分式知识点及典型例题

4. 同底数幕的加减运算法则：实际是合并同类项5. 同底数幕的乘法与除法；a m • a n =a m+n ； a m - a n =a m -n6. 积的乘方与幕的乘方：(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn17. 负指数幕：a -p = —pa 0=1a p8•乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b) 2= a 2 ±2ab+b 2—、考占、执占、 J 八、、J 八、、八、、 知识点一：分式的定义A一般地，如果A , B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式，A 为分B子，B 为分母。

知识点二：与分式有关的条件【知识网络】【主要公式】a2•异分母加减法则:- a a be daac ac bd b c3.分式的乘法与除法也？da c ac abe da a ac c b/ d a c0,c 0 ; bd ac①分式有意义：分母不为0 （B 0）②分式无意义：分母为0 （B 0）③分式值为0 :分子为0且分母不为0 （口B 0A 0 A 0④分式值为正或大于0 :分子分母同号（c c或c C）B 0 B 0⑤分式值为负或小于0:分子分母异号（八。

或八°）B 0 B 0⑥分式值为1 :分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1 :分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：A A-C，A ，其中A、B、C是整式，C 0。

B B?C BBC拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即A A A AB B B B注意：在应用分式的基本性质时，要注意C 0这个限制条件和隐含条件B 0。

知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数, 然后约去分子分母相同因式的最低次幕。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幕的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：I取各分母系数的最小公倍数；n单独出现的字母（或含有字母的式子）的幕的因式连同它的指数作为一个因式；川相同字母（或含有字母的式子）的幕的因式取指数最大的。

IV保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幕的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

知识点六分式的四则运算与分式的乘方①分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：a?c曇b d b?d分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为a c a d a?db d bc b ?c②分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子a n a n③分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。

式子表示为a b a bc c c异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为a c ad bcb d bd整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

知识点六整数指数幕① 引入负整数、零指数幕后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幕的法则对对负整数指数幕一样适用。

即m n m n ★ a a am mn ★ a a★ ab n a n b n★a m a n a mn（a 0）★ a n a n★ n 1 （0）★不★a n （a 0）b b a★a0 1 （a 0）（任何不等于零的数的零次幕都等于1）其中m , n均为整数。

科学记数法若一个数x是Ovxvl的数，则可以表示为a 10n（1 a 10，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。

女口0.000000125= 1.25 10-77个0若一个数x是x>10的数则可以表示为a 10n（1 a 10，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。

如120 000 000= 1.2 108 9个数字知识点七分式方程的解的步骤⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

