初中数学-分式及其运算

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初升高数学衔接课程-- 分式运算 (教师版含解析)

初升高数学衔接课程-- 分式运算 (教师版含解析)

第2章 分式运算【知识衔接】————初中知识回顾————(一)分式的运算规律1、加减法 同分母分式加减法:c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法:bc bd ac c d b a ±=±2、乘法:bd ac d c b a =⋅3、除法:bc ad c d b a d c b a =⋅=÷4、乘方:n nn ba b a =)( (二)分式的基本性质1、)0(≠=m bm am b a2、)0(≠÷÷=m mb m a b a ————高中知识链接————比例的性质(1)若d c ba=则bc ad = (2)若d c ba =则d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c ba =(0≠-db )则d b d bc a c a -+=-+(合分比性质) (4)若d c b a ==…=n m ,且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质【经典题型】初中经典题型1.若代数式4x x -有意义,则实数x 的取值范围是( ) A . x =0 B . x =4 C . x ≠0 D . x ≠4【答案】D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0,即x-4≠0,解得x≠4,故选D .2.化简:,结果正确的是( )A . 1B .C .D .【答案】B 【解析】试题分析:原式==.故选B .3.当x =______时,分式523x x -+的值为零. 【答案】5. 【解析】解:由题意得:x ﹣5=0且2x +3≠0,解得:x =5,故答案为:5.4.先化简,再求值: 22121x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭,其中x =22. 【答案】21x -,7. 【解析】试题分析:根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题.试题解析:原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7.高中经典题型例1:化简232||211x x x x x +-+-- 解:原式=22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时,原式=x +1当0<x 且1-≠x 时,原式=xx +-1)1(2 例2:化简:++++3223bab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-例3:计算2)(32222233332222-++÷---++nm m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解:设a m n =,b nm =,则1=ab ∴原式=2)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a =ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322=2222232)()()(nm n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4:计算abbc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解:既不便于分式通分,又不适合分组通分,试图考察其中一项,从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出,拆项后通分更容易 ∴原式=))(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- =))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- =ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5:若1=abc ,求111++++++++c ac c b bc b a ab a 解:∵1=abc ,∴bc a 1=,将式中的a 全换成bc1 ∴原式=11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc =11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6:已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ,求分式xyzx z z y y x ))()((+++的值 解:分析:已知条件以连比的形式出现,可引进一个参数来表示这个连比,从而将分式化成整式。

北师大初中数学八年级

北师大初中数学八年级

北师大初中数学八年级一、数与代数部分。

1. 分式。

- 分式的概念。

- 分式的定义:形如(A)/(B)(A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子叫做分式。

例如(x)/(x + 1),(1)/(x)等。

- 分式有意义的条件:分母不为零。

如对于分式(1)/(x - 2),当x≠2时,分式有意义。

- 分式的基本性质。

- 分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。

即(A)/(B)=(A× M)/(B× M),(A)/(B)=(A÷ M)/(B÷ M)(M是不等于零的整式)。

- 约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去的过程。

例如(6x^2y)/(9xy^2)=(2x)/(3y)。

- 通分:将几个异分母的分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程。

如将(1)/(x)和(1)/(x + 1)通分,通分后分别为(x + 1)/(x(x + 1))和(x)/(x(x + 1))。

- 分式的运算。

- 分式的乘除法:分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。

例如(a)/(b)·(c)/(d)=(ac)/(bd),(a)/(b)÷(c)/(d)=(a)/(b)·(d)/(c)=(ad)/(bc)。

- 分式的加减法:同分母分式相加减,分母不变,分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母分式,再加减。

如(1)/(x)+(1)/(x + 1)=(x + 1+x)/(x(x +1))=(2x + 1)/(x(x + 1))。

2. 函数及其图象。

- 函数的概念。

- 变量与常量:在一个变化过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量。

例如在行程问题s = vt中,s、v、t是变量,当v固定时,v就是常量。

- 函数的定义:在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。

初二数学分式计算

初二数学分式计算

初二数学分式计算初二数学(下): 分式的运算及分式方程一、基本运算1.计算 $17x^2y-9ab^3\div\frac{222x-6x+9x+2xy}{51xy}$,化简得 $\frac{17x^2y-9ab^3}{222x+2xy}$。

