人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析《分式》知识点复习及典例解析一、复习目标1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则，会进行简单的分式乘除法计算．能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.2.了解同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减运算，理解通分的意义，会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算，提高类比的能力和代数化归的能力.4.了解分式方程的概念，掌握解一元一次方程的分式方程的方法，了解产生增根的原因，会检捡一个数是不是分式方程的增根．5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题．二、重点难点重点：分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念，分式方程的解法难点：异分母分式加减法. 解分式方程时，去分母可能会出现增根。
三、知识概要1. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式时，分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示：.;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减（1）分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.（2）法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.式子表示：;c b a c b c a ±=±.bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念分式是一种表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型，分式方程是分母中含有未知数的方程．4.分式方程的解法分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的．主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根．5.去分母的技巧解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母，当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母．6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误．7.列分式方程解决实际问题的方法步骤（1）、审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，（2）、设：设恰当的未知数（3）、列：根据相等关系列出分式方程（4）、解：求出所列方程的解（5）、验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合（6）、答：写出答案．四、典例解析考点一、分式概念的运用例1．若分式||33x x --的值为零，则x 的值等于。
新人教版 八年级期末总复习 数学——分式
第一局部：概念类 考点1、分式的概念:分式：分母中含有字母的式子；整式：不含分母或分母中不含字母例题：〔1〕 在x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1+ 、 3a 2－12b 、23m m 中是分式的有〔2〕.以下各式中，是分式的有〔 〕2x ，〔x+3〕÷〔x-5〕，-a 2，0，234xy ，b 1，2-πm A.1个 B.2个 C.3个 D.4个易错题：式子aa 2和112+-x x 是式〔填“分〞或“整〞〕 分式有意义的条件例题：〔3〕当x 取何值时以下分式有意义？23x x -+, 211x x --, 23x x ++, 211x x -+(4).分式22yx y x +-有意义的条件是( ) A. x ≠0 B.y ≠0 C.x ≠0或y ≠0 D.x ≠0且y ≠0期末总复习〔一〕——分式(5)．假设A=x+2，B=x-3，当x______时，分式B A 无意义。
易错题：以下各分式一定有意义的是〔 〕A ．21x B ．11-x C ．112-x D ．112+x分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.例题：〔6〕以下等式成立的是〔 〕A ．22m n m n =B ．)0(≠++=a am a n m n C ．)0(≠--=a am a n m n D ．)0(≠=a ma na m n (7)如果正数x 、y 同时扩大10倍，那么以下分式中值保持不变的是( )A.11--y xB.11++y xC.32yx D.y x x + (8). 假设等式A x x x x 111222-=-+-成立，那么A=_______. (9). 以下化简结果正确的选项是( )A.222222z y z x y x -=+-B.))((22b a b a b a -+--=0 C.yx y x 263=3x 3D.12-+m m a a =a 3B =0 的条件________B >0 的条件________A B<0的条件________ 例题：(11) 当x 时，分式11x 2+-x 的值为零。
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
初二数学上册(人教版)第十五章分式15.1知识点总结含同步练习及答案
x+1 2x + 3 ；（2） ． 2x 3x − 5 x+1 解：（1） 要使 有意义，则分母 2x ≠ 0，即 x ≠ 0； 2x 2x + 3 5 （2） 要使 有意义，则分母 3x − 5 ≠ 0，即 x ≠ ． 3x − 5 3 x+2 的值为 0 ？ 2x − 3 x+2 解： = 0 ，即 x + 2 = 0 ， 2x − 3 解得 x = −2 且 2x − 3 ≠ 0 ． 所以当 x = −2 时，该分式值为 0 ．
① 在分式 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变，即
