大值为12

333

2

h e e ??= ???．

（Ⅱ）设2

21()()()23ln (0)2

F x f x g x x ax a x b x =-=

+-->， 则()F x '23()(3)

2(0)a x a x a x a x x x

-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，

于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．

21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和

推理能力．

解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：

（ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边2

12x x =++，右边12x =+， 因为2

0x

≥，所以左边≥右边，原不等式成立；

（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)

1k

x kx ++≥，则当1m k =+时，

1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k x kx ++≥两边同乘以1x +得

2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，

所以1

(1)

1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．

（Ⅱ）证：当6n m n ，≥≤时，由（Ⅰ）得111033m

m n n ??+-> ?

++??

≥， 于是11133n nm

m n n ?

??

?-

-= ? ?++????

≤11132m

n m

n ??????

-

，1

2m n =，，，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，

2

121111111113332222n n

n

n

n n n n n ?

????

?????

-+-++-<+++=-< ? ? ? ? ?+++????????

??

，

2131333n n

n

n n n n n ++??????

+++< ? ? ?+++????

??

∴． 即34(2)(3)n

n

n n n n ++

++<+．即当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．

故只需要讨论12345n =，，，，的情形： 当1n =时，34≠，等式不成立； 当2n =时，222

345+=，等式成立； 当3n =时，3333

3456++=，等式成立；

当4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，故44444

34567+++≠，等式不成立； 当5n =时，同4n =的情形可分析出，等式不成立．

综上，所求的n 只有23n =，

． 解法2：（Ⅰ）证：当0x =或1m =时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当1x >-，且0x ≠时，2m ≥，(1)1m

x mx +>+． ①

（ⅰ）当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为0x ≠，所以2

0x >，即左边>右边，不等式①成立；

（ⅱ）假设当(2)m k k =≥时，不等式①成立，即(1)1k

x kx +>+，则当1m k =+时，

因为1x >-，所以10x +>．又因为02x k ≠，≥，所以2

0kx >．

于是在不等式(1)1k

x kx +>+两边同乘以1x +得

2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++>++=+++>++·，

所以1

(1)

1(1)k x k x ++>++．即当1m k =+时，不等式①也成立．

综上所述，所证不等式成立．

（Ⅱ）证：当6n ≥，m n ≤时，11132n

n ?

?-< ?+??∵，11132n

m m

n ??????-

?+???????

?∴， 而由（Ⅰ），111033m

m n n ?

?--> ?

++??

≥， 1111332n

n

m m

m n n ???

?????--

?∴≤． （Ⅲ）解：假设存在正整数06n ≥使等式00000034(2)(3)n

n n n n n ++

++=+成立，

即有00

00002341333n n n n n n n ????

??

+++

+= ? ? ?+++????

??

． ② 又由（Ⅱ）可得0

0000234333n n n n n n n ????

??

+++

+ ? ? ?+++??????

00

0000011111333n n n n n n n n ??

????

-=-+-++- ? ? ?+++????

??

0001

1111

112222

n n n -????<+++

=-< ? ?????

，与②式矛盾． 故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ． 下同解法1．