2.计算 $\frac{2}{x-4}-\frac{x}{x-3}\div(-x)$,化简得$\frac{2x-7}{(x-4)(x-3)}$。

3.计算 $\frac{-y}{xz}\div\frac{-x}{yz}$,化简得$\frac{y^2}{x^2}$。

4.计算 $\frac{24}{a-bab-a^2}\div\frac{22}{4a+abab-a}$,化简得 $\frac{12}{a+b}$。

5.计算 $\frac{4x^2-4xy+y^2}{2x-y}\div(4x^2-y^2)$,化简得 $\frac{1}{2x+y}$。

6.计算 $\frac{2x-y}{x+3y}\div\frac{2x-3y}{2-x}$,化简得$\frac{2-x}{3y}$。

7.计算 $\frac{2xy}{xy+a}+\frac{6}{a}-\frac{a}{a+3}-\frac{3}{a}$,化简得 $\frac{8xy+6a}{a(a+3)(xy+a)}$。

8.计算 $\frac{2}{2x+y}-\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}-\frac{y}{x}$,化简得$\frac{2x^2-xy-2y^2}{(2x+y)(x-y)(x+y)}$。

9.计算 $\frac{2}{x+y}-\frac{2}{x-y}+\frac{a}{x+y}-\frac{3a}{a-3}$,化简得$\frac{-2x+2y+4a}{(x+y)(x-y)(a-3)}$。

10.计算$\frac{x^2a^2+3a+12b^2}{1+12a-b}-(x-1)\div(a-1)$,化简得$\frac{x^2a^2+15a+12b^2-12bx+12b}{(1+12a-b)(a-1)}$。

初中数学分式及其计算

初中数学分式及其计算
分式及其计算
1、分式的概念
A
A
一般地,用 A、B 表示两个整式,A÷B 就可以表示成 的形式,如果 B 中含有字母,式子 就叫做
B
B
分式。其中,A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
A
A
A
当 B≠0 时,分式 有意义,当 B=0 时,分式 无意义;当 A=0 且 B≠0,分式 的值等于 0.




故选:A.
)

D.
5.下面的计算过程中,从哪一步开始出现错误(
A.①
B.②
【解答】解:






故从第②步开始出现错误.
故选:B.
)
C.③
D.④

6.已知 P=
(a≠±b)
(1)化简 P;
(2)若点(a,b)在一次函数 y=x﹣
解:(1)P=


(2)∵点(a,b)在一次函数 y=x﹣
)
【解析】(x+3
x3
x3
x2 9
7
2 x2 8x
=(
)

x 3 x 3
x3

x 3
( x 4)( x 4)
·
2 x( x 4)
x 3

x4

2x
当 x=1 时,原式
1 4 5

2 1 2
a b 2 2a 2b
4a 2
3a
14 先化简,再求值:(
B
B
B
2、分式的性质
(1)分式的基本性质:
分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式, 分式的值不变。

七年级数学分式中的整式的除法分式及其基本性质分式的运算

七年级数学分式中的整式的除法分式及其基本性质分式的运算

七年级数学分式中的整式的除法-分式及其基本性质-分式的运算分式中的整式的除法,分式及其基本性质,分式的运算一. 教学内容:分式中的整式的除法,分式及其基本性质,分式的运算[知识与技能]1. 知道同底数幂的除法法则,并能运用它进行计算;2. 能用单项式除以单项式性质进行计算;3. 能进行多项式除以单项式的计算;4. 掌握分式的基本概念,会在代数式中辨别分式;5. 会运用分式的基本性质进行约分和通分;6. 熟练进行分式的加减乘除运算;7. 掌握分式的乘方;8. 会根据运算顺序和法则,进行简单的四则混合运算。

[教学过程](一)知识点回顾1. 同底数幂的除法法则:即同底数幂相除,底数不变,指数相减,用式子表示为a a a m n m n ÷=-(m ,n 为正整数,m n a >,≠0)2. 单项式除以单项式:是将系数及同底数幂分别相除,如果某个字母只在被除式里出现,则将该字母及其指数直接写到商里面。