约分 约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分（reduction of a fraction）． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．化简分式时，通常要使结果成为最简分式 或者整式． 通分 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分（reduction of fractions to a common denominator）． 各分式分母中的系数的最小公倍数与所有字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母．
当 x 取何值时，分式
5xy ． 20y 2 5xy 5y ⋅ x x 解： ． = = 2 5y ⋅ 4y 4y 20y
化简
2a c x ， ， ． b ab 2ab 解：最简公母为 2ab ． 2a 4a2 ， = b 2ab c 2c ， = ab 2ab x x ． = 2ab 2ab
通分
四、课后作业
1. 使分式
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2 有意义的 x 的取值范围是 ( x−2 A．x ⩽ 2 B．x ⩽ −2
(完整word版)人教版初中数学专题复习--分式知识点和典型例习题,推荐文档
1第十六章分式知識點和典型例習題【知識網路】【思想方法】1. 轉化思想轉化是一種重要①數學思想方法，應用非常廣泛，運用轉化思想能把複雜①問題轉化 爲簡單問題，把生疏①問題轉化爲熟悉問題，本章很多地方都體現了轉化思想，如，分式 除法、分式乘法；分式加減運算①基本思想：異分母①分式加減法、同分母①分式加減法； 解分式方程①基本思想：把分式方程轉化爲整式方程，從而得到分式方程①解等.2. 建模思想本章常用①數學方法有：分解因式、通分、約分、去分母等，在運用數學知識解決實 際問題時，首先要構建一個簡單①數學模型，通過數學模型去解決實際問題，經歷實際問題 ------ 分式方程模型----------- 求解 -------- 解釋解①合理性數學化過程，體會分式方程① 模型思想，對培養通過數學建模思想解決實際問題具有重要意義.3•類比法本章突出了類比①方法，從分數①基本性質、約分、通分及分數①運算法則類比引出 了分式①基本性質、約分、通分及分式①運算法則，從分數①一些運算技巧類比引出了分 式①一些運算技巧，無一不體現了類比思想①重要性，分式方程解法及應用也可以類比一 元一次方程.第一講分式①運算【知識要點】1.分式①概念以及基本性質；2.與分式運算有關①運算法則3. 分式①化簡求值 （通分與約分）4. 幕①運算法則【主要公式】1.同分母加減法則:bc b c a 0a a ab d bc da b da2. 異分母加減法則 a0,c 0a c ac acac3.分式①乘法與除法： b?d bd b 5c_b?g bda c a a d a cac4. 同底數幕①加減運算法則：實際是合併同類項m n m+n m nm- n5. 同底數幕①乘法與除法；a • a =a ; a - a =an mn6. 積①乘方與幕①乘方：（ab）m= a m b n, （a m）= a7.負指數幕a-p a p a°= 115 x為負.------------ 2為負, 3 （x 1）2 口爲非負數.x 3練習：1•當x 取何值時，下列分式有意義:2. 當x 爲何值時，下列分式①值爲零：（2） ¥x 2 6x 5（二）分式①基本性質及有關題型1 •分式①基本性質:8.乘法公式與因式分解：平方差與完全平方式(a+b)(a-b)= a 2- b 2;(a 士 b)2= a 2± 2ab+6分式定義及有關題型題型一：考查分式①定義 【例1】下列代數式中: x 1 _, 2xx y，是分式①有:y題型二：考查分式有意義①條件 【例2】當x 有何值時，下列分式有意義 /八 x 4⑴ C (2)|x| 3(5)0①條件 題型三：考查分式①值為 【例3】當x 取何值時，下列分式①值爲 （1）H （2）航題型四：考查分式①值爲正、負①條件 0.2(3)务x 5x2x 3 【例4】（1 ）當x 爲何值時，分式為正;（2）當x 爲何值時，分式 （3）當x 爲何值時，分式（2）（x ；21(3)1 11 - x(1) 5 |xx 43 •解下列不等式(1)凶一2x 1(2) £ 0題型一：化分數係數、小數係數為整數係數【例1】不改變分式①值，把分子、分母①係數化爲整數題型二：分數①係數變號【例2】不改變分式①值，把下列分式①分子、分母①首項①符號變爲正號 (1)亠丄(2) 已 (3)工x ya b b題型三：化簡求值題【例3】已知： 1-5,求2x3xy 2y 勿直.xy x 2xy y提示：整體代入, ① 1x y3xy ,②轉化出 11xy【例4】已知： x 1 2 ,求x 2 丄勿直.xx【例5】若| xy 1 1 (2x3)210，求一1①值4x 2y練習：1.不改變分式①值，把下列分式①分子、分母①係數化爲整數(三)分式①運算1•確定最簡公分母①方法：① 最簡公分母①係數，取各分母係數①最小公倍數； ② 最簡公分母①字母因式取各分母所有字母①最高次幕2.確定最大公因式①方法：①最大公因式①係數取分子、分母係數①最大公約數;②取分子、分母相同①字母因式①最低次幕.2.分式①變號法則:a ab ~b a a~b b(1)3y4y0.2a 0.03b 0.04a~b~(1) 0.03x 0.2y0.08x 0.5y0.4a 3b(2)匚 1 1 . a b 4102.已知: 2x 求—2x x-勿直•13.已知:求9辿空劝直.b ab a24.右a 2a b 22 a b6b 10,求r 以直.5.如果1試化簡X [TT|号題型一：通分【例1】將下列各式分別通分(1) (3)c b a；5b c2Tx2ab‘3a 2c 1~2~ x x 1 2x(2)a b ； 飞’2b 2a ；x 2'(4)題型二：約分 【例2】約分:2(1)；( 3)0xy(3)題型三：分式①混合運算【例3】計算:(1)2(七)ab(叫4 ；a(2)(斗x y(x 2y 2)(3)m 2n(4)2 aa1(5) (6)2x 1 x 2134x(7)(x 1)(x 1)(x 2 42x 4x 4(x 1)(x 3) 2x8x 7 1 x 83(x(x5)空)1題型四：化簡求值題(1)已知： x 1，求分子18x 41 1 [(x 4 1)G 丄)]勿直;2x 4(2) 已知：x2 扌；，求722yz 2 y琴①值；z(3)已知：2 a3a 10，試求（a 21 1 )(a)①值.