2007年山东高考理科数学试题及答案

2007年山东高考数学理科 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．

（1）若cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则使2

1z =-的θ值可能是（ ）

A ．

6

π

B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π （2）已知集合{}11M =-，，11242x N x x +??

=<<∈????

Z ，，则M N =（ ）

A ．{}11-，

B ．{}1-

C ．{}0

D ．{}10-，

（3

）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．①④

D ．②④

（4）设11132a ?

?∈-????

，，，，则使函数a

y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3

B ．1-，1

C ．1-，3

D ．1-，1，3

（5）函数sin 2cos 263y x x ππ????=+++ ? ????

?的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1

B ．π

C ．2π，1

D ．2π（6）给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，

()()

()1()()

f x f y f x y f x f y ++=

-，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）

A ．()3x

f x =

B ．()sin f x x =

C ．2()log f x x =

D ．()tan f x x =

（7）命题“对任意的x ∈R ，3

2

10x x -+≤”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，3

2

10x x -+≤

①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

B ．存在x ∈R ，32

10x x -+≤ C ．存在x ∈R ，3

2

10x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3

2

10x x -+>

（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）

A ．0.9，35

B ．0.9，45

C ．0.1，35

D ．0.1，45

（9）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ） ①p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点． ②()

:

1()

f x p f x -=；:()q y f x =是偶函数． ③:cos cos p αβ=；:tan tan q αβ=． ④:p A

B A =；:U U

q B A ?

痧．

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

（10）阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2500，2500 B ．2550，2550 C ．2500，2550 D ．2550，2500`

（11）在直角ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） A ．2

AC AC AB = B ．2

BC BA BC = C ．2AB AC CD =

D ．2

2

()()

AC AB BA BC CD AB

?=

（12）位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1

2

，质点P 移动五次后位`于点(23)，

的概率是（ ）

秒

A ．2

12?? ???

B ．3

23

1C 2?? ???

C ．2

23

1C 2?? ???

D ．3

12231C C 2?? ???

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上． （13）设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．

（14）设D 是不等式组21023041

x y x y x y +??+?

????≤，≥，≤≤，≥表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线

10x y +=距离的最大值是 ．

（15）与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +---=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．

（16）函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则

12

m n

+的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足2

1

123333

3

n n n a a a a -++++=

…，a ∈*

N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n n

n

b a =

，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）

设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程2

0x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程2

0x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程2

0x bx c ++=有实根的概率． （19）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，

AB DC ∥．

（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．

（20）（本小题满分12分）

如图，

甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲

船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距

20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，

此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

（21）（本小题满分12分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． （22）（本小题满分14分） 设函数2

()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当1

2

b >

时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111

ln 1n n n

??+>- ???都成立．

B

C

D A

1A

1D 1C

1B

E

1A

2

A

120 105 乙

2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题 （1）D （2）B （3）D

（4）A （5）A （6）B （7）C （8）A

（9）D

（10）D

（11）C

（12）B

第Ⅱ卷

二、填空题 （13

p

（14

） （15）22(2)(2)2x y -+-=

（16）8

三、解答题 （17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

211233333

n n n

a a a a -++++=

…， ① ∴当2n ≥时，2212311

3333

n n n a a a a ---++++=…． ② ①-②得1

133

n n a -=，13n n a =．

在①中，令1n =，得11

3

a =．

1

3

n n a ∴=．

（Ⅱ）

n n

n

b a =

， 3n n b n ∴=．

23323333n n S n ∴=+?+?++…， ③ 23413323333n n S n +∴=+?+?++…． ④

④-③得

12323(3333)n n n S n +∴=-++++…．

即1

3(13)23

13

n n n S n +-=--，

1(21)3344

n n n S +-∴=+．

（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程2

0x bx c ++=没有实根”为事件A ，“方程2

0x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ，“方程2

0x bx c ++=有两个相异实

数”为事件C ，则{}

()126b c b c Ω==，，，

，…，， {}

2()40126A b c b c b c =-<=，，，，，…，，

{}2

()40126B b c b c b c =-==，，，，，…，， {}2

()40126C b c b

c b c =->=，，，，，…，，

所以Ω是的基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，

B 中的基本事件总数为2个，

C 中的基本事件总数为17个． 又因为B C ，是互斥事件，

故所求概率21719()()363636

P P B B C =+=

+=． （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为012，

，，则 {}17

036P ξ==

， {}1

118P ξ==，

{}17

236P ξ==，

故ξ的分布列为：

所以ξ的数学期望0121361836

E ξ=?+?+?=． （Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中5”为事件D ，“方程2

0x bx c ++=有实数”为事件E ，由上面分析得

11

()36

P D =

，7()36

P D E =

， ()7

()()11

P D E P E D P D ∴=

=．

（19）（本小题满分12分）

解法一：