3. 多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。

(注意:①不要漏项,即所得的结果项数应与被除式中多项式的项数相同;②要注意商的符号,弄清多项式中每一项的符号是什么,相除时要带着符号与单项式相除。

)4. ①分式的概念:形如AB(A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子叫做分式,其中A 叫分式的分子,B 叫分式的分母(注意:分式的典型特征是分式的分母中含有字母)②分式有意义的条件:分式的分母必须不等于零。

③分式的值是零的条件:分母不等于零,分子等于零。

④分式的基本性质:即分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零 的整式,分式的值不变。

用式子表示为A B A M B M A B A MB M==××,÷÷。

(这里要求B ≠0,M ≠0)⑤约分:根据分式的基本性质,将分子分母中的公因式约去,使分式变得简单。

(注意:如果分式的分子,分母都是单项式,就直接约去分子,分母的公因式,即分子、分母系数的最大公约数,相同字母的最低次幂;如果分子、分母都是多项式,就先分解因式,找出公因式再进行约分;约分时一定要彻底。

数学八下分式

数学八下分式

数学八下分式
八年级下册数学课程中有关分式的主题主要包括分式的运算、分式的化简、分式方程等内容。

以下是八年级下册数学中关于分式的一些常见知识点:
1. 分式的乘法和除法:学习如何进行分式的乘法和除法运算,包括分子乘法、分母乘法、分子除法和分母除法等。

2. 分式的加法和减法:掌握分式的加法和减法运算规则,包括通分、合并同类项等操作。

3. 分式的化简:学习如何化简分式,包括约分、提取公因式、分子分母同乘同除等方法,使分式的表达更简洁。

4. 分式方程:解决涉及分式的方程,包括一元一次分式方程和一元二次分式方程等,掌握解题的方法和技巧。

5. 分式的应用:了解分式在实际问题中的应用,如物品分配、比例关系、时间速度等问题,通过分式运算解决实际生活中的计算问题。

八年级下册数学中的分式知识是数学学习中的重要内容,需要通过练习和实践来加深理解和掌握。

建议学生多做练习题,加强对分式运算规则的理解和掌握,提高解决问题的能力和技巧。

2023年中考数学考点讲练专题6 分式及其运算

2023年中考数学考点讲练专题6 分式及其运算

专题6 分式及其运算考点一、分式的概念和性质1.(2022·云南·昆明中考模拟)要使12022x +有意义,则x 的取值范围为( )A .0x ≠B .2022x >-C .2022x ≠D .2022x ≠-2.(2022·湖南怀化·中考真题)代数式25x ,1π,224x +,x 2﹣23,1x ,12x x ++中,属于分式的有( )A .2个B .3个C .4个D .5个3.(2022·广东·中考三模)若分式55m m --的值为零,则m =( ) A .5-B .5C .5±D .04.(2022·云南·中考三模)下列函数中,自变量x 的取值范围错误的是( ) A .11212y x x ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭B .)1y x =≥C .)1y x =≤D .21y x =-(x 为任意实数)5.(2022·湖北黄石·中考真题)函数11y x =-的自变量x 的取值范围是( ) A .3x ≠-且1x ≠B .3x >-且1x ≠C .3x >-D .3x ≥-且1x ≠6.(2022·广西·中考真题)当x =______时,分式22xx +的值为零. 7.(2022·湖南邵阳·x 的取值范围是_________. 8.(2022·湖南·长沙市中考二模)若分式11x x --的值为零,则x 的值为______. 考点二、分式化简9.(2022·四川绵阳·中考二模)下列分式属于最简分式的是( ) A .265xy xB .x y y x--C .22x y x y++D .2293x y x y-+10.(2022·四川眉山·中考真题)化简422a a +-+的结果是( ) A .1 B .22a a +C .224a a - D .2a a +11.(2022·辽宁沈阳·中考真题)化简:21111x x x -⎛⎫-⋅= ⎪+⎝⎭______.12.(2022·四川自贡·中考真题)化简:22a3a42a3a2a4a4--⋅+-+++=____________.13.(2022·西藏·中考真题)计算:222242a a aa a a+⋅---.14.(2022·辽宁大连·中考真题)计算2224214424x x xx x x x-+÷--+-.15.(2022·湖北十堰·中考真题)计算:2222a b b abaa a⎛⎫--÷+⎪⎝⎭.16.(2022·四川泸州·中考真题)化简:22311 (1). m m mm m-+-+÷17.(2022·湖南常德·中考真题)化简:231 122a aaa a+-⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭18.(2022·甘肃武威·中考真题)化简:()2233322x x xx x x++÷-++.考点三、分式化简求值19.(2022·山东济南·中考真题)若m-n=2,则代数式222m n mm m n-⋅+的值是()A.-2B.2C.-4D.420.