題型五：求待定字母①值【例4】先化簡後求值【例5】若1 3xx21 —，試求M,N①值.x 12 •先化簡後求值（四）、整數指數幕與科學記數法題型一：運用整數指數幕計算3 2 \ 2 2 3、2(2) (3x y z ) (5xy z ) 題型二：化簡求值題【例2】已知x x 15，求（1）x2x 2①值；（2）求x4x 4①值.題型三：科學記數法①計算【例3】計算: (1) (3 10 3) (8.2 10 2)2; ( 2) (4 10 3)2 (2 10 2)3.練習：1 •計算：（1）（丄1)（丄）2| 1 | (1 .3)°( 0.25)2007 42008 3553(2) (3 1 m3n2)2(m 2 、3 n)練習:1 •計算(1) 2a 5 a 1 2(a 1)2 (a 1)2a 32(a 1)(2)2b22abb a(3) a 2b 3c b 2cb c a cab(4) a b2b2a b(5) (a b j4ab)(a b a b(6)1 x2(7)1(x 2)(x 3)2(x 1)(x 3)1(x 1)(x 2)a2 4a2 2a 1 1a2 1其中a滿足a2(2)已知x:y 2:3 ,2 求（匚 2—)[(x y) (x xy 」)3]x3.已知: 几：1） x A1 2xB1，試求A、B /直.399a 805a 2①值是整數，並求出這個整數值【例1】計算:(1) (a 2) 3 (bc 1)3(4) [(x y)3 (x y)2]2 (xy)4•當a為何整數時，代數式2 2 2 2(2ab ) (a b)3. 23~2(3a b ) (ab )2 2 2 ,4) [4(x y) (x y)]12"[2(x y) (x y)]2 .已知 x 2 5x 1 0，求(1) x x 1 , (2) x 2 x 2 ①值.第二講分式方程【知識要點】1.分式方程①概念以及解法；2. 分式方程產生增根①原因3. 分式方程①應用題【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知數；2.解分式方程①關健是化分式方程爲整式方程母.3.解分式方程①應用題關健是準確地找出等量關係(一)分式方程題型分析題型一：用常規方法解分式方程【例1】解下列分式方程提示易出錯①幾個問題：①分子不添括弧；②漏乘整數項；③約去相同因式至使漏根；④ 忘記驗根. 題型二：特殊方法解分式方程(3) ；方程兩邊同乘以最簡公分 ,恰當地設末知數.(1)-；(2)x x 34x 2 1【例2】解下列方程(1)x4x 4 ,4；x1x提示:(1)換兀法，設------x 1【例3】解下列方程組111(1) x y2111(2) y z3111(3) z x4題型三：求待定字母①值(2)x 79x16 (2丿x 6895 y ； (2 )裂項xx7611x6.1 有增根，求m①值.【例4】若關於x①分式方程提示：X 宁0且X 2 , 題型四：解含有字母係數①方程 【例6】解關於x ①方程c(c d 0) d題型五：列分式方程解應用題練習:1.解下列方程:2 .解關於x ①方程:（二）分式方程①特殊解法把分式方程轉化爲整式方程，通常①方法是去分母，並且要檢驗, 可根據其特徵，採取靈活①方法求解，現舉例如下：例1.解方程:、化歸法例2.解方程:二、左邊通分法【例5】若分式方程 巻1①解是正數，求提示：（1） a,b,c,d 是已知數;(2) cd 0.x 1 2x0 ；(2)x x 1 1 2xx 32x 3 2 ；(4)7 x 2 x 22 x 5x 4 2x 5 1(6)1 2x 4 3x2 2x 1x x 9 x 1 x 8x 2x 7x 1x 67 x 2 x 2 1(1)丄丄2 (b a x b2a); (2)b (a b).x3.如果解關於x ①方程 會產生增根,求k 勿.4•當k 爲何值時，關於x ①方程x 2 (x 1)(x 2) 1咖爲非負數.2a 15.已知關於x "式方程厂 a 無解，試求a ①值.解分式方程，主要(1)2(3)x x(5) (7) 1 x 5Ainy 晴Ainy 晴例3:解方程:四、分子對等法例4.解方程: (a b)五、觀察比較法例5.解方程:六、分離常數法例6.解方程:4x 5x 2 175x 2 4x 4七、分組通分法例7.解方程:x 1 x 8x 2 x 91 1x 2 x 5x 2 x 7x 3 x 81 1x 3 x 4（三）分式方程求待定字母值①方法例1.若分式方程丄」—無解，求m①值。
人教版八年级数学分式知识点及典型例题[1]
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分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义:例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2—a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy3、y x +3、ma 1+中分式的个数为( ） （A ） 2 (B) 3 (C) 4 （D ） 5练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--;⑸22b b -；⑹222xy x y +。
（2）下列式子，哪些是分式？5a -； 234x +；3y y； 78x π+；2x xy x y +-;145b -+。
2、分式有，无意义，总有意义：（1)使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2)使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解; 注意：(12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义; 例2:分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4:当x 时，分式12+x x有意义例5：x ，y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是( ） A ．122+x x B 。
分式典型知识点与例题总结
人教版八年级下册分式全章 知识点和典型例习题 知识点回顾知识点一：分式形如 的式子叫做分式 。