（产生增根的过程）⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

知识点八列分式方程基本步骤①审一仔细审题，找出等量关系。

②设一合理设未知数。

③列一根据等量关系列出方程（组）④解一解出方程（组）。

注意检验⑤答一答题。

二、典型例题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：-,^x y, a b,J!题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x有何值时，下列分式有意义题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x为何值时，分式名为正；8 x（2 ）当x 为何值时，分式一5 x2为负; 3 （x1）23x x2(3) J (4)x2 1 |x| 3，是分式的有:(1)|x| 2x2 42x 2x 32x 5x 6（3）当x 为何值时，分式 工套为非负数.x 3练习:1 .当x 取何值时，下列分式有意义:2. 当x 为何值时，下列分式的值为零:3 .解下列不等式（1）阳 0（2）占 0（二）分式的基本性质及有关题型题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数题型二：分数的系数变号(1)12 x y 23 1 1 x y 3 4(2)0.2a 0.03b 0.04a b(1 )1 6|x| 3(2)(x 1)21(1)(2)25 x 2 x 2 6x 51. 分式的基本性质: 2 .分式的变号法则:A A M A M BB MB Ma a a ab b b b【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号（1）X y（2）ab（3ax y a b b题型三：化简求值题【例3】已知：1 15，求2x 3xy 2y的值•x y x 2xy y提示：整体代入，①x y 3xy，②转化出--x y【例4】已知：x「，求x2令的值.［例5 】若|x y 1 | (2x 3)20，求七的值.练习:1 •不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数1 22 •已知：x 丄3，求4 X 2 的值.XX 4 X 2 11丄3，求2a 3ab 2b的值. a bb ab a4 .若 a 2 2a b 26b 10，求設的值.0.03x 0.2y 0.08x 0.5y(2)0.4a - b51a -1b 4 103 .已知:、（三）分式的运算1. 确定最简公分母的方法：① 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ② 最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕2 .确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数; ②取分子、分母相同的字母因式的最低次幕.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）_b _______ ；（ 2） _____ ；（） 2ab ，3a 2c ，5b 2c ；（）a b' 2b 2a ；题型二：约分22 22【例2】约分：（1）正扌；(2) ；(3)20 xym nx x 65.如果1x 2，试化简害x 1 |x ||x 1| "x"(3)1 ______ x _______ 2x 2 x ，1 2x x 2，x 2x 2(4)2,题型四：化简求值题【例4】先化简后求值2（1）已知：x 1，求分子1［（- 4 1）（-丄）］的值;x 4 4x2 x 题型三：分式的混合运算 【例3】计算： 2 2 （1）（aJb）3 （土）2 （竺）4；c ab a(2)3 a(x3(x 2 y 2)m 2n n 2m n m m n n m2(5)1 x 1 x2x4x 3 8x 71 x21 x4(6)1 (x 1)(x 1)1 (x 1)(x 3)1 (x 3)(x 5)(2)已知: 求xy 2yz 3xz 飞的值;z(3)已知: a2 3a 1 0，试求(a2評m的值.题型五：求待定字母的值［例5】若1 3xx21代，试求M，N的值.练习：1 •计算(1 ) 2a 52(a 1)a 12(a 1)2a 32(a 1)2b22ab ba(3) a b c a 2b 3c b 2ca b c b c a cab' 2b2a b ；4ab (5) (a b R a b4abr_b)；1 2 ；x 1 x2；(7) 1(x 2)(x 3)2 1(x 1)(x 3) (x 1)(x 2)2 .先化简后求值(1) 彳2 .a 1 a 42a 2 a 2a 1门'其中a满足322 2(2)已知x:y 2:3，求(-仝)[(x xy xy)(- Y)3] 的值.3 .已知: 5x 4(x 1)(2x 1)吕，试求A、B的值4 .当a为何整数时，代数式399a 805的值是整数，并求出这个整数值a 2（四八整数指数幕与科学记数法题型一：运用整数指数幕计算(2)(3x3y2z 1) (5xy 2z3)【例1 】计算：（1）（a 2）3（be 1）3(4)[(x y)3(x 2 2y) ] (x y)题型二：化简求值题［例2】已知x x 15，求（1）x2x 2的值；（2）求x4x 4的值.题型三：科学记数法的计算［例 3】计算：32 23 22 3(1) (3 10 ) (8.2 10 ) ； ( 2) (4 10 ) (2 10 ).1 32 2 2 3(2) (3 m n ) (m n)2 2 2(4)[4(x y) (x y)] [2(x y) 1(x y)] 2练习： 1 •计算：（1）（31）（5）2111 0(0.25 ) 2007 4 20082 .已知x 25x 10，求(1 ) x x 1 , (2) x 2 x 2的值.(3)2 2 2 2 (2ab ) (a b)3. 23、2(3a b ) (ab )第二讲分式方程（一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程提示易出错点：①分子不添括号②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根 题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程提示：（1）换元法，设 十 y ；（ 2 ）裂项法,x 1【例3】解下列方程组(1)(2)x 2(1)4x 44；x 9 x 10 x 6 x8 x 9x5题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程三1 »有增根，求m 的值.提示:题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程一手（c d 0）b x d提示：（1） a,b,Gd 是已知数；（2） c d 0.题型五：列分式方程解应用题练习：【例5】若分式方程 2x a x 21的解是正数，求a 的取值范围.1 •解下列方程:(1) 2x1 2x(2)(3) 2xx 2 x2x x2(5) 5x 42x~4 2x 5 13x~2 2(6)(7)2 .解关于x的方程:(1) 2 /c、b(b2a); (2)3.如果解关于x的方程代2会产生增根, 求k的值.4.当k为何值时'关于x的方程汁丄）1的解为非负数.5•已知关于x 的分式方程务a 无解，试求a 的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验, 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法例1 •解方程：丄三x x 2、化归法三、左边通分法例2 •解方程:2 x 2 1例3 :解方程：・—8x 7 7 x四、分子对等法1 a 1 b例4 .解方程：（a b）a xb x五、观察比较法4x5x 217六、分离常数法例6 .解方程:七、分组通分法例7 •解方程：1111x 2 x 5 x 3 x 4（三）分式方程求待定字母值的方法若分式方程M -无解,x求m的值若关于x的方程k2x2 1=不会产生增根，求k的值三、课后练习一、分式1、分式概念1 1 1 1 1.各式中，一 x+ y, , , — 4xy32 xy 5 a2、分式有意义例3 •若关于x 分式方程丄 宀23有增根，求k 的值x 4例4 •若关于x 的方程亠占卫x x x x”有增根x 1, 求k 的值a b2 .在x 3 5 x a b 12 一中，是分式的有a()xJ abA 、1个B、2个C 、3个D 、4 个3、下列各式:a bx 3 5y3 2 , a , x 1 ,4a b 1(xmy ）中，是分式的共有（ )2 xb A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个x分式的个数有（）(1)当XM __ 时，分式2x有意义;-" x 2(2)当x ____ 时，分式-—-有意义；x 12x 1(3 )分式-------- 中，当x 时，分式没有意义，当x 时，分式的值为零;2 x ------- ------------------------------------------4(4) 当x ____ 时，分式——有意义。