(2022·山东菏泽·中考真题)若22150a a --=,则代数式2442a a a a a -⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值是________. 21.(2022·四川成都·中考真题)已知2272a a -=,则代数式2211a a a a a --⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值为_________. 22.(2022·四川广安·中考真题)先化简:2242(2)244x xx x x x -++÷--+,再从0、1、2、3中选择一个适合的数代人求值.23.(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)先化简,再求值:2344111x x x x x -+⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭,其中3x =.24.(2022·山东聊城·中考真题)先化简,再求值:244422a a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-⎝⎭,其中112sin 452a -⎛⎫=︒+ ⎪⎝⎭.25.(2022·辽宁锦州·中考真题)先化简,再求值:2233111211x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪-++-⎝⎭,其中|1x =+.26.(2022·辽宁营口·中考真题)先化简,再求值:25244111a a a a a a +++⎛⎫+-÷⎪++⎝⎭,其中11|2|2a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.27.(2022·湖北荆州·中考真题)先化简,再求值:222212a b a b a b a ab b ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭,其中113a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,()02022b =-.28.(2022·四川广元·中考真题)先化简,再求值:22x x +÷(1﹣211x x --),其中x 是不等式组()211532x x x x ⎧-<+⎨+≥⎩的整数解.29.(2022·新疆·中考真题)先化简,再求值:22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅⎪-+--+⎝⎭,其中2a =.30.(2022·山东滨州·中考真题)先化简,再求值:2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭,其中10(1tan 45π2)a -=︒+-答案与解析考点一、分式的概念和性质1.(2022·云南·昆明中考模拟)要使12022x +有意义,则x 的取值范围为( )A .0x ≠B .2022x >-C .2022x ≠D .2022x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可.【详解】解:根据分式有意义即分母不为0,得到20220x +≠,即2022x ≠-,故D 正确. 故选:D .【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件,理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键.2.(2022·湖南怀化·中考真题)代数式25x ,1π,224x +,x 2﹣23,1x ,12x x ++中,属于分式的有( )A .2个B .3个C .4个D .5个A .5-B .5C .5±D .0【答案】A【分析】根据分式的值为零的条件列式计算即可. 【详解】解:由题意得:|m |−5=0且m −5≠0, 解得:m =−5, 故选:A .【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件,掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键.4.(2022·云南·云大附中三模)下列函数中,自变量x 的取值范围错误的是( ) A .11212y x x ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭B .)1y x =≥C .)1y x =≤D .21y x =-(x 为任意实数)5.(2022·湖北黄石·中考真题)函数1y x =-的自变量x 的取值范围是( ) A .3x ≠-且1x ≠ B .3x >-且1x ≠C .3x >-D .3x ≥-且1x ≠6.(2022·广西·中考真题)当x =______时,分式22xx +的值为零. 【答案】0【分析】根据分式值为零,分子等于零,分母不为零得2x =0,x +2≠0求解即可. 【详解】解:由题意,得2x =0,且x +2≠0,解得:x =0, 故答案为:0.【点睛】本题考查分式值为零的条件,熟练掌握分式值为零的条件“分子为零,分母不为零”是解题的关键.7.(2022·湖南邵阳·x 的取值范围是_________.【答案】x >2##2<x【分析】根据二次根式有意义的条件:被开方数是非负数和分式有意义的条件:分母不为0即可求出结论.【详解】解:由题意可得x-2>0, 解得:x >2, 故答案为:x >2.【点睛】本题考查的是分式及二次根式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0解题的关键.8.