知识点二：分式B A 的值1.当 时,分式有意义;2.当 时,分式无意义;3.当 时,分式的值为0;4.当 时,分式的值为1;5.当 时, 分式的值为正;6.当 时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示 知识点四：分式中的符号法则用式子表示 知识点五： 分式的约分 约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时， 知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。
1.最简公分母= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示 除法法则： 用式子表示 知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式： 套 平方差公式： 2 . 公 完全平方和：式 完全平方差：知识点九：分式的加减法法则 加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先 再 最后再 。
知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂 知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成 其中101<≤a 。
知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤 、 、 、 、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有 个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值 【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是 ； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 ；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。
人教版八年级数学分式知识点及典型例题
分式的知识点及经典题型1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为（ ） （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 (D) 8 2、分式有，无意义，总有意义：注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4：当x 时，分式12+x x 有意义； 例5：x ，y 满足关系 时，分式x y x y -+无意义； 3、分式的值为零：例1：当x 时，分式112+-x x 的值为0 例2：如果分式22+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 2± B.2 C. 2- D.以上全不对例3：能使分式122--x x x 的值为零的所有x 的值是 （ ） A 0=x B 1=x C 0=x 或1=x D 0=x 或1±=x例4：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2 例5：若01=+aa ,则a 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
例1:c b c b --=+- C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=()0≠C例2：如果把分式yx xy +中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例3：如果把分式yx y x +-中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例4：若把分式x y x 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（ ）A ．扩大12倍B ．缩小12倍C ．不变D ．缩小6倍 例5： 不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，=---05.0012.02.0x x ； 5、分式的约分及最简分式：例1：下列式子（1）y x y x y x -=--122；（2）ca b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个例2：约分： =--2)(y x y x =-+22y x ay ax ；=++-1681622x x x ；=+-6292x x 23314___________21a bc a bc -= 232()3y x = （3222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛a b = 例3：分式3a 2a 2++，22b a b a --，)b a (12a 4-，2x 1-中，最简分式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6、分式的乘，除，乘方： 乘法法测：b a ·d c =bd ac . 除法法则：b a ÷d c =b a ·c d =bcad 分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(b a )n .分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：(ba )n =n nb a (n 为正整数) 7、分式的化简、求值12.，其中2m =-．3．然后从22x -≤≤范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．45x=26范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．7.化简，再求值：x 满足2320x x -+=．8、已经两未知量的关系求代数式的值1.已知：43=y x ，求xyx y xy y xy x y x -+÷+--2222222的值。