(2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模)若分式11x x --的值为零,则x 的值为______.考点二、分式化简9.(2022·四川绵阳·二模)下列分式属于最简分式的是( ) A .265xy xB .x y y x--C .22x y x y ++D .2293x y x y-+10.(2022·四川眉山·中考真题)化简422a a +-+的结果是( ) A .1 B .22a a +C .224a a -D .2aa +11.(2022·辽宁沈阳·中考真题)化简:1111x x x -⎛⎫-⋅= ⎪+⎝⎭______. 【答案】1x -##1x -+12.(2022·四川自贡·中考真题)化简:2a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++ =____________.【点睛】本题考查了分式的混合运算,熟练掌握约分,通分,因式分解的技巧是解题的关键.13.(2022·西藏·中考真题)计算:222242a a a a a a +⋅---. 24a a a a --2)(2)(2)a a a a -+-22a - 【点睛】本题考查了分式的化简,理解并掌握分式的计算法则,注意在解题过程中需注意的事项,仔细计算是本题的解题关键.14.(2022·辽宁大连·中考真题)计算2224214424x x x x x x x-+÷--+-.22222122x x x x x xx 211.xxx【点睛】本题考查的是分式的混合运算,掌握15.(2022·湖北十堰·中考真题)计算:2222a b b ab a a a ⎛⎫--÷+ ⎪⎝⎭.16.(2022·四川泸州·中考真题)化简:22311 (1). m m mm m-+-+÷17.(2022·湖南常德·中考真题)化简:231 122a aaa a+-⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭18.(2022·甘肃武威·中考真题)化简:()2233322x x xx x x++÷-++.考点三、分式化简求值19.(2022·山东济南·中考真题)若m-n=2,则代数式222m n mm m n-⋅+的值是()A.-2B.2C.-4D.420.(2022·山东菏泽·中考真题)若22150a a--=,则代数式2442a aaa a-⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值是________.【答案】15【分析】先按分式混合运算法则化简分式,再把已知变形为a2-2a=15,整体代入即可.21.(2022·四川成都·中考真题)已知2272a a -=,则代数式2211a a a a a--⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】72##3.5##312 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简22.(2022·四川广安·中考真题)先化简:2242(2)244x xxx x x-++÷--+,再从0、1、2、3中选择一个适合的数代人求值.23.(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)先化简,再求值:344111x xxx x-+⎛⎫--÷⎪--⎝⎭,其中3x=.24.(2022·山东聊城·中考真题)先化简,再求值:244422a a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-⎝⎭,其中112sin 452a -⎛⎫=︒+ ⎪⎝⎭.25.(2022·辽宁锦州·中考真题)先化简,再求值:2233111211x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪-++-,其中|1x =+.x 26.(2022·辽宁营口·中考真题)先化简,再求值:25244111a a a a a a +++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭,其中11|2|2a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.27.(2022·湖北荆州·中考真题)先化简,再求值:222212a b a b a b a ab b ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭,其中113a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,()02022b =-.28.(2022·四川广元·中考真题)先化简,再求值:22x x +÷(1﹣211x x --),其中x 是不等式组()211532x x x x ⎧-<+⎨+≥⎩的整数解.29.(2022·新疆·中考真题)先化简,再求值:22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅ ⎪-+--+⎝⎭,其中2a =.30.(2022·山东滨州·中考真题)先化简,再求值:344111a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭,其中10(1tan 45π2)a -=︒+-。

分式及其运算

分式及其运算

分式及其运算分式,也叫有理式,是由一个整式的形式分子和分母组成的表达式,分子与分母都可以是整数多项式,且分母不能为0。

分式的运算是数学中的重要内容之一,主要包括分式的加减乘除四则运算。

一、分式的基本概念分式由分子和分母两个部分组成,用横线隔开。

分子表示分子部分的表达式,分母表示分母部分的表达式。

分式的形式可以用以下表示方法:$\frac{a}{b}$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 。

例如,$\frac{3}{5}$、$\frac{x^2+1}{2x}$ 都是分式。

其中,3是分式的分子,5是分式的分母;$x^2+1$是分式的分子,2x是分式的分母。

二、分式的加减运算1.同分母分式的加减运算:将同分母分式的分子相加(或相减),分母保持不变,得到的结果即为所求。

例如,$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3+2}{5}=\frac{5}{5}=1$;$\frac{7x}{4} - \frac{3x}{4} = \frac{7x-3x}{4}=\frac{4x}{4}=x$。

2.异分母分式的加减运算:先找到它们的最小公倍数(简称最小公倍数),然后将分子通分,再进行加减运算。

最后将结果化简到最简形式。

例如,$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$;$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{8-3}{12}=\frac{5}{12}$。

三、分式的乘除运算1.分式的乘法:将分式的分子与分母分别相乘,得到的结果即为所求。

例如,$\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{3 \times 2}{4 \times5}=\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$;$(\frac{a}{b}) \times(\frac{c}{d})=\frac{a \times c}{b \times d}$。

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m 1 无意义,则 的值一定m是-3 (

(m 3)(m2 1)
分析
1.
3
2 x
2
x 无论 取何值,
x2 0
则 3 x2 0
2.
(m
m 1 3)(m2
1)
(m 3)(m2 1) 0
(m 3)(m 1)(m 1) 0
m 3 0或m 1 0或m 1 0
探索规律
观察下面一列有规律的数:
(2)分式有意义的条件是 B≠0

(3)分式的值为零的条件是 B≠0且A=0 。
2、当x ≠2 时,分式
有意义。
3、当x=-0.25 时,分式 当x =1 时,分式
没有意义, 的 值为零。
a+1
4、当a=1,2时,分别求分式 2a 的值。
5、a取何值时,分式
a+1 2a
有意义?
变式训练:
(1)当a取什么值时,分式
2.当 y 1时,分式①
y2

y 1
y2 y 1
③ ( y 1)( y 2) ④ ( y 1)( y 2)
A ①②
B ②③
y( y 无2意) 义的是 ( y 1)( y 2)
C ①③
D ②④
( C)
10、判断: 2
√ 1、对于任意有理数 ,分x式 3 x 2 有意义 ( )
× 2、若分式
例1 计算:(1)4x y ;(2)ab3 5a2b2 .
3y 2x3
2c2 4cd
解: (1) 4x y 4xy 2 ; 3y 2x3 6x3y 3x2
(2)
ab3 2c2
5a2b2 4cd
ab3 2c2
4cd 5a2b2
4ab3cd 10a2b2c2
2bd . 5ac
课堂练习
练习1 计算:
(1) 2b (2) 3x
3a
2y
(3) x2 y
归纳符号法则:
分式的分子、分母和分式本身的符号,
改变其中任何两个,分式的值不变。
(1) a a b b
(2) a a a b b b
15.2 分式的运算
乘除法则
探索分式的乘除法法则
问题3 计算:
(1)3 15 ;(2)3 15 .
少?
探索分式的加减法法则
分式的加减法与分数的加减法类似,它们实质相 同.观察下列分数加减运算的式子,你能将它们推广, 得出分式的加减法法则吗?
1 + 2 = 3 ; 555 1 + 1 = 3 + 2 = 5 ; 23666
1 - 2 =- 1 ; 55 5 1 -1= 3- 2= 1. 23666
(1)b a ;(2)2 b ;(3)ny my .
ac
a 2a
mx nx
课堂练习
练习2 计算:
(1)3a 16b ; (2) 3xy 2 y2 ;
4b 9a2
3x
(3)12xy 8x2 y; (4)x y y x .
5a
x y x y
15.2 分式的运算
加减法则
感受学习分式加减法的必要性
完成这项工程的几分之几?
解: 1 + 1 = n+3 + n n n+3 (n n+3) (n n+3)
= 2n+3 .
(n n+3)
即两队共同工作一天完成这项工程的
2n+3 . (n n+3)
运用分式的加减法法则
问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积
(单位:km2)分别是S1,S2,S3,2011年与2010年相 比,森林面积增长率提高了多少?
52
52
在计算的过程中,你运用了分数的什么法则?你能 叙述这个法则吗?
如果将分数换成分式,那么你能类比分数的乘除法 法则,说出分式的乘除法法则吗?
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢?
探索分式的乘除法法则
分式的乘除法法则: a c ac; a c a d ad. b d bd b d b c bc 如何用文字语言来描述?
(a 1) ab
分子分母都
例2(课本P5)填空:
(1)
x2
x 2x
( ) x2
,
3x
2 3xy 6x2
x y ( )
(2)a b ( ab
) a2b ,
2a a2
b
(
) a2b
观察分子分母如何变化
(1) x
2
x
2x
(
x2
)
(分子分母都乘以 x)
(2)3x
2 6x
3xy
❖当分子为零且分母不为零时, 分式值为零。
(一)问题情景
问题1 小学学过分数计算,请你快 速计算下列各式,并说出计算根据:
(1)6 8
(2)240 3600
复习分数的基本性质
分数的分子与分母同时乘以(或除以)一个不 等于零的数,分数的值不变.
(二)类比归纳
1.下列从左到右的变形成立吗?为什么?
分式及其运算
§4.1 分式的概念
问题1: 请将下列的几个代数式按照你认为的共同特征进
行分类,并将同一类移入一个圈内(圈的个数自己选 定,若不够可再画),并说明理由。
2.6 , 5 , 5 , x , y , 2004 , 2004 5 13 a x y x y x x 30
。。 特征:
2.6 , 5 5 13
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,…… 3 8 15 24 35 48 63 80
①请在上面横线上填写第七个数。
②根据规律可知,第n个数应