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第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1.转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等.２．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义.３.类比法本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程.第一讲 分式的运算【知识要点】１．分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)４.幂的运算法则【主要公式】1．同分母加减法则:()0b c b c a a a a±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd a d a c ac÷=•= 4．同底数幂的加减运算法则：实际是合并同类项5．同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a ｍ÷ a n =a m-n6．积的乘方与幂的乘方:(a ｂ)m ＝ ａm ｂn , (ａｍ)ｎ＝ a mn7.负指数幂: a -p =1p a a 0=1８.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a ＋ｂ)(a-b)＝ a 2- b 2 ;（a ±b)2＝ ａ２±2ａb+ｂ２(一)、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中:yx y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π,是分式的有: ﻩﻩ． 题型二:考查分式有意义的条件【例２】当x 有何值时，下列分式有意义 (1)44+-x x ﻩ(2）232+x x ﻩ(３)122-x （4)3||6--x x ﻩ(5）xx 11- 题型三:考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. (1)31+-x x ﻩ（2)42||2--x x (３)653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例４】(1）当x 为何值时，分式x -84为正; （2)当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负; (3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数. 练习:1．当x 取何值时,下列分式有意义：（1）3||61-x ﻩﻩ(2)1)1(32++-x x ﻩﻩ(3)x111+ ２.当x 为何值时,下列分式的值为零： （１）4|1|5+--x x ﻩﻩ(2)562522+--x x x ３.解下列不等式(1）012||≤+-x x ﻩ(2)03252>+++x x x(二)分式的基本性质及有关题型１.分式的基本性质:MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=２.分式的变号法则:ba b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数．（１)y x y x 41313221+- （2）b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.(1）yx y x --+-ﻩ （２)b a a ---ﻩﻩ（3)b a --- 题型三：化简求值题【例3】已知:511=+y x ,求yxy x y xy x +++-2232的值． 提示:整体代入,①xy y x 3=+,②转化出y x 11+. 【例４】已知：21=-x x ，求221x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1)y x y x 5.008.02.003.0+- (２)b a b a 10141534.0-+ 2.已知：31=+x x ,求1242++x x x 的值. 3.已知：311=-b a ，求aab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求b a b a 532+-的值. 5.如果21<<x ,试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---．(三）分式的运算1．确定最简公分母的方法:①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一:通分【例１】将下列各式分别通分.（１)c b a c a b ab c 225,3,2--； (2)a b b b a a 22,--; (3）22,21,1222--+--x x x x x x x ; (4）aa -+21,2 题型二:约分【例２】约分：（1)322016xy yx -；（3）n m m n --22;（3)6222---+x x x x . 题型三：分式的混合运算【例３】计算: (1)42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；ﻩﻩﻩ (２）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+; (3）m n m n m n m n n m ---+-+22；ﻩﻩ (4)112---a a a ; (5)874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；ﻩ （6))5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7))12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x 题型四:化简求值题【例４】先化简后求值(1)已知：1-=x ,求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值; (2）已知：432z y x ==,求22232z y x xz yz xy ++-+的值; (3）已知:0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值． 题型五：求待定字母的值【例５】若111312-++=--x N x M x x ，试求N M ,的值．练习：1．