n+1 (n+1)2-1

n+1 n (n+2)(n为正整数)
❖分式的概念
①分子分母都是整式
②分母中必含有字母
❖分母中字母的取值不能使分 母值为零,否则分式无意义
(1)x+1 x
-
1 x
;(2)ba+1
+
2a b+1
-
3a . b+1
课堂练习
练习2 计算:
(1) 1 2c2d
+
1 3cd 2
; (2)2m3-n
- 2m-n ; (2m-n)2
(3) a
2
a -b2
-
1 a+b

(4)aa-21 -a-1.
运用分式的加减法法则
问题1 甲工程队完成一项工程需n 天,乙工程队要 比甲队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天
y
2
-
2x x2 -y2

(2) 2
1 p+3q
+
1 2 p-3q

解:(1)5xx2+-3y
y
2
-
2x x2 -y2
=
5x+3y-2x x2 -y2
= 3x+3y = (3 x+y) x2 -y2 (x+y)(x-y)
= 3; x-y
运用分式的加减法法则
例 计算:
(1)5xx2+-3y
y
2
-
2x x2 -y2
解: 即2011年与2010年相比,森林面积增长率提 高了 S1S3-S22 . S1S2
15.2 分式的运算
分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算
探究分式的乘除混合运算
例1
计算:52x-x3
3 25x2 -9
x. 5x+3
解:
2x 5x-3
3 25x2 -9
x 5x+3
=
2x 5x-3
25x2 -9 3
解:
S3-S2 - S2 -S 1
S2
S1
= S(1 S3-S2)- S(2 S2 -S1)
S1S2
S1S2
= S1S3-S1S2 -S22+S1S2 = S1S3 -S22 .
S1S2
S1S2
运用分式的加减法法则
问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积 (单位:km2)分别是S1,S2,S3,2011年与2010年相 比,森林面积增长率提高了多少?
① 1 1 3 , ② 1 1 b , ③ 1 1 (a 3) a a 3 a 1 b a 1 (a 3)
2.你能归纳出以上所体现的变形吗? 3.会用字母表达式表示吗?
(类比分数的基本性质,得出分式的基本性质)
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个 不等于0的整式,分式的值不变。
分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ; ②分母中含有 字母 。
思考:
1、两个整式相除叫做分式,对吗?请举 例说明。
2、在式子 中,A、B可为任意整式,是 吗?请举例说明。
分类:
单项式
有 整式

多项式
式 分式
练习2:
把下列各式的题号分别填入表中
整式 (2)(3)(5)
分式
有理式
(1)(4)(6)(7) (1)(2)(3)(4 )(5)(6)(7)
x 5x+3
= 2x2 . 3
课堂练习
练习1 计算:
(1)2m2n 5 p2q 5mnp ; 3 pq2 4mn2 3q
(2)(mm2--nn)22
(n-m)2
m2n2
m+n ; m
(3) a
16-a2 2 +8a+16
a-4 2a+8
a-2 . a+2
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