计算(1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ;ﻩﻩﻩ(２)ab ab b b a a ----222; (3）b ac c b a c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232;ﻩ （4)ba b b a ++-22； （5))4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-； ﻩﻩ(6）2121111x x x ++++-； （７）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x ． 2.先化简后求值 (1)1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . (2)已知3:2:=y x ,求2322])()[()(yx x y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值． 3．已知:121)12)(1(45---=---x B x A x x x ，试求A 、B 的值． 4．当a 为何整数时,代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四）、整数指数幂与科学记数法题型一:运用整数指数幂计算【例1】计算:(1）3132)()(---⋅bc a ﻩﻩﻩ(２）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3)24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- ﻩﻩﻩ（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二:化简求值题【例2】已知51=+-x x ,求（1）22-+x x 的值；(2)求44-+x x 的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算:（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；(2)3223)102()104(--⨯÷⨯.练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅--（2)322231)()3(-----⋅n m n m(3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4)21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2.已知0152=+-x x ，求(１）1-+x x ,（2）22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】１．分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3．分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2．解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母．3．解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系，恰当地设末知数.（一)分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例１】解下列分式方程（１)x x 311=-;(2)0132=--x x ；(3)114112=---+x x x ;(4)x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题:①分子不添括号;②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.题型二:特殊方法解分式方程【例2】解下列方程(1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：(1)换元法,设y x x =+1;（2）裂项法,61167++=++x x x ． 【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例４】若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x a x 的解是正数,求a 的取值范围. 提示:032>-=a x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a ． 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dc x b a x 提示：(1）d c b a ,,,是已知数;（２）0≠+d c .题型五：列分式方程解应用题练习:１.解下列方程:(1）021211=-++-x x x x ; （2）3423-=--x x x ; （3)22322=--+x x x ;ﻩﻩ（４)171372222--+=--+x x x x x x （５)2123524245--+=--x x x x ﻩﻩ(６）41215111+++=+++x x x x （７)6811792--+-+=--+-x x x x x x x x 2．解关于x 的方程：（1）b x a 211+=)2(a b ≠；(2))(11b a xb b x a a ≠+=+. 3.如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值. ４．当k 为何值时,关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x k x x 的解为非负数. ５．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解,试求a 的值. (二)分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x 二、化归法例２．解方程:012112=---x x 三、左边通分法例3:解方程：87178=----xx x 四、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x 六、分离常数法例６.解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法 例7．解方程：41315121+++=+++x x x x(三)分式方程求待定字母值的方法例１.若分式方程xm x x -=--221无解